Fis JORGE HUAYTA

INTERACCION ELECTRICA:

ELECTROSTATICA

Lic. Fis. Jorge Huayta

Constituyentes de la materia

Partcula Masa (kg) Carga (C)

electrn 9.1x 10-31 -1.6x 10-19

protn 1.67x 10-27 +1.6x 10-19

neutrn 1.67x 10-27 0

Z = nmero electrones =

nmero protones

A = nmero protones +

neutrones

Elemento

Istopo

Un tomo tiene el mismo nmero de

electrones que de protones es neutro ;

In positivo : le faltan electrones

In negativo: tiene electrones aadidos

0 ep qZqZQ

ee qnQ

ELECTRN

ee qnQ

-+

--

-

++ +

Introduccin

La palabra electricidad proviene de la palabra griega electrn, que significa

mbar. Esta es una resina petrificada de un rbol. Los antiguos saban que si

frotaban una barra de mbar con un pedazo de pao, el mbar atraa pequeos

pedazos de hojas o cenizas. Un pedazo de caucho duro, una barra de vidrio o una

regla de plstico frotados con un pao presentarn tambin este efecto de mbar o

de electricidad esttica como la llamamos hoy en da.

Fig. 1a Frotamiento de una

regla de plstico

Carga elctrica

Electrosttica: estudio de las cargas elctricas en

reposo

Unidad de carga: el electrn

e = 1.602177x 10-19 C

++ --

repulsin

+-

atraccin

Frotar una varilla de vidrio con un pao de seda y otra de mbar con un

pedazo de piel y realizar la experiencia que se muestra en la Fig. 1b

Experimentos

Fig. 1b Experimento

con varillas de vidrio

y mbar electrizadas.

Cargar las pequeas esferas como se detalla en la fig. 2 y

realizar la experiencia, que concluye?

Fig. 2 Interacciones elc

tricas entre cargas de

igual y de diferentes

signos

En la fig.3 tres podemos explicar los resultados obtenidos en las experiencias

anteriores, observndose que cargas de distinto signos se atraen y las del

mismo signo se repelen.

F F F F FF

Electroscopio

Si, existen varios. El ms popular se llama electroscopio como se detalla en la

Fig. 4a.

Fig. 3 Fuerzas entre cargas de igual y de diferente signo.

Existe algn instrumento para detectar si un cuerpo est cargado?

Fig. 4a Electroscopio

Experimentos con electroscopio

Fig. 4b,c Electroscopio cargado por b) induccin c) conduccin

Fig.5a,b,c Un electroscopio cargado previamente puede emplearse

para determinar el signo de una carga determinada.

El electroscopio se utiliz bastante en los primeros das de la electricidad.

El mismo principio, auxiliado con algo de electrnica, se emplea en elec-

trmetros modernos ms sensibles.

Conclusiones a) Dos cuerpos con la misma clase de carga ( , ) se repelen pero si

tienen diferentes clases de cargas (+, - ) (-, +) se atraen.

b) De la comparacin del tipo de interacciones, se observa que:

c) En general todos los cuerpos macroscpicos poseen igual cantidad de

electricidad (+, -) por esto casi no se observa interaccin elctrica.

La interaccin GRAVITACIONAL, muchsimo ms DBIL es posible observarla? .

Carga elctrica

En la interaccin elctrica existen dos clases de cargas una positiva y otra

negativa.

Definicin operacionalTomamos un cuerpo cargado cuyo valor Q y a una distancia r colocamos la

carga q , como se ve en la Fig. 6a.F F

Q q

r

Fig. 6a Esquema de la interaccin entre las cargas elctricas.

Luego medimos la fuerza sobre q, luego intercambiamos la carga "q por

la " q y tenemos el esquema Fig. 6b

F '

F 'Q q

r

Fig. 6b Esquema para definir operacionalmente la carga elctrica.

Si medimos la fuerza F' sobre la carga q podemos definir los valores de las

cargas q y q' como proporcionales a las fuerzas F y F', y resulta que:

'' F

F

q

q

Ahora si asignamos un valor unitario a la carga q' tenemos un medio de

obtener el valor de la carga q.

Cargas igualesImaginemos un cuerpo pequeo, cuya mxima dimensin D

es mucho menor que las distancias ri a otros cuerposD

Si irD i se considera al cuerpo como puntual.

A este cuerpo lo denominaremos carga de prueba, ahora si ubicamos

otro cuerpo cargado Q a una distancia r

F

q (carga de prueba) Q

r

Fig.7 Diagrama esquemtico de la interaccin elctrica.

Como resultado de la interaccin elctrica, se detecta entonces una fuerza F

sobre la carga Q. como se observa en la Fig. 8

Luego si reemplazamos por una nueva carga Q a la misma distancia, en

vez de Q y medimos la fuerza se obtiene que su valor es F

F '

q (Carga de Prueba) Q

r

Fig. 8 Idem anterior pero cambiando la carga Q por Q.

Si F = F' Q = Q' decimos que los cuerpos Q y Q' tienen la misma

carga elctrica

Conservacin de la carga elctrica

La carga elctrica satisface el principio de conservacin: que la carga

total de un cuerpo o sistema es la suma algebraica de las cargas de

sus componentes.

q qi ffi

Conservacin de la carga

La carga ni se crea ni se destruye se transfiere

Entre tomos

Entre molculas

Entre cuerpos

La suma de todas las cargas de un

sistema cerrado es constante

A partir de la conservacin de la carga y definicin de igualdad de

cargas podemos definir mltiplos (y submltiplos) de una carga dada.

