2. Koordináta-rendszerek és transzformációk

2.1. Koordináta-rendszereink

2.2. Az egyenes és sík egyenlete

2.3. Az E. tér projektív lezárása

2.4. Affin transzformációk

2.5. Projektív transzformációk

Mire használjuk?

• A grafika transzformációi:

- tárgyak elhelyezése, - részek összeállítása

- tárgyak valószerű átalakításai (GM),

- a tárgyak képe: vetítés síkra

- stb.

Milyen transzformációk kellenek?

- E 3 , illetve H 3 ( H 3 = E 3 I )

- minden pontnak van transzformáltja,

- H 3 H 3 (kölcsönösen egyértelmű)

- pont pont,

- egyenes egyenes

- sík sík

- illeszkedést tartó módon.

Kollineációk; a projektív tér projektív transzformációi

Kollineációk - affin és projektív transzformációk

2.4. Affin transzformációk

2.5. Projektív transzformációk

Más kurzusokon részletesen,

itt csak gyakorlati áttekintés;

nagyvonalú, szemléletes tárgyalás

Kollineációk (projektív transzformációk)

• Kollineációk a projektív geometriában . . .

• Itt: a transzformációk geometriai, szemléletes jelentése . . .

• A transzformációk számítási eljárásai:

– Pontok : X’ = M44 X

– Egyenes: e = ( P, Q )

e’ = ( P’, Q’ ) ; P’ = M44 P , Q’ = M44 Q

( NB. e’ = e M44 -1

)

– Más alakzatoknál is: a meghatározó pontokat . . .

Kétféle tárgyalás

H3 kollineációi: { M44 ; det M44 0}; M M ; 0

X = [x1, x2, x3, h] T H 3; h = 0 | 1; X X ; 0;

X* = [x1, x2, x3, h]; sorvektor !!

X’ = M X = … X*’ = X* M T = …

|mmmm||x| |xxxx||mmmm|

|mmmm||x| xxxx |mmmm|

|mmmm||x| xxx |mmmm|

|mmmm||x| xx |mmmm|

(M X ) T = ( X T M T )

A kollineációk mátrix alakja

H3 pontjai: X = [x1, x2, x3, h] T H 3; h = 0|1; X X ; 0;

H3 kollineációi: { M44 ; det M44 0}; M M ;

0

X’ = M44 X =

= (m11 m12 m13 m14) (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’)

|m21 m22 m23 m24| |x2| |m21x1+m22x2+m23x3+m24h| |x2’|

|m31 m32 m33 m34| |x3| |m31x1+m32x2+m33x3+m34h| |x3’|

(m41 m42 m43 m44) (h ) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h ’)

X’ = M44 X =

= (m11 m12 m13 m14) (x1) = (m11x1+m12x2+m13x3+m14h) = (x1’)

|m21 m22 m23 m24| |x2| |m21x1+m22x2+m23x3+m24h| |x2’|

|m31 m32 m33 m34| |x3| |m31x1+m32x2+m33x3+m34h| |x3’|

(m41 m42 m43 m44) (h ) (m41x1+m42x2+m43x3+m44h) (h ’)

= (m11 m12 m13 m14) (x1) = m11x1+m12x2+m13x3+m14h = x1’

|x2|

|x3|

(h )

E3 és H3 kollineációi

• H 3 kollineációi: a projektív transzformációk csoportja

H 3 = E 3 I 3

egy közönséges sík esetleg I 3 és akkor I 3 egy közönséges síkra

• E 3 kollineációi: affin transzformációk; alcsoport,

E 3 E 3 és I 3 I 3

A következő órákon:

Affin transzformációk

Párhuzamos vetítés

Axonometria

Projektív transzformáció

Középpontos vetítés

Perspektíva

2.4. Affin transzformációk

(a grafikában – szemléletes bevezetés)

Affin transzformációk

• Szemléletes geometria, illetve. analitikus geometria

• E n E n

pont-, egyenes-, sík- és

illeszkedést tartó

transzformációk

• Számolása lineáris transzformációval: P’ = A33 · P + d

P’ = A34 · P x’ = a11 · x + a12 · y + a13 · z + a14

y’ = a21 · x + a22 · y + a23 · z + a24

z’ = a31 · x + a32 · y + a33 · z + a34

Affin transzformáció mátrix-szorzással

• Homogén mátrix alakja: A44

A44 utolsó sora: (0, 0, 0, c) ; c 0 (általában = 1)

• X = [x, y, z, h] T ; h = 0 | 1

• X’ = A44 X = (a11 a12 a13 a14 ) (x) = (x’) ; h = 0 | 1

|a21 a22 a23 a24 | |y| |y’|

|a31 a32 a33 a34 | |z| |z’|

( 0 0 0 1 ) (h) (h’); h’ = h !!!

• közönséges pont közönséges pont, ideális pont ideális pont:

az ideális sík önmaga.

