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/上海版/马学斌编第 19章几何证明

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19.1 命题和证明（1）

课前导读

第一课时用我们最熟悉的三个例子，论述了一个观点：

推理论证是最可靠、最有说服力的．

三个例子是：对顶角相等；三角形的内角和等于 180°，邻补角的平分线互相垂直．

这节课第一次给出了“辅助线”的定义．

其实这节课的中心思想，就是让大家学习一个我们早已经知道的词：证明．

课本导学

一、和 7 年级几何学习一个最大的不同．

7 年级的几何题，从“解”字开始；

从今以后的几何题，计算题从“解”字开始，证明题从“证明”两字开始．

二、这节课其它的问题，可能同学们都不敢兴趣，很多老师也把这节课一带而过．

既然这样，我们为同学们感兴趣的下节课《19.2 证明举例》，作一些回顾吧．

就是证明过程的每一步后面的括号里，要写理由的．

课堂导练

七年级学过的可以用来说理的依据

一、最简单、最直接的说理依据

1．已知

2．已证

3．已作

4．公共角

5．公共边

二、代数性质可以作为说理依据

6．等量代换

7．等式性质

三、定义可以作为说理依据

8．邻补角的意义

9．角平分线的意义

10．垂直的意义

11．中线（中点）的意义

12．平行线间距离的意义

四、公式可以作为说理依据

13．三角形、圆等的面积公式

五、六年级学过的说理依据

14．两点之间，线段最短

15．同圆的半径相等

16．同圆的直径相等


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六、相交线

17．对顶角相等

18．垂线段最短

19．垂线的基本性质：经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

七、平行线的判定

20．同位角相等，两直线平行

21．内错角相等，两直线平行

22．同旁内角互补，两直线平行

八、平行线的性质

23．两直线平行，同位角相等

24．两直线平行，内错角相等

25．两直线平行，同旁内角互补

九、平行线的其它性质：

26．平行线的基本性质：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

27．垂直于同一条直线的两直线平行

28．平行于同一条直线的两直线平行（平行线的传递性）

29．平行线间的距离处处相等

十、三角形

30．三角形的内角和等于 180°

31．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

32．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角

33．三角形的两边之和大于第三边

十一、全等三角形的性质

34．全等三角形的对应边相等

35．全等三角形的对应角相等

十二、全等三角形的判定方法

36．SAS

37．ASA

38．AAS

39．SSS

十三、等腰三角形的性质

30．等边对等角

41．等腰三角形的三线合一

42．等腰三角形是轴对称图形

十四、等腰三角形的判定方法

43．有两边相等的三角形叫等腰三角形（定义是最原始的判定方法）

44．等角对等边

十五、等边三角形的性质

45．等边三角形的三条边都相等


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46．等边三角形的每个内角等于 60°

十六、等边三角形的判定

47．三条边都相等的三角形叫等边三角形（定义是最原始的判定方法）

48．三个内角都相等的三角形是等边三角形

49．有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形

十七、还有一些可以被证明的说理依据，例如

50．同角的余角相等

51．同角的补角相等

52．同底等高的三角形面积相等


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19.1 命题和证明（2）

课前导读

很多老师教了一辈子数学，把这节课里的几个题目也没有搞明白，我也是．

什么题目呢？就是把我们大家非常熟悉的、言简意赅的、明明白白的结论，一定要改写

成“如果……，那么……”的形式．例如：

对顶角相等；

三角形的内角和等于 180°．

因此同学们在这节课也不要纠结了，大的知识框架知道就行了．

课本导学

一、课本第 86 页课文结构：

定义例如：_______

判断性的句子真命题例如：_______句子命题

假命题例如：_______

非判断性的句子例如：_______

请将下列句子的序号填写在上面的横线上：

（1）能被 2 整除的数叫做偶数；

（2）互为补角的两个角都是锐角；

（3）对顶角相等；

（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；

（5）内错角相等，两直线平行；

（6）画∠AOB 的平分线 OC；

（7）等角的余角相等吗？

二、课本第 87 页关于命题的组成：

题设：就是“如果……”命题的组成

结论：就是“那么……”

再说一遍，不是所有的命题都方便改写成“如果……，那么……”的形式．请同学们不

必纠结．哪个高手试试改写“三角形的内角和等于 180°”？

三、课本第 87 页关于真命题：

公理：长期实践经验总结，一定正确。真命题

定理：经过证明是正确的，用来判定其它命题是否正确。

一个老师给学生讲什么是公理，说狗要吃远处的一块肉，都知道“两点之间，线段最短” ，

这就是公理，狗都知道的道理．

其实我们学过的公理就那么四、五个，其它的都是定理．

（1）两点之间，线段最短；

（2）垂线段最短；

（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；


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（4）经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；

（5）同位角相等，两直线平行——这个算是吧，其实不是．

四、课本第 88 页这个大表格在说什么呢？

证明的三部曲：

（1）理解题意，画图，标记；

（2）写______、_______；

（3）写______过程．

课堂导练

五、完成课本第 89 页课后练习 2，改写成“如果……，那么……”的形式．

（1）同旁内角相等，两直线平行．

这是_____命题．

改写：如果_________________________________________，

那么______________________．

（2）全等三角形的对应边相等．


改写：如果_________________________________________，

那么______________________．

（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．


改写：如果_________________________________________，

那么______________________．

（4）在一个三角形中，等边对等角．


改写：如果_________________________________________，

那么______________________．

（5）关于某个点中心对称的两个三角形全等．


改写：如果_________________________________________，

那么______________________．

（6）等角的补角相等．


改写：如果_________________________________________，

那么______________________．


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19.2 证明举例（1）

课前导读

课本第 89 页第一句就坦白了：那时的说理，其实就是证明．

这节课 7 个课时的题目，其实你都会的，我们把 7 年级的“解”字开始，改成“证明”