Algunas reacciones que ilustran la conservacin de la carga son:

a) Decaimiento beta del neutrn

n p + e- + e

0 = {e + (-e) + 0} = 0

b) Aniquilacin del electrn y positrn

e+ + e- +

e + (-e) = { 0 + 0} = 0

c) Decaimiento de boro inestable en carbn estable

12 12

B C + e- + e5 6

5e = { 6e + (-e) + 0 } = 5e

Unidad de carga elctrica

Hasta hoy, se conoce una carga elctrica mnima negativa llamada carga

electrnica. Su valor es: e- = - 1.6 10 -19 C

De manera anloga, la carga del protn, es la unidad ms pequea de

carga positiva y su valore+ = 1.6 10 -19 C

Mientras que el neutrn, que es elctricamente neutro, posee carga nula.

Qu significa el Coulomb? Cmo lo definira?

Cuantizacin de la carga:

Las cargas de las dems partculas elementales son 0 o

mltiplos enteros de e- y las cargas de los iones/ncleos

atmicos son 0 o mltiplos enteros de e+.

A esta afirmacin se conoce como cuantizacin de la carga.

Tabla 1. Algunas partculas elementales, cargas y masas

Nombre de la

Partcula

Smbolo

Carga

Masa en

unidades de la

masa del protn Protn

Neutrn

Electrn

Positrn

Mun

Mesn Pi

Fotn

Neutrino

Antineutrino

Lambda

Mesn rho

Mesn omega

P

N

e-

e+

-,

+

- ,

+

0

0

+,

,

-

e

0

-e

e

-e,+ e

+e, -e

0

0

0

0

0

+e, 0, -e

0

1.000

1.001

0.000545

0.000545

0.1126

0.1488

0.1488

0

0

0

1.189

0.082

0.0836

Qu conclusiones saca de esta tabla? Sugiera algunas

Propiedades de las cargas elctricas

Las cargas diferentes (-/+), se atraen unas a otras

y cargas iguales se rechazan entre si.

Las fuerza entre las cargas varia con el inverso al

cuadrado de su separacin

La carga se conserva

La carga esta cuantizada

Carga por induccin

Bola

neutra

Bola

cargada

negativalana

Varilla de

plstico

Electroscopio. Al acercar una bolita cargada

las lminas adquieren carga y se separan.

Bola y

varilla se

repelenIgual carga

Conductores y aislantes

Aislantes: materiales en los que la carga elctrica se

mueve con mucha dificultado no puede moverse

libremente. Madera, plstico, roca

Conductores: materiales en que las cargas electricas

se mueven con bastante libertad. Metales, ..

Semiconductores: se pueden comportar como

conductores o como aislantes.

Materiales Aisladores

Materiales como el vidrio, el caucho, lucita, etc.

Dichos materiales se cargan por frotamiento,

solo el rea que se frota queda cargada y la carga

no se mueve a otras regiones del material.(los

conductores ocurre lo contrario)

El material aislador como el plstico al frotarlos con

seda, lana, se produce un realineamiento de cargas

dentro de molculas individuales, produciendo una

carga inducida sobre la superficie.

Objeto cargado

Carga inducidas

Aislador

Materiales Aisladores

Fis JORGE HUAYTA

Fuerza electrica

++

++

+ +

F

D

r

BF

A

0

Fig. 11 Vista esquemtica de la

balanza de torsin

Como se pueden determinar fuerzas a partir de la Balanza de torsin?

Explique?

Aunque no se disponan instrumentos precisos para medir carga elctrica

en la poca de Coulomb, este fue capaz de preparar pequeas esferas con

cantidades diferentes de carga en las que conoca la proporcin de dichas

cargas.

Como piensa que pudo hacerlo? Que suposiciones hizo? (produjo

cargas iguales a , , etc de la carga original).

Medicin de la fuerza

Charles A. Coulomb (1736 -1806), fsico

francs investig las fuerzas elctricas

alrededor del ao 1780, utilizando una

balanza de torsin

Fis JORGE HUAYTA

La fuerza elctrica que una partcula con carga q ejerce sobre otra con carga q es:

Fqq

rA

'2 F

qq

rB

'2

A

q

B

q

Fuerzas elctricas para

cargas de signo

contrario r

r es la distancia entre las cargas y er el vector unitario que va de la

partcula que ejerce la fuerza a la que la sufre

la magnitud de la fuerza es directamente proporcional al producto de las cargas,

inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y la fuerza se ejerce a lo largo de la

recta que une las cargas.

rer

qqF )

'()

4

1(

2

0

Ley de Coulomb: cargas puntuales

Fis JORGE HUAYTA

Formula de fuerza elctrica:

Partcula Carga ( C ) Masa (kg)

Electrn () -1,6021617x10-19 9,1095x10-31

Protn (p) 1,6021617x10-19 1,67261x10-27

Neutron (n) 0 1,67261x10-27

rer

qqkF )

'(

2

k : Constante de Coulomb = 8,987109Nm2/C2

o

k4

1

o : permitividad en el vacio = 8,854210-12 C2 /Nm2

Constante de Coulomb: kEn general es arbitraria, ya que depende de la unidad de carga utilizada.

