ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU Ponašanje sistema u vremenskom domenu se može posmatrati u:

prelaznom stanju: ( ),y t t

stacionarnom stanju (ako postoji): ( ),y t t , tj. ( )y

( )y t - izlazna veličina sistema

( )y - vrednost izlazne veličine u stacionarnom stanju

stacionarno stanje

prelazno stanje

stacionarno stanje ne postoji

prelazno stanje

MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA

Dinamičko ponašanje sistema se može opisati pomoću opšteg operatora H koji preslikava ulazne veličine u t u izlazne veličine y t sistema.

Operator H predstavlja model sistema.

H se opisuje pomoću nekog tipa jednačina u zavisnosti od vrste sistema koji se modeluje. Tip jednačina H operatora  Funkionalna zavisnost jednačina  Stanje sistema 

algebarske jednačine  ( , ) 0f u y   stacionarno stanje 

diferencijalne jednačine  ( , , , , ) 0du dyf t u ydt dt

  prelazno stanje 

integralne jednačine  ( , , , , ) 0f t u udt y ydt   prelazno stanje 

diferencijalno‐integralne jednačine 

( , , , , , , ) 0du dyf t u udt y ydtdt dt

  prelazno stanje 

H

POSEBAN SLUČAJ SISTEMA

SISO sistem H je opisan jednom linearnom diferencijalnom

jednačinom sa konstantnim koeficijentima

1

1 1 01

1

1 0

( ) ( ) ( )... ( )

( ) ( ) ... ( )

n n

n nn n

m m

m mm

d y t d y t dy ta a a a y tdt dt dt

d u t d u tb b b u tdt dt

Ulaz ( )u t nazivamo pobuda sistema.

Izlaz ( )y t nazivamo odziv sistema.

sistem linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima

Linearan, stacionaran dinamički sistem

H je

DIF. JED.

KARAKTERISTIKE DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Koeficijenti diferencijalne jednačine: 1 1 0 1 1 0, , , , ; , , , ,n n m ma a a a b b b b

Red modela (sistema): n

Uslov fizičke ostvarljivosti sistema: n m

Početni uslovi: (1) (2) ( -1)(0), (0), (0), , (0)ny y y y

Rešenje diferencijalne jednačine: ( ) ( ) ( )h py t y t y t

partikularno rešenje ( )py t - zavisi od oblika pobude ( )u t

homogeno rešenje ( )hy t ( ( ) 0u t ) - zavisi od oblika karakt. jednačine

( )ii

i in

d y ta adt

1 11 1 0 0n n

n na a a a (karakteristična jednačina)

Primer 2.1. Odrediti rešenje sledeće diferencijalne jednačine (odziv sistema)

( ) ( ) ( )dy t ay t u t

dt

početni uslov: 0(0 )y Y

pobuda: 0, 0

( ), 0bt

tu t

e t

Rešenje: Odziv sistema se dobija kao zbir homogenog i partikularnog rešenja

date diferencijalne jednačine:

( ) ( ) ( )h py t y t y t

PARTIKULARNO REŠENJE ZA t > 0

( ) ( ) , 0

( ) , 0

bt btp

btp

u t e y t Ae t

y t bAe t

Zamenom u diferencijalnu jednačinu dobija se

( )( )

11

p bt bt bt btp

dy tay t e bAe aAe e

dtbA aA

Aa b

1( ) , 0btpy t e t

a b

HOMOGENO REŠENJE t > 0

( ) ( )( ) 0 ( ) 0

0

( )

h hh

karakteristični polinom

t ath

dy t dy tu t ay tdt dt

a a

y t Ke Ke

Nepoznatu konstantu K određujemo iz ukupnog rešenja i početnog uslova: 1( ) ( ) ( ) bt at

p hy t y t y t e Kea b

, 0(0)y Y

0 01 1Y K K Y

a b a b

UKUPNO REŠENJE ZA t > 0:

01( 1)

hp

ab

y t

t

y t

t Yeb

ey ta a b

PARTIKULARNO REŠENJE ZA t < 0

( ) 0Py t jer nema pobude za t < 0

HOMOGENO REŠENJE ZA t < 0 isto je kao i za t > 0

( ) athy t Ke

Nepoznatu konstantu K određujemo iz ukupnog rešenja i početnog uslova:

