Dragan rif'unovic, strucni saradnik FON-a Zoran Sam.i 9 asiste:nt VladiJnir Sa.vic, asiste:nt Zarko Mijajlov16, asistent Zoran Vukma:nov16, asiste:nt Nada Djura:novi6, asiste:nt Scepan Uscuml16, asiste:nt Gradimir Milova:novic, asiste:nt
Glav:ni recenzent:
Recenzenti:
Dr Caslav Djaja, docent U:niverziteta Dr Momeilo Uscumlic, docent U:niverziteta Dr Milenko Nikolic, docent FON-a Dr Dobrilo Tosi6 9 docent Univerziteta
Glavni i odgovorni urednik
ektor
DIFERERCIJALNE JEDNACINE PRVOGA REDA
Neka nepoznata !unkcija nezavisno njen izvod , onda jednacina
(,,') .. , (
gde F(x,y,y') izvesna !unkcija od , 1 zove ~~~~~~ na jednac~ (DJJ) prvoga reda. DJJ (l) moze ti u razlicitim oicima, na primer,
!(x,y)dx- dy- dy • •
Svaka funkcija • ~ () de!inisana i diferencijalna u i:ntervalu (,), koja :J4e:nticki zadovoljava jednaci:nu (1) \i'(,)
tj. [1 , ~(), ~·()] .. , "i €(,) zove resen.1e jednaCine (1).
Napisiino jednaci:nu 1 u oiku
' • f(x,y), (2)
koja moze imati beskonacno m:nogo resenja. Sva rese:nja sa izves­ :nim izuzetkom mogu se izraziti jed:nom !ormulom~(x,y,c) • , ko­ ja sadrzi proizvoljnu konsta:ntu i koja predstavlja opsti inte­ ~ DJJ (2).
Junkcija
.. 'f.(x,C) (3)
neprekid:no diferencijalna i neprekid:na proizvolj:noj kon­ sta:nti , predstavljace opste resenje jed:nacine (2) u oasti D promenljivih i , ako jednacina (3) odredjuje vrednost konstan­ te za svaki par (,) D, tj. .. '/ (,) i ako zame:na vred:nosti u ednacini ' .. '-~ (, ) dovodi do DJJ (2) u oasti D, tj. ' '"'-'[, 41(,)] !!' :f (,).
Resenje, odnosno integral DFJ (2), dobijeno iz opsteg rese­ nja9 dajuci proizvoljnoj konstanti odredjenu brojnu vrednost, ukljucujuci tu ponekad i :!: - zove se partikularno resenje, od­ nosno partikularni integral jednacine (2). Geometrijski, parti­ kularni integral DFJ (2) predstavlja integralnu krivu, sadrzanu u familiji integralnih krivih, datih njenim opstim integralom.
.d data neka DFJ, .postavljaju se dva osnovn. pitanja: prvo, da li ona uopste ima resenja; drugo, ako ima resenja kakva su i koja su. Necemo se upustati u razmatranje tih opstih pita­ nja, ve6 samo izneti nekoliko prostijih DFJ prvog reda, koje se mogu lako resiti, u prvom redu pomocu integriranja (resavanje kvadraturama).
Rastavljanje promenljivih. Ako se DFJ (2) moze svesti na - lik
\((7)dy • ' (x)dx (4)
kaze se da su promenljive rastavljene, te opsti integral
'((7) d7 • .() dx +
Homo5ena jednaHna. DFJ oika
(5)
zove se homogena ciji stepen homogeniteta nula. Za resavanje ove DFJ koristi se smena. 7 • u(x)x gde u(x) nova nepoznata tunkcija. Iz smene imamo da
Y,.xdu+u '! '
te jedna~ina (5) postaje d~ .. H~~-u , gde su promenljive raz­
dvojene, te
jedna~inu moze svesti i jedna~ina oblika:
()
2
.. r
aoL+b;'3+C•O
<. + 1; + 1 ..
- "' t' ( + ) , 1 + 1
)
)
(8)
za koju smo videli kako integrali. Sistem (8) imace resenja, ako
\:1 :11 ,to.
Ako , pak, ova determinanta jednaka nuli, tj. ako
.!....,..!L. .. k al l
tada jednacina () postaje
dv .. .,[k(al:x + l;r) +] ~ ... _ koja integrali menom d:x al:x + l:r + cl * .. al + l ~ i ova. jednacina postaje
r(ku +) u + 1
gde se promenljive mogu razdvojiti.
Linearna jednacina. DFJ linearna,po nepoznatoj funkciji i njenom izvodu, zove se linearna jednacina. jednacina oli-
!f + .t () + ~ () • (9)
gde su f(x) i ~() funkcije nezavisno. promenljive .
Ima vise metoda .$8. integraciju 1inearne jednacine. Veoma ~e­ sto koristi se direktan obrazac za opsti integral jednacine (9)&
-Jf()()dx f .f(x)cl.)( ) • .. . ( - f '€() dx (9')
. Metoda varijacije konstante sastoji se u s1edecem. Prvo se resi homogeni deo jedna~ine (9) yt + f(x)y .. gde se promen- 1jive razdvajaju i cije opste resenje
- f(x)d.X . 1)
Zatim se pokusa da (10) ude resenje i od (9), ali dopus­ tajuci da • (), tj. da funkcija od .
Iz (10) imamo da
-Jf(x)d,.){ -J.f'<x)dx ~ • ~ - fcx>
Uvrstimo 11 taj izraz i (10) u (9) na1azimo da ta jednacina (9) daje
f .fcx> dx 0() .. 01 - '€ () dx:) gde 01 koi:lstanta.
Zamenom u (10) dobijamo opsti integra1 1inearne jednacine(9) u navedenom oliku (9') •
Linearna jednacina (9) mo!e se integraliti
• u(x) V(x) ,
te Dli'J (9) postaje u ~ + [ f(x)u +~ V + 'f(x) "' •
Odredimo funkciju u tako da ude
- f(x) d)( ~ + t(x)u • , odakle u •
(11)
Pos1e ovoga d se funkcija V iz jednacine u ~ +'-( ) • 1 d se
4
- J.rc"'iJ( v .. - u-i 't(J~)dx +"' -f 'f(x)+ . Zaaeno izraza za tunkcije u(~) 1 V~) u (11) ~ ob­
razao (91).
Bernu.li,jen .1edn&Ha. DFJ oika 7'+1'()7+ ' <> ;r" .. , gde s Ou s 1 aziva se Bernu.lijevo prvog reda. i se sesti 1inea.rnu jedna~inu. Radi toga podeli6eJIIO jeda~imt 7s
Zi + 1' () :1 + '€ ( ) '"' , 7 7
i staiceo ;_1 .. z , tj. ;-s .. 111 •
7
Ouda (1- s)7-8 7 9 • z•, tj • .i .. ~, :Sernu.lije". je~i- 7s 1-s
na postaje z' + (1-s)t(x)s - (1-s) ~() • , tj. 1inea:rna. d se iz nadje z, d se 7 is ;-s • z •
ZADACI
1. Data tunkcija 71 • ,..:.-, gde nE.ll. Poka.zat~ da ".
tunkcija zadovo1java DFJ (~+ 7) • •
Resen.je. Vidi se da x(7i + :r1) • n;r1 • k _ .n-1 - .n n :ri • nx - -· - • 'i :r1 - 71 , to za.enom
u DFJ nalazio da n;r1 • n;r1 , che dokazano da .twakoija 71 zadovo1java datu DFJ.
2. Odrediti neprekidnu tunkciju t(x) koja zadovo1java us1ov J 0 tt(t)dt • 2 + t(x).
Uputstvo. Pos1e diterenciranja d se t' () - xt(x) • - 2 • Funk:cija t(x) oik:
2 - 2erp(x2/2) + 2.
3. Data DFJ ;r' + 2;r .. 3,.3. lla6i onu integra1nu krivu date DFJ, koja prolazi kroz tacku (,1).
5
Resenje. Data DFJ razdvaja promenljive. Medjutim, ovde m pokazati njenu integraciju prihvatajuCi Bernulijev
oik. Imamo da
~ + ~2 = ? sto smenom postaje (z • -2 ) t zt - 4z • -6.
k opste resenje homogenog dela ove jednacine z. 1 4 dO to varijacijom konstante imamo ~ ~ dxl 4 + 40le4x, sto -
sle smene u DFJ daje 1 • + ~ -4 9 te opsti integral
date DFJ i 2 "' 3 + 2 4
Kako su pocetni uslovi () • 1, to nalazimo da = -1/2, te integralna kriva koja prolazi kroz tacku A(O,l) glasi:
i=-L 3-4
4. Naci krivu liniju kod koje tangenta u svakoj tacki sece na ordinatnoj osi odsecak proporcionalan kvadratu apscise. Me­
dju ovakvim krivim linijama odrediti onu koja za • ima eks­ tremum.
Resenje. Iz uslova zadatka n • kx2 nalazimo da DFJ glasi 1
' - • - kx • Opsti integral ove DFJ ima oik
"' - ; 0-integraciona konstanta. k ' • -
- 2kx ' to za uslov imamo da • , te
5. Smenom • U(X)V(x) resiti linearnu DFJ ' + 3 • •
k • uv, to ' • u'v + uv' , te DFJ posta-
uv' + + 3xu)V .. .
DFJ ,. nalazimo V(x)• +
te

6. Data. k konstanta. tako da data funkcija zadovoljava. uslov +
zatim resiti ovu
k .. ke2x ; "' 2ke2x to seno11 u DFJ .lazimo da k • 1/2. Za date DJIJ uvodi-
110 SJilenu "' +z,..~ + 111 t te 1&110 da
Yi + rr.,• + + 4z "' 32, odakle z' + 4z .. • k
iz ove Dl!'J z .. -4 , to opsti integral date Dl!'J
.. ~ 2: + -4 •
7· Resiti Dl!'J +~,. .. ; 11,, .. const. todoa varijacije k~.:~tante. Specijalno odrediti ono reienje DFJ
koje za • iJI1a vrednost 0 •
Resenje. Opsti integral ho11ogene jednaine ,-• +~ • , gla­ -,:t
si • 1 • Varijacijol1 konstante Cl nalazimo . (~,-))
da 1 .. + 'i\.~- , te opsti integral date Dl!'J - ).1 :, -4
glasi .. + ~ Za uslove () • 0 nalazimo
da integraciona konstanta • 0 - f1~ ~ te partiku- _A.,:x- (- -i\1 x)
larno resenje • 0 + ?~ ' \ - •
8. Nai krivu liniju kod koje odstojanje svake tacke od po­ etka koordinatnog sisteJiltll. jednako odseku koji tangenta u
toj taki ini na ordinatnoj osi.
Resenje. Pre11a uslovu zadatka n&laziao da DJIJ
,-' .. - 2 + .; , te opsta integralna kri va
u paraJ11etarsko11 oliku • xu; u + Jl+u2 • .
Odrediti para•etar k da funkcija • ~ bude partikularno re­ senje diferencijalne jednacine(D11J)x2y" + 5:,-' - 2 • ~ Resenje. k · • ,-1 .. ~ partikularno resenje, to
6x2,-i + 5X'Yi - 2,-1 • , odakle dobija k2-k-2•0,
?
te k • 21~ i k • - l/2. Pokazati da se uopstena DFJ
:2i + (n-l)xyi - (n-4)y1 ... uvek svodi na jednaCinu ob-
lika. 2 - k - ( n-4) "' za "1 n IJ n ,. 5 •
10. Naci onu primitivnu funkciju funkcije f(X) • ex-l koja pro­ lazi kroz tacku(l 90). Reseie. Ako primitivnu funkciju obe1ezimo sa F(x), tada
definiciji F'(x) • f(x), te
F(x) .. f(x)dx + t odnosno F(x) .. -1 + , ... const.
k F(l) • , to • -1 i primitivna funkcija glasi
F(x) • -1 - 1 •
11. Neka • 8 mode1~ju6a funkcija jedne prirodne pojave, gde su i s proizvo1jni parametri. Pokazati da odgovaraju­
ca DFJ te pojave ima oik
(*) " + ' - '2 "' • Resenje. Iz sistema jednacina: • 8 ; ' • asx8
- 1 ;
2 eliminacijom parametara i s do­ se DFJ ( !f)o
12. Naci DFJ i ..
kao u prethodnom zadatku. Imamo da
DJ.!'J - <') .. •
• 1 -
17. Na6i ono DFJ 2 koje k:roz tacku M(l,l).
.. -1 te
18. Data DFJ parametar. Inte-
gralne k:rive ove DFJ cine fami1iju dva parametra: i ,
gde integraciona konstanta. Odrediti onu od integra1nih k:ri­ vih koja algebarska i ima za asimptotu pravu • .
19.
20.
.. gde € R •
ResenJe. k dx , to
lny .. lnC - (l-a)x 2
- dx, odnosno .. 2 ... 1. x(l - 2)
i partikularno resenje DFJ ne us1ove (3) • 2.
2 3' ( -1)- 2 "' za pocet-
Resenje. Opste resenje dobija se sledeim postupkom:
,2 .. 2 dx 2-1
Za us1ov (3) = 2 imamo da 23 = 0(32 - 1), te • 1 .i partikularno re~ 'ie g1asi ~ 2 - 1 •
9
21. f'unkcija ima. osobinu, da V ~R : • .. ?
Reseie. = f'(x) • , - integraciona konst.
22. Resiti s1ede6e DFJ:
Reseie. / 2 • ~' + 2 + ; •••
23. Nac.i opsti i partikularni integra1 s1ede6ih DFJ kod kojih su dati pocetni uslovi
/ 2{:idy • ydx , za (4) • 1.
/ xydx + 1 - x2dy • , za () • 1.
/ (' + 1) .. 1, za y('lr/2) "' ln2 •
d/ 9 snix .. y1ny , za ('/2) • 1.
Resenje. Na primer / Opsti integral dobija na s1edeci nacin:
' .. 1 - • dz .. dx ' 1-
1nC - 1n(l-eY) • , • 1n(l - -). :t
( >:i- ) Partikularni integral glasi "' 1n 1 - . ·
24. Odrediti funkciju • () koja zadovo1java us1ove
(- )' "' (1) .. -1 •
Resenje. k data jednacina moze napisati i u oliku
(1 -~)' .. ~ , to smenom .. xu.(x) ona postaje
(1-u) -

