1次元多都市システムにおける...

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１次元多都市システムにおける人口集積パターンの創発メカニズム

第23回応用地域学会研究発表会

2009年12月13日

赤松隆・高山雄貴・池田清宏・菅澤晶子

（東北大学大学院情報科学研究科）

研究の背景

人口・産業の空間的集積の理論都市内スケール

・都心/副都心の創発モデル

都市間（地域）スケール・System of Cities モデル・New Economic Geography (NEG) モデル

集積経済モデルの “複雑性” 複数均衡解構造パラメータ値の変化に伴い

均衡解の個数や安定性が変化・・・分岐現象 ⇒ 均衡解の安定性・分岐メカニズムの理解が必須

2

（１）集積経済モデルと分岐現象

研究の背景

都心創発の理論（代表例のみ） Beckmann (1976)：

主体間の（市場外）空間的相互作用 ⇒ 都心創発

Fujita-Ogawa (1982)：企業の空間的相互作用＋財･労働･土地市場を通じた企業･消費者の相互作用 ⇒ 複数都心の創発

Lucas&Rossi-Hansberg (2002), Berliant&Wang (2008)： Fujita-Ogawa モデルの精緻化

従来研究の課題均衡解（集積パターン）の安定性様々な集積パターンの創発条件

3

（2）既存研究 – 都市内スケールの集積

が不明

研究の背景

地域集積の理論（代表例のみ） Krugman (1991)：２地域 Core-Periphery (CP) モデル

〃 (1993,1996)：多地域 CP モデル・・・数値 simulation

Fujita-Krugman-Mori (1998)：連続空間の多都市・多産業モデル・・・・数値 simulation

Fujita-Krugman-Venable (1999) 以降の NEG 研究：２地域経済に特化した様々な CP モデル亜種

従来研究の課題汎用性のある分岐解析法の欠除多地域モデルの一般的な分岐特性は不明

4

（3）既存研究 – 地域スケールの集積

本研究の目的

目的多数の立地点を持つ様々な集積経済モデルの

分岐特性・メカニズムを系統的に分析可能な解析的アプローチを提示本アプローチを多地域 Core-Periphery モデル

に適用し，集積パターン創発の仕組みを解明

発表の構成分岐解析に関する予備知識（復習）本研究のアプローチの特徴分岐解析実行の準備手続き円周都市システムにおける分岐解析の例示

5

（予備知識）均衡解の分岐解析

均衡解の分岐 (bifurcation) 分岐点：モデル・パラメータを変化させたときに，

均衡解の個数や安定性が変化する点

6

（1）均衡解の安定性と分岐

輸送費用パラメータ

人口シェア

0.0

1.0 安定均衡解

不安定均衡解

τ*τ


均衡解 x* の局所安定性調整過程 (adjustment dynamics)：

均衡解 x*：漸近安定性 (local asymptotic stability)：

安定性の判定と固有値：

7

（2）安定性・調整過程・固有値

)()( xFx =t)1,...,2,1,0( ),( /)( −==⇔ Kiii Fdttdx x

)( *xF0 =

*)( .lim xx =+∞→

tt

and )()0( *xx N∈∀ε<− )( *xx tthatsuch

)( *xN∃,0 >∀εfor

0)}.(.{Remax <kkg

g =[g0, g1,…, gK-1]：Jacobian∇F(x*) の固有値

x* が局所漸近安定 ⇔

分岐点と分岐モード分岐点：安定性が変化（分岐）する点（パラメータ値）

⇔ 固有値がゼロとなる点

分岐モード：符号が変化する固有値 gk* に対応した

固有ベクトル zk*

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0


8

（3）分岐の判定法：固有値と分岐

τ

21 gg 2/Kg… kg

0

集積経済モデルの特徴 “重力法則” （Gravity Law）の働く経済活動を対象均衡解は “空間パターン” を表現空間 “境界条件” が立地パターンに影響

分岐解析を容易にする３つの鍵空間割引行列 (Spatial Discounting Matrix (SDM))：

財交易パターン等の重力法則を表現離散 Fourier 変換 (Discrete Fourier Transformation (DFT))：

空間パターン解析の強力な道具

円周都市システム (Racetrack Economy (RE))：

立地点（都市）を円周上に均等間隔で配置

本研究で提示するアプローチの特徴

9

距離

取引

量

分岐解析の準備

K個の離散的な立地点 i = 0,1,2,…,K-1 の立地人数：各地点の間接効用：

例１：Pflüger (2004) の Core-Periphery モデル

例２：Beckmann (1974) の都心形成モデル空間割引行列 D = [dij] の関数として表現可能

10

（1）間接効用/利潤関数の表現

)()]([ ) ln()( 111)1( 1nnΔDnDnv m++= −−−− σσ

T][1,1,...,1 ], diag[)( ≡≡ 1nDnΔwhere

)ln( )( nnDnv µ−=

T110 ],...,,[ −≡ Knnnn

T110 )](),...,(),([)( nnnnv −≡ Kvvv


調整過程の設定：

例：Perturbed Best Response (PBR) Dynamic: LOGIT 型:

均衡解 n*：

安定性を解析する n* （e.g.自明解）を設定例：円周都市 (RE) での均等分布

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（2）調整過程と均衡解の設定

T* ],...,,[ nnn=n

))(()( tt nFn =

∑ =≡

K

k kii vvP1

)exp(/)exp()( θθv

T110 )](),...,(),([)( nnnnF −≡ KFFFwhere

)( *nF0 =

nnvPnF −≡ ))(()( N


均衡点 n* での調整過程 Jacobian∇F(n*)

例：PBR Dynamic:

例：CP model ＋ Logit Dynamic ＋ RE (n*=[n,n,…,n]T )

12

（3）調整過程 Jacobian の計算

InvnJnF −∇=∇ )()()( **

* N

*]/))(([ nnnv=

∂∂ ji vP *]/))([ nnn=

∂∂ ji nv

nnvPnF −≡ ))(()( N

)/ )(/()( T* KK 11InJ −= θ

, 0 1d ⋅≡dwhere 1111 )1( ),( −−−− ++≡+≡ σσσ bnmna

空間割引行列 D の簡単な関数

}]/[]/[{)( 2

1* dadbn DDnv −=∇ −

円周都市システムにおける分岐解析

円周都市での SDM は巡回行列 (circulant) 例：K = 4

巡回行列の固有値は DFT で得られる

DFT 行列 Z =[zij]: 巡回行列 D の Z による相似変換：

13

（1）巡回行列・離散Fourier変換・固有値

r r2

≡

11

11

2

2

2

2

4

rrrrrrrrrrrr

D))4/2(exp( πτ ⋅−≡r

)/2(i , Kkjjk ewwz π≡=

行列 D の固有値：固有ベクトル：Z の行ベクトル

T110 ],...,,[ −≡ Kffff

・・・対角化される！ ][diag 1 fZDZ =−


SDM の固有値 f は交通費用 τ の簡単な関数：

例：K = 4

14

（1）巡回行列・離散Fourier変換・固有値 (つづき)