两字开始就可以了．

关键是括号里的理由，不能瞎编乱写，上节课我们已经回顾了．

我想了想，同学们都会的，我来干什么，我来给同学们一图多变，一题多变吧．

课本导学

一、我们把课本第 89 页例题 1，概括为一个命题：

如果一个角的两条边与另一个角的两条边平行，那么这两个角______或_______．

你想找哪个角作为中间的“代换角”呢？这个角的对顶角行吗？

二、我们把课本第 89 页例题 2 改编一下：

已知：如图，点 D、E、F 分别是 AC、AB、BC 上的点， DF//AB①，∠DFE＝∠A

②．

求证： EF//AC③．

改编：已知：如图，点 D、E、F 分别是 AC、AB、BC 上的点， DF//AB①，EF//AC

③．

求证：∠DFE＝∠A②．

提两个问题：

（1）原题的证明，你选择∠1 作为“代换角”呢？还是选择∠2？

（2）改编了的题目，你选择∠1 还是∠2 作为“代换角”呢？或者都可以？

课堂导练

三、我们把课本第 90 页课后练习 1 改编一下：

已知：如图①，AC 与 BD 相交于点 O．

求证：AB//CD．

你说说，还有必要再已知∠A＝∠AOB、∠C＝∠COD 吗？

这就是数学的简洁美．

如图②，已知、求证不需要改变一个字，你想想，证明过程需要改变哪一处？


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图① 图②

四、我们把课本第 90 页课后练习 2 的条件和图形略微改一下，就是我们在 9 年级要常

常遇到的一组图形了．

已知：如图①，点 D、E 分别在△ABC 的边 AB、AC 上，AB＝AC．

（1）如果 DE//BC，求证：AD＝AE；

（2）如果 AD＝AE，求证：DE//BC．

略微改一下：

已知：如图②，点 D、E 分别在△ABC 的边 BA、CA 的延长线上，AB＝AC．

（1）如果 DE//BC，求证：AD＝AE；

（2）如果 AD＝AE，求证：DE//BC．

图① 图②

我们把这两个题目再改编一下，让你再看看数学的简洁美．

已知：如图③（如图④）．

求证：DE//BC．

图③ 图④


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19.2 证明举例（2）

课前导读

继续改编题目、改变图形．

这节课要添加辅助线了．

课本导学

一、我们把课本第 90 页例题 3 解读一下、改编一下：

原题的图①是一个_____对称图形．

已知：如图①，AC 与 BD 相交于点 O，OA＝OD，∠OBC＝∠OCB．

求证：AB＝BC．

课本证法是如图②，证明△AOB≌△DOC 的依据是__________，准备工作是先证明

_____________．

证法二，如图③，可以证明△ABC≌△DCB，依据是__________，准备工作是先证明

_____________．

图① 图② 图③

如果我们把图①这个对称图形改变为图④、图⑤，那么已知条件需要增加 BF＝EC 就可

以了．请你想一想证明过程．

图④ 图⑤

二、课本第 91 页例题 4 这个图形，有意思，怎么添加对角线都可以．

已知：如图，AB＝AC，DB＝DC．

求证：∠ABD＝∠ACD．


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在例题 4 这个经典图形的基础上，改编一下，看看你有几种证法．

已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点 E 在 AD 上．

求证：BE＝CE．

三、课本第 91 页的想一想，我们一起来回想：

可以证明线段相等的定理、定义有：

（1）全等三角形的__________相等；

（2）等角对_______；

（3）等腰三角形的“___________”；

（4）中点、中线的意义；

（5）平行线间的_______处处相等．

可以证明角相等的定理、定义有：

（1）全等三角形的__________相等；

（2）等边对_______；

（3）两直线平行，那么___________相等，___________相等；

（4）同角的_________（或________）相等．

（5）角平分线的意义．

课堂导练

四、说说课本第 92 页课后练习 1．

我们知道等腰三角形的“三线合一”：已知大前提（等腰三角形）和一个小前提（一条

线），就知道这条线也是另外两条线．

如图①，这道题目是已知“两条线”：角平分线、高，求证等腰三角形．

我要追问：

（1）如图②，如果已知“两条线”：中线、高，能否求证等腰三角形．

（2）如图③，如果已知“两条线”：角平分线、中线，能否求证等腰三角形．你可能说

不行，其实这个真的行，课本第 97 页例题 11 会学到的．

图① 图② 图③


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五、其实课本第 92 页课后练习 2 中的点 M、N 还真的没有什么用处．