k data Di'J
.. lncxJl+u2 ,
/ ' .. -xf + -/- •
..
Resenje. Na primer / Smenom • xu(x) jedcina svodi na DFJ,koja razdvaja promenljive xu' • ~ , te
u2 • 2lnCX, odnoeno 2 • 2x2ln.Cx.
28. Proveriti opste integrale eledecih homogenih DFJ
./ x:r' - - ~+-/- • ; 2 .. 2 - 2 / '--1- • (+)2 -/ ; (x+y)ln.Cx • /.
/ - ycos Z + xy'cos Z •
sin Z .. ln .2. •
d/ 1 + /+ x/y(l- ~)' • ; + / • •
/ (-)' - 2 • .. (i) :t/ ' "' y(l+lny - lnx) .. ( ) •
Re.siti s1edecu homogenu DFJ ' • 2 + 3 + 1 ~ + 4 + 1
Resenje. Za smenu .. +( i "' +;5 imamo da
11
•
dY - .. - dX
2 + 3 + 2 ( + 3 (.3 +1 3 + 4 + 3 d_ + 4 /3 +1
Da bi ova DFJ i1 homogena, potrebno i dovoljno da
2.-:L + 3/' +1 .. ; 3-l + 4;.3 + 1"' , odakle imamo da !. ... 1 i 3 • -1. Posled.D.ja DFJ postaje
dY -·- d.x
2 + 3 • Ako se stavi u • /, i6 ' • u+Xu', te 3 + 4
2 Xu' • - 2 1+3u+2u • Odavde 1 + 3u + 2u2 • ;2• Ako se
3+4u
vratimo na stare promenljive / • u; .. + 1; • - 1,
imamo da 2 + 3 + 22 ·• , odnosno
(-1) 2 + 3(-1)(+1)+ 2(+1) 2 • t tj. 3+3+22-+ • .
30. Odrediti op~te resenje DFJ: 3- ?+ 7 • (3-?-3)'• Resenje. Postupiti kao u prethodnom zadatku.. Ovde (_ •1 i
/3• , opsti integral (-+1) 2 (+-1)5 • const.
31. Resiti DFJ: (2 + 4 + 3)' • + 2 + 1.
Resenje. k su ovde odgovaraju6i koeticijenti proporcio­ na1ni 2 : 1 ... 4 : 2, to za smenu sve jednacine u­
vodimo u • + 29 te ona postaje
u'. 4u + 5 (u' • 1 + 2'). Odavde 2u + 3
~ u + ~ lnl4u + 51 • + , tj. 4 + + 5 • 4- ,

32. Dokazati da DFJ ( + + 1) 2 + 4 + 3 ima za opsti
10- 20 • (5 + 10 + ?) 2, gde integraciona kon­ stanta.
33. Dokazati da
' - + 1nx • •
Za jednacinu + .. imamo direktno
d& opeti integra1 .. ( - ~ - S d ) ,
odnoano • 1 + + lnx •
36. Pokazati da DFJ ' + - ainxcoax • ima opsti integral -inx
• + inx - 1 •
. '
/ - ( +-,.3) ' .. ;
d/ ' + ytgx - siJx ..
L i t r t u r
[i] M.P.Uscumli - .:. MiliCic
Diferencija1ne jednacine, Beo­ grad, 1962.
:atematika II u oliku metodic­ ke zbirke zadataka sa resenji­ ma, Beograd, 1967.
13.
(l)
Opste resenje jednacine (1) dato sa
• + 0 , (2)
gde opste resenje pripadne homogene jednacine
y(n) +1 () <n-: +2 () (n-2) +. • .+an-1 (x)y'+an(x) :=, (3)
partikularno resenje jednacine 1 •
· Opste resenje Pmogene jednacine (~) dato sa
(4)
gde su 1 , i•1,2, ••• n, partikularna 1inearno nezavisna resenja jednacine (~), ci, i=1,2, ••• n, proizvo1jne konstante.
Nehomogenu jednacinu (1) mozemo uvek resiti ako znamo da resimo pripadnu homogenu jednacinu (~)· Ovu, opet, u opstem slu­ caju ne mozemo da resimo.
Ako su u jednacini (~) (ili (1) koeficijenti ai(x), 1=1,2, •• •• n·konstante, takvu jednacinu zovemo 1inearnom homogenom (i1i nehomogenom) diferencija1nom jednacinom sa konstantnim koefici­ jentima.
1.5
y<n-l) +a 2
yC:n-2) + ••• +11(11) .. (5)
n • n-1 n-2 +al +.2 + ••• +11 .. , ()
tzv. karakteristicnu jednacinu jednacine (5). Zavisno od toga ka­ kvi su koreni jednacine (6), razlikujemo vise slucajeva.
1° Svi koreni l' A2t•••n jednacine () su realni i medju~
sobno razliciti. Tada su
~. ~ n 1 .. . ' 2 "'. ' • • • Y n "' (7)
n linearno nezavisnih partikularnih resenja diferencijal­ ne jednacine (5). Samim tim imamo prema (4) i opste rese­ nje diferencijalne jednacine (5).
2° Svi koreni jednacine (6) razliciti su, ali medju njima ima i kompleksnih. Realnim korenima odgovaraju resenja kao u (7). Ako ~, 2 .. (_ ±t; par konjugovano kompleksnih korena jednacine (6), tada su
yl ... q:~.x cosftx; 2 ... < sin~x (8)
partikularna resenja diferencijalne jednacine (5).
3° Jednacina (6)ima i visestrukih korena. Ako l realni k-tostruki koren jednacine (6), tada su
k
jednacine (5). ­ ?; par k-tostrukih
kompleksnih korens tada su
za n-2, tj. u
karakteristicns
l
Tada za ~ .. ; 2 .. ; za :.1 .. 2
.. xell..x; za _,2 .. [ u .. ttlxcosftx; .. ,..( .
Opste doijamo prema (4)
.. +
:r"+aly' +
treba prema (2) odrediti p~:~..l:..,.~..~~.,u.eo~-~.·lu r-,.",, .... ,, njega nasli
oika.
padne karakteristicne jednacine, tada
'" { Q(X) t
gde Q(x) polinom istog stepena kao i eficijente odredjujemo iz uslova da
nacine (14).
2° Ako f(x) .. ()~ i ( jeste k-tostruki koren karak­ teristicne jednacine, tada
0 = xk~x Q(x).· (16)
:; 0 Ako .:1.' () .. e,ol.. [ () cos ; + () sin/'J ,
stepen bar jednog od polinoma () i () jednak m, .( :!:1;3 nisu koreni karakteristicne jedna.Cine, tada
0 =e:oLX['I(x)cos(x + ~(x)sin~xJ, (17)
gde su () i () po1inomi stepena ne veceg od m. ,,
4° Ako .f( ) .. { [ A(x)cosf3 + ( ) sin~xJ ' gde stepen r jednog od polinoma () i () jedna.k m,
~ :!:i~jeste k-tostruki koren karakteristice jednacine,
tada
9 = ~tX[A(X)COS~X+~Vc)sin~x], (18)
gde su 'I () i ~() polinomi stepena. ne veceg od m.
17
Jednacinu (14) mozemo resiti metodom varijacije konstanata, z obzira na olik funkcije f(x), cak nije vazno da 11 su ko­ eficijenti 1 i 2 konstante, uko1iko poznajemo dva 1inearno ne­ zavisna, partikularna resenja 1 i 2 pripadne homogene jednaci­ ne. Opste resenje jednacine (14)
(19)
01 () .. Dl () dx; (22)
odredjuju funkcije 1 () i 2 (), koje se zamenjuju (19).
A·ko 1 partikularno resenje diferencija1ne jednacine
(23)
( 24)
takodje partikularno resenje jednacine (23), i pri tom su 1 i linearno nezavisna resenja.
3.1. ReSiti " - 5' + 4 .
arakteristicna jednacina date homogene linearne diferencija1ne jednacine jeste
2 - 5 + 4"' . ( 1)
Iz ll' s1edi 'Al •1; '2 .. 4, su
yl .. ; 2 .. 4 (2)
dva partikularna 1inearno nezavisna resenja date diferen-
18
" - ' - • .
Resenje. • 01 ~2 + 2 3.3. Data diferencijalna jedna~ina
1° Na6i opsti integral date 2° Odrediti ono partikularno (posebno)
dovo1java po~etne us1ove: Y-Y'•Y"•l za -.
Resenje.
ine
1° Imamo: 3~-1?).+1~0 =1;>0.-1)(2+2 -15) .. ""'> '}.. 1' ' :Z• "\ 5 · .... _':3 •
... ". .. t "i .. "'' 1\.3-- =>1"' ' "2 .. - t
=> y.Ol +2 .3+3 -5.
2° Di.rerenciranjem jednakoati (l) doijamo
Y'•Ol .+32 .3_53 -5
y" .. cl + 92 3 + 2503 -5.
(1)
(,2)
(3)
.
Iz(l), (2) i (3), uzimajuci u obzir date pocetne uslove doijamo
1 + 302 - 503 = 1,
1 + 902 + 2503 .. 1.
Resenjem aiatema jedna~ina 4 izlazi 01 = 1; 02 = ,
trazeno partiku1arno resenje . .
3.4. Data diferencijalna jednacina
' t '+6"+11'+6 = .
1° Naci opste resenje date jednacine.
19
2°· Odrediti partiku1arno resenje koje zadovo1java pocetne us1ove: = 1; ' = -3; " = 9 za = .
Rezultat. 1° = 1 - + 2 -2 + 3 -3; 20 = -3.
:;.5. ReSiti diferencija1nu jednacinu yiV - 13" + 3 .. .
Uputstvo. Pripadna karakteristicna jednacina resava se sme­ nom 2 = t. Rezultat : = 1 2 + 2 -2 + ; ; + 4 -3.
:;.. Resiti diferencijalnu jednacinu " - 4' + 4 .. .
Resen.ie. Imamo 2 - 4 . + 4 .. =;> .1 "' 2 • 2.
k = 1 dvostruko resenje karakteristicne jednacine, to su
dva partikularna, 1inearna nezavisna resenja date diferen­ cijalne jednacine,
2 2 ( ) 2 = 1 + 2 .. 1 + 2 trazeno opste resenje.
3.7. Naci opste resenje diferencija1ne jednacine
" + ' + 9 • .
Rezultat. .. (1 + 2) -3.
:;.8. Odrediti jednacinu krive • () koja zadovo1java diferen­ cijalnu jednaCinu
- " + - 8 .. prolazi kroz tacke (,) i (1, 2) i u tacki, Cija apscisa • , ima tangentu ciji koeficijent smera k = 1.
Resenje. Nadjimo prvo skup svih krivih koje zadovoljavaju datu diferencijalnu jednacinu. Drugim
djimo opete reenje date jednacine. Imamo:
20
na-
(1)
Kako trazena kriva to njena jednacina = 1; • .. 2 ,
2 prolazi kroz tacke (0,0) i (1, ) t mora biti zadovoljena za = ; = i iz (1) doijamo
(2)
(3)
Koeficijent smera tangente na krivu • () u tacki cija apscisa 1 jeste ', iz uslova zadatka sledi: '(0)=1.
Dojamo ' .. [ 201 +02+2(02+0~ +2_,2 2 -:::'?
~ 1 • '() " 201 + 2 • (4)
Resavanjem sistema jednacina (2), (3) i (4) dobijamo
1 2 1 .. 3 .. ; 2 .. -:> .. •
3.9. Data diferencijalna jednacina '"'-3'+2 .. .
1° Naci opste resenje date jednacine. 2° Odrediti partikularno resenje koje zadovo1java pocetne
uslove: .. ' .. " .. 1 za = . ( ) -2 Rezultat. 1 = 1+2 +03 ;
2 .. .
Resenje. Imamo
' 4-4 3 + 3 2 +4 -4 = =* 2 ( 2-4 +4 )-( 2-4 +4 ). .. =»
~.-2-1)(71.-2)2 = "*1=1; ~=- _,= 4 = 2.
k su =1 i .=-1 jednostruk., =2 dvostruko resenje karakteristicne jednacine, to su
;:1 = ; 2 = -; 3 = 2; 4 = 2
21
cetiri partikularna linearno nezavisna resenja date line­ §rne diferencijalne jednacine,
- · ) 2 = 1 +2 (Z + 3+4
tra~eni opsti integral date jednacine.
3.11. Naci opste resenje diferencijalne jednacine
yiV - 8" + l = 0.
) 2 ( ) -2 Rezultat. = (1+2 + 3+4 ""'· •
3.12. Resiti diferencijalnu jednaCinu "+2'+2 = .
2 Resen;U!,. Imamo +2 +2 = ~ 1=-l+i; 2--l-i ==:>
~ 1 .. ._-xcosx; 2= Q,-xsinx =>
-..:;. = Cl - SX+C2 12. -xsinx • ( Cl cosx+C2 sinx ) -.
3.13. Resiti diferencijalnu jednacinu " + 4 .. .
Rezultat. = cos2x + sin2x.
3.14. Odrediti partikularno resenje diferencijalne jednacine "1 ' +8 = , koje za.j.ovoljava pocetne uslove: =~ '= [3;
" .. 2 [3 za = •. Resenje. Nadjimo prvo opste resenje date jednacine. Imamo
/1.3+8=0~ (7\+2)(2-2+4) .. ~ 1--2; 2==l+if3; A:;=l-i.J3 ~ yl = -2; 2 = (.3); :;= exsin(3x) =>
::=:>., 1 .-2 + [c2cos(J3x)+C:;sin(;'x)J . (1)
"""''..~. .... "'. jednakosti (1) doijamo
[ cos( 3)- .[3sin (f3x)J +
+sin(J3x)J ~ (2)
[s(3) +J3sin(;x) +
22
41 - 22 + 233 .. 23.
Resavanjem sistema () dobijamo 1 • 2 .. 3 m 1.
Stav1jajuci dobijene vrednosti za 1 , 2 , 3 u mo trazeno resenje
..
10
2° Na6i partikularno us1o- ve: ,. " .. ; ' .. 1 za .. .
Rezu1tat. 1° = 1 e-x+C2cosx+C3tnx; "' sinx.
3.1. Resiti diferencijalnu jednacinu yiV+l0y"+9y = .
Rezultat. = c1cosx+C2sinx+C3cos3x+C4sin3x.
",~~,
3.1(~ Naci opste resenje diferencija1ne jednacine "- = x2-x+l.
Resenje. Imamo "- .. ~ 2-1 = . 1 , 2 .. :!:1 -=9 = ,
- 0 1'>- 2 = ~ = 1 + 2"' •
Partikularno resenje date diferencija1ne jednacine trazice­ mo u oliku: 0 = Pm(x)e.oLx. Kako u nasem slucaju: d.,.=O
(i pritom ~nije koren karakteristicne jednacine), m = 2, to dobijamo
0=2++ =» ~ .. 2+
"*2 - ( 2++)=2-+1=
""'\~"~ = 2 =!>
2 - -+(2-)
= 2-+1 ~ - = 1, - = -1, 2- = 1 =;> =-1, 1,
= -1 =;0 -2+-3. Trazeno opste resenj.e date 1inearno nehomogene jednacine jeste zir opsteg resenja pripadne 1inearne homogene jedna­ cine i partikularnog resenja nehomogene jednacine, tj.
- ( 2 ) = 1 + 2 + - +-3 •
23
:r"+5'+ = :;.
Naci posebno resenje diferencijalne gednacine "- .. ,
koje zadovoljava pocetne uslove: = 1; '= -1 za = .
Rezultat.
Resiti dif'erencijalnu jednacinu '1-2'+ == 4 .
Resen,je. Imamo "-2'+ .. """ 2-2 i\ +l .. :> 1 .. i\2 .. 1 ~ • ,. "'*' 1 .. v ' 2 = ='> .. l ><- + 2 •
Slobodni clan, 4 date nehomogene linearne diferencijalne jednacine olika: Pm(x)~x, gde m =; d=l ~
koren (dvostruki) karakteristicne jednacine. Dakle, parti­ kularno resenje date jednacine trazicemo u oliku: .. = 2 • . Dobijamo
0
0=2 -.::> ' = (2+2) ~ :r"=aex(2+4x+~) ~ *(2+4+2 ) -2 (2+2) +2 .. 4 ::;:.
=?-2 .. 4 ~ = 2 =? = 22.
Konacno, trazeno opste resenje
( 2 = .. 1+2+2 ) •
3. 21 Odrediti diferencijalne jednacine
traziti u oiku: 0 = . Rezultat
24
1"""
jednacine. Dakle, partikularno date jednacine tra- zimo u oiku: = [ ( eosx+(CX+d)sinx] • Doijamo 0 ., [ (+) COSX+(CX+d) ( .X+CX+a+b+d)COSX + + (-ax+CX+C+d-b) ~ COSX + + 2(-a-+c-a:x)sinxJ ~ 2(c:x+a+c+d)cosx+2 sinxj - [ ( +) cosx+ (cx+d) sinx : = -:::;> [(2-.)+2-+2+2d]
· sx+ [ ( -2- )-2-2+2-d] sinx .. xsinx =9 2-=0; 2-+2~+2d =; l2a-c =
1 t; -2a.-2+2cld (=( ~)·-~;
= - ~; = - 5; d = ~ 9 0 = - ~ 10+2 COS:X +
+(5x-14)sinx]ex. Konacno,trazeno opste resenje da.te dife­ rencija1ne jednacine
=1 +2-- h [ 2( 5x+l) cosx+ (5-14) siroij .
3. Na6i opsti integra.l diferencija.lne jednacine
" - ' + = -13si~x.
' ""'·"
Uputstvo. Partikularno resenje date diferencija1ne jedna­ cine treba traziti u oiku: 0 = acosx+bsin:x. Hezultat
: = -sinx+2cos:x+C1 ex+C2e-x.
z 3.26~) Resiti diferencijalnu jednacinu
" - 4 = [( -4x+4)cos:x-(2x+)si~. Uputstvo. Partikularno resenje date diferencija1ne jednacine treba traziti u oik-u: 0 = [Cax+b)cosx+(cx+d)sinxJ. Rezultat : = ex(xcosx+sin:x)+ 1 2:+2-2.
Data diferencija1na jednacina "+ = xcosx. 1° ~a6i opste resenje date jednacine.
25
2° Odrediti ono partikularno resenje, koje zadovoljava po­ cetne uslove: = ; ' = ~ za = .
3.28.
Resen;ie. 1° Imamo "+ = --'7 il.2+1 = ~ 1 2 = :!:i ~ '
.::::> 1 = cosx; 2 = sinx 9 = 1 cosx + c2sinx.
Slobodni clan, XCOf:!X, date jednacine olika:
Am () eoLxcosx + Bm () e.zxsinx, gde Bm () =0; m=l; "(_ =0;
ao(:!:i jesu koreni karakteristicne jednacine. Dakle, parti­ kularno resenje date jednacine trazi6emo u oliku: 0 = [(+) cosx+ (cx+d) sinx]. Doijamo
0=[(+) cosx+(cx+d) sinx] =9 ~= fx2+(2a+d)x+J cosx +
+ [-ax2+(-b+c)x+.d] sinx => ~ = [ -ax2+(3c-b)x+2a+2d]cosx +
+ [-cx2-(4a+d)x-2+c]sinx ~ [-ax2+(3c-b)x+2a+2d]cosx +
+ [-cx2-(4a+d)x-2b+c] (ax2+x)cosx+(cx2+dx)sinx ..
= xcosx ~ (3cx+2a+2d)cosx+(-4ax-2+c) sinx = xcosx .::::;;:..
~3x=l; 2a+2d = ; -4=0; -2+=0 ~ =; = ~;
= ~ ; d = ~ 0 = ~(cosx+2xsinx). Konacno, opste resenje date jednacine
= 1 cosx + c2sinx + ~(cosx+2xsinx). (1)
2° Iz (1) sledi y'=-C1 sinx+C2cosx+ ~(cosx+2xsi~)+
+ ~(-sinx + 2sinx + 2xcosx)
= x2sinx + +
krive koja
= sin2x i u tacki (,) ima tangentu elnu osi.
na6i partikularno
opste
Uputstvo. Partikularno cine treba traziti u oiku: : = - ~osx+C1cosx+C2sinx.
3. 32. liaci opste resenje diferencijalne
"+9 .. 2cos3x-5sin3x.
"' sinx.
cine treba traziti u oiku: y~(acos3x+bsin3x). Rezultat : = ~(5cos3x + 2sin3x)+C1cos3x+C2sin3x.
3.33. Na6i opsti integra1 diferencija1ne jednacine "+4 .. ~=~·
Resenje. Imamo "+4==0 .. t.2+4=0 --9 1 , ;! 2i ~
9 1 = cos2x, 2 = sin2x.
Opste resenje date diferencijalne jednacine odredicemo me­ todom varijacije konstanata, tj. trazicemo ga u oiku
= 1 ()1+2 ()2 •
Imamo:Ci(x)cos2x + C2(x)sin2x =,
2 () = ~ dx = ~ + D2•
Doijamo
"-2'+ = L •
Rezu1tat. = ( ln/X/-1)+ ex(D1+D2x).
3.35. Data diferencijalna jednacina 2
"-2'+ ., +3+2 •
1° Naci opste resenje date jednacine. 2° Odrediti ono partikularno resenje, koje zadovo1java po­
cetne us1ove: (1) =1, ' (-1) .. -1.
Resenje.
1° Imamo "-2'+="""' 2-2 +l= = i\1 .. 2·1 ~
~rimenom metode varijacije konstanata dobijamo
' 2+2+2 -. • 2+2+2 6- =*" 1 ) 2 ' 2 () = :; "9
= 1 () .. 2+2+2
- 2 e-xdx, 2() .. ~:~+2 e-xdx.
Pos1ednja dva integra1a odredicemo metodom parcija1ne inte­ gracije. Imamo:
1 () = - -xdx-2j : dx-2 :; dx ..
28
- +~ dx + 2 :; dx ,. -
- - 1 + 2 dx + D2 .. - L-(1 + ) +D2•