Affin transzformációk

Például: eltolás, forgatás, tükrözés, stb

Reguláris affinitások: det A 0; E n E n ; n = 2, 3, …

(Ha det A = 0 : vetítés egy síkra, vagy más altérre)

Szóhasználat: affin transzformáció, affinitás (?),

transzformáció, leképezés

Pont-transzformáció: alakzatok pontjait

Koordináta-rendszer transzformáció: áttérés új KR-re

A tér leképezése egy másik térre pl. VKR KKR

Affin transzformációk

• Vizsgálata:

particionálás (darabolás),

felbontás (szorzattá alakítás)

• A mátrix megadása:

– geometria jelentése alapján:

szemléletes elemi affinitások szorzataként

– vagy 4 meghatározó pont-párból:

a „határozatlan együtthatók módszere”

A mátrix vizsgálata

Az affin transzformáció mátrixa előállítható:

P’ = A P = ( N S O T ) P alakban;

O = R1 R2 R3

A mátrix jellemző elemei:

A44 = (sx a12 a13 dx ); det A 0 ; > 1 | < 1

|a21 sy a23 dy |

|a31 a32 sz dz |

( 0 0 0 1 )

Affin transzformáció megadása: 4-4 pont

E 3 egy affinitását meghatározza

4 „független” pont és képe.

(E 2 -ben 3)

„független”: kifeszítik a teret

egyik három sem esik egy egyenesbe.

Pl.: Izometria - 4 független pont és képe:

{O A B C} {O’ A’ B’ C’}

0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB (3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de 0

„Elemi” affin transzformációk

• „elemi”: szemléletes jelentés, egyszerű mátrixa

• Eltolás (T) , forgatás (R), léptékezés (S) , nyírás (N)

• Tükrözés, báziscsere,

• Tétel: Ha A affin traanszformáció, akkor van olyan T, R1, R2, R3, S, N, a

• amelyekkel: A = N S O T; O = R1 R2 R3

• azaz: P ’ = A P = (N S O T) P

• Minden A ilyenekből áll !

Egyszerű affinitások: 1. Eltolás

• Adott: d = (dx, dy, dz) eltolás-vektor

• Minden pontra: X’ = X + d = (x + dx, y + dy, z + dz)

d

• X’ = T X = (X + d)

(x’) = ( 1 0 0 dx ) · (x) = ( x + dx )

|y’| | 0 1 0 dy | |y| | y + dy |

|z’| | 0 0 1 dz | |z| | z + dz |

(1 ) ( 0 0 0 1 ) (1) ( 1 )

• T2 (T1 P) = (T2 T1) P = T3 P

Az eltolások kommutatív csoportja:

• Művelet: konkatenáció (egymásután) ~ szorzás

• Az (eltolásokra a) szorzás kommutatív:

• egységeleme: null-eltolás

• inverze: ellentétes eltolás:

• T2 (T1 P) = (T2 T1) P = T3 P = (T1 T2) P

• KR eltolása (a tárgyakhoz képest) ( dx, dy, dz) –vel

A tárgyak eltolása (-dx, -dy, -dz) –vel (az eredeti KR-ben)

Egysz. aff. 2. Forgatás a Z tengely körül

• x’ = x cos - y sin y’ = x sin + y cos z’ = z;

• A síkban: a kezdőpont (origó) körül:

a 3. sor és 3. oszlop nélkül

• a Z tengely körüli forgatások

kommutatív csoportja:

• Ortonormált transzformáció, determinánsa 1.

Rz = (co –si 0 0 )

| si co 0 0 |

| 0 0 1 0 |

( 0 0 0 1 )

co = cos si = sin

Forgatás az X és az Y tengely körül

• x’ = x y’ = y cos - z sin z’ = y sin + z cos

• illetve:

x’ = x cos – z sin y’ = yz’ = x sin + z cos

• egyazon tengely körüli forgatások kommutatív csoportot alkotnak

Rx = (1 0 0 0)

|0 co –si 0|

|0 si co 0|

(0 0 0 1)

Ry = (co 0 –si 0)

|0 1 0 0|

|si 0 co 0|

( 0 0 0 1)

co = cos si = sin

Forgatás és eltolás egymásutánja

• Egy pont: P(1,1)

egy forgatás: R (-900) (CLW)

egy eltolás: T(1,1)

T P = (2,2); (RT) P = (2,-2)

R P = (1,-1); (TR) P = (2,0)

• (R T) ≠ (T R)

Forgatások a térben

• Forgatás az origón átmenő (ferde) tengely körül:

• A ferde tengelyt (a terem sarkán át)

1. a Z-tengely körül a ZY síkba : R z

2. itt az X körül az Y-tengelybe : R x

3. Az Y körül a kívánt forgatást: R y ()

4-5. Végül az első két forgatás fordítottját

(fordított sorrendben).

X’ = R* X = [ (R z-1 R x

-1) R y () (R x R z) ] X

XY

Z

Forgatások a térben - 2

• Forgatás tetszőleges tengely körül.

• A tengely (egy pontját) eltoljuk O-ba: T

• és ekörül forgunk (mint előbb): R*()

• Végül az eltolás fordítottja:

X’ = (T-1 R*() T) X

• Transzformációk megadása: szemléletes elemi geometria transzformációk

sorozatával !!

