ODREĐIVANJE FLEKSIJSKE KRUTOSTI KOMPOZITNIH RASVJETNIH STUPOVA
1_Dimenzioniranje Kompozitnih Presjeka
-
Upload
robert-zoric -
Category
Documents
-
view
69 -
download
2
description
Transcript of 1_Dimenzioniranje Kompozitnih Presjeka
Pravokutni presjek
Neutralna os
sdN
d-x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A x2
zd-d
s1 Fs1
s2
2
c2s2F
cF
0.85 fcd
Jednostruko armirani pravokutni presjek opterećen momentom savijanja
s1c
s1csd
BA
FF 0H
zFzF=M
0MM 0M
Neutralna os
h
d-x
1d 1
s1
b
A
M
d
sd
x2
F
s1
z
Fs1
c
c2
A
B
0.85 fcd
cdvc
x
c
A
cc
yds1s1
fbxF
dxbdAF
fAF
ddxdx
1s2c
2c
1s2c2c
– za pravokutne presjeke = 0.85
Radni dijagram betona – koeficijent punoće RDB-a
‰2‰0612122f
324
4f
f
d44f
f
d 44f
f
d
c2c2c
22c2c
cd2c
32c
22ccd
cd2c
0
22c2c
cd
cd2c
02c2c
cd
vcd2c
0c
v
ccc
‰5.3‰2 3
2 3
‰2‰0612
2cc2
c2v
2c2c2c
v
T
cdc f
cccd
c 44f
‰2 ‰5.3
cdf
c
2c
ak
T
cdc f
cccd
c 44f
‰2 ‰5.3
cdf
c
2c
ak
‰5.3‰2
232243
k
‰2‰064
8k
2c2c2c
2c2ca
2c2c
2ca
Radni dijagram betona – koeficijent položaja tlačne sile (težište dijagrama)
2c
2c
2c2c
22c
22c2c2c
2c2c
22c2c
22c2c
2c2c
22c2c
2c
22c
2c
2c
32c
32c
22c
2c
42c
32c
0
22c2c
cd2c
02c
22c2c
cd
02c2c
cd2c
02c2c2c
cd
a
0c2c
0c2c
a
648
64341624
64316424
64316
1
6412
316121
324
434
1
d44f
d44f
1
d 44f
d 44f
1k
d
d1k
2c
2c
2c
2c
2c
2c
Jednostruko armirani pravokutni presjek - Osnovne jednadžbe
cdvcdvc
yds1s1
fbd85.0fbx85.0F
fAF
cd2sd
vsd
cdvcsd
aaa
csd
fdb
M=85.0
dfbd85.0zF=M
ddk1dkdxkdz
zF=M 0M
Neutralna os
h
d-x
1d 1
s1
b
A
M
d
sd
x2
F
s1
z
Fs1
c
c2
ak x
0.85 fcd
yd
sds1
yds1sd
s1sd
fdM
A
dfA=M
zF=M 0M
cd
yd
cd
yds1v
yds1cdv
s1c
f
f
f
f
bd
A85.0
fA=fbd85.0
F=F 0N
Dvostruko armirani pravokutni presjek – Logika nastanka
Neutralna os
d-x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A x2
zd-d
s1 Fs1
s2
2
c2s2F
cF
0.85 fcd
ab
c
d
ef
g h
12
3
4
5
Vlak Tlak
A
C
B2d2d
d
(10 % ) 3 %
2 % 3.5 %
As1
As2
20 %
Dvostruko armirani pravokutni presjek – Osnovne jednadžbe
Neutralna os
d-x
b1d 1
s1A
h
2d
d
sdM
s2A x2
zd-d
s1 Fs1
s2
2
c2s2F
cF
0.85 fcd
yd2
limRd,sd2s
yd2
limRd,sd
ydlim
limRd,1s
cd2
limsd,lim,Rd
fdd
M-MA
fdd
M-M
fd
MA
fdbM
Jednostruko/Dvostruko armirani pravokutni presjek – Opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom – Postupak Wuczkowskog
yd2
limRd,sds2s
yd
sd
yd2
limRd,sds
ydlim
limRd,1s
cd2
limsd,lim,Rd
sdsdsds
fdd
M-MA
fN
fdd
M-M
fd
MA
fdbM
2d
hNMM
Neutralna os
sdN
d-x
b1d 1
s1A
2
d
d
sdM
s2A x2
zd-d
s1 Fs1
s2
2
c2s2F
cF
cd0.85 f
b
s1A
s2A
d 1hd
sdN
sdM
tlNsdvl
d-h/
2
Konvencija: Tlak + Vlak -
poc,1ssdydcd1 ,M,f,f,d,h,b
Pravokutni presjek – Dijagram toka rješenja problema