要求证∠D＝∠E，只要证明△ADC≌△AEB（如图②），依据是________，首先要做的

一步准备工作是证明______________．

图① 图②

我们不改变题目的已知条件，把图①这个_____对称图形改变一下：

图③ 图④ 图⑤

六、稍微改变课本第 92 页课后练习 3 的已知条件，把图形变一变，请你研究．

已知：如图，E、F 是直线 BC 上两点，AB//CD，AB＝DC，CE＝BF．

求证：AE＝DF．

还可以求证：AE//DF，你试试看．


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19.2 证明举例（3）

课前导读

继续改编题目，改变图形．

注意图形变换过程中的对称性．

课本导学

一、稍微改变课本第 92 页课后练习 3 的已知条件，把图形变一变，请你研究．

已知：如图，AD、BC 相交于点 O，OA＝OD，OB＝OC，点 E、F 在直线 AD 上，

∠ABE＝∠DCF．

求证：BE//CF．

还可以求证：BE＝CF，你试试看．

其实换来换去，都是______对称图形．

二、把课本第 93 页例题 6 的条件和结论调整调整，请你研究研究．

原题已知：如图，AD//BC①，E 是线段 BC 的中点

②，AE＝DE

③．

求证：AB＝DC④．

改编一已知：如图，E 是线段 BC 的中点②，AE＝DE

③，AB＝DC

④．

求证：AD//BC①．

改变二已知：如图，AD//BC①，E 是线段 BC 的中点

②，AB＝DC

④，

那么 AE＝DE③吗？

改编三已知：如图，AD//BC①，AE＝DE

③，AB＝DC

④，

那么 E 是线段 BC 的中点②吗？


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课堂导练

三、课本第 93 页课后练习 1 的已知条件不改变，把图形中的字母 A、C 的位置换一下，

你看看结论变了没有？证明的思路一样不一样？

已知：如图，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别是 E、F．AF＝CE，BE＝DF．

求证：AB＝CD，AB//CD．

其实换来换去，都是______对称图形．

原图对换 A、C 以后的图

四、不改变课本第 93 页课后练习 2 的已知条件，把图形中的 D、E 位置换一下，你看

看它和第 93 页例题 6 有什么关系？

其实换来换去，都是______对称图形，——这就是换汤不换药啊．

原图对换 D、E 以后的图


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19.2 证明举例（4）

课前导读

继续改编题目、改变图形．

例题 8 也是对称图形，我们熟悉轴对称图形，中心对称图形，常常忘记旋转对称图形．还

记得不，中心对称图形是特殊的旋转对称图形．

课本导学

一、课本第 93 页例题 7 中，把两个垂直改成角相等，情况会怎样？

原题已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且∠1＝∠2．求证：AD⊥BC．

改编已知：如图②-④，∠ABD＝∠ACD，且∠1＝∠2．求证：AD⊥BC．

图① 图② 图③ 图④

二、我们借课本第 94 页例题 8，回顾一下 7 年级学过的旋转．

如图①，把直角三角形 ACD 绕着直角顶点 C 逆时针旋转 90°，得到△BCE．

旋转有这样一个性质：旋转角等于对应线段的夹角．反过来，对应线段所在直线的夹角

等于旋转角．

现在请你想一想，∠ACB 和∠DCE 都是对应边的夹角，那么对应边 AD 与 BE 的夹角在

哪里？等于多少度？

例题 8 是怎样证明 AD 与 BE 的夹角度数呢？

如图②，在证完△BCE≌△ACD 之后，得到∠1＝∠2，然后用三角形的内角和：

∠1＋∠D＋∠BFD＝180°，

∠2＋∠D＋∠ACD＝180°，

所以∠BFD＝∠ACD＝90°．


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课堂导练

三、同样的，课本第 94 页课后练习 1 中，把两个垂直改成角相等，情况会怎样？

原题已知：如图①，OA＝OB，AC＝BD，且 OA⊥AC，OB⊥BD，点 M 在 CD 上，

∠AOM＝∠BOM．求证：OM⊥CD．

改编已知：如图②-③，OA＝OB，AC＝BD，且∠OAC＝∠OBD，点 M 在 CD 上，

∠AOM＝∠BOM．求证：OM⊥CD．

图① 图② 图③

四、我们把课本第 95 页课后练习 2 改编成两道同学们熟悉的几何证明题，请你完成：

题目 1 已知：如图，OC＝OD，PC＝PD．

求证：OP⊥CD．

题目 2 已知：如图，△ABD 中，C 是 AD 边的中点，且 CB＝1

2AD．

求证：AB⊥DB．


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19.2 证明举例（5）

课前导读

第五课时学习的重点是添加辅助线．

课本导学

一、课本第 96 页例题 10 的证明，课本上给了两种添加辅助线的

方法，我们图解一下证明思路，再给出第三种常见的添加辅助线的方

法．

已知：如图①，四边形 ABCD 中，AB＝DC，∠B＝∠C．

求证：∠A＝∠D．图①

证法一（添加辅助线方法一），联结对角线 AC、BD，证明两次全等．

第一次全等第二次全等

证法二（添加辅助线方法二），延长 BA、CD 交于点 P．

等角对等边等边对等角等角的补角相等

证法三（添加辅助线方法三），作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F．

你想想怎么证明？


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课堂导练

二、课本第 97 页课后练习 1，添加辅助线，凭经验，凭直觉．

已知：如图①，AC 与 BD 相交于点 O，且 AC＝BD，AD＝BC．

求证：OA＝OB．

图① 图②“边边边”全等图③ 等角对等边

三、课本第 97 页课后练习 2 的证明方法很多，提供一些备用图，你来研究研究．

已知：如图，点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC，AD＝BC．

求证：BD＝CE．


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19.2 证明举例（6）

课前导读

这节课的两道例题，主要学习添加辅助线的策略．

例题 11 的策略是倍长中线，例题 12 的主要策略是构造“三线合一”．

课本导学

一、图解课本第 97 页例题 11——倍长问题．

已知：∠1＝∠2，BD＝CD，求证 AB＝AC．

策略：倍长中线构造全等三角形，于是∠1＝∠E，进而得到 AB＝EC＝AC．

二、只改变例题 11 的图，或许你不相信这是真的——但它真的是真的．

已知：如图，∠1＝∠2，BD＝CD，那么 FB＝AC 吗？

三、图解课本第 98 页例题 12——倍角问题．我们给出四种思路，还有更多思路．

已知：如图①，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 上一点，AD＝AB．

求证：∠BAD＝2∠C．

思路一（例题解答），构造“三线合一”．

如图②，∠C 与∠B 互余．如图③，∠1 与∠B 互余，∠1＝∠2．

所以∠1＝∠2＝∠C．于是证得∠BAD＝2∠C．

图① 图② 图③

思路二，构造三角形全等．

如图④，∠BAD＝90°＋90°－∠CAC′＝180°－(180°－2∠C)＝2∠C．


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图④

思路三，翻折直角三角形．

如图⑤，在△ABD 中，∠BAD＋2∠B＝180°．

如图⑥，在△BB′C 中，2∠BCA＋2∠B＝180°．

于是证得∠BAD＝2∠BCA．

图⑤ 图⑥

思路四，构造直角三角形．

如图⑦，延长 BA 至 E，使 AE＝AB＝AD，联结 DE．

如图⑧，∠BAD＝2∠E，△BDE 是直角三角形，∠E 与∠B 互余．

又因为，∠C 与∠B 互余，于是∠E＝∠C，进而得到∠BAD＝2∠C．

图⑦ 图⑧

课堂导练

四、上面例题 12 的四种思路，对于课本第 98 页课后练习 1 都是适用的，请你研究．

已知：如图①，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D，∠A＝2∠BCD．

求证：AB＝AC．

图① 图② 图③


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图④ 图⑤

五、课本第 98 页课后练习 2 添加辅助线有两种常见策略——截长、补短．

已知：如图①，在△ABC 中，CD 是△ABC 的角平分线①，BC＝AC＋AD

②．

求证：∠A＝2∠B③．

改编已知：如图①，在△ABC 中，CD 是△ABC 的角平分线①，∠A＝2∠B

③．

求证：BC＝AC＋AD②．


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19.2 证明举例（7）

课前导读

这节课学习证明用普通语言叙述的命题．