Ko.nacno dobijamo
• 1 + ~ + D1ex-1-; + D2xex • ~ + ex(D1+D2x).
2° Imamo: ' • - 12 + ex(D1+D2+D2x),
(1) .. 1 ~ 1 .. 1+ (D1 +D2) "* D1 +D2 • ,
) -1 ' (-1 = -1 => -1 .. -1 + D1 D1 • .
dx +
Dobijamo: D1 = D2 .. , • ~ trazeno partiku1arno re­ senje.
3.36. Naci ono partikularno resenje diferencija1ne jednacine
"- = 4 + ......!_ t
Rezul tat. = - 4.
()
=; "({) = -2. .---
Rezultat. = ~sin2x.
Rezul tat. ~ ; +
3.39. Naci opste resenje diferencija1ne jednacine (1 - 2)"-'+ tY = ,
29
ako pozna.to da ;r1 .. Ji.;:; jedno njeno pa.rtik:ula.rno resenje.
Reseie. Drugo partik:ula.rno resenje date diterencijalne jed­ nacine i
odnosno
~ i~X2 ... ~tn 1-2 :r2 .. ~l+xJe dx '" Jl+x dx •
l+x 1+
.. 41+ ( dx .. Jl+x l+x --=dx:::.-~ (l+x)41-x2 1- (1+)2
Uvodjenjem zamene 1- .. t 2 -+- _g__ .. - tdt, pos1ednji l+x (1+)2
integra1 postaje ;r2 • J1+x]-dt .. ~1+ <-t+c) ..
. Jl+x (-~::+ )·- ;:;+ fl.;. Posto smo trazili samo partikula.rno resenje mozemo staviti • , :r2 • - 1-.
Sledi: .. 1 1 +2.2 .. 1 l+x - 2 Jl-x trazeno opste
resenje.
(sinx-cosx) y"-2sinx•y'+ (cosx+sinx)y .. .
Naci opste resenje date diterencijalne jednacine, ako ;r1 • jedno njeno partikularno resenje.
• + c2sinx.
(cosx+sinx)y"-2cosx•y'+(cosx-sinx)y • .
1° Ako yl .. cosx jedan njen pa.rtikula.rni integral, naci opsti integral date jednacine.
2° Odrediti ono partikularno resenje date jednacine, koje uslove: () - ; 9 () • l.
3.42. Data
2° Odrediti ono
2° Odrediti ono partikularno resenje date jednacine, koje zadovoljava pocetne uslove: y(l) = y'(l) • 3.
Rezultat. 1° • c1x2+c2 lnx; 2° • ;(nx.
3.44. Data diferencijalna jednacina (-1)"-(+~'+2 • .
1° Odrediti konstante ,, tako da 1 = 2++ bude re­ senje date jednacine.
2° Resiti datu jednacinu.
Resen.ie. 1° Imamo: 1 "' 2++ ~' = 2+- " "' 2 ~ ~(-1)2-(+1) (2+)+2(2++) =~
=;. -2+2 .. =i> = , = .
Uzmimo = = 1, 1 = 2+1 jedno partikularno re­ senje date jednacine.
2° Imamo:
2 -- ~:i dx 2 ex+2ln(x-],) 2=( +1) 2 2 dx= ( +1) 2 dx =
( +1) +1
31
Dobijamo da =·1 (2+1) + 2, trazeno opste resenje
date diferencija1ne jednacine.
3.45. Data diferencija1na jednacina (2-3)"+(-2)'+(3-6) "' .. .
1° Odrediti konstante ,, tako da 1 .. 3+2++ bude partikularno resenje date jednacine.
2° Resiti datu jednacinu.
3.46. Data diferencijalna jed:nacina 2"+4'+2 "' .
1° Odrediti konstante ,, tako da 1 = ++ * bud~ resenje date jednacine.
2° Naci opste resenje date jednacine.
Resenje. 1° 1=++ * =>yi=a- ~ _">
==.> +2 .. ~ .. .. 1 =-
• - dx .. - ~ = 1 f 2 -4{nx 1 Jdx __ 1 . _1 :
" .. 1
32
3.48. Odrediti opste resenje
ako data jednacina ima jedno resenje oika.
• ~:1 , gde konstanta koju treba odrediti.
Resenje. Odredimo konstantu tako da 1 • bude date jednacine. Imamo:
2 " .. ::::;>
1 (-1).?
=9-(-1) 2 ~ · + (-1) - 2 ~ (-1)3 (-1) - -~
2 · proizvo1jno. = -1 - -1 - -1 • ~
Dakle, mozemo uzeti • 1, 1 • -1 jedno partikular-
no resenje date jednacine. Dalje imamo
X-I Jdx
2 '" -1 ( x:l)2 -1 1
' dx .. -1 7 dx .. -1 (tnx+ )=
1 = -1 Lnx + -1 •
Trazeno opste resenje
= 11 + 22 = 1 :1 + 2(:1 fnx + x:IJ
= :1 ( 2+2 fnx + Cz) ·~ , .. 3.49. Data diferencij~1Pa ~Er~~i.a x(x-l') y"+(l+x)y'-y = .
l 0 Odrediti konstantu 8. 'tako da ;11 = x~l bude resenje date jednacine.
2° Resiti datu jednacinu; + 2 Rezultat. l 0 a=l; 2° = \-~
3.50. Na6i opste resenje jednacine "+(1-)'+ = 1, ako su poznata njena dva partikularna resenja: 1 .. Yi=x.
Resenje. Ako su 1 i 2 dva partiku1arna resenja diferen­ cija1ne jednacine "+()'+() = f'(x), tada
Yi + atx)yi + ()1 = f(x), (1)
2 + ()2 + ()2 = f(x). (2)
Iz (1) i (2) s1edi~y2-Yi + ()(2-2)+()(2-1) =, tj.
(2-1) "+a(x)(y2-Yl) '+()(2-1) ,. , sto znaCi da
2-1 partikularno resenje pripadne homogene dif'erencijal­
ne jednacine. u nasem slucaju imamo
y"+(l-x)y'+y = ; 1 .. 2-1 ':' -1 ~
t<x-1/2
>
~(-1) 2
.. 1 1 +22 .. ( -1) [1 +2 2 dxJ • 0 (-1)
k 1 • 1 partikularno resenje date nehomogene jedna­ cine, to trazeno opste resenje date jednacine
~ (-1) 2
.. l+(x-1) [ 1+2 , 2 dxJ. (-1)
3.51. Data dif'erencija1na jednacina 4"+2'- = .
1° Odrediti resenje date jednacine u oliku potencijalnog reda
2° Sumirati doijeni red.
1°Neka '" Imamo
n~1 ~:z.
=: 4 [ - r .. t:::::;> n::z_ f)>.f n-o
"" ""' """ ~ [ 4n(n-1) [ - [ .. ...".
+ 2(n+l) ""'D
an-2
Trazeno resenje •
• [ ( )2n .. • 0 '2n) 1 ° nco \1
3.52. Naci opste resenje u oiku reda, diferencijalne jednacine (1-2)"-4'-2 = .
Resenje.Imamo:
.. [ anx:U 9 ' • f an~-1 =i> " "' L n(._n-1) an~-~ n:o "'"' n .. 2.
=9 (l-x2) f n(-1) anx:U-2-4x L ~xn-1-2 [' anx:U .. ==;;. n=2 ~., n~o
35
~ ~ ~ ~
~ [ n(n-1) [ n(n-l) anxn- L 4nan~- [ 2an~ "" "* n--z. 1'1=2. n"' n ... o "., . (!() ""
=9 'L<n+2)(.+l) an+2xn- [ n(n-l) anxn- [ 4nanxn-r 2an~ .. ~ n:.v ~= =- n.o
~f [(n+2) .(n+l) an+2-n(n-l) an-4nan-2an] "' =?> !)'<()
-:::=;> (n+2)(n+l)an+2-(n2+3n+2)~ = ~
=(n+2'\
.. 3.53. Odrediti diferencijalne jednacine
+ (-l)k +
..
..
..
(
Da bi sva date tezila nuli kad -++ . mora biti
lim (4) )(~';)<>
< .
Ako eno
2 + 1\. + q
mora da vazi: < , - < , q 7
ilip ? ; q >.
Uslov (5) i potreban i dovoljan da i sva resenja date dif'erenyijalne jednecine tezila kad - + •
rencijalne i q su
+ qy"'
di.fe- za ~ .
Resenje~ Zavisno od vrednosti parametara i q opste rese­ nje date diferencijalne jednacine jednog od
olika
.. 1 AfX+c 2
e z .. i\1x (1 +2), ( 2)
.. 1(+2 o(xsin,x = EfCX(c1cos~x+C2sin,~Jx). (3)
Da bi za ~ sva resenja date diferencijalne jednacine bila ogranicena, mora biti: l (, it2.::; (ako vazi (1)) i\1 <.0 (.k vaZi'(2)); (~ (ako vaZi (3))•
Sledi
i pritom znak jednakosti ne vazi istovremeno (tj. ne moze biti 1 ... 2 .. ). Iz pripadne karakteristicne jednacine
dobijamo trazeni uslov
~ ;. q ~; 2 + q2 -1 .
3.56. Materijalna tacka mase 1 gr. odbija se od centra pod dej- . stvom si1e koja proporciona1na njenom rastojanju od tog
centra (koeficijent proporciona1nosti 4). Otpor sredine pro­ porcionalan rzini, kretanja ( koeficijent proporciona1nosti 3). U pocetku kretanja rastojanje od centra 1 cm, rzi­
na . Nai zakon kretanja.
Reseie. Prema us1ovima zadatka si1a F, kojom se materijal­ na tacka odbija od centra, proporcionalna ras­
tojanju s tacke od centra,
F = 4s. (1)
Sila F daje materija1noj tacki akce1raciju , i takodje sa­ v1adjuje silu otpora sredine F1 , tj.
(2)
(3)
4)
Stavljajui m • 1 u (4) dobijamo homogenu 1inearnu diferen­ cijalnu jednacinu konstantnim koeficijentima
d2.,. d "' ; 6 4 "' . dt2 + -
(5)
( 5)
()
gde su 01 i 02 konstante koje cemo odrediti iz pocetnih ds 0 uslova zadatka: s • 1; v • • za t • .
Imamo
.. t y,z)' (1)
y,z)'
au i z nezaviano promenljive . Sitem (1) moze se napisati i u tzv. simetricnoj formi
(2)
)
Opsti integral datog istema skup dva tzv. ·prva integrala
Resiti dati sistem znaci na6i opste resenje ili opsti inte- gral.
Mnogi normalni sistemi od dve diterencijalne jednacine mogu resiti vodjenjem datog sitema ll) na jednu diferencijalnu jednacinu drugog reda. postize diferenciranjem jedne od datih jednacina istema (1) i eliminisanjem druge nepoznate funkcije i njenog izvoda. Neki , pak, itemi lakse resavaju tako, da ih napisemo u oiku (2), im onda odredimo prva integrala, amim tim i opsti integral.
4.1. Na6i opste resenje sitema diferencijalnih jednacina
' .. -z; z' "' •
Resenje. Zadatak cemo resiti vodjenjem datog itema dife­ rencijalnih jednacina na jednu diferencijalnu jed-
39.
" • -z'. (1)
k z' .. , to iz (1) s1edi " .. - =9 " + .. .
Im.amo
2+1 ... =-, 711 , 2 = .:!:i ~ 1 = cosx, ~ 2 • sinx =
""'9 • 1 cosx + c2sinx.
4.2. Naci opste resenje sistema diferencija1nih jednacina
' .. z; z' .. •
• - 1 sinx + 2 cosx + xsinx,
- xcosx.
4.4. Dat sistem diferencijalnih jednacina
' .. 1 -! i z z' .. ..!.... -
1° Naci opste resenje datog sistema. 2° Odrediti ono resenje, koje zadovoljava pocetne uslove:
.. -1; z .. 1, za .. .
10 Imamo 2 2
z
Sledi
z' Jz" Jz' ' 1 "' _,. -;; dx • -z dx ~ Ln z' .. tnz+cnc1 =::> z' z z
11 _z' :::=:;. tnz' .. encl z - z' .. cl z ~ z
'::>' dx .. 5 cl dx '=:> tnz .. cl x+!nC2 ~
40
1° Naci opste datog sistema.
2° Odrediti ono resenje = z 1 za = .
Rezultat. 1°
ina ' '"
Rezultat. =- c1sinx + c2cosx; z =
2° = sinx; z = 1 - cosx.
ulove:
uslove:
4.7. Naci opste resenje sistema diferencijalnih jednacina ' = y+z, z' • -lOy - z.
rtezultat. = c1cos3x + o2sin3x; z = (-01+302)cos3x­
- (301 +02 )sin3x.
4.8. Naci opste resenje sistema diferencijalnih jednacina
' = y+Z, z' .. (- ~ + ~- lJY +(~ -1 )z Rezultat. = 1+22 , z = o1(l-x)+02x(2-x).
4.9. Na6i opste resenje sistema diferencijalnih jednacina 9 = X+Z 9 z' = z2+2XZ+X2-l.
Uputstvo. Diferenciranjem prve jednacine, uzimaJuc~ u obzir . da z' =(x+z) 2-l = 22-1, sistem se svodi na
diferencijalnu jednacinu " = ' • Rezultat :
41
.9::! .. ~ .. ~. z
Resenje. Imamo d~ = f => {nx = fny - [ nC1 ~ 1 ~
(2)
Sa (1) i (2) dati su prvi integra1i datog sistema. Trazeni opsti integral jeste
4.11. Naci opsti
.9::! .. ~ ..
dx d:v . dz -2-~--. (z-y) z
Rezultat. 2 2x+(;r-z) ..
1
(2)
nepoznata tunkcija, zove se parcijalna diterencijalna jednacina k~tog redlil..
Red najviseg parcijalnog izvoda, koji ulazi.u sastav jed­ nacine (1), naziva se red jednacine (1).
Ak:o nepoznata tunkcija z .. z( ~tX2t•••,xn)' onda opsti oik parcijalne jednacine prvog reda
11'(:~]. tX2t • • • ,~, z, 2' .. • • tPn) ... , (:3)
gde pi • ~~i , i • 1,2, ••• n,
Jednostavnosti radi, dalje izlaganje odnosi6e se na tunkciju
z .. z (,)
gde .. ~;
(4)
45
Homogena linearna jednacina prvog reda ima oik
(,) ~~ + ~ (,} §~ • . () Svaka funkcija z z z(x,y) koja zadovoljava jednacinu (31)
zove se partikularno resenje (integra1) te jednacine.
Opste resenje jednacine () ima oik
(7)
dx -= (,)
dy Q(x,y)
F proizvoljna neprekidno diferencijabi1na funkcija
Opste resenje jednacine (5) ima oik
F [ " (, , 'Z); 't'2 ( >< 1 , Z ) =
(8)
(9)
gde su Ji(x,y,z) • ci (i 1,2), prvi integrali sitema obicnih diferencijalnih jednacina
dx
(10)
Za jednacine (5) i () Cauchy-ev proem satoji u nala­ zenju partikularnog resenja
Z "' f(x,y)
(11)
(12)
Za jednaCinu (5) trazeno partikularno resenje (1 ima ob­ lik: Z "''f{W['()(,V))), pri cemu .. W(o/)resenje jedna­ c ine (
0 , ) "' \i) •
Za jednacinu ( trazeno partikularno resenje (11) ima ob- lik: [~1 (, v ,z.)? t.p2(x,v,z.))='f [w1(\fl.,(x,v,7.), ~ (,,7.)]}
pri cemu .. w1(.:P1 ,'1':z.);2""Wz(i1 ?LP2 ) resenje sistema
'+'" (Xt:P , 2 ),.. ~ ; 4'2 =(0 , , 7.) ""~2. •
Proem koji se u tome da nadje partikularno re- (5) koje ~L.V integralnu koja -
drzi krivu .. nacin:
4
Prvo
gde su (i• 1,2,... date • 1,2,... , zove se P!aff-ova diferen~ijalna forma promenljivih 1 , i=l 9 2 ••• n , jednaCina oika L. Xi ( ••• ,..,) dx]. ... zove se Pfaff-
t•1 ... ova diferencijalna jednacina promenljivih (1 m 1,2, ••• ,n).
Ogranicicemo ria jednacinu oika
(x,y,z)dx + Q.(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ..
Jednacina (1) integrabilna ako i samo ako
( *- g~ ) + G ~ - ~~ ) + R ( ~ - ~) =
(1)
(2)
Ako zadovoljen uslov 2 moguca su dva slucaja. Kada
=
onda leva strana jednacine (1) totalni diferencijal neke fun­ kcije U(x,y,z) i njeno resenje dobija se rormuli
z. U(}(,V,'Z)", P(X,V,'Z)d~+j Q(X01V,Z)d.y+j R(X0,'10 ,2)d7.= (4)
~ Zo . ~ko uslov (3) nije ispunjen postupa se ovako: uzima se da
u jednacini (1) jedna promenljiva, recimo z-konstanta, se resi n diferencijalna jednacina
47
P(x,y,z)d + Q(x,y,z)dy • 0 9 (4)
gde Z parametar. Resenje ;jednacine (4) oika U(x,y,z) .. • C(z), gde ; C(z) u opstem sluca;ju funkcija parametra z, koja se odredju;je, tako da ;
~~ dx + ~~ dy + [ ~~ - C)(Z) ]dz = (5)
Upored;ju;ju6i jednacinu (l) i uslov (5) dobi;ja se .?JU U 'U _ C'(Z) = v = ~~z~--------- G. R
Funkcija c(z) odred;juje se iz jednacine
-u u _ C'(z) ' "'" __.;>;..:;Z:__ __ _ ()
R
koja zbog uslova (2) zavisi samo od z, c'(Z) i U(x,y,z)• C(z).
1°. 3. t1etoda Lagr.ange-Ch!rpi t-a
Neka data jednacina
F z,p,q) .. (1)
Skup resenja te ;jednacine, koji se javljaju U-Oliku V(x,y,z,c1 ,c2) • , gde su 1 i 2 proizvo1jne, medju sobom ne­ zavisne konstante, zove se potpuni integra1 jednacine (1).
jednacine (1) d se metodom Lagrange-
..
dz ..
(2)
z,C1); q .. (x,y,z,c1).
skup ed.naCina
predstavlja opsti integral jed.nacine
Geometrijski, to obvojnica zavise od jednog parametra i jedne proizvoljne
Cachy-ev problem za jed.naciDu F(x9y,z,p, potpuni integral z • V(x,y,c1 ,c2),
kularnog integrala z = f(x,y) koji koja sadrzi krivu • 0 ; z -~().
Pri resavanju Cachy-evog zadatka moguca su dva'
/ Ako su uslovima V(x 0
,y,Cl'C2)•cl(y);
koje
_velicine 1 i 2 odredjene kao konstante, zamena njihovih vred­ nosti u potpunom integralu z = V(x,y,c1 ,c2) daje trazeno par­ tikularno resenje z .. f(x,y)
/ Ako su uslovima V(x 0
,y,Cl'C2) ... ot(y);
velicine 1 i 2 odredjene kao funkcije od Ci • znaci da izmedju tih velicina postoji odredjena funkcionalna za~ visnost 2-(1), koja se dobija kada se eliminise iz relacije Ci•Ci(y),(i=l,2~, i tada trazeno partikularno resenje(Cauchy-ev integral) doija iz opsteg resenja:
z .. V(x,y,c1 ,2 ), .:2:!..... + ~~ 'f 1 (1) .. , gde umesto proizvolj­ ac1
ne funkcije 'f(c1) treba staviti funkciju (1) i eliminisati para-
49
Potpuni integra1 jednacine (1) dobija se bez teskoca u s1e- decim s1ucajevima
1/ Ako F(p,q) • , stav1janjem • 1 , gde 1 proizvo1jna konstanta, dobija se F(01 ,q) • , odakle q = f(01) ,dz=pdx+qdy-
·01 dx+f(O? dy • Prema tome, potpuni integra1 oblika
Z • 1 + f(O~ + 2.
2/ Ako F(x,p,q) • , stav1ja se q • 1 i dobija F(x,p,Oi)• , tj. • f(x,o1) • dz • f(x,o1)dx + o1dy, te potpuni,integra1
Z ... f(x,01) dx + 1 + 2 •
Ako F(y,p,q) stav1ja se • 01 i da1je postupak nala­ zenja potpunog integra1a s1ican gornjem.
~/ Ako F(z,p,q) • 01 onda se stav1ja • o1q, odakle F(z,o1 ,q,q) • , tj. q • f(o1 ,z), te potpuni integra1
f(C~' z) dz .. 01 + + 02 •
4/ Ako se jednacina F(x,y,p,q) • moze napisati u oiku~(x,p)• .. (,q), onda se stav1ja (,) .. 'P(y,q) .. 01 gde 01 proiz­ vo1jna konstanta i resavanjm i q, kada to moguce, dobija redom .. ~ 1 (,1), q • 1 (,), dz .. pdx + qdy .. 'f]. (x:t 1) d.x +
+ '1'1 (,1) dy , z ... 'f 1 (,1) dx + ]'f1 (x,y)dy + 2 • Ako su poznata dva nezavisna prva integra1a Fi(x,y,z,p,q) • • Oi,(i. 1,2) sistema (2), koji odgovara jednacini F(x,y,z,p,q) • • i ako ispunjen uslov
(I) D( F1F2) - D ('1'2) .. \ , q,y
onda , kada to :m.oguce, potpuni integral jednacine F(x,y,z,p,q) • dobija eliminacijom i q iz jednacina
F(x,y,z,p,q) .. 0 1 Fi(x,y,z,p,q) .. Oi' (i•1,2).
1. Data jedn.Cina + yq .. (1) Naci opste resenje jednacine (1);
/ Naci koje ulov z .. r.ax•1;
/ Izm.edju koje one koje zadovoljavaju i jednacinu
2 2 2 :r4
+ q • (2 + 2)3
ResenJe. / Jednacina ~ .. koja odgovara (1)
razdvaja prom.enljive. Njeno • re-
senje jednacine (1) z • F () . / k i -~(,), to
.1. Trazeno reenje z .. ~ 'f'
/ Stavim.o i t. k
1 - 1 ... 1 , odnosno. .. ~
:L , tj .. z .. "'
'Z oF at 1 1 'Z "::f: t ' - '" "' a-t C'X=ft. ; q'"'" = Ft;--ay=-Ft•yz ' to 2 + q2. (F.')2. (-1-+ :>C'-) ... (F.')'l xt+Y'-::: 0ty~ .
t '/~ t; ~ (!2+)'2.)3)
( ) 2 a2z8 2
odnosno Ft .. 2 2 4 • (-2~-.,..)"1!"4 , Dakle , ( + ) t + 1
F(t) .. :.!: ~s dt .. :!: -4'L + .!. arctgt + 0 9 tj. (t2+12) t~+1 z
z • F - • -~ -( ) + ~ + +
~ drctg i + •
2. Naci opste resenje jednaCine -._~~ +(1<y-2:z:2) ~~ +XZ ~~-= i Cauchy-eve integrale koji odgovaraju pocetnim. us1ovima:
al u • - ; • 1 ; / u • + + 1; z • 1 ,
Resenje. Datoj jednacini odgovara sistem d~ • ~ 2 - .... 2 xy-2z dz =--· xz
dx d2 Iz -·­:.;.::: xz
sleduje ~ .. 2 ' odnosno xz .. cl. k - z
51
/ Resavajuci sistem Z "' ;.., ; + ~'1. .. i1 i Z dobija se _ ., iil _ ;-.,1 , z ,. qJ -
"~'1 1 • 1 •
Tra.zeno resenje glasi: U .. - 4'1 + \fi;f .. (x2-l):i - .
/ Resavajuci si.§ltem "' ~-~ ; + 1 = CV2 i dobija se = ~ ; • l~ . .-~ • Trazeno resenje glasi:
lf'1
U .. lf', + 1 '.-1 +1 = exz. +- t z2 . ...,.,1
3. Naci jednacinu povrsi (S) koja normalna na sferu 2+2+ 2 • drv' +Z = ~ sa z~ pravu ; z = •
R.esenje. Neka z .. z(x,y) jednacina povrsi (S). Vektor normalan na p6vrs (S) N!p,~·"':':1}. Neka N1{ppq1-],L ve~­ tor normalan na sferu 2+ +z • . k su vektbri N i N1 prema uslovu zadatka medjusobno normalni, to njihov ska­ larni proizvod jednak nuli, tj. pp1+qq1 +1 • .
-:/- + z2 - 2 Posto _ pl • , q1 • - f , skalarni proizvod 2zx
- - + z2 - 2 . N·N1 • postaje 2xz - z q+l • , odgova-
-:/- + z2 -rajuca parcijalna jednacina 2 2
- yq .. -z. Iz
sistema 2xdx • ~ .. ~ dobija ? + z2 - 2 - -z se , ... ~z , odno-
dz .. - tj • -z
.. ~. Opste
2 + ·i + 2 Za z ,. , prvi integrali postaju t .. ~ ,. 'z.•
- + - 2 2 2 Odatle .. ~ , .. - ;2 - ~ - • Smenjujuci
nadjene vrednoti za i u izraz • , posle sredjivanja, doijamo z(x2 + ~ + z2) ,. (2~ + ) .
4.
5.
dx+ .. Resenje. Uslov zadovoljen i tom.e
Resenje. Ako se stavi z • const, onda zbog dz = data parcijalna jednacina postaje obicna diferencijalna
jednacina (2x2y+l)dx+x3dy. cije resenje (vidi uvod)
2 + tn1x1 = C(z). Daljet redom sleduje
c'(z) "' - tgz ;
7. Naci potpuni integral jednacine z = pq i njena partikular­ na resenja koja zadovoljavaju uslove al = , z = ; / = , z = ~. Resenje. Jedan prvi integral odgovarajuceg sistema ocnih
diferencijalnih jednacina za jednacinu z = pq • c1q. Sistem jednacina z • pq; 3 c1q; i q ima
resenje
53
... 1 qt q = ~ , . te se iz dz .. 4 1 z dx +%,
dobija potpuni integra1 2 z .. 1 + l;= + 2 date jed­ -t01
nacine.
/ Iz sistema jednacina .., ..1:.... doi- ~·
se 1 = ; 2 "' . te 2 .. ;_. Eliminacija para­
metra 1 iz sistema 2 z - ;_ + ~ + ;. ; . "01 .
= -!__ - + ..1:...._ dovodi do trazenog Oauchy-evog 20;_ 201~ 2;_
integrala z • (x+l)y,
/ Iz sistema jednacine 2 • ~ + 2 , \101
2 1 doija .. ; se 1 • t; 2 • . Zamenom ovih vrednosti u jednacinu
2./Z .. ;_ + ~ + 2 i sredjivanjem dobija se trazeni "01
Cauchy-ev integral 16 Z = (+4)~
Zadaci za vezbu
Rezultat. F(yx2x3 - 2x2yz) • ; 2x2yz • 3 + ;.
2. (+ xz)p +(x+yz)q 1-z2; z • ;, 2(+)= sin 4(-).
F [ (+)( z-1) , (z+1)] • ; (+) (z-1) "' sin ( x-y)(z+l) •.
2 xzp + yzq • - ; • , z • •
F ( , + ) "' ; +
4. + yq ~ 7z ; - 1, z m arcsiny •
z .. z .
5. )2 au u u .. , u .. 2 ( (z-y - + z + - .. ,
: oz Rezultat.
U·F[I 2 - z • 2 + (.z-y)2J u .. 2 [ (y-z) + ].
. - yq .. , .. l, z .. ;.
Rezultat. z .. F(x·y); z .. x2i.
7 au .. ~ .. u,· k( ':3 3-. 2 • ' + Y":f!Y + .. aZ .. , u • y-+Z-)8..
Rezultat. F (f, 'i, ~) .. ; ~u"' k (3 + z3)a2•
•. NaCi jed.nacinu povrsi (S) koja normalna na pov:rs xy-za i sadrzi krug 2 + 1. 2 , z • . Rezultat. Parcijalna jednacina glasi yzp + xzq .. -ry. Op­
sti integral F(x2-l, 2 + z2) • . Trazeni Cauchy-ev integral ~ + 2 + 2z2 • 2 + 202•
9. Naci jednacinu cilindricne pov:rsi (S) cije su generatrise paralelne vektoru v .. {1, 2, 3 , direktrisa ~ data ed- .
nacinama + + z • 1; (x-lf + i . 2 • Rezul tat. Parcija1na jedna.cina glasi ~~ + 2 ~~· + ? ~ .. . Opsti integral u • F(2x-y; 3x-z). Parametarske jednacine direktrise su • cost + 1, = sint, z • - coet - asint.
razeni Cauchy-ev integra1 (5 - - z - 5)2 + 4(2 - - z + 1) 2 "' 36 2 •
Resiti s1edece jednaCine 10. 2(y+z+l)dx - (x+z+2)dy + (2y-x+z)dz = .
2 Rezultat. 2x(y+z+l)-y(z+2)+t- =.
11. yzdx +(xz-yz-,)dy - 2xydz • .
Rezultat. Ako se stavi yconst, onda se zbog dy=O dobija yzdx•2xydz 9 odnosno 1ux-1uz2 • lu~(Y) tj.
~ ='((). Iz proporcije - z