][diag 1 fZDZ =−0 dZf =

−−−

−≡

i1i11111

i1i11111

4Z

≡

11

11

2

2

2

2

4

rrrrrrrrrrrr

D

T1,001000 ],...,,[ −≡ Kdddd

=

−−−+

==

)()()(

1

)(

1)1(

1)1(

2

2

2

2

2

0 4

3

2

1

0

rcrcrc

rd

rrrr

ffff

dZ2

0 )1()( rrd +=⋅≡ 1d

T

2 0 ] , , ,1[ rrr≡d

)1/()1()( rrrc +−≡)4/2( πτ ⋅−≡ er

巡回行列 D の固有ベクトル第 k 固有ベクトル＝ DFT 行列 Z の第 k 行：

例：K = 4

分散

1極集中

2極集中


15

（2）固有ベクトルと立地パターンの対応

],,...,,,1[ )1( i2 i i kkk Keeekωωω −⋅⋅⋅=z )/(2 Kkk ⋅≡ πω

0z

31,zz

2z

0 1 2 3 4=0


調整過程 Jacobian を DFT行列 Z で対角化：例：CP model ＋ Logit Dynamic ＋ RE

16

（3）調整過程 Jacobian の固有値

InvnJnF −∇=∇ )()()( **

* N

)/ ()( T* )/( KK 11InJ −= θ }]/[]/[{)( 2

1* dadbn DDnv −=∇ −

kg

dfk /

T]1,...,1,1,0[ )/( Kθ=δ }]/[]/[{ 2

1 dadbn ffe −= −

]diag[]diag[ ]diag[]diag[ 1eδg −= N

12 )( −−−≡ θxaxbxG

)1,...,2,1( )/( −== KkdfGg kk θ


Jacobian 固有値 g (or e) の解釈： ∇v(n *) の固有値 ek は，立地パターン n* に立地変更

パターン zk （固有ベクトル）を加えた時，立地変更者が享受する効用の増減：

例： K = 4

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（4） Jacobian 固有値の経済的意味

gk > 0 ⇔ ek > 0 ⇒ zk 方向へ立地変更

)( *

0 nZe v∇= kk ve zn ⋅∇=⇔ )( *

0

*02

*00101 )( * vvve −=∇= ⋅ zn

,]1 ,1 ,1 ,1 [ ,]0 ,1 ,0 ,1 [ T2

T1 −−≡−≡⇒ zz

)()( *03

*02

*01

*00202 )( * vvvvve −+−=∇= ⋅ zn

,/ ,],,,[ )()( ** *T*3

*2

*1

*0 jiijiiiii nvvvvvvv ∂∂≡≡∇ nn kkk e zzv n

* )( =∇

)()( *23

*22

*21

*20 vvvv −+−=

)()()()( *32

*33

*30

*31

*12

*13

*10

*11 vvvvvvvv −+−=−+−=

*20

*22 vv −= )0( *

32*30

*12

*10 =−=− vvvv


Jacobian 固有値の解釈（つづき）：固有値 ek は，“集積力” と “分散力” に分解表現でき，

いずれも，SDM の固有値 fk の関数（⇒ τ の関数）

例：CP model ＋ RE

18

（4） Jacobian 固有値の経済的意味 (つづき)

])/()( )/(} )1[{( 22

1

1

11 dfnnmdfne kkk−−−−− +−+−= σσσ

“集積力” “分散力” Price Index Market Access Market Crowding

CP model では，立地変更パターン zk への “純集積力” は fk の 2次（単峰）関数


空間割引行列 D/d の固有値 f/d の特性：は交通費用 τ に関して単調増加最大:

交通費用τ 減少に伴う分岐点 (“break point”)：固有値{gk} の何れかが，最初に正値をとる点

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（5）パラメータ変化と分岐点

最小: ,1}.{max.arg0

=≠ kfk

,2/}.{min.arg0

Kfkk=

≠

kg

kf kf

τ

…..

1f

2/Kf

d/ff ≡


分岐モードと集積パターン分岐モード k* の固有ベクトル方向へ状態変化

分岐で創発する集積パターン：

例：CP model の分散均衡 n*からの分岐

・分岐モード：k* = K/2，

・ n* から創発する集積パターン：

20

（6）パラメータ変化と分岐モード

* *

kzn δ+

]1,1 ,...,,1,1 [2/ −−=Kz

],,...,,[* * δδδδδ −+−+=+ nnnnkzn

]0,2 ,...,0,2[ ** nn=n （K/2 極集中）


分岐の繰返しによる集積・分散パターンの進展最初の分岐で創発した均衡状態 n** における

∇F(n**) の固有値 ⇒ 同様の分岐解析が可能

例：多地域 CP model で発生する “周期倍分岐”

・K/2 極均衡 n** から τ をさらに減少分岐によって K/4 極均衡 n*** が創発・K/4 極均衡 n*** から τ をさらに減少分岐によって K/8 極均衡 n**** が創発・・・

21

（7）パラメータ変化と分岐の繰返し

τ


計算分岐理論に基づく数値計算例

例１：CP model (K=16) - 立地選好が均質（）

22

（8）計算分岐理論による確認 – その１

r

Hhi /

+∞→θ


計算分岐理論に基づく数値計算例

例２：CP model (K=16) - 立地選好が異質（θ有限）

23

（8）計算分岐理論による確認 – その２

r

Hhi /

本研究のまとめ

集積経済モデルの特徴を活かした３つの鍵概念：・空間割引行列 (SDM) ・離散 Fourier 変換 (DFT) ・円周都市システム (RE)

を組合せた分岐解析のアプローチを提示．

集積経済モデルの基本的な分岐メカニズムは，このアプローチによって，解析的に理解可能．

このアプローチは，立地主体が単一種類の集積経済モデルであれば，様々なモデルに適用可能．

24

今後の課題

様々な集積経済モデルへの応用都市内集積モデル System of Cities モデル NEG モデル variants

本アプローチの拡張・一般化２次元空間（1D-DFT → 2D-DFT）

境界あり空間（e.g,“線分都市”）

複数種類の立地主体（e.g., 消費者と企業，複数種の企業/消費者，多産業経済）

25

系統的な構造・分岐特性の比較と分類（理論体系化）

26

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分岐点と分岐モード分岐点：安定性が変化（分岐）する点（パラメータ値）

⇔ 固有値がゼロとなる点

分岐モード：符号が変化する固有値 gk* に対応した

固有ベクトル zk* 32

（3）分岐の判定法：固有値と分岐

-40

-20

0

20

40

60

80

0.0 τ

21 gg 2/Kg… kg

0

33

分散

: 1極集中方向

…..

集積

: 極集中方向

1極集中方向に分岐

34

: 1極集中方向

….. : 極集中方向

分散集積

極集中方向に分岐

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