- 14 -

2. 방사선과 물질의 상호작용

핵물리실험에서 사용하는 입자검출기의 원리는 기본적으로 방사선과 물질의 상호작용을

이용하는 것이다. 여기서 방사선이란 흔히 광자, 전자/양전자, 알파입자뿐만 아니라 에너지

를 가진 모든 입자를 말한다. 하지만 이러한 상호작용은 입자의 에너지손실, 궤적변경 등

원하지 않는 여러 가지 효과도 동시에 일으킨다는 것에 유의해야만 한다. 그러므로 이러한

상호작용의 이해는 실험장치를 고안하고 데이터를 분석하는데 반드시 필요한 것이다.

2.1 기본적인 정의와 표기법

두 입자의 충돌 또는 상호작용 확률은 일반적으로 산란단면적(cross section)으로 기술

된다. 그림 2.1과 같이 에너지가 인 입자 1(빔)이 고정된 입자 2(표적)와 충돌하는 예를

들어보자. 이때 빔이 표적을 향하여 시간 및 공간에 대해 균일하게 입사한다고 가정하면,

입사빔의 선속(flux) 는 단위시간 당 단위면적 당 입사입자의 수로 정의될 수 있다. 그렇

다면 단위시간당 입체각(solid angle) 로 산란된 입자의 수는 얼마일까? 단위시간 당 산

란된 입자수의 평균을 라고 하면 미분(differential)산란단면적은 다음과 같이 정의된다.

(2.1)

그리고 전체(total)산란단면적은

(2.2)

로 정의된다.

입사빔 단위면적

표적핵

dΩ

그림 2.1 고정표적실험에서 산란단면적을 설명하기 위한 여러 가

지 용어 및 입체각의 정의.

실제 핵충돌 실험을 수행할 때는 표적이 보통 일정한 두께를 갖는 원판모양을 갖고 이

안에는 많은 표적핵이 들어있게 된다. 표적 안의 핵이 밀도 으로 균일하게 분포되어 있고

- 15 -

두께 가 충분히 얇아서 입사입자가 두 번 이상 충돌을 일으킬 확률을 무시할 수 있다면

빔이 보는 단위면적 당 표적핵의 수는 이다. 그리고 빔 단면적이 표적의 면적 보다

넓다면 충돌을 일으킬 수 있는 입사입자의 수는 가 된다. 따라서 단위시간 당 입체각

안으로 산란될 입자수의 평균은

(2.3)

가 되고 산란된 총 입자의 수는

(2.4)

가 된다. 그리고 하나의 입사입자가 두께 내에서 산란될 확률을 구하기 위하여 식 (2.4)

의 양변을 로 나누어 주면 다음을 얻는다.

(2.5)

이제 좀 더 일반적으로 임의의 두께 에 관한 문제를 다루어 보자. 이를 위해 앞에서와

반대되는 질문을 던져보는 것이 유익하다. 즉 입사입자가 표적 안을 만큼 진행한 후에도

상호작용을 하지 않을 확률은 무엇일까? 이를 위해 매질 내에서 거리 를 진행한 후에도

상호작용을 일으키지 않을 확률을 로 정의하고 는 와 사이에서 상호작용

을 일으킬 확률이라고 정의하자. 그러면 와 사이에서 상호작용을 일으키지 않을 확

률은

∙

(2.6)

∙ exp

이 된다. 여기서 는 상수이고 특히 을 만족시키기 위해서는 이어야 한다.

이로부터 까지 진행하는 동안 상호작용이 일어날 확률은

exp (2.7)

이고, 까지는 상호작용이 일어나지 않고 그 이후 와 사이에서 상호작용을 일으킬

확률은

exp (2.8)

가 된다. 이제 평균자유행로(mean free path)라고 불리는 상호작용 없이 입자가 움직일 수

있는 평균거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.

- 16 -

(2.9)

그리고 와 표적의 밀도, 산란단면적을 관련시키기 위해 식 (2.7)을 매우 작은 에 대해

전개한 후 다시 써보면

⋯≃

(2.10)

이 되고, 이를 식 (2.5)와 비교해보면

(2.11)

를 얻게 되므로 식 (2.6), (2.7), (2.8)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

exp exp (2.12)

exp exp (2.13)

exp exp (2.14)

표적의 두께를 표현하는데 자주 사용되는 단위로써 표면밀도(surface density) 또는 질

량두께(mass thickness)라는 것이 있다. 이는 표적의 질량밀도 와 두께 의 곱으로 표현

되며 단위면적 당 질량의 단위를 가진다. 질량두께는 물질의 밀도를 고려함으로써 방사선과

물질의 상호작용을 다룰 때 보통 두께보다 더 유용하게 사용된다.

2.2 무거운 하전입자와 원자의 충돌에 의한 에너지손실

하전입자가 물질을 통과할 때, 주로 물질 내 전자와의 비탄성산란과 핵과의 탄성산란에

의해 에너지를 잃어버리고 경로가 바뀌게 된다. 그 외에도 매우 작은 영향이지만 체렌코프

방사(Cherenkov radiation), 핵반응(nuclear reaction), 제동복사(bremsstrahlung) 등도 영

향을 미치게 된다. 그리고 물질 내에서의 이런 작용은 여러 번 일어날 수 있고 그 효과는

축적된다. 지금부터 하전입자를 전자/양전자와 전자보다 무거운 하전입자(예를 들면, 뮤온,

파이온, 양성자, 알파 등)로 구분하여 논의하도록 하자.

- 17 -

물질 내에서 무거운 하전입자가 진행할 때 에너지손실은 거의 전자와의 비탄성산란에 의

해 발생한다. 이때 충돌에 의해 전달된 에너지는 주로 물질 내 원자의 이온화 또는 들뜸에

사용된다. 이러한 충돌은 다시 부드러운(soft) 충돌과 강한(hard) 충돌로 구분되는데, 부드

러운 충돌은 에너지전달이 작아서 원자의 들뜸만 일어나는 것이고, 강한 충돌은 에너지전달

이 이온화를 일으킬 정도로 충분히 큰 것이다. 그리고 강한 충돌에서는 종종 이온화된 전자

가 또 다른 이차 이온화를 일으키기도 하는데, 이렇게 생성되는 고에너지 전자들을 ‘델타선’

이라 부른다. 이와 같은 비탄성산란의 확률은 양자역학적으로 결정되며 통계법칙에 의한 요

동(fluctuation)을 동반한다. 그러나 실질적으로 충돌사건의 수가 매우 크기 때문에 총 에너

지손실에서의 요동은 매우 적고, 단위길이 당 평균 에너지손실만 고려하여도 충분한 근사가

될 수 있다. 이 평균값을 종종 멈춤도(stopping power) 또는 간단하게 라고 부른다.

이 멈춤도는 처음에 Bohr에 의해 계산되었으며, 아래와 같이 쓸 수 있다 [1].

ln

(2.15)

여기서 는 입사입자의 전하, 는 입사입자의 속도, 는 로렌츠 감마요소

( ), = 0.511 MeV/c2는 (물질 내에 있는) 전자의 질량, max는 구속전자

의 평균진동수(max는 최대 충돌변수)이다. 이 공식은 알파입자 또는 그보다 무거운 다른

하전입자의 에너지손실을 잘 기술한다. 그러나 양자역학적인 효과 때문에 양성자, 파이온

등 상대적으로 가벼운 입자의 에너지손실은 잘 기술하지 못한다.

