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1.Mechanik - research.uni-leipzig.de · 1.2.3.5.2. Reibung in Fluiden Reibungskraft ist Funktion...
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1
1.Mechanik1.1. Kinematik
1.1.1. Modell der Punktmasse (PM) und
Koordinatensysteme (KS)
Def. PM: Volumen V = 0 Einheit: [V] = m³Masse m = endlich groß [m] = kgDichte ρ = m/V = [ρ] = kg/m3
Folgen: - Ort genau angebbar- Drehung um sich selbst nicht möglich!
2
Ortsangabe erfolgt in einem Koordinatensystem (KS):hier: Kartesisches KS (rechtwinklig)
Dimensionalität:a) 1-dim. (Gerade) x-, y-, oder z-Achse
x<0 0 x>0 x
0z<0
z>0z
xb) 2-dim. (Ebene) x-y oder x-z-Achse
c) 3-dim. (Raum) x-y-z-Achse
Ort des Punktes P(x,y,z) mit Koordinaten (x,y,z) durchOrtsvektor festgelegt:
),,( zyxkzjyixr i
j
k
kji
,,Einheitsvektoren:
mit 1 kji
und kji
0 kjkiji
222 zyxrr
mit Betrag (Länge)
(Wiederholung Vektorrechnung)
b)
a)
c)
zyx eee ,,oder
3
1.1.2. Definition Geschwindigkeit und Beschleunigung
1.1.2.1. Eindimensionale Bewegung der PM
Def.Geschwindigkeit:
tx
ttxxv
12
12
[v] = m/s
Momentangeschwindigkeit:
Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeitx1, x2 – Anfangs- u. Endort
xdtdx
txv
t
0lim Differenzialquotient
“1.Ableitung von x nach t“
v hängt oft von der Zeit ab: z.B.:
Anstieg “tan “ der
x-t-Kurve zum Zeitpunkt t1,
v(t1) ist Tangente an x(t) Kurve
bei t1
1txz.B.: =
Exp.: Geschw. Luftgewehrkugel
0
x
t1t
4
Def.Beschleunigung:
tv
ttvva
12
12
Momentanbeschleunigung:
Durchschnittsbeschleunigung: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeitv1, v2 – Anfangs- u.
Endgeschwindigkeit
xdt
xdvdtdv
tva
t
2
2
0lim
0
v
t1t
“1.Ableitung von v nach t“
“2.Ableitung von x nach t“
a hängt oft von der Zeit ab: z.B.:
Anstieg “tan “ der
v-t-Kurve zum Zeitpunkt t1a(t1) ist Tangente an v(t) Kurvebei t1
1tvz.B.: =
Exp.: 1-dim allg. Bewegung
[a] = m/s2
5
1.1.2.2. Dreidimensionale Bewegung der PM
tr
ttrrv
12
12
Momentangeschwindigkeit:
Durchschnittsgeschwindigkeit: t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit– Anfangs- u. Endort
rdtrd
trv
t
0lim Differenzialquotient
21, rr
tv ist Vektortangente an
tr
6
tv
ttvva
12
12
Momentanbeschleunigung:
Durchschnittsbeschleunigung:t1, t2 – Anfangs- u. Endzeit
– Anfangs- u. Endgeschwindigkeit
rdt
rdvdtvd
tva
t
2
2
0lim
21,vv
Differenzialquotient
ta ist Vektortangente an
tv
7
1.1.3.1. Gleichförmige, geradlinige (1-dim) Bewegung der PM
1.1.3. Beispiele
constvv 0 00 xtx Anfangsbedingung:
dtdxv 0
Separation der Variablen (x, t)dtvdx 0
Integration t
t
tx
xdtvdx
00
0
000 ttvxtx Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung
8
1.1.3.2. Gleichförmig beschleunigte, geradlinige (1-dim) Bewegung der PM
constaa 0 ,00 xtx Anfangsbedingung:
dtdva 0
Separation der Variablen (v, t) dtadv 0
Integration t
t
tv
vdtavd
00
0
000 ttavtv Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz der gleichförmig, beschleunigten geradlinigen Bewegung
,00 vtv
9
dtdxv
Separation der Variablen (x, t) dttvdx
Integration
t
t
tx
xdttvdx
00
200000 21 ttattvxtx
Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmig, beschleunigetngeradlinigen Bewegung
t
tdtttavxtx
0
0000
10
Winkelgeschwindigkeit ist
Vektor entlang Drehachse:
1.1.3.2. Gleichförmige Kreisbewegung - 2-dim. Bewegung der PM
Ortsvektor:2-dim. Bewegung in x-y Ebene – KreisbahnDrehachse entlang z-Achse