En el Sistema Internacional (SI), donde la fuerza [F] se mide en

Newton y la distancia [r] en m, el valor de k en el vacio es igual a:

k = 10 - 7 c 2 = 8,987109 9109 N m2 / C2

Podemos definir la unidad de carga, como:

2

9109

r

q'qF Si r = 1 m y q = q = 1 C se tiene para la fuerza:

F = 9109 (Nm2/C)1 (C2/m2) = 9 109 N

Asi conclumos que:

El Coulomb es la carga colocada en cada una de las esferas puntuales,

separadas a 1 m de distancia (en el vaco) cuando la fuerza de repulsin o

atraccin entre ellas es de F = 9109 N.

Por razones prcticas y de clculo es conveniente expresar k como:

04

1

k

donde 0 se llama permitividad de vaco.

(1)

2212

2

7

0 /10854,84

10mNC

c

(2)

Por lo tanto, la magnitud de la fuerza de Coulomb puede escribirse como:

2

0

'

4

1

r

qqF

(3)

y en forma vectorial puede ser escrita como:

rer

qqF )

'()

4

1(

2

0

(4)

donder

rer

es el vector unitario.

Si q y q' son del mismo signo la fuerza es repulsiva y si tienen distinto signo

la fuerza es atractiva.

Fis JORGE HUAYTA

Ley de Coulomb

Cargas puntuales

Fis JORGE HUAYTA

Ejercicio

Fis JORGE HUAYTA

Ejercicio

Ejemplo

Cuan intenso es la fuerza electrica de un proton sobre un

electron respecto de la fuerza gravitacional entre ellos

Fis JORGE HUAYTA

Solucion

Fis JORGE HUAYTA

En la ecuacin: ( 1 )

M es la masa del proton y m la masa del electron y G=6,67x10-11 Nm2/kg2.

Considerando Q = q = e la fuerza elctrica entre ellos es

( 2 )

Dividiendo ( 2 )/( 1 ),

La fuerza elctrica de un proton sobre sobre un electron es

alrededor de 1039 veces mas grande que la fuerza gravitacional

2r

mMGF

2r

eekF

392

2

22

s ,

s ,102

/

/x

GMm

ke

rGMm

rke

F

F

electronobreprotoniagravitator

electronobreprotonelectrica

Naturaleza vectorial de la interaccin elctricaConsideremos el sistema de cargas puntuales, (Fig.13), se desea obtener

el valor de la fuerza resultante de las fuerzas debido a la interaccin

elctrica de las cargas:

qb , qc , qd ,... sobre la carga qa

Fig.13 Superposicin de fuerzas electrostticas por

suma vectorial.

abab

ba

ab

ab

ab

baab r

r

qqkr

r

r

r

qqkF

32

La fuerza resultante sobre qa, ser la

suma vectorial de las fuerzas componentes.

Por ejemplo, la fuerza que ejerce qb

sobre qa es:

y en forma anloga para las fuerzas que ejercen qc, qd, .... sobre qa.

(5)

Por lo tanto, la fuerza resultante sobre qa ser

.. adacaba FFFF

i

ai

ai

ia rr

qkq 2 (6)

o escrita de la siguiente forma:

ai

ai

ia

i

a rr

qkqF

3 (7)

a) Cul es la interpretacin de la ecuacin (7)?. Exprselo en palabras

b) Existen en la naturaleza ejemplos de este principio de superposicin?

De ejemplos.

Clculo de fuerzas a) Distribuciones discretas

Consideremos tres cargas positivas "q" (Fig.14) . Se desea determinar

la magnitud y direccin de la fuerza resultante que acta sobre la

carga en "a".

F

Fig. 14 Diagrama esquemtico de las fuerzas

y cargas

abF

acF

y

son las fuerzas de

repulsin debidas a

b y c sobre a

Descomponiendo las fuerzas en las direcciones X" o Y" se tiene para los ejes

0xF

2

2

3

2

732.1)30cos(2

l

kql

l

kqFy

Componente XO

Componente YO

Por lo tanto la fuerza resultante est

en la direccin del eje Y igual a:

2

27321

l

qk.FyF

Cmo se hace para mantener el sistema planteado, en el mismo estado

inicial? Es decir, sin modificar las distancias entre cargas.

Cul fue la energa necesaria para generar esta distribucin de cargas?

Cmo hara para calcularla? Explique

Fis JORGE HUAYTA

Hallar la fuerza neta sobre una carga de 4 C en una esquina de

un cuadrado de lado 20 cm si las dos esquinas vecinas tienen

cargas de -3C y 5C como se muestra en la Figura

Ejemplo

Fis JORGE HUAYTA

Hallamos por separado la fuerza sobre los

4C de cada una de las otras cargas

usando la Ley de Coulomb, manteniendo el

trazo de direccin de estas dos fuerzas.

Solucion

La fuerza neta , expresada como par ordenado es ( -2,7; 4,5)N

Tal que su magnitud es

La fuerza desde -3C es atractiva , dirigida a lo largo del eje X y de magnitud

Nxxx

r

kQq7,2

)2,0(

)104)(103)(109(2

669

2

Similarmente, la fuerza desde la carga de 5C es repulsiva dirigida hacia X, y

de magnitud

Nxxx

r

kQq5,4

)2,0(

)104)(105)(9

109(2

66

2

NFneta 2,5)5,4()7,2(22

y esta dirigida en un angulo de del eje X negativo (o 121

del eje X)

og 59

7,2

5,4tan

1

b) Distribucin continua de cargas.

