2. ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE)

Elektrokinetika - proučava usmereno kretanje nosioca naelektrisanja.

Takvo kretanje naelektrisanja se naziva STALNA ELEKTRIČNA STRUJA.

Uzroci kretanja nosioca naelektrisanja mogu biti:

- električne sile i

- neelektrične sile (hemijske, mehaničke, toplotne, ….)

2.1. POLJA STALNIH STRUJA

2.1.1. SREDNJA MAKROSKOPSKA BRZINA KRETANJA SLOBODNIH

NOSIOCA NAELEKTRISANJA

Provodnik bez prisustva električnog polja

- Haotično termičko kretanje slobodnih nosioca naelektrisanja

- Za mali element zapremine dV važi:

srednja makroskopska brzina jednaka je nuli

0srv Q

Provodnik u stranom električnom polju E

- Posmatramo (+Q) pozitivne nosioce naelektrisanja

- Složeno kretanje nosioca naelektrisanja:

Kretanje pod dejstvom polja E , termičko kretanje.

- Rezultat ovakvog složenog kretanja:

srednja brzina kretanja naelektrisanja u maloj zapremini dV je različita od nule 0v

- Uvodimo sledeće oznake:

N - zapreminska gustina nosioca naelektrisanja

Q - količina naelektrisanja jednog nosioca

v - srednja brzina kretanja naelektrisanja u zapremini dV

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ + +

+ + + N

dV

E

+ +

+ +

+ +

+

+ +

+

+

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ v

J

+ +

+ +

+

+ +

+ + Q

+ +

+

2.1.2. VEKTOR GUSTINE STRUJE (J ) I STRUJNO POLJE

Vektor gustine struje J - vektorska veličina koja opisuje prosečno kretanje nosioca naelektrisanja u zapremini dV :

3 1 1 2 2/J NQv Cm ms Cs m A m

- Pravac i smer J poklapa se sa v .

Strujno polje - prostor u kome se kreću naelektrisanja pod dejstvom električnog polja.

- Strujno polje se prikazuje linijama strujnog polja (strujnice).

- Smer vektora J određuje tzv. tehnički smer struje.

- Homogeno strujno polje : J const .

nehomogeno

strujno polje

homogeno

strujno polje

2.1.3. SPECIFIČNA PROVODNOST I SPECIFIČNA OTPORNOST PROVODNIKA. OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU

Pretpostavke:

- polje E nije suviše jako - rastojanje između sudara je malo

Posledica: Postoji linearna veza između J i E

J E

- specifična provodnost materij. /S m

ne zavisi od polja E .

E J , 1/ - specifična otpornost materijala m

Omov zakon u lokalnom obliku

Ralacije J E i E J predstavljaju Omov zakon u lokalnom obliku.

+

+

+

+ +

+ + +

+ +

+

+

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+ +

+ +

SAVRŠENI PROVODNIK I IZOLATOR. REALNI PROVODNIK

Savršeni provodnik:

0 , , 0J 0 0E J J

Savršeni izolator:

, 0 , 0E 0 0J E E

Realni provodnik:

, 0J , 0E

2.1.4. JAČINA STRUJE

Jačina struje I kroz površ S predstavlja brzinu proticanja naelektrisanja kroz tu površ:

SdqI

dt A

I se može iskazati i preko fluksa vektora gustine struje J kroz površ S :

S

I JdS

- Jačina struje je veličina koja se uvek odnosi na neku površ (S ).

- Jačina struje je usmerena skalarna veličina:

Referentni smer I - smer usvojene normale n u odnosu na površ S .

Algebarska vrednost (I ) se računa u odnosu na usvojeni referentni smer.

Ako se promeni referentni smer (smer normale), algebarska vrednost I menja znak.

S

2.1.5. STACIONARNA (STALNA) STRUJNA POLJA

U slučaju stacionarnog strujanja nema nagomilavanja naelektrisanja u proizvoljno izabranu zatvorenu površ S , pa važi

0S

JdS

Odavde sledi zakon stalnih struja

Zakon stalnih struja

Jačina struje provodnika je ista kroz bilo koji poprečni presek tog provodnika:

1 2

1 2

S S

I JdS JdS I I

Zbog toga, poprečni presek nije od značaja za opisivanje stalnih struja.

Linijske struje; referentni smer struje

- U praksi, struje teku kroz provodnike u obliku žica koje aproksimiramo linijama.

