2. Ara sınavkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2.vizeye_hazirlik-ozet.pdfBu yüklerin yüzey üzerindeki...
Transcript of 2. Ara sınavkisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/2.vizeye_hazirlik-ozet.pdfBu yüklerin yüzey üzerindeki...
Kafes sistemler
Ağırlık merkezi
Atalet momenti
Yayılı yükler
2. Ara sınav -özet
2
YAPISAL ANALİZ
Düğüm Noktaları Yöntemi
3
Bir kafes sistem dengedeyse, her bir düğüm noktası da dengede olmalıdır. Düğüm noktaları yöntemi bu esasa dayanır, çünkü bu yöntem, kafes sistemin her bir düğüm noktasına etkiyen kuvvetler için denge koşullarının sağlanmasından ibarettir.
Kafes sistemin çubuklarının hepsi, aynı düzlem içinde yer alan iki kuvvetli elemanlar olduğundan, her bir mafsala etkiyen kuvvetler düzlemseldir ve aynı noktadan geçer.
Bunun sonucunda, düğüm noktasında, dönme veya moment dengesi kendiliğinden sağlanır ve yalnızca, öteleme veya kuvvet dengesi için Fx=0 ve Fy=0 denklemlerini sağlamak gereklidir.
Düğüm noktaları yöntemini kullanırken, denge denklemlerini uygulamadan önce, ilk olarak düğüm noktasının serbest cisim diyagramını çizmek gerekir. Düğüm noktasına etkiyen her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi, kafes sistemin geometrisinden belirlenir, çünkü bir çubuktaki kuvvet, o çubuğun ekseni doğrultusundadır.
4
B noktasına etkiyen 500 N’luk kuvveti
düşünerek, B noktasının serbest cisim
diyagramını çizelim:
BA çubuk elemanı çekme kuvveti, BC
çubuk elemanı basınç kuvveti etkisindedir.
Basit kafes analizinde, en az bir bilinen
kuvvet ve en fazla iki bilinmeyen kuvvete
sahip bir düğüm noktasından başlanmalıdır.
Bu şekilde, Fx=0 ve Fy=0
denklemlerinin uygulanması, iki
bilinmeyenin çözülebildiği iki cebirsel
denklem verir.
Aynı düzlemdeki kuvvet sistemi :
5
Kafes elemanlarda, oluşan bilinmeyen kuvvetlerin doğru yönleri iki farklı yöntemle kullanılabilir: Serbest cisim diyagramındaki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme olduğu
varsayılır. Denge denklemlerinde, çekme etkisindeki çubuklar için pozitif skaler ve basınç etkisindeki çubuklar için negatif skaler verir. Denklemlerin sonucunda, çözüm pozitif çıkarsa elaman çekme, negatif çıkarsa basınç kuvveti etkisi altındadır. Bilinmeyen kafes elemanı kuvvetlerinin şiddetleri ve doğru yönleri, sonraki düğüm noktası serbest cisim diyagramlarında kullanılır.
Bilinmeyen bir çubuk kuvvetinin doğru yönü, “tetkik” yoluyla belirlenebilir. Örneğin, B noktasındaki denge düşünüldüğünde, FBC’nin yatay bileşeni 500 N’luk kuvveti dengelemelidir (Fx=0). Aynı şekilde, FBC’nin düşey bileşenini FBA dengelemektedir (Fy=0).
Kesit (Kesim) Yöntemi
6
Kesit yöntemi, cisim içinde etkiyen yükleri belirlemede kullanılır. Bu yöntem dengedeki bir cismin bütün parçalarının da dengede olması ilkesine dayanır.
Bir kafes sistemini analiz ederken, bazen sadece belirli elemanların kuvvetlerini bulmamız gerekebilir. Bu durumda kesit yöntemi kullanılır.
Yöntemi uygulamak için, cismi iki parçaya bölen hayali bir kesim yapılır. Parçalardan birinin serbest cisim diyagramı çizildiği takdirde, diyagram kesite etkiyen yükleri içermelidir. Kesitteki yükü belirlemek için parçaya denge denklemleri uygulanır.
7
Çekme
çubuğu
Basınç
çubuğu
Örneğin, şekilde gösterilen iki kafes sistem elemanını göz önüne alalım:
Mavi çizgiyle gösterilen kesitteki iç yükler, sağdaki serbest cisim diyagramlarından biri
kullanılarak bulunabilir. Dengenin, çekme etkisindeki çubuğun kesitte T “çekme”sine, basınç
etkisindeki çubuğunsa C “itme”sine maruz kalmasını gerektirdiği açıktır.