,tr
tr
tv
t ts
tx
ty
x
y
PM
constrtr
Radius der Kreisbahn
PM bewegt sich auf Kreisbogen:
trts
Definition Winkelgeschwindigkeit:
rv
dtds
rdtrtsd
dtd
1/
[] = rad s-1 = s-1
v - Bahngeschwindigkeit,tangentielle Geschwindigkeit
11
gleichförmige Kreisbewegung: const
dtd Integration
t
t
tdtd
00 00
tt
trtx cos 0,, ztytxtr trty sinmit
0,sin,cos ttrtr
Exp.: Messung x(t), y(t) - Plattenspieler
0,cos,sin ttrdtrdtv
0,sin,cos2 ttrdtvdtaz
Bahngeschwindigkeit:
rr
rvrtaz
2
2
Zentripetalbe-schleunigung::
tr
tv
t ts
tx
ty
x
y
PM
taz
vrv ,
gleichförmige Kreisbewegung istbeschleunigte Bewegung
0za
rv
r
vadtvd
z
Vektorprodukt (rechte Handregel)
Exp.: Schleifscheibe und Vektorprodukt
,0,0
12
rv
Vektorprodukt (rechte Handregel)
Exp.: Schleifscheibe und Vektorprodukt
r
13
1.2. Dynamik - Kräfte
1.2.1. Kräfte als Vektoren
Kräfte sind Ursache für Geschwindigkeitsänderungen, d. h. Änderungen des Bewegungszustandes,einer PM
Kräfte sind Vektoren und addieren bzw. subtrahieren sich wie diese:
Kraft F [F] = kg m/s2
),,( zyxzyx FFFkFjFiFF
21 FFF
F
1F
2F
Kräfteparallelogramm
Bsp.: Segeln
0i
iF
Exp.: Kräftegleichgewicht mit Gewichten
0321 FFF
Gleichgewicht:
321 FFF
14
1.2.2. Newtonsche Axiome
Newtonsche Axiome sind Grundgleichungen der klassischen Mechanik
1. Axiom - Trägheitsgesetz
Exp.: rollende Kugel auf Ebene
Exp.: Flasche und Tischtuch
Eine PM verbleibt in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung,sofern auf sie keine äußeren Kräfte einwirken.
0 i
iges FF
0 va
Koordinatensysteme (KS) in denen das 1. Axiom gilt heißen Intertialsysteme
Intertialsysteme: KS ruht oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeitconstv
v
0
15
2. Axiom - Aktionsprinzip
Kraft ist Masse mal Beschleunigung:
amF
mit va
dt
vmdvmF
Impuls: vmp [p] = kg m /s
Die zeitliche Änderung des Impulses einer PM ist gleich der wirkenden Kraft:
dtpdF
(Charakterisiert Bewegungszustand einer PM)
16
3. Axiom - Reaktionsprinzip
Wenn zwei PM miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche diePM aufeinander ausüben, den selben Betrag aber entgegengesetzte Richtungen:
BAAB
BAAB
FFFF
ABF
BAF
Kraft von PM A auf PM B
Kraft von PM B auf PM A
Exp.: Rollwaagen
A BABF
BAF
17
1.2.3. Spezielle Kräfte1.2.3.1. Gravitationskraft
Anziehende Kraft zwischen zwei PM m1 and m2
m1
12,GF
1r
m2
2r
12 rrr
Newtonsches Gravitationsgesetz:
rr
rmm
rrrr
rrmmFG
221
12
122
12
2112,
Gravitationskonstante:
= 6,67259 · 10-11 m3 kg-1 s-2
21,12, GG FF
Newton´s 3. Axiom:
12,GF
- Kraft von m1 auf m2
21,GF
- Kraft von m2 auf m1
Gravitationskraft wirkt entlang Verbindungsvektor zwischen m1 und m212 rrr
Gravitationskraft ist „Zentralkraft“
18
1.2.3.2. Schwerkraft - Gewichtskraft
- Spezialfall der Gravitationskraft- Gravitationskraft die Erde auf eine Masse m in der Nähe der Erdoberfläche ausübt
Erdmasse: m1 = ME 5,97 1024 kgErdradius: r = RE 6370 103 m
ME
ER
gFg
,
zem
z
zE
Eg e
zRmMF
2
mit 22
22 1 EE
EE RRzRzR
z << RE
zE
Eg em
RMF
2
gmegmF zg
mit Fallbeschleunigung: 2E
E
RMg
= 9,81 m/s2
19
Bestimmung von g mit Atwoodscher Fallmaschine Exp.: Atwoodsche Fallmaschine
gmF 11
gmF 22
T
T
aa
m1
m2
zT
- Zugspannung, Zugkraft im Seil
- m2 > m1
2. Newtonsches Axiom: m a = F
(I) Abwärtsbewegung: -m2 a = -m2 g + T(II) Aufwärtsbewegung: m1 a = T -m1 g
(II) – (I): m1 a + m2 a = -m1 g + m2 g
ammmmg
12
12