- Struju duž te linije nazivamo linijska struja.

- Linijska struja je usmerena skalarna veličina definisana sa:

referentnim smerom i

algebarskom vrednošću I u odnosu na referentni smer.

Referentni smer se označava strelicom pored linije provodnika.

Znak algebarske vrednosti struje pored intenziteta struje sadrži i znak:

ako je I 0, stvarni smer struje poklapa se sa referentnim smerom,

ako je I 0, stvarni smer struje je suprotan od referentnog smera.

2.1.6. DŽULOVI GUBICI U STRUJNOM POLJU

Snaga Džulovih gubitaka u zapremini dV :

JdP JEdV

Zapreminska gustina snage Džulovih gubitaka:

JdPJE

dV

Ukupna snaga Džulovih gubitaka:

J

V

P EJdV +

+

+ +

+

+ + +

+ +

+

+

+ +

+ +

+

+

+ +

+

+

+

+

+

+ +

+ +

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+

+

+ +

+ +

+ +

Slučaj: provodnik je linearan

2 2

2 2JdP EJ E JE EE E J

dV

Slučaj: savršen linearni provodnik ( , J konačno)

2 2

0JdP J J

dV

, 0JdP

dV

Slučaj: savršen linearni izolator ( , E konačno)

2 2

0JdP E E

dV

, 0JdP

dV

2.1.7. GENERATORI ELEKTRIČNE STUJE

Generatori električne struje

Koriste neelektrične (strane) sile za premeštanje naelektrisanja ka polovima gen.

Neelektrične (strane) sile mogu biti:

- hemijske (baterije, akumulatori) , - mehaničke (elektrogeneratori), - svetlosne (svetlosni detektori i diode)

iF - neelektrična sila deluje na nosioce naelektrisanja u generatoru

Rezultat dejstva neelektrične sile iF :

- razdvajanje pozitivnih i negativnih naelektrisanja ka polovima gener. (+,-)

- usled razdvajanja naelektrisanja stvara se sopstveno električno polje gE ,

- gE deluje na naelektrisanja električnom silom gF ,

- električna sila gF teži da naelektrisanja vrati na pređašnje pozicije.

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

ELEKTRIČNO POLJE U GENERATORU

Efekat razdvajanja naelektrisanja može se opisati pomoću fiktivno uvedenog električnog polja stranih sila:

/i iE F Q

Ukupna sila F koja deluje na jedan nosilac naelektrisanja Q u generatoru:

g i g i g iF F F QE QE Q E E

g iE E - ukupna jačina električnog polja u generatoru

gE - jačina električnog polja u generatoru usled razdvojenih naelektrisanja

iE - jačina fiktivno uvedenog električnog polja stranih sila u generatoru

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

GENERATOR U PRAZNOM HODU. ELEKTROMOTORNA SILA

- Generator - dve metalne elektrode sa provodnim slojem između njih

- Električna provodnost provodnog sloja iznosi g .

- Generator se nalazi u neprovodnoj sredini, 0 , pa nema kretanja

naelektrisanja van generatora 0sJ .

- Polje u generatoru: g iE E E

- Gustina električne struje:

g g g iJ E E

- Polje van generatora: sE

- Pod dejstvom polja iE , naelektrisanja u

generatoru se kreću ka njegovim polovima sve dok se ne uspostavi ravnotežno stanje.

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

Neprovodna sredina

Ravnotežno stanje u generatoru (prazan hod) nema kretanja naelektrisanja u generatoru

0g g g i g iJ E E E E

Napon praznog hoda generatora:

0

b b a

ab g i i

a a b

U E dl E dl E dl

Elektromotorna sila emsE jednaka je naponu

praznog hoda 0abU :

0

a

ems i ab

b

E E E dl U V

emsE (kraće E ) ima dimenziju napona, mada po prirodi ona nije napon.

emsE - opisuje efekat dejstva stranih sila na nosioce naelektrisanja u generatoru.

a

b

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

Ravnotežno stanje generatora

u praznom hodu

+

GENERATOR U NOMINALNOM REŽIMU. STRUJNO POLJE

- Polove generatora povezujemo provodnom sredinom ( 0) .

- Naelektrisanja sa pola „+“ generatora prelaze u provodnu sredinu krećući se duž linija polja ka polu „-“ generatora.