8
Kesit yöntemi, bir kafes sistemin elemanlarını kesmek için de kullanılabilir. Kafes sistemin iki parçasından biri serbest cisim diyagramı olarak soyutlanırsa, kesilen elemanların iç kuvvetleri ortaya çıkar ve “kesit”teki çubuk kuvvetlerini belirlemek için bu parçaya denge denklemleri uygulanır. Kafes sistemin soyutlanmış parçasına sadece üç bağımsız denge denklemi (Fx=0, Fy=0, MO=0) uygulanabildiği için, kafesi kestiğimiz yerde eleman kuvvetlerini bilmediğimiz maksimum üç eleman olmak zorundadır.
Örnek olarak, aşağıdaki kafes sistemini ele alalım: GC çubuğundaki kuvvet belirlenecekse “a-a” kesiti uygun olacaktır.
9
İki parçanın serbest cisim diyagramları aşağıda görülmektedir:
10
Her bir çubuk kuvvetinin etki çizgisi kafes sistemin
geometrisinden belirlenir, çünkü çubuktaki kuvvet çubuk
ekseni doğrultusundadır.
Ayrıca, kafes sistemin bir parçası üzerine etkiyen çubuk
kuvvetleri diğer parçaya etkiyenlere eşit, fakat zıt yönlüdür
(Newtonun 3. kanunu).
BC ve GC elemanları “çekme”ye, GF ise basınca
çalışmaktadır.
BC, GC ve GF elemanlarındaki bilinmeyen kuvvetler, serbest cisim diyagramlarından herhangi biri
kullanılarak bulunabilir.
Ancak, sağdaki serbest cisim diyagramı
kullanılırsa, önce Dx, Dy ve Ex mesnet tepkileri
bulunmalıdır. Çünkü sadece üç denge denklemi
bulunmaktadır.
11
Denge denklemleri uygulanırken, bütün denklemlerin ortak çözümünü bulmak yerine, denklemleri, bilinmeyenlerin her birini doğrudan elde edecek şekilde yazmanın yolları aranmalıdır. Örneğin,
• Sol kesitte, C noktasına göre momentler toplamından FGF doğrudan elde edilir, çünkü FBC ve FGC C’ye göre sıfır moment üretir.
• Aynı şekilde FBC G’ye göre momentler toplamından elde edilir. FGC ise düşey yöndeki kuvvetler dengesinden bulunur.
NOT: GC çubuğundaki kuvveti belirlemek için düğüm noktaları yöntemi kullanılsaydı, A, B
ve G düğüm noktalarında denge denklemlerinin yazılması gerekirdi.
12
Düğüm noktaları yönteminde olduğu gibi, kesme yönteminde de bilinmeyen çubuk kuvvet yönünün belirlenmesinde iki yol vardır: Daima kesitteki bilinmeyen çubuk kuvvetlerinin çekme etkisinde olduğu, yani
çubuğu çektiği varsayılır. Böylece, sayısal çözüm, çekme elemanları için pozitif, basınç elemanları için negatif sonuç verir.
Bilinmeyen çubuk kuvvetinin yönü, tetkik yöntemiyle de bulunabilir. Örneğin, şekilde BC elemanında oluşan kuvvet çekme olarak gösterilmiştir. Çünkü G noktasına göre moment dengesi, 1000 N’luk kuvvetin oluşturduğu moment etkisini dengeleyecek şekilde olması gerekir.
Kütle Merkezi ve
Merkezler
Konular:
Kütle/Ağırlık merkezleri
Merkez kavramı
Merkez hesabına yönelik yöntemler
Ele alınan düzlemsel alan; basit geometrik şekillere ayrılamıyorsa; yukarıdaki bağıntılar aşağıdaki gibi;
sürekli ortam, diğer bir deyişle integral ifadesine dönüştürülmelidir.
n
i
i
n
i
ii
A
Ax
nx
1
1
)(
).(lim
n
i
i
n
i
ii
A
Ay
ny
1
1
)(
).(lim
A
S
dA
dAx
xy
A
A
.
A
S
dA
dAy
y x
A
A
.
Burada; A: Düzlemsel yüzeyin toplam alanını
Sy: y eksenine göre "statik momenti" (birimi m3, cm3…)
Sx: x eksenine göre "statik momenti" (birimi m3, cm3…) göstermektedir.
Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları
Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri
G h
2
hy
b
2
bx
DİKDÖRTGEN
(b=h İSE KARE)
hbA .
Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları
Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri
G h
3
hy
b
2
bx
EŞKENAR VE
İKİZKENAR ÜÇGEN
2
.hbA
Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları
Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri
G h
3
hy
b
3
bx
DİK ÜÇGEN
2
.hbA
Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları
Basit geometrik şekillerin ağırlık merkezleri
G
3
4ry
rx
YARIM DAİRE
VE
ÇEYREK DAİRE
2
. 2rA
O r r
rx
3
4rx
4
. 2rA
G
r r O
r
3
4ry
Ağırlık merkezi ve alan merkezi kavramları
KT 19
Kompozit Alanların Merkezleri
Bileşik cisim, dikdörtgen, üçgen, yarım daire şeklinde birbirine bağlı basit şekilli cisimlerden
oluşur. Böyle bir cisim genellikle parçalara bölünür, bu parçaların herbirinin ağırlığı ve ağırlık
merkezinin konumu bilinirse, tüm cismin ağırlık merkezini belirlemek için integral işlemine
gerek kalmaz.
Basit geometrik alanların oluşturduğu kompozit alanların merkezlerinin bulunması için,
kompozit alanı oluşturan bileşenlerin merkezleri kullanılır.
1
3
2
y
x
Ortak x ve y eksenlerine göre, her üç şeklin alan
momentleri hesaplanarak bu kompozit alanın
ağırlık merkezi bulunur.
321
321
AAA
AAAA
dAdAdA
xdAxdAxdA
dA
xdA
xİntegral yöntemi ile:
KT 20
1 3 2
y
x
3x
1x
2x
i
ii
i
ii
A AA A
A A
A
A
A
Ayy
A
Axx
AAA
AxAxAxx
dAxxdAvedAxxdA
AxdAxxdAdA
xdA
x
321
332211
32
1111
3 32 2
1 1
1
1
KT 21
ATALET
MOMENTLERİ
KT 22
ATALET MOMENTLERİ
Şekilde gösterilen x-y düzlemindeki A alanını
gözönüne alalım. dA düzlemsel diferansiyel alanın x
ve y eksenlerine göre atalet momentleri;
İle tanımlanır. Tüm alan için atalet momentleri
integralle belirlenir:
dAxdI
dAydI
y
x
2
2
y= dA’nın x eksenine uzaklığı
x= dA’nın y eksenine uzaklığı
Alanların ikinci
momenti
momentiataletgöreeksenineydAxI
momentiataletgöreekseninexdAyI
A
y
A
x
.
.
2
2
KT 23
ALAN için PARALEL EKSENLER TEOREMİ
Birinci integral, alanın geometrik merkez eksenine göre atalet momentidir.
İkinci integral, sıfırdır. Çünkü, x’ ekseni alanın geometrik merkezinden geçer,
Üçüncü integral, toplam alanı verdiğinden
00 dAydAyy
AddAdAdA yy
A
22
Bu durumda,
222
yxyx AdIAddAyI x’ eksenine paralel diğer bir
eksen Ağırlık merkezinden geçen x’
eksenine göre atalet momenti
dik uzaklık
Steiner teoremi
KT 24
Benzer ifade y ekseni (Iy) için yazılabilir:
2
xyy AdII
Ağırlık merkezinden geçen
y’ eksenine göre atalet
momenti
Toplam alan
y ekseninin y’ eksenine olan
dik uzaklığı
x’ ve y’ eksenleri, ağırlık merkezinden (C noktasından) geçmektedir.
Steiner teoremi
KT 25
Alan Atalet Momentinin İntegralle Bulunması
• Eğer eğri y=f(x) şeklinde tanımlanabiliyorsa, sonlu uzunlukta (x veya y) ama diferansiyel
genişlikte (dx veya dy) bir dikdörtgen eleman seçerek hesap yapılabilir.
•dA alanına sahip diferansiyel eleman, eğriyi bir (x,y) noktasında kesecek şekilde seçilmelidir.
KT 26
1.durum:
Elemanın uzunluğu eksenlere paralel seçilebilir. Dikkat edilirse, diferansiyel dikdörtgen elemanlar, x-
eksenine göre atalet momenti bulunurken x-eksenine paralel, y eksenine göre atalet momenti
bulunurken ise y-eksenine paralel seçilmiştir. Bu durumda aşağıdaki formüller kullanılabilir:
ydxdAxdydA
dAxIvedAyI yx
22
KT 27
2.durum:
Elemanın uzunluğu eksene dik seçilirse, moment kolu x ve/veya y seçilen dikdörtgen için sabit
olmamaktadır. Bu durumda, paralel eksenler teoremi kullanılmalıdır.
