oppimisenpalvelut.otava.fi · 189 293. Funktio f(x) = x5 + x − 32 Funktio ja sen...
58
181 10. 6 6 100 2 31, 5 2 0,315 ln () ln 2 ln 0, 315 6 ln 2 6 ln 0, 315 6 ln 0, 315 ln 2 9, 9994... 10 t t t t t t t − − ⋅ = = − = =− − = = ≈ Vastaus : 10 h Laudatur 8 MAA8 ratkaisut kertausharjoituksiin Yhdistetty funktio 277. Funktiot f(x) = x 2 − 1 ja g(x) = 0,5x + 3 Yhdistetty funktio 2 2 ( )( ) ( ( )) (0,5 3) (0,5 3) 1 0, 25 3 8 f g x fgx f x x x x = = + = + − = + + Vastaus : Yhdistetty funktio on 2 ( )( ) 0, 25 3 8 f g x x x = + + . 278. Funktiot f(x) = 1 2 x + ja g(x) = −x 2 Yhdistetty funktio a) 2 2 1 ( )( ) ( ( )) ( ) 2 f g x fgx f x x = = − =− + b) 2 2 1 1 1 ( )( ) ( ( )) ( ) 2 2 4 g f x gfx gx x x x ⎛ ⎞ = = + =− + =− − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ c) 2 2 2 2 2 1 1 1 ( )( ) ( ( )) ( ) 1 2 2 2 f f x f f x fx x x ⎛ ⎞ = = + = + + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ d) ( ) 2 2 2 2 4 ( )( ) ( ( )) (( )) ( ) g g x gg x g x g x x x − = − = −− = − =− − =− Vastaus : Yhdistetty funktio on a) 2 1 ( )( ) 2 f g x x =− + b) 2 1 ( )( ) 4 g f x x x =− − − c) 2 2 ( )( ) 1 f f x x = + d) 4 ( )( ) g g x x − =− .
Transcript of oppimisenpalvelut.otava.fi · 189 293. Funktio f(x) = x5 + x − 32 Funktio ja sen...
181
10.
6
6
100 2 31,5
2 0,315 ln ()
ln 2 ln 0,3156
ln 2 6ln 0,3156ln 0,315
ln 29,9994...10
t
t
t
t
t
tt
−
−
⋅ =
=
− =
= −−
=
=≈
Vastaus: 10 h Laudatur 8 MAA8 ratkaisut kertausharjoituksiin Yhdistetty funktio 277. Funktiot f(x) = x2 − 1 ja g(x) = 0,5x + 3 Yhdistetty funktio 2 2( )( ) ( ( )) (0,5 3) (0,5 3) 1 0, 25 3 8f g x f g x f x x x x= = + = + − = + +
Vastaus: Yhdistetty funktio on 2( )( ) 0, 25 3 8f g x x x= + + .
278. Funktiot f(x) = 12
x + ja g(x) = −x2
Yhdistetty funktio
a) 2 2 1( )( ) ( ( )) ( )2
f g x f g x f x x= = − = − +
b) 2
21 1 1( )( ) ( ( )) ( )2 2 4
g f x g f x g x x x x⎛ ⎞= = + = − + = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 2 2 2 2 21 1 1( )( ) ( ( )) ( ) 12 2 2
f f x f f x f x x x⎛ ⎞= = + = + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
d) ( )22 2 2 4( )( ) ( ( )) ( ( ) ) ( )g g x g g x g x g x x x− = − = − − = − = − − = −
Vastaus: Yhdistetty funktio on a) 2 1( )( )2
f g x x= − + b) 2 1( )( )4
g f x x x= − − −
c) 2 2( )( ) 1f f x x= + d) 4( )( )g g x x− = − .