이와 같은 문제점을 수정하여 식 (2.15)의 양자역학적인 표현식을 처음 유도한 사람이

바로 Bethe와 Bloch이다. 따라서 다음의 식을 Bethe-Bloch 공식이라고 부른다 (엄격히 이

야기하면 와 가 포함된 나중의 두 항은 최초의 Bethe-Bloch 공식에 대한 보정항이다).

ln

max

(2.16)

여기서 = 6.022×1023/mol은 아보가드로수, = 2.817×10-13 cm는 고전적인 전자의

반지름, 는 물질의 밀도, 는 물질의 원자번호, 는 물질의 질량수, 는 평균 들뜸퍼텐셜,

max는 한 번의 충돌에서 가능한 최대 에너지전이, 는 물질 밀도의 보정요소, 는 껍질

(shell) 보정요소이다.

(a) 최대 에너지전이는 정면충돌의 경우에 일어나는데 다음과 같이 구할 수 있다.

max

(2.17)

여기서 , 은 입사입자의 질량이고 이다. ≫ 의 극한에서

- 18 -

는 간단하게 max≃ 이 된다.

(b) 평균 들뜸에너지는 궁극적으로 를 반영하지만 이론적으로 계산하기가 매우 복

잡하다. 그래서 대부분 실험적으로 결정되는데, 근사적으로 다음의 식을 사용한

다.

eV eV ≥

(2.18)

좀 더 자세한 내용은 참고문헌 2와 3을 보기 바란다.

(c) 식 (2.16)에서 δ항은 높은 에너지에서의 보정항이다. 밀도효과는 입사입자의 전기

장이 경로상의 원자를 극화시키므로 발생한다. 이 극화 때문에 경로로부터 멀리

떨어져 있는 전자는 전체 전기장의 세기로부터 차폐(screening)가 된다. 따라서

원자 바깥쪽에 위치한 전자와의 충돌은 총 산란단면적에 상대적으로 작은 공헌을

하게 되는 것이다. 이 효과는 입사에너지가 커질수록 그리고 물질의 밀도가 높을

수록 더 중요해진다. Sternheimer의 연구결과에 따라 다음의 식을 사용한다.

(2.19)

이때 , , , , 은 물질의 종류에 따라 정해지며 표로 제공 된다 [2, 3].

(d) 식 (2.16)에서 가 포함된 항은 낮은 에너지에서의 보정항이다. 이 껍질보정은

입사입자의 속도가 속박전자의 궤도속도 이하일 때 발생한다. 이렇게 낮은 빔에

너지에서 전자표적이 입사입자에 대해 정지해 있다는 가정은 더 이상 성립하지

않으며, Bethe-Bloch 공식은 맞지 않게 된다. 이 보정항은 그리 크지 않으며 다

음 식으로 표현할 수 있다 [4].

×

×

(2.20)

이 식은 ≥ 일 때만 사용할 수 있으며 는 eV 단위로 입력해야 한다.

의 형태는 낮은 에너지(비상대론적 영역)에서 항에 의하여 주로 결정되며

≃ 까지 입사입자의 속도가 증가할수록 계속 감소하다가 최소이온화(minimum

ionizing)라고 불리는 극소점에 도달하고 이 입자를 최소이온화입자(mip)라고 부른다 (그림

2.2). 이 최소이온화 값이 같은 전하량을 갖는 모든 입자에 대해 거의 같음에 유의하라. 최

소이온화점을 지나 에너지가 계속 증가하면 값은 거의 상수가 되고 식 (2.16)의 로그항

때문에 는 서서히 증가한다. 그러나 이 상대론적 영역에서의 증가는 밀도효과 때문에

거의 상쇄 된다 (위의 (c) 참조). 그리고 최소이온화점 이하에서는 입자의 종류에 따라

의 크기가 많이 달라지므로 이를 이용하면 입자구분이 가능해진다. 한편 그림 2.2는

- 19 -

입자가 물질 안에서 속도가 줄어듦에 따라 단위길이 당 에너지손실이 점점 더 커짐을 보여

주고 있다. 그림 2.3은 이를 정량적으로 보여주고 있으며 이를 브래그곡선(Bragg curve)이

라 부른다. 브래그곡선은 대부분의 에너지손실이 입사입자의 경로 끝에서 이루어짐을 보여

주고 있다.

그림 2.2 여러 가지 입자에 대한 에너지 멈춤도 곡선.

그림 2.3 운동에너지가 7 MeV인 알파입자가 구리를 통과할 때의

브래그 곡선.

- 20 -

같은 물질 내에 입사하는 입자들에 대하여 Bethe-Bloch 공식은 가 입사입자의 속

도에만 의존하는 함수라고 할 때 다음과 같은 형태를 갖는다.

(2.21)

그런데 입사입자의 운동에너지 이므로 속도는 의 함수가 된다. 따라서

식 (2.21)은

(2.22)

이 되고, 이를 이용하면 결국

(2.23)

이 성립함을 알 수 있다. 결국 질량이 이고 전하가 인 입자의 를 알고 있다면,

같은 물질 내에서 질량이 이고 전하가 인 입자의 에너지손실을 계산할 수 있을 것이

다. 이것을 의 계수법칙(scaling)이라 부른다.

여러 가지 물질에 대한 를 비교해 보고자할 때는 다음과 같이 를 질량두께

( )로 나타내면 편리하다.

(2.24)

이때 가 크게 변하지 않는다면 많은 물질에 대하여 는 아주 조금 변할 것이다. 그리

고 역시 로그항으로 고려되므로 변화가 매우 작다. 그러므로 은 물질의 종류와

거의 무관하다고 할 수 있다. 예를 들면, 10 MeV 양성자는 1 g/cm2의 구리와 알루미늄,

또는 철 내에서 거의 같은 양의 에너지를 잃어버린다. 질량두께로 표시한 에너지손실은 특

히 혼합물을 다룰 때 유용하다. 혼합물의 경우에는 다음과 같이 각각 원소의 부분율

(fraction)로 가중한 의 평균을 취하면 된다 (브래그규칙).

⋯ (2.25)

여기서 ( = 혼합물을 구성하는 분자 내 i 원소의 개수, = 원소의 질

량수, )는 원소의 부분율에 의한 가중인자이다. 이제 식 (2.25)를 전개한 후

항들을 정리한다면 Bethe-Bloch 공식은 다음의 유효인자들을 식 (2.16)에 대입한 것과 같

- 21 -

다는 것을 알 수 있을 것이다.

ln ln

(2.26)

앞에서 설명한 Bethe-Bloch 공식은 기본입자를 비롯하여 (알파입자까지의) 가벼운 핵이

입사할 경우 ≥ 영역에서 실험데이터와 몇 퍼센트의 오차 내에서 잘 일치한다. 그리고

≃ 이하의 입사핵에 대해서는 전하에 의존하는 보정항을 추가로 고려해 준다면 실험데

이터와 역시 몇 퍼센트의 오차 내에서 잘 일치한다 [5]. 하지만 ≤ 영역에서는

Bethe-Bloch 공식에서 사용한 여러 가지 가정들이 성립하지 않으므로 더 이상 적용 불가

능해진다. 그리고 결정(crystal)과 같이 공간적으로 대칭적인 원자구조를 갖고 있는 물질의

대칭축에 대해 어떤 임계입사각 이하로 입자가 입사하는 경우에도 적용 불가능하다. 이때

입사입자는 결정면을 통과하면서 비정질 등의 물질에서 만날 수 있는 전자보다 더 작은 수

의 전자를 만나게 되어 느리게 진동하며 상대적으로 먼 거리를 진행하고, 따라서 에너지손

실이 크게 줄어들게 된다. 이를 통로효과(channeling)라고 부른다. 임계입사각 는 다음 식

에서 볼 수 있듯이 에너지에 따라 감소하며 보통 ≃ 에서 약 정도이다 [5].

≃

(2.27)

여기서 는 보어반경이고 는 원자 사이의 거리이다. 인 경우에 통로효과는 더 이상

없으며 물질을 비정질 물질로 취급할 수 있다.