Önce elemanın kendi geometrik merkezinden geçen yatay bir eksene göre atalet momenti
hesaplanmalı, daha sonra paralel eksen teoremi kullanılarak elemanın x veya y eksenine göre atalet
momenti belirlenmelidir.
KT 28
KOMPOZİT ALANLARIN ATALET MOMENTLERİ
Kompozit alanlar, yarım daire, dikdörtgen ve üçgen gibi bir dizi basit parça veya şekilden
oluşur. Bu parçaların her birinin ortak bir eksene göre atalet momenti biliniyor veya
belirlenebiliyorsa, kompozit alanın atalet momenti, tüm parçaların atalet momentlerinin
cebirsel toplamına eşit olur.
Analizde izlenecek yol:
Parçalar: alan parçalara ayrılır ve her bir parçanın ağırlık
merkezlerinden referans eksene olan dik uzaklıklar
belirlenir.
Paralel eksen teoremi: eğer parçaların merkezlerinden
geçen eksenler referans ekseniyle çakışmıyorsa paralel
eksen teoremi kullanılmalıdır.( ; :parçaların
ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet
momenti)
Toplam: Tüm alanın referans eksene göre atalet
momenti, parçalar için elde edilen sonuçlar toplanarak
bulunur. Kompozit alanda boşluk varsa, bu boşluğun
atalet momenti toplamdan çıkartılır.
2AdII I
KT 29
Basit geometrik şekillerin atalet momentleri
G h
2
hy
b
2
bx
DİKDÖRTGEN
(b=h İSE KARE)
hbA .
x
y
x
y
O
3
3
bhI x 3
3hbI y
3
12
bhI x 12
3hbI y
KT 30
Bazı Şekillerin Atalet Momentleri
KT 31
KT 32
Yayılı Yükler
Bir çok durumda, cismin çok büyük bir yüzey alanı, rüzgarın, akışkanların neden olduğu veya
sadece cismin yüzeyi aracılığıyla taşınan malzeme ağırlığı gibi yayılı yüklere maruz kalabilir.
Bu yüklerin yüzey üzerindeki her bir noktadaki şiddeti N/m2 birimi ile ölçülebilen p basıncı
olarak tanımlanır.
Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)
A B
M P1 P2
kiriş ekseni
- P1 ve P2 tekil kuvvetler
- M tekil moment
- Özel durumlar dışında; genel olarak tekil kuvvet ve momentler gerçekte yoktur. Gerçekte
kuvvetler, belli bir yüzey üzerinde veya bir hacim içinde yayılıdır. Genelde kuvvetler; temas
yüzeyine, ağırlık kuvvetleri ise hacme yayılıdır.
- Kuvvetlerin yayılı olduğu yüzey veya hacim küçük ise; kuvvetler tekil kuvvet olarak dikkate
alınırlar. Ancak yüzey ve hacimler ihmal edilemeyecek kadar büyük ise yayılı yükler dikkate
alınmalıdır.
A
kiriş ekseni
L
B
Düzgün yayılı yük (örneğin; duvar
yükü, zati yük vb.)
A
kiriş ekseni
L
B
Düzgün yayılı üçgen yük
q (t/m; kg/cm...) q (t/m; kg/cm…)
Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)
Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)
A
kiriş ekseni
L
B
Düzgün yayılı trapez
(yamuk) yük
q2
q1
A
kiriş ekseni
L2
B
Değişken üçgen yayılı yük (döşemeden
kirişe aktarılan yük)
q
L
L1
Yukarıda gösterildiği gibi, kirişlere etkiyen yayılı yükler, kiriş eksenine dik yönde uygulanan yüklerdir. Yayılı
yükler yerine, şiddeti yayılı yüke eşit tekil (=konsantre) bir yük yazılabilir. Bu yükler ve etkidiği yerler
sonraki slaytta sunulmuştur.
A B
Düzgün yayılı yük (örneğin; duvar
yükü, zati yük vb.)
A B
Düzgün yayılı üçgen yük
q (t/m) q (t/m)
Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)
L/2
L
L/2
R=q.L (ton) R=q.L/2 (ton)
L/3
L
2L/3
Yayılı Yükler (özel olarak kirişlerde yayılı yükler)
A B
Trapez; dikdörtgen ve üçgen
olmak üzere 2 elemana
ayrılır.
q2
q1
A
kiriş ekseni
L2
B
2 farklı üçgen tek-tek dikkate
alınır.
q
L
L1
R1=q1.L
R2=(q2-q1).L/2
L/2
L
L/2
L/3 2L/3 2L1/3
R1=q.L1/2 R2=q.L2/2
L1/3 2L2/3 L2/3