Učitavanje podataka o presjeku, materijalu, napadnim silama, te tražene deformacije armature
Postavljanje početne ravnine deformacije
poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0
Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja
cd2sd
sdfdb
M
vv
izrsda
1s2c
2c 85.0;85.0;k1;
Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije
Postavljanje tekuće ravnine deformacije
Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti
sdizrsd sd
izrsd sd
izrsd
2gor,cdon,c
tek,c
tek,cgor,c tek,cdon,c
Izračunavanje potrebne armature, ispis
yd2
limRd,sds2s
yd
sd
yd2
limRd,sds
ydlim
limRd,1s fdd
M-MA;
fN
fdd
M-M
fd
MA
T presjek
Neutralna os
sdN d -x
b1d 1
s1A
h
2
d
d
sdM
s2A x2
zd -d
s1 Fs1
s2
2
c2s2F
cF
0.85 fcdbeff
c
fh
*
Ako neutralna os siječe ploču (x ≤ hf), tada se ovakav presjek rješava kao pravokutni dimenzija beff*h. Ako neutralna os siječe rebro (x > hf), tada je ovakav presjek pravi T presjek i potrebno ga je kao takvog proračunati.
b
x
beff
fh
ib
iAv
A*v
a
cd0.85 f
bA
*c
c2
effeff
f
v
vi
v
efffveffvi
ivefffveffv
ivcdefffvcdeffvcd
cicbca
bbb
1d
h11b
dbbhdbd
b
bdbbhdbd
bdf85.0bbhdf85.0bdf85.0
FFF
Određivanje reducirane širine T presjeka (bi)
2cf
c
cv
2cv
xhx
f
f
effipoc,1ssdydcdf1eff bb;,M,f,f,h,d,h,b,b
T presjek – Dijagram toka rješenja problemaUčitavanje podataka o presjeku, materijalu,
napadnim silama, te tražene deformacije armature Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta
savijanja
Postavljanje početne ravnine deformacije
poc,1s1sgor,cdon,c ;‰5.3;‰0
Izračunavanje koeficijenata za tekuću ravninu deformacije
Postavljanje tekuće ravnine deformacije
Usporedba izračunatih i traženih vrijednosti
sdizrsd sd
izrsd sd
izrsd
2gor,cdon,c
tek,c
tek,cgor,c tek,cdon,c
Izračunavanje potrebne armature, ispis
yd2
limRd,sds2s
yd
sd
yd2
limRd,sds
ydlim
limRd,1s fdd
M-MA;
fN
fdd
M-M
fd
MA
Kontrola položaja neutralne osi
fhx
Izračunavanje bezdimenzionalnog momenta savijanja cd
2i
sdsd
fdb
M
fhx Proračun reducirane širine T presjeka
effeff
f
v
vi b
b
b1
d
h11b
vv
izrsda
1s2c
2c 85.0;85.0;k1;
DKP – DIMENZIONIRANJE KOMPOZITNIH PRESJEKA
U nastavku je prikazan model dimenzioniranja općih kompozitnih poprečnih presjeka opterećenih ekscentričnom uzdužnom silom. Presjeci mogu biti proizvoljnog oblika, sastavljeni od različitih materijala i formirani u više faza. Proračun uključuje analizu naponsko-deformacijskog stanja presjeka, utvrđivanje graničnog kapaciteta nošenja i određivanje potrebne površine šipkaste armature za utjecaj kratkotrajnog opterećenja. Ukratko je opisana mogućnost primjene modela na dimenzioniranje betonskih presjeka ojačanih labavom i prednapetom šipkastom armaturom, te krutim čelikom.
