MECÁNICA DE FLUIDOS 2. Análisis Dimensional

CARLOS ALBERTO GARCIA MOGOLLON

• Utilidad y justificación

• Teoría de la similitud

• Fundamentos del Análisis dimensional

• Obtención de parámetros adimensionales y teorema de pi.

• Aplicación del teorema de pi.

• Parámetros adimensionales comunes de la Mecánica de fluidos.

Contenido

JUSTIFICACIÓN DEL ANÁLISIS ADIMENSIONAL

Tomado de:

Tomado de:

Teoría de la similitud

• Geométrica

• Mecánica

– Estática

– Cinemática

– Dinámica

Modelos Matemáticos

Modelos Empíricos

Diseño y construcción de equipos industriales

Prototipo

Beginning with theoretical aspects, it is possible, sometimes, to design and build a prototype applicable to industrial scale. In practice, this rarely happens

in this case experimentation in reduced models is necessary, following directions given by the dimensional analysis Modelo

Escala

Criterios de similitud 𝑚 = 𝒌𝑚´

Factor de escala

𝑚 = 𝒌𝑚´

Geométrico

Mecánico

Térmico

Concentración

𝑚 = 𝒌𝑚´

Geométrica

𝑥1

𝑥2=

𝑟1

𝑟2=

𝑦1

𝑦2=𝐿1

𝐿2= 𝑘

Tomado de:

Mecánica

𝑚 = 𝒌𝑚´ Estática

Cinemática

Static similarity links the proportionality of the deformations. However, this type of similarity can be neglected if materials with enough resistance are employed. When constant tension is applied to solid bodies and geometric similarity is maintained, static similarity exists.

Once the model and the prototype are similar, the proportionality ratios between velocities and times should be sought.

𝑣1𝑣2

= 𝐶

Mecánica

𝑚 = 𝒌𝑚´ Estática

Cinemática

Dinámica

Movimiento de una masa de fluido

Movimiento de una masa de fluido

Fuerza inercial Fuerza friccional

Similitud Dinámica

Similitud geométrica y cinemática

Similitud Dinámica Similitud geométrica y cinemática

Fundamentos del Análisis dimensional Es una rama de la matemática aplicada a la

Física que se encarga de estudiar las distintas formas en que se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas y éstas con sus unidades

Un análisis correcto de las unidades y/o dimensiones de las magnitudes físicas nos permitirá: 1º Relacionar una magnitud física derivada con otras elegidas como fundamentales. 2º Establecer el grado de verdad de una fórmula. 3º Elaborar fórmulas empíricas para fenómenos de simple desarrollo.

FÓRMULAS DIMENSIONALES

EXPRESIONES MATEMÁTICAS

IDENTIFICAR

MAGNITUD FÍSICA DERIVADA

MAGNITUDES FÍSICAS

MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN POTENCIACIÓN RADICACIÓN

OPERADOR DIMENSIONAL : [ ]

MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES

DIMENSIONES (EXPONENTES)

son nos permiten utilizan operaciones de

por medio de un

La relación entre una

y las

que relacionan

teniendo en cuenta sus

Fórmulas dimensionales

Las fórmulas dimensionales son aquellas relaciones de igualdad mediante la cuáles una magnitud derivada queda expresada en base a las magnitudes fundamentales de un modo general.

Así, si x es una magnitud derivada, se establece que [x] es la fórmula dimensional de x , tal que:

[x]=LaMbTc θdIeJfNg

En ésta relación general se pueden identificar a los exponentes a, b, c, d, e, f, g ; quienes en adelante se llamarán las dimensiones de “x”, las cuáles serán siempre números reales. En principio una dimensión nos indica el número de veces que una magnitud fundamental está presente en una fórmula dimensional.

Las fórmulas dimensionales se obtienen a partir de fórmulas matemáticas o físicas

Ecuaciones dimensionales

Son aquellas relaciones de igualdad en donde algunas magnitudes

físicas son conocidas y otras, o no lo son, o tienen dimensiones desconocidas.

L3M[X] – L3[Y]=L3MT-1 Incógnitas:[X], [Y] (Magnitudes)

LsT3θ-2=L4Trθ2r-u Incógnitas: r,s,u (Números)

Reglas importantes

Las magnitudes físicas así como sus unidades no cumplen con las leyes de la adición o sustracción, pero sí con las demás operaciones aritméticas.

Ejemplo:

L2+ L2+L2+L2= L2

LT-2+ LT-2+LT-2+LT-2= LT-2

Principio de homogeneidad

“Toda ecuación será dimensionalmente correcta si los términos que componen una adición o sustracción son de iguales dimensiones, y si en ambos miembros de la igualdad aparecen las mismas magnitudes afectadas de los mismos exponentes”

[A]+[B]=[C]+[D] [A]=[B]=[C]=[D]

Fórmula empírica

Es aquella relación obtenida en base a una comprobada dependencia de una magnitud (a) con otras (b,c,d), las mismas que se podrán mediante una resultante numérica (k), tal que: a=k.bx.cy.dz

donde x, y, z tienen valores apropiados que permiten

verificarla igualdad. Este tipo de relación nos permite establecer fórmulas físicas

antes de someterse a su validación experimental.