Se coloca una carga (+Q) en el eje de un anillo angosto de radio R que lleva

una carga total Q', distribuida uniformemente en su circunferencia. Calcular la

fuerza de repulsin que experimenta la carga (+Q) ubicada a una distancia x.

Fig.15 Esquema de la distribucin continua

Tomamos un diferencial de carga dQ' la cual es:

2''

2'

' dQQd

d

Q

Qd

La fuerza sobre la carga Q debida a dQ tiene una componente paralela:Fd

cos'

2//r

dQQkFd r

xd

r

QQkdF

2

'2//

Fig.15 Esquema de la distribucin continua

y componente perpendicular:

r

Rd

r

QQksen

r

dQQkFd

2

''22

F d F 0

Para la fuerza paralela, obtenemos:

2

0

222

33//;

'

2

'xRrx

r

QQkd

r

xQQkF

El grfico de esta fuerza en funcin de x es:

Fig.16 Variacin de la fuerza paralela en la direccin x

Fis JORGE HUAYTA

Campo electrico

Campo elctrico E

El campo elctrico E en algn punto en el espacio se

define como la fuerza elctrica F que acta sobre una

pequea carga de prueba positiva en ese punto

dividido por la magnitud de la carga de prueba qp

pq

FE

El campo elctrico en un punto es la fuerza por unidad de

carga que experimenta una partcula en dicho punto.

Campo electrico

El campo elctrico producido por una carga puntual q (carga

generadora) a una distancia r es:

Donde er es un vector vector unitario dirigido de la carga al punto en

cuestion

qp es positiva, E en P apunta radialmente hacia afuera de q

El campo elctrico es un vector y se mide en N/C.

+

E

+qer r

qp

P

rer

qE )

'()

4

1(

2

0

El campo elctrico total debido a un grupo de cargas es

igual al vector suma de los Ei de todas las cargas:

Donde ri es la distancia desde la carga inesima, qi,

hasta el punto P (ubicacin carga de prueba) y ui es un

vector unitario dirigido de qi a Pi

i

i

i ur

qE )

4

1(

2

0

Campo electrico

Fis JORGE HUAYTA

Calcular el campo elctrico debido a un par de cargas puntuales

iguales y opuestas en un punto a lo largo de una bisectriz

perpendicular a la lnea que une las cargas

Ejemplo

Fis JORGE HUAYTA

Escogemos el lugar en que las dos cargas esten simetricas a lo largo

del eje X, cargas distanciadas en d.

Calculamos el campo electrico E en un punto arbitrario en el eje Y

Solucion

El campo electrico neto que esta dado por la resultante paralela al eje Y es

La magnitud del campo electrico de carga es el mismo en ambos

Con las direcciones mostradas en la figura. De la simetria se ve

que las componentes Y se cancelan y las componentes X se

suman para dar el campo electrico resultante (mostrado en negro).

Si y >>d el sistema de dos cargas es conocida como dipolo, y despreciando (d/2)

comparado a y se obtiene

22

2)(

1

4 do y

qE

322

22

2

2

2

)(

1

4)(2cos2

dod

d

neto

y

qd

yEEE

34 y

qdE

o

dipolo

Fis JORGE HUAYTA

a lo largo del bisector perpendicular al dipolo

Solucion

La ultima expresion, puede escribirse como

NOTA:

Notar que el campo electrico de un dipolo disminuye mas rapido (1/r3 ) que desde una

carga puntual (1/r2)

Donde p = qd es definida como momento dipolar electrico

py

kE

y

pE

dipolo

o

dipolo

3

34

1

Campo creado por un dipolo

Dipolo: carga positiva y carga

negativa de igual valor (q) situadas a

una distancia muy pequea ( d = 2a ).

Campo total => suma de campos

Aproximacin r>> l

- +-a a

rr-a

r+a

)()(33

arar

qkar

ar

qkE

dqp

Momento dipolar- +l

p

r

r

r

rp

r

kE

)(

33

- +p

y

kE

3

2

pz

kE

3

pz

kE

3

py

kE

3

2

X

Z

Y

px

kE

3

px

kE

3

Fis JORGE HUAYTA

Una molcula de agua puede ser modelada como un

dipolo de dos cargas del tamao de la de un electrn

a una distancia de 10-10 m. Cual es el momento

dipolar?

Ejemplo

Fis JORGE HUAYTA

Por dato:

q=1.6x10-19 C, d =10-10 m

Por tanto

El momento dipolar es :

Solucion

mCmCdqp 291019 106,1)10)(106,1(

Ejercicio

Encuentre a) El campo electrico en el

punto P de la figura, ubicado sobre el eje

Y a 0,4 m sobre el origen, producido por

las tres cargas puntuales que se muestran.

La carga q1 = 7 C se ubica en el origen del

sistema de coordenadas, la carga q2 = -5 C

se ubica en el eje X a 0,3 m del origen y la

carga q3 = -3C a la derecha del punto P y a

0,4 m sobre q2.

b) Determine adems la fuerza elctrica ejercida sobre una carga

de 3x10-8C cuando se ubica en el punto P.