( ) ( ) ( ) 0 ( ) atP h hy t y t y t y t Ke , 0(0 )y Y

0K Y

UKUPNO REŠENJE ZA t < 0:

0( ) , 0aty t Y e t

ODZIV USLED POČETNIH USLOVA I POBUDE

Homogeni i partikularni deo odziva y(t) iz prethodnog primera možemo pregrupisati i napisati u drugačijem obliku:

0 0( ) ( )1 1 1

h

P

p

U

y t y

bt bt bt atat

pt

a

Y o

t

y

e e e ea b a b

Y e Y eb

y ta

y t

PUy - odziv usled početnih uslova, POy - odziv usled pobude

ODZIV = ODZIV USLED POČETNIH USLOVA + ODZIV USLED POBUDE: Odziv usled početnih uslova Y0 ≠ 0, u(t) = 0 0( ) at

PUy t Y e

Odziv usled pobude u(t) ≠ 0, Y0 = 0 1( ) bt bt at

POy t e e ea b

Primer. Mehanički sistem na koji deluje sila f(t) sadrži masu M, oprugu koe-ficijenta elastičnosti k i trenje koeficijenta .

Rešenje.

sila inercije: 2

2( )id xf t Mdt

,

sila viskoznog trenja: ( )tdxf tdt

sila elastičnosti opruge: ef kx .

RAVNOTEŽA: ( ) ( ) ( )ei tf t f t f f t

2

2

( ) ( ) ( ) ( )d x t dx tM kx t f tdt dt

Karakteristike sistema: - red izvoda diferencijalne

jednačine: 2n , 0m

- red sistema: 2n - parametri sistema:

0 1

2 0

, ,, 1

a k aa M b

STANDARDNE (TIPIČNE) ULAZNE VELIČINE

Namena standardnih ulaznih veličina:

- izvođenje teorijskih rezultata - poređenje osobina različitih klasa sistema - definisanje karakterističnih odziva sistema

Vrste standardnih ulaznih veličina: - jedinična odskočna funkcija - jedinična nagibna funkcija - jedinična impulsna funkcija - prostoperiodična funkcija

H

JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA (HEHISAJDOVA FUNKCIJA)

Jedinična odskočna funkcija - Hevisajdova funkcija - h(t)

0 0( )

1 0t

h tt

Odskočna funkcija

0 0( )

0t

h tK t

t

h(t)

1

t

Kh(t)

K

Zakašnjena jedinična odskočna funkcija

0( )

1t

h tt

Zakašnjena odskočna funkcija

0( )

th t

K t

t

1

t

K

Realna odskočna promena

Nagla odskočna promena nije moguća

Osobine odskočne funkcije:

modeluje idelani prekidač.

permanentno pobuđuje sistem nakon uključivanja.

t

h(t)

1 0

( ) ( )a ah t h t

t

ha(t)

1

-a/2 a/2

JEDINIČNA NAGIBNA FUNKCIJA

Jedinična nagibna funkcija

0, 0( )

, 0t

r tt t

( ) ( )r t t h t

t

h(t)

1

f(t) = t

t

1

45o

t 45o

Nagibna funkcija

f t ath t ar t

Zakašnjena nagibna funkcija

f t ar t

t

a

t

JEDINIČNA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA)

Jedinična impulsna funkcija

2

1

1 2

( ) 0, 0

( ) 1, 0t

t

t t

t dt t t

Za 0t , (0) , strelica „gleda“ u .

Površina ispod krive jedinične impulsne funkcije iznosi 1! Impulsna funkcija

2

1

1 2

( ) 0, 0

( ) , 0t

t

t t

t dt K t t

K - površina ispod krive t

Kδ (t) K

0

t

δ (t) 1

0

Zakašnjena jedinična impulsna funkcija

2

1

1 2

( ) 0, 0

( ) 1,t

t

t t

t dt t t

Zakašnjena impulsna funkcija

2

1

1 2

( ) 0, 0

( ) ,t

t

t t

t dt K t t

t

1

0

t

K

0

Realna impulsna funkcija

Posmatramo funkciju ( )T t prikazanu na slici.