182
279. a) Funktion ( )( ) ( ( ))f g x f g x= sisäfunktio on g(x) ja ulkofunktio f(x).
b) Funktiot f(x) = 2x − ja g(x) = 12x +
Yhdistetty funktio 2)1 1( )( ) ( ( )) 22 2
xf g x f g x fx x
+⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= 1 2 4 2 32 2
x xx x− − − −
=+ +
Funktio on määritelty, kun 2 3 02
xx− −
≥+
ja x ≠ −2
Osoittajan nollakohta −2x − 3 = 0
x = 32
−
Merkkikaavio
Funktio on määritelty, kun −2 < x ≤ 32
− .
Vastaus: a) Sisäfunktio on g(x) ja ulkofunktio f(x). b) Yhdistetty funktio on
2 3( )( )2
xf g xx− −
=+
. Se on määritelty, kun −2 < x ≤ 32
− .
280. Funktiot f(x) = x + s ja g(x) = sx − 1 Yhtälö
2
( )( ) ( )( )( ( )) ( ( ))
( 1) ( )( 1) ( ) 1
1 1
f g x g f xf g x g f xf sx g x s
sx s s x s
sx s sx s
==
− = +− + = + −
+ − = + −
Lausekkeet ovat yhtä suuret, kun muuttujan kertoimet ja vakiotermit yhtälön molemmin puolin ovat samat. Muuttujan x kerroin on yhtälön molemmilla puolilla s, joten se toteutuu kaikilla s:n arvoilla. Vakiotermit
2
2
1 1
0( 1) 0
0 tai 1
s s
s ss s
s s
− = −
− =− =
= =
Vastaus: Funktio ovat samat, kun s = 0 tai s = 1.
183
281. Funktio f(x) = x + 1 Yhdistetty funktio a) ( )( ) ( ( )) ( 1) ( 1) 1 2f f x f f x f x x x= = + = + + = + b) ( )( ) ( ( ( ))) ( ( )) 2f f f x f f f x f f x x= = + = ( 2) ( 2) 1 3f x x x+ = + + = + c) ( )( ) ( ( ( ( )))) ( ( ( ))) 3f f f f x f f f f x f f f x x= = + = ( 3) ( 3) 1 4f x x x+ = + + = +
d) ( )nf x x n= + Vastaus: Yhdistetty funktio on a) ( )( ) 2f f x x= + b) ( )( ) 3f f f x x= +
c) ( )( ) 4f f f f x x= + d) ( )nf x x n= + . 282. Funktio 2( 2) 5 6f x x x− = − + Sijoitetaan x − 2 = t eli x = t + 2 Funktio ( ) 2( 2) 2) ( 2) 5( 2) 6f t t t+ − = + − + +
2 2( ) 4 4 5 10 6f t t t t t t= + + − − + = −
Kun vaihdetaan muuttuja t = x, saadaan 2( )f x x x= −
Vastaus: Funktio on 2( )f x x x= − . Yhdistetyn funktion derivaatta
283. a) Funktio 3
2 5( )7
f x x⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
Derivaatta 2 2
2 25 5'( ) 2 3 67 7
f x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) Funktio ( )83( )f x x x= − −
Derivaatta ( ) ( ) ( )7 7 72 3 2 3 2 3'( ) ( 1 3 ) 8 8(1 3 ) 8(3 1)f x x x x x x x x x x= − − ⋅ − − = − + − − = + +
Vastaus: a) 2
2 567
x x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
b) ( )72 38(3 1)x x x+ +
284. a) Funktio 3
2 31 5( )3 9
f x x x⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠
Derivaatta 2 2
2 2 3 2 2 32 5 1 5 2 5 1 5'( ) 3 33 3 3 9 3 3 3 9
f x x x x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + ⋅ + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
184
( )2
2 2 31 55 23 9
x x x x⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Funktio ( )532( ) 2f x x x⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