II faza
I faza I faza
II faza
a) Klasično armirani presjeci b) Prednapeti betonski presjeci c) Spregnuti čelično- betonskipresjeci
OSNOVNE PRETPOSTAVKE • Presjeci i nakon deformiranja ostaju ravni.• Nema klizanja na spoju različitih materijala nakon njihova sprezanja.• Poznata je veza napon-deformacija za svaki materijal.
RAVNINA DEFORMACIJE PRESJEKAGrafički prikaz moguće ravnine deformacije, u odnosu na prethodno ravnotežno stanje, dan je na slici. Dopunska deformacija neke točke presjeka definirana je jednadžbom ravnine.
rTρ
yz0T ,,
zy,,1T r
VEZA NAPREZANJE DEFORMACIJA Polazi se od poznate veze između jednoosnog naprezanja i deformacije za pojedini materijal. Za realne materijale ova je veza u osnovi krivolinijska, a definirana je jednoosnim testom ili odgovarajućom regulativom. Sa stanovišta numeričke analize, zgodno je ovu vezu definirati kao linearnu po pojedinim segmentima. Ovako uvedena kontrolirana pogreška je zanemariva u odnosu na druge pretpostavke. Veza između bilo koje dvije točke i,j dijagrama definirana je
pomoću )E( ii
rTpii EE-
rTE
U gornjim izrazima E označava tekući modul elastičnosti materijala (nagib pravca na promatranom sektoru), dok je grafička interpretacija naprezanja ’ vidljiva sa slike. Treba naglasiti da je za poznato početno stanje i pretpostavku tekuće deformacije između točaka i,j ,
naprezanje ’ konstantno i određeno.
JEDNADŽBA RAVNOTEŽE Vektor unutrašnjih otpornih sila presjeka Su je funkcija rezultantne ravnine deformacije i veze pojedinog materijala. Ukoliko su oni poznati, Su se može jednostavno izračunati integracijom naprezanja na području kompozitnog presjeka.Nu označava unutrašnju uzdužnu sliku, Mzu i Myu odgovarajuće momente sile obzirom na
koordinatne osi, W područje pojedinog materijala, a sumacija preko svih materijala m.
m
yuzuuu d M,M,N rS
uu ISS
m
u d rS
m
T dE r rI
u0vv SS u0vuu ,S
vvpv SSS
)1(0uv SS
ODREĐIVANJE STANJA
NAPREZANJE-DEFORMACIJA
Za poznate vanjske sile i definirani poprečni presjek, često treba odrediti ravnotežnu deformacijsku ravninu i naponsko stanje. Rješenje ovog problema se direktno svodi na rješenje jednadžbe (1). Koristeći iterativni postupak rješenja, problem se može zapisati u
obliku k1kk SI
ku
kv
k SSS
1kk1k
NEKI PRORAČUNSKI ASPEKTI
a) Šipkasta armatura Nakon određivanja veličine ukupne deformacije a u promatranoj šipci, utvrđuje se između kojih čvornih deformacija i, i+1 na predmetnom dijagramu - ona leži. Potom se odredi pripadajući modul elastičnosti E, te doprinos tekućih mehaničkih karakteristika šipkastih materijala.