1 - ~() .. <f '), "t' (.)+ ~ \f(y)= 1 te
~() .. ,g, -+ ;r 9 odnosno ,g, + ;r "' ~ ' sto predstav1ja z 2 z
resenje date jednacine.
1 1 '1 • - - - - + - • resenJe. z
13. + sinx)dx + eYxdy + 2zexdz • .
Rezul tat. k ~ w ~ • ~ - s; • ~ -~ .. , re­
po poznatoj formuli (vidi uvod) i g1asi:
14. .. .
Iz sistema
dz "' +
z .. 1 + :.. + 2 •
15. +
16.
Rezultat. Stavljajuci • 1 iz date jednacine dobijamo
q .. :!:: 2 - ~, te dz "' Cldx ± 2 - cf dy ' odnono :!:: 2 - cf + 2 •
.. 4z.
dobijamo
dx :!::
, odnosno :!:
Rezultat. Radei kao u prethodnom zadatku doijamo
18. 1 1 ?- 2 -+-• + v q " •
Rezultat. Iz 1 - -?--1- 1 ' -- ..
q
z .. _1_ ;
{ 1 arctg [;_ - 2 lu 1~ ·' 1 ;_ -
PARCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE - DRUGOG REDA -
se =
odnosno
+ 2 •
1~ Za funkciju z = z (,) opsti olik parcija1ne jednacine drugog reda g1asi:
F(x,y,z,p,q,r,s,t) • ,
gde
( 1)
Ako se u (1) r,s,t, javljaju samo na prvom stepenu jedna­ cina 1inearna, u osta1im slucajevima nelinearna.
Za funkciju z • z(x,y) opsti olik parcija1ne jednacine drugog reda 1inearne r,s,t, : Ar+2 Bs + Ct + D = , gde su ,, funkcije od ,, D funkcija od z,x,y,p,q. Specija1no, koeficijenti A,B,C,D mogu iti konstante. Opsti integra1 jed-
57
nacine (1) funkcija z = z(x,y) koja sadrzi dve pro~zvo1jne funkcije cija e1iminacija daje jednacinu (1).
Potpuni integra1 jednacine (1) funkcija z = z (,)
koja sadrzi pet proizvo1jnih konstanata cija e1iminacija daje jednacinu (1).
Navedimo neko1iko primera • .. Opsti integra1 jednacine (1) moze biti u oiku dve jedna­
cine u kojima se javljaju dve proizvo1jne funkcije od promen- 1jivog parametra.
Diferenciranjem , odnosno e1iminisati proizvo1jne funkcije, odnosno konstante, iz sledecih funkcija.
1. zf(y+ax)+'f(y-ax).
= af'- a'f'; q = f' + 'f_ 1 ; r = aff" + al!~'';
s = af" - 'f "; t = f" + l.f ,, .
Iz date jednacine i ovih pet jednacina treba eliminisati ir • r 2 (f"+ '!'") 2
f, 'f, f', '', f'", ~ • Kako 'f = f" + '-f" = , to
parcijalna jednacina, ciji opsti integral funkcija z = f(y+ax)+ f(y-ax), glasi r- a2t =.
2 °3 2 2. z = 1 + 2 + 3 + 4 +~ + 5 , gde su Oi
jent. (i=l 1 2,3,4,5.) proizvoljne konstante, 2 stalni koefici-
Resenje.

