§2 离散型随机变量及其分布律 1/23...

第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布

§2 §2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 1/23

用同一支枪对目标进行射击，直到击中目标为用同一支枪对目标进行射击，直到击中目标为止止 ,, 则射击次数则射击次数是离散型是离散型 r.v.r.v.X

离散型离散型 r.vr.v非离散型非离散型 r.vr.v

散型随机变量散型随机变量将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，定义况，定义

正面出现的次数正面出现的次数X

至多可列至多可列至多可列至多可列

的取值为故是离散型的取值为故是离散型 r.vr.vX 0,1,2,3, X

114114 查号台一天接到的呼叫次数查号台一天接到的呼叫次数是离散型是离散型 r.vr.vX

电子产品的寿命电子产品的寿命是否是离散型是否是离散型 r.vr.vX

若若仅取有限或可列个值，则称仅取有限或可列个值，则称为为r.v X X 离离



且且

r.vr.v 的所有可能的取值的所有可能的取值

设设为离散型为离散型 r.v,r.v, 设所有可能的取值设所有可能的取值为为X X

1 2, , , ,kx x x

{ } ( 1, 2, )k kP X x p k

的统计规律完全由数列确定的统计规律完全由数列确定{ },{ }k kpxX

称称{ } ( 1, 2, )k kP X x p k

为离为离散型的散型的r.v X 分布律分布律

r.vr.v 取各个值的概率取各个值的概率



将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数况，记为正面出现的次数 ,, 求的分布律求的分布律X X

{ 0}P X

的取值为的取值为X 0,1,2,3

故的分布律为故的分布律为X

,, 其其样本空间为{ TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHH}S

18

{ 1 }P X 38

{ 2}P X 38

{ 3}P X 18

分布律有什么特点分布律有什么特点

全部和为全部和为 11全部和为全部和为 11

所有样本点所有样本点遍历一次遍历一次

所有样本点所有样本点遍历一次遍历一次



0, 1,2,kp k

11k

k

p

1 1{ }k k

k k

p P X x

1{ }k

kP X x

( ) 1P S

离散型离散型 r.vr.v 的分布律必满足性质的分布律必满足性质满足性质的数列必是某离散型满足性质的数列必是某离散型 r.vr.v 的分布律的分布律{ }kp



离散型离散型 r.vr.v 的概的概率分布规律相当于向位于率分布规律相当于向位于处的“盒子”中扔球处的“盒子”中扔球

kx

{ } ( 1, 2, )k kP X x p k

1 2

1 2

k

k k

X x x xp p p p

1 2

1 2

k

k

x x xp p p

kx

扔进第扔进第个 “盒个 “盒子”的可能性是子”的可能性是扔进第扔进第个 “盒个 “盒子”的可能性是子”的可能性是kp

k



.. 记记

一球队要经过四轮比赛才能出线一球队要经过四轮比赛才能出线 .. 设球队每轮设球队每轮被淘汰的概率为记被淘汰的概率为记表示表示球队结束比赛时的比球队结束比赛时的比赛次数，求赛次数，求的分布律的分布律 ..

0.5,p X

X

r.v X 可能的取值为可能的取值为 1,2,3,4

p

{ }, 1,2,3,4kA k 通过第轮比赛通过第轮比赛k

1{ 1} ( )P X P A 则则

(1 )p p 1 2{ 2} ( )P X P A A 2 1 1( | ) ( )P A A P A1 2 3{ 3} ( )P X P A A A 3 1 2 2 1 1( | ) ( | ) ( ) P A A A P A A P A 2(1 )p p