T
aaa A E rrI
a) Materijal veće površine Područje materijala koji ima značajnu površinu u odnosu prema površini čitavog poprečnog presjeka zadaje se konveksnim poligonalnim elementima bez šupljina (konačni elementi – KE). Na području jednog KE može biti samo jedan tip materijala, izuzimajući šipkastu armaturu. Svaki KE određen je listom čvornih točaka i njihovim koordinatama, te indeksom svojstva materijala. Dakle, konture svakog materijala najprije se aproksimiraju poligonom, a potom se omeđeno područje podijeli na KE.
Z
neut
raln
a os 1 2
i
i+ 1n
e i
u k u p n a rav n in a d e fo rm ac ije
1n
,
i+1
i,
m o du l e l as t ičn o s ti
E
K .E .
Nakon određivanja rezultantne ravnine deformacija na promatranom KE i položaja pripadajuće neutralne osi u prethodnoj iteraciji, postavlja se set pravaca koji su s njom paralelni i na kojima leže točke KE, s deformacijama jednakim čvornim deformacijama i radnog dijagrama. Potom se traži presjek ovih pravaca sa stranicama svakog KE, te tako na svakom od njih definiraju područja ei (podelementi) s konstantnim modulom elastičnosti E. Matrica Ie za svako ovo područje je oblika
eyezyey
ezyezez
eyeze
e
IIQ
IIQ
QQA
I
1j1j1jjj1jj1jjjezy
1jj2
1jjjey
1jj2
1jjjez
1jjjey
1jjjez
je
j1j1jjj
yzzyzyyzzwE24
1I
zzzzwE12
1I
yyyywE12
1I
zzwE6
1Q
yywE6
1Q
wE2
1A
n1n 1,2,...n;j ;yzyzw
m
T d E rrI
Vektor unutrašnjih sila:
pee2e1eu ISSS
eyl
i
ezl
i
el
i
ey
ez
e
ie1
Q
Q
A
Q
Q
A
d e
rS
eyi
ezi
ei
ey
ez
e
ie2
Q
Q
A
Q
Q
A
d E e
rS
Mehaničke karakteristike i dio vektora unutrašnjih sila jednoga KE dobivaju se sumiranjem odgovarajućih karakteristika svih područja ei na tom elementu, a pojedinih materijala preko svih KE koji opisuju taj materijal. Analogno, sumiranjem preko svih materijala dobivaju se ukupne karakteristike kompozitnog presjeka.
ODREĐIVANJE GRANIČNE NOSIVOSTI PRESJEKA
m axj - 1gm a x
nm a xjm a x
1
S Sg v=nj -1 S v
jS v
S v
1
vn
vg SS
0ugvg SS
ku
kv
jk SSS
Ako se želi dobiti granična nosivost presjeka Sug za zadani smjer vektora vanjskih sila Sv, deformacijska ravnina mora biti u graničnom položaju. Ona je definirana dosezanjem granične (maksimalne/minimalne) deformacije g u nekom materijalu presjeka. Vektor odgovarajućih vanjskih sila Svg, koji uzrokuje ovo stanje, biti će u tom slučaju:
PRORAČUN POVRŠINE ŠIPKASTE ARMATURE
Kompozitni presjeci često su ojačani kvalitetnijim materijalom (armaturom) čija je površina u odnosu na ukupnu površinu mala, te se može uzeti da je ta površina zgusnuta u točku. Najčešće treba odrediti površinu i raspored armature, te vektor vanjskog opterećenja, ako su poznate dimenzije presjeka, kvaliteta i raspored materijala. Postupak je analogan postupku određivanja granične nosivosti presjeka, s tim da se u svakom inkrementalnom koraku korigira potrebna površina armature.
A a
j- 1A a
jA a
nA a
S ugj S ug = S vg
n nS ug
j-1S u g
1
SLIJED ITERATIVNOG POSTUPKA
1) Na temelju poznatog položaja deformacijske ravnine pk iz prethodne iteracije k, izračuna se matrica Ik i vektor unutrašnjih sila presjeka .
2) Izvrši se korekcija vektora neuravnoteženih sila , ako je on funkcija položaja ravnine deformacije, tako da je .