r - a2t = parcijalna jednacina ciji potpuni integral data
U sledecim zadacima, postupaju6i kao dosad eliminacijom funkcija, odnosno konstanata, doci do parcijalne
jednacine za datu
Rezultat r - t • .
3. Z = !(+) · '(-) • 2 2 ) Rezultat. - q = (r-t z.
4. z = .t (· ) +'f(~)· Rezultat. 2
r- - 2yq = .
5. z = .t(y-x-cosx)+'f(y+x-cosx).
. z •Y.t'(x+y)+'f (+).
Rezultat. r = ~ - t.
7. z = f(x2+i)+ '{(+). Rezultat. ry .. i:~ (x+y)+s(x+y)-tx,
. z"' ' [~(x)sin:xy +'f2(x)cosxy] •
Rezultat. t - 2xq- 2x2z • .
9. z = f(3x-y) + 'f ( +).
Rezultat. r + 2s - 3t • .
10. z .. ~ 4 + t 3 + f(3x+y) +' (2+). Rezultat. r - 5s + t = •
2°. Integracij~ parcija1nih diferencija1nih jednacina drugog reda svodjenjem na obicne diferencija1ne jednacine.
Parcija1ne·jednacine F(x,y,z,p 9 r) = cx,y,z,q,t) •
(1)
59
az (/-z na (1) sadrzi samo izvode ~ i ---2- te se moze smatrati kao