Solucion

Expresado vectorialmente es:

CNxm

CxCNmx

r

qkE

CNxm

CxCNmx

r

qkE

CNxm

CxCNmx

r

qkE

e

e

e

/100,3)3,0(

100,3/109

/108,1)5,0(

100,5/109

/109,3)4,0(

100,7/109

5

2

6229

2

3

33

5

2

6229

2

2

22

5

2

6229

2

1

11

a) Campo elctrico debido a cada carga en P es:

CNixE

CNjxixCNsenxjxiE

CNjxE

/ 100,3

/ )104,1 101,1(/ )108,1 cos108,1(

/ 109,3

5

3

5555

2

5

1

Luego el campo elctrico total E sera:

CNjxixEEEE / )105,2101,4(55

321

Solucion

Expresado vectorialmente es:

CNxm

CxCNmx

r

qkE

CNxm

CxCNmx

r

qkE

CNxm

CxCNmx

r

qkE

e

e

e

/100,3)3,0(

100,3/109

/108,1)5,0(

100,5/109

/109,3)4,0(

100,7/109

5

2

6229

2

3

33

5

2

6229

2

2

22

5

2

6229

2

1

11

a) Campo elctrico debido a cada carga en P es:

CNixE

CNjxixCNsenxjxiE

CNjxE

/ 100,3

/ )104,1 101,1(/ )108,1 cos108,1(

/ 109,3

5

3

5555

2

5

1

Luego el campo elctrico total E sera:

CNjxixEEEE / )105,2101,4(55

321

b) La fuerza elctrica sobre una carga de 3x10-8 C cuando

sta se coloca en el punto P se obtiene simplemente

usando F = qE

Esta fuerza tiene por supuesto la misma direccin que el

campo elctrico E

Ejercicio

NjxixF

EqF

)105,7103,12(33

Es la migracion forzada de particulas cargadas (macromoleculas), en un campo electrico.

Es el proceso de movimiento de una particula cargada en una solucion aplicando un campo externo a traves de la mezcla

- -+ -

- -+

+ -

+ +

-+ +- +

Electrodo

Electroforesis

Cuando una mezcla de molculas ionizadas y con carga neta son colocadas

en un campo elctrico, estas experimentan una fuerza de atraccin hacia el

polo que posee carga opuesta

Electroforesis

Es una tcnica habitual en el laboratorio clnico Permite separar especies qumicas (acidos nucleicos o protenas) a lo

largo de un campo elctrico en funcin de su tamao y de su carga

Fis JORGE HUAYTA

Electroforesis

Fis JORGE HUAYTA

Electroforesis

Electroforesis: Fundamento fisicoEs la migracion forzada de particulas cargadas (macromoleculas), en un campo

electrico.

Si una macromolecula tiene una carga neta q y un campo electrico externo E

constante, se aplicara una fuerza neta F = qE sobre la molecula

La macromolecula sera acelerada y la fuerza F sera contrarrestada por la

fuerza de friccion -fv debido a la colision con los solventes moleculares.

Luego de alcanzar el equilibrio, la molecula migrara con v = const

La movilidad electroforetica esta definida como la velocidad normalizada

entre el campo electrico aplicado

Fis JORGE HUAYTA

q

f

qEvofvEq

f

q

E

v

CatodoAnodo

+ --

q = carga

E = Campo elctrico

V = Diferencia de potencial

d = distancia entre electrodos

f = coeficiente de friccin

v = velocidadTamao y forma

de la partcula

f

qEvofvEqconstv molecula

d

VqEqFelect

vfF friccion

Movilidad de la particula:

F

q

E

v

Metodo usado para separar

macromoleculas basadas en

su carga y tamao.

Electroforesis

Fis JORGE HUAYTA

Ley de Gauss

Fis JORGE HUAYTA

Se trata de una relacin entre la carga encerrada en una superficie y el flujo de su campo elctrico, a travs de la

misma

Constituye un medio para obtener expresiones de campos elctricos, con suficientes condiciones de simetria

Ley de Gauss

Flujo electrico

El flujo elctrico se representa por medio del numero de

lneas de campo elctrico que penetran alguna superficie

= EA

: flujo electrico

E : campo electrico

A : rea de la superficie perpendicular al campo

E

A

Si la superficie no es perpendicular al campo

E

Normal

A=A cos

A

= E A cos

El flujo es mximo cuando la normal a la

superficie es paralelo al campo.

El flujo es cero cuando la superficie es paralela al

campo

El flujo neto:

Es positivo: si son mas las lneas que abandonan que las que entran

Es negativo: si son mas las lneas que entran que las que abandonan

el flujo neto en una superficie cerrada

El flujo en una superficie cerrada queda dado de la siguiente manera:

+dA

E

q

2

4 rAdA

)4()41

(2

2r

r

qdAEEdAAdE

o

E

0

qE

Flujo elctrico y Ley de Gauss

La ley de Gauss dice que el flujo de campo elctrico a

travs de cualquier superficie cerrada (gaussiana), es

igual a la carga neta encerrada q, por la misma entre la

constante o

Fis JORGE HUAYTA

Encontrar el flujo electrico neto a travs de la superficie S,

si:

q1 = q4 = +3,1 nC

q2 = q5 = -5,9 nC

q1 = q4 = -3,1 nC

CNmqqqq

oo

netoE /670

2321

Rpta.:

Ejercicio

Fis JORGE HUAYTA

Solo es til para situaciones donde hay simetra Hay que usar la simetra para saber donde E es

constante y cual es su direccin

Hay que seleccionar una superficie cerrada en la cual E sea constante o donde el flujo sea cero

(E perpendicular a la superficie).

