19. Tema 19: Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al ...
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Índice
19.Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz..................................................................................................................1
19.1.Introducción........................................................................................................................................................................1
19.2.Permutaciones...................................................................................................................................................................2
19.3.Determinantedeunamatrizcuadrada...................................................................................................................2
19.4.Propiedadesdelosdeterminantes............................................................................................................................3
19.5.Desarrollodeundeterminanteporunalínea......................................................................................................5
19.6.Cálculodedeterminantesdeordenelevado.........................................................................................................6
19.7.Matricesregulares............................................................................................................................................................7
19.8.Cálculodelrangodeunamatriz.................................................................................................................................7
19.9.Resumen...............................................................................................................................................................................8
19.10.Conclusión.........................................................................................................................................................................9
19.11.Bibliografía........................................................................................................................................................................9
Oposiciones de Secundaria (Matemáticas)
Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz.
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19. Tema19:Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al cálculo del rango deunamatriz.
19.1. Introducción
LEGISLACIÓN Actualmente, el currículo de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato viene
determinadoporelsiguientemarcolegislativoestatalyautonómico:
•RealDecreto1105/2014,de26dediciembre.
•Decreto48/2015de14demayodelConsejodeGobierno.
•Decreto52/2015,de21demayo,delConsejodeGobierno.
CURRÍCULO
El cálculo matricial tiene importantes aplicaciones, como la resolución de sistemas deecuaciones lineales.Otrasaplicacionesseencuentranal trabajaral trabajarenFísicaCuánticaoenTeoríadeGrafosyseutilizanencomputaciónporlasimplicidaddesumanipulación.
Sin embargo, y aunque es un concepto inherente a muchos otros trabajados en cursosanteriores,comoes laresoluciónolaexistenciaonodesolucionesasistemasdeecuaciones,noeshastasegundocursodeBachilleratocuandoelconceptodematriz,determinanteysusaplicacionesaparecenenelcurrículo.
En este curso, se pretende utilizar los conceptos de matriz, elemento, dimensión, etc. eidentificaryusarlosdistintostiposdematricespararepresentardatosprovenientesdetablasografosypararepresentarsistemasdeecuacioneslineales.Además,el/laalumno/aaprendeareconocerlasmatrices como cuadros de números y valorar su utilidad para organizar y manejar informaciónformandoparte esencial de los lenguajesdeprogramación, así comoa realizar adecuadamente lasoperacionesdefinidasentrematricesymanejarlaspropiedadesrelacionadasconosdeterminantesdeformamanualoconelapoyoderecursostecnológicos.
O.D.
Lossistemasdeecuaciones linealestienenuna importanciaespecial,yaqueenmultituddesituacionesdelascienciastantodelanaturaleza,comodelafísica,laquímica,etc.,comodelascienciashumanas y sociales, como la economía, la psicología, la sociología, etc., aparecen frecuentementesituaciones cuya expresión cuantitativa conduce de forma natural a grandes sistemas de muchasecuacioneslinealesconmuchasincógnitas.
Actualmentemuchosprogramasparaordenadoresutilizanelconceptodematriz.Unejemploson las hojas de cálculo, utilizadas en gestión empresarial y en gestión científica, y que funcionanutilizandounainmensamatrizconcientosdefilasycolumnasencuyascasillaspuedenintroducirsedatosyfórmulasapartirdelascualesserealizanloscálculosagranvelocidad.
Sabemos que el estudio de los determinantes puede realizarse también a través de lasaplicaciones multilineales, pero no será éste el enfoque que daremos a nuestro desarrollo porconsiderarlo,actualmente,pocoutilizadoenelniveldeenseñanzasecundaria.
HISTORIA
El primero en tratas de sistematizar el tratamiento de los sistemas lineales fue el granmatemáticoalemánLeibniz,quienen1693introdujolanocióndedeterminante.En1750,Cramer,dioconuna reglapara la resolucióndirectade los sistemasusandodeterminantes.En1773,Lagrangeobservólaconexiónentreelvolumendeltetraedroenelespaciotridimensionalyelvalordeunciertodeterminante.
EsamediadosdelsigloXIXcuandoSylvester(1814‑1897)introduceporprimeravezeltérminodematriz para referirse a un cuadro rectangular de números. El desarrollo inicial de la teoría dematrices se debe a Hamilton (1805‑1865), y es Cayley (1821‑1895) quien introduce la notaciónmatricialcomounaformaabreviadadeescribirunsistemalinealdemecuacionesconnincógnitas.