Obtención de parámetros adimensionales y teorema de π

Son un conjunto de variables agrupadas de forma que su dimensión es 1; es decir, no tienen dimensiones.

¿Parámetros adimensionales?

Cada una de las MAGNITUDES utilizadas en MECÁNICA esta asociada con una DIMENSIÓN física

Magnitud fundamental

Magnitud fundamental Símbolo Unidad en el S.I.

Longitud L Metro

Masa M Kilogramo

Tiempo T Segundo

Temperatura termodinámica Kelvin

Intensidad de corriente eléctrica I Amperio

Intensidad luminosa J Candela

Cantidad de sustancia N Mol

Magnitud Derivada Magnitud Derivada

Fórmula Dimensional Unidad en el S.I

Área L2 m2

Volumen L3 m3

Densidad ML-3 kg/m3

Velocidad LT-1 m/s

Aceleración LT-2 m/s2

Fuerza MLT-2 Newton

Trabajo ML2T-2 Joules

Potencia ML2T-3 Watt

Presión ML-1T-2 Pascal

Velocidad angular T-1 rad/s

Aceleración angular T-2 rad/s2

Frecuencia T-1 Hertz

Impulso MLT-1 mkg/s

Caudal L3T-1 m3/s

Carga eléctrica IT A.s

𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑦

𝑀

𝐿𝑇2=

𝑀

𝐿𝑇

𝐿𝑇−1

𝐿

𝜇𝑑𝑢

𝑑𝑦

𝜏𝑥𝑦=

𝑀

𝐿𝑇2

𝑀

𝐿𝑇2

=[1]

Cada una de las MAGNITUDES utilizadas en MECÁNICA esta asociada con una DIMENSIÓN física

Viscosidad

Expresión dimensional equivalente

Parámetro adimensional

Principios de homogeneidad dimensional

¨cualquier ecuación que describa por completo un fenómeno físico debe ser dimensionalmente homogénea¨

𝑃

𝜌𝑔+𝑣2

2𝑔+ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Ecuación de Bernoulli

Principios de homogeneidad dimensional

¨Cualquier ecuación que describa por completo un fenómeno físico debe ser dimensionalmente homogénea¨

𝑃

𝜌𝑔+𝑣2

2𝑔+ 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Ecuación de Bernoulli

𝑃

𝜌𝑔𝑧+

𝑣2

2𝑔𝑧+𝑧

𝑧= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑀𝐿𝑇−2

𝐿2

(𝑀𝐿3 ). 𝐿𝑇−2

+𝐿2𝑇−2

2𝐿𝑇−2 + 𝐿 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

1. Se pueden obtener parámetros adimensionales a partir de una ecuación teórica que relacione las variables que intervienen en un fenómeno físico dado.

2. La homogeneidad dimensional se podrá emplear para plantear las ecuaciones experimentales o resolver mediante el análisis dimensional.

Aplicación del teorema de π

Existe un número de parámetros adimensionales independientes fijo para un problema dado y es igual a la diferencia entre número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales.

I=N-R

I: número de parámetros adimensionales independientes N: número total de variables R: número de dimensiones fundamentales

Aplicación del teorema de pi.

Ejemplo aplicación

1. Listado de variables significativas. 2. Expresiones dimensional.

Magnitud fundamental Dimensión

Longitud L

Masa M

Tiempo T

Magnitud Derivada

Fórmula Dimensional

Densidad ML-3

Velocidad LT-1

Fuerza MLT-2

Viscosidad ML-1T-1

1. Listado de variables significativas. 2. Expresiones dimensional. 3. Determinación de parámetros adimensionales:

𝐹 = 𝐾𝜌𝑎𝜇𝑏𝐷𝑐𝑉𝑑

𝑀𝐿𝑇−2 = M𝐿−3 𝑎 M𝐿−1𝑇−1 𝑏𝐿𝑐 𝐿𝑇−1 𝑑

𝑀𝐿𝑇−2 = 𝑀𝑎+𝑏 𝐿−3𝑎−𝑏+𝑐+𝑑 𝑇−𝑏−𝑑

1 = 𝑎 + 𝑏 1=−3a−b+c+d −2 = −𝑏 − 𝑑

1. Listado de variables significativas.

2. Expresiones dimensional. 3. Determinación de parámetros

adimensionales:

𝑀𝐿𝑇−2 = M𝐿−3 𝑎 M𝐿−1𝑇−1 𝑏𝐿𝑐 𝐿𝑇−1 𝑑

𝑀𝐿𝑇−2 = 𝑀𝑎+𝑏 𝐿−3𝑎−𝑏+𝑐+𝑑 𝑇−𝑏−𝑑

1 = 𝑎 + 𝑏 1=−3a−b+c+d −2 = −𝑏 − 𝑑

a = 1 − 𝑏 c=2−b 𝑑 = 2 − 𝑏

𝐹 = 𝐾𝜌1−𝑏𝜇𝑏𝐷2−𝑏𝑉2−𝑏

𝐹 = 𝐾(𝜌−𝑏𝜇𝑏𝐷−𝑏𝑉−𝑏). 𝜌 . 𝐷2. 𝑉2

𝐹

𝜌 .𝐷2.𝑉2 = 𝐾𝜇

𝜌𝐷 𝑉

𝑏

Parámetros adimensionales comunes de la Mecánica de fluidos