이제 하전입자가 물질 내에서 진행하며 에너지를 상실한다는 것을 이해했으므로 자연스

럽게 다음과 같은 질문을 할 수 있을 것이다: “하전입자가 에너지를 완전히 잃어버리기 전

까지 물질 안에서 얼마나 진행할 수 있을까?” 이 양을 입자의 투과범위(range)라고 부른다.

투과범위는 실험적으로 입자를 서로 다른 두께의 물질에 쏘아준 후 투과한 입자수와 입사한

입자수의 비로 결정할 수 있다. 이러한 실험의 전형적인 결과를 그림 2.4에서 볼 수 있다.

얇은 두께의 물질에 대해서는 모든 입자가 투과하지만 투과범위에 가까워질수록 투과입자

수가 감소하게 됨을 알 수 있다. 그런데 에너지손실은 연속적인 과정이 아니고 통계법칙을

따르므로, 이 투과비가 투과범위에서 갑자기 0으로 떨어지지 않는다는 사실에 유의하라. 같

은 에너지 및 종류의 입자로 실험을 반복하여 얻은 통계적인 분포는 평균값을 중심으로 투

과범위흩어짐(range straggling)이라 불리는 두께를 갖게 된다. 이 통계분포는 근사적으로

가우스분포로 묘사될 수 있다. 평균투과범위라고 부르는 가우스분포의 평균은 근사적으로

입사입자의 절반정도가 흡수되는 두께와 일치한다. 그러나 평균투과범위보다 더 많이 이용

- 22 -

되는 것은 투과비가 50%되는 지점에서 실험결과의 접선을 취한 후 이를 투과비가 0인 지

점까지 바깥늘림하여 얻을 수 있는 소위 바깥늘림투과범위(extrapolated range)이다 (그림

2.4).

그림 2.4 전형적인 투과비와 투과거리 와의 상관관계.

이제 이론적으로 공식을 이용하여 평균투과범위를 계산해보자. 다중 쿨롱산란에

의한 경로의 지그재그 형태를 무시하고 물질 내에서 직선 진행을 가정한다면, 에너지가

인 입자의 근사적인 진행경로는 다음과 같이 계산할 수 있다.

(2.28)

그러나 실제로는 어느 정도 경험적인 공식인

min min

(2.29)

를 사용해야만 한다. 여기서 min은 공식이 적용 가능한 최소 에너지이고 min 은 에너지손실의 낮은 에너지 특성을 고려하여 실험적으로 결정하는 상수이다. 그림 2.5는

Bethe-Bloch 공식의 수치적분에 의해 계산된 여러 가지 입자에 대한 전형적인 투과범위

()와 입자의 속도에 대한 상관관계를 보여주고 있다. 이와 같은 투과범위와 속도(또는 에

너지)의 상관관계는 입자의 에너지 측정과 검출기 설계에 있어서 매우 중요한 역할을 한다.

- 23 -

그림 2.5 질량으로 규격화된 투과범위.

그 밖에 에 관한 여러 공식들을 이용하여 투과범위에 관한 다음의 공식들도 유도

할 수 있다.

(투과범위에 관한 계수법칙) (2.30)

(Bragg-Kleeman 규칙) (2.31)

- 24 -

(혼합물에 관한 공식) (2.32)

여기서 는 혼합물의 분자질량수가 된다.

2.3 체렌코프 복사

그림 2.6 체렌코프 복사.

하전입자가 물질 내에서 광속보다 빨리 진행할 때 ( , 은 물질의 굴절률) 전자기

적인 충격파(shock wave)가 발생하며 이를 체렌코프 복사라고 부른다 (그림 2.6). 원뿔형

으로 형성된 결맞은(coherent) 파면의 입자진행방향에 대한 방출각 는

cos

(2.33)

을 만족한다. 이때 방출된 광자는 보통 선형적으로 편극되어 있으며, 연속 스펙트럼을 보여

준다. 그리고 체렌코프 복사에 의해 방출되는 에너지는

(2.34)

로부터 구할 수 있다. 여기서 적분은 조건을 만족하는 진동수 영역에서만 수행

된다. 이 에너지손실은 식 (2.16)의 Bethe-Bloch 공식에 이미 포함되어져 있으며 상대론적

- 25 -

영역에서 최대가 되지만 충돌에 의한 에너지손실과 비교하면 매우 작은 양이다. 예를 들면,

고체물질에 대해 식 (2.34)는 약 10-3 MeV・cm2・g-1 정도이다.

2.4 전자와 양전자의 에너지손실

무거운 하전입자와 마찬가지로 전자/양전자가 물질 내에서 진행할 때도 충돌에 의한 에

너지손실이 발생한다. 그러나 이 경우에는 하전입자의 질량이 매우 작으므로 제동복사라고

부르는 또 다른 에너지손실 과정이 추가된다. 제동복사는 (여기서는 핵에 의한) 전기장 내

에서 전자가 산란할 때 발생하는 전자기 복사방출을 의미한다. 수 MeV 이하의 낮은 에너지

에서 제동복사에 의한 에너지손실 은 상대적으로 작은 양이지만, 에너지 증가에

따라 제동복사의 확률은 급격히 증가하여 수 십 MeV 영역에서는 충돌에 의한 에너지손실

와 거의 비슷해진다. 결국 전자의 에너지손실은 다음과 같이 두 공헌의 합으로 나

타내야만 한다.

(2.35)

충돌에 의한 입사전자의 에너지손실은 다음과 같이 변형된 Bethe-Bloch 공식으로 표현

될 수 있다.

ln

(2.36)

여기서 는 의 단위로 표현한 입자의 운동에너지이고

ln for

ln

for (2.37)

이다. 이러한 변형은 우선 전자의 질량이 매우 작기 때문에 필요하다. 즉, 전자의 경우에는

충돌과 충돌 사이에 직선으로 운동한다는 가정이 더 이상 성립되지 않는다. 또한 전자-전자

충돌의 경우에 빔과 표적이 구분 불가능 하다는 사실을 양자역학적으로 고려해 주어야만 하

기 때문이다.

제동복사의 확률은 입사전자가 느끼는 전기장의 크기에 의존하므로 핵 주변에 분포하는

전자에 의한 핵전하의 차폐가 중요한 역할을 한다. 따라서 산란단면적은 전자의 입사에너지

뿐만 아니라 충돌계수와 물질의 원자번호에도 의존한다. 수 MeV 이상의 상대론적 영역에서

제동복사의 산란단면적 공식은 보른근사(Born approximation)에 의해 다음과 같이 나타낼

- 26 -

수 있다 [6].

ln

ln

(2.38)

여기서

(와 는 각각 초기와 나중 전자의 총에너지),

= 1/137 (미세 구조상수),

(방출되는 광자의 진동수),

(차폐변수; 완전한 차폐 0, 차폐가 없을 경우 ≫ 1),

, (차폐함수),

(쿨롱 보정함수)

이다. ≥ 인 원소에 대한 차폐함수는 토마스-페르미(Thomas-Fermi) 원자모형에 의해

계산할 수 있으며, 다음과 같은 근사식을 이용하여 약 0.5%의 정확도로 묘사할 수 있다

[7].

ln exp exp

(2.39)

쿨롱 보정함수 는 식 (2.38) 내에서 상대적으로 작은 양이며 다음과 같다 [8].

≃

(2.40)

이제 제동복사에 의한 에너지손실은 다음과 같이 구할 수 있다.