Acontinuación,desarrollaremoseltemasiguiendoelíndiceanteriormenteexpuesto.
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19.2. Permutaciones
SeaA=(aij)unamatrizcuadradadeordenn.SellamadeterminantedeAyserepresentapordet(A)o|A|,alnúmerorealsumadelosn!productosdenelementosformadosdelamanerasiguiente:encadaproductoentraunelementoysólounodecadafila,yunoysólounodecadacolumna,asignandoacadaunodeestosproductoselsigno+o–segúnquelaspermutacionescorrespondientesalosprimerosyalossegundosíndicesseandelamismaodedistintaclase.
Escribiremosesosproductosdelaforma:a1σ(1) ·a2σ(2) · ... ·anσ(n),dondelapermutacióndelosprimerosíndiceseslaidentidadyladelossegundosesσ,comolaidentidadessiempredeclasepar,elsignodeesetérmino
es: ,esdecir,(-1)σ(1,…n).
Consideremosunejemploconcreto.Sean3númeroscualesquiera,{1,2,3},seentiendeporpermutacióndeesos3númerosalasdistintasformasquetenemosdeordenareseconjunto.Deestaformapodemosdecirqueesteconjuntotienelassiguientespermutaciones:{1,2,3},{1,3,2},{2,3,1},{2,1,3},{3,1,2},{3,2,1},esdecir,untotalde6permutaciones,númeroquecoincidecon3!.
Recordemos que una permutación es par (impar) si el número de inversiones necesario paratransformarlaenlapermutaciónidentidadespar(impar).
Todapermutaciónsepuedeescribircomoproductodeinversiones(ótrasposiciones),dondeunainversiónesunapermutaciónquedejatodosloselementosfijosmenosdos.
Unatrasposicióndeunapermutacióneselcambiodeordenentredoselementosdeunapermutación,asíporejemplosipasamosdelapermutación{1,3,2}alapermutación{1,2,3}hemosrealizadounatrasposiciónpueshemosintercambiadoloslugaresdel2y3.
Enesteterrenosueleresultarconvenienteobtenerelnúmerodetrasposicionesnecesariosparareordenarunapermutacióncualquieraytransformarlaenlapermutacióninicial{1,2,....,n}
Porejemplo: Las siguientespermutaciones requieren los siguientes cambios: {3,2,1} -> {1,2,3} (1 sólatrasposición);{2,3,1}->{1,3,2}(cambio1por2)->{1,2,3}(el2porel3)(2trasposiciones).
19.3. Determinantedeunamatrizcuadrada
SealamatrizcuadradadeordennsobreuncuerpoK:
, donde Sn
representaelgrupodelaspermutacionesde{1,…,n},esdecir: biyección.
Observaciones1. EldeterminantedeAesigualalasumadetodoslosn!productosdeltipo±a1ha2k…anlo,también,
deltipo±a1ha2k…anltalesque:encadaproductohayunelemento,ysólouno,decadafiladeAy,ala vez, hay un, y sólo uno, elemento de cada columna de A; el signo± es + ó – según que lapermutación(h,k,…,l)de(1,2,…,n)seaparoimpar,respectivamente.
2. LaigualdadentrelasdosexpresionesdadasparadetApruebanquecualquierpropiedadreferidaalasfilasdeundeterminanteestambiénválidasiselarefierealascolumnasyrecíprocamente.
19.3.1. Determinantesde2y3ordenLosdeterminantesde2y3ordentienenlossiguientesdesarrollos:
si es de clase par( )
- si es de clase impars s
+ì ü= í ýî þ
( )
11 12 1
(1,..., )21 22 21 (1) ( ) 1 (1) ( )
1 2
( )· · · 1 · · ·n
n
nnn n n n
S
n n nn
a a aa a a
A A S a a a a
a a a
ss s s s
s
sÎ
æ öç ÷ç ÷= Þ = … = - …ç ÷ç ÷è ø
å å
!
!
" # # "
!
{ } { }: 1,..., 1,...,n ns ®
( ) ( ) { }{ }
0 111 1211 22 12 21 11 22 12 21
21 22
1
1,2 0 2,1
. 1 . . . 1
a aA A a a a a a a
con trasposicionescon trasposición
a aa aæ ö
= ® = - + - = - Þç ÷è ø
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19.3.2. DeterminantedeunamatriztriangularEl determinante de unamatriz triangular (superior o inferior) es el producto de los elementos de su
diagonalprincipal.Asíocurre,puessiA=(aij)esmatriztriangular,elúnicodelosn!productosa1σ(1)·a2σ(2)·...·anσ(n),quenoesnuloesa11a22…ann,quecorrespondealapermutaciónprincipal(1,2,…,n),queespar.Portanto,detA=a11a22…ann.