难点是根据普通语言叙述的命题，先画图，再写已知、求证．

课本导学

一、分析课本第 99 页例题 13 的画图过程．

求证：三角形一边的两端到这边的中线所在的直线的距离相等．

画图过程：如图①所示：

（1）画△ABC，一般把 BC 边画成水平的，比较习惯．

（2）选择 BC 边．画 BC 边上的中线 AD．

（3）过 B、C 两点向直线 AD 画垂线段 BF、CE，标记垂足．

图① 图② 图③

如果你一开始就画出了如图②或图③所示的△ABC，我估计你基本上被自己的图搞晕

了．几何学习，画图是要讲究的．

二、分析课本第 99 页例题 14 的画图过程．

求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．

画图过程：如图所示：

（1）先画两个全等的三角形，字母对应，用△ABC、△A′B′C′表示．把 BC、B′C′边画

成水平的．

（2）画 BC、B′C′边上的中线 AD、A′D′．

这个题目要证两次三角形全等，图解如下：

第一次“边边边”全等得到∠B＝∠B′ 第二次“边角边”全等


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课堂导练

三、课本第 100 页课后练习 1，也是要证明两次三角形全等．

求证：有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等．

第一次“角角边”全等得到 AB＝A′B′ 第二次“角边角”全等

四、我们帮助同学们完成课本第 100 页课后练习 2 的画图、写已知、求证．

求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等．

已知：如图，△ABC 中，AB＝AC， AD 是 BC 边的中线，P 在 AD 上， PE⊥AB，PF

⊥AC，垂足分别为 E、F．

求证：PE＝PF．


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19.3 逆命题和逆定理

课前导读

命题有真有假，定理都是真命题．

命题都可以写出逆命题，定理当然也可以写出逆命题．

定理的逆命题如果是真命题，就叫逆定理．

这节课学习写逆命题，并判断逆命题的真假．

课本导学

一、课本第 101、102 页的例题、课后练习中的 8 个命题，都是我们熟悉的定理，但是

它们的逆命题中，只有 3 个是真命题．

（1）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．

逆命题是：___________________________________．

（2）全等三角形的面积相等．

逆命题是：___________________________________．

（3）两直线平行，同位角相等．

逆命题是：___________________________________．

（4）全等三角形的对应角相等．

逆命题是：___________________________________．

（5）等边三角形的三个内角都等于 60°．

逆命题是：___________________________________．

（6）关于某一条直线对称的两个三角形全等．

逆命题是：___________________________________．

（7）对顶角相等．

逆命题是：___________________________________．

（8）全等三角形的对应边相等．

逆命题是：___________________________________．

以上 8 个逆命题中，真命题是_________________（填写题号）．

课堂导练

二、写出下列定理的逆命题：

（1）同旁内角互补，两直线平行．

逆命题是：___________________________________．

（2）垂直于同一条直线的两直线平行．

逆命题是：___________________________________．

（3）等边对等角．

逆命题是：___________________________________．

（4）等腰三角形是轴对称图形．

逆命题是：___________________________________．

（5）等边三角形的三条边都相等．

逆命题是：___________________________________．


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（6）如果两条直线互相垂直，那么这两条直线的夹角为 90°．

逆命题是：___________________________________．

（7）如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行．．

逆命题是：___________________________________．

（8）同圆的半径相等．．

逆命题是：___________________________________．

以上 8 个逆命题中，真命题是_________________（填写题号）．


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19.4 线段的垂直平分线

课前导读

我们在 6 年级已经学过用尺规作线段的垂直平分线了，这节课学习线段垂直平分线的性

质定理和判定定理，性质定理和判定定理互为逆定理．

课本导学

一、性质定理：线段垂直平分线上的点到______________的距离相等．

性质定理的证明图解：

“边角边”全等，得 AB＝AC

性质定理的数学表达式，第一种更简明：

∵点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上， ∵QD⊥AB，AD＝BD，

∴QA＝QB． ∴QA＝QB．

二、判定定理（性质定理的逆定理）：和一条线段两个端点_____________的点，在这条

线段的垂直平分线上．

判定定理的证明策略：作垂直，证平分；或者作平分，证垂直．图解如下：

已知 QA＝QB，作垂直，“三线合一”，得中点 D；作中点 D，“三线合一”，得垂直．

判定定理的数学表达式，第一种更简明：

∵QA＝QB， ∵QA＝QB，

∴点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上． ∴QD⊥AB，AD＝BD．

三、性质定理和判定定理完美结合的一个典例——课本第 104 页例题．

已知：如图，在△ABC 中，OM、ON 分别是 AB、AC 的垂直平分线，OM 与 ON 相交于

点 O．

求证：点 O 在 BC 的垂直平分线上．

证明：联结 OA、OB、OC．

∵OM、ON 分别是 AB、AC 的垂直平分线，

∴OA＝OB，OB＝OC．性质定理，这种表达更简明

∴OA＝OC．

∴点 O 在 BC 的垂直平分线上．判定定理，这种表达更简明


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大家思考一个问题：

既然 OA＝OB＝OC，那么以 O 为圆心、过点 A 的圆，一定也经过点______．

课堂导练

四、通过课本第 104 页课后练习 1，我们再学习一种性质定理的数学表达式．

如图，已知在△ABC 中，AB＝AC＝24cm，AC 的垂直平分线分别交 AB、AC 于点 E、F，

且△BCE 的周长为 34cm，求底边 BC 的长．

解：∵EF 垂直平分线段 AC，

∴EC＝EA．这样写也明了

又已知 EB＋EC＋BC＝34，

∴AB＋BC＝34．线段和差

∴BC＝34－AB＝34－24＝10（cm）．代入计算

五、图解课本第 105 页课后练习 2．

已知：如图①，CD 垂直平分 AB，AB 平分∠CAD．

求证：AD//BC．

图① 图②先证∠1＝∠B 图③已知∠1＝∠2

六、图解课本第 105 页课后练习 3．

已知：如图①，AD 平分∠BAC，AD 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 E，交 AD 于点

F．

求证：∠EAC＝∠B．

图① 图②先证∠1＝∠2 图③已知∠3＝∠4


88

19.5 角的平分线（1）

课前导读

我们在 6 年级已经学过用尺规作角的平分线了，这节课学习角平分线的性质定理和判定

定理，性质定理和判定定理互为逆定理．

课本导学

一、性质定理：在角的平分线上的点到______________的距离相等．

性质定理的证明图解：

“角角边”全等，得 PD＝PE

性质定理的数学表达式，两种都不错：

∵点 P 在∠AOB 的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD＝PE． ∴PD＝PE．

二、判定定理（性质定理的逆定理）：在一个角的内部（包括顶点）且到_____________

距离相等的点，在这个角的平分线上．

判定定理的数学表达式，两种都不错：

∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB， ∵PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴点 P∠AOB 的平分线上． ∴∠1＝∠2．