- Strujno polje u generatoru:

( ) 0 0g g g i g i

i g

J E E E E

E E

- Strujno polje u spoljašnjoj sredini

s sJ E

- Uspostavlja se usmereno kretanje naelektrisanja u smeru pobudnog polja

iE kroz generator.

a

b

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

Provodna sredina

2.1.8. STRUJNO KOLO

Najprostije električno kolo sastoji se iz:

Generatora - delovi kola u kojima se vrši razdvajanje naelektrisanja.

Otpornika - delovi kola sa dominantnim Džulovim gubicima.

Veznih provodnika - otpornici sa vrlo malim gubicima ( 0) .

a

b

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

strujnice

otpornik

Vezni provodnik

generator

OTPORNICI - delovi kola sa dominantnim Džulovim gubicima

J je ravnomerno raspodeljen po preseku otpornika

abIJ

S , abIJ

ES

b b

abab ab ab

a a

I lU Edl dl I RI

S S

ab abU RI napon otpornika

l l

RS S

otpornost otpornika

ab abI GU struja otpornika

1 S

G SR l

provodnost otpornika

a

b

+ + + + + +

- - - - - - - -

Električna šema otpornika; označavanje napona i struja

- Korišćenje indeksa

ab abU RI

ab abI GU

- Korišćenje referentnih smerova

U RI

I GU

referentni smer za U

referentni smer za I

Omov zakon za stalne struje

Jačina struje kroz provodnik je direktno proporcionalna naponu između njegovih

krajeva.

U

I GUR

Nagib linearne zavisnosti iznosi 1

tan GR

Snaga otpornika (Džulovi gubici)

2 22 2 2

2 2

2 22

2

0JJ

V

J

J

P I I lJ P Sl I RI

V S S S

U UP RI R

R R

UP RI RI UI

R

Usklađeni i neusklađeni referentni smerovi napona, struje i snage

I teče sa „+“ na „-“ U I teče sa „-“ na „+“ U

usklađeni neusklađeni

a

b

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

GENERATORI

Prazan hod generatora

Napon praznog hoda generatora (ems)

0ab emsU E E

Generator priključen na prijemnik

Struja generatora:

gI J S

Napon generatora:

ab gU U E R I

Unutrašnja otpornost generatora:

g

g

lR

S

a

b

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

Električna šema generatora; označavanje napona i struja

Korišćenje indeksa

ab ba g baU E R I

Korišćenje referentnih smerova

gU E R I

emsE E

g

g

dR

S

+

+

referentni smer za U

referentni smer za E

referentni

smer za I

a

b

- - - - - - - -

+ + + + + + + +

+

Relacije između ems, napona i struje realnog naponskog generatora

I teče sa „-“ na „+“ U I teče sa „+“ na „-“ U

(„gR I “) („

gR I “)

Standarno označavanje!!!

+

+

+

+

+

+

+

+

Snaga Džulovih gubitaka u generatoru (na unutrašnjoj otpornosti gR )

2 0Jg gP R I , gU E R I

2

E gg

Jg g g E g

P PR I

P R I R I I E U I EI UI P P

Snaga generatora

EP EI , 0EP

Korisna snaga generatora

Snaga koju generator predaje prijemniku:

gP UI

Snaga generatora EP jednaka je zbiru:

gE JgPP P

0EP - generator radi kao IZVOR (U E )

0EP - generator radi kao POTROŠAČ (U E )

gP korisna snaga generatora

JgP snaga gubitaka u generatoru

IDEALNI NAPONSKI GENERATOR

To je generator sa savršeno provodnom sredinom

0gR

U E

EP EI

g EP UI EI P

2 0Jg gP R I

+

+

2.2. KOLA STALNIH STRUJA

Primer. Prosto električno kolo

U RI (napon otpornika)

gU E IR (napon generatora)

EP EI (snaga generatora)

22 0

UP UI RI

R (snaga prijemnika)

2 0Jg gP R I (Džulovi gubici u generatoru)

+

+

izdvojenje unutrašnje

otpornosti Rg iz

generatora

+

+

realni generator

(E,Rg)

2.2.1. KIRHOFOVI ZAKONI

Kirhofovi zakoni su osnovne jednačine za analizu i rešavanje električnih kola.

PRVI KIRHOFOV ZAKON

Algebarski zbir svih stalnih linijskih struja koje se sustiču u jednom čvoru jednak je nuli. Pri tome, struje koje ističu iz čvora uzimaju se sa predznakom „+“, a struje koje utiču u čvor sa predznakom „-“.