Smanjivanjem parametra T postepeno se dobija oštrija impulsna promena

0

( ) lim ( )TTt t

T0

t

δT (t)

T/2 -T/2

1/T

t

δT (t)

T/2 -T/2

1/T

t

δT (t)

T/2 -T/2

1/T

t

δ (t)

1

Veza između h, r i δ

( ) ( )r t t h t ( )t

( )( ) dr th tdt

( ) ( )t

h t d

( )( ) dh ttdt

( ) ( )t

r t h d

SINUSNA FUNKCIJA

2sin sin 2 siny t A A ft A tT

Prigušena sinusna funkcija

2sin sin 2 sint t tAe Aey t t ft tT

Ae

T – period oscilacija

f – učestanost oscilacija [Hz]

( 1 /f T )

- učestanost [rad/s]

( 2 f )

– koeficijent prigušenja [1/s]

KARAKTERISTIČNI VREMENSKI ODZIVI

Pobudna funkcija Odziv sistema

Odskočna funkcija h(t) Odskočni odziv s(t)

Nagibna funkcija r(t) Nagibni odziv

Impulsna funkcija (t) Impulsni odziv g(t)

Sinusna funkcija Sinusni odziv

ODZIV SISTEMA NA PROIZVOLJNU POBUDU

Posmatramo sistem opisan pomoću impulsnog odziva ( )g t .

Cilj je da odredimo izlaz sistema ( )y t na poznatu pobudu ( )u t .

Može se pokatati da važi sledeća veza između ovih veličina:

( ) ( ) ( )y t u g t d

)( )) ((u ty t g t Simbolički zapis integrala konvolucije

Zaključak: 1. g(t) se može koristiti kao model sistema bez početnih uslova. 2. g(t) se može veoma lako eksperimentalno dobiti.

integral konvolucije ulaza sistema ( )u t i impulsnog odziva sistema ( )g t

NEKE BITNE OSOBINE SISTEMA

SISTEMI BEZ MEMORIJE - STATIČKI SISTEMI Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi samo od vrednosti pobude u tom trenutku.

Primer: ( ) ( )Ru t Ri t

SISTEMI SA MEMORIJOM - DINAMIČKI SISTEMI Izlaz sistema u proizvoljnom trenutku zavisi od vrednosti pobude u tom trenutku i u prethodnim trenucima vremena. Primer:

1( ) ( )t

Cu t i dC

LINEARNOST

Sistem je linearan ukoliko poseduje osobine

aditivnosti i princip superpozicije

homogenosti Sistem je aditivan ukoliko je njegov odziv na zbir ulaznih signala jednak zbiru odziva na pojedinačne ulazne signale, odnosno ako važi

1 11 2 1 2

2 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

HH

H

u t y tu t u t y t y t

u t y t

Sistem je homogen ukoliko je njegov odziv na multipliciranu pobudu jednak multipliciranom odzivu na originalnu pobudu:

( ) ( ) ( ) ( )H Hu t y t au t a y t

Princip superpozicije = aditivnost + homognost

, ( ) ( ) ( ) ( )H Hk k k k k k

k kk u t y t a u t a y t

KAUZALNOST – FIZIČKA OSTVARLJIVOST SISTEMA Kauzalan sistem Nekauzalan sistem

t

y(t)

t

u(t)

Sistem je kauzalan ako njegov odziv u nekom trenutku vremena zavisi isključivo od pobude koja je na njega delovala do tog trenutka.

Svi realni fizički sistemi su kauzalni ! Uslov kauzalnosti kod diferencijalnih jednačina:

n m

??? t

y(t)

t

u(t)

STACIONARNOST – VREMENSKA INVARIJANTNOST Sistem je stacionaran ukoliko je njegov odziv na vremenski pomerenu pobudu takođe vremenski pomeren u istom iznosu

Odziv stacionarnog sistema je neosetljiv na trenutak dejstva pobude. Kod stacionarnih sistema najčešće se usvaja da pobuda počinje da deluje u trenutku t = 0.

t

y(t)

t

u(t)

t

y(t)

t

u(t)

OSNOVNI POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU Pokazatelji su definisani koristeći odskočni odziv sistema drugog reda:

SISTEM: 2

2 1 0 02

( ) ( ) ( ) ( )d y t dy ta a a y t b u tdt dt

Specijalni izbor parametara: 2 11, 2 na a , 0 02na b

SISTEM: 2

22 2( ) ( )2 ( ) ( )n n n

d y t dy t y t u tdt dt

0 02na b - uzete su jednake vrednosti da bi odskočni odziv u stacionarnom

stanju bio jedan ( ) 1y

–koeficijent relativnog prigušenja (0 1 )

n – sopstvena neprigušena učestanost (0 n )

