2 Funkce jedné reálné promennéˇ - cuni.czrokyta/vyuka/1314/zs/F_apl_mat/Ap… · (P2) fje...

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 12M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I – kap. 2: Funkce jedné reálné promenné 12

2 Funkce jedné reálné promenné

2.1 Základní pojmy

Definice. Reálná funkcef jedné reálné promenné(dále jenfunkce) je zobrazeníf : M → R, kdeM jepodmnožinou množiny reálnýchcísel.

Definice. Funkcef : J → R je rostoucí na intervaluJ , jestliže pro každou dvojicix1, x2 ∈ J, x1 <x2, platí nerovnostf(x1) < f(x2). Funkcef : J → R je klesající na intervaluJ , jestliže pro každoudvojici x1, x2 ∈ J, x1 < x2, platí nerovnostf(x1) > f(x2). Analogicky definujeme funkcineklesající(nerostoucí) na intervaluJ .

Definice. Monotónní funkcí (resp.ryze monotónní funkcí) na intervaluJ rozumíme funkci, která jeneklesající nebo nerostoucí (resp. rostoucí nebo klesající) naJ .

Poznámka.Je-li funkce ryze monotónní na množineM ⊂ R, je na ní prostá, ale nikoli naopak.

Definice. Necht’f je funkce.Rekneme, že funkcef je

• lichá, jestliže pro každéx ∈ D(f) platí−x ∈ D(f) af(−x) = −f(x),

• sudá, jestliže pro každéx ∈ D(f) platí−x ∈ D(f) af(−x) = f(x),

• periodická s periodoua ∈ R, a > 0, jestliže pro každéx ∈ D(f) platíx+a ∈ D(f), x−a ∈ D(f)af(x+ a) = f(x− a) = f(x).

Definice. Necht’f je funkce aM ⊂ D(f). Rekneme, že funkcef je

• shora omezenánaM , jestliže existujecísloK ∈ R takové, že pro všechnax ∈M je f(x) ≤ K,

• zdola omezenánaM , jestliže existujecísloK ∈ R takové, že pro všechnax ∈M je f(x) ≥ K,

• omezenánaM , jestliže existujecísloK ∈ R takové, že pro všechnax ∈M je |f(x)| ≤ K,

• konstantní naM , jestliže pro všechnax, y ∈M platíf(x) = f(y).

2.2 Limita a spojitost

Definice. Necht’a ∈ R aε ∈ R, ε > 0. Potom definujeme

• okolí bodu a jakoUε(a) = (a− ε, a+ ε),

• prstencové (redukované) okolí bodua jakoPε(a) = (a− ε, a+ ε) \ a.

Okolí a prstencové okolí bodu+∞ (resp.−∞) definujeme takto:

Pε(+∞) = Uε(+∞) = (1/ε,+∞),

Pε(−∞) = Uε(−∞) = (−∞,−1/ε).

Definice. Rekneme, že prvekA ∈ R⋆ je limitou funkce f v bodea ∈ R

⋆, jestliže

∀ε ∈ R, ε > 0 ∃δ ∈ R, δ > 0 ∀x ∈ Pδ(a) : f(x) ∈ Uε(A).

Píšeme:limx→a

f(x) = A.

http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/


Veta 2.1(jednoznacnost limity). Funkcef má v daném bode nejvýše jednu limitu.

Poznámka.Limita je tzv. lokální pojem. Rozmyslete si následující vlastnosti:

• Pokud existujeδ > 0 takové, žef(x) = g(x) pro všechnax ∈ Pδ(a), potomlimx→a f(x) existujepráve tehdy, když existujelimx→a g(x). V tom prípade se obe limity rovnají.

• Hodnotaf(a), dokonce ani to, jestli funkcef je vubec v bode a definována, nemá žádný vliv naexistencici velikost hodnotyA := limx→a f(x). Rozhoduje pouze chováníf na prstencovém okolíPδ(a) bodua.

Definice. Necht’a ∈ R aε ∈ R, ε > 0. Potom definujeme

• pravé okolí bodua jakoUε+(a) = 〈a, a+ ε),

• levé okolí bodua jakoUε−(a) = (a− ε, a〉,

• pravé prstencové okolí bodua jakoPε+(a) = (a, a+ ε),

• levé prstencové okolí bodua jakoPε−(a) = (a− ε, a).

Definice. Dále definujeme

• levé okolí bodu+∞ jakoUε−(+∞) = (1/ε,+∞),

• pravé okolí bodu−∞ jakoUε+(−∞) = (−∞,−1/ε),

• levé prstencové okolí bodu+∞ jakoPε−(+∞) = Uε

−(+∞),

• pravé prstencové okolí bodu−∞ jakoPε+(−∞) = Uε

+(−∞).