Derivaatta ( ) ( )42 32 2'( ) (2 2) 3 2 5 2f x x x x x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − ⋅ − − ⋅ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( ) ( )42 3 142 2 230( 1) 2 2 30( 1) 2x x x x x x x x⎡ ⎤= − − − − − = − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
Vastaus: a) ( )2
2 2 31 55 23 9
x x x x⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
b) ( )14230( 1) 2x x x− − −
285. a) Funktio 2
( )1
xf xx
⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠, x ≠ 1
Derivaatta 2 3 31( 1) 1 2 2'( ) 2
1( 1) ( 1) ( 1)x x x x xf x
xx x x− − ⋅ −
= ⋅ = = −−− − −
b) Funktio 12 6( )
2x xf x
x
−⎛ ⎞− −
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠, x ≠ −2 ja x ≠ 3
Derivaatta 22 2
2(2 1)( 2) ( 6) 1 6'( ) ( 1)
2( 2)x x x x x xf x
xx
−⎛ ⎞− + − − − ⋅ − −
= ⋅ − ⎜ ⎟⎜ ⎟++ ⎝ ⎠
= 2 2 2
2 2 22 4 2 6 ( 2)
( 2) ( 6)x x x x x x
x x x+ − − − + + +
− ⋅+ − −
= 2
2
4 4
( 2)
x x
x
+ +−
+
2
1
( 2)x +⋅
12
2 2 2 2( 2)
( 6) ( 6)x
x x x x+
= −− − − −
Jaetaan nimittäjä tekijöihin nollakohtien avulla x2 − x − 6 = 0
2
1
2
( 1) ( 1) 4 1 ( 6)2 1
1 25 22
1 25 32
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅−
= = −
+= =
Derivaatta 2
2 2 2( 2) 1'( )
( 2) ( 3) ( 3)xf x
x x x+
= − = −+ − −
185
Vastaus: a) 32
( 1)x
x−
−, x ≠ 1 b) 2
1( 3)x
−−
, x ≠ −2 ja x ≠ 3
286. a) Funktio ( ) 11( )f x x x−−= + , x ≠ 0
Derivaatta ( ) ( ) 2222 1 ) )
21 1'( ) 1 1 ( 1) 1x xf x x x x x
xx
−−− − ⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⋅ − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= 22 2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 1 1 1
( 1) ( 1)x x x x x
xx x x x
−⎛ ⎞⎛ ⎞− + − −
= ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ + +⎝ ⎠⎝ ⎠
b) Funktio
21 22 1 3 122 2 2( ) x xf x x x x x x x
x x−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + = ⋅ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
, x ≠ −2 ja x ≠ 3
Derivaatta 1 3 3 1 1 3 3 12 2 2 2 2 2 2 23 1'( ) 2 3
2 2f x x x x x x x x x
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⋅ + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= 2 2 22
13 3 1 3 2x x xx
−+ − − = + −
Vastaus: a) 2
2 21
( 1)x
x−+
, x ≠ 0 b) 22
13 2xx
+ − , x > 0
287. Funktiot f(x) = 12
x + ja g(x) = −x2
a) Yhdistetty funktio 2 2 1( )( ) ( ( )) ( )2
f g x f g x f x x= = − = − +
Derivaatta ( ) '( ) 2f g x x= −
b) Yhdistetty funktio 2
21 1 1( )( ) ( ( )) ( )2 2 4
g f x g f x g x x x x⎛ ⎞= = + = − + = − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
Derivaatta ( ) '( ) 2 1g f x x= − −
c) Yhdistetty funktio 2 2 2 2 21 1 1( )( ) ( ( )) ( ) 12 2 2
f f x f f x f x x x⎛ ⎞= = + = + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Derivaatta 2( ) '( ) 2f f x x=
d) Yhdistetty funktio ( )22 2 2 4( )( ) ( ( )) ( ( ) ) ( )g g x g g x g x g x x x− = − = − − = − = − − = −
Derivaatta 3( ) '( ) 4g g x x− = − Vastaus: Yhdistetty funktio on a) ( ) '( ) 2f g x x= − b) ( ) '( ) 2 1g f x x= − −
c) 2( ) '( ) 2f f x x= d) 3( ) '( ) 4g g x x− = − .