{ 4}P X

4 1 2 3 1 2 2 1 13( | ) ( | ) ( | ) ( )P A A A A P A A A P A A P A1 2 3 4 1 2 3 4( ) ( )P A A A A P A A A A

4 1 2 3 3 1 2 2 1 1( | ) ( | ) ( | ) ( )P A A A A P A A A P A A P A3 4(1 ) (1 )p p p

代入代入求得求得的分布律的分布律为为

0.5,p X

1 2 3 40.5 0.25 0.125 0.125k

Xp

3(1 )p



严格说单点分布并不具有“随机性”严格说单点分布并不具有“随机性” ,, 视为随机变视为随机变量完全是理论上的需要量完全是理论上的需要

{ } 1P X c 如果的分布律为如果的分布律为r.v X

则称服从，其中则称服从，其中为常数为常数r.v X 单点分布单点分布 c

单点分布也称为单点分布也称为退化分布退化分布某事件发生的概率为则称该事件“几乎处处”发生某事件发生的概率为则称该事件“几乎处处”发生1,

记为或记为或{ } 1P X c .a e cX ( . )X c a e

记为或记为或{ } 1P X Y .a eYX ( . )X Y a e



一门课程的考试是“及格”还是“不及一门课程的考试是“及格”还是“不及格”格”刚出生的新生儿是“男”还是“女”刚出生的新生儿是“男”还是“女”

产品检验的结果是“合格”还是“不合产品检验的结果是“合格”还是“不合格”格”射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”射击结果是“击中目标”还是“没有击中目标”

{ 1} , { 0} 1P X p P X p 如果的分布律为如果的分布律为r.v X

则称服从则称服从r.v X 两点分布两点分布 0 1p ,, 其中其中(0 1) 为常数为常数



只产生两个结果的试验只产生两个结果的试验,A A

伯努利试验产生什么样的随机变量伯努利试验产生什么样的随机变量将伯努利试验独立重复进行将伯努利试验独立重复进行次的试验次的试验n

某战士用步枪对目标进行射击，记某战士用步枪对目标进行射击，记{ }, { }A A 击中目标击中目标没击中目标没击中目标

每射击一次就是一个伯努利试验每射击一次就是一个伯努利试验 ,, 如果对目标进行如果对目标进行次射次射n

击击 ,, 则是一个则是一个重伯努利试验重伯努利试验 ..n

从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记从一批产品中随机抽取一个产品进行检验，记{ }, { }A A 合格合格不合格不合格

每检验一个产品就是一个伯努利试验每检验一个产品就是一个伯努利试验 .. 独立地抽件产品进行检独立地抽件产品进行检验验 ,, 是否是重伯努利试验是否是重伯努利试验

n

n

要求概率保持不变要求概率保持不变要求概率保持不变要求概率保持不变( )P A如果产品批量很如果产品批量很大大 ,, 可近似看作可近似看作重伯努利试验重伯努利试验

如果产品批量很如果产品批量很大大 ,, 可近似看作可近似看作重伯努利试验重伯努利试验

n

人物介绍伯努利

人物介绍伯努利



在伯努利试验中，令在伯努利试验中，令

““ 独立独立”是指各次试验的结果互不影响”是指各次试验的结果互不影响

令令

( ) , ( ) 1P A p P A p

““ 重复重复”是指在每次试验中概率保持不变”是指在每次试验中概率保持不变( )P A p

记记{ }, 1,2, ,iA i n 第次试验结果第次试验结果i

有有1 2 1 ki i i n

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )k ki i i i i iP A A A P A P A P A

X n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件发生的次数发生的次数A

则则是一个离散型是一个离散型 r.vr.vX

:

i

AA

A

的分布律是什么的分布律是什么X



的取值为的取值为X 0,1,2, ,n

{ }X k

1 111

k n kk

i i j ji i n

A A A A

1 111

{ } { }k n k

ki i j j

i i nP X k P A A A A

1 111

{ }k n k

ki i j j

i i nP A A A A

11(1 ) (1 )