a < gFallbewegung kann mit einfachenMittel untersucht werden
- Vernachlässigen Reibung sowie Massen desSeils und der Rolle
20
1.2.3.3. Federkraft
- elastische Kraft die bei Dehnung oder Stauchung einer Feder (z. B. Spiralfeder) auftritt- kann zur Messung anderer Kräfte genutzt werden (Federkraftmesser)
z0 = 0
z = z
z = 2 z
z = 3 zz = 4 z
zgF
RF
RF
- Federkraft, rückstellende Kraft
Kräftegleichgewicht, 0i
iF
0 gR FF
gR FF
Hook´sche Gesetz:
zKFR
gR FF
zKFg
K - Federkonstante
[K] = kg/s2 = N/m
Messung der Gewichtskraftdurch Federkraftmesser
Exp.: Federkraftmesser
21
1.2.3.4. Zentripetalkraft
gleichförmige Kreisbewegung ist beschleunigte Bewegung mitZentripetalbeschleunigung rvaz
2. Newton´sches Axiom: amF
Zentripetalkraft wirkt in Richtung desZentrums der Kreisbahn
rmvmamF zz
tr
tv
x
y
PM
zz aF ,
Exp.: Federkraftmesser mit rotierender MassePapierscheibe und KreideKonisches Pendel
22
1.2.3.5. Reibungskräfte1.2.3.5.1. Haft- und Gleitreibung
GHF ,
RF
gmFn
xe
x
GHF ,
nF
- Reibungskraft (H – Haftreibung)(G – Gleitreibung)
-Normalkraft, senkrecht zurUnterlage
xnGHGH eFF ,,
nGHGH FF ,,
GH , - Reibungskoeffizienten(abhängig von Beschaffenheit der
Kontaktflächen)
GH es gilt im allgemeinen
Exp.: Holzblock auf Holz, Messung von Reibungskräften mit FederkraftmesserSchlaufe mit Gewicht auf schräger AchseAnkerspill
FH,G
23
1.2.3.5.2. Reibung in FluidenReibungskraft ist Funktion der Geschwindigkeit des Körpers F = f(v)
a) Stokes Reibung bei kleinen GeschwindigkeitenBedingung: laminare Strömung (auftretende Wirbel sind stationär)
vFS
vrFS
6Bsp. Kugel mit Radius r: Stoke´schesGesetz
- Viskosität des Fluids, [] = kg (ms)-1
b) Newton Reibung bei hohen GeschwindigkeitenBedingung: turbulente Strömung (auftretende Wirbel sind instationär)
2vFN
vvvAcF wN
2
2
- Dichte des Fluidscw - WertA - Querschnitt des Körpers
Exp.: laminare und turbulente Strömungen
24
1.2.3.6. Trägheitskräfte
-Trägheitskräfte treten auf, wenn Bewegung einer PM bzgl. eines beschleunigten KS (KS´)beschrieben wird
-Trägheitskräfte sind Scheinkräfte
KS´ bewegt sich mit Beschleunigung bzgl. Inertialsystem KSRa
PM mit Masse m in KS in KS´
Beschleunigung von m
Kraft auf m
a Raaa ´
amF ´´ amF
RT amF
TF
ist Trägheitskraft
RamFF ´
TFFF
´
25
Beispiel:beschleunigter Fahrstuhl
gF
Ra
KS
KS´
zTg FFF
´
zRz emaemgF ´
zR eagmF ´
zg emgF
RR aa ,0,0
freier Fall: gaR ,0,0
0´F
fallender Körper ist schwerelosExp.: Poggendorf Waage
Beispiel: gleichförmige Kreisbewegung
tr
tv
x
y
PM
zz aF ,
KS
KS´
KS´ rotiert mit PM 0´ Tz FFF
zT FF
rmrvmFF zfT
Zentrifugalkraft:
Anwendung: Zentrifuge mFzf
Trennung nach Masse
RT amF
rmvmFz
Zentripetalkraft:
26
rmFzf
sincos2 mgrm
gr2
tan
dxdy
gx
gr
22
tan
22
21 x
gxy
Flüssigkeitsoberflächeist Parabel
Steighöhe ist nicht von mabhängig
Exp.:
Exp.: rotierende Küvette
Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,
Kräftegleichgewicht effgeffzf FF ,,
27
1.2.3. Bewegungsgleichung einer PM
allg. Bewegungsgleichung: rmF
zweifache Integration der Bewegungsgleichung nach der Zeit ergibt Weg-Zeit-Gesetzder PM
beruht auf 2. Newtonschen Axiom
11 cdtFm
tv
tr
212 ´1 cdtcdtdtFm
cdttvtr
Die Integrationskonstanten c1 und c2 sind durch die Anfangsbedingungen der Bewegung bestimmt.z. B.:
00
00
vttvrttr
28
1.2.3.1. Schiefe Ebene
x
xF x0
nF
gmFg
h
l
sinmgFx
cosmgFn Normalkraft:
Hangabtriebskraft:
x(t = t0) = x0, v(t = t0) = v0, t0 = 0Anfangsbedingungen:
1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
tt
tx
v
vdtgdtF
mdv
0sin1
00
tgvtv sin0
2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
t
t
x
xdttvdx
00
200 sin
21 tgtvxtx
tx
xdttgvdx
00 sin
0
gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
keine Reibung, FR = 0a) keine Reibung, FH,G = 0
Exp.: Vergleich Impulsänderung undwirkende Kraft auf schiefer Ebene
29
x
xF x0
nF
gmFg
h
l
GF
b) mit Gleitreibung, FG
cosGnGG mgFF Gxgesx FFF ,
cossin, Ggesx mgmgF
1. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
t
G
t
tgesx
v
vdtgdtF
mdv
0, cossin1
00
tgvtv G cossin0
2. Integration (bestimmt) der Bewegungsgleichung:
t
t
x
xdttvdx
00
200 cossin
21 tgtvxtx G
falls 0cossin G
d.h. Gx FF
G tan gleichförmige, geradlinige Bewegung
Exp.: schiefe Ebene mit Reibung
gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung
30
1.2.3.2. Wurfbewegung
z
xxmax
0v
z0
zmax
zgz emgFF
Bewegungsgleichung: rmF
zyxmFFF zyx ,,,,
zyxmmg ,,,0,0
vertikale (z) und horizontale (x) Bewegung sind unabhängig voneinander
Exp.: Unabhängigkeit der Bewegung
Lösung der Bewegungsgleichung für jede Komponente x, y, z durch zweifache Integration
nach der Zeit mit Anfangsbedingungen sin,0,cos 000 vvv
00 ,0,0 zr
200 2
1sin gttvztz tvtx cos0 0ty
Wurf in xz-Ebene
gleichförmig beschleunigte geradlinigeBewegung in z-Richtung
gleichförmig Bewegungin x-Richtung
31
Bahngleichung: tvtx cos0 cos0v
txt
einsetzen in 200 2
1sin gttvztz
22
0
2
0 cos2tan
vxgxzz
z
xxmax
0v
z0
zmaxWurfparabel
- Reichweite xmax für z0 = 0 aus z = 0:
22
0
maxmax22
0
2max
max cos2tan
cos2tan0
vxgx
vxgx
2sincossin2 202
0max gvv
gx
- Höhe zmax für z0 = 0 :
gvz
2sin22
0max
0
costan 22
0
vxg
dxdz
gvx cossin2
0
Extremwertaufgabe 0dxdz
maximale Reichweite für = 45°
Exp.: Simulation Wurfbewegung
32
Spezialfall: Vertikaler Wurf aus Höhe z0 = h:
200 2
1sin gttvztz z
z0
h 2
0 21 gttvhtz
= 90°
Spezialfall: Freier Fall aus Höhe z0 = h mit v0 = 0:
2
21 gthtz
Fallzeit tf: 2
210 fgth
ght f
2
Exp.: - Freier Fall, tf = f(h) zur Bestimmung von g- Darstellung tf
2 = 2h/g d.h. tf2 = m h ist Gerade mit Anstieg m = 2/g
Bestimmung von Anstieg m über lineare Regression undErmittlung von g aus Anstieg m und g =2/m
33
1.2.3.3. Freier Fall mit Stokes ReibungKugelfall in Fluid mit Viskosität
Bewegungsgleichung:
vRF
vrF
S
S
6Reibungskraft:(Stokes)
zmFF Sg
dtdvmRvmg
v
v
t
t vmRg
dvdt00 00
v
mgR
Rmt 1ln
tmR
eR
mgtv 1
t
t
x
xdttvdx
00 00
1
tmR
eRmt
Rmgtx
t
v r
mgR
mgtv6
gttv 0
Exp.: Kugelfall in Wasser
Anwendung: Kugelfallviskositätsmessung
(Vernachlässigung von Auftrieb)
34
1.2.3.4. Freier ungedämpfter harmonischer Oszillator
x
x = 0
-x
0xFR
xR eKxxF
Auslenkung der PM mit Masse merzeugt rückstellende Kraft:
KxxFR
xFxmF R Bewegungsgleichung: Kxdt
xdm 2
2
0202
2 x
dtxd
mK
0mit
wirkende Kraft oder Beschleunigung proportional undentgegengesetzt zur Verschiebung x der PM sind
harmonische Schwingung(harmon. Oszillator)
Bewegungsgln. des freien,ungedämpften harmon. Oszillators
02
2 Kx
dtxdm
35
0202
2 x
dtxd
Lösung von (homogene Differentialgleichung 2.Ordnung) :
000 sin txtx
x
t
000
21
T
0 = 0
0 = 90°x0
-x00 = -90°
x0 - Amplitude
- KreisfrequenzmK
0
2
00 - Frequenz
[0] = s-1
[0] = Hz = s-1
00 t - Phase der Schwingung mitPhasenkonstante 0
Km
T
2
10
0
- Schwingungsdauer
[T0] = s
da einsetzen von x(t) in Bew.-gln.