konstanta, jednacina (2) samo izvode ~Zy · 92.z te s moze ;:z.
smatrati kao konstanta.
Zbog toga opsti integra1 jednacine (1) sadrzi proizvoljne funkcije od , jednacine (2') proizvoljne funkcije od .
1. Naci resenje jednacine xt+(z-xq)(3x-1nx) vo1java pocetne us1ove
1 2 1- ;.; - 1nx z(x;1) =-+ "; z'y(x; 1)= ..::.."._ __ +
q , koja zado-
Reseil,je. Data jednacina moze se napisati u oliku
1) 3x-1nx t - (3- 1nx + q + - z = , i zato
njena karakteristicna jednacina g1asi:
Njena resenja
su 1 = ax-1nx;
+ \.f 2. ) • •
Resavaju6i sistem .1. ~ ~• " ' 2 -z (; 1) ::.\.f,O) -:; + 'f2 (x)e ... +)( <2-"
1 3 .n et ?>x-enx )(
z'y (; l);;'-€1 (x)ex~t'fz.(x) -:;<"' +- ·

dobija se '(:~()::-~~ '{~( ) ~ 2 te trazeno partikularno resenje 1
"::L z(v,Y) -=- ._.:!.::......+ 2 ." .

2. Na6i opste resenje jednacine s+2xyp = .
Resenje. Data jednacina se, uzimaju6i za konstantu, moze napisati u oiku ~ + = , te
d.y 2 (,) = '-€1 (x)e-xyz, odnosno z(x,y) = jf1(x)e-xy dx+ 'fiY)
sto predstav1ja opste resenje date jednacine.
Naci opste resenje sledecih jednacina:
1. t +(zlnx -2q)lx + zln2( = .

1 (x)+'(z.('><)EnyJ.
t - q + 10x2z = . Z(x; )"' e:))(y['f-/'1() COSX)'tlf'2(x) sinxy .
xs - 3
\ 2 (- ) s+p ,. .
Rezultat. z .. '1(11:) '-)(2
sxln:x - q .. .
sinx - 2qcosx = .
Integracija parcijalnih diferencijalnih jednacina drugog re­ da svodjenjem na parcijalne diferencijalne jednacine prvog reda
su jednacine oika
1. :xr + s .. .
Resenje. Data jednacina moze se napisati u oliku ~
+ .. .
61
nje • - , te = f'(x·e-Y), odnosno
z .. f'(xe-r )dx + '() "'. f f"(xe-Y)d()(e-Y) + +- '€(v) = f( -~) + . ().
2. 2 sy + t • . Vata jednacina moze se pisati i ovako:
2 . q, od · , · · t dx fY- · • -::;7;"' + - .. • govaraJUCl. s.s em ~ .. :1.ma resenJe Q)( ~
- 2 "' C)te q"' f(x--/-), odak:le z = Jf(x~yZ)dy+'f(x).
Zadaci
S:l.ny
Rezultat. z ,. f()( 2 y)dxt'€(Y) ·
3. Naci opste resenje jednacine r - 2s • pu i partikularno re­ senje koje zadovoljava uslove
; z(x; )• -;- , z'y(O; ) • ;- + cosy.
Rezul tat.
4°. Integracija parcijalnih jednacina drugog reda svodjenjem na tacan izvod
Ako se parcijalna jednacina drugog reda moze napiati kao tacan izvod, onda lako integrali.
Resiti jednaCi:nu xrq ... (q+xs )(-1 ).
Vata jednacina moze se napisati u oliku
L (1n p-l\. 1 , odak:le q) q
Iz istema xdx .. - 'f 1() d;y .. xdz
tj. z .. + r(f. +~()}
62
Data jednacina moze se pieati u oiku
~ ( + q - z) • , te + q = z + \f(;r), odakle
dx .. dy "' Z+\f(y)
z = [2 + ~(y)dy] • Opsti integral date jednacine
z "' f(:x-y) + s~ d '
Z d i
Resiti jednacine
Rezultat. Opsti integral dat sistemom jednacina
z ± 3 + 2 'f(Y)+f(c),
.. ±
Opsti integral dat sistemom jednacina
z ± Jl + 2 '€() +- +f(c)1 !
± C'f(X) +y+f'(C). ..f1tC2
Integracija parcijalnih diferencijalnih jednacina drugog reda grupisanjem clanova
Ova metoda slicna prethodnoj. U datoj jednacini prethodno se grupisu pojedini clanovi da se doju tacni izvodi i ,
63
zatim se uvode smene, koje svode datu jednacinu na parcijalnu jednacinu prvog reda.
Primer 1. Resiti jednacinu r - a2t = . jednacina zice koja
treperi.
Resenje. Moze se pisati redom: r - as + as - a2t •
) -fp - aq + -( - aq) .. ; :>< \!
- aq .. U
U CIU v + ~ • • Opste resenje poslednje parcijalne jedna-
cine prvog reda u = f(y-ax),te - aq !(-),
odakle dx = - ~ = f(~~ax) • Jedan prvi integral ovog
dz dz sistema + .. 1 sto se dx • f<y-ax) daje dx • t(c1-2ax)~
tj. z .. f(Cl-2ax)dx+C2 ·'f(Cl-2ax)+ 2. k
2 = I.(J (1), opsti integral date jednacine glasi
z .. lf (-) + l.jl(y+ax).
Resiti sledece zadatke:
2. r + 14 s + 49 t = - .
==::..::.::=·Smena U = + 7q
3· r + 4s + 4t + .
Smena U = + 2q ....;.;;;.;;;.;;;;;;;..;;.;;;;..;;.- 3- l. 2 Z(x; ) .. - + 2 + xf(2x-y)+ 'f(2x-y).
4. r + .. t + .
Smena U • + q ===;;:..·
z .. 1
Linearna jednacina Ar + 2Bs + Ct + D .. , konstantnim C,D moze se resiti clanova.
biti prikazano na sledecem primeru.
Primer Resiti jedna:inu 3r-5s+2t+4 • .
Resenje. Stavljaju6i da - (m_ +~) .. 3
4 r -(m_+~)s+m_·~t +; • .
2 .. ; doija
(1)
Brojevi m_, 2 su resenja kvadratne jednacine m2 - m + ~ • ,
odnosno 3m2 - 5m + 2 • . Njihove vrednosti u m_ • 1,·
~ • ~. (l)moze pisati u oliku(r-m_s)-~(s-m_t)+ *-,
dn ( 2 G t) 4 ~1~ osno r-s)- ; - + • ~ 3(r-s)-2(s-t)+4 • , tj.
3 "CJ(p-q.) -2. ~(- 9) .. -4, posle smene U .. p-q i ovako '
3 ~ - 2 oU = - 4 sto predstavlja parcijalnu jednacinu <7)< ?
prvog reda U • U(x,y).
Prvi integrali poslednje jednacine su 2+3=1 i U+ ~ -2 ,
sto sleduje iz sistema ~ = ~ = * . Dakle,opste resenje
'OU L • 4 ( ) jednacine 3 - 2 = -4 U • - ; + f 2+3 • Sada tre-
ba resiti jednacinu - q = - * + f(3x+3y).
Jedan prvi integral sistema
dx ~ dz = = + =', ~to zajedno sa - -* + f( 2+ 3)
dx dz
dx dz daje -r = 4 , odakle
- ; + f(3C'- )
se dobija z = - ~ 2 + 1.{1 (3' - )+ " ' sto zbog " .. '+'(')
65
2 2 ' daje opste resenje z .. - ; + 'f(2x+3y) + \li(x+y) polazne
jednacine.
Zadatak
Rezultat.
66
Neka niza.
Opera tor kone.cne raz1 ike 1:. definisan sa: Operator definisan sa:
Zadaci: 1, 2, 3, 5, , 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14.
2° Diferencijske jednacine nepozne.tom nizu olika F(n, 62 ••• , "' "' odnosno
:xn+l' •••• ) .. . Za niz :xn kazemo da
zadovoljava odgovarajucu jedne.cinu.
Za resavanje diferencijske jednacine olika 6~ n ti zadatke: 13, 15, 23, 24.
vide-
4° Uiferencijsku jednacinu oika :xn+l = + bn zovemo li- nearnom jednacinom prvog reda. Opste resenje xn = 01 •• •• an-l (0+0/0+1..(01 ) + •••• + n/(01 ••• an-J». Zadaci: 28, 29, 30, 32.
Diferencijsku jednacinu axn+2 + :xn+l + , , realne konstante, zovemo omogenom jednacinom drugog reda. Kvadratnu
= , gde su diferencijskom z2+z: =
zovemo pridruzenom karakteristicnom jednacinom. Neka su u i v resenja karakteristicne jednacine. Tada opste resenje olika:
(i) ulv xn = c1un + 2~, 1 ,2 su proizvoljne realne
konstante. (ii) U=V xn = c1un + c2n~. Zadaci: od 36 do 47.
67
s1. ~ • ~+1 - Xn • - .
~. Za niz ~ • n (n-1) ••• (n-k+1) naci ~ •
.bl.esenje. ~~ • ~+1-~ .. (n+1) n ••• (n+1-k+1)- n(n-1) •••
••• (n-k+l) • n(n-1) ••• (n-k+2)[n+1-(n-k+1)j "' n(n-1) •••
••• (n-k+2)k = ~-1 • Otuda ~ .. k·~_1 •
Cesto se izraz n(n-1) ••• (n-k+1) obe1ezava sa n(k). Tada 6n(k) • k•n<k-1>. Primetimo da s1icna formula vazi za iz­
vod funkcije f<x) • xk : Df(x) • Dxk. k·xk-1 •
4. Dokazati da su operatori ~ i medjusobno komutativni.
Resen;ie. Treba da se pokaze da ~ "' , tj. da
za svaki niz ~: 6~ • ~. Zaista LI.E~ • .A:xn+1 ..
• xn+2-~+1 • (~+1-~) • ~~, onda Va.Zi jednakost
6 .. 6.
Resenje. Prema definiciji operatora , ~ • ~+1 i prema
def'iniciji operatora 1 + ( 1+6) ~ • 1· ~ + Ll.~ ..
• ~ + ( ~+1-~ ') .. ~+1 • Otuda ~ • ( 1+ t:..) xn za proizvolj­
ni niz real:tiih brojeva, sto znaci da • 1+ 6 •
. Dokazati da • -1 •
.iiese1e. Ova jednakost moze se dokazati na slican ns.cin kao u zadatku 5. Medjutim, ako koristimo vec do­
kazanu jedns.kost .. +1, neposredno doija.mo "' -1.
68
t:,_2 .. 1::.•1!. .. (E-l)(E-1) .. :s2-E•l-l
Proveriti 1 neposredno gornju jednakost, tj. da za svak1
niz~:A~ .. (:s2-2E+l)~.
) E(c1~+c2;rn) "' c1~+C~n· Resenje.
) .t:.(clxn+c2;rn) .. 01xn+l + 0 2Yn+l -(cl~+c2yn) ..
• 01(~+1 - ~) + 0 2(Yn+l - Y:n) • 01 ~ + 0 2 Yn•
,) E(cl~+c2yn) • cl~+l + c2yn+l • ~~ + c~n· \ Zog ~rnjih osobina, operatore i nazivam.o linea.rnim.
9. Izraz1ti operator: ) t:. preko , :s2, ••• , Ek; ) Ek preko
6. t 2' • • • t •
:aesen,1e. ) Prem. zads.tku . 1::. • -1. Primenjujuci nomnu
.tormulu imamo: " .. (E-l)k .. · t~-l)k-r(~)EL' •(-l)k+ (-l)k-lkE+ k-2 k( k-1) _;:> _\r
+(-1) • ~·"" + •••• .
) licno pod ) nalazim.o da Ek .. k}~) Ar.
10. Dokazati da ) ;r0 • to (-l)k-r(~);rr; ) Yk • k (~ t:.r • Resenje: P.rema zadatku 9. imamo da
r r ) 6~ .. L (-l)k-r(k)Ef'y • [ (-l)k-r(k)y, ;
"() r t<."'() r r
) Yk "' Ekyo '" [ (~)t::.2 Yo• =
11. Za niz :n .. an+b naci t.:xn; t:. 2 :n9 t::.
3:xn•••••• Ar. ~· Resen,ie. t::. :n .. ~+l - :n • a(n+l) + - (an+b) • ;
(xn .. t:. (1!. ~) • .. - .,_ • ;
2:n .. .( 2 :n) • 1::. • .
69
Primetimo, da ako 6~ ... , da onda i ~""~ .. 0 9 te
u nasem slucaju, posto ? ~ .. ; l.t ~ .. ; .5"~ .. ,
n-1
13.
Resenje. [ ~ "' 11 0 + ~ + tJ. 2 + ••• + ~-l "' :
- ) + ( 2 - ~) + ( - ~ ) + • • • + ( ~- ) ..
~- .
Primetimo da prethodna !ormula analogna nog racuna: t x(t)dt .. x(tn) - ( t
0 ).
••• resiti di!erencijsku jednacinu
n-1 n-1 Resenje. Prema zadatku 12. imamo da [ liXt "' .[ /ak odno-
f'H
~""• - + L: Primetimo
resenja naziva se konacnom
~:.
Naci s1edece zbirove
) [ r Ck) ;
r~o k n-1 k
) Prema zadatku 2. Ll 2 .. • Otuda [ L\2 .. n 1 w'J;.o
[ 2k p;ema zadatku 12. dobija se ~~ 2k • 2n-2° • ~· =
.. 2n - 1. •\ IH 11-1
) Llak .. (-1) ak; [ Llak [ ( -1) ak .. ( -1) [ a.k. n-f l<v..O
k [ ll.ak "' a.n - .0 .. a.n - 1, to I:' ~ .. ~ ~
) ll.r (k+1) "' (k+1) rk; [' Ar(k+1) .. [' (k+l) ~k) .. (k+l) [ :Jk~ 1 ,... .. ~~ n-! r,o <k+ 1)
Otuda , zbog fo 6 ~k> .. nk+1 - k+l .. n k+1 ; fo ~'JrJ"' k . ~ 2 n-1 k n2-n
d1 Koristiti 11 k • 2k+l; L" .. ~ ~ .:.
~1 n~ n~
17. Dokazati da (~ + byk) • ~~ + F:.o Yk•
18. Naci zirove: n-t n-1 n-1 1
) r: cos(kx+:x/2) ~ '\ r: sin(kx+x/2); ) '[ ~) • ~ ~ ~ KL-L
Resenje. ) 6sin(kx) .. 2sin(x/2)cos(kx+x/2); 'E:cos<kx+x/2) ..
sin(~) • = 2sin(~)'
) Acos(kx) .. -2sin(x/2)sin(kx+x/2),
~ . ( / ) 1-cos(nx) 1 t'os:: kx+ 2 .. 2s:~.n(5C/2); ) A1/k • - ""F+1) , '1;:.4 1 n-1
~~ ~.. -111/k = 1 - 1/n.
19 •• Primenom operatora konacne raz1ike izracunati
) ni:' kak; ) ~ kak, ta\ <. ) ~ k2ak; d) f k2ak, /8.1 < 1. ~.., >{) ~1 •
Reseie. Ovde cemo primeniti formulu iz zadatka 14. k
) Izaberimo ~=k, t:.vk=ak. Tada vk "' :-l' (a"l) jedino
moguce resenje za v:k. Otuda [ kak: .. [ k: t:. ak/(a-1) .. 1(.1::0 k:o
nan/(a-1) - 0/(-1) - "[ 1
ak:+l;(a-1) Ak: .. nan/(a-1) - • n
n-t k: n -1 - a:r [ .. na /(-1) - - 2 • = (-1)
) Ako pustimo da n-+oo doija se kak: = /(-1) 2• \("
) Na slican nacin kao pod ) ak:o dvaput primenimo k:onacnu • • • • • n-1 2 k: n2an 2 ( nan :~.ntegrac::LJU, dob:LJa se ~ k: "' a=r- - -1 -1 +
+ a(1-a'f)) 1-an (1-) : - -1 • 1- •
..... 2 d) L ~ak .. +
ll~o (1-)~
20. Pok:azati da se nk moze izraziti prek:o Jl~ ~~ ••. , riJc>. Resenje. n1 .. n .. .}?-), .ft2> + 1> ... n (n-1) + n .. ri,
n~)+ 3n~)+ ri11 • n(n-1) (n-2)+3n(n-l)+n • n3 itd. U opstem . , k: k k (2) k: flr) . k: lr)
slucaju b:Lce n • S~ + szn + ••• + Sk:•n- "' L Sr·~ • r=t
rojevi s~ nazivaju se Stirlingovim brojevima druge vrste (Stirlingovi brojevi prve vrste Si dobijaju se u razvoju .[tt) n, n2 , ••• , nk:: n{Jyj .. t s~1 ) • Moze se pokazati da
!=1
Imamo da • s~(l)+ ••• + ~(k). nozenjem
sa n dobijamo + n~(k). 8 strane
n· n i) + (n (2) + n (l)) +
+
da
s~ .. + .. 1+2·7 .. 15 itd •
Tako doijamo sledecu taieu
1 1 2 1 1
3 1 3 1 4 1 7 1 5 1 15 25 10 1 1 31 90 5 15 1
7 1 63 301 350 140 21 1
23. Resiti dif'erencijsku. jednacinu ~ .. k2 •
Resenje. Iz taice {zadatak 22) na1azimo da k2 • k(1) +
k(2) odakle 6~ "' k(1) + k(2). Dalje ' ~ "' [ (k(1) + " 1 1 • •
+ k (2)) ... f k (1) + 'f: k <2) • Prema zada tku. 16. . vazi f'ormula ~- (k+1) •
~ rG.t> .. n • otuda - "' n (2) /2 + n (313 odnosno · r•o k+l ·n ~ .. 0 + n(n-1) /2 + n(n-1) (n-2)/3 "' 0 + n(n-1)(2n-1) /6.
Primedba. Na potpuno analogan nacin moze se resavati di.f'eren­
cijska jednacina ~~~ = Pn' gde Pn • 0 + a1n + a 2n2 +
r + ••• + arn •
73
24. Resiti diferencijsku. jednacinu 2 "' = k2+3k+6 tako da. rese­
p.je :xn za.dovolja.va pocetne uslove 0 "' , 6 0 .. .
Resen,ie. k2+3k+ .. k(l) + k<2) +3k(l) +, oda.kle f: 2 "' ..
.. [ (k( 2) + 4k(l) + ) .. [ 1
k(2) + 4E:ktl> + 1:' . Otuda. > ~: k•o "
Jos jednom primenom operatora sumiranja dobijamo Xn =
n(4 ) 2nC3) 3n(2 ) .. ""''2""" + ,- + •
Af\(n) .. S:k:Cn+l) - S:k:C~) .. nk "' s~(l) + s~n(2 )+
'k" (k) n-• 'k" (1) k (2) + + Sj?l • Otuda. Sk(n) - Sk(O) .. fo [ sn + 2 +
Resiti
ekvivalentna.
+ 2
zimo
( 2-1)
zada. ta edna.Cina
·5. 248+10. 258,
racunamo rekurzivno
nala-
!\"()
n-2 + 2 + ••• + bn' sto znaci da n-ti clan niza polinom sa koe!icijentima 0 , , ••• , bn.
Primedba- Rekurentna formula Yn+l'"xyn + bn+l omogucava
brze racunanje vrednosti polinoma boxn + bl~-l + .~.+bn
u tacki nego na uobicajeni nacin, jer se na taj nacin izvrsava manji r racunskih operac~ja (Koliko?). Zbog to­ ga cesto se koristi za pravljenje algoritma pomo6u kojeg
' racunar izracunava vrednost polinoma u datoj tacki.
31. Pokazati da se lin~ar,na ,jednacina prvog reda moze svesti na jednaCinu oika Llxn .. j?Jn, •
smenimo :xn .. doija se
i sa , ... oznacimo n doija - n
.. :xn + odnosno 4 xn ..
32. Resiti direrencijsku jednacinu m cos ~ ny~+ sin2x, .. 2oL.
= cos .. sin2x te
CQSXCQS ~ eooCOS ~ Posto
33. Izracunati determinantu 1 2 3 4 -1
n-1 n
?
•• +
?4. Izracunati determinantu Du