0jčvorI

Primer. Za čvor 1: 1 2 0I I I

Za čvor 2: 1 2 0I I I

Napomena. Druga jednačina je zavisna od prve jer se dobija množenjem sa -1 . Broj nezavisnih jednačina po I KZ je broj čvorova manje jedan.

+

NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U KOLU

Napon između tačaka a i b, abU , određuje se kao algebarski zbir članova E i RI

duž proizvoljnog puta u kolu od druge tačke b do prve tačke a , odnosno

,a

ab bU E RI

Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranja isti kao i smer ems, inače uzima se sa predznakom „-“. Član RI uzima se sa predznakom „-“ ako je smer sumiranja isti kao i referentni smer struje I , inače uzima se sa predznakom „+“.

Primer.

I putanja: 1

duž putanje b-a

abU E R I

II putanja: 3 2

duž putanje b-a

abU R I R I

I putanja

II putanja

+

DRUGI KIRHOFOV ZAKON

Algebarski zbir sabiraka E i RI za proizvoljnu zatvorenu konturu u električnom kolu iznosi nula

, 0a

aa aU E RI

Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranja isti kao i referentni smer ems, inače uzima se sa predznakom „-“. Član RI uzima se sa predznakom „-“ ako je smer sumiranja isti kao i referentni smer struje I , inače uzima se sa predznakom „+“.

Primer. Primena II KZ

Zatvorena putanja 1C za sumiranje napona:

1: 2 3 1 0R I R I E R I

Zatvorena putanja 2C za sumiranje napona:

2: 1 3 2 0R I E R I R I

+

2.2.2. PROSTO KOLO SA JEDNIM NAPONSKIM GENERATOROM

II Kirhofov zakon:

0gRI E IR

Omov zakon za prosto strujno kolo sa jednim generatorom i jednim otpornikom

g

EI

R R

Napon na krajevima otpornika:

R

g

RU RI E

R R

Napon izvora:

1g

g g g

RR RU E RI E E E E

R R R R R R

+

+

+

OMOV ZAKON ZA PROSTO KOLO

Na osnovu prethodnog primera može se formulisati Omov zakon za prosto kolo koje sadrži jedan generator i više otpornika.

Jačina struje u prostom kolu, koje se sastoji iz jednog realnog naponskog generatora i više redno vezanih otpornika, jednaka je količniku elektromotorne sile generatora i zbira otpornosti otpornika.

Pri tome se referentni smer struje poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile.

g i

EI

R R

2.2.3. PROSTO KOLO SA VIŠE NAPONSKIH GENERATORA I OTPORNIKA

Posmatrajmo kolo sa slike.

II Kirhofov zakon:

1 2 2 3 4 3 5 0E R I R I E R I R I E R I

Jačina struje iznosi:

1 2 3

1 2 3 4 5

EE E EI

R R R R R R

(Uopšteni omov zakon)

+

+

+

UOPŠTENI OMOV ZAKON

Jačina struje u prostom kolu, koje se sastoji iz više idealnih naponskih generatora i više redno vezanih otpornika, jednaka je količniku algebarske sume elektromotornih sila generatora i zbira otpornosti svih otpornika.

EI

R

U zbir E ems ulazi sa predznakom plus ako se referentni smer ems poklapa

sa referentnim smerom struje, a sa predznakom minus ako su ti smerovi suprotni.

2.2.4. VEZIVANJE OTPORNIKA

Otpornici se mogu vezivati:

- redno,

- paralelno,

- mešovito,

- u zvezdu i

- u trougao.

REDNA VEZA OTPORNIKA

Kroz sve otpornika u rednoj vezi protiče ista struja I .

II Kirhofov zakon:

1 1 1 1

N N N N

i i i e e i

i i i i

U U R I I R IR R R

Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika jednaka je zbiru otpornosti

otpornika koji učestvuju u vezi.

Naponski razdelnik

Redna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se naziva naponski razdelnik.

II K.Z.: 1 2 0U R I R I

Struja: 1 2

UI

R R

Naponi:

1 1U R I , 11

1 2

RU U U

R R

2 2U R I , 22

1 2

RU U U

R R

Naponi na pojedinačnim otpornicima su manji od napona redne veze.