三、性质定理和判定定理完美结合的一个典例——课本第 106 页例题 1．

已知：如图，AO、BO 分别是∠A、∠B 的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别是 D、

E．

求证：点 O 在∠C 的平分线上．

证明：过点 O 作 OF⊥AC，垂足为 F．

∵AO、BO 分别是∠A、∠B 的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，

∴OE＝OF，OE＝OD．性质定理

∴OF＝OD．

∴点 O 在∠C 的平分线上．判定定理


89

大家想两个问题：

（1）这道题目其实不需要已知 OD⊥BC，OE⊥AB，我们以后遇到已知角平分线的题目，

就要想到构造垂线段．

（2）既然 OD＝OE＝OF，那么以 O 为圆心、过点 D 的圆，一定也经过点______．

课堂导练

四、图解课本第 106 页课后练习 1．

已知：如图①，点 P、D 在∠AOB 的平分线上，OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分

别为 M、N．

求证：（1）∠BDO＝∠ADO；（2）PM＝PN．

图① 图② 图③


已知：如图①，PB、PC 分别是△ABC 的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分别为

M、N．

求证：（1）PM＝PN；（2）PA 平分∠MAN．

图① 图② 图③

六、图解课本第 106 页课后练习 3，△ABC 是等腰直角三角形．

已知 DE＝DC ∠ADB 等于多少度？


90

19.5 角的平分线（2）

课前导读

这节课用线段的垂直平分线定理和角平分线定理作几道题目．其中 30°角的直角三角

形中，可以演变出很多问题．

课本导学

一、课本第 107 页例题 2 用了同学们熟悉的三角形全等，其实有了垂直平分线定理，不

用这么麻烦了．

已知：如图①，CD 垂直平分线段 AB，E 是 CD 上一点，联结 CA、CB、EA、EB．

求证：∠CAE＝∠CBE．

图① 图②课本证全等图③其实相减更简单

二、图解课本第 107 页例题 3 的两步证明过程：

已知 AO 平分∠BAC→ OD＝OE→ “角边角”全等得 OB＝OC

课堂导练

三、我们先解读课本第 108 页课后练习 1 的证明策略，再改编这个典型图．

已知：如图①，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,∠B＝30°①

, AE＝AC②，AD 平分∠CAB

③，

交 BC 于点 D，联结 DE．

求证：DE 是 AB 的垂直平分线④．

策略一：证垂直（∠AED＝90°），证平分（E 是 AB 的中点）．

策略二：证垂直（∠AED＝90°），证 D 在 AB 的垂直平分线上．

共同的一步：如图②，△ACD≌△AED，得到∠AED＝90°，∠CAD＝∠EAD＝30°．

图① 图②


91

改编一已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B

＝30°①， AD 平分∠CAB

③，交 BC 于点 D．

求证：点 D 在 AB 的垂直平分线上④．

改编二已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B

＝30°①，DE 是 AB 的垂直平分线

④，交 BC 于点 D，交 AB 于

E．

求证：AE＝AC②，AD 平分∠CAB

③．

改编三已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD

平分∠CAB③，DE 是 AB 的垂直平分线

④，交 BC 于点 D，交

AB 于 E．

求证：∠B＝30°①，AE＝AC

②，

四、图解课本第 108 页课后练习 2．



92

19.6 轨迹（1）

课前导读

轨迹，从字面意思就知道，运动留下的痕迹．

点、线、面、体运动都可以留下轨迹，我们这节课要学习的，是点的轨迹．

课本导学

一、给同学们演示几个熟悉的情景：点动成线、线动成面、面动成体．

二、给同学们演示一下这节课的三个轨迹：

（1）和线段两个端点距离相等的点的轨迹是_______________________________．

（2）在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是_________

__________________．

（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是________________________________．