(2.41)

여기서 는 단위부피 당 원자의 수, ,

(2.42)

이다. 이와 같이 을 도입하는 이유는 ∝ 이므로 가 에 독립적이고 물질의 성

- 27 -

질에만 의존하기 때문이다. ≪ ≪

에서는 ≫ 이므로 차폐가 거의 없어

지므로

ln

(2.43)

이 성립되고, ≫ 에서는 ≃ 이므로 완전한 차폐가 이루어져서

ln

(2.44)

이 된다. 그리고 이 두 극한 사이에서의 에너지손실은 수치적분이 필요하다. 제동복사에 의

한 에너지손실을 나타내는 식 (2.41)을 충돌에 의한 에너지손실 공식인 식 (2.36)과 비교하

여 그림 2.7에 보여주고 있다. 충돌에 의한 손실은 에 대해 로그함수를 따라 증가하는데

반해, 복사에 의한 손실은 에 대해 거의 선형적으로 증가함을 볼 수 있다.

그림 2.7 납 내에서 전자 또는 양전자의 에너지 손실을 복사길이()

의 함수로 보여주고 있다. 복사길이의 정의는 아래를 참고하시오.

지금까지 설명한 것은 핵의 전하에 의한 평균 에너지손실이지만, 이외에도 물질 내 원자

에 속박되어 있는 전자의 전하에 의한 제동복사도 존재할 것이다. 이러한 전자-전자 제동복

사에 대한 산란단면적은 위의 식에서 을 로 바꾸어 주기만 하면 된다.

앞에서 보았듯이 복사에 의한 에너지손실은 흡수물질에 매우 강하게 의존한다. 각각의

물질에 대하여 임계에너지 는 복사에 의한 에너지손실이 충돌에 의한 에너지손실과 똑같

아지는 빔에너지로 정의된다. 따라서 에서는 복사에 의한 에너지손실이 충돌에 의한

- 28 -

에너지손실보다 커진다. Bethe와 Heitler는 Ec의 근사적 공식이 다음과 같음을 발견하였다

[9].

≃

(2.45)

임계에너지와 같은 정보를 주며 더욱 자주 사용되는 물리량으로 물질의 복사길이

(radiation length)라는 것이 있다. 복사길이는 보통 (또는 )로 쓰며 전자의 에너지가

복사 때문에 요소만큼 감소하는 거리로 정의된다. 충돌에 의한 에너지손실이 아주 작은

고에너지 영역에서 식 (2.41)을 이용하면 아래 식이 성립함을 알 수 있다.

exp (2.46)

여기서 는 물질 내에서 전자가 진행한 거리이고, 복사길이는 아래 식으로부터 구할 수 있

다 (전자-전자 제동복사항은 포함되어져 있으나 작은 상수항은 무시하였음).

≃

ln (2.47)

표 2.1에는 몇 가지 물질에 대한 복사길이가 요약되어져 있다. 복사길이의 유용성은 식

(2.41)을 의 단위로 표현할 때 명백해진다. 만약 변수 가 의 단위로 나타낸 길이라고

두면 식 (2.41)은

≃ (2.48)

이 되고, 이 식은 복사길이로 표현할 때 복사에 의한 에너지손실이 물질의 종류에 거의 무

관함을 보여주고 있다. 그리고 혼합물에 대해서는 브래그규칙을 적용하면

⋯ (2.49)

을 얻는다.

전자는 핵에 의한 다중산란에 매우 예민하기 때문에 전자의 투과범위는 의 적분

으로 얻은 결과와 매우 다르다 (20% - 400% 정도의 차). 그리고 전자에 의한 에너지손실

은 무거운 입자보다 더 많이 요동한다 (결국 투과범위흩어짐이 더 크다). 이는 한 번 충돌

에서 더 많은 에너지전이가 가능하고 제동복사에 의한 방출이 존재하기 때문이다. 여러 물

질에 대한 전자의 투과범위는 여러 문헌에 표로 잘 요약되어져 있다 [10].

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물 질복사길이

g/cm2 cm

공기 36.20 30050

H2O 36.08 36.1

NaI 9.49 2.59

BGO 7.98 1.12

BaF2 9.91 2.05

섬광플라스틱 43.8 42.4

폴리스티렌 43.8 42.9

Pb 6.37 0.56

Fe 13.84 1.76

Cu 12.86 1.43

Al 24.01 8.9

표 2.1 여러 가지 물질의 복사길이.

2.5 다중쿨롱산란

하전입자가 물질을 통과할 때 원자에 속박된 전자와의 비탄성충돌에 더하여 비록 작은

확률이라 하더라도 핵과의 쿨롱산란도 경험한다. 차폐와 스핀효과를 무시한다면, 각각의 쿨

롱산란은 잘 알려진 러더포드 공식으로 기술된다.

sin

(2.50)

여기서 은 입사입자의 질량, 는 운동량이다. 러더포드 산란에서 물질 내의 핵이 입사입

자보다 훨씬 무거워서 에너지전이를 무시할 수 있다고 가정하자. 그러면 식 (2.50)의

sin 항 때문에 대부분의 입사입자가 ≃ 근처의 작은 각도로 경로를 바꾸게 됨을

알 수 있다. 결국 입사입자는 물질을 통과하며 임의의 지그재그 경로를 따르게 되고 여러

번의 러더포드 산란을 경험한 후, 그 효과는 입사입자의 진행방향 전환으로 나타난다. 일반

적으로 물질 내에서의 쿨롱산란은 다음 세 가지로 분류될 수 있다.

(a) 단일(single) 산란: 흡수체가 얇아서 한 번 이상의 쿨롱산란 확률이 매우 작은 경

우로서 산란된 입자의 각분포는 식 (2.50)을 따른다.

(b) 복수(plural) 산란: 평균 산란수가 20 미만인 경우로서 가장 다루기 어려운 영역

이다.

(c) 다중(multiple) 산란: 평균 산란수가 20 이상이고 에너지손실이 매우 작은 경우로

서 물질 내에서 진행한 거리에 따른 입사입자의 편향각을 통계적으로 구한다. 가

장 흔히 마주치는 경우로서 아래에 더 자세히 다루겠다.

- 30 -

다중산란 문제 해결에서 가장 많이 이용되는 방법 중의 하나가 Moliere 등에 의해 고안

된 작은각 근사(small-angle approximation)이다. Molière의 산란확률공식 와 매우

작은 산란각(< 10∘)에서 측정한 가 가우스분포로 근사하고 있음은 이미 잘 알려져

있다. 즉

≃⟨⟩ exp⟨⟩

(2.51)

여기서 제곱평균제곱근(root mean square 또는 줄여서 RMS) 산란각은 radian의 단위로

다음과 같은 경험식을 이용하여 구할 수 있다 [11].

r ms ⟨⟩ MeV

ln

(2.52)

여기서 는 MeV/c의 단위이며 는 물질의 두께이다. 식 (2.52)는 인 모든 의 단일

전하 입자에 대한 Molière 분포의 맞춤에 의해 얻은 공식으로써 영역

에서 11% 이내로 정확하다. 식 (2.52)는 입사 하전입자가 한 종류로 구성된 물질에 의해

산란할 때의 공식을 나타내고 있다. 하지만 실제로는 서로 다른 종류의 물질이 여러 겹을

이루고 있거나 혼합물에 의한 산란을 다루는 경우가 많다. 이때는 각각의 r ms를 제곱하여

더한 후 제곱근을 취하게 되면 실제 산란각보다 더 작은 값을 얻게 된다. 따라서 전체물질

에 대한 및 를 구한 후, 식 (2.52)를 한 번에 적용하는 것이 더욱 정확하고 말할 수

있다. 이제 입자의 입사방향에 대해 수직한 평면 위에서의 이동거리 ()에 대한 확률분포를

구하면

⟨⟩ exp⟨⟩

(2.53)

이 된다. 여기서 는 이전과 같이 물체의 두께를 복사길이의 단위로 나타낸 것이다. 식

(2.53)을 식 (2.51)과 비교해보면 아래의 관계식이 성립함을 알 수 있다.