3) Izračuna se vektor neuravnoteženih sila .4) Odredi se vektor prirasta parametara ravnine deformacije iz 5) Odredi se tekući vektor parametara dopunske ravnine deformacije .6) Kontrolira se konvergencija postupka. Ako je zadovoljen kriterij
konvergencije ispišu se rezultati i uzima se novi slučaj opterećenja. Ako kriterij konvergencije nije zadovoljen, postupak se vraća na korak rješenja (1).
kuS
kvS
0vk
ukv SS
uvk SSS
1kρ k1kk SρI
1kk1k ρρρ
pk1k / ρρ
JEDNOSTAVNI PRIMJER
Potrebno je odrediti stanje naprezanja-deformacije za sustav i presjek prikazan na slici, pod vlačnom silom F=360 kN.
2s
2c
2s
2c
m0008.0164Am08.0A
mMN000200EmMN00034E
Pošto je presjek opterećen vlačnom silom kompletnu silu preuzima armatura.Za početak pretpostavimo da je u=0.
Osnovne pretpostavke
kN0.3600.00.360FFF
0.0AEAF
mkN0.000000200E
0.0;0.0u
mkN00.4500000008.0
0.360
A
F
kN0.360F
uv0
s1sssu
21
s0
2
s
vv
v
1. iteracija
kN5.375.3220.360FFF
kN5.3220008.0403125AF
mMN125.403125.30.400
25001‰00025.00.400E‰25.00.400
‰25.200225.00.1
00225.0um00225.0uuu
m00225.0K
Fu
kN0.360F
mkN1600000.1
0008.00.000000200AEK
mkN0.000000200E
1v1
s11
2
21
11101
1
01
0
s11
21
2. iteracija
kN0.00.3600.360FFF
kN0.3600008.0450000AF
mMN0.4500.500.400
25001004.00.400E‰0.4400000
‰0.6006.00.1
006.0u
m006.000375.000225.00.0uuuu
m00375.010000
5.37
K
Fu
kN5.37F
mkN100000.1
0008.00.12500000AEK
mkN000.500.12E
2v2
s22
2
22
22
2102
2
12
1
s22
22
PRIMJER 1U primjeru 1 analiziran je jedan klasično armirani presjek nekog mosta.Presjek nastaje u dvije faze. U prvoj fazi montažni T nosač (beton C 30/37, armatura 1228 + 3010 - RA 400/500) opterećen je uporabnim momentom savijanja od stalnog opterećenja Mg1=0.88 MNm. U drugoj fazi, nakon očvršćavanja betona kolničke ploče (beton C 25/30, armatura 2019 - RA 400/500), spregnuti nosač je opterećen momentom savijanja od dopunskog stalnog opterećenja Mg2=0.90 MNm i momentom savijanja od prometnog opterećenja Mp=0.872 MNm.
Z
80
100
4 7
I faz a
II fa za
20
Y
4 0
1 2 2 8
1 34
4 7
C 2 5 /3 0
C 3 0 /3 7
20
7010
2070
1020
6040
( R A 4 00 /5 00 )
30 10 ( R A 4 00 /5 00 )
20 19 ( R A 4 00 /5 00 )
5.4
5.8
Z
Y
0 .2 1
-1 .7 0-1 .56
-1 .56
-1 .56
-1 .14
-0 .7 7
0 .2 1
0 .18
0.4 0
0.3 4
N .O .
Z
Y
- 3 27 .8
-2 9 5 .6
-2 2 9 .4
-1 6 2 .9
-9 6 .5
7 1 .1
4 3 .4
5 .9 5.9
39 .1
1 2 .4
N .O .
a) deformacije ‰ b) naprezanja u betonu i armaturi MPa
N.O .
Z
Y
1 .7
1 . 4
-1 .4
1 . 7
-1 . 4
-1 .1
-9 .9
-9 .2
1 .4
N .O.