图① 图② 图③

课堂导练

三、给同学们演示一下课本第 109 页例题 1 的两个轨迹：

（1）底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的___________（____除外）．

（2）经过顶点 A 且半径为 1 厘米的圆的圆心的轨迹是以____为圆心，以_____为半径

的圆．


93

四、给同学们演示一下课本第 110 页课后练习的轨迹：

（1）经过已知点 P 和 Q 的圆的圆心的轨迹是线段 PQ 的_____________________．

（2）到点 A 的距离等于 2cm 的点的轨迹是______________________________．

（3）与已知直线 AB 的距离等于 3cm 的点的轨迹是与 AB 平行，且平行线间的距离为

______的_____条直线．

五、请同学们思考一个轨迹：

已知线段 AB＝3 厘米，以 AB 为腰、点 A 为顶角顶点的等腰三角形的顶点 C 的轨迹是

_______________________________的圆（直线 AB 与圆的两个交点除外）．


94

19.6 轨迹（2）

课前导读

第二课时学习用交轨法确定点的位置，其实就是以前学过的尺规作图．

直尺是用来连线、画线的，圆规是用来画圆、画弧、截取的．

课本导学

一、类型 1，垂直平分线与角平分线的交点．课本第 110 页例题 3、第 111 页课后练习

3 都是这个类型．

请你完成：

例题 3，点 P 在线段 OC 的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点．

课后练习 3，点 P 在线段 EF 的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点．

二、类型 2，在直线上截取定长的线段．课本第 111 页例题 4 是这个类型．

请你用尺规完成：求作△ABC，使 AB＝AC，且 BC＝a，高 AD＝h．

课堂导练

三、类型 3，截取线段，弧与弧的交点．完成课本第 111 页课后练习 1，依据是“边边

边”两个三角形全等．

四、完成课本第 111 页课后练习 3，求作垂直平分线与已知直线的交点．


95

五、类型 4，求作直线与圆的交点，完成课本第 111 页课后练习 4．

注意：以 G 为圆心、a 为半径的圆与∠MON 的平分线有几个交点？


96

19.7 直角三角形全等的判定

课前导读

在七年级我们学习过判定两个三角形全等的 4 种方法：S.A.S，A.S.A，A.A.S，S.S.S．

这节课我们再学习一个判定方法：H.L．

H 是高，L 是斜边，H.L 判定方法是针对两个直角三角形的．

课本导学

一、大家注意一个细节问题，如果用 H.L 方法判定两个直角三角形全等，大括号“前

呼后应”时，要注明 Rt△．对照如下：

在 Rt△______和 Rt△中，在△______和△中，

____________,

____________,

____________,

____________,

____________,

∴Rt△______和 Rt△（H.L）． ∴△______和△（S.A.S）．

二、课本第 113 页例题 1 用 H.L 判定直角三角形全等．其实这个题目还有更简单的面积

法．

已知：如图①，在△ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD＝CE．

求证：△ABC 是等腰三角形．

图① 图② H.L 全等图③ 等角对等边

如图②，已知△ABC 的两条高相等，那么对应的边也相等，即 AB＝AC．

面积法多简单啊，一句话的事情．

三、课本第 113 页例题 2，用 H.L 很容易证明角平分线的判定定理：到角两边距离相等

的点在角平分线上．

添加辅助线的三个经验：

（1）已知角平分线，构造垂线段相等；

（2）已知到角两边距离相等的点，构造角平分线．

（3）已知角平分线，构造全等三角形（翻折）．

课堂导练

四、图解课本第 114 页课后练习 1 的两步证明过程．


97

由∠1＝∠2，得 DE＝DF → 由 H.L 全等，得 EB＝FC

五、图解课本第 114 页课后练习 2 的证明思路．

由 H.L 全等，得 AD＝BC．于是 AC＝BD．

六、图解课本第 114 页课后练习 3 的两步证明过程．

由等边对等角，得 AC＝AD → 由 H.L 全等，得 BC＝DE．

七、图解课本第 114 页课后练习 3 的两步证明过程．

EF 垂直平分 AB，得 FA＝FB →由 H.L 全等，得 AD＝FC．图形补全更漂亮


98

19.8 直角三角形的性质（1）

课前导读

从三角形的内角和等于 180°，我们早已经知道了直角三角形的两个锐角互余，这就是

这节课要学习的定理 1．我们着重学习定理 2．

课本导学

一、课本上证明定理 2 的过程太罗嗦了，用了 21 行．其实一句话就可以讲清楚：

长方形 ABCD 是我们非常熟悉的图形，对角线交于点 E，那么 EA＝EB＝EC＝ED．

我们把这个图形擦去一半，保留另一半，那么 BE 就是直角三角形 ABC 斜边上的中线，

容易得到 BE 等于 AC 的一半．

这就是定理 2，直角三角形斜边上的中线等于__________的一半．

二、定理 2 的数学表达式更多的象文字表达式，这样写简明，连理由都省了：

∵BE 是 Rt△ABC 斜边上的中线，

∴1

2BE AC ．

三、如果我们把课本第 116 页例题 2 改编一下，那么证明过程的差异，只在最后两行的

因果互换一下，你来看看．

已知：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，E、F 分别是 AB、AC 的中点，且 DE＝DF①．

求证：AB＝AC②．

改编：如图，在△ABC 中，AD⊥BC，E、F 分别是 AB、AC 的中点，且 AB＝AC②．

求证：DE＝DF①．

证明：∵AD⊥BC（已知），

∴∠ADB＝∠ADC＝90°（垂直的意义）．

又∵E、F 分别是 AB、AC 的中点，

∴1

2DE AB ，

1

2DF AC ．

∵

∴

∵

∴

课堂导练

四、课本第 116 页课后练习 1，图文对应起来是不是有点头晕？给你一组备用图，再给

你一个全景图，你来研究．


99

五、课本第 117 页课后练习 2，可能是这本书里图形最复杂，书写过程最简短的一道典

型题了，因此它是上镜率也很高哦．我们把图形拆分开来好理解．

∵MD、ME 分别是 Rt△DBC 和 Rt△EBC 斜边上的中线，

∴______________，______________．

∴___________．

又∵N 是 DE 的中点，

∴____________（等腰三角形的“____________”）．

六、图解课本第 117 页课后练习 3 的思路．

原图中点 E，得 BE＝DE 全等，得 OE＝OF 三线合一，得 BD⊥EF

七、图解课本第 117 页课后练习 4 的思路：设 F 为 Rt△CDE 的斜边 DE 的中点．


100


课前导读

上节课我们把熟悉的长方形劈开来，得到了定理 2．

这节课我们再把熟悉的等边三角形劈开来，就会得到两个推论．

课本导学

一、劈开熟悉的等边三角形，得到课本第 118 页的两个推论：

推论 1 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于

_____________．

推论 2 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角

等于__________．

二、这两个推论文字较长，我们一般简便的表述为：

推论 1 30°角所对的直角边等于_____________．

推论 2 直角边等于斜边的一半，那么它的对角等于__________．

三、课本第 118 页例题 3，一看就明白的题目，过程写了 14 行．

这个图形很典型，这个过程分两段：

已知 3 个条件推论 1，得1

2AD DC 等角对等边，得 BD＝AD

四、课本第 119 页例题 4 也是典型图，课本证法为了用推论 2，反而较麻烦．

中点 E，得 EA＝EB＝EC CD 垂直平分 EB，得 CE＝CB 等边三角形 BCE

课堂导练

五、课本第 119 页课后练习 1，请你在下列备用图中把所有的 30°角都标注出来，你就

有思路了．


101

六、课本第 119 页课后练习 2，又是这个典型图．请你在下列备用图中把角的度数，按

照推理的先后顺序标注出来．

七、图解课本第 120 页课后练习 3 的两步思路：

第一步，MB＝MA 第二步，MA＝2AC

八、图解课本第 120 页课后练习 4 的两步思路：

第一步，PD＝PE 第二步，MP＝2PE


102


课前导读

这节课我们图解例题和课后练习的思路．

课本导学

一、图解课本第 120 页例题 5 的两步思路：

中点 F，得 FA＝FD，等边对等角内错角相等，两直线平行

二、图解课本第 120 页例题 6 的两步思路：

中点 F，得等边三角形 CMB 三线合一，得 CD⊥AB

课堂导练

三、图解课本第 121 页课后练习 1 的三步思路：

证 DC＝DE 已知 AD＝2CD，得 30° 证等角，得等边

四、图解课本第 121 页课后练习 2 的三步思路：

已知1

2DE AB ，证 AD＝FE 证全等，得 DF＝EC 中点 E，得 EB＝EC


103

五、图解课本第 121 页课后练习 3 的两步思路：

证∠1＝∠2＝∠B，得 30° 证 BD＝AD＝2CD

六、课本第 121 页课后练习 4，小明画 30°角的画法是正确的，依据是：如果直角边等

于斜边的一半，那么_________________________．

我们改编一道题目：

画扇形 AOB，圆心角∠AOB＝90°，半径 OA＝4cm，点 C 是 OB 上的一个动点，以 C

为圆心，OA 为半径画弧交 OA 于点 D．设 CD 的中点为 E，那么点 C 从 O 向 B 运动的过程

中，点 E 运动的轨迹是什么呢？

联结 OE．在 Rt△COD 中，斜边 CD＝OA 为定值，因此斜边上的中线 OE 也为定值．因

此点 E 在以____为圆心，以________长为半径的圆上．


104

19.9 勾股定理（1）

课前导读

第一课时我们学习勾股定理，并熟记一些常用的勾股定数．

课本导学

一、由“垂线段最短”引出的一个定理：直角三角形的斜边大于_________．

二、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于__________________．

勾股定理的证明方法有 100 多种，我们介绍几种拼图的方法．

证法 1 证法 2 证法 3

（1）证法 1，根据大正方形的面积等于 4 个直角三角形的面积与小正方形的面积和，

得(a＋b)2＝4×ab÷2＋c

2．整理，得 a2＋b

2＝c2．

（2）证法 2，由 c2＝4×ab÷2＋(b－a)