0sinsin 0020000
200 txtx
Exp.: Federschwinger, T0 m1/2
Anwendung: Molekülschwingungen,Gitterschwingungen
36
1.2.3.5. Mathematisches PendelRadialkraft spannt Faden mit Zugspannung TTmgFr cos
sinmgFt Tangentialkraft verursacht Beschleunigung
Bewegungsgleichung: 2
2
sindt
sdmmgFt
sin2
2
gdt
sd
mit Kreisbogen ls 0sin2
2
lg
dtd
Grenzfall kleine Auslenkung <<1: sin
0202
2
dtd
lg
0mitharmonische Schwingung(harmon. Oszillator)
Lösung: 000 sin tt glT
22
00 Schwingungsdauer:
0T ist unabhängig von m Exp.: math. Pendel, T0 m,T0 l1/2, T0 = f(g)
rF
tF
gF
T
l
tsm
ts - Kreisbogenbeschreibt Bahndes Pendelkörpers
37
1.2.3.6. Freier gedämpfter harmonischer Oszillator
freier harmonischer Oszillator mit Reibung (Stokes)
RvkxFxFxm SR Bewegungsgleichung:
mR
202 2
02
2 x
dtdx
dtxd
mK0mit
(homogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
und Dämpfungskonstante
Lösung für den Fall schwacher Dämpfung < 0:
tAetx t 'cos
gedämpfte Schwingung mit Frequenz
022
0'
xEinhüllende: tAe
Dämpfung
Exp.: Pendel in Wasserphysikalisches Pendel und Magnet
Anwendung: Spektroskopie im Zeitbereich(NMR – „Free Induction Decay – FID“,
Dämpfung = Relaxation)
vRFS
Reibungskraft:
38
1.2.3.7. Erzwungene Schwingunggedämpfter harmonischer Oszillator mit periodischer äußerer Kraftanregung
K x Bewegungsgleichung: tfxdtdx
dtxd
cos2 202
2
mit
(inhomogene Differentialgleichung 2. Ordnung)
Lösung für t , stationäre Lösung: txtx cos
22222
0 4
fx
220 2 r
xAmplitude ist von Erregerfrequenz abhängig:
x
Exp.: erzwungene Schwingung mitFederschwinger
Anwendung: WechselwirkungLicht – Materie
(Absorption, Dispersion)
max. Energieabsorption beir
mFf 0
tFtF cos0
xAmplitude hat Maximum bei derResonanzfrequenz:
0
dxdaus
39
x
txtx cos
22222
0 4
fx
220 2 r
220
2tan
0
frequenzabhängige Amplitude
frequenzabhängige Phasenverschiebungzwischen periodischer Kraftanregungund Oszillator
Exp.: Spiralfeder,Video Tacoma Bridge
40
1.3. Erhaltungssätze der Mechanik1.3.1. Energieerhaltung
1.3.1.1. Arbeit und Leistung
b
a
r
rab rdrFW
PM m wird durch Kraft um Weg verschobenF
r F
verrichtet Arbeit W an PM
rFW [W ] = kg m2 s-2 = Nm = J
Beachte: W ist SkalarproduktcosrFW
r
F
wenn constF
Verallgemeinerung:
iiirab rrFW
i
0lim
ar
- Anfangsort br
- Zielort
Arbeit:
Arbeit W >0, wenn Arbeitan PM verrichtet wird !
Arbeit wird immer gegen eine im System vorhandene Kraft (z. Bsp. Schwerkraft, Federkraft) verrichtet
41
Leistung:
Leistung P ist die pro Zeiteinheit an PM verrichtete Arbeit
dtdWP
Falls W zeitunabhängig:t
WP
[P] = Nm s-1
42
1.3.1.2. Kinetische EnergieErfahrung sagt:Um einen Körper zwischen und auf eineGeschwindigkeit v zu beschleunigen, muss mandie Arbeit W verrichten.
0r r
2
2vmEkin
Die Arbeit W ist in Form von kinetischer Energie in dem sich bewenden Körper gespeichert.
v
v
r
r
r
rdtv
dtvdmrdamrdrFW
000
v
vvmvdvm
0
2
2
kinetischer Energie: [Ekin] = Nm
43
1.3.1.3. Potentielle Energie
Idee: Kraft leistet Arbeit an PM
Arbeit wird in PM in Form von potentieller Energie gespeichert
PM kann diese potentielle Energie wiederum in Arbeit umwandeln, die PM selbst verrichtet
Definition: ab
r
rabpot WrdrFrrE
b
a
,Epot ist Maß für die im System (PM) gespeicherte Arbeit
Umkehrung:
zrE
yrE
xrE
rF potpotpot
,,
Konzept: Wenn die von der Kraft geleistete Arbeit Wab nicht vom Weg, sondern nur vom Anfangsort und Endort abhängt, dann heißt die Kraft “konservativ“ und wir können eine potentielle Energiedifferenz definieren.
ar
br
FF
abpot rrE , 0 rdF Keine Reibung!
44
1.3.1.4. Energieerhaltungssatz
Berechnen die Zeitableitung der potentiellen Energie:
dtdz
zE
dtdy
yE
dtdx
xE
dttrdE potpotpotpot
dtdE
dtrdmrrmrF kin
2
2
0dt
dEdt
dE potkin
constEEE
EEdtd
gespotkin
potkin
0Energieerhaltungssatz der Mechanik:(gilt bei Vernachlässigung der Reibungskräfte)
Die Gesamtenergie Eges eines abgeschlossenen Systems (keine Reibung !) ist konstant!
dtrdm
vmEkin
2
2
2
2
45
1.3.1.5. Energieerhaltungssatz - Beispielea) schiefe Ebene, keine Reibung
z
z = h
z = 0zg emgF
m
m
1
2
01 v
constEEEEE potkinpotkinges )2()2()1()1(
mghmgdzrdFEhz
z
r
rgpot
0
12
1
02
21 vmEkin
Ort 1:
02 potE 22
2vmEkin Ort 2:
constvmmhgEges 2
200
ghv 2
vv 2
Exp.: schiefe Ebene, v = f(h)
46
bei :
b) Federschwinger, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)
000 sin txtx
0xtx bei :
00
0
0
20
0 2
xx
x
xx
xR
xxpot
xKKxdxdxFE
21 02
xvmEkin
00 xxkinE
0xtx 2
200
xKE xxpot 00 xx
kinE
bei : 0tx 00 xpotE
220
20
20 0
221
2 xvmxmxKEges 000 xxv
Folgt auch für 0 = 0 aus:
00000 cos00
xtxtxtv
Gesamtenergie des harmonischen Oszillators:
mK
0
47
c) mathematisches Pendel, harmonische Schwingung, keine Reibung (Dämpfung)
mghEpot 0
00 kinE
00 potE
20
20
20
2 glmvmEkin constglmEges 2
02
Exp.: Nagelpendel
0
h
l
2!211cos1
22
0oo mglmglmgl
10
tt 00 sin
tldtld
dtdsv 000 cos
lgllv 0000
48
1.3.2.1. Impulserhaltungssatz
Exp.: Pendelstoß mit mehreren Kugeln
Modell „isoliertes System“: Summe aller Kräfte auf alle N Teilchen im System ist null, d. h.