+n
tj.


koloni, nalazimo da Dn zadovoljava diferencijsku jednacinu
Dn•xnDn-l +·any1y2 ••• Yn• Otuda Dn ~2 ···~(+
+ Yl. • .Y n) Ako • • • n ~ •• ·~ • n 1,2' •••
"" 35. Dokazati. da :f'unkcija () .. e-ttx-ldt (> ) zadovoljava

di:f'erencijsku jednacinu (+l)= :~:). Koliko (n) ako nE N.
"" Resenj . (x+l) = -ttxdt "' - txde -

.,.
- e-xdtx)"' e-xtx-ldx = ( ). .
Ako n N, tada r (n) .. (n-1)! • Dokazati koriste6i na- vedenu rekurentnu formulu.
Navedimo da funkcija (:) koja resenje proste diferen­ cijske jednacine (+l)= () ne zadovoljava nikakvu algebarsku diferencijalnu jednacinu sa polinomnim koefici­ jentima (teorema · Heldera).
??
Rese:nje. Kako xn = u:n imamo:
.. d u:n+2 + ;8 u:n+l + Yu:n .. ~u2 + (2>u + t") "' "' , jer pretp?stavci cL u2 + (!Ju + 't= .
37. Neka su i Y:n dva partikularna rese:nja difere:ncijske jed-
+ "' . Dokazati da o:nda i :niz .·
+ c2yn resenje iste jednacine.
+ .. resenja date
38. Neka data
Dokazati da
svaka dva niza +
za.dacima.
41.
42.
Resenje. Iz jednakosti .. .. c1u +
cl(~) +
+ 2 ( 12f5J· 1;cija su resenja 1 = 1; , 2 .. - ~ • Tada FibronaCijev niz oika ~ .. · ( 12g)n -
dobijamo ovaj sistem jednacina: +
_ L (1 -5) n. g 2
Dokazati da. su u ovom slucaju sve vrednosti niza. xn prirod­ ni brojevi. .
43. Resiti diferencijsku jednacinu ~+2 - 2~+1 + i dis-
kutovati resenja za razne vrednosti parametra R.
Resenje. Pridruzena karakteristicna jednacina z2 - 2Az + + 1 =. 1° IAI :>1 Tada su resejj2 navedene
kvadratne jednacine u = + 2-1, v = - -1. Resenje diferencij2ke jednacine oika xn = 1 (+ JA2-1)n + + 2(- ~ -l)n. 2° = 1. Tada diferencijska. jednacina do­ ija oik ~+2 - 2~+1 + ~ = , odnosno ~zxn = . Otuda ~ = c1+nc2• Primetimo da smo resenje mogli da napisemo i u oiku xn • x
0 +n6x
+ 2~+1 + ~ == . Ako izvrsimo smenu ~ .. ( -1) Dyn' dojamo
?9
)n+2 )n+1 )n (-1 Yn+2 + 2(-1 Yn+l + (-1 · Yn = , odnosno Yn+2 -
- 2yn+l + Yn = , tj. A2 yn = . Ova jednacina prethodnog tipa, Yn = 1 + c2n. Otuda xn = (-1)n(c1+nc2). ·
Ovaj slucaj mogli smo da resimo i na drugi nacin. Ako resa­ vamo karakteristicnu jednacinu z2 + 2z + 1 = , imamo jedan dvostruki koren v·= -1. Tada jedno partikularno resenje, iti zn = ~ = (-l)n. Lako se moze proveriti da drugo partikularno resenje ti oika z~ = n~ = n(-l)n, te onda opste resenje xn .. 1 (-l)n + c2n(:-1)n, sto isti rezultat kao malopre.
4° IAI<l. U ovom slucaju mozemo staviti = cos Q. (zasto?), te nasa diferencijska jednacina postaje xn+2 - 2cosQxn+l + + xn = . ~esenja karakteristicne jednacine z2 - 2cosQz +
+ 1 = su: u .. cosQ + cos29 - 1 == cosQ + isinQ ; v = cosQ -
- Jcos29 - 1 = cosQ - isinQ. Tada opste resenje xn = = ciun + 2~ • c1 (cosQ + isinQ)n + c2 (cosQ- isin9)n. Ako
primenimo Moavrov obrazac, doijamo xn = c1 (cosnQ + isinn9)+
+ c2(cosnQ- isinnQ) • a1cosn9 + 2 sinn9,gde 1 = = 1 + 2 ; 2 = i(c1 - 2).
44. Resiti diferencijsku jednacinu xn+l • Axn + , , ER.
Resenje. I. ~ 1. Potrazimo partikularno resenje u oliku
Yn • . Otuda +, odakle = /(1-). Znaci, Yn =
= /(1-) jedno partikularno resenje. arakteristicna jednacina homogenog v-A = , odakle v = . Otuda
opste resenje + /( • II. • 1. Tada se
ednac ina svodi na xn = odakle
Naci determinantu: 2 2 2 ... . . . . . . 2
Oznacimo sa D n determinantu reda n. Lako se vidi
da - . Navedene uslove mozemo da sma- tramo za • Ako :azvijemo determinantu Dn+2 prvoj
80
• 2ADn+l - BCDn. linearna
nacina drugog reda sa konstantnim sticna jednacina z2-2Az+BC .
I. 2 > ;
.. III. 2 < '
Na6i determina..ntu 2cosQ 1
1 2cosQ 1 D .. n 1 2cosQ