Ley de Gauss, Cundo se usa?

Clculos con ley de Gauss Conductor infinito con densidad

lineal de carga l. Plano infinito con densidad

superficial de carga s.

)2(2 lREAE

00

l

lQenc rR

RE 2

)(0

l

EE

A1A3

A2

)2(31 AEAEAE

00

s

AQenc ixE 2

)(0

s

El campo de un plano con una

densidad de carga ( = q/A), es

Fis JORGE HUAYTA

Cual es el campo elctrico de una esfera de 5 cm de radio con

una carga total de +10-5 C en el vacio a una radio de 3 cm, 6 cm,

10 cm y 100 cm?

Ejemplo

Fis JORGE HUAYTA

De Gauss:

donde A=4r2 es el rea de una esfera de radio r y Q es la carga dentro de la

superficie A.

r=3 cm => Como toda las cargas se distribuyen en la superficie de

radio 5 cm, una superficie a 3 cm no contiene cargas => Q=0 => E=0 V/m.

En el resto de los casos la carga es Q = 10-5 C y E esta dado por:

r=6 cm => E=2.50x10+7 V/m,

r=10 cm => E=8.99x10+6 V/m

r=100 cm => E=8.99x10+4 V/m.

Solucion

o

QAE

)()4

1(

2

0 r

QE

Una esfera conductora slida de radio a tiene una carga positiva

neta 2q, un cascarn esfrico conductor de radio b y radio exterior

c es concntrico con la esfera slida y tiene una carga neta Q

Si

c

b2q

-q

a

2

2

2()(

0)(

2)(

0)(

r

qqkErc

Ecrb

r

qkEbra

Ear

Ejercicio

Calcule el campo elctrico debido a una carga puntual

aislada q y demuestre que la ley de Coulomb se

deduce de este resultado

Solucion

E

dA+

r

22

0

0

4

1

r

qk

r

qE

qEdAE

Aplicando Ley de Gauss

2

00

r

qqkEqF

Ejercicio

Un cascarn esfrico delgado de radio a tiene una carga

total Q distribuida uniformemente sobre su superficie.

Encontrar el campo elctrico en puntos dentro y fuera

del cascarn

+

+

++

+

+

++

a

2

04

1 ) (

0 ) (

r

QEar

Ear

Conductor en equilibrio electrostatico

Conductor: Material que se caracteriza por tener cargaslibres que pueden moverse en su interior.

Si sometemos un conductor a un campo elctrico externo, su carga libre se

redistribuye hasta anular el campo elctrico en su interior. En estas

condiciones se dice que el conductor est en Equilibrio Electrosttico

(E = Eo).

+++++++++++++

oE

'E

Cualquier exceso de carga se colocar en la

superficie del conductor, ya que el campo elctrico

externo no es lo suficientemente intenso como

para vencer las fuerzas de ligadura.

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

I Toda la carga libre de un conductor se coloca en su superficie.

Dado un conductor, supongamos una

superficie gaussiana justo en el interior de la

superficie del conductor. Como E = 0 dentro

del conductor, tambin ser nulo en todos los

puntos de la superficie gaussiana. Por lo tanto

el flujo a travs de la superficie del conductor

es cero.

Por el Teorema de Gausso

intq

Como 0 0intq

Por lo tanto si existe carga debe estar en la superficie del

conductor

El campo interior es

nulo Las cargas se sitan en la

superficie.

Campo superficial Componente normal:

Componente tangencial:

E = 0

0

snE

0tESi no fuera nula existira

desplazamiento superficial de

cargas

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

II El campo elctrico en la superficie del conductor esperpendicular a dicha superficie y vale

o

s

Para hallar el campo elctrico en la

superficie del conductor consideremos un

elemento infinitesimal plano, con densidad

superficial de carga s. Como superficie

gaussiana tomamos un cilindro con una

cara en el exterior y otra en el interior del

conductor

Si el conductor est en equilibrio electrosttico, el E en la superficie debe ser

perpendicular a dicha superficie. As, slo hay flujo a travs de la cara superior.

o

intqs

EsdE

s int sqo

E

s

E

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

El campo interior

siempre es nulo.

Deforma las lneas de

campo exterior.

Se produce una

redistribucin de carga

en la superficie debido a

la fuerza elctrica.

Condiciones que se deben cumplir en todo conductor

Conductores en contacto

Cuando se ponen en contacto dos conductores, la carga de ambos se

redistribuye hasta que el campo elctrico en el interior de ambos conductores

se anula y se restituye el equilibrio electrosttico. En estas condiciones, el

potencial de ambos conductores debe ser el mismo.

Supongamos un conductor con carga +q al cual se aproxima un conductor

descargado. En ste ltimo aparecern cargas inducidas.

++

++

+++++

+++++

Como el potencial disminuye a lo largo de las

lneas de campo, en principio, el conductor

cargado est a un potencial ms alto que el

neutro. Cuando se ponen en contacto ambos

conductores, la carga positiva fluye hacia el

neutro hasta que ambos quedan al mismo

potencial.

Propiedades de un conductor en equilibrio

electrosttico

El campo elctrico es cero en cualquier punto dentro del conductor.