keine Kraft wirkt von außerhalb auf System! 0N
iiF
0N
i
iN
i
iN
ii dt
pddt
vmdF
constpN
ii Gesamtimpuls der Teilchen in einem
abgeschlossenen System ist konstant!
1.3.2. Impulserhaltung
constpN
iix , constp
N
iiy , constp
N
iiz ,
In jeder Raumrichtung bleibt die Summe aller Impulse erhalten!
49
1.3.2.2. Schwerpunktsatz
Definition Schwerpunkt: isoliertes System
Schwerpunkt eines isolierten Systems ist der Massenmittelpunkt
M
rm
m
rmr
N
iii
N
ii
N
iii
S
constM
p
dtrdv
N
ii
SS
Geschwindigkeit des Schwerpunkts:
Schwerpunkt eines isolierten Systems ruht oderbewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
Exp.: Impulserhaltung(Impulswagen, Wasserrad, Rakete)
constpvMpN
iiSS
Impuls des Schwerpunkts:Der Gesamtimpuls eines isolierten Systems entspricht dem Impuls des Schwerpunktes und ist konstant
50
1.3.2.3. Stoßprozesse1.3.2.3.1. Zentraler elastischer Stoß
m1 m2
1v 2v
x
Geschwindigkeiten vor Stoß:
Geschwindigkeiten nach Stoß:
0,0,11 vv 0,0,22 vv
0,0,11 uu 0,0,22 uu
Es gilt Impuls- und Energieerhaltung
Impulserhaltungssatz: 22112211 umumvmvm
Energieerhaltungssatz: 222
211
222
211 2
121
21
21 umumvmvm
Lösung für v2 = 0(m2 ruht im Laborkoordinatensystem) 1
21
211 v
mmmmu
121
12
2 vmm
mu
51
Beispiele zentraler elastischer Stoß: 121
211 v
mmmmu
121
12
2 vmm
mu
- m1 = m2, v2 = 0, v1 >0 u1 = 0, u2 = v1
Exp.: Pendelstöße mit m1 = m2
- m1 < m2, v2 = 0, v1 >0 u1 < 0, 0 < u2 < v1
Exp.: Pendelstöße mit m1 m2
- m1 > m2, v2 = 0, v1 >0 0 < u1 < v1, u2 > v1
- m2 = v2 = 0, v1 >0 u1 = -v1, u2 = 0
Exp.: Pendelstoß mit AmbossModell ideales Gas
Reflektion an Wand
Stoß von Gasmolekül mit Wand (Fläche A): Impulsänderung: px = m1u1,x - m1v1,x = -2 m1v1,x
tvm
tpF xx
x
,112führt zu Kraft auf Wand
Druck der Gasmoleküleauf Fläche A V
vNmAFN
p xxx2,11
N Moleküle im Volumen V produizeren Nx Stöße proZeit t auf Fläche A: V
tAvNN xx
,1
2
52
1.3.2.3.2. Zentraler unelastischer Stoß
Exp.: Kugelfall auf Stahl, Messing, Blei
Es gilt nur Impulserhaltung
Impulserhaltungssatz: 22112211 umumvmvm
Energieerhaltungssatz gilt nicht, da Teil der mechanischen Energie in Wärme- undDeformationsenergie umgewandelt wird: 2
22211
222
2112 vmvmumumE
Bei einem perfekten unelastischen Stoß gilt: 21
221121 mm
vmvmuuu
Exp.: unelastische Stöße mit SandsäckenCrash Test (Video)
constpN
ii
53
1.4. Drehbewegung und starrer Körper1.4.1. Spezielle physikalische Größen der Drehbewegung
tr
tv
t
PM
22
21 rmErot
rv
Bahngeschwindigkeit:
rvv ,
222 rv
Rotationsenergie entspricht kinetische Energie bei Drehbewegung:2
21 vmEE rotkin
1.4.1.1. Kinetische Energie bei Drehbewegung - Rotationsenergie
54
1.4.1.2. Drehmoment und Drehbewegung
Exp.: Drehmoment und Drehtisch
Drehmoment FrT
[T] = Nm
x
tr
tv
t
PM
F
Drehmoment als Maß für die Effektivität derangreifenden Kraft bzgl. der Drehbewegung
T
,FT
,rT
sinT
sinrFT
55
Allg. Bewegungsgleichungfür Drehbewegung
1.4.1.3. Drehimpuls und Drehimpulserhaltungssatz
dtpdrFrT
dtpdr
dtpdrpv
dtprd
aber
dt
prdT
dtLdT
prL Drehimpuls [L] = kg m2 s-1
0T
constL
Wenn das angreifende äußere Drehmomentnull ist, bleibt der Drehimpuls erhalten
Drehimpulserhaltungssatz:
Bsp.: Zentralkraft, rF || Gravitationskraft, Planetenbewegung
Coulombkraft, Elektron im H-Atom (Bohr‘s Atommodell)
rrmvmr
56
1.4.2. Mechanik des starren Körpers 1.4.2.1. Model starrer Körper
aufgebaut aus PM mi oder Massenelementen dm mitfesten Abständen untereinander constrr ji
x
y
z
ir imjr
kr
jm
km Modell:
und Gesamtmasse N
iimM
V
dVrM
r
V
- Dichte
-Volumen
bzw.