Nota:elcálculodedeterminantesdeordenmayorque3esmuylaborioso,asípues,veremosunmétodoquepermitereducirelcálculodeundeterminantedeordenpaotrosdeordenp-1…,hastasolucionarcálculosdedeterminantesde2y3orden.
19.4. Propiedadesdelosdeterminantes
1. EldeterminantedeunamatrizAcoincideconeldeterminantedesumatriztraspuestaAt.Esdecir,det(A)=det(At).
Demostración: Sean A = (aij) y At = (a’ij), se tiene que a’ij = aij. Por definición:.Porlaconmutatividaddelcuerpoℝ(loselementosdeApertenencenaℝ)
sepuedeescribireltérminogeneraldemaneraque{σ(1),σ(2),...,σ(n)}vuelvaalordennatural{1,2,...,n}.Sepasadelprimeroal segundo conjuntomediante lapermutación r=σ–1. Si ponemos∀i∈ {1, ..., n}:σ (i) = k,entonces:r(k)=i.Y,enconsecuencia:a’iσ(i)=a’r(k)k=a’kr(k),eltérminogeneralseescribe(señalandoques(r)=s(σ–1)):s(r)·a1r(1)·a2r(2)·…·anr(n).Porotraparte,sumarcuandorrecorreSnvieneasercomosumarcuandoσ–1=rrecorreSn,obteniéndosecomoconsecuencia: .
2. Alpermutardosfilasodoscolumnasenunamatrizcuadrada,sudeterminantecambiaúnicamentedesigno.
Resultaevidente,porloqueomitimossudemostración,yaquealpermutardosfilasodoscolumnaslaspermutacionesqueseobtienencambiandeclase,y,portanto,hayuncambiodesignoperoelvalorabsolutodeldeterminantesemantiene.
3. Siunamatrizcuadradatienedosfilasodoscolumnasidénticas,sudeterminantevalecero.
Demostración:
Enefecto,segúnlapropiedad2),sienundeterminantecambiamosdosfilasocolumnasentresí,elvalordeldeterminantecambiadesigno.Porlotanto:|A|=–|A|⇒2|A|=0⇒|A|=0.
4. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeunamatrizcuadradasonigualesacero,entonceselvalordeldeterminanteescero.
Demostración:
Estosededucedeladefinicióndedeterminante: .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
11 12 130 1 1 2 1 2
21 22 23 11 22 33 11 23 32 13 22 31 13 21 32 12 21 33 12 23 31
31 32 33
11 22 33 11 22 33 12 23 31 13 22 31 11 23 32 12 21 33
1 1 1
1,2,
3
1 1 1
a a aA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a
inversion
a a a a a a a a a a a a a a a
æ öç ÷= = - + - + - + - + - + - =ç ÷ç ÷è ø
= + + - - - Þ
{ }{ }{ }{ }{ }
01,3,2 13,2,1 13,1,2 22,1,3 12,3,1 2
esinversionesinversionesinversionesinversionesinversiones
======
( ) 1 (1) ( )( )· ' · · 'n
n nS
tde A S at a s ss
sÎ
= …å
( ) 1 (1) ( )(r)· ' · · ' det( )n
r nr nr S
t S a ad t Ae AÎ
= … =å
11 12 1
21 22 21 (1) ( )
1 2
( )· · ·n
n
nn n
S
n n nn
a a aa a a
A S a a
a a a
s ss
sÎ
= = …å
!
!
" # # "
!
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Silafilai-ésimaeslaqueestácompuestaporceros,resultaqueenlasumaquedefineeldeterminante,encadaunodelossumandossiempretienequefigurarunelementodelafilai-ésimay,porconsiguiente,unodelosfactoresqueaparecenencadasumandoesceroylasumaes,portanto,cero.
5. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeundeterminantecontienenunfactorcomún,estefactorcomúnpuedesacarsefueradelsignodeterminante.
Demostración:Recurriendoaladefinición:
Comocorolariodeestapropiedad,resultaqueparamultiplicarundeterminanteporunnúmerokbastamultiplicarunafilaounacolumnadeldeterminantepordichonúmero.