Cualquier carga en un conductor aislado reside en su superficie.

El campo elctrico justo afuera de un conductor cargado es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud /o, donde es la carga por unidad de rea en ese punto.

En un conductor de forma irregular, la carga tiende a acumularse donde el radio de curvatura de la superficie es mas pequeo, es decir, en puntos afilados.

Fis JORGE HUAYTA

Potencial electrico

Potencial electrico

La energa potencial por unidad de carga U/q0 es

independiente del valor de q0 y tiene un valor nico

en cada punto del campo elctrico.

La cantidad U/q0 recibe el nombre de potencial

elctrico.

Debido a que la energa potencial es un

escalar, el potencial elctrico tambin es

un escalar. oq

UV

Potencial de una carga puntual

Se puede calcular el potencial de una carga puntual a partir del

campo elctrico que produce.

I.- Calculemos el trabajo realizadopor el campo para desplazar la

carga desde el punto A al punto B

B

ArdE)A(V)B(V

Tomando como origen de

potenciales el infinito, podemos

identificar el punto B= y A= r

rkqdr

r

qk)r(V

r

12

r

qk)r(V

q

qo

A

B

0

II.- Un mtodo alternativo es calcular el trabajo que deberealizar una fuerza exterior para traer una carga desde el

infinito hasta un punto r. En este caso el punto A coincide

con el infinito.

B

A

ext

AB rdFW dr

r

qkrdE)A(V)B(V

B

A

r

2

r

qk)r(V

La energa potencial de

una carga qo, situada a

una distancia r de q, ser r

qqkVqU oo

La energa potencial de un sistema de cargas puntuales ser el

trabajo necesario para llevar cada una de ellas desde el infinito

hasta su posicin final.

0

Potencial de un sistema de cargas

puntuales Para una distribucin discreta de cargas

n n n

nn

r

qVV

04

1

Para una distribucin continua de cargas

rdq

dVVo4

1

Existen dos mtodos para calcular el potencial elctrico asociado a

una distribucin continua de cargas:

I Conocido el campo elctrico creado por la distribucin

B

ArdE)A(V)B(V

En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de

referencia arbitrario.

II Para el caso de distribuciones finitas de carga, para las cuales podemos suponer que V() = 0. En este caso

rdq

dVVo4

1

Calculo de un potencial electrico

Diferencia de potencial

La diferencia de potencial se define como el cambio de

energa potencial dividida por la carga de prueba q0

sdEq

UV

b

ao

Unidades

La unidad de potencial en el sistema internacional es J/C, que es equivalente a la unidad conocida como Voltio V

Esto equivale a decir que se necesita un joule de trabajo para llevar una carga de 1 coulomb a travs de una diferencia de potencial de 1 voltio.

El electrn voltio se define como la energa que un electrn (o protn) gana o pierde al moverse a travs de una diferencia de potencial de 1 V.

1 eV = 1,60x10-19 CV = 1,60x10-19 J

1[V] = 1[J/C]

Potencial electricoEl potencial elctrico producido por una carga q viene dado por:

r es la distancia de la carga que produce el potencial al punto en donde

se mide.

El potencial debido a un plano cargado es:

siendo |x| la distancia del punto considerado al plano.

Nota.- Si E es constante, V = EL

Fis JORGE HUAYTA

r

qrV

'

4

1)(

0

xxVo

s

2)(

Doble capa electricaEl campo en el interior de una doble capa elctrica es:

En las dos regiones de los lados el campo elctrico es nulo.

Si Suponemos que el plano con carga negativa es de la izquierda y est en x = 0.

Entre dos planos o dos capas electricas: V = Ed

Tomando V = 0, para x < 0 entre las capas tenemos:

y para x > d :

En un dielctrico, el campo total Etotal reduce al que habra con dielctrico

es la constante dielctrica, es adimensional, (en una membrana : =7).

Fis JORGE HUAYTA

o

centroE

s

xxVo

s

2)(

dielectric

total

EE

dVo

s

Doble capa electrica

Diferencia de potencial entre las dos capas con un dielctrico es:

La energa necesaria para pasar una carga a travs de una doble

capa es:

Fis JORGE HUAYTA

dVVVo

s

dq

VqEo

s

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial elctrica U, de una

particula liberada en un campo E

Fis JORGE HUAYTA

Conservacion de la energia

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial elctrica de una carga

liberada

Fis JORGE HUAYTA

El trabajo mecanico convirtindose en

energia potencial elctrica

Fis JORGE HUAYTA

Ejercicio

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial elctrica de dos

particulas

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial elctrica de dos cargas

puntuales

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial elctrica de varias

particulas

Fis JORGE HUAYTA

Energia asociada a la configuracin de dos

particulas

Fis JORGE HUAYTA

Ejercicio

Fis JORGE HUAYTA

Energia potencial elctrica de dos

particulas

Fis JORGE HUAYTA

Ejercicio

Fis JORGE HUAYTA

Lineas de Campo electrico y

curvas equipotenciales

Lneas de campo elctrico

Campo: deformacin del espacio causada por un cuerpo cargado.

Se puede representar mediante lneas.

El vector campo en un punto es tangente a la lnea de campo Dos lneas de campo nunca pueden cruzarse.

La densidad de lneas es proporcional a la intensidad del campo elctrico.

A grandes distancias las lneas son las de una carga puntual.

