1.Dio Iz Kombinatorike

7/17/2019 1.Dio Iz Kombinatorike

1/142

Kombinatorika i diskretna matematika

predavanja i vjebe2011.-2012.

doc.dr.sc. Snjeana [email protected]


2/142

Literatura

1. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika,Algoritam, Zagreb, 2001.

2. M. Cvitkovi,Kombinatorika, zbirka zadataka

,Element, Zagreb, 1994.


3/142

Oblici provoenja nastave:

Frontalna predavanja s auditornim vjebama

Nain provjere znanja i polaganje ispita:

Zavrni pismeni ispit, te zavrni usmeni ispit. Pismeni i

usmeni dio ispita se jednako vrednuju u konanoj ocjeni.


4/142

SADRAJ

I. Uvod i osnovni pojmovi1. Neki primjeri

2. Osnovni pojmovi3. Algoritmi4. Dirichletov princip

II. Kombinatorna prebrojavanja1. Osnovna pravila prebrojavanja2. Prebrojavanje funkcija, podskupova, injekcija i bijekcija

3. Permutacije skupova4. Kombinacije skupova5. Permutacije i kombinacije multiskupova

6. Binomni i multinomni koeficijenti


5/142

III. Neki rekurzivni problemi1. Fibonaccijevi brojevi2. Linearne rekurzije s konstantnim koeficijentima

3. Neke linearne rekurzije, svoenje na njih i neki sustavi rekurzija

IV. Formula ukljuivanja-iskljuivanja

1. Formula ukljuivanja-iskljuivanja

V. Funkcije izvodnice

1. Osnovna ideja i jednostavni primjeri2. Rekurzije i funkcije izvodnice


6/142

VI. Uvod u teoriju grafova1. Osnovni pojmovi teorije grafova

2. Ciklusi i stabla3. Obilasci grafova i digrafovi4. Povezanost grafova

5. Bojenje grafova i kromatski broj6. Planarni grafovi7. Sparivanje u grafovima


7/142

I. Uvod i osnovni pojmovi

1. Neki primjeri

Kombinatorna i diskretna matematika, ili krae kombinatorika, jematematika disciplina koja uglavnom prouava konane

skupove i strukture. Od davnina su se matematiari baviliproblemom prebrojavanja elemenata konanih skupova i esto suu praksi ti skupovi pred nama; npr. slova na ovoj stranici ili sva

drvea u nekom drvoredu... U tim je sluajevima lako prebrojitisve elemente tog skupa i doi do prirodnog broja n (ili nule) kojioznaava broj elemenata tog skupa.


8/142

Meutim, esto elementi skupa ine neku pravilnu konfiguracijuili su pak zadani opisno pomou nekog svojstva. Ako nas npr.zanima samo broj elemenata takvih skupova, onda ne moramo

efektivno brojiti, ve se moemo posluiti nekim enumerativnimmetodama. Ti skupovi i svojstva mogu biti od sasvimjednostavnih do vrlo suptilnih, pa se u kombinatorici istrauju

razliite metode koje daju odgovor na pitanja kao to su: kolikoima objekata s danim svojstvom, na koliko se naina moe

dogoditi izvjestan dogaaj...

Navedimo nekoliko tipinih jednostavnih kombinatornihzadataka.


9/142


10/142


11/142

Kombinatorika izgleda kao zabava, ali ona nije samo zabava.

Rije je o iznimno vanoj i korisnoj matematikoj disciplinikoja svoj procvat doivljava razvojem osobnih raunala.

Rije kombinatorika dolazi od rijei kombinacija, a ona odlatinske rijei combinare = slagati.


12/142

Ljudi pod tim obino podrazumjevaju:

permutacije kao neke vrste premjetaja, odnosno promjene

slijeda odreenog broja stvari (od lat.permutare = promijeniti),kombinacije kao svaku moguu skupinu odreenog broja nekemnoine elemenata

i varijacije kao promjene, preinake (od lat. variatio = razliitost).