6. Unamatrizcuadradacondosfilasodoscolumnasproporcionalestienedeterminantenulo.
Demostración:
Esevidente,pues,porlapropiedad5),podemossacarelfactorcomúnfueradeldeterminanteyquedaeldeterminantedeunamatrizcuadradacondosfilasocolumnasigualesque,porlapropiedad3),tendrávalorcero.
7. Siloselementosdecualquierfilaocolumnadeunamatrizcuadradasonsumasdeigualnúmerodetérminos(cosaquesiemprepuedelograrseañadiendocerosparaaquellosquetenganmenornúmero),entoncessudeterminanteasociadoesigualalasumadetantosdeterminantescomosumandosfigurenenlafilaocolumna,enlosquetodaslasfilasocolumnaspermaneceninalteradassalvolaqueestáformadaporsumandos,queseráreemplazadaporelprimersumandoparaelprimerdeterminante,porelsegundosumandoparaelsegundo,yasísucesivamente.
Demostración:
Supongamosqueeslafilai-ésimalaquetieneksumandosydemostrémosloparak=3:
8. Siunafila(ocolumna)deAescombinaciónlinealdeotrasfilas(ocolumnas)entonceseldeterminante
escero.
9. Sialoselementosdeunafila(ocolumna)deunamatrizselesumaunacombinaciónlinealdealgunas
otrasfilas(ocolumnas),elvalordeldeterminantenovaría.Estapropiedadesmuyútil,puesconella
puedeconseguirsequeenalgunasfilasocolumnasaparezcanceros,loquesimplificaráeldesarrollo
deldeterminante.
Demostración:Veamoslapropiedad,suponiendoquea lacolumnai-ésimaleañadimoslaprimera
multiplicadapor«p»ylasegundapor«q».
11 12 1 11 12 1
1 (1) ( ) ( ) 1 (1) ( )1 2 1 2
1 2 1 2
( )· · · · · ( )· · ·n n
n n
i i n n n ni i in i i inS S
n n nn n n nn
a a a a a a
A S a ka a k S a a kka ka ka a a a
a a a a a a
s s s s ss s
s sÎ Î
= = … = … =å å
! ! ! !
" # # ! " " # # ! "
$! ! ! !
" # # # " " # # # "
! ! ! !
1 (1) ( ) ( ) ( ) ( )
1 (1) ( ) ( ) 1 (1)
11 1
1 1 1
1
( )· · ·( · ·
( )· · · · · ( )·
... +b +c ... +b +c ) ... n
n
i i i i i i n nS
i i n nS
n
i i i in in in
n nn
S a a a
S a a a S a
a aa a b ca a
s s s s ss
s s s ss s
s
s s
Î
Î
…
…
= + + =
= +
å
å
!
! ( ) ( ) 1 (1) ( ) ( )
11 1 11 1 11 1
1 1 1
1 1 1
· · · · ( )· · · · ·
... ... ... ... ... ... c ... ... ...
n n
i i n n i i n nS S
n n n
i in i in i in
n nn n nn n nn
a S a ab c
a a a a a aa a b b ca a a a a a
s s s s ss
sÎ Î
… …+ =
= + +
å å! !
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19.5. Desarrollodeundeterminanteporunalínea
Sea ,sellamamenorcomplementariodelelemento ,aldeterminantedelamatrizdeorden
n-1obtenidaalsuprimirlafilaiylacolumnaj(sedenotapor ).Definimosadjuntodel ,
Ejemplo:
19.5.1. Teorema(Desarrollodeldeterminante)
Teorema:Si , , (desarrollodeldeterminanteporloselementosdelai-
ésimafila)ó , (desarrollodeldeterminanteporloselementosdelaj-ésimacolumna).
Demostración:
FijémonosenelvalordelasumadetodoslostérminosdeAquecontienenundeterminadoelementoaij.Paramayorcomodidad,yfacilitarelrazonamiento,elijamosa11.
Eltérminogeneraldeldesarrollodedichodeterminantees: ,dondeδindicaelnúmerodeinversionesdej1,j2,...,jn,queportenerquefigurareltérminoa11hacequej1=1.Entonceselvalorbuscadodetalsumaserá: ,dondeelΣseextiendeatodaslaspermutacionesj2j3...jndelosnúmeros2,3,...,n.