⟨⟩⟨⟩ (2.54)

전자는 질량이 매우 작으므로 핵과의 산란에서 큰 각도 편향이 특히 잘 일어난다. 심지

어는 다중 산란한 전자가 방향을 바꾸어 입사방향으로 되튀어 나가기도 한다

(backscattering). 이 효과는 낮은 에너지 전자에 대해 더욱 크게 나타나며, 물질의 원자번

호 와 함께 증가한다. 되튀김은 입자의 입사방향에도 의존한다. 즉 물체의 표면에 비스듬

히 들어오는 전자는 수직으로 들어오는 전자보다 입사방향으로 되튀어나갈 확률이 더 높다.

그리고 되튀긴 전자와 입사전자수의 비를 되튀김계수 또는 반사율(albedo)이라고 부른다.

전자검출기에서는 검출기의 모양 및 위치, 전자의 에너지 등에 따라 때로는 많은 전자들이

- 31 -

유용한 신호를 만들기 전에 되튀겨 나가게 되므로 설계 시 주의하여야 한다. 예를 들면,

값이 큰 NaI와 같은 섬광검출기는 전자의 80%까지도 되튀겨 나갈 수 있다.

2.6 에너지흩어짐 (에너지손실분포)

지금까지 우리는 주로 하전입자의 평균 에너지손실을 논의하였다. 그러나 일반적으로 각

각의 입자가 잃어버리는 에너지는 통계적인 요동 및 에너지 전이의 요동 때문에 항상 평균

값과 똑같지는 않다. 그러므로 일정한 빔에너지를 갖고 입사한 입자는 물질 내에서 같은 거

리를 진행한 후 공식에 따르는 델타함수가 아닌 특정한 에너지 분포를 갖게 된다.

이는 결국 앞에서 살펴본 에너지흩어짐과 같은 현상인 것이다.

충돌이 많이 일어나는 두꺼운 흡수체에 대해서 에너지손실은 가우스분포를 따르게 된다.

이는 통계학에서의 중심극한정리(central limit theorem)에 의한 것이다. 중심극한정리는 같

은 통계분포를 따르는 개의 임의변수의 합이 →∞의 극한에서 가우스분포로 접근한다

는 것이다. 한 번의 충돌에서 발생하는 에너지손실 를 임의변수로 두고, 이 에너지손실이

매우 작아서 입사입자의 속도가 변하지 않는다고 가정하면, 총 에너지손실은 많은 의 합

이 될 것이다. 이때 충돌 수 →∞의 극한에서 총 에너지손실 는 다음의 가우스분포를

따른다.

∝exp

(2.55)

여기서 는 흡수체의 두께, 는 평균 에너지손실, 은 분산(variance)이다. Bohr의 계산

에 따르면 비상대론적인 무거운 입자에 대한 분산은 MeV2의 단위로

(2.56)

이며, 이를 상대론적인 경우로 확대하면

(2.57)

이 된다.

한편 충돌 수 이 유한하여 중심극한정리를 적용할 수 없는 얇은 흡수체 또는 기체 등

의 경우에 전체 에너지손실분포를 계산하는 것은 매우 복잡하다. 이는 한 번 충돌에서 커다

란 에너지전이가 가능하기 때문이다. 무거운 입사입자의 경우에는 식 (2.17)에 의해 max가 제한되지만, 가벼운 전자가 입사하는 경우에는 총에너지의 절반이 충돌에 의해 전이되고

나머지 에너지가 제동복사로 방출되는 것도 가능하다. 이러한 가능성 때문에 에너지손실 확

- 32 -

률분포의 높은 에너지 쪽에 긴 꼬리를 만들어 전체 분포가 비대칭 형태가 된다. 이때는 평

균 에너지손실과 분포의 봉우리가 일치하지 않으므로, 봉우리의 위치를 최빈(most

probable) 에너지손실로써 정의한다. 얇은 흡수체에 대한 에너지손실분포를 처음 이론적으

로 연구한 사람은 Landau, Symon, Vavilov 등이다. 정확히 말하면 이들은 조금씩 다른

max 영역에서 흡수체에 의한 에너지손실을 연구하였다. 이때 평균 에너지손실은

식 (2.16)의 Bethe-Bloch 공식으로 계산한 후, 괄호 앞의 비례항만 취해주면 대부분 좋은

근사가 된다.

≃

(2.58)

얇은 흡수체의 경우는 보통 이다. 식 (2.58)은 대체로 영역에서 가우스분포와

거의 비슷해진다.

Landau는 ≤ 인 매우 얇은 흡수체에 대해 다음과 같은 가정을 하였다.

(a) 가능한 최대 에너지전이는 무한대이다 (max→∞ →).(b) 한 번 충돌에 의한 에너지전이가 충분히 커서 전자를 자유입자로 가정할 수 있

다. 먼 충돌에 의한 작은 에너지전이는 무시한다.

(c) 충돌에 의한 입자의 감속은 무시한다.

그러면 에너지손실분포는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(2.59)

여기서

∞exp ln sin

ln ln

⋯ (Euler 상수)

ln ln

(은 위의 (b)항에서 말한 가능한 최소 에너지전이)

이다. 식 (2.59)를 수치적분하면 최빈 에너지손실은 다음과 같이 된다.

ln (2.60)

Landau의 이론은 요즈음 핵 및 입자물리 실험에서 많이 사용되는 얇은 실리콘검출기에서의

에너지손실 스펙트럼 등을 설명할 때 자주 이용되고 있다 (그림 2.8).

- 33 -

1 mip

2 mip

3 mip

그림 2.8 실리콘검출기로부터 얻은 전하신호(ADC 채널)

분포. ADC 채널 0에 중심을 둔 가우스분포함수는 검출기

의 전기적인 잡신호를 나타내고 나머지 곡선은 최소이온

화입자가 각각 한 개, 두 개, 세 개가 입사하였을 때의

Landau 에너지손실함수를 나타낸다.

Symon과 Vavilov는 각각 중간 값에 대한 분포를 계산하였다. 중간 값이란 Landau의

이론을 적용하기에는 너무 크고, 가우스분포의 한계보다는 작은 영역을 말한다. 특히

Vavilov는 Landau 이론에서 max에 관한 조건을 적절히 바꾸어서 연구하였다. 비록

Vavilov의 식은 복잡하지만 →의 근사에서는 Landau 분포가 되고, →∞의 근사에서는

가우스분포가 된다 (그림 2.8). 가우스 극한에서 Vavilov에 의한 식의 분산은

(2.61)

이 되어 식 (2.57)과 같아짐을 알 수 있다.