Y
Z
-4 0 0-4 0 0
-4 0 0
-4 0 0
-4 00
-4 0 0
-2 4 2 .3
-1 0 4 .8
2 9 3 .8
2 0 .1 2 0 .129 3 . 8
-2 4 2 .3
a) deformacije ‰ b) naprezanja u betonu i armaturi MPa
Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za uporabno opterećenje
Naponsko-deformacijsko stanje spregnutog presjeka za graničnu nosivost
PRIMJER 2Na crtežima je prikazan jedan prednapeti uzdužni nosač mosta Kličevica. Presjek je formiran u dvije faze. U prvoj fazi nosač je opterećen momentom od stalnog tereta u iznosu 11.81 (MNm), i silom prednaprezanja 2.03 (MN) za svaki kabel (pripadna deformacija je pp=0.00533 ‰). U drugoj fazi, nakon otvrdnjavanja ploče, presjek je dodatno opterećen momentom od dodatnog stalng opterećenja u iznosu 1.73 (MNm) te momentom od pokretnog opterećenja u iznosu 4.85 (MNm). Odnos za beton i prednapete kablove prikazan je u nastavku. Dimenzioniranje je izvršeno prema EC2.
cdf
0035.0002.0f
002.002501f1000
ccdc
ccccdc
0 .0 0 2 0 .0 0 3 5
c [M P a ]
c
cdf
0035.0002.0f
002.002501f1000
ccdc
ccccdc
0.01
5
0.01
0
0.00
5
5 00
10 0 013 5 0
15 0 0
16 6 7
p p p= 0. 0 0 5 5 3
p [ M P a]
114.5
253
5
Z170
3025
136 .
32
99. 5
2
64
202420
15.6
21. 2
24114.5
Mzn=11.81 MNm
Y
137 .
36
174 .
16
170Ø10 RA 400/500
21. 2
15. 6
2S 1860 BBRV ConaAk=1900 mm
Ø28 RA 400/500
Ø12 RA 400/500
3025
64
202420
114.5
253
Mzn=18.39 MNm
255
C 45/50
C 45/50
Plate concrete:
Canteliver concrete:
10
24 114.5
2010
5
Z
YGEOMETRIJA NOSAČA
Ravnina deformacije (‰)
0.380.39
-5.23
Naprezanje u labavoj armaturi (MPa)
Z
0.380.39
0.380.38
Y
82.12
0.08
0.15
0.11
-5.23
-5.20
-5.23
Z
82.12
53.66
57.96
62.27
66.57
70.88
75.19
45.05
49.35
Y
28.9732.13
36.43
26.23
20.1121.8023.48
40.74
STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U I FAZI
STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U I FAZI
Naprezanja u betonu (MPa)
10.3310.66
-1043.03
-1043.03
-1043.03
-1037.51
4.36
2.31
3.24
2.31
3.24
4.36
10.3310.66
10.1610.16
Z
Naprezanja u prednapetim kablovima (MPa)
Y
STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U II FAZI
Naprezanja u labavoj armaturi (MPa)Ravnina deformacije (‰)
n.a. II phase
n.a. I phase
0.430.430.46
0.50
0.16
0.22
Y
-0.47-0.47
-0.58-0.58
-0.33-0.33
Z
n.a. II phase
n.a. I phase
Z
0.46
0.50
0.16
0.22
Y
113.1044.22
34.82
44.77
29.83
89.19
74.46
59.51
-44.49
-59.22
-70.10
-79.54
-88.99
-94.80
-100.62
-106.43
-29.54
113.10
108.60
STANJE NAPREZANJE-DEFORMACIJA NOSAČA U II FAZI
Naprezanja u prednapetim kablovima (MPa)
n.a. II phase
n.a. I phase
11.56
13.08
12.074.45
6.21
11.56
Z
n.a. II phase
n.a. I phase
13.086.21
4.45 12.07
Z
-1002.23
-1002.23
-1002.23
-983.73
Naprezanja u betonu (MPa)
Y Y