Además,comoelíndice1noformainversiónconningunodelosíndicesj2,j3,...,jnhacequeδseaelnúmerodeinversionesdelaspermutacionesdelosíndicesj2,...,jn.Portanto,Σa2j2·a3j3...anjnnoesotracosaqueα11·
11 12 1 11 1 11 12 1
21 22 2 21 2 21 22 2 (7) (5)
1 2 1 1 2
11 1 1 11 11 1 1
21 2 2 21 21 2
1 1 1
n i n
n i n
n n nn n ni n n nn
i n n
i n n
n ni nn n n nn
a a a a a pa qa aa a a a a pa qa a
A
a a a a a pa qa a
a a a a a a aa a a a a a
A p q
a a a a a a
+
+ ++ +
= Þ ¾¾¾®
+ +
= + +
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" # # " " # # # "
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" # # # " " # # # "
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1 12 1
21 22 2 (3)
1 2
11 1 1
21 2 2
1
·0 ·0
n
n
n n nn
i n
i n
n ni nn
a aa a a
a a a
a a aa a a
A p q A
a a a
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= + + =
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" # # # "
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" # # # "
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( )ij nA a M= Î ija
ija ija ( 1) ·i jij ijA a+= -
( )
( )
( )
624 24 24
413 13 13
321 21 21
1 2 42 0 0 4, 1 41 1 1
1 2 4 02 1 1
2 1 0 12 0 1 3, 1 3
2 0 0 11 1 0
1 1 1 02 4 00 0 1 2, 1 21 1 0
A
A
A
a a
a a
a a
ì ì - üï ï ï= = = - =í ýïï ïï -î þï-æ ö ïì - üç ÷- ïï ïç ÷Þ = = - = - = -íí ýç ÷ ïï ïç ÷ î þï-è ø ïì - ü
ïï ï= = = - = -ïí ýïï ï-î þî
( )ij nA a M= Î1.
n
ij ijj
A a A=
=å 1 i n£ £
1.
n
ij iji
A a A=
=å 1 j n£ £
( )1 21 21
nj j nja a ad- !
( )1 2 21 2 11 21
n nj j nj j nja a a a a ad- = å! !
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Enconsecuenciaa11·Σa2j2·a3j3...anjn=a11·α11.
Observandoahoraelvalordelasumadelostérminosquecontienenunaijcualquiera,vemosquedichoelementosepuedetrasponerallugarqueocupaa11mediantetrasposiciones,respectivamente,delai-ésimafilaycolumnajconcadaunadelas(i–1)filasy(j–1)columnasprecedentes,deformatalquelasrestantesfilasycolumnasguardanenelnuevodeterminanteA’lamismaposiciónrelativaqueenelA.Teniendoencuentaquecada cambio de línea o columna produce otro cambio de signo, se tiene:
Puestoque lasumadetodos los términosdeldeterminanteA’quecontienenaij,elcualocupaahora laprimera fila y primera columna, acabamos de ver que vale aijαij, resulta:
Porúltimo,recordandoqueencadatérminodeldesarrollodeAapareceunsoloelementodecadalíneaprefijada,porejemplo, la fila i-ésima,haceque sepuedadistribuir eldesarrollodedichodeterminanteenngrupossintérminoscomunes,formadoselprimeroporaquellosquecontienenai1;elsegundoai2,...,hastaelque
contieneain.Comocadaunodeestossumandosvaleai1Ai1,implicaque , .
Demaneraanálogaseverificaparalascolumnas.
Corolario: , es decir, si sumamos los productos de los elementos de una fila (o
columna) por los adjuntos de otra fila (o columna) el resultado siempre es cero, pues coincidiría con el
determinantedeunamatrizcondosfilas(ocolumnas)iguales:
Teorema:SeaA , ->( ).
19.6. Cálculodedeterminantesdeordenelevado
Elartificiocomúnmenteempleadopararealizarelcálculodedeterminantesdeordenelevadosebasaenlapropiedad9.
19.6.1. RegladeChioEsunmétodobasadoen laexistenciadealgúnelementodeldeterminante casoalquesepuede
reducir cualquier determinante (bien sacando fuera del determinante, como factor del mismo, uno de suselementos,otambiénrestandodoslíneasparalelasquetengandoselementosquedifieranen1;etc.).Lovamosademostrarpara4ºorden,porejemplosi :
Luego,podemosenunciarlaRegladeChiodelasiguientemanera:decadaelemento(porejemplo )nopertenecientealafilaycolumnadelelemento ,llamadopivote(a23enelejemplo),serestaelproductodeloselementossituadosenlosextremosdeladiagonaldelrectángulodeterminadoporelelementoconsiderado
( ) ( ) ( )–1 –1’ –1 · –1 – 2· –1 ·i j i j i jA A A A+ + += = =
( ) ( ) ( )–1 · ’ –1 ... ...i jij ij ij ijA A i j a a Aa+= = + + = +
1.