+

+

+

PARALELNA VEZA

Svi otpornici su priključeni na isti napon U .

I Kirhofov zakon

1 1 1 1

1 1 1N N N N

i

i i i ii i e e i

U UI I U

R R R R R

Recipročna vrednost otpornosti paralelne veze otpornika jednaka je zbiru recipročnih vrednosti otpornosti otpornika koji u njoj učestvuju.

Slučaj 2N : 1 2

1 2

e

R RR

R R

Strujni razdelnik

Paralelna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se naziva strujni razdelnik.

Naponi:

1 1U R I , 2 2U R I , 1 2

1 2

R RU I

R R

Struje:

21 1

1 1 2

RUI I I I

R R R

12 2

2 1 2

RUI I I I

R R R

Struja paralelne grane je manja od struje zajedničke grane.

+

TRANSFIGURACIJA ZVEZDA-TROUGAO

12 131

12 23 13

12 232

12 23 13

13 233

12 23 13

R RR

R R R

R RR

R R R

R RR

R R R

1 212 1 2

3

1 313 1 3

2

2 323 2 3

1

R RR R R

R

R RR R R

R

R RR R R

R

2

1 3

2

0 1 3

zvezda-trougao

trougao- zvezda

2.2.5. REDNA I PARALELNA VEZA REALNIH NAPONSKIH GENERATORA

REDNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA

Ekvivalentna ems i unutrašnja otpornost redne veze više generatora iznosi:

i

g gi

E E

R R

U algebarskoj sumi, iE E , znak ems iE se uzima sa predznakom „+“

ako se smer ems poklapa sa referentnim smerom ekvivalentnog generatora

.E Inače, uzima se sa predznakom „-“.

+

+ +

+

+

+

PARALELNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA

Ekvivalentna elektromotorna sila i unutrašnja otpornost paralelne veze više generatora iznosi:

1

1

1

ni

igi

n

igi

E

RE

R

1

1 1n

ig giR R

U algebarskoj sumi 1

/n

i giiE R

znak ems iE

uzima se sa predznakom „+“ ako se njen smer poklapa sa usvojenim referentnim smerom

ekvivalentnog generatora E . Inače, uzima se sa predznakom „-“..

+

+

2.3. SLOŽENA KOLA STALNIH STRUJA

Grana je redna veza proizvoljnog broja elemenata kola (otpornika i generatora). Broj grana obeležavamo sa gn . Prema slici, 8gn .

Čvor je mesto na kome se spaja tri ili više grana kola. Čvorove označavamo punim kružićima a njihov broj označavamo sa čn . Za kolo sa slike je

5čn . Grana je deo kola koji

neposredno spaja dva čvora duž koje nema grananja strujnog puta.

Kontura je proizvoljan zatvoreni put sačinjen od grana kola (C1-C4).

Nezavisna kontura je kontura koja sadrži bar jednu granu koja pripada samo njoj i nijednoj više (C1-C4).

+

+

+ +

+

2.3.1. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH KOLA

METODA DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA

- Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana.

- Broj nepoznatih struja jednak je broju grana gn .

- Koraci metode direktne primene Kirhofovih zakona (KZ):

1. prebrojavanje broja čvorova čn i grana gn kola,

2. usvajanja referentnih smerova za struje grana kola,

3. pisanje 1I čn n jednačina po I KZ za In usvojenih čvorova,

4. pisanje II g In n n jednačina po II KZ za IIn usvojenih nezavisnih kontura,

5. rešavanje sistema linearnih jednačina po nepoznatim strujama.

Primer. Primenom Kirhofovih zakona odrediti nepoznate struje grana kola sa slike.

Rešenje.

1. 4čn , 6gn

2. Referentni smerovi struja.

3. 4 1 3In jednačine po I KZ:

čvor 1: 1 2 3 0I I I

čvor 2: 1 4 6 0I I I

čvor 3: 3 4 5 0I I I

+

+

+

+

4. 6 3 3II g In n n jednačine po II KZ.

Usvojimo tri nezavisne konture 1C , 2C , i 3C i pišemo tri jednačine po II KZ.

kontura 1C : 1 1 1 3 3 4 4 4 0E R I R I R I E

kontura 2C : 2 2 2 5 5 3 3 0R I E R I R I

kontura 3C : 6 6 6 5 5 4 4 4 0R I E R I R I E

5. Rešavanje sistema od 6 linearnih jednačina (3 po I KZ i 3 po II KZ) po strujama grana 1I , …, 6I .

Nedostatak: Ukoliko kolo ima veliki broj grana, dobija se sistem sa velikim brojem linearnih jednačina.