dVrdm mit
57
x
y
z
ir imjr
kr
jm
km
Sr
Schwerpunkt:M
rm
m
rmr
N
iii
N
ii
N
iii
S
bzw. für homogenen Körper:
VM
S dVrrM
dmrM
r
11
V
S dVrV
r 1
Bewegung des Schwerpunkts:
SSS pvM
dtrdM
GSS F
dtpd
dtrdM
2
2
Schwerpunkt bewegt sich wie PM mit Masse Munter Einfluss einer äußeren Gesamtkraft
(vgl. mit Schwerpunktsatz in 1.3.2.2.)
GF
Exp.: DrehmomentkörperDoppelkegel
Allg. Bewegung des starren Körpers setzt sich zusammen aus Translations-bewegung des Schwerpunkts und Rotationsbewegung um eine Achse durchden Schwerpunkt
VMconstr
dVrdm
58
1.4.2.2. Rotationsbewegung des starren Körpers
1.4.2.2.1. Drehmoment
- Verallgemeinerung der für die einzelne PM abgeleiten Gesetze für die Drehbewegung durchAufsummation für alle PM mi bzw. Massenelement dm des starren Körpers
Idee:
Drehmoment FrT
Exp.: folgsame Rollle
sinrFT
rT
F
- Rotationsachse geht durch Schwerpunkt entlang einer Symmetrieachse des starren Körpers
Gleichgewichtsbedingung 0i
iT
Summe aller angreifenden Drehmomente ist NullExp.: Schwerpunkt Besen
Hebel
59
Torque and Wrenches
wrench
torque is controlled bylength of wrench and forceyou are applying
torque wrench
torque is controlled ormeasured by internal mechanism(mechanical or electronic)
Exp.: Video Reifenwechsel
60
1.4.2.2.2. Rotationsenergie und Trägheitsmoment
22
21 rmErot
PM
Starrer Körper PM,Aufsummation aller PM bzw. Massenelemente
iiirot rmE 22
21
M
rot dmrE 22
21
mit Trägheitsmoment
IErot2
21
M
dmrI 2 [I] = kg m2
für alle mi, da starrer Körperconst
61
62
Anwendung: Zylinder auf schiefer Ebene
Zylindermantel:2
21 MRIV Vollzylinder:
z
z = h
z = 0
)(zvS
)0( zvS
R
2MRIM
Energieerhaltungssatz:
rotvkingeskinpotges EzEzEhzEES
00)( ,,
00)( , zEzEhzE rotvkinpot S
22
21
21
IMvMgh s
Rollen ohne Rutschen: RvS
2
22
21
21
RvIMvMgh s
s
2
2
RIM
MghvS
ZylindermantelVollzylinder
ghv VS 34
, ghv MS ,>Exp.: Zylinder auf schiefer Ebene
0 hzvs ss vzv 0
Ekin desSchwerpunkts
Erot des starrenKörpers
63
1.4.2.2.3. Drehimpuls
PM
Starrer Körper PM,Aufsummation aller PM bzw. Massenelemente
i
iirmL 2
M
dmrL 2
rrmvmrprL
IL
TdtLd
TdtdI
Bewegungsgleichung:
Drehimpulserhaltung:0T
constL
ILIErot 22
1 22
Exp.: Drehstuhl und Drehimpulserhaltung
64
65
1.4.2.2.4. Anwendung – Rotationsspektrum zweiatomiger Moleküle
a) Trägheitsmoment
Bsp.: CO, NO, H2, O2, …
Modell starrer Rotator: konstante Bindungslänge r0Rotationsachse durch Schwerpunkt
21
02
mmrm
m
rmr N
ii
N
iii
S
Schwerpunkt:
202
21 SS rrmrmI
C
r = r0
rr = 0
m1 m2O
r = rS
20
21
2120 r
mmmmrI
21
02
mmrmrS
reduzierte Masse:21
21
mmmm
= 15.74 10-47 kg m2
12C16Or0 = 0.115 nm
13C16O
= 0.115 nm
I = 15.05 10-47 kg m2
Bsp.:
Exp.: Rotation um freie Achsen(Quader, Zylinder)
66
b) Rotationsenergie
ILErot 2
2
Quantenmechanik:(Quantisierung des Drehimpulses)
122 JJL mit Drehimpulsquantenzahl J = 0, 1, 2, …
12
2
, JJI
E Jrot
JrotE ,
1E
2E
3E
0,0 0 EJI
EJ2
1,1
IEJ
2
23,2
IEJ
2
36,3
JJJ EEE 1
1212
2 JJJJ
I
12
JI
c) Rotationsspektrum:
Bestimmung von Iund r0
aus LinienabstandI
2
J = 0 1 2 3 4 5
I
2
I
2
I
2
I
2
E = h
äquidistante Linien
Frequenzbereich: = 2 GHz – 2 THz
20
21
2120 r
mmmmrI
mit
67
1.5. Wellen
Eine Welle ist eine periodische Änderung einer physikalischen Größe, z. Bsp. Auslenkungeiner PM gegenüber ihrer Gleichgewichtslage, in Zeit und Raum.