Odskočni odziv sistema drugog reda:

2

21( ) 1 ( )1

sin 1nn

tet tts h

, arccos , 0 1

Vremenska konstanta sistema: 1

n

T

nttT

n

tt Te e

Stacionarno stanje t :

I način: 2( ) 1 1 / 1s e 0 2sin 1 1 0 1n t

II način: ( ) 0

j

j

d s tdt

2 2( ) ( )n ns t h t ( ) ( ) 1s h

t

h(t)

1

s(t)

t

Stacionarno stanje odskočnog odziva s(t):

VREME KAŠNJENJA  

kT  – vreme kašnjenja je vreme potrebno da se vrednost odskočnog odziva  s t  

promeni od 0 do 50% vrednosti u stacionarnom stanju. 

Sistem II reda: 

1 0.7k

n

T

 

Vreme kašnjenja pokazuje sa kolikim 

se zakašnjenjem od trenutka dejstva 

pobude na izlazu sistema pojavljuje 

primetan signal. 

Stvarna kriva

VREME USPONA  

uT  ‐ vreme uspona je vreme potrebno da se vrednost signala s(t) promeni od 10% do 90% vrednosti u stacionarnom stanju. 

Sistem II reda: 

21 1.1 1.4u

n

T

 

Definiše brzinu reagovanja sistema. 

Većem vremenu uspona odgovaraju veća izobličenja u prenosu signala. 

VREME PRESKOKA I PRESKOK

PT – vreme preskoka je trenutak kada signal s(t) dostiže svoju maksimalnu vrednost smax.

Sistem II reda:

21p

n

T

% - preskok definiše se u procentima na sledeći način:

21max ( )% 100% 100( )

s s es

Preskok - mera relativne stabilnosti sistema,

Preskok - karakteriše tačnosti rada sistema.

VREME SMIRENJA 

ST  – vreme smirenja je vreme potrebno da amplituda signala  y t  uđe u pojas 

širine 2   oko vrednosti  ( )s  , odnosno u pojas  ( ) (1 )s .  

Za    se najčešće usvaja 2% ili 5% od  ( )s . 

Posle isteka vremena smirenja prelazni proces se može zanemariti. 

Sistem II reda: 

0.02n STe    (2%) 

0.05n STe    (5%)  

4 4Sn

T T

 ( za 2%) 

3 3Sn

T T

 (za 5%) 

Vremenska konstanta sistema:   1

n

T

 

Za 2%

UČESTANOST (PERIOD) OSCILACIJA Period oscilacija definiše razmak između dva susedna maksimuma u odskočnom odzivu.

2

2

1( ) 1 sin 11

ntns t e t

Učestanost oscilacija odziva: 21n

Perioda oscilacija: 2

2 21n

Broj perioda tokom vremena smirenja 2

2

42 1

21

S n

n

TN

Primer. Odrediti odziv sistema i pokazatelje u vremenskom domenu ako njegova jednačina ponašanja iznosi:

2

2

( ) ( ) ( ) ( )d y t dy t y t u tdt dt

Rešenje. 2 1n 1 /n rad s

2 1 0.5,n n 1 0.5

2 n

, 1 1 2

0.5 1n

T s

2 312n ,

3 /2

rad s

0arccos arccos 0.5 603

rad , 3

rad

2

2

1( ) 1 sin 1 ( )1

ntns t e t h t

,

arccos , 0 1

22 3( ) 1 sin ( )2 33

t

s t e t h t

2( ) 13

s e 0 3sin ( ) 1 0 1

2 3t h t

( ) 1s

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

1 0.7 1 0.7 0.5 1.351k

n

T s

,

Sa dijagrama 1.33kT s

21 1.1 1.4 1 1.1 0.5 1.4 0.25 1 0.55 0.35 1.9

1un

T s

,

Sa dijagrama 1.63uT s

2

2 3.6231

p

n

T s

,

Sa dijagrama 0.5

3.63.6 3.60n P pn

T T s

22 0.5

1 3 3% 100 100 100 16.3%e e e

,

Sa dijagrama: % 16.3%

4 4 4 2 8Sn

T T s

( za 2%),

Sa dijagrama: 0.5

88 8n S Sn

T T s

2

2 2 4 7.2531n

s

8 1.107.25

sTN

( za 2%)