Egyszerű. aff.: Áttérés új KR-re; báziscsere

KR-transzformáció

egy új KR tengelyirányai: u, v, w egységvektorok.

X’ = BB X

BB = (ux uy uz 0) x’ = uxx + uyy + uzz

|vx vy vz 0| y’ = vxx + vyy + vzz

|wx wy wz 0| z’ = wxx + wyy + wzz

( 0 0 0 1)

• Az origó áthelyezésével a ( cx, cy, cz) pontba: X’ = ( TT(-cx, -cy, -cz) BB ) X

Egysz.aff.: 3. Léptékezés (skálázás)

• Léptékezés (skálázás) az origóból kiindulva: X’ = S X

S = ( sx 0 0 0 ) x’ = sx x

| 0 sy 0 0 | y’ = sy y

| 0 0 sz 0 | z’ = sz z

( 0 0 0 1 )

• Determinánsa: D = sx sy sz ; (egyik sem nulla).

• Egyenletes (izotrop) léptékezés, ha sx= sy= sz

Egyenlőtlen (anizotrop), ha különbözőek

Tükrözések: si < 0

• x’ = -1 · x, y’ = y, z’ = z : tükrözés az YZ síkra.

• Tükrözések: S(1,1,1)

• Ha 1 tényező negatív: tükrözés koordináta-síkra, (det = -1)

ha 2 koordináta tengelyre, (det = +1)

ha 3 a kezdőpontra. (det = -1)

• Ha det = -1, a tér irányítása megfordul !

• Általános helyzetű tükrözés:

X’ = (ÁTHELYEZÉS -1 TÜKRÖZÉS ÁTHELYEZÉS ) X

• Mozgatás: eltolások és forgatások; méret és alaktartó

Egysz.aff.: 4. Nyírás

Merev test alakjának változása terhelés hatására.

Az „elcsúszó kártyacsomag”

Az XZ síkkal párhuzamosan, X irányban, az y összetevővel arányos nyírás:

x’ = x + a y ; X’ = Nxy X; Nxy = ( 1 a 0 0 )

y’ = y | 0 1 0 0 |

z’ = z | 0 0 1 0 |

( 0 0 0 1 )

Nyírás a tengelyek más szereposztásával: más háromszög mátrix

Tengelycsere

• (A teljesség kedvéért :)

• Permutációs mátrixok; például:

( 1 0 0 0 ) · [ x ] = [ x ] | 0 0 1 0 | | y | | z | | 0 1 0 0 | | z | | y | ( 0 0 0 1 ) [1 ] [ 1]

az Y és Z tengelyt fölcseréli

determinánsa = -1 !!!

Az affin transzformációk néhány tulajdonsága

1. A baricentrikus koordináták affin-invariánsak:

ha R valamilyen t-vel: R = (1 - t) P + t Q, és (P’ Q’ R’) = (P Q R) A,

akkor ugyanezen t-vel: R’= (1 - t) P’ + t Q’

2. Az egyenes pontjainak osztóviszonya affin invariáns: (PQR) = PR / RQ; R Q , (P’Q’R’) = (PQR);

3. Párhuzamos szakaszok hossza egyforma arányban változik:

P’Q’ / PQ = R’S’ / RS

(Különböző irányokban az arány különböző lehet)

Az affin transzformációk osztályozása

csoportot alkotnak

Alcsoport: hasonlósági transzformációk : T R S(s,s,s)

Alcsoport: mozgás transzformációk : T R

= egybevágósági transzformációk

„Másodfajú” egybevágóság: a tükrözés is.

Ha det A = 0: a tér vetítése egy síkra, vagy egyenesre

Elhelyező transzformáció: hasonlóság

SKR VKR; M = T S R

Affin transzformáció megadása: 4-4 pont

E 3 egy affinitását meghatározza

4 „független” pont és képe.

(E 2 -ben 3)

„független”: kifeszítik a teret

egyik három sem esik egy egyenesbe.

Pl.: Izometria - 4 független pont és képe:

{O A B C} {O’ A’ B’ C’}

0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB (3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de 0

A határozatlan együtthatók módszerével:

A44 ( O A B C ) := ( O’ A’ B’ C’) !

( a11 a12 a13 a14 ) ( 0 1 0 0 ) =

| a21 a22 a23 a24 | | 0 0 1 0 |

| a31 a32 a33 a34 | | 0 0 0 1 |

( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 )

= ( a14 a11+a14 a12+a14 a13+a14 ) := ( 0 –f f 0 )

| a24 a21+a24 a22+a24 a23+a24 | | 0 –g –g h |

| a34 a31+a34 a32+a34 a33+a34 | | m 0 0 0 |

( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )

3 x 4 = 12 egyenlet, 12 ismeretlen: aik

Van megoldás, ha det A44 0 (ha független pontok)

Összefoglalás

• X’= M · X kollineációk

• Affin transzformációk; M utolsó sora: [0, 0, 0, 1]

• különben: Projektív transzformációk

• Affin transzformációk: E n E n és I n I n

• Eltolás, forgatás, léptékezés, nyírás van bennük

• Projektív transzformációk: eltűnő sík