186
288. Funktio 3
2( 2)( )(1 )xf x
x+
=+
, x ≠ −1
Derivaatta 2 2 3
41 3( 2) (1 ) ( 2) 1 2(1 )'( )
(1 )x x x xf x
x⋅ + + − + ⋅ ⋅ +
=+
= 22
4
( 2) (1 )( 2) (1 )[3(1 ) 2( 2)](1 )
x xx x x xx
+ ++ + + − +=
+
1
4
( 1)
(1 )
x
x
−
+ 3
= 2
3( 2) ( 1)
(1 )x x
x+ −
+
Derivaatan nollakohdat
2
3
2
'( ) 0
( 2) ( 1) 0(1 )
( 2) ( 1) 02 tai 1
f x
x xx
x xx x
=
+ −=
+
+ − == − =
Kulkukaavio
Minimi 3
2(1 2) 27 3(1) 8
4 4(1 1)f +
= = =+
Vastaus: Funktion minimi on 384
. Maksimia ei ole.
289. Funktio f: [−1,2] → , 3 3( ) ( 3 )f x x x= −
Derivaatta 2 3 2 2 3 2'( ) (3 3) 3( 3 ) 3(3 3)( 3 )f x x x x x x x= − ⋅ − = − − Derivaatan nollakohdat
2 3 2
2 3
2 2
2 2
'( ) 0
3(3 3)( 3 ) 0
3 3 0 tai 3 0
3 3 ( 3) 3
1 0 tai 3 0
1 3 tai 3
f x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
=
− − =
− = − =
= − =
= = − =
= ± = = − Ei käy
187
Kulkukaavio
Minimi 3 3(1) (1 3 1) 8f = − ⋅ = −
Maksimit 3 3( 1) [( 1) 3 ( 1)] 8f − = − − ⋅ − =
3 3(2) [2 3 2] 8f = − ⋅ = Vastaus: Funktion pienin arvo on −8 ja suurin 8. Käänteisfunktio
290. Funktio 11( ) 1 1g x xx
−= − = − , x > 1
Tarkastellaan funktion monotonisuutta
Funktion derivaatta 22
1'( )g x xx
−= − = −
Koska jakaja on aina positiivinen, kun x > 1, niin 21'( ) 0g xx
= − < , kun x > 1.
Täten funktio g(x) on aidosti vähenevä ja funktiolla on käänteisfunktio, kun x > 1. Yhtälö
1 1, 0
1 1
11
y yx
yx
xy
= − <
= +
=+
Kun vaihdetaan muuttujat, saadaan käänteisfunktio 1 1( )1
g xx
− =+
, x < 0
Vastaus: Käänteisfunktio on 1 1( )1
g xx
− =+
, x < 0.
291. Funktio g(x) = 1 23
x− + , −3 ≤ x ≤ 1
a) Funktion kuvaajana on laskeva suora.
Pienin arvo g(1) = 1 51 23 3
− ⋅ + =
188
Suurin arvo g(−3) = 1 ( 3) 2 33
− ⋅ − + =
Funktion arvojoukko gA = 5 ,33⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
b) Yhtälö
1 23
1 2 33
3 6
y x
x y
x y
= − +
= − + ⋅
= − +
Kun vaihdetaan muuttujat, saadaan käänteisfunktio 1( ) 3 6g x x− = − + , 5 33
x≤ ≤
Vastaus: a) Funktion arvojoukko on 5 ,33⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
.
b) Käänteisfunktio on 1( ) 3 6g x x− = − + , 5 33
x≤ ≤ .