No, to je samo djelomino tono.


13/142

Rije diskretan (lat. discrenere = razluiti, razlikovati) u ovomkontekstu znai da objekte koje prouavamo moemo jasno inedvojbeno razlikovati po nekom redoslijedu (kao npr. elementeskupa {1,2,...,n}, N).


14/142


15/142


16/142

problem prebrojavanja, poopenje na n m


17/142


18/142


19/142


20/142


21/142


22/142


23/142


24/142


25/142


26/142


27/142


28/142


29/142

3. Algoritmi

esto se kae da se teorijska raunalna znanost sastoji od

nalaenja i prouavanja algoritama. to je algoritam? Definicijeiz leksikona poput ...svaki pravilni postupak pri raunanjunisu zadovoljavajue jer ti pojmovi nisu dovoljno precizni. Malo

preciznije, ali jo uvijek intuitivno, moe se rei: Algoritam jekonaan niz propisanih postupaka, pravila, naredbi ili recepata(uglavnom raunskih), koji, ako se dosljedno slijedi, izvrava

konkretan zadatak.Svaki algoritam mora zadovoljavati sljedee:


30/142

1. Ulaz (input). Algoritam ima nekoliko (moda i nula) ulaznihpodataka, tj. podataka koji su mu zadani izvana i prije samogpoetka rada.

2. Izlaz (output). Algoritam daje kao rezultat barem jednu

veliinu koja ima to

no odre

en odnos prema ulaznimpodacima.

3. Odreenost. Svaka naredba algoritma mora biti jedinstveno

odreena, tj. jasna i nedvosmislena.4. Konanost. Kad se slijede pravila algoritma, kakvi god biliulazni podaci algoritam zavrava nakon konano mnogo

koraka.

I kao posljednji, ali ne i nuan uvjet trai se efikasnost, tj. daalgoritam bude i provediv.


31/142

Formalno, algoritam se definira na sljedei nain:

Raunski postupak ili metoda je etvorka (Q,U,I,f), gdje je Qskup s podskupovima U,I, af:QQ funkcija za koju jef(q)=q,za sve qI. Skupove Q,U,I redom zovemo raunska stanja,ulazi i izlazi, a f se zove pravilo raunski. Nadalje, za svakiulaz xU definiramo izraunljiv niz x0, x1, ... rekurzivno sax0=x, xk+1=f(xk), za k0.


32/142

Kaemo da izraunljiv niz zavrava nakonp koraka ako jep0najmanji cijeli broj za koji jexpI, te u tom sluaju kaemo da

on daje izlazxp za zadanu vrijednost ulazax.

Algoritamje raunski postupak koji zavrava za sve vrijednostiulazaxU.

Program je zapis algoritma (ili ak raunske metode) najednom od programskih jezika.


33/142

Npr., jedan od najstarijih poznatih algoritama je Euklidovalgoritam za nalaenje najvee zajednike mjere M(m,n) dvaju

danih brojeva m,n N.

Podsjetimo se: Neka su m,n N. Podijeli se m s n, i dobijeostatak r(0r


34/142

Ono to je u praksi zanimljivo pripada tzv. analizi algoritama. Tuse uglavnom ispituju radne karakteristike algoritama, tj. njihovaefikasnost i to prije svega vremenska sloenost.

Vremenska sloenost, ili jednostavno sloenost algoritma

(vrijeme raunanja ili rada algoritma) jest naprosto broj osnovnihraunskih koraka koje algoritam izvodi prilikom prijelaza od

ulaznih podataka do izlaznih rezultata.


35/142

Sloenost algoritma je, dakle, funkcija veliine ulaznihpodataka ili veliine problema. esto je vrlo teko odrediti

tonu vrijednost sloenosti. Tako se npr. ona ne zna zaEuklidov algoritam, tj. ne znamo koliki je broj dijeljenja kao

funkcija od m i n.Najee se stoga pod sloenou algoritmamisli na sloenost najgoreg sluaja, tj. najvei broj osnovnihraunskih koraka koje izvodi algoritam uz bilo koje ulazne

podatke iji je broj jednak n. Isto tako se esto traiprosjenasloenost. No, esto je i to teko nai pa se zadovoljavamogornjim i donjim meama za najgori sluaj ili prosjek ili

njihovo asimptotsko ponaanje kada je broj ulaza velik, tj.kada n.