2.7 광자의 상호작용

물질 내에서 X-선이나 -선과 같은 광자의 행동은 하전입자와 완전히 다르다. 특히 광

자는 전하를 갖고 있지 않으므로 원자에 속박된 전자와의 여러 번에 걸친 비탄성산란이 불

가능하다. 그 대신

- 34 -

(a) 광전효과(photoelectric effect),

(b) 컴프턴산란 (톰슨(Thomson) 및 레일리(Rayleigh)산란 포함),

(c) 쌍생성(pair production)

등을 통하여 상호작용하게 된다. 이들 반응을 이용하면 (1) X-선이나 -선이 물질 안에서

하전입자보다 더 많이 진행한다는 사실, (2) 광자빔이 물질 내를 진행할 때 에너지 감소가

없다는 사실 (오직 세기만 감소) 등을 설명할 수 있다. 첫 번째 결과는 위에서 나열한 세

가지 과정의 산란단면적이 하전입자-전자 충돌의 비탄성산란단면적보다 훨씬 작다는 것으

로부터 설명할 수 있다. 그리고 두 번째 결과는 위의 세 가지 과정이 흡수 또는 산란을 통

하여 빔으로부터 광자를 완전히 제거한다는 것으로부터 설명가능하다. 결국 물체를 뚫고 나

온 광자는 어떤 상호작용도 경험하지 않았으므로 원래의 빔에너지를 그대로 가지고 있는 것

이다. 하지만 물체 내에서 상호작용을 경험한 광자는 이미 사라져 버렸으므로 결과적으로

세기가 줄어들었을 것이다. 물체의 두께 의 함수로 표현한 광자의 세기는 다음과 같다.

exp (2.62)

이때 는 입사빔의 세기이고 는 흡수계수이다. 광전효과는 원자에 속박된 전자가 광자를

흡수한 후, 이 전자가 방출되는 현상이다. 광전효과에 대한 산란단면적은 대체로 입사에너

지가 증가함에 따라 감소하지만 각각의 원자껍질(K, L, M, …)에너지 근처에서 날카롭게 증

가한다 (그림 2.9의 성분).

이론적으로 속박전자의 Dirac 파동함수가 매우 복잡하여 광전효과를 엄격히 다루는 것

은 쉽지 않은 일이다. 그러나 K-껍질에너지보다 큰 광자에너지에 대해서는 거의 K-전자만

반응하게 되므로, 상대적으로 낮은 에너지(≪ )에서 보른근사를 이용하면 광전효과의

산란단면적을 계산할 수 있다. 이 경우 원자 하나 당 산란단면적은 다음과 같다.

(2.63)

여기서 × cm이다. 광자에너지가 K-껍질에너지에 가까워짐에 따라

식 (2.63)에 적당한 보정을 해주어

exp exp cot

(2.64)

을 얻을 수 있다. 이때

이고 이다. 그리고 →

의 극한에서는 ≫ 이므로 식 (2.64)는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있다.

- 35 -

×

(2.65)

식 (2.63)의 의존성을 보면 가 큰 물질일수록 광전효과에 의한 흡수에 유리하다는 것을

알 수 있다. 이는 -선 검출기 등을 제작할 때 중요한 고려사항이 된다.

그림 2.9 탄소(위)와 납(아래)에 대한 총 광자 흡수산란단면

적. 는 광전효과, 는 레일리 산란, 은

컴프턴 산란, 는 핵에 의한 쌍생성, 는 원자 내 전자

에 의한 쌍생성 성분을 나타낸다.

- 36 -

컴프턴 산란은 광자와 자유전자 사이에 일어난다. 물론 물질 속의 전자는 원자에 속박되

어져 있다. 하지만 광자의 에너지가 전자의 결합에너지보다 크다면 전자는 자유입자로 간주

할 수 있다. Klein-Nishina 공식으로 알려져 있는 QED(quantum electrodynamics)에 기초

한 미분 컴프턴 산란단면적은 다음과 같다.

cos

cos cos

cos (2.66)

여기서 이다. 이 식을 에 대해 적분하면 전자 하나 당 총 컴프턴 산란단면적

을 구할 수 있다.

ln

ln

(2.67)

그리고 이 식으로부터 산란항 와 흡수항 를 각각 구할 수 있다. 산란항은 산란된 광자

가 지니고 있는 평균 에너지의 부분율로 정의되고, 흡수항은 되튀는 전자에 전달된 평균 에

너지의 부분율로 정의된다. 전자는 물질에 의하여 정지되므로 결국 흡수항은 컴프턴 산란에

의해 물질에 흡수되는 에너지 부분율을 의미하는 것으로 각각의 식은 다음과 같다.

ln

(2.68)

(2.69)

광자의 에너지가 약 1 MeV 이하에서는 산란항이 우세하고, 그 이상에서는 흡수항이 우세

함을 알 수 있다. 한편 검출기와 관련하여 많이 사용되는 또 하나의 공식은 다음과 같은 컴

프턴되튐전자의 에너지 분포이다.

(2.70)

여기서 이다. 마지막으로 에너지 및 운동량 보존에 의한 최대 되튐에너지는

max (2.71)

이며 이를 컴프턴끝(Compton edge)이라고 부른다.

컴프턴 산란과 관련하여 고전적인 톰슨 및 레일리산란이 있다. 톰슨산란은 자유전자에

의한 광자산란의 고전적인 극한이다 (≪ ). 이러한 낮은 에너지 극한에서

- 37 -

Klein-Nishina 공식은 톰슨산란단면적 공식으로 바뀌게 된다.

(2.72)

반면에 레일리산란은 원자 전체에 의한 광자산란이다. 이 과정에서는 원자 내의 모든 전자

가 결맞은 방식으로 산란에 참여하게 되므로 결맞은 산란(coherent scattering)이라고도 부

른다. 이 두 가지 산란의 특징은 물질에 에너지를 전혀 전달하지 않는다는 것이다. 그러므

로 물질내의 원자도 들뜨거나 이온화 되지 않고 단지 광자의 진행방향만 바뀌게 된다. 수

백 keV 이상의 X-선이나 -선에 대하여 이 두 가지 산란과정의 공헌은 매우 적어 보통 무

시한다 (그림 2.9의 ).

쌍생성은 광자가 전자-양전자 쌍으로 전환되는 과정이다. 이때 선운동량 보존법칙을 만

족시키기 위해서 제 3의 입자가 필요한데 주로 핵이 그 역할을 하게 된다. 그리고 쌍생성이

일어나기 위해서는 광자의 에너지가 최소한 1.022 MeV가 되어야 한다. 이론적으로 쌍생성

은 제동복사와 매우 밀접한 관계가 있다. 제동복사와 비슷하게 핵의 전기장 내에서 발생하

는 쌍생성 과정에서도 핵을 둘러싸고 있는 전자에 의한 차폐가 중요한 역할을 한다. 따라서

쌍생성의 산란단면적은 에 의존한다. 여기서 는 방출되는

양전자(전자)의 총 에너지이다. 이제 상대론적 에너지 극한에서 보른근사를 이용하여 쌍생

성산란단면적을 구해보면 다음과 같다.

ln

ln (2.73)

여기서 차폐함수 , 는 식 (2.39)와 같은 형태이다. 차폐가 없는 경우(≫ )에 식

(2.73)은

ln

(2.74)

이 되고, 이를 ≪ ≪

영역에서 수치적분하면 총 쌍생성산란단면적은

ln

(2.75)

이 된다. 한편 완전차폐의 경우(→)에 식 (2.73)은

ln

(2.76)

- 38 -

이 되고, 이를 ≫ 영역에서 다시 수치적분하면 총 쌍생성산란단면적은

ln

(2.77)

가 된다. 보른근사에서는 큰 또는 낮은 에너지에서 결과가 정확하지 않음에 유의하라. 그

림 2.9는 광자에너지의 함수로 탄소( )와 납( )에 대한 쌍생성산란단면적 를

보여주고 있다. 제동복사와 마찬가지로 쌍생성 과정 역시 원자에 속박되어져 있는 전자의

전기장으로 인해 발생할 수도 있다. 이 경우 산란단면적에 대한 결과는 비슷하나 크기가

요소만큼 줄어든다. 이 사실을 고려하면 식 (2.73)의 산란단면적 공식에 대신

을 대입하면 될 것이다.

그리고 총 산란단면적으로부터 쌍생성에 대한 -선의 평균자유행로 를 구해보는 것

도 흥미로울 것이다. 식 (2.77)로부터

≃

ln

(2.78)

을 얻을 수 있다. 여기서 상대적으로 작은 상수항은 무시하였다. 식 (2.78)을 (2.47)과 비교

해보면 다음의 상관관계를 얻을 수 있다.