+

+

+

+

METODA KONTURNIH STRUJA

Prednosti u odnosu na KZ:

- postavlja se manji broj jednačina nego kod KZ,

- sistem jednačina se postavlja na veoma jednostavan način.

Posmatramo složeno kolo sa čn čvorova i gn grana sa svim poznatim

elementima kola (naponskim generatorima i otpornicima).

Koraci metode konturnih struja

1. Odaberimo i orijentišimo ( 1)k g čn n n

nezavisnih kontura , 1, ,i kC i n u kolu.

2. Zamislimo da se duž svake konture zatvara jedna nezavisna struja (konturna struja). Neka se referentni smer konturne struje poklapa sa orijentacijom odgovarajuće konture. Takvih konturnih struja ima kn i obeležimo ih sa

1, ,kk knI I .

+

+

3. Sistem jednačina po konturnim strujama:

11 1 12 2 1 1

12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

k k

k k

k k k k k k

k k n kn k

k k n kn k

n k n k n n kn kn

R I R I R I E

R I R I R I E

R I R I R I E

, 1, ,ii kR i n - aritmetički (običan) zbir otpornosti svih grana kola koje

pripadaju i -toj konturi (sopstvena otpornost i -te konture) uvek sa predznakom „+“.

, , 1, , ,ij ji kR R i j n i j - aritmetički zbor otpornosti svih grana kola

koje istovremeno pripadaju i -toj i j -toj konturi (međusobna otpornost i -te i

j -te konture), uzet sa predznakom „+“ ako se duž zajedničkih grana poklapaju

smerovi tih kontura, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni. Ako

konture nemaju zajedničke grane, onda je 0ijR .

, 1, ,ki kE i n - algebarski zbir elektromotornih sila svih idealnih naponskih

generatora grana koje pripadaju i -toj konturi (elektromotorna sila i -te konture). U ovaj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako se orjentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile, a sa predznakom „-“ ako su smerovi suprotni.

Rešavanjem sistema jednačina 1, ,kk knI I .

Struje grana se određuju na sledeći način:

- Struja u nezavisnoj grani neke konture jednaka je konturnoj struji te konture.

- Struja u grani koja pripada većem broju kontura jednaka je algebarskom zbiru konturnih struja koje kroz tu granu protiču. Pri tome, konturna struja ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se njen referentni smer podudara sa referentnim smerom struje u grani, inače se uzima sa predznakom „-“.

Primer. Odrediti jačine struja grana kola sa slike koristeći metod konturnih struja.

2čn , 3gn

( 1) 2k g Čn n n (2 nezavisne konturne struje)

11 k1 12 2 k1

21 1 22 2 k2

k

k k

R I R I E

R I R I E

11 1 22 2 12 21, ,R R R R R R R R R

1 1 2 2k kE E E E

1 1 k2 1

1 2 2 2

( )

( )

k

k k

R R I RI E

RI R R I E

11 1

22 2

k

k

IR R R E

IR R R E

1 1 2 2 1 2k k k kI I I I I I I

+

+

+

+

2.4. PRILAGOĐENJE PRIJEMNIKA PO SNAZI Posmatramo električno kolo sa slike.

Problem:

Odredi otpornost R prijemnika tako da njegova snaga RP bude maksimalna.

Rešenje. Jačina struje kola iznosi:

g

EI

R R

Snaga koja se razvija u prijemniku iznosi:

22 2

2 20

( ) ( )R

g g

E RP RI R E

R R R R

+

Maksimalna snaga na prijemniku dobija se iz uslova:

0RdP

dR ,

2

2

4

( ) 2( )0

( )

g gR

g

R R R R RdPE

dR R R

2( ) 2( ) 0 2 0g g gR R R R R R R R

gR R

U prijemniku se razvija maksimalna snaga ako je njegova otpornost jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora.

Uslov gR R predstavlja uslov prilagođenja po snazi.

Prijemnik otpornosti gR R se naziva prilagođeni prijemnik.

