1.přednáška úvod do matematiky
description
Transcript of 1.přednáška úvod do matematiky
BRVKABRVKA
Bernard Bolzano(1781-1848)
Zde najdete seznam používaných symbolů a jejich čtení:
nebo - zároveň a -
upodmnožino není - upodmnožino je -
sjednocení -prunik -
... když ..., tehdy právě - implikuje plyne, tohoz -
nenáleží - náleží -
existuje - ... všechna,každý, -
BRVKA
Množina je soubor prvků dané vlastnosti, většinou se zapisuje: , kde je ve složené závorce buď výčet prvků nebo jejich charakteristická vlastnost:
O každém prvku lze rozhodnout, zda do množiny patří, zapisujeme nebo nepatří
Pokud množina žádné prvky nemá, je prázdná
Množina M může být podmnožinou jiné množiny L, pokud všechny prvky z M patří i do L.
Platí:
42,23,16,15,8,4M
5 xN
M15 M17 K
,...,,, MLMJLJLM
5,2,1,5,4,3,2,1,5,3 JLM
BRVKA
Pole I = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň nepatří do B. ROZDÍL množin A a B, v tomto pořadí neboli A mínus B – značení A \ B
Pole II = množina všech prvků U, které patří do A a zároveň do B. PRŮNIK množin A a B, – značení
Pole III = množina všech prvků U, které patří do B a zároveň nepatří do A. ROZDÍL množin B a A, v tomto pořadí neboli B mínus A – značení B \ A
Pole IV = množina prvků U, které nepatří do A ani do B – DOPLNĚK Pole I+II+III = množina všech prvků U, které patří do A nebo do B SJEDNOCENÍ množin A a B – značení
BA
U
III
III
IV
Základní množina U je rozdělena na 4 pole, která jsou očíslována I, II, III, IV.
A \ B B \ A
BA
BA
BA
BRVKA
o Přirozená čísla N vyjadřují počty prvků konečných množin, počty nedělitelných objektů.Někdy k množině N přidáváme nulu:
,...3,2,1N ,...3,2,1,00 N
o Celá čísla Z obsahují nulu, přirozená čísla a čísla k nim opačná: ,...3,2,1,0 Z
o Racionální čísla Q jsou všechna čísla, která lze zapsat ve tvaru zlomku … kde p je číslo celé a q je číslo přirozené.
qp
o Reálná čísla R vyjadřují délky křivek, plochy obrazců, objemy těles a hodnoty reálných funkcí.
o Komplexní čísla C jsou složena z reálné a imaginární části. 1, ,: 2 jRbabjaC
BRVKA
To znamená, že každé celé číslo je zároveň i číslem reálným, ale obráceně to neplatí, např. číslo π je reálné, ale není celé.
Reálná čísla, která nejsou racionální se nazývají iracionální.
CRQZN
UZAVŘENOST číselné množiny vzhledem k operaci
Pokud provedeme číselnou operaci se dvěma čísly z nějaké číselné množiny, je výsledek operace z téže množiny.
N je uzavřená vzhledem ke sčítání a násobení, ale není uzavřená vzhledem k odčítání ani dělení.
Z je uzavřená vzhledem ke sčítání, násobení a odčítání, ale ne vzhledem k dělení.
Q, R, C jsou uzavřené vzhledem ke všem operacím.
Pozn.: nulou se dělit nedá!
BRVKA
KOMUTATIVNOST operace
Při provádění početní operace nezáleží na pořadí čísel. sčítání a násobení jsou komutativní odčítání a dělení nejsou komutativní
Symbolický zápis: )..()(:, abbaabbaRba
ASOCIATIVNOST operace
Při provádění početní operace se třemi čísly můžeme libovolně „přezávorkovat“, nezáleží na pořadí provedení.
sčítání a násobení jsou asociativní odčítání a dělení nejsou asociativní
Symbolický zápis: cbacbaRcba )(:,, cbacba ..)..(
BRVKA
EXISTENCE NEUTRÁLNÍHO PRVKU
Pro neutrální prvek platí:Pozn.: Hvězdička zastupuje nějakou operaci.
Sčítání má neutrální prvek číslo 0 (od Z dále) Násobení má neutrální prvek číslo 1 (všechny obory) Odčítání a dělení neutrální prvky nemají.
anaanRaRn ::
Pomocí neutrální prvku definujeme INVERZNÍ PRVKY:
OPAČNÉ ČÍSLO PŘEVRÁCENOU HODNOTUPokud to v dané číselné množině lze.