n
ij ijj
A a A=
=å 1 i n£ £
1. 0,
n
ij kjja A i k
=
= " ¹å
11 1
11 1
1
... ... 0 ...
n
n
n nn
a aa aa a
=
nMÎ1 det 0A A-$ Û ¹ 1 11 1.( ) ; ( ), .t
ij ij jiA AdjA A b b AA A
- -= = =
1ija =
23 1a =
1 13 23 33 24 43 2
11 12 13 14 11 13 21 12 13 22 14 13 24
21 22 24 21 22 24
31 32 33 34 31 33 21 32 33 22
41 42 43 44
- - 0 - 1 1 - - 0
F a FF a FF a F
a a a a a a a a a a a a aa a a a a aa a a a a a a a a aa a a a
-æ öç ÷-ç ÷-è ø
= = = ( 3º )34 33 24
41 43 21 42 43 22 44 43 24
11 13 21 12 13 22 14 13 242 3
31 33 21 32 33 22 34 33 24
41 43 21 42 43 22 44 43 24
- - - 0 -
- - - ( 1) - - -
- - -
desarrollándolopor la columnaa a a
a a a a a a a a a
a a a a a a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a
+
= =
= - ®(3º )orden
11a1ija =
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( )yelpivotecomoextremosdelaotradiagonal,sesuprimelafilaycolumnadelpivote,yaldeterminanteasíobtenidoseleantepone+o–segúnquelasumadelosíndicesrelativosalpivoteseaparoimpar.
19.7. Matricesregulares
Unamatrizcuadradasediceinvertible(otambiénsellamano-singularoregular)sitieneinversa.Esdecir:A∈Mn,AesinvertiblesiexisteunamatrizcuadradaBdeordenn,talque:A·B=B·A=In,dondeIndenota,comoyadijimosantes,lamatrizunitariadeordenn.
Es fácil comprobarque:SiAes invertible lamatrizBverificandoA ·B=B ·A= In esúnica.Enefecto:SupongamosqueexisteB’∈Mn/B’·A=A·B’=In.Entonces:B=B·In=B·(A·B’)=(B·A)·B’=In·B’=B’⇒B=B’.
LamatrizBsellamamatrizinversadeA,yserepresentaporA–1.Estamatrizsedemuestrayexponeeneltema19deltemariocorrespondientealapresenteoposición.
Teorema:Unacondiciónnecesariaysuficienteparaqueunamatrizcuadradasearegular,estoes,paraquetengainversa,esquesudeterminanteseadistintodecero.
Demostración:SupongamosqueAtieneinversa,esdecir,existeunamatrizA–1talque:A·A–1=A–1·A=In=I
Dedonde:det(A·A–1)=det(I).Ahorabien:det(A·A–1)=det(A)·det(A–1),ydet(I)=1
Resulta,así,que:det(A)·det(A–1)=1,loqueimplicaquecadafactordelprimermiembrodeestaigualdadesdistintodecero,yasí,enparticular,det(A)≠0.
Recíprocamente,supongamosquedet(A)≠0;entoncesdefinimosA–1comolamatrizcuadradadelorden
deA, cuya ij-componente bij está dadapor: . Es fácil comprobar que lamatrizA–1 = (bij) así
definidaestalque:A·A–1=A–1·A=I(matrizidentidaddeordenn).Enefecto,paraponerdemanifiestoqueA·A–1=I,pordefinicióndeigualdaddematrices,habráqueverqueelcomponente–ikdeA·A–1esigualalcomponente
–ikdelamatriz .Ahorabien:
19.8. Cálculodelrangodeunamatriz
SeaAunamatrizy índicesdefilas,y índicesdecolumnas,sisuprimimosenAtodaslasfilasycolumnasdeíndicesdistintosdeestos,obtenemosunamatrizpxqquesellamasubmatrizdeA.UnasubmatrizdeAcuyosíndicesdefilasydecolumnasseanconsecutivos,sellamabloquedeA;denotaremoslosbloquesfila
porAiylosbloquescolumnaporAj, .SellamadescomposicióndeAenbloquesauna
particióndeAenbloques: .