k

k n k

i i np p p p

(1 ) ( 0,1,2, , )k k n kn p pC k n

发生次发生次发生次发生次

A k

A n kn次独立试验中次独立试验中


从选个数组合从选个数组合从选个数组合从选个数组合1 ~ n k

相互独立相互独立相互独立相互独立事件组互不相容事件组互不相容事件组互不相容事件组互不相容



{ } ( 0,1,2, , )k k n kn p qP X k C k n

记从而记从而的分布律为的分布律为1 ,q p X

{ } 0 ( 0,1,2, , )P X k k n

0 0{ }

n nk k n kn

k k

p qP X k C

( ) 1np q

若的分布律为若的分布律为r.v X

{ } ( 0,1,2, , )k k n kn p qP X k C k n

则称则称服从参数为服从参数为的的

二项分布二项分布X ( , )n p ,, 记为记为 ~ ( , )X b n p

特别当时就是特别当时就是 (0-1) 两点分布，即两点分布，即1n , (1, )b p1{ } ( 0,1)k kp qP X k k


的分布律刚好是的分布律刚好是牛顿二项展开式的通项牛顿二项展开式的通项

的分布律刚好是的分布律刚好是牛顿二项展开式的通项牛顿二项展开式的通项X



二项分布的图形



因为元件的数量很大，所以取因为元件的数量很大，所以取 2020 只元件可看只元件可看作是有放回抽样作是有放回抽样

一大批电子元件有一大批电子元件有 10%10% 已损坏已损坏 ,, 若从这批元件若从这批元件中随机选取中随机选取 2020 只来组成一个线路只来组成一个线路 ,, 问这线路能正常工作问这线路能正常工作的概率是多少？的概率是多少？

,, 记记表示表示 2020 只元件中好品的数量，只元件中好品的数量，则则

X

~X (20,0.9)b

{ }P 线路正常线路正常 { 20}P X 20 20 20 2020 0.9 0.1C

200.90.1216



保险业是最早应用概率论的行业之一保险业是最早应用概率论的行业之一 .. 保险公司为保险公司为了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率了估计企业的利润，需要计算各种各样的概率 .. 若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于于 0.0050.005 ，现有，现有 1000010000 个人参加这类人寿保险，试求在个人参加这类人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，⑴ 有未来一年中在这些保险者里面，⑴ 有 4040 个人死亡的概个人死亡的概率率 ; ⑵ ; ⑵ 死亡人数不超过死亡人数不超过 7070 个的概率个的概率 ..

记记为未来一年中在这些人中死亡的人数，则为未来一年中在这些人中死亡的人数，则X

~X (10000,0.005)b

(1) { 40}P X 40 40 996010000 0.005 0.995C

0.0214

(2) { 70}P X 70

1000010000

00.005 0.995k k k

kC

0.997



设有设有 8080 台同类型设备台同类型设备 ,, 各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的 ,,发生故障的概率都是发生故障的概率都是 0.01,0.01, 且一台设备的故障能由一个人且一台设备的故障能由一个人处理处理 .. 考虑两种配备维修工人的方法考虑两种配备维修工人的方法 ,⑴ ,⑴ 由由 44 人维护人维护 ,,每人负责每人负责 2020 台台 ;⑵ ;⑵ 由由 33 人共同维护人共同维护 8080 台台 .. 试比较这两试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小 ..

则则 8080 台设备中发生故障而不能及时维修的概率为台设备中发生故障而不能及时维修的概率为

记表示同一时刻第记表示同一时刻第人维护的台设备中同人维护的台设备中同iX i 20

同时发生故障的台数同时发生故障的台数，则，则~ (20,0.01) , 1, 2,3,4iX b i

4

1( { 2})ii

P X

1{ 2}P X

1 11 { 0} { 1}P X P X 0 0 20 1 1 1020 201 0.01 0.99 0.01 0.99C C

0.0169

记表示记表示 8080 台设备中同一时刻发生故障的台数台设备中同一时刻发生故障的台数X~ (80,0.01)X b

则则 8080 台设备中发生故障而不能及时维修的概率为台设备中发生故障而不能及时维修的概率为3

0{ 4} 1 { }

iP X P X i

380

800

1 0.01 0.99i i i

iC

0.0087

从两种计算结果可见，方法⑵工人的劳动强度增加从两种计算结果可见，方法⑵工人的劳动强度增加了了 (( 每人平均维护约每人平均维护约 2727 台台 )) ，但是工作效率大大提高。，但是工作效率大大提高。



