2. Koefisien Binomial
-
Upload
nurwahidah-hasanuddin -
Category
Documents
-
view
285 -
download
0
Transcript of 2. Koefisien Binomial
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
1/13
Page 1 of13
Modul Mengajar PS S-2 Pendidikan Matematika
Hari Kedua:
Koefisien Binomial
Syamsul Rizal
Koefisien Binomial dan Segitiga Pascal
Perhatikan segi tiga Pascal di bawah ini.
(x+y)0 = 1 Koefisien-koefisien 1(x+y)1 = x + y 1 1
(x+y)2
= x2
+ 2xy + y2
1 2 1(x+y)3 = x3+3x2y + 3xy2+y3 1 3 3 1(x+y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2+4xy3+y4 1 4 6 4 1
Terlihat bahwa koefisien-koefisien di atas dapat ditentukan berdasarkan atas koefisien binomial
().
Untuk menjelaskan konsep ini kita melihat dahulu contoh di bawah ini.
(x + y)3.= (x + y)(x + y)(x + y) = (xx +xy + yx + yy)(x + y)
= xxx +xxy +xyx +xyy + yxx + yxy + yyx + yyy= x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3.
Tampak bahwa hasil pada baris terakhir koefisen-koefisiennya adalah 1, 3, 3 dan 1.
Perluasan (x + y)3
dapat diselesaikan dengan menggunakan penalaran kombinatorial bukan mengalikan
ketiga suku. Ketika (x + y)3
= (x + y) (x + y) (x + y) diperluas, semua perkalian dari suku dalam jumlah
pertama, suku dalam jumlah kedua, dan suku dalam jumlah ketiga ditambahkan. Suku-suku bentuk x3,
x2y, XY
2, dan y
3timbul. Untuk mendapatkan suku dari bentuk x
3, x harus dipilih di setiap dari jumlah, dan
ini dapat dilakukan hanya dengan satu cara. Dengan demikian, x3
suku dalam perkalian tersebut
memiliki koefisien 1. Untuk mendapatkan suku dari bentuk x2y, x harus dipilih dalam dua dari tiga jumlah
(dan akibatnya y dalam jumlah lainnya). Oleh karena itu, jumlah suku tersebut adalah jumlah2-kombinasi tiga objek, yaitu (). Demikian pula, jumlah segi bentuk XY
2adalah sejumlah cara untuk
memilih satu dari tiga jumlah untuk mendapatkan x (dan akibatnya mengambil y dari masing-masing dua
jumlah lainnya). Hal ini dapat dilakukan dalam () cara. Akhirnya, satu-satunya cara untuk memperolehsuku y
3adalah memilih y untuk masing-masing tiga jumlah dalam produk, dan ini dapat dilakukan dalam
hanya satu cara.
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
2/13
Page 2 of13
THE BINOMIAL THEOREM Let x and y be variables, and let n be a nonnegativeinteger. Then(x + y)n = t ( ) xn-jyj
Teorama 1 (Teorema Binomial) Misalkan x dan y adalah variabel-variabel, dan n bilangan nonnegatifsuatu integer. Maka
Contoh:
Gunakan Teorema binomial untuk menyelesaikan soal berikut
(x + y)4= .
Berapakah koefisien x12y13 dari ekspansi/penguraian (x + y)25?
Jawab: Dari Teorema Binomial, koefisiennya dapat ditentukan dengan cara:
Contoh : Berapakah koefisien x14y16 dari ekspansi/penguraian (x + y)30?Jawab:
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
3/13
Page 3 of13
Contoh:Berapakah koefisien x12y13 dari ekspansi/penguraian (2x - 3y)25?
Solusi: Pertama, perhatikan bahwa ungkapan ini sama dengan (2x + (-3y))25
. Pada Teorema Binomial, kita
memiliki
Akibatnya, koefisien x12
y13
dalam ekspansi diperoleh ketika j = 13, yaitu,
Teorema Multinomial
Contoh:
1.
2.
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
4/13
Page 4 of13
KOMBINASI dengan PENGULANGAN (Combinations with Repetition)
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
5/13
Page 5 of13
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
6/13
Page 6 of13
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
7/13
Page 7 of13
Contoh
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
8/13
Page 8 of13
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
9/13
Page 9 of13
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
10/13
Page 10 of13
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
11/13
Page 11 of13
Contoh
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
12/13
Page 12 of13
Penentuan Koefisien pada segitiga Pascal dengan Scilab
functionc=combinations_coba(n, r)
c=factorial(n)./(factorial(r)*factorial(n-r))endfunction
Run fungsi di atas
Kemudian kita run program
forn =0:5forj=0:n
c = combinations_coba ( n , j );
mprintf("(%d ,%d )= %2d ",n,j,c);
-
7/30/2019 2. Koefisien Binomial
13/13
Page 13 of13
end
mprintf("\n");
end
Hasilnya adalah:
-->exec('D:\AAABUAT BUKU SCILAB\PROGRAMS\combinations_coba.sci', -1)
-->exec('D:\AAABUAT BUKU SCILAB\PROGRAMS\Pascal_triangle.sce', -1)(0 ,0 )= 1(1 ,0 )= 1 (1 ,1 )= 1(2 ,0 )= 1 (2 ,1 )= 2 (2 ,2 )= 1(3 ,0 )= 1 (3 ,1 )= 3 (3 ,2 )= 3 (3 ,3 )= 1(4 ,0 )= 1 (4 ,1 )= 4 (4 ,2 )= 6 (4 ,3 )= 4 (4 ,4 )= 1(5 ,0 )= 1 (5 ,1 )= 5 (5 ,2 )= 10 (5 ,3 )= 10 (5 ,4 )= 5 (5 ,5 )= 1
References:
Epp, Susanna S. (2011). Discrete Mathematics with Applications, 4 th Edition, CengageLearning
Lipschutz, S., Lipson, M.L. (2007). Theory and Problems of Discrete Mathematics, Schaum'sOutline, 3rd ed.
Rosen, K. H. (2007). Discrete Mathematics and Its Applications, 6th
Ed., McGraw-Hill
http://www.goodreads.com/author/show/74450.Seymor_Lipschutzhttp://www.goodreads.com/author/show/74450.Seymor_Lipschutz