Definice. Necht’A ∈ R⋆, a ∈ R ∪ −∞. Rekneme, že funkcef má v bode a limitu zprava rovnouA,

jestliže∀ε ∈ R, ε > 0∃δ ∈ R, δ > 0∀x ∈ Pδ

+(a) : f(x) ∈ Uε(A).

Píšemelimx→a+ f(x) = A.Analogicky definujeme pojemlimity zleva v bodea ∈ R ∪ +∞ a píšemelimx→a− f(x) = A.

Definice. Rekneme, že funkcef je spojitá v bodea ∈ R, jestliže limx→a

f(x) = f(a) ∈ R.

Definice. Rekneme, že funkcef je v bodea ∈ R spojitá zprava (resp.zleva), jestliže limx→a+

f(x) = f(a) ∈

R (resp. limx→a−

f(x) = f(a) ∈ R).

2.3 Vety o limitách a spojitosti

Veta 2.2. • Necht’a ∈ R,A ∈ R⋆. Paklimx→a f(x) = A, práve když lim

x→a+f(x) = lim

x→a−f(x) = A.

• Funkcef je v bodea spojitá, práve když je spojitá v bodea zprava i zleva zároven.

Veta 2.3. Necht’ funkcef má vlastní limitu v bodea ∈ R⋆. Pak existujeδ ∈ R, δ > 0 takové, žef je na

Pδ(a) omezená.

Veta 2.4. Necht’ funkcef má vlastní limituA 6= 0 v bodea ∈ R⋆. Pak existujeδ ∈ R, δ > 0 a konstanta

c > 0 takové, že|f(x)| > c pro všechnax ∈ Pδ(a).

Veta 2.5(limita a aritmetické operace). Necht’a ∈ R⋆. Necht’ limx→a f(x) = A ∈ R

⋆ a limx→a g(x) =B ∈ R

⋆. Potom platí:



(i) limx→a(f(x) + g(x)) = A+B, pokud je výrazA+B definován,

(ii) limx→a f(x)g(x) = AB, pokud je výrazAB definován,

(iii) limx→a f(x)/g(x) = A/B, pokud je výrazA/B definován.

Veta 2.6. Necht’a ∈ R⋆. Necht’limx→a f(x) = 0, a necht’ existujeη > 0 takové, že funkceg je omezená

naPη(a). Paklimx→a(f(x) g(x)) = 0.

Veta 2.7. Necht’ a ∈ R⋆. Necht’ limx→a g(x) = 0, limx→a f(x) = A ∈ R

⋆ a A > 0. Jestliže existujeη > 0 takové, že funkceg je kladná naPη(a), paklimx→a(f(x)/g(x)) = +∞. (A obdobne proA < 0, gzápornou atd.)

Veta 2.8("o zámene0 a∞"). Platí:

limx→+∞

f(x) = A ∈ R⋆ ⇐⇒ lim

x→0+f

(

1

x

)

= A ∈ R⋆ ,

a podobne

limx→−∞

f(x) = B ∈ R⋆ ⇐⇒ lim

x→0−f

(

1

x

)

= B ∈ R⋆ .

Veta 2.9(o srovnání). Mejmea ∈ R⋆.

(i) Necht’limx→a

f(x) > limx→a

g(x).

Pak existuje prstencové okolíPδ(a) takové, že platí

∀x ∈ Pδ(a) : f(x) > g(x).

(ii) Necht’ existuje prstencové okolíPδ(a) takové, že platí

∀x ∈ Pδ(a) : f(x) ≤ g(x).

Necht’ existujílimx→a f(x) a limx→a g(x). Potom platí

limx→a

f(x) ≤ limx→a

g(x).

(iii) (o dvou strážnících) Necht’ na nejakém prstencovém okolíPδ(a) platí

f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).

Necht’limx→a f(x) = limx→a g(x). Potom existuje rovnežlimx→a h(x) a všechny tri limity jsou si rovny.

Veta 2.10(limita složené funkce). Necht’a,D,A ∈ R⋆, limx→a g(x) = D, limy→D f(y) = A a je splnena

alespon jedna z podmínek

(P1) ∃η ∈ R, η > 0∀x ∈ Pη(a) : g(x) 6= D,

(P2) f je spojitá vD.

Potomlimx→a f(g(x)) = A.

Poznámka. • Jsou-li funkcef , g spojité (prípadne spojité zleva, zprava) v bode a ∈ R, jsou v bode aspojité (prípadne spojité zleva, zprava) i funkcef ± g, fg, a pokud jeg(a) 6= 0, pak i funkcef/g.