Fis JORGE HUAYTA

Lneas de Campo ElctricoLas lneas deben empezar en cargas positivas y terminar en cargas negativas, si la

carga neta es 0 , pueden empezar y terminar en el .

Las lneas no pueden cruzarse o tocarse y el numero de lneas salientes de la carga

positiva o aproximndose a la carga negativa es proporcional a la magnitud de la

carga

Fis JORGE HUAYTA

El vector E es tangencial a la lnea del campo elctrico en cada punto.

El numero de lneas por unidad de rea a travs de una

superficie perpendicular a las lneas es proporcional a la

intensidad del E en esa regin.(E es mas grande cuando

las lneas de campo estn prximas entre si)

Lneas de campo elctrico

Lneas de campo en esferas y planos

Esfera con carga

negativa

Plano positivo

Simetra esfrica

Simetra planar

Dos cargas positivas

Carga positiva y carga negativa

Dipolo elctrico

Lneas de campo para dipolos

Fis JORGE HUAYTA

Las lneas de dos cargas

del mismo signo

La carga negativa de la

derecha y vale Q y la

carga positiva es la de la

izquierda y vale 2Q

Fis JORGE HUAYTA

Es cualquier superficie compuesta de una distribucin continua de

puntos que contienen el mismo potencial elctrico.

Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las lneas de

campo elctrico.

A modo de ejemplo podemos decir que la superficie de un conductor

cargado se comporta como una superficie equipotencial.

Superficies equipotenciales

Superficie equipotencial (lneas rojas) y lneas de

campo elctrico (lneas azules) para una carga

puntual.

Superficies equipotenciales El potencial es constante en todos sus puntos.

El vector gradiente

es ortogonal a S.

El gradiente va de

menores a mayores

valores de V.

1U

ctezyxV ),,(

V0

V1V2

VN

0|||| ii VVrVrE

ij

ij

VV

VVrVrE

0)(

Vectores campo elctrico

Superficies equipotenciales

(ejemplos)

Campo producido por un dipolo

Campo producido por una carga puntual

Campo producido por un hilo infinito

Superficie equipotencial

Campo elctrico

Capacidad electricaUn condensador es un par de conductores situados uno cerca del

otro.

La capacidad se define como la carga acumulada en cada uno de

los conductores dividida por la diferencia de potencial:

La unidad de capacidad es el faradio, 1F = 1C/V.

La capacidad de una doble capa elctrica es:

La capacidad por unidad de rea de una doble capa elctrica es:

Fis JORGE HUAYTA

V

qC

dS

Cc oa

d

AC o

Fis JORGE HUAYTA

Cual es la capacidad de la membrana de un axn de 10-4 m de

largo, 5x10-6 m de radio, 6x10-9 m de ancho de la membrana

descrita en el ejercicio anterior si la permeabilidad es de 6?

Ejemplo

Fis JORGE HUAYTA

La capacidad es

Donde : L=10-4 m, d=6x10-9 m

ycon rea del (pared lateral) manto del cilindro A=2r L

Luego en la expresion inicial

Solucion

Fx,)x(

)m)(x()/NmCx,(C

11

9

462212

10782106

101052108581

d

AC o

d

rLC o

)2(

Fis JORGE HUAYTA

. GRACIAS

1 Determinar la fuerza elctrica y la energa potencial elctrica entre dos cargas de 0.01 C

separadas una distancia de 0,1 m.

2 Una molcula est formada por dos iones con cargas opuestas de mdulo e, separados una

distancia de 4 . Determinar a) la fuerza elctrica que experimentan ambos iones, b) el

campo elctrico en el punto medio, c) el potencial elctrico en el punto medio, d) la energa

potencial elctrica de una carga

3 Calcular la energa de un tomo clsico de hidrgeno, suponiendo que la masa del ncleo

es mucho mayor que la del electrn, que vale 9,1 1031 kg, y que ste gira alrededor de

aqul en una rbita circular de 0.53 de radio. Despreciar la fuerza gravitatoria frente a la

elctrica.

4 Un plano est uniformemente cargado con una densidad superficial de carga de 2106

C/m2. Cul es el valor del campo elctrico por l producido? Determinar la diferencia de

potencial entre un punto a 1 m del plano y otro a 2 m del plano, situados en partes opuestas

5 El campo elctrico en el interior de una doble capa elctrica es de 800 V/m. La distancia

entre las placas es de 0.2 m. Calcular a) la densidad superficial de carga, b) la diferencia de

potencial entre las planos, c) la fuerza y la aceleracin que sufrira una partcula de 0.01 kg

y 104 C situada en su interior, d) la velocidad con la que llegara a la placa negativa la

partcula anterior si inicialmente se encuentra en reposo a igual distancia de las dos placas,

e) la energa con la que llegara, en el caso anterior.

Ejercicios

6 Una membrana celular de 8 nm de espesor posee una constante dielctrica de 7. La

densidad superficial acumulada en cada una de las superficies es de 6104 C/m2, en valor

absoluto, y la capa negativa es la interna. Calcular a) el campo elctrico en el interior de la

membrana, b) la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de la clula, c) la

energa que se necesita para sacar un ion Cl de la clula, d) el potencial, respecto del que

existe en el interior de la clula, de un punto en el interior de la membrana a 2 nm de su

superficie interna, e) la capacidad por unidad de rea de la membrana.

Ejercicios