≃ (2.79)

고에너지 광자와 전자에 의한 쌍생성 및 제동복사 현상의 중요한 특징은 동시에 전자-

광자의 입자소나기(shower)를 만든다는 것이다. 물질 내에서 고에너지 광자는 전자-양전자

쌍으로 전환되고, 이들은 각각 제동복사 광자를 방출한다. 그리고 이들 광자는 다시 전자-

양전자 쌍을 만든다. 그 결과 광자, 전자, 양전자로 구성된 입자사태(cascade) 또는 입자소

나기가 만들어지는 것이다. 이와 같은 입자소나기의 진행은 임계에너지 이하에서 전자와 반

전자가 원자와의 충돌에 의해 모든 에너지를 잃어버릴 때까지 계속된다. 물론 입자소나기의

형성은 통계적인 과정이다. 그러나 복사길이를 이용하면 입자의 평균개수와 그들의 평균에

너지를 물질 내 투과깊이의 함수로 구할 수 있는 간단한 모델을 만들 수 있다. 예를 들어,

에너지가 인 광자로부터 시작해 보자. 이 광자는 (9/7 요소는 무시한다면) 평균 을 진

행한 후, 각각 의 에너지를 갖는 전자-양전자 쌍으로 전환된다. 2을 진행한 후에는

전자와 양전자가 각각 의 에너지를 갖는 제동복사 광자를 방출 한다. 3을 진행한 후

에 각각의 광자는 다시 쌍생성을 하고, 전자와 양전자가 각각 의 에너지를 갖는 제동

복사 광자를 방출 한다. 이렇게 계속 반복된다면 복사길이 를 진행한 후의 총 입자수와 각

입자의 평균에너지는 각각

- 39 -

≃ (2.80)

≃

(2.81)

가 될 것이다. 광자 대신 전자 또는 양전자로 시작하여도 똑같은 결과를 얻게 된다. 그렇다

면 입자소나기에 의한 최대 투과깊이는 얼마일까? 입자소나기의 진행이 임계에너지 에서

갑자기 끝난다고 가정하면

max max

(2.82)

가 성립하고, max에 대하여 풀면

maxln ln

(2.83)

을 얻는다. 그러므로

max≃

(2.84)

가 된다. 물론 이 간단한 모형은 입자소나기에 대한 대강의 정성적인 설명만 제공해 주고

있다. 실제로 전자-광자 소나기에서 입자의 수는 넓게 퍼져있는 최대점까지 지수함수적으로

증가한 후에 천천히 감소하게 된다. 이러한 소나기현상을 정확히 이해하기 위해서는 몬테카

를로 전산시늉 등을 이용해야만 한다. ≥ MeV영역에서 전산시늉의 결과는 다음의

식으로 공식화 될 수 있다.

exp (2.85)

이때 각 변수는 다음과 같다.

ln

ln ≥

이제 광자 한 개가 물질과 상호작용 할 전체 확률은 앞에서 설명한 각각의 개별적인 산

란단면적의 합이 될 것이다. 물질 내 원자 하나에 대한 총 산란단면적은

- 40 -

(2.86)

이며, 이때 및 에 를 곱해 준 것은 원자 하나 당 개의 전자가 속박되어 있음

을 고려한 것이다. 탄소 및 납 원자에 대한 식 (2.86)을 그림 2.9에서 볼 수 있다. 이제 식

(2.86)에 원자의 밀도 를 곱해주면 단위길이 당 상호작용 확률 를 얻게 된다.

(2.87)

이를 보통 총 흡수계수라고 부르며 광자의 평균자유경로의 역수가 된다. 그리고 깊이 에서

의 상대적인 세기는 식 (2.12)로부터

exp (2.88)

가 되고, 혼합물에 대한 총 흡수계수는 브래그규칙으로부터

⋯ (2.89)

임을 알 수 있다.

2.8 중성자의 상호작용

중성자도 광자와 같이 전하를 띠고 있지 않으므로 쿨롱 상호작용은 하지 않는다. 그 대

신 핵과의 강력(strong force)을 통하여 상호작용하게 된다. 강한 상호작용은 짧은 반응거

리 때문에 전자기적인 상호작용보다 반응확률이 훨씬 작다. 즉 중성자는 핵과 10-13 cm 이

내로 접근해야 상호작용이 일어나는데, 보통 물질이 대부분 빈 공간으로 이루어져 있음을

고려할 때 중성자가 물질을 쉽게 투과하는 입자라는 사실은 그리 놀라운 일도 아닐 것이다.

그러나 중성자가 일단 핵과 상호작용을 일으키면 다음과 같은 다양한 핵반응이 일어나게 된

다.

(a) 핵과의 탄성산란 : MeV 영역에서 중성자 에너지 손실의 가장 중요한

과정이다.

(b) 핵과의 비탄성산란 ′ ∗ , ′ , 등: 이 과정에서는 핵이 들뜬 상태

로 머물다가 나중에 -선 또는 다른 종류의 방사선을 방출하며 붕괴한다. 이러

한 비탄성산란이 일어나기 위해서는 중성자가 1 MeV 이상의 충분한 에너지를

보유하고 있어야만 한다.

- 41 -

(c) 광자를 방출하는 중성자 포획 → : 이러한 중성자 흡수과

정의 산란단면적은 대략 중성자의 입사속도에 반비례하므로 주로 낮은 에너지에

서 일어나게 된다. 그리고 특별한 입사에너지에 대해서는 공명 봉우리가 생기기

도 하는데, 이 봉우리 근처에서는 흡수확률이 크게 증가한다.

(d) 하전입자를 방출하는 중성자 포획 , , , , , 등: 이러

한 과정은 주로 eV부터 keV 영역에서 발생한다. 산란단면적은 역시 중성자의

입사속도에 반비례하며, 특별한 입사에너지에 대해서는 공명 봉우리가 생기기도

한다.

(e) 핵분열: eV 영역에서 주로 발생한다.

(f) 고에너지의 강입자(hadron) 소나기 생성: 중성자의 입사에너지가 100 MeV 이상

인 고에너지 영역에서 발생한다.

중성자는 에너지에 따라 100 MeV 이상은 고에너지중성자, 수 백 keV 영역은 빠른중성

자, 0.1 eV부터 100 keV까지는 고열(epithermal)중성자, 0.1 eV 이하는 열중성자(또는 느

린중성자)로 분류한다. 여기서 열중성자라는 이름은 상온에서의 열적 요동에너지가

≃ ≃ eV라는 사실에서 온 것이다. 그리고 이보다 에너지가 더 낮을 때(~

meV)에는 차가운중성자라고 부른다.

그림 2.10 물, 파라핀, 양성자와 중성자의 총 산란단면적.

물질 내에서 중성자가 상호작용 할 전체 확률은 앞에서 나열한 여러 과정에 대한 산란단

면적의 합이다.

- 42 -

⋯ (2.90)

그림 2.10은 물, 파라핀, 양성자에 대한 중성자의 총 산란단면적을 보여주고 있으며, 중성자

에너지에 대한 의존성이 매우 부드러움을 알 수 있다. 이제 식 (2.90)의 양변에 물질의 원

자밀도를 곱해주면 물질 내에서 중성자의 평균자유행로를 구할 수 있다.

(2.91)

그리고 를 중성자의 투과거리라고 하면,

exp (2.92)

가 성립한다. 따라서 광자와 같이 중성자도 물질 내에서 지수함수적으로 세기가 감소됨을

알 수 있다.