2，整理，得 c2＝a

2＋b2．

（3）证法 3，直接割补，得 a2＋b

2＝c2．

三、勾股定理最直接的应用：

在直角三角形中，已知两条边的长，就能求出第三边的长．

已知直角边 a、b，那么斜边 c＝_______________；

已知斜边 c、直角边 a，那么直角边 b＝_______________．

课堂导练

四、计算并熟记下列各组常见的勾股数：

（1）已知两条直角边的长是 3 和 4，那么斜边长为_____，记作（3，4，___）；

把这组勾股数放大，得到（6，8，___），（9，12，___），（12，16，___），（15，20，___）．

（2）已知两条直角边的长是 5 和 12，那么斜边长为_____，记作（5，12，___）．

放大这组勾股数，得到（10，24，___）．

（3）用平方差公式计算：252－24

2＝______，这组勾股数是（___，24，25）；

412－40

2＝______，这组勾股数是（___，40，41）

612－60

2＝______，这组勾股数是（___，60，61）．

五、三组勾股数的一个完美结合：

（9，12，___），（12，16，___），（___，___，25）．


105

六、在等腰三角形中，勾股定理常常和“三线合一”伴随．

（1）△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，求 S△ABC．




七、再回顾两个熟悉的直角三角形，根据已知的边长，填写未知的边长．


106

19.9 勾股定理（2）

课前导读

第二课时继续学习勾股定理，学习下列内容：

1．求等边三角形的面积；

2．勾股定理的面积意义；

3．用勾股定理作 n 和 ( 2)n ；

4．勾股定理的经典例题．

课本导学

一、从勾股定理的数学式 a2＋b

2＝c2，我们不由得就想到正方形的面积．

（1）勾股数（3，4，5）的面积图形．

（2）下面两个“勾股树”，已知每个最大的正方形的面积为 50，那么每个图形中最外

层的正方形的面积和（阴影正方形的面积和）等于_________．

二、课本第 125 页例题 1 和想一想的过程和结论都很典型，你来做一遍．

（1）等边三角形 ABC 的边长为 1，求 S△ABC．

（2）等边三角形 ABC 的边长为 2，那么 S△ABC＝________．

（3）等边三角形 ABC 的边长为 a，那么 S△ABC＝________．


107

课堂导练

三、对照 n 与 ( 2)n 的几何意义，都是勾股定理来帮忙：

请把下列两个图形中未知的边长计算出来，写在对应的线段旁．

四、已知绳子沿旗杆自然下垂时，绳子比旗杆多了 1 米．如果把绳子拉直，绳子的末端

在地面上，测得末端距离旗杆底部的距离为 5 米，求旗杆的高度．

〖解析〗如图，设旗杆的高度为 x 米，那么绳子的长度为(x＋1)米，根据由勾股定理列

方程就可以解决问题了．

五、课本第 127 页课后练习 1 是一组勾股数，我们先来计算：

2 2 2 2( 1) (2 )a b n n __________________＝( )2．

这组勾股数是(n－1， 2 n ，________ )．

当 n 分别为 4，9，16，25 时，对应的勾股数是(____，____，____ )，(____，____，____ )，

(____，____，____ )，(____，____，____ )．

六、课本第 127 页课后练习 2，求五边形 ABCDE 的面积，有人喜欢“割”，有人喜欢“补”，

你喜欢怎样？


108

19.9 勾股定理（3）

课前导读

第三课时学习勾股定理的逆定理．

勾股定理的逆定理，在表述的时候，容易出现错误．

课本导学

一、对照课本第 129 页勾股定理的逆定理，看看下面常见的表述错误错在哪里？

如果一个三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角

形．

二、勾股定理的逆定理的证明过程，是独一无二的特别，我形象的把这个过程叫“冲印

照片判断底片是谁”．

（1）已知一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2＋b

2＝c2，因此 2 2c a b ；

（2）构造一个直角三角形，使它的两条直角边是 a、b，根据勾股定理，它的斜边长为

2 2a b ；

（3）根据“边边边”可知两个三角形是全等的，根据对应角相等，得到三边 a、b、c

满足 a2＋b

2＝c2 的三角形是直角三角形．

三、阅读课本第 129 页例题 5，再来熟记几组勾股数：

（8，15，____），（____，12，13），（____，24，25），（____，21，29）．

四、课本第 129 页例题 6，又是两组勾股数的美妙结合．

而且解题过程，既用到了勾股定理，又用到了勾股定理的逆定理．图解如下：

已知四边形 ABCD 的四条边长和一个直角，

先根据_________定理，计算 BD2＝_______，

再计算 72＋24

2＝_______，

由此得到 AD2＋AB

2＝BD2．

根据_______________定理，得到∠______＝90°．

四边形 ABCD 的面积等于两个直角三角形的面积和，

等于______＋_____＝______（平方米）．

课堂导练

五、怎样判断一组数据是不是勾股数（三角形是否是直角三角形）？

一般用两个策略：放缩数字、平方差公式．

我们一起来完成课本第 130 页课后练习 1 和课后练习 2．

练习 1（1）把 0.3，0.4，0.5 放大为 3，4，5，

所以它们_____（填“是”或“不是”）直角三角形的三边．

（2）把 0.5，1.2，1.3 放大为___，___，___，

所以它们_____直角三角形的三边．


109

练习 2（1）因为 132－11

2＝(13＋11)(13－11)＝_______，

所以 8，11，13_____直角三角形的三边．

（2）把 6.5，2.5，6 放大为___，___，___，

因为____________________________________，

所以 6.5，2.5，6_____直角三角形的三边．

（3）因为____________________________________，

所以 40，41，7_____直角三角形的三边．

六、按照提示完成课本第 130 页课后练习 3．

先根据______________定理判断直角△BCD 再根据_____定理列方程


110

19.9 勾股定理（4）

课前导读

本节课文第一句话开宗明义：我们来探讨勾股定理和它的逆定理的有关应用．

1．已知直角三角形的两边，求第三边和斜边上的高——面积法；

2．求证两条线段的平方和等于第三条线段的平方，设法构造直角三角形；

3．有公共边或者相等边的两个直角三角形，应用勾股定理计算或列方程．

课本导学

一、图解课本第 130 页例题 7 用到的两个定理、一个计算方法．

（1）已知三角形的三边长为 10，24，26，这不是一组勾股数（5，12，13）的放大版