Se llamamenor de orden p de A al determinante de una submatriz cuadrada que se obtiene de Aeliminandom-pfilasyn-pcolumnas.UnmenoresnonulosidichodeterminanteesdistintodeceroytodomenornonulodeordenpdeAsedenominamenorprincipaldeordenp.
SedicequeAtienerangop(rg(A)=p)cuandoenellaexiste,porlomenosunmenordeordenpdistintodecero, siendonulos losmenores posibles de orden superior a p. Con esto, estamos diciendo que hay alguna
13 21,a a
1det(A)ij jib A=
1,0,i k
Ii k=ì
= í ¹î
1
1 1 1
1 , si i=k1,1componente de -ik de AA componente -ik de I
1 0,0, si i k
n n nkj
ij jk ij ij kjj j j
AAA i k
a b a a Ai kA A
A
-
= = =
ìï =ìï= = = = = =í í ¹îï ¹ïî
å å å
1,..., pi i 1,..., qj j
( )1
1 n
m
AA A A
A= =æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø
! "
11 12 13
21 22 23
11 1
1
' ' ' ' '
' ' ' ' '
k
h hk
a b c d e
A A Aa b c d eA
A A A
A AA
A Aa b g d e
a b g d e
= ==
æ æ ö öæ öç ç ÷ ÷æ öç ÷ç ç ÷ ÷ç ÷ç ÷ç ç ÷ ÷è øç ÷è øç ç ÷ ÷
è è ø ø
!
" # "
!
Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz.
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submatrizcuadradadeordenpqueesregularyquetodaslassubmatricescuadradasdemayortamañoquepsonsingulares.
Ejemplo:Verificamosprimerotodoslosmenoresdeorden3yluegolosdeorden2.
Consecuencias1) Siintercambiamosfilas(ócolumnas)novaríaelrango.
2) Siunafila(ócolumna)estáformadaporceros,suprimimosesafilayelrangonovaría.
3) rg(matriznula)=0.
4)
5) rg(A)=rg(At).
6)
DadaslfilasdeA ,siningunadeellassepuedeexpresarcomocombinaciónlinealdelasotras,sedicequeesasfilassonlinealmenteindependientes(llii).
Teorema: La característica de una matriz coincide con el número máximo de sus filas ó columnaslinealmenteindependientes.
Demostración:ParaprobarelteoremavamosaverquesilacaracterísticadeA(matrizdadaanteriormente)eshyαrepresentaunmenorprincipaldeordenhdelamisma,cadaunadelasfilasdeAquenofiguranenαes una combinación lineal de las h filas que constituyen dicho menor, las cuales son linealmenteindependientes.Enefecto,supongamosparasimplificarlanotaciónqueunmenorprincipalestáconstituidopor loselementoscomunesa lashprimeras filasy columnasdeA.Entonces—paraunvalor cualquiera Icomprendidoentreh+1ym,ambosinclusive,ytodoslosvaloresj=1,...,nsetiene:
puesparaj=1,...,h,estedeterminantetienedoscolumnasiguales,yparaj=h + 1, ..., n, es un menor de la matriz A cuyo orden es mayor que lacaracterísticah.Desarrollado (5)por loselementosde laúltimacolumna,tendremos: a1j α1 + ... + ahj αh + aIj α = 0, donde α1, ..., αh denotan,respectivamente,losadjuntosdeloshprimeroselementosdedichacolumna.
Comoα≠0,sesiguequeparatodoslosvaloresj=1,...,nseverifica: esdecir,
cada elemento de la fila I-resulta de sumar sus correspondientes de las filas 1ª, ..., hª, previamente
multiplicadosporlosnúmeros .PortantoesafilaIesunacombinaciónlinealdelashprimeras.
QueningunadelashprimerasfilasdelamatrizAsepuedeexpresarmedianteunacombinaciónlinealdelasotrash–1esinmediato,puesentalcasounadelasfilasdelmenorαseríacombinaciónlinealdelasrestantesy,enconsecuencia(recordarpropiedadesdelosdeterminantes),α=0encontradeloquehemossupuesto.Análogamentesedemuestraelresultadoparacolumnas,conloquequedademostradoelteorema.
19.9. Resumen
Enprimerlugar,seintroduceelconceptodepermutacionesytrasposición,conelobjetivodeasentarlasbases del concepto de determinante de una matriz cuadrada de orden n, donde se presentan losdeterminantesdesegundoytercerordenylaspropiedadesdelosdeterminantes:
1. det(A)=det(At).2. Alpermutardosfilasodoscolumnasenunamatrizcuadrada,sudeterminantecambiasólodesigno.