36/142

Sloenosti dvaju algoritama za isti problem mogu se, naravno,razlikovati. Neka su npr. A1 i A2 dva algoritma sloenostiredom n/7 i 4n. Tada je oito A2bri i efikasniji algoritam

odA1 za sve probleme veliine n>28. tovie, uvijek eA2bitibri i efikasniji odA1 za sve npoevi od nekog n0bez obzirana to koji su koeficijenti uz n i n. Kae se da je A2 manjeg

reda negoA1.Npr. eksponencijalna funkcija s bazom a>1 je veeg reda odbilo kojeg polinoma jer je

Odavde se lako dobiva da n puno bre raste od npr. log n.

limn

an /nr , a limn

nr/an 0


37/142

Asimptotska sloenost odreuje u biti najvei problem koji semoe uraditi. Ako su dva algoritma za isti problem istog reda,

onda grubo govorei nijedan od njih ne odavlja zadatak bitnobolje od drugog. Za dovoljno velike n razlika postajezanemariva s obzirom na razliku dvaju algoritama razliitog

reda.


38/142

Jedan od razloga zato je sloenost algoritma vanakompjuteraima jest taj da sama egzistencija algoritma jo nejami da se problem moe praktiki rijeiti. Naime, algoritam

moe biti tako neefikasan da bi ak i s raunalima novihgeneracija sa sve veom brzinom, bilo nemogue dobitirezultate u nekom korisnom vremenu. Stoga treba

karakterizirati korisne algoritme sa stajalita prakse.Spomenuta razmatranja i praksa pokazuju da su topolinomskialgoritmi. Kaemo da je algoritam efikasan ili dobar ako mu je

sloenost polinomska.


39/142

Stoga eksponencijalni i pogotovo faktorijelni algoritmi nisuefikasni, dok je npr. algoritam sa sloenou nlog2n efikasan i,

tovie, efikasniji od algoritma sloenosti n.Ima meutim situacija, kao npr. u linearnom programiranju da suu praktinoj upotrebi algoritmi koji u najgorem sluaju imaju

eksponencijalnu sloenost, ali u praksi pokazuju linearnusloenost (kao npr. razne simpleks-metode).


40/142

4. Dirichletov princip

Dirichletov princip jedan je od najjednostavnijih elementarnihkombinatornih principa. U literaturi je jo poznat pod imenima:princip pretinaca, princip kutija il iprincip golubinjaka.

Mi emo da zvati Dirichletov princip prema njemakommatematiaru Dirichletu (1805-1859) koji ga je prvi jasnoformulirao i esto se njime koristio pri svojim istraivanjima u

teoriji brojeva i analizi.Slikovito reeno, taj princip kae da ako vrlo mnogo golubovadoleti u nekoliko golubinjaka, onda e bar u jednom golubinjaku

biti bar dva goluba.Malo preciznije, Dirichletov princip moemo ovako formulirati:


41/142

Dirichletov princip.Ako n+1 predmeta bilo kako rasporedimo un kutija onda bar jedna kutija sadri bar dva predmeta.

Dokaz je gotovo nepotreban, a ide kontradikcijom. Pretpostavimoda svaka kutija sadri najvie jedan predmet. Tada bi i predmetabilo najvie n, a mi ih imamo n+1, pa je to kontradikcija.

Dirichletov princip. Neka su S i T konani skupovi, |S|>|T|, af:ST neko preslikavanje. Tada f nije injekcija.


42/142


43/142

Primjer 1. Meu 13 ljudi uvijek postoje dvoje ro

enih u istommjesecu.