z
rt ,
Exp.: gekoppelter Oszillator
68
1.5.1. Longitudinale eindimensionale harmonische Welle
zkteAzt zz sin,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±z Richtung
Wellenfunktion:(Weg-Zeit-Gesetz)
t
21
T 0, zzt
z
zk
2
ztt ,0
A - Amplitude
- Wellenlänge
2
zk - WellenzahlExp.: longitudinale Welle auf Spiralfeder
zkt z - Phase der Welle
[] = m
[kz] = m-1
69
1.5.2. Transversale eindimensionale harmonische Welle
zkteAzt zyx sin, ,
Ausbreitungsrichtung: +z Auslenkung in ±x oder ±y Richtung
Wellenfunktion:(Weg-Zeit-Gesetz)
t
21
T 0, zzt
z
zk
2
yxtt oder,0
0,,2
22
2
2
zztv
tzt
ph
Wellengleichung:(Bewegungsgleichung)
Exp.: transversale Wellen auf WellenmaschineWellenmodell
phv - Phasengeschwindigkeit
70
1.5.3. Phasengeschwindigkeit
Phasengeschwindigkeit – Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellegenauer, Geschwindigkeit mir der sich eine spezielle Phase, z. Bsp.ein Maximum der Wellenfunktion bewegt zkt z
constzkt z
0 zktdtd
z
Bedingung:
0dtdzkz phv
dtdz
mit
z
ph kvPhasengeschwindigkeit
Explizite Formel für Phasengeschwindigkeit hängt vom speziellen Typ der Welle und Mediumin dem sich die Welle ausbreitet ab!
0 phzvk
71
1.5.3. Beispiele für Wellentypen und Phasengeschwindigkeit
a) Seilwellen Transversalwellen
lmFvph
F – Zugkraft im Seil
m – Masse des Seils
l – Länge des Seils
b) Elastische Wellen in Festkörpern
Exp.: Seilwelle
LongitudinalwellenEvph
E – Elastizitätsmodul
– Dichte
TransversalwellenGvph
G – Schub- bzw. Torsionsmodul
Exp.: Simulation von Wellen im FestkörperPhasengeschwindigkeit einer Longitudinalwelle inAl-Stab
c) Schallwellen in Gasen
pvph
Longitudinalwellen p – Druck
– Dichte
– Adiabatenkoeffizient
Exp.: Simulation von Schallwelle
72
1.5.4. Überlagerung von Wellen1.5.4.1. Stehende von Wellen
Superposition zweier Wellen gleicher Frequenz und Wellenzahl aber entgegengesetzterAusbreitungsrichtung
Welle in +z Richtung:
Welle in -z Richtung:
zktA z sin1
Superposition: zktzktA zz sinsin21
2
cos2
sin2sinsin
2sin
2cos2 tzkA z
- Phasenunterschied
Schwingung
2sin
t
2cos2 zkA zmit ortsabhängiger Amplitude
zktA zsin2
73
2sin
2cos2
tzkA z
Diskussion:
Schwingungsknoten: 02
cos
zkz 2
122
nzkz
12
422121 nn
kz
z
Schwingungsbäuche: 12
cos
zkz nzkz 2
nn
kz
z
242
1
Amplitude oszilliert zwischen-A und +A mit Schwingungsdauer
2
T
Anwendung: Resonatoren, LASER
74
Exp.: stehende WellenReflektion am freien und festen Ende (Simulation)SeilwelleWellenmaschinestehende Welle im Hörsaal
75
1.5.4.2. Interferenz von WellenSuperposition zweier Wellen gleicher Frequenz, gleicher Wellenzahl und gleicher Ausbreitungsrichtungaber konstanter Phasendifferenz = const
2sin1
zktA z
Superposition:
zktA z
sin2
cos2
2sin2
zktA z
21
2
cos2
sin2sinsin
Amplitude ist abhängig von Phasendifferenz
destruktive Interferenz:(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:(Verstärkung)
0 02
cos 12 n
A2 12
cos n2
76
betrachte Phasendifferenz als Gangunterschied z = z2 –z1
z2z1 z
Quelle 1 Quelle 2 zkz
2
zGangunterschied:
destruktive Interferenz:(Auslöschung)
konstruktive Interferenz:(Verstärkung)
122
nz
nz
Exp.: Interferenz von Wasserwellen(Simulation)
Interferenz von Schallwellen
Anwendung: Lichtbeugung, Röntgenbeugung,Elektronen- undNeutronenbeugung
12 n
n2