0)(....... aaa1.1.......1 a
aa
DISTRIBUTIVNOST NÁSOBENÍ vzhledem ke SČÍTÁNÍ
Platí „roznásobení závorek“ cabacbaRcba ...:,,
BRVKA
OSTRÉ
NEOSTRÉ
yx yx
Pro ostré uspořádání platí:
TRICHOTOMIE – pro platí právě jedna z možností:
TRANZITIVITA –
yxyxyx ,,Ryx ,
zxzyyxRzyx :,,
Podle uspořádání s číslem 0 se reálné číslo x nazývá: kladné záporné nezáporné nekladné 0
000
xxxx
BRVKA
Platí:
Absolutní hodnota je:
0,
0,
xprox
xproxxRx
yxyx
yxyx
xxx
..
Trojúhelníková nerovnost
GEOMETRICKÝ VÝZNAM absolutní hodnoty je vzdálenost od nuly na číselné ose.
Ryx ,
0
x
x
BRVKA
INTERVALY jsou podmnožiny R s krajními body a,b: otevřený uzavřený polouzavřený polootevřený
Body intervalu, které nejsou krajní, nazýváme vnitřní.
bxaRxba
bxaRxbabxaRxbabxaRxba
:,:,:,:,
OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je definováno: rararaxRxraU ,:,
PRSTENCOVÉ OKOLÍ BODU a z R o poloměru r > 0 je:
raaararaxRxaraUraP ,,0:\,,
a ra ra
BRVKA
ROZŠÍŘENÁ MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL je
… k R jsme přidali „nekonečna“ ,* RRRPlatí:
Počítání s ∞:
Neurčité výrazy, nelze u nich určit hodnotu, nejsou definovány:
x
aa
0,
0,.
0,
0,.
0
a
aa
a
aa
aa
??.0?
BRVKA
Jsou dány čtyři podmnožiny množiny přirozených čísel N. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny.
Jsou dány tři podmnožiny množiny reálných čísel R. Zakreslete je číselnou osu. Proveďte jejich průniky, sjednocení, oboustranné rozdíly a doplňky do základní množiny.
Jdou dána okolí bodů, zakreslete je na číselnou osu, zapište pomocí sjednocení intervalů a množinovým zápisem a najděte jejich doplňky.
84,
10,16,32,16,8,4,2,1
xNxDxNxCxNxB
A
8,617,22,
KxRxJxRxI
4,1,1,4,3,2,2,3 PPUU
BRVKA
Mocnina ar je součin r stejných činitelů. a je základ mocniny, r je exponent (mocnitel)
Pravidla pro počítání s mocninami:
BRVKA
r
r
rsrssr
srs
rsr
srsr
aa
aaa
aa
aaa
aaa
1
:
.
r
r
r
rrr
ba
ba
abba
.
00
10
r
a
Výraz 00 není definován.
11
1
r
aa
n a n-tá odmocnina:a je základ odmocniny, n je odmocnitelMísto pravidel pro odmocniny uvedeme vztah, jak odmocninu převést na mocninu.
n
rn r aa
Následující výrazy zjednodušte:
21
3 2a
a
a
32
21
23
1
31
132
zyx
zyx
326623632
6 26
26
2
baba
bab
a
ba
ba
ba
ba
12
212
12
22
12
51
2
31
221
a
aa
baba
abba
ba.
33
xxx
x
xxx
x22
11
BRVKA
Výraz P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0,
kde nazýváme polynom (mnohočlen) n-tého stupněan, an-1,…se nazývají koeficienty, a0 je absolutní člen Sčítání (odčítání) polynomů a násobení reálným číslem
provádíme člen po členu:
BRVKA
0na
5,325,25,25,1625,25,135,0.2 22222 xxxxxxxx Násobení polynomů mezi sebou provádíme systémem
„každý s každým“. Každý člen jednoho polynomu násobíme s každým členem druhého polynomu a vše sečteme.
5,75,225,35,175,0
5,75,45,25,125,175,05,25,1.35,0234
232422
xxxx
xxxxxxxx
Vytýkání před závorku (opačný proces k násobení číslem) – každý člen vydělíme vytýkaným číslem, které napíšeme před závorku: 15,043.335,1129 2323 xxxxxx
Nejdůležitější akcí je (kromě předchozím operací) rozklad na součin, a to buď vytýkáním nebo podle vzorce. Kromě vzorců pro umocňování použitých v obráceném směru používáme vzorec:
Umocňování polynomů – buď podle definice mocniny nebo rychleji podle vzorce:
BRVKA
BABABA .22
32233
222
33
2
BABBAABA
BABABA
Další vzorce pro rozklad: 2233 . BABABABA
2
1
x
Usměrňování, zbavení se odmocniny ve jmenovateli:
2
2.
x
x
22
2
xx
x42
xx
Upravte, zjednodušte:
Rozložte na součin:
a další tisíce podobných v jakékoliv sbírce
32222 2333 aaaccccacaca
bababbabaa 432234
116141 22 aaaa
123532324 2 xxxxx
dndmanam 3155
123 xxx
22 94 baba
25309 2 xx
2520449 22 aab 3827 a
41 x
252 2 xx
633 24 xx
76 2244 yxyx
BRVKA
1:
322
ab
bab
a
ba
1
).(:
222
ab
bab
a
ba
1
).(.