Primjer 2. Pet razliitih pari rukavica nalazi se u jednom pretincu.Izvlaimo nasumce po jednu rukavicu i ne vraamo ih natrag u

pretinac. Koliko je najmanje izvlaenja potrebno da bismo bilisigurni da imamo obje rukavice istog para?

Primjer 3. Neka su a1,a2,...,am cijeli brojevi. Tada postojek,l{1,2,...,m}, k


44/142


45/142

Primjer 4. (P.Erdos). Iz skupa [2n]={1,2,...,2n} odabran jepodskup S od n+1 elemenata. Tada postoje x,y S tako da je x

djeljiv sy.


46/142


47/142

Primjer 6. Unutar kvadrata stranice 1 dano je 9 toaka. Tadapostoje 3 toke od danih 9 koje su sadrane u krugu radijusa 2/5.


48/142


49/142

Primjer 7. Pripremajui se za svjetsko nogometno prvenstvo,nogometna je reprezentacija imala 11 tjedana pripreme. Struni

je tab odluio da reprezentacija igra svaki dan bar jednuprobnu utakmicu. No, da se igrai ne bi premorili, odlueno jeda se u svakom tjednu (7 dana) odigra najvie 12 probnihutakmica. Dokaite da e na tim pripremama reprezentacijaodigrati u nekoliko uzastopnih dana tono 21 utakmicu.


50/142


51/142


52/142

Primjer 8. Meu 44 ljudi bar etvero je roeno u istom mjesecu.


53/142


54/142

Primjer 9. Zamislimo da se neki zatvor sastoji od 64 elije ijitlocrt izgleda kao ahovska ploa 88. Izmeu svake dvijesusjedne elije postoje vrata. Zatvoreniku u donjoj lijevoj eliji jereeno da za sebe moe izboriti slobodu ako uspije doi do desnegornje elije tako sa svaku od 64 elije obie samo jednom. Moe

li taj zatvorenik za sebe izboriti slobodu?


55/142

Ne moe- dijagonalna polja su iste boje.


56/142

Zadatak 1. Topovi (ili kule) u ahu se napadaju ako su u istomretku ili stupcu na ahovskoj ploi. Dokaite da se 8 topova moepostaviti na ahovsku plou a da se ne napadaju.


57/142

Zadatak 2. Lovci (ili lauferi) u ahu se napadaju ako se nalaze naistoj dijagonali. Dokaite da se na obinu ahovsku plou moepostaviti najvie 14 lovaca koji se meusobno ne napadaju.

Dokaite da je analogan broj za plou nn jednak 2n-2.


58/142


59/142


60/142

II. Kombinatorna prebrojavanja

1. Osnovna pravila prebrojavanja


61/142

esto se u praksi susreemo s problemom kako prebrojitielemente nekog skupa, npr., sve stranice neke knjige ili sva

drvea u nekom drvoredu...

Ako nas zanima samo broj elemenata takvih skupova, onda

ne moramo efektivno brojiti elemente, ve se moemoposluiti nekim enumerativnim metodama.


62/142

Razlikujemo tri osnovne metode ili pravila prebrojavanja:

1. pravilo jednakosti ili bijektivne korespodencije),2. pravilo zbroja,3. pravilo produkta,

ovisno o tome znamo li direktno odrediti broj elemenatanekog skupa, njegove dijelove ili njegove faktore.


63/142


64/142

Teorem o uzastopnom prebrojavanju:


65/142

p p j j

Neka je nN, S1,S2,,Sn konani skupovi i S podskup odS1S2Sn skup ureenih n-torki (x1,x2,,xn) definiranih na

sljedei nain:- prvu komponentux11 moemo birati nap1 razliitih naina;- za svaku ve odabranu prvu komponentu,

drugu komponentux2 moemo birati nap2 naina; itd.-za svaki izbor komponenti x1,x2,,xn-1 n-tu komponentu xnmoemo birati napn razliitih naina.Tada je |S|=p1p2pn


66/142

Primjer 1. Koliko je naina da se izmeu 5 mukaraca, 7 ena,

3 djeaka i 4 djevojice izabere(a) jedna osoba,

(b) po jedan mukarac, jedna ena, jedan djeak i jednadjevojica?