상호작용에 의한 빠른중성자의 감속(moderation)은 핵공학 등에서 특히 중요하게 다루

어진다. 대부분의 경우 빠른중성자는 물질 내에서 핵과의 탄성 또는 비탄성산란을 통해 주

변의 원자들과 열적 평형상태에 도달할 때까지 에너지를 잃어버린다. 그리고 이들은 핵에

의한 포획이나 핵분열과 같은 반응이 일어날 때까지 물질 안에서 퍼지게 된다. 물론 중성자

가 열적 평형상태에 도달하기 전에 특히 공명에너지 근처에서 포획 또는 분열 과정을 거칠

가능성도 있다. 그러나 이러한 산란단면적은 속도에 반비례하므로 일단 열적 평형상태에 먼

저 도달할 확률이 더 클 것이다.

탄성산란은 빠른중성자가 에너지를 상실하는 주요과정이다. 수 MeV의 중성자에 대해서

이 문제는 비상대론적으로 다루어질 수 있다. 여기서는 계산을 쉽게 하기 위하여 중성자의

질량()이 1인 단위를 사용하도록 하자. 예를 들어, 실험실계에서 속도가 인 중성자와

정지해 있는 질량이 인 핵의 탄성충돌을 가정해 보자 (그림 2.11). 그러면 질량중심

(center-of-mass)의 속도는

(2.93)

이 되고, 산란 후 질량중심계에서 본 중성자의 속도는

(2.94)

이다.

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그림 2.11 중성자와 핵의 탄성산란을

도식화한 그림.

탄성충돌 후에 질량중심계에서는 중성자의 진행방향은 바뀌지만 속도는 그대로 유지된

다. 코사인법칙을 이용하면 그림 2.11로부터 실험실계 및 질량중심계에서의 여러 속도들 사

이에 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있다.

cos (2.95)

여기서 은 질량중심계에서의 산란각이고 은 실험실계에서의 산란 후 중성자속도이다.

식 (2.93)과 (2.94)를 식 (2.95)에 대입하면

cos (2.96)

을 얻을 수 있고, 중성자의 운동에너지가 비상대론적으로 임을 고려하면

cos

(2.97)

임을 알 수 있다. 그리고 실험실계에서의 산란각 과 과의 관계는 다음과 같이 구할

수 있다.

cos (2.98)

- 44 -

cos cos cos

(2.99)

한편, 비슷한 방법으로 되튀는 핵에 대한 산란변수들을 다음과 같다.

cos

cos (2.100)

cos

cos(2.101)

이제 실험실계에서 산란된 중성자의 에너지 범위는

(2.102)

이고, 특히 표적의 질량수 가 1이라면 (양성자나 중성자에 해당)

(2.103)

가 된다. 이는 표적 핵자가 입사중성자의 에너지를 모두 전달 받을 수도 있다는 것을 의미

한다. 일반적으로 가벼운 핵일수록 입사입자로부터 더욱 많은 되튐에너지를 흡수하게 된다.

그러므로 중성자를 효과적으로 감속시키기 위해서는 양성자나 중양성자(deuterium)를 비롯

한 가벼운 핵을 쓰는 것이 더 유리하다. 이것이 바로 원자로에서 중성자를 감속시키거나 차

폐시키기 위하여 보통 물(H2O)이나 중수(D2O), 파라핀(CH2) 등 가벼운 원소를 많이 쓰는

이유인 것이다.

이제 산란된 중성자의 에너지 분포를 계산해 보도록 하자. 너무 높지 않은 에너지에서(≤

15 MeV) 중성자산란은 등방적(isotropic)임이 알려져 있다. 따라서 중성자가 입체각 내

로 산란될 확률은 간단하게 다음과 같이 나타낼 수 있다.

sin sin (2.104)

식 (2.97)로부터

sin (2.105)

를 얻은 후, 이를 식 (2.104)에 대입하면

- 45 -

(2.106)

이 된다. 이때 이다. 그러므로 어떤 일정한 입사에너지()를 갖는 중

성자가 물질 내의 핵과 한 번 산란한 후에는 식 (2.102)로 주어지는 에너지 범위 내에서 균

일한 분포를 갖게 된다. 이 결과를 이용하여 두 번 산란한 후의 중성자 에너지분포는

ln

ln

ln

(2.107)

이 되고, 세 번 산란한 후의 중성자 에너지분포는

ln

ln

ln ln ln

ln

ln

(2.108)

이 된다. 그림 2.12에 위의 식 (2.106) - (2.108)을 비롯한 여러 에너지 분포함수가 비교되

어져 있다.

그림 2.12 여러 번 탄성산란한 후 중성자의 에너지 분포함수.

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수소를 흡수체로 이용하는 경우에는 일반적으로 번 충돌 이후 중성자의 에너지 스펙트

럼은 다음과 같이 간단히 표현될 수 있다 [12].

ln

(2.109)

그러면 중성자의 평균에너지가 열에너지로 감소되는 과정에서 몇 번의 충돌이 일어나야 하

는가? 이를 위해 에너지의 로그항의 변화를 살펴보는 것이 편리하다.

ln ln ln (2.110)

여기서 는 입사에너지이고 는 최종에너지이다. 중성자가 한 번 산란 후의 산란각을

라고 가정하면 식 (2.100)로부터

ln cos

(2.111)

을 얻고, 이 식을 모든 방향에 대해 적분한 후 로 나누어 주면 한 번 충돌에 대한 평균

값 를 구할 수 있다.

⟨ ⟩ ln

(2.112)

이 식은 한 번 충돌에 의한 가 입사입자의 에너지에 관계없이 표적핵의 질량수에만 의존

하는 상수임을 보여주고 있다. 모든 충돌에서 가 상수이므로 에너지가 에서 로 감소하

는 중성자에 대한 물질 내에서의 평균 충돌수를 구해보면

ln

(2.113)

가 된다. 예를 들어, 원자로에서 탄소(12C)를 감속제로 사용하는 경우 는 약 0.158이다. 따

라서 1 MeV의 중성자가 E = 0.025 eV인 열중성자로 감속되었다면

ln

≃

번의 충돌을 경험했다고 말할 수 있을 것이다. 만약 수소를 감속제로 사용했다면 이므

로 ≃ 임을 알 수 있다.

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2.9 참고문헌

[1] J. D. Jackson, Classiacal Electrodynamics 2nd Ed. (John Wiley & Sons, New

York 1975) 13장.

[2] R. M. Sternheimer, M. J. Berger, and S. M. Seltzer, At. Data and Nucl. Data

Tables 30, 262 (1984).

[3] R. M. Sternheimer, S. M. Seltzer, and M. J. Berger, Phys. Rev. B 26, 6067

(1982); erratum in B 27, 6971 (1983).

[4] W. H. Barkas and M. J. Berger, "Tables of Energy Losses and Ranges of Heavy

Charged Particles" in Studies in the Penetration of Charged Particles in Matter,

National Academy of Sciences Publication 1133, Nuclear Science Series Report

No. 39 (1964).

[5] S. P. Ahlen, Rev. Mod. Phys. 52, 121 (1980).

[6] H. W. Koch and J. W. Motz, Rev. Mod. Phys. 4, 920 (1959).

[7] Y. S. Tsai, Rev. Mod. Phys. 46, 815 (1974).

[8] H. Davies, H. A. Bethe, and L. C. Maximon, Phys. Rev. 93, 788 (1954).

[9] H. A. Bethe and J. Ashkin, "Passage of Radiations through Matter" in

Experimental Nuclear Physics, Vol. 1, ed. by E. Segre (John Wiley & Sons,

New York 1953).

[10] L. Pages, E. Bertel, H. Joffre, and L. Sklaventis, At. Data 4, 1 (1972).

[11] V. L. Highland, Nucl. Instrum Methods 129, 497 (1975); errata in 161, 171

(1979).

[12] E. U. Condon and G. Breit, Phys. Rev. 49, 229 (1936).