292. Funktio ( )1
xf xx
=−
, x ≠ 1
Tarkastellaan funktion monotonisuutta
Funktion derivaatta 2 21 ( 1) 1 1'( )
( 1) ( 1)x xf xx x
⋅ − − ⋅= = −
− −
Koska jakaja on aina positiivinen, kun x ≠ 1, niin 21'( ) 0
( 1)f x
x= − <
−, kun x ≠ 1.
Täten funktio g(x) on aidosti vähenevä ja funktiolla on käänteisfunktio, kun x ≠ 1. Yhtälö
11
( 1) : ( 1), 1
1
xy xx
yx y xyx x y
x y y y yyx
y
= ≠−
− =− =
− = − ≠
=−
Kun vaihdetaan muuttujat, saadaan käänteisfunktio 1( )1
xf xx
− =−
, x ≠ 1
Vastaus: Käänteisfunktio on 1( )1
xf xx
− =−
. Käänteisfunktion määrittelyjoukko on x ≠ 1.
189
293. Funktio f(x) = x5 + x − 32 Funktio ja sen käänteisfunktion kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y = x suhteen, joten funktion ja sen käänteisfunktion leikkauspisteet ovat suoralla y = x. Lasketaan funktion suoran y = x leikkauspisteet. x5 + x − 32 = x x5 = 32 5 x = 2 Leikkauspisteen y-koordinaatti f(2) = 25 + 2 − 32 = 2 Vastaus: Leikkauspiste on (2,2). 294. Funktiot f(x) = ax − 4, a ≠ 0 ja g(x) = −3x + b Määrätään funktion f(x) käänteisfunktio. y = ax − 4 ax = y + 4 |: a ≠ 0
1 4x ya a
= +
Kun vaihdetaan muuttujat, saadaan käänteisfunktio 1 1 4( )f x xa a
− = +
Funktiot 1 1 4( )f x xa a
− = + ja g(x) = −3x + b ovat samat, kun
1 3
4a
ba
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
Ylemmästä yhtälöstä saadaan 13
a = − ja alemmasta 4 14 : 123
ba
⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Vastaus: Funktiot ovat toistensa käänteisfunktioita, kun 13
a = − ja b = − 12.
295. Käänteisfunktio 1( ) 1 2f x x− = + Käänteisfunktion käänteisfunktio f(x)
1 2
2 1 : 21 12 2
y xx y
x y
= +
= −
= −
Kun vaihdetaan muuttujat, saadaan funktio 1 1( )2 2
f x x= −
Funktion derivaatta 1'( )2
f x =
Vastaus: Derivaattafunktio on 1'( )2
f x = .
190
296. Funktion f(x) = x3 + 2x − 1 määrittelyjoukko on . Derivaatta f ′(x) = 3x + 2 > 0, joten funktio f(x) on aidosti kasvava ja sillä on käänteisfunktio. Kohta, jossa funktion arvo on −1. f(x) = −1 x3 + 2x − 1 = −1 x3 + 2x = 0 x (x2 + 2) = 0 x = 0 tai x2 + 2 = 0 Ei ratkaisua. Käänteisfunktion derivaatta
1 2
2
1( ) '( 1) '( ) 3 2'(0)
1 123 0 2
f f x xf
− − = = +
= =⋅ +
Vastaus: Käänteisfunktion derivaatta on 1 1( ) '( 1)2
f − − = .
297. Funktion 3
24( )
1xf xx
=+
määrittelyjoukko on .
Derivaatta f ′(x) = 2 2 3 4 2 2 2
2 2 2 2 2 212 (1 ) 4 2 4 12 4 ( 3)
(1 ) (1 ) (1 )x x x x x x x x
x x x+ − ⋅ + +
= =+ + +
Derivaattafunktion nimittäjä on neliönä suurempi kuin nolla. Osoittaja on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, koska x2 on neliönä suurempi kuin nolla. Täten funktio f(x) on aidosti kasvava ja sillä on käänteisfunktio.