吗？由_______________________定理，判定这是一个直角三角形；

（2）点 M 是斜边上的中点，直角三角形斜边上的中线等于___________________；

（3）求△ABC 的面积，如果底边是 AC，那么高是_______；如果底边是 AB，那么高

是_______．因此我们得到一个重要的计算方法——面积法：AC·_____＝AB·_____．

二、课本第 131 页例题 8，多次出现在全国各地的中考探究题中，我们把题目和图形改

造一下：

如图①，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 边的中点，DE⊥DF，DE 交 CA 于 E，

DF 交 CB 于 F．那么线段 AE、EF、FB 之间有怎样的数量关系？

【分析】探究 3 条线段的数量关系，先凭直觉、度量等经验看看是否存在和差关系．否

则就要考虑勾股关系，设法把三条线段归拢到一个直角三角形中．

【经验】从点 D 入手，点 D 既是一个垂足，又是一个中点，那么就构造垂直平分线．

图① 图② 图③ 图④

（1）如图②，延长 ED 到 E′，使得 DE′＝DE，于是 DF 垂直平分 EE′，EF＝E′F；

（2）如图③，“角边角”证△AED≌△BE′D，得到 AE＝BE′，∠A＝∠DBE′．

于是 CA//BE′，∠FBE′＝90°．

（3）如图④，在 Rt△FBE′中，由勾股定理，得 E′B2＋BF

2＝E′F2．

【拓展研究】

保持题目的已知条件不变，把点 E、F 的位置改变一下，那么上述结论是否改变？

如图⑤，点 E 在 CA 的延长线上；如图⑥，点 E 在 AC 的延长线上；如图⑦，点 E 在

CA 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上．


111

图⑤ 图⑥ 图⑦

请你利用下面 3 个图研究图⑤的情形：

请你利用下面 3 个图研究图⑥的情形：

请你利用下面 3 个图研究图⑦的情形：

课堂导练

三、图解课本第 132 页课后练习 1 的三步：

（1）判定直角三角形 ACD；

（2）Rt△ABD 中，勾股定理计算 BD．

（3）求 BC．

解：


112

四、图解课本第 132 页课后练习 2：

图① 图②

如图①，根据斜边相等，列方程就可以解决问题了．

请你利用图②，进一步探究，在本题结论下，DE 与 CE 的位置关系．

解：


113

19.10 两点的距离公式

课前导读

如果已知两条直角边，我们就可以用勾股定理计算斜边的长．

已知坐标系中的任意两个点，如果这两个点的联线不是水平的或者竖直的，我们可以构

造一个直角三角形，使这条线成为斜边．

课本导学

一、回顾 6 年级学过的数轴上两点间的距离：AB＝_____，CD＝_________．

二、回顾 7 年级学过的与坐标轴平行的两点间的距离：

AB＝____________，CD＝___________；EF＝____________，GH＝___________．

三、引出本节课两点间的距离公式：

已知 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，怎样求 A、B 两点间的距离呢？分三步：

（1）构造直角三角形 ABC，突破关键，点 C 的坐标是__________；

（2）表示两条直角边的长：BC＝____________，AC＝____________；

（3）根据勾股定理写斜边：AB＝ 2 2BC AC ＝ 2 2( ) ( ) ．

四、两点间的距离公式很容易记错，我们这样来记：

勾股定理求斜边①，横边等于横减横

②，纵边等于纵减纵

③．

解释：①先写好勾股定理的数学式的结构：AB＝ 2 2( ) ( ) ；

②横减横就是横坐标减横坐标；③纵减纵就是纵坐标减纵坐标．


114

课堂导练

四、基本功训练：求 A、B 两点间的距离．

（1）已知 A(3,1)、B(－1,－2)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（2）已知 A(－2,8)、B(－8,0)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（3）已知 A(－2,3)、B(－3,5)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（4）已知 A(4,10)、B(－1,－2)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（5）已知 A(－1,－1)、B(0,－2)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（6）已知 A(3,0)、B(0,－3)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（7）已知 A(－6,5)、B(4,－5)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

（8）已知 A(－4,－3)、B(4,3)，那么 AB＝ 2 2( ) ( ) ＝______．

五、课本第 133 页例题 1 是一道典型题，根据两点间的距离公式列方程．

【技巧】一般不要根据 PA＝PB 列带根号的方程，而根据 PA2＝PB

2直接列整式方程．

改编一下：已知 A(3, 3)、B(6, 1)，点 P 在坐标轴上，且 PA＝PB，求点 P 的坐标．

解：（1）当 P 在 x 轴上时，设 P(x, 0)，根据 PA2＝PB

2 列方程，得

___________________________． ←请继续完成

（2）当 P 在 y 轴上时，设 P(0, y)， ←请继续完成

六、课本第 133 页例题 2 的解答，依然有点麻烦．过程中不带根号简便一些．

已知 A(－1,4)、B(－4,－2)、C(2,－5)，判断△ABC 的形状．

解：AB2＝

BC2＝

AC＝

计算

比较：①相等线段；

②注意平方和

结论


115

七、仿照上面例题 2 完成课本第 134 页课后练习 2：

（1）已知 A(－3,1)、B(1, 4)、C(－6,－4)，判断△ABC 的形状．

解：AB2＝

BC2＝

AC＝

计算

比较：①相等线段；

②注意平方和

结论

（2）已知 E(4, 3)、F(1, 2)、G(3,－4)，判断△EFG 的形状．

解：EF2＝

FG2＝

EG＝

←请继续完成

八、课本第 134 页课后练习 3，我们用两种方法完成：

方法一（几何法）如图，作 AD⊥BC．在 Rt△ABD 中计算两条直角边 BD、AD 的长，

就可以写出点 A 的坐标了．根据对称性，直接写出点 A′的坐标。

方法二（代数法）设点 A 的坐标为(x, y)，根据 AB2＝BC

2＝16，AC2＝BC

2＝16 列一

个关于 x、y 的方程组．这个方程组的两个式子相减，就直接得到 x 的方程．试试看．


116

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