)).((2 bab
ab
a
baba
1
1.
1 b
ba
1
1
b
ba
b
a
b
bba
ba
b
a
0
0
BRVKA
Jsou výrazy složené ze zlomků, kde se v čitateli i jmenovateli vyskytují polynomy různého stupně, cílem pak je celý výraz zjednodušit. Součástí úprav je i určení podmínek, za kterých má výraz smysl.
x
x
x
y
x
y
x
y
1
1:
111 2
x
x
xx
y
x
y
x
y
1
1:
1111
1:
11
11
xx
yxyxy
1:
1 2x
yyxyyxy
1:1
22x
yyx
1
122
x
xy1x
BRVKA
Upravte lomené výrazy, určete podmínky existence.
a k tomu další a další v jakékoliv sbírce pro SŠ.
1
121
:11
1 2
aa
aa
42
.2
:1
14
xx
xx
x
2
22
1:
111
bb
abba
ba
b
2911
.1
111 x
xxx
xx
x
ba
ab
abba
baabab
2:2
22
112
1
1 2
2
xxx
x
x
xx
1:1
22
2
xy
y
yx
y
BRVKA
Jsou různých typů a cílem je nalézt proměnnou – kořen rovnice, po jejímž dosazení nastane rovnost výrazů. Algebraické – na obou stranách jsou polynomy Nealgebraické – s goniometrickými funkce, logaritmy ….
Při hledání řešení využíváme úpravy rovnic, buď ekvivalentní (které nezmění počet řešení) nebo neekvivalentní (které řešení změnit mohou a jejichž použití vyžaduje zkoušku). Ekvivalentní: (1) výměna stran rovnice,
(2) přičtení libovolného výrazu k oběma stranám,
(3) vynásobení obou stran nenulovým výrazem Neekvivalentní např.: umocnění nebo odmocnění rovnice,
logaritmování nebo odlogaritmování …..
BRVKA
Velmi obvyklý tvar rovnice …. V(x) = 0, kde V(x) je nějaký výraz, který umíme rozložit na součin jednodušších výrazů…. V(x) = V1(x).V2(x).V3(x)
Vyjdeme-li z toho, že součin se rovná nule právě tehdy, když je aspoň jeden z činitelů roven nule, získáme několik jednodušších rovnic: V1(x) = 0, V2(x) = 0, V3(x) = 0, …které umíme vyřešit. Řešení původní rovnice je potom sjednocením dílčích řešení.
2,0
02020
02.2.)4.(
042
3
K
xxx
xxxxx
xx
BRVKA
Každá kvadratická rovnice má diskriminant D, což je číslo, které mimo jiné určuje počet řešení:
D < 0 – žádné řešeníD = 0 – jedno řešení – dvojnásobný kořenD > 0 – dvě různá řešení
02 cbxax
acbD 42
0,R,, acba
a
acbbx
2
42
12
,21 a
bxx
a
cxx 21
212 . xxxxacbxax
Pro kvadratický trojčlen dále platí tzv. Viétovy vztahy:
Kvadratický trojčlen lze rozložit na součin:
BRVKA
V oboru reálných čísel řešte rovnice:
33
3
3
22
xx
x9
5
3
2
3
22
xx
x
x
x
3
3
8
32
4
3
x
xx 36322 22 xxxxx
3
2
13
7
151
4
1
2
)1.(3 xxxx
6
6,17
2
38,18,9
3
4,0 xxxx
028102 xx
05
125
12510
422
xxxx
22
33
32
23
xx
xx
xx
xx
3713 224 xxx
33
33
2
2
xx
xx 22645
23
332
2
xx
xx
23284 xx
BRVKA
11.1
022
01.49.4
12
23
224
23
xxx
xxx
xxx
xxx 03.2.12
01.3.3
0.12.23
032.
2
22
2
2
xxxx
xxxx
xxx
xxx
314
2
122
23
21
124
34
43
432
234
xx
xxx
xxxx
xxx
xx
xx
xx
x
32
232
23
23
2
112
2
11
1
332
232
23
23
xxx
xx
xx
x
BRVKA
V oboru reálných čísel řešte rovnice v součinovém tvaru:
Z následujících výrazů vytkněte nejvyšší mocninu:
A to je pro dnešek vše,
děkuji za pozornost.
BRVKA