67/142

Primjer 2. Netko eli poslati svakome od svojih 5 prijatelja pojednu od 20 razliitih razglednica. Na koliko to naina moeuiniti?


68/142

Primjer 3. Registarska tablica na vozilima sastoji se nakon oznakemjesta od 3 ili 4 brojke, te jednog ili dva slova abecede. Koliko serazliitih tablica moe izdati u istom gradu?


69/142

Primjer 4. Koliko ima peteroznamenkastih brojevaije su svesusjedne znamenke razliite?

Primjer 5. Svaki od etvorice djeaka izabere jednu od est

djevojaka kao partnericu za ples. Na koliko to naina moeuiniti?


70/142

Primjer 6.Na polici su hrpe od: 8 jabuka, 10 kruaka, 7 breskvi, 6banana i 3 ananasa. Za spremanje vone salate potrebno jenekoliko komada voa (ukljuujui i praznu salatu). Koliko seukupno vonih salati moe spraviti od ponuenog voa?


71/142


72/142

Primjer 7. Osnovni teorem aritmetike kae da se svaki prirodnibroj n>1 moe jednoznano napisati u obliku

Odredite broj svih djelitelja od n.

n p 1 1

p 2 2

. . . p k k

gd je su p 1 p 2 . . . p k prosti brojevi, a 1 , 2 , . . . , k prirodn i brojevi.


73/142


74/142

Primjer 8. Dvanaestero djece treba prijei ulicu, pa ih teta iz vrtiaeli razvrstati u 6 grupa po dvoje (tj. u 6 parova). Na koliko tonaina moe uiniti?


75/142

Primjer 9. Koliko ima prirodnih brojeva manjih od bilijun kojisadre znamenku 2 u svom dekadskom zapisu? Kojih brojevaima vie, onih koji sadre ili onih koji ne sadre 2?


76/142


77/142

Primjer 10. Koliko ima neparnih brojeva izmeu 1000 i 10000 odkojih svaki ima razliite znamenke?


78/142

2. Prebrojavanje funkcija,


79/142

podskupova, injekcija i bijekcija


80/142


81/142


82/142


83/142


84/142


85/142


86/142


87/142


88/142


89/142


90/142


91/142


92/142


93/142


94/142


95/142


96/142


97/142


98/142


99/142


100/142


101/142

4. Kombinacije skupova


102/142

Neka je S skup od n elemenata. Bilo koji r-lani podskup odS zove se r-kombinacija skupa S.

Drugim rijeima, r-kombinacija od S je neureeni izbor odr(razliitih) elemenata iz S.

Skup svih r-kombinacija iz S oznaavamoa broj svih r-kombinacija n-lanog skupa s

Srnr


103/142


104/142


105/142


106/142


107/142


108/142

n


109/142


110/142


111/142


112/142


113/142


114/142


115/142


116/142


117/142


118/142

Koliko ima rastava prirodnog broja n u r dijelova?


119/142


120/142


121/142


122/142


123/142

k0

n r

r kr

rr

r 1r . . .

nr

n 1r 1

Napomena:


124/142


125/142

to ako svako dijete mora dobiti barem jednu jabuku,jednu kruku i jednu bananu?


126/142

jednu kruku i jednu bananu?

Primjer 37. Koliko ima nepadajuih nizova duljine r iji sulanovi iz skupa {1,2,...,n}?

to ako svako dijete mora dobiti barem dvije jabuke,jednu kruku i jednu bananu?


127/142


128/142


129/142


130/142


131/142


132/142


133/142


134/142


135/142


136/142


137/142


138/142

PONOVIMO:


139/142


140/142


141/142


142/142

1.Dio Iz Kombinatorike

Documents

Transcript of 1.Dio Iz Kombinatorike