• Necht’a ∈ R, funkceg je spojitá va, funkcef je spojitá vg(a). Potom funkcef g je spojitá va.

Veta 2.11(limita monotónní funkce). Necht’ funkcef je monotónní na(a, b), a, b ∈ R⋆. Potom existují

limx→a+ f(x) a limx→b− f(x).

Poznámka(komplexní funkce). • Komplexní funkce f jedné reálné promenné(dále jenkomplexnífunkce) je zobrazeníf : M → C, kdeM je podmnožinou množiny reálnýchcísel. Evidentne f :M → C je komplexní funkce práve tehdy, když existují reálné funkceg, h : M → R takové, žef(x) = g(x) + ih(x) pro všechnax ∈M .

• Pro komplexní funkci nedefinujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale taképojem "shora resp. zdola omezená" funkce.Rekneme, že komplexní funkcef je omezená naM ⊂R

⋆, pokud existujeK > 0 taková, že|f(x)| ≤ K pro všechnax ∈M .

Poznámka(komplexní limita, spojitost). • Je-li f(x) = g(x) + ih(x), f : M → C komplexní funkce,a ∈ M , a existují limx→a g(x), limx→a h(x) vlastní, klademelimx→a f(x) = limx→a g(x) +i limx→a h(x). Podobne pro jednostranné limity. Výrazy tvaru "a±i∞", "±∞±ib", resp. "±∞±i∞"nedefinujeme.

• Je-li f(x) = g(x) + ih(x), f : M → C komplexní funkce,a ∈ M , a jsou-lig, h spojité va (resp.spojité va zprava, zleva),rekneme, žef je spojitá va (resp. spojité va zprava, zleva).

Veta 2.12(Heineho o limite). Necht’ C ∈ R⋆ (resp.C ∈ C) a reálná (resp. komplexní) funkcef je

definována (alespon) na prstencovém okolí bodua ∈ R⋆. Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní:

(i) limx→a f(x) = C

(ii) Pro každou posloupnostxn∞n=1 splnující

• limn→∞ xn = a,

• ∀n ∈ N : xn 6= a,

platí limn→∞ f(xn) = C.

Veta 2.13(Heineho o spojitosti). Necht’ reálná (resp. komplexní) funkcef je definována (alespon) na okolíbodua ∈ R

⋆. Pak výroky (i) a (ii) jsou ekvivalentní:

(i) f je spojitá va

(ii) Pro každou posloupnostxn∞n=1 splnující

• limn→∞ xn = a

platí limn→∞ f(xn) = f(a).

Definice (funkce spojitá na intervalu). Necht’ J ⊂ R je nedegenerovaný interval (tj. obsahuje nekonecnemnoho bodu). Funkcef : J → R(C) je spojitá na intervalu J , jestliže platí:

• f je spojitá zprava v levém krajním bode intervaluJ , pokud tento bod patrí doJ ,

• f je spojitá zleva v pravém krajním bode intervaluJ , pokud tento bod patrí doJ ,

• f je spojitá v každém vnitrním bodeJ .



2.4 Elementární funkce

Veta 2.14(zavedení logaritmu). Existuje práve jedna funkce (znacíme jiln a nazýváme jiprirozenýmlogaritmem), která má tyto vlastnosti:

(L1) D(ln) = (0,+∞) a na tomto intervalu jeln rostoucí,

(L2) ∀x, y ∈ (0,+∞) : lnxy = lnx+ ln y,

(L3) limx→1ln xx−1 = limx→0

ln(1+x)x

= 1.

Poznámka: vztahu (L3) se nekdyríká "základní limita pro logaritmus".

Definice. Exponenciální funkcíbudeme rozumet funkci inverzní k funkciln. Budeme ji znacit symbolemexp(x).

Základní limita pro exponenciální funkci (lze odvodit z (L3)):

limx→0

exp(x) − 1

x= 1 .

Lze postupovat i tak, že se nejprve definuje exponenciální funkce (zformuluje se veta o existenci ajednoznacnosti exponencální funkce), a poté se funkceln definuje jako její inverzní funkce.

Definice. Necht’a, b ∈ R, a > 0. Obecnou mocninuab definujeme jako

ab = exp(b ln a).

Poznámka.Tedy procísloe ∈ R takové, želn e = 1, platí

ex = exp(x ln(e)) = exp(x) .

