2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE
description
Transcript of 2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE
2. A HIDROGÉNATOM SZERKEZETE
2.1. A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
A kvantummechanika Schrödinger-egyenlete
általános formában
E)(H
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete
E
r4
e
m2m2 o
22p
p
22e
e
2
Megj.: alsó indexben e és p elektronra és protonra utal,
e az elektron töltése (-1,602x10-19 C),
r az elektron protontól való távolsága,
o vákuum permittivitás (8,854x10-12 Fm-1).
A hidrogénatom Schrödinger-egyenlete megoldható!
A megoldás trükkje: polárkoordináta rendszert alkalmazunk.
r : vezérsugár
: hajlásszög
: azimut
Polárkoordináták transzformációja Descartes-koordinátákba
cossin
sinsin
cos
rz
ry
rz
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Sajátérték
222
4 1
8 nmm
mm
h
eE
pe
pe
on
n: főkvantumszám 1, 2, 3...
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Sajátfüggvények
n : főkvantumszám : mellékkvantumszám 0,1,2 (n-1)m : mágneses kvantumszám 0, 1, 2 …
Három egész számot tartalmaznak
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Degenerált állapotok
Azonos az energia (sajátérték),de különféle függvények
tartoznak hozzá.
A Schrödinger-egyenlet megoldása
Degenerált állapotok
Azonos az energia (sajátérték),de különféle függvények
tartoznak hozzá.
Ha n megegyezik, de és/vagy m nem,
azok a H-atom degenerált állapotai
A sajátfüggvények alakja
),((r)ΨRΨ ml,ln,ml,n,
radiális rész anguláris (szögtől függő) rész
Lineár-kombinációk(ábrázolhatóság miatt)
m,n,m,n,
m,n,m,n,
ΨΨ2
i
ΨΨ2
1
Ha = 0, akkor s = 1, akkor p
= 2, akkor d indexeket használnak!Mágneses spinkvantumszám helyett x, y, z-t írnak.
A hidrogénatom komplex hullámfüggvényei
i3
ρ2
2
3
o321
i3
ρ2
2
3
o321
o
2e
2
o
ecossineρaπ81
1Ψ
ecossineρaπ81
1Ψ
a
rρ
lm
ha
A hidrogénatom valós hullámfüggvényei
sincossineρaπ81
2
2
ΨΨiΨ
coscossineρaπ81
2
2
ΨΨΨ
3
ρ2
2
3
o132321
3d
3
ρ2
2
3
o132321
3d
yz
xz
A hidrogénatom Rn,l radiális hullámfüggvényei
1s 2px 2py 2pz
3dX2- y
2
3dz2
3dyz 3dxz 3dxy
z
y
x
A hidrogénatomanguláris
hullámfüggvényei
2.2 A hidrogénatom színképe
Kiválasztási szabályok
A 4. Axiómából kiindulva lehet hozzájuk jutni.
1. szabályEnergiamegmaradás
hE
Átmeneti momentum
d)(ˆ)(P 12
1 2és állapotfüggvény
1-es index: kiindulási állapotban
2-es index: végállapotban
dipólus-momentum operátor
Dipólus momentum
+ -
d1 pozitív és 1 negatív töltés
q : a töltésd: a távolság; a pozitív töltéstől a negatív töltés irányába mutat
dq
Több töltés esetén
q : a töltés
i
iiy yqi
iix xq i
iiz zq
Hidrogénatomra vonatkozó kiválasztási szabályok
n
m bármennyi
bármennyi
1
A hidrogénatom színképe
h)n
1
n
1(
mm
mm
h8
eE
22
21pe
pe
20
2
4
diszkrét vonalak!
Az atomos hidrogén spektruma
A hidrogénatom energiaszintjei
A hidrogénatom megengedett
átmenetei
A hidrogénatom vonalszériái
Lymann-széria
n1 = 1 n2 = 2, 3, 4… UVtartomány
Balmer-széria
n1 = 2 n2 = 3, 4… VIStartomány
Paschen-széria
n1 = 3 n2 = 4… IRtartomány
2.3 A hidrogénatom elektronjának pálya-impulzusmomentuma
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
A klasszikus mechanikában
prP
P
három komponensének sajátértéke egyidejűleg nem „mérhető”.