1 2 1 23 0 1 41 1 1 1
A- -æ ö
ç ÷= -ç ÷ç ÷- -è ø
1 2 1 1 2 2
3 0 1 0 3 0 4 0
1 1 1 1 1 1
- -
= - =
- - -
2 1 2 1 1 2
0 1 4 0 3 1 4 0
1 1 1 1 1 1
- - - -
- = - =
- - -
1 20 6 6 0
1 0= - = - ¹
, 0 rg(A) min(m,n)A Mmxn" Î £ £
, rg(A)=n detA 0A Mnxn" Î Û ¹
(1 l m)£ £
11 1 1
1
1
0 (5)
h j
h hh hj
I Ih ij
a a a
a a aa a a
=
!
" # # "
#
!
11
hIj j hja a a aa
a a= - - -!
1 , , haaa a
-!
Tema19:Determinantes.Propiedades.Aplicacionesalcálculodelrangodeunamatriz.
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3. Siunamatrizcuadradatienedosfilasodoscolumnasidénticas,sudeterminantevalecero.4. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeunamatrizcuadradasonigualesacero,entoncesdet=0.5. Sitodosloselementosdeunafilaocolumnadeundeterminantecontienenunfactorcomún,estefactorcomúnpuedesacarsefueradelsignodeterminante.
6. Unamatrizcuadradacondosfilasodoscolumnasproporcionalestienedeterminantenulo.7. Si los elementos de cualquier fila o columna de unamatriz cuadrada son sumas de igual número detérminos,entoncessudeterminanteasociadoesigualalasumadetantosdeterminantescomosumandosfigurenenlafilaocolumna.
8. Siunafila(ocolumna)deAescombinaciónlinealdeotrasfilas(ocolumnas)entoncesdet=0.9. Sialoselementosdeunafila(ocolumna)deunamatrizselesumaunacombinaciónlinealdealgunasotrasfilas(ocolumnas),elvalordeldeterminantenovaría.
En el apartado dedesarrollo de un determinante por una línea, se define los conceptos demenorcomplementarioyadjuntodeunelementodeunamatrizasícomoeldesarrollodeundeterminanteporunafilaocolumnahaciendousodeestos.
Seexplicacómoseprocedeenlaprácticaalahoradecalculardeterminantesdeordenelevadohaciendousodesuspropiedades.
Se define los conceptos dematriz regular, inversa,matriz adjunta y se establece su relación cuandopartimosdeunamatrizinvertible.
Enelapartadodecálculodelrangodeunamatrizserecuerdalosconceptosderangoydemenorysucálculomediantedeterminantes.
19.10. Conclusión
DESARROLLO
TEMA
Elálgebramatricialesdegranutilidadenelestudiodelossistemasdeecuaciones,ylasmatricesaparecendeformanaturalenGeometría,Estadística,Economía,etc.Actualmentemuchosprogramasparaordenadoresutilizanelconceptodematrizydeterminante.
Enestetema,seexponenlosconceptosparaasentarlasbasesdesdeunaintroducciónbásicadeconceptoshastaalcanzarelconceptodecálculodedeterminantesdeordenelevadoysusaplicacionesalcálculoderangos.
APLICACION
ES Elconceptodematrizesunodelosmásfructíferosdetodalamatemáticaydegranimportancia
para el desarrollo de todas las ciencias, actualmente en campos como la física, la informática, laestadística,laeconomía,etc.,y,engeneralsiemprequetrabajamosconungrannúmerodedatos,loscualesseorganizanenmatricesparasuposteriormanipulación:calendarios,basesdedatos,horarios…
Lasaplicacionesdelosdeterminantessoninnumerables,talycomoyahemospresentadoenlaintroduccióndeltema,comoejemplos,podemosmencionarelestudiodesistemasdeecuacionesenfuncióndelvalordeunosparámetrosdados,asícomoestudiarlaposiciónrelativaderectasyplanos.
19.11. Bibliografía
GODEMENT: Álgebra. Ed. Tecnos, 1983.
JIMÉNEZ GUERRA: Álgebra I. UNED. Madrid, 2001.
BURGOS: Álgebra lineal. MacGraw-Hill, 1993.
ROMERO: Álgebra lineal y Geometría I. Ed. la Madraza, 1991.
TEMARIO DEIMOS
TEMARIO GAMBOA
TEMARIO MATEMÁTICAS DIVERTIDAS
TEMARIO CLAUSTRO
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