Veta 2.15(zavedení funkcí sinus a kosinus). Existuje práve jedno kladné reálné císlo (budeme ho znacitπ)a práve jedna dvojice funkcísinus(sin) a kosinus(cos), které mají následující vlastnosti:

G1) D(sin) = D(cos) = R,

G2) pro všechnax, y ∈ R platí

sin(x+ y) = sinx · cos y + cosx · sin y,

cos(x+ y) = cosx · cos y − sinx · sin y,

sin(−x) = − sinx, cos(−x) = cosx,

G3) sin je rostoucí na〈0, 12π〉, sin 0 = 0, sin(1

2π) = 1,

G4) limx→0sin x

x= 1.

Poznámka.Základní limity (shrnutí):

limx→0

ln(x+ 1)

x= 1 , lim

x→0

ex − 1

x= 1 ,

limx→0

sinx

x= 1 , lim

x→0

cosx− 1

x2= −

1

2.



Definice. Funkcitangensznacímetg a definujeme predpisem

tg x =sinx

cosx

pro každé reálnéx, pro než má zlomek smysl, tj.

D(tg) = x ∈ R; x 6= (2k + 1)π/2, k ∈ Z.

Symbolemcotg budeme znacit funkci kotangens, která je definována na množineD(cotg) = x ∈ R; x 6=kπ, k ∈ Z predpisem

cotg x =cosx

sinx.

Definice(zavedení cyklometrických funkcí). Cyklometrickými funkcemi budeme rozumet funkcearkus-sinus (arcsin), arkuskosinus (arccos), arkustangens(arctg), arkuskotangens(arccotg), které jsou defi-novány takto

arcsin = (sin |〈−π

2, π

2〉)

−1,

arccos = (cos |〈0,π〉)−1,

arctg = (tg |(−π

2, π

2))

−1,

arccotg = (cotg |(0,π))−1.

Tvrzení 2.16(vlastnosti cyklometrických funkcí). Funkcearcsin, arccos, arctg, arccotg jsou ryze mono-tónní (tedy prosté) funkce na svých definicních oborech a platí:

arcsin roste na〈−1, 1〉 , arcsin(〈−1, 1〉) =⟨

−π

2,π

2

⟩

,

arccos klesá na〈−1, 1〉 , arccos(〈−1, 1〉) = 〈0, π〉 ,

arctg roste naR , arctg(R) =(

−π

2,π

2

)

,

arccotg klesá naR , arccotg(R) = (0, π) .

Definice (hyperbolické funkce). Hyperbolickými funkcemi budeme rozumet funkce hyperblický sinus(sinh), hyperbolický kosinus (cosh), hyperbolický tangens (tgh) a hyperbolický kotangens (cotgh), kteréjsou definovány takto

sinhx =ex − e−x

2, D(sinh) = R,

coshx =ex + e−x

2, D(cosh) = R,

tghx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x, D(tgh) = R,

cotghx =coshx

sinhx=ex + e−x

ex − e−x, D(cotgh) = R \ 0 .

Definice (inverzní hyperbolické funkce). Inverzními hyperbolickými funkcemi (nekdy téžhyperbolo-metrickými funkcemi ) budeme rozumet funkce argument hyperbolického sinu (argsinh), argument hyper-bolického kosinu (argcosh), argument hyperbolické tangenty (argsinh), argument hyperbolické kotangenty(argcotgh), které jsou definovány takto

argsinh = (sinh)−1,

argcosh = (cosh |〈0,∞))−1,

argtgh = (tgh)−1,

argcotgh = (cotgh)−1.



Tvrzení 2.17(vlastnosti hyperbolometrických funkcí I). Hyperbolometrické (inverzní hyperbolické) funkcejsou prosté na svých definicních oborech, pricemž

• argsinh roste naD(argsinh) = R, a argsinh(R) = R,

• argcosh roste naD(argcosh) = 〈1,+∞), a argcosh(〈1,+∞)) = 〈0,+∞),

• argtgh roste naD(argtgh) = (−1, 1), a argtgh((−1, 1)) = R,

• argcotgh klesá na(−∞,−1) a na (1,+∞) (ale nikoli na celémD(argcotgh) = R \ 〈−1, 1〉), aargcotgh(R \ 〈−1, 1〉) = R.

Poznámka(vlastnosti hyperbolometrických funkcí II). Existuje vyjádrení hyperbolometrických funkcí po-mocí funkceln (srovnejte to se skutecností, že hyperbolické funkce jsou definovány pomocí funkceexp).Platí:

argsinhx = ln(x+√

x2 + 1), x ∈ R,

argcoshx = ln(x+√

x2 − 1), x ∈ 〈1,+∞),

argtghx =1

2ln

1 + x

1 − x, x ∈ (−1, 1),

argcotghx =1

2lnx+ 1

x− 1, x ∈ R \ 〈−1, 1〉.