Helyette „mérhető” és operátorok sajátértékei.
Az utóbbiakra felírt sajátérték egyenletek megoldhatók.
2P
zP
sajátértékek2P
22 )1(P
)1(P
mellékkvantumszám
P absz. érték, hossza
sajátértékezP
mP z m: mágneses kvantumszám
P vetülete a z tengelyen
,2,1,0m
Minden P sajátértékhez 12 Pz sajátérték tartozik.
Az -hoz tartozó pályaimpulzusmomentum térbeli
kvantáltsága
3
2.4 Az elektron pálya-mágnesesmomentuma
A hidrogénatom klasszikus mechanikai modellje
Pozitív töltésű részecske, amely körül egy negatív töltésű részecske kering.
A klasszikus fizikában
I : a köráram erőssége
A : a körbejárt felület
: a felületre merőleges egységvektor
n
nAIM
Próbáljuk meg összefüggésbe hozni az
impulzusmomentummal!
T
eI
2rA
nT
erM
2
nAIM
Az impulzusmomentum képletének átalakítása hasonló módon
nT
r2rmvrmP ee
nT
erM
2 n
T
r2rmvrmP ee
Pm2
eM
e
A mágneses momentum operátora
Pm
eM
e
ˆ2
ˆ
és operátorok sajátérték-egyenletei oldhatók meg.
2M zM
Bem
eM )1(
2)1(
M abszolút értéke
eB em
e Bohr-magneton
12410724,9 JTeslaB
A mágneses momentum z irányú vetülete
m : mágneses kvantumszám
Be
z mm
emM
2
Mágneses térben levő részecske potenciális energiája
Klasszikus fizika:
Kvantummechanika
: mágneses indukcióB
BMBMV zmág
BmV Bmág
ˆ
Zeeman-effektus
2.5 Az elektronspin
Stern-Gerlach-kísérlet
Ezüst-atom sugár kísérlet(hidrogénatommal a kísérlet nehezebb, de az eredmény ugyanaz.)
Alapáll.: n =1;
0 Bz mM nem térül el
Eredmény: két irányba eltérül!!
és m csak 0 lehet!
Értelmezés
Alapállapotban is van impulzusmomentum, amelyből mágneses momentum adódik.
Ez az impulzusmomentum a spin.
Spin operátor
Jele: S
Sajátérték egyenletet lehet felírni absz. értékére és z irányú vetületre.
sajátértéke2S
)1( sssP
2
1s
Ps : spinhez tartozó imp. momentum
: spinre utaló mellékkvantumszáms
22 )1( sssP
abszolút érték
sajátértékezS
sP zs 2
1s
zsP : z irányú komponens
Spinből származó mágneses momentum
Bsses gM )1(
Bezs sgM
abszolút érték
z irányú komponens
ge : Lande-faktor
hidrogénatomban ge=2,0023
A spin operátorok sajátfüggvénye
)(ˆ
ˆ 2
sS
Sz (közös a két operátoré)
A spin létezése nem kvantummechanikai axióma.
Spin értelmezése: Paul Dirac (1902-1984)
Relativitáselmélet
•Olyan mozgások leírása, ahol a sebesség összemérhető a fénysebességgel.•Az elektron sebessége is összemérhető a fénysebességgel.•Dirac-egyenlet: Schrödinger egyenlet módosítva a relativitáselmélettel.
A hidrogénatom Dirac-egyenletének megoldása
E függ n-től nagyon és j-től picit
s
0
21
: az elektronpálya impulzusmomentuma
: a spin impulzusmomentuma
ha
d pálya
s pálya
p pálya
2
1j
2
3;
2
1j
2
5;
2
3j
sj belső kvantumszám
Spin-pálya felhasadás
21
d pálya
p pálya 2
3;
2
1j
2
5;
2
3j
Ha 0-től eltér a mellékkvantumszám, a belső kvantumszámnál az energiaszintek kétfelé hasasnak
A spin-pálya csatolás miatt felhasadnak az energiaszintek
Kiválasztási szabály
1,0 j
1
A Dirac-egyenlet sajátfüggvényei
)()(,, smn
„spin-koordinátor”