共共 1515 层小层小钉钉共共 1515 层小层小钉钉

O

x

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

小球最后落入小球最后落入的格数的格数 ??小球最后落入小球最后落入的格数的格数 ??W

记小球向右落下的次数为记小球向右落下的次数为则则,X ~X (15,0.5)b

记小球向左落下的次数为记小球向左落下的次数为则则,Y ~Y (15,0.5)b

[ sign( )] / 2W X Y X Y



随着时间的推移随着时间的推移 ,, 在时间轴上源源不断出现在时间轴上源源不断出现的随机粒子流称为泊松流的随机粒子流称为泊松流

电话交换台在某时间段内接到的呼叫数电话交换台在某时间段内接到的呼叫数公共汽车站在某时间段内来到的乘客数公共汽车站在某时间段内来到的乘客数营业员在某时间段内接待的顾客数营业员在某时间段内接待的顾客数114114 查号台在某时间段内接到的查号电话数查号台在某时间段内接到的查号电话数医院在一天内收到的急诊病人数医院在一天内收到的急诊病人数大型购物中心的停车场大型购物中心的停车场 ,,轿车的到达数轿车的到达数计算机网络中数据包数计算机网络中数据包数119119 报警台在某时间段内接到的火警电话数报警台在某时间段内接到的火警电话数

一本书一页中的印刷错误数一本书一页中的印刷错误数某地区在一天内邮递遗失的信件数某地区在一天内邮递遗失的信件数

某地区在一天发生的交通事故数某地区在一天发生的交通事故数

我国每年撰写“用直尺与圆规三等分任意角”我国每年撰写“用直尺与圆规三等分任意角”的论文数的论文数

电子设备在某时间内受到的干扰冲击次数电子设备在某时间内受到的干扰冲击次数雷达在跟踪目标时接收到的电磁干扰信号脉冲流雷达在跟踪目标时接收到的电磁干扰信号脉冲流放射性分裂落到某区域的质点数放射性分裂落到某区域的质点数热电子的发射数热电子的发射数显微镜下落在某区域中的微生物数显微镜下落在某区域中的微生物数



设的取值为取值概率为设的取值为取值概率为 r.v X 0,1,2, ,

{ } , 0,1,2,!

kP X k e k

k

其中为参数，则称服从参数为的其中为参数，则称服从参数为的 ,, 记为记为0 X 泊松分布泊松分布或或~ ( ) ~ ( )X X P

{ } 0 , 0,1,2,P X k k

0 0{ }

!

k

k kP X k e

k

1e e

在泊松流中在泊松流中 ,, 记区间中出现的质点数记区间中出现的质点数为为问问服从什么分布服从什么分布

(0, ]t

,X r.v X

从理论上可以证明从理论上可以证明 : : 泊松流中出现的质点泊松流中出现的质点数服从泊松分布数服从泊松分布

从理论上可以证明从理论上可以证明 : : 泊松流中出现的质点泊松流中出现的质点数服从泊松分布数服从泊松分布X

人物介绍泊松泊松

人物介绍泊松泊松



泊松分布的图形



泊松分布的背景及应用

　　二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时 ,他们做了 2608 次观察 ( 每次时间为 7.5 秒 ) 发现放射性物质在规定的一段时间内 , 其放射的粒子数 X 服从泊松分布 .



O]t

在泊松流中在泊松流中 ,, 记时间间隔中出现的质点数为记时间间隔中出现的质点数为(0, ]t X

( ){ } , 0,1,2,

!

ktt

P X k e kk

其中参数称为其中参数称为0, 泊松强度泊松强度

则则即有即有

~ ( ),X t

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