2cosQ
D C1Un + c2vn gde SU U i V resenja karakteristicne
ne z2 - 2cosQ. z + 1 • , tj. u • cosQ +
~isinQ. Otuda _Dri • acosnQ + bsinnQ, sa
D1 = 2cosQ; D2 = 4cos2g -· 1. Odatle • 1; = Tada Dn • cosnQ + ctgQsinnQ,. sin(n+l)
47. Resiti granicni proem xn+2-5xn+1+xn =
Rese~ie: I. nacin: Preko karakteristicne
neposredno na1azimo opste resenje 0 = 7; 5 • 13 dojamo ovaj sistem 32 + 243 • 13 odakle =8; =-1
II nacin. Ako nas ~nteresuju samo resenja od raditi na s1edeci nacin. Iz rekurentne 0 • 7; 5 • 13 dobijamo ovaj sistem linearnih
. 2 - 51 ,. -42
81
,
:la-imedba. Ovaj drugi nacin opstiji od prvog, jer se moze primeniti na proizvoljnu linearnu (sa funkcionalnim koefici- jentima) diferencijsku jedn.cinu sa granicnim uslovima. Ova metoda narocito se koristi u resavanju granicnog proema kod diferencijskih jednacina.
48. Pokazati da se sistem diferencijskih jednacina.:~n+l .. ~Xn +
+ 1n moze svesti na jednu diferencijsku jednacinu Yn+l"'
A2Xn + B2Yn drugog reda.
Resenje. Eliminacijom Yn iz navedenih jednacina.dobija se
B2Xn+l - BlYn+l ~2 - 21 • Iz prve jednacine dobija se
Xn+2 = ~Xn+l + 1Yn+l' sabiranjem sa prethodnom jednakoscu
dobija se Xn+2 = (~+B2)xn+l- (~2 - 21)n.
49. Resiti sistem diferencijskih jednacina xn+l = xn+yn; Yn+l •
.. ~- Yn•
= (~+B2)xn+l- (~2-21)n = 2xn,tj. xn+2 • 2xn. arakte­
riaticna jednacina z2 .; 2, odakle ~ • 1 (f2)n +
+ c2(-l)n({2)n. Iz prve jednacine sistema imamo Yn = xn+l­
'- ~' odakle·je posle 13redjivanja Yn .. (f2)n(c1(J2:1) - 2( .2+1 )( -1 )n).
xn desiti diferencijaku jednacinu xn+l = 2 +l • Koliki limxn
-·n n_,.oo
prelazi u Y n • Izaberimo ovaj istem di-
ferencijkih jednacina Yn+l
jednacine neposredno dobijamo Yn • c 1 gde proizvoljna konstanta. Zamenom dobijene vrednoti za Yn u drugoj jedna-
cini dobijamo zn+l • zn + 2 Odavde neporedno zn • a+2nc,
i proizvoljna kontanta. Odavde nalazimo ~ •
82
sledecu rekurentnu !orulu an+2 + +
83
.. ..
.. .. 1;
Jovan VUIROVIC
INTEGRALNE JEDNACINE
Pod integralnom jednacinom podrazumevamo jednaeinu u kojoj se nepoznata funkcija pojavljuje /bar na jednom mestu/ pod zna­ kom integrala i to na tvaran, ne samo na prividan nacin.
Linearna 1ntegralna jednacina oika ()~()+ () •
l k(~; t) ~ (t) dt .
gde su (); (); K(x,t) poznate f~ije,
~() nepoznata. () 1 () su pritom definisane nad inter­ valo• [, 9 K(x.t) nad kvadratom [,[,.

JednaHnu 'f(x) .. f(x)+ f K(x,t)'{'(t)dt gde su f(x), K(x,t)
poznate funkcije , ~(x)nepoznata 1 realan paraD~.etar nazivaD~.o linearnom Volterinom integralnom jednacinom druge vrste. Ako
f(x) . jednacina ti nehomogena, ako f(x) = homogena. ~
Jednacina K(x,t) ~(t)dt • fCx)je Volterina integralna ·jednacina prve vrste.
Pod linearnom integralnom jednacinom Fredholllll.a druge vrste podrazumevoo jednaCinu olika '()- : k(x,t)~(t)dt .. .rcx)
koja ti homogena u slucaju da f~t)~ •
Jednacina KCx,t)~(t)dt. f(x) jednacina Fredholma Prve vrste. ..
Funk:ciju (, t) nazivamo jezgrom integralne jednacine, uz predpostavku da (, t) neprekidna funkcij nad oasti definisanost1 [, ] [, , 111 ima konacno mnogo tacaka prek1- da 1
'
85
za ko jedna~ina identi~ki zadovoljena.

Takodje,vazi uop~tena jednekost
n-1 dx dx ••• _f f(x) dx = (n:l)! (x-t) f(t) dt , _
--v-n keda postoje integrali leve 1 deane strene jednakosti.
Ako f(x) i k(x,t) neprekidne funkcije svojim domeni~
1 1 ,t) 1 ~ , gde neke konstanta jednacina '- ()=
,.f(x) + k:(x,t) '-t (t) dt 1m. jedinstveno re~enje,koje ~
moze predstaviti o1ku 1€. () = f(x) + JR<x)t; )f(t) dt,
R(x,t;) funkcija koja naziva rezolventom date
jednacine 1
,t; )
t) dn,
funkci na 1n tervalu [, - , ,; .;;, ; ~ t !; 1 '-€ 0 nepre-
funkci za niz L ~,. () funk:ci defini-
ean za n 1,2 1 3 •• rekurentnom formulom ~n ) =
! n-1 ) dt
lQ (t) dt.
f ima za
(.!'::) ·f ) dt, ~
(z ) dz i .. t).
oika n
Znai5mje . -:;6 Zl'l. ko;je
jedna~ina Fredholma druge vrete l€(x)- 1 X:(x,t)l€(t) d)t ..
ima netrivijalno reimje ( ~()=;;!:) nazivamo karakteri'tt15-
nim brojem jednaine, netrivijalno relenje te jednatne
eopstvenom funkcijom koja odgovara toj karakterietinoj vred­
nosti .
lredholmova alternativa.
1 () ;1 (t) \f (t) dt (1)
~=-1 Ov
n
~ot(x) "' ~;81 () 1 oL1 (t) 'f*(t) dt (2)
imaju jednak broj nezav1snih reienja, 111 eamo trivijalna
reienje.
2. Ako jedna51ne (1) i {2) imaju samo trivijalna reie­
nja, onda nehomogena jedna/Sina
'f(x) ... f(x) + [ .1 () (81 (t) 'f(t) dt
i:f (;\,
87
karakter1et1an1m funkoijama ~t* homogene·jedna~i-
"!(
(1)
jedna~ine (1) 1 (2)?
'€ 1 (t) dt ·)( .-t t .t

)(
dt ... t2 /)( 2
+ -) ,.. !.... +!....' 2 ' 2
jech!.a~ine (2).
'€z ) 4t ..
) dt ... 5 )t
. 2 t t • (t 8 +t )dt •
+ s(} t dt.

"' ) 1 ~- - +
+ 6 -
~ •
Pri tom pretpoetavljamo da "; ~ , < .
uzeti da • , 6 leva 8trana 1t1 6
deena , ito dokazuje neidenti~ost.
vrl!lte.
•t(t)•dt svode61 na diferencijalnu jedna~inu. )(
Rei!Jenje (2- t)'f(t) mogu6e
~ " u oliku
)(
(-t) 'f(t) dt - '€ (t) dt "' (x-t) 'e(t) .
dt-x l (t)dt. .
J;(t)dt = [ s:(x~t)'{'(t)dt 1 = ~ == )'() "' " 1 z!jj;to
6 iti mogu6e datu integralnu jadna/Sinu pisati u oliku
" • -2 + + 2 + - , odnoeno " + ' -
Zadatak se I!Id sastoji u tome da nadje partikularno
reienje ove diferenoijalne jedna<:!ine, tako da
'() "'la~'f(t) dtfx=o =; ()._= .
89
.. + n · + ••• +anx + ••• ;
2 n-1 + 3 + ••• +n anx + ••• ;
( n-1 " = 22 + 3 + ••• +n n-1) anx + ••• ;
'' +'- = 22+.23 + [4.n+22-22 +
+[5.4 5 + 3- 3]3 + ••• + [ (n+1)(n+2)+ nan-an]xn+ ••
+ ••• = 2 2 + - •
22 = 2; 3.2 3 = 6; (4.4 + 22-.2 ) = -1, •••
Koeficijenti ti 2 = 1; 3 = 1; 4 ~ o, ••• an =,
re~enje diferencijalne jednecine
2 2 = +. '= 2 + ; " =~()= 2 + .
Trazeno reeenje integra.lne jednacine '() = 2 + 6 .

. Resiti jednuacinu ~() =+~ ~(t) dt na1azenjem
rezolvente.
ci
,
)t;)
~ ~
0 l.(U-t)du =
Iz teorije funkcionRlnih redova poznato da funk-
moze oiku reda
::;
; ) = ? "' +
l -1; 1 2 l 8 2 dt :::: 2 + - 2
Ova ed:rla51na
em smene 'f (

2 = 2 ' '2 ) =
jednakosti
2 '\ l[tn+l +- o~-l)n+ (n+l)!
2 2 n+2 n+l
=
tavkom da
(-1)Il+1 [ n+1 n 'en(x) .
biti \f. n+l () "" = (n+1)! -n! +
= (-1 )n+2 [ Il+2 Il+l fn+2)! - (n+l)! + sto treba1o i
dokazati.
5.. Proveriti da 11 ~()= cos rei!ienje integralne ')/ .
jedna<Sine \f(x) = 1- (x-t)'f_(t) dt.
. Odredi ti niz f11nkcija ~€n () za dat11- jedna<Sin11 ako
t€o () : . . Na osnov11 rez111tata pod . 1 . predstaviti :fu.nkcijl1
"' . cos T~1orovim redom 11 ta~k:i 0 )(
Resen;je . 1 - (x-t) coet dt
- 0013 t : = 0
. ". 1 - [ sin t - t t -
)(
= 1 - <3 () "" l - +
Pretpostavimo da '(!n ( "" 1 - + - ...
. •+ (-l)n+2 ""
da 1311 +
+(-l)n+1
+ ••
va~i
. Sveet integra1nu
vrete
i ( 1 ) ~ na nekom interva1u (
ReS:i ti jedna~inu 7
' x,t) 'e(t) dt =.
trane
0( t) '€( t) dt = f(x), iz1azi ( ; \f' (
+JJK(x,t)f(t) ( . /?
)(
~() + ( a(xlt) • 1 ~ (t) dt = Llli u jednacini 0 ( , ) :if[)
J:cos(:x-t) '{'(t) dt K(x1 t) = cos(:x-t), f(:x) =,
<;t) =- sin (x-t), ( , ) = 1, f'(t) = 1,
~ ~~ 't'(x) + [- sin(x-t) ~ (tpt = 1, '() = 1 +Jain(:x-t)'f(t)d

Jedan od nacina da resi ova jednacina, s obzirom da
jezgro funkcije razlike - t, nalazenje odgovara­
ju6e jednacine primenom Laplasovih tranformacija. Ta­
kodje do resenja ~() mo~e do6i diferenciranjem jed­
nacine:
~'() = J;co(:x-t)''f(t) dt, '€_ 11 () = l~ [ cos(x-t)\f(t)J dt+

+ cos(x-x)!f'(:x), ~€~() = - sin(x-t)'f(t)dt +~();
t 11 ( ) ::: 1 - ~ ( ) + !f ( ) ; \f 11 ( ) = l ; '' (:) = ]t+C ; 2
~() = ~ · + + 1),
~'(of=o;~(o) :lpajeC ... o;D ... l, ~() ... ~ +1
7. Resiti jedna5inu j(x-t) 2 ~(t)dt = 3
Resenje. Podelimo strane sa 2!
1 3-1 3 (.- 1 )! 0
(x-t) ·tf(t)dt= 2
8. Isp1tat1 za koje vrednost1 parametra se ! od­
" red1t1 rezolventa jedna/:!ine ~() -/I.JI((t) dt i 'kada jed.na.-
l!ina ima reienja. 0
~ 4
Sf 1 dx dt ... 1. Za li\1<1 red
DV!
n.
"' ... 1;
rei!iena.
za li\1 < l. D• 11 z• 1 i\ 1 ~ 1, treba

'f(
, aora iti 'f( -) .l;'f( •l+).C.
x,t) o'fe
1
1+/\- (l+C)dt "'1; l+ -­
2 ) ." •
1 -:;:. :1:: 1 "' • 'f( = 1 + = t nepoeredno proveravamo za ~ 1. Ako
jedna~ina nema re za ,= 1 (-
evodi na = 1 neza~ieno od .
9. Na6i rezolvente Fredholmovih
= f 1 ( ) + 1 xt \{! ( t ) d t 1
) lf () 2 2 = f 2(x) + t l(>(t) dt 1
-4
) \f(x) =f 3 (x) 51 2 2 + (xt + t )l€(t) dt.
-1
Reenje. ) K(x,t) = xt; = -1; = l,
1 2 2 K2(x>t) = _/xz)(zt) dt = xt =~ (x>t), K/x,t) ,..
1 2 2 2 n-1 = (xz)(zt)dz .. <> ~(x,t), ••• ,n(x,t) .. <> xt, ••
- 1 ~ n-1 ( '") ) \ (2) n-1 -1.....!!
Rx,t;~'1 =L • xt . ""3-2. =-1
1 4 2 2 2 2 2 2 2 2
) K2 (x>t) = z z t dz 5 t = 5 ~(x,t). Bi6e -1
2 n-1 2 2 . 5 x2t 2 Kn(x ,t) = (5) • t , R(x, t; ) .. 5_2
1
2 2 ) ( xz) • ( z t ) ..
- 1 2 2 su jezgra xt i t uzajamno ortogona1na. poe-
ledica ortogona1nosti i6 rezo1venta tre6e jedna~ine
jednaka z1ru rezolvenata prve dve jedna~ine
~ i 5 X 2 t
2 t nije teko proveriti. 3-2 5-2
95
.lo. Reeiti ;Jedna.Hnu. ~() - 1 (t2+1) ' (t) dt = 2+1.

Reeenje. Pretposta.v1m.o da. fu.nkcija. 1./ reeenje ove
jedna.iSine. Bl6e J~<t2+1) o/(t) dt konsta.nta.n broj. Ozna.- <t .
~imo ga. . . broj za. sa.da. ·ne znamo,jer ne. zna.-
mo fu.nkciju. ", medju.t1m., iz pretpostavke da. . l.fl reee­
nje,na.1a.zimo da.
'f(x).- 3 ... 2 X+l, 't'(x) = 3 + 2 X+l•