Veta 2.18. Funkcelog, exp, sin, cos, tg, cotg, arcsin, arccos, arctg, arccotg, sinh, cosh, tgh, cotgh,argsinh, argcosh, argtgh, argcotgh jsou spojité na svých definicních oborech.

Poznámka.Termínemelementární funkcebudeme oznacovat funkce1, x, exp(x), sinx, a všechny funkce,které lze z techto funkcí obdržet aplikováním konecného poctunásledujících operací:

• scítání, odcítání, násobení, delení,

• skládání funkcí,

• zúžení (restrikce) funkce a vytvorení inverzní funkce.

Poznámka(komplexní exponenciála). • Lze dokázat (napríklad z teorie mocninnýchrad), že platí

sinx =eix − e−ix

2i, cosx =

eix + e−ix

2, x ∈ R,

tedyeix = cosx+ i sinx , x ∈ R.

• V tomto smyslu (tj. uvažujeme-li komplexní funkce) je tedy exponenciála základní elementární funk-cí, nebot’ všechny goniometrické (i hyperbolické) funkce lze vyjádrit jejím prostrednictvím.

Poznámka(nedefinované výrazy v obecné mocnine). Protože mámeab = exp(b ln a) (pro a>0), je výrazab

nedefinován (i ve smyslu aritmetiky rozšírené reálné osy) práve tehdy, když je nedefinován výrazb ln a, tj.když

b ln a = ”0 · ±∞” nebo b ln a = ” ±∞ · 0”.

Odtud dostáváme následující výrazy v obecné mocnine, které nejsou definovány (ani ve smyslu aritmetikyrozšírené reálné osy):

00, (±∞)0, 1(±∞).



2.5 Grafy nekterých elementárních funkcí



Bonus I: Recká abeceda

A, α alfa N, ν ný

B, β béta Ξ, ξ ksí

Γ, γ gamma O, o omikron

∆, δ delta Π, π pí

E, ǫ, ε epsílon P, ρ ró

Z, ζ (d)zéta Σ, σ sígma

H, η éta T, τ tau

Θ, θ, ϑ théta Y, υ ypsilon

I, ι ióta Φ, ϕ fí

K, κ,κ kappa X, χ chí

Λ, λ lambda Ψ, ψ psí

M, µ mý Ω, ω ómega



Bonus II: Goniometrické a hyperbolické funkce (porovnání)

sinx =eix − e−ix

2isinhx =

ex − e−x

2

cosx =eix + e−ix

2coshx =

ex + e−x

2

eix = cosx+ i sinx ex = coshx+ sinhx

sin2 x+ cos2 x = 1 cosh2 x− sinh2 x = 1

sin 2x = 2 sinx cosx sinh 2x = 2 sinhx coshx

cos 2x = cos2 x− sin2 x cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x

sin2 x

2=

1 − cosx

2sinh2 x

2=

coshx− 1

2

cos2x

2=

1 + cosx

2cosh2 x

2=

coshx+ 1

2

sin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin y sinh(x+ y) = sinhx cosh y + coshx sinh y

sin(x− y) = sinx cos y − cosx sin y sinh(x− y) = sinhx cosh y − coshx sinh y

cos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y cosh(x+ y) = coshx cosh y + sinhx sinh y

cos(x− y) = cosx cos y + sinx sin y cosh(x− y) = coshx cosh y − sinhx sinh y

sinx+ sin y = 2 sinx+ y

2cos

x− y

2sinhx+ sinh y = 2 sinh

x+ y

2cosh

x− y

2

sinx− sin y = 2 cosx+ y

2sin

x− y

2sinhx− sinh y = 2 cosh

x+ y

2sinh

x− y

2

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2cos

x− y

2coshx+ cosh y = 2 cosh

x+ y

2cosh

x− y

2

cosx− cos y = −2 sinx+ y

2sin

x− y

2coshx− cosh y = 2 sinh

x+ y

2sinh

x− y

2

sin(ix) = i sinhx sinh(ix) = i sinx

cos(ix) = coshx cosh(ix) = cosx

sin(x+ iy) = sinx cosh y + i cosx sinh y

cos(x+ iy) = cosx cosh y − i sinx sinh y

sinh(x+ iy) = sinhx cos y + i coshx sin y

cosh(x+ iy) = coshx cos y + i sinhx sin y


2 Funkce jedné reálné promennéˇ - cuni.czrokyta/vyuka/1314/zs/F_apl_mat/Ap… · (P2) fje...

Documents

Transcript of 2 Funkce jedné reálné promennéˇ - cuni.czrokyta/vyuka/1314/zs/F_apl_mat/Ap… · (P2) fje...