Maksimalna snaga prijemnika (snaga prilagođenog prijemnika) iznosi:

2

2 2

max 2 2( ) ( ) 4

g

R

g g g g

RR EP E E

R R R R R

Snaga generatora u uslovima prilagođenja iznosi:

2 2

2gE R R

g g g g

E E EP EI E

R R R R R

Koeficijent korisnog dejstva generatora:

R

E

P

P

za usklađeni prijemnik:

2

max

2

/ 4 1

/ 2 2g

g

gR

R RE gR R

E RP

P E R

Snaga generatora EP troši se na:

gubitke u samom generatoru: 2

EJ

PP

snagu prijemnika: 2

ER

PP

2.5. KOLA SA KONDENZATORIMA

Električna kola stalne struje mogu da sadrže i kondenzatore.

Referentni smer za količinu naelektrisanja Q :

Vrh strelice kod oznake za količinu naelektrisanja Q ukazuje na usvojeni

„pozitivni kraj“ kondenzatora.

Usaglašeni referentni smerovi za Q i U

Q CU

Neusaglašeni referentni smerovi za Q i U

Q CU

Procesi punjenja i pražnjenja kondenzatora ne dešavaju se trenutno.

Dokaz: Ukoliko bi se punjenje ili pražnjenje kondenzatora odigravalo trenutno, tada bi protekla količina naelektrisanja kroz kondenzator bila beskonačna, što je praktično nemoguće.

Stacionarno stanje kondenzatora

Stanje kondenzatora u kome nema promene količine naelektrisanja na njegovim krajevima.

Prelazno stanje kondenzatora

Proces tokom koga se vrši punjenje, odnosno pražnjenje kondenzatora.

Prelazna stanja kondenzatora ne razmatramo.

2.5.1. ANALIZA PUNJENJA KONDENZATORA

Otvoren prekidač

Početno stacionarno stanje u kolu

Kondenzator je neopterećen ( 0 0Q )

Napon na njegovim krajevima iznosi:

0 0 / 0CU Q C

Struja kroz kondenzator je nula ( 0I ), a generator i kondenzator su fizički razdvojeni.

Zatvaren prekidač

Prelazno stanje

Kroz kolo počinje da teče naelektrisanje ( )q t stvarajući

promenljivu struju ( )i t .

II KZ: ( ) ( )CE Ri t u t

Zatvaren prekidač

( )q t - ukupno naelektrisanje proteklo kroz kondenzator od prethodnog

stacionarnog stanja do posmatranog vremenskog trenutka t .

Prema usvojenim referentnim smerovima važi:

0( ) ( )Q t Q q t

( )q t dovodi do postepenog nagomilavanja naelektrisanja na elektrodama C.

Drugo stacionarno stanje u kolu nastaje kada t

prestaje punjenje kondenzatora,

struja kroz kondenzator je nula ( 0I ),

svi naponi u kolu ( ( )C Cu t U ) i struje grana koje ne sadrže kondenzatore

postaju konstantni.

( )q q - ukupno naelektrisanje proteklo kroz kondenzator između dva

stacionarna stanja

Opterećenje kondenzatora u drugom stacionarnom stanju

0( )Q Q Q q

II KZ:

0 C C CE R U U U E

Prethodna jednačina se može zapisati na sledeći način:

00C

Q qQE U q EC Q

C C

2.5.2. ANALIZA PRAŽNJENJA KONDENZATORA

Otvoren prekidač

Početno stacionarno stanje

Napon na krajevima kondenzatora iznosi:

0 0 /CU Q C , 0Q - poznato

Zatvoren prekidač

Prelazno stanje

Kroz kolo počinje da teče naelektrisanje ( )q t

stvarajući promenljivu struju ( )i t

Fizički smer struje pražnjenja je suprotan u odnosu na smer pri punjenju kondenzatora.

0( ) ( )Q t Q q t

( )q t rasterećuje elektrode kondenzatora

Prelazno stanje

II KZ: ( ) ( ) 0CRi t u t

Drugo stacionarno stanje u kolu nastaje kada t

prestaje pražnjenje kondenzatora,

struja kroz kondenzator je nula ( 0I ),

svi naponi ( ( )C Cu t U ) i struje grana postaju konstantni.

( )q q ukupno proteklo naelektrisanje između dva stacionarna stanja

naelektrisanje na oblogama kondenzatora u drugom stac. stanju

0( )Q Q Q q

II KZ:

0 0 0C CR U U

000 C

Q Q qU q Q

C C