Koska 3
24 1(1) 21 1
f ⋅= =
+ ja funktio f(x) on aidosti kasvava, niin x = 1 on yhtälön f(x) = 2
ainut ratkaisu. Käänteisfunktion derivaatta
2 21
2 2
2 2
2 2
1 4 ( 3)( ) '(2) '( )'(1) (1 )
1 144 1 (1 3)
(1 1 )
x xf f xf x
− += =
+
= =⋅ ⋅ +
+
Vastaus: Käänteisfunktion derivaatta on 1 1( ) '(2)4
f − = .
191
Juurifunktio 298. Lasketaan lausekkeiden arvot. a) 3 2 2 2327 ( 27) 3 9= = =
b) 4 4 4 42 8 2 8 16 2⋅ = ⋅ = = c) 9 16 9 16 3 4 25 7 5 12+ + + = + + = + =
d) 3
3 3 3 3 333
54 542 4 2 4 27 8 3 2 522
+ ⋅ = + ⋅ = + = + =
Vastaus: a) 9 b) 2 c) 12 d) 5 299. Funktio f(x) = 9x7 Käänteisfunktio y = 9x7 |:9
7 7
7
9
9
yx
yx
=
=
Vaihdetaan muuttujat f–1(x) = 7
9x
Vastaus: Käänteisfunktio on f –1(x) = 7
9x .
300. Funktio f(x) = x4 – 8, x ≥ 0 Käänteisfunktio y = x4 – 8 | x ≥ 0, y ≥ –8 x4 = y + 8 4
4
4
8 0
8
x y x
x y
= ± + ≥
= +
Vaihdetaan muuttujat f –1(x) = 4 8, 8x x+ ≥ −
Vastaus: Käänteisfunktio on f–1(x) = 4 8, 8x x+ ≥ − . 301. Funktio ( ) 1f x x= + on määritelty, kun x + 1 ≥ 0 x ≥ –1 Käänteisfunktio on olemassa, kun x ≥ –1. Käänteisfunktio 1y x= + |()2, x ≥ −1, y ≥ 0 y2 = x + 1 x = y2 − 1 Vaihdetaan muuttujat f –1(x) = x2 − 1, x ≥ 0 Käänteisfunktion arvo f −1(3) = 32 − 1 = 8 Vastaus: Funktio f(x) on määritelty, kun x ≥ –1. Käänteisfunktio on olemassa, kun x ≥ −1. Käänteisfunktion arvo on f −1(3) = 8.
192
302. Funktio
2
, kun 9 33
( ) 9 , kun 3 3
8 , kun 3 82
x x
f x x xx x
⎧ − ≤ < −⎪⎪⎪= − − ≤ <⎨⎪⎪ − ≤ <⎪⎩
1
3
4
5
6
7
2
1–1
–2
–1
–3
–2–3–4–5–6–7–8–9 2 3 4 5 6 7 8
y
x
Vastaus: Arvojoukko on y∈ ja –3 ≤ y < –1 tai 0 ≤ y ≤ 3 tai 4 < y ≤ 162
.
303. Funktio 2 4( )
1x xf xx−
=+
on määritelty, kun
x2 − 4x ≥ 0 ja x + 1 ≠ 0 x ≠ −1
Lausekkeen x2 − 4x nollakohdat x2 − 4x = 0 x (x − 4) = 0 x = 0 tai x − 4 = 0 x = 4 Merkkikaavio
Vastaus: Funktio f(x) on määritelty, kun x < –1 tai –1 < x ≤ 0 tai x ≥ 4.
193
304. a) Funktio f(x) = 23 8 6x x− + Funktion nollakohdat
f(x) = 0 2 2
2 2
2
2
33 8 6 0 8 6 0, eli tai 04
3 8 6 ()
9 8 68 6 9 0
x x x x x x
x x
x xx x
− + = + ≥ ≤ − ≥
= +
= +
+ − =
2
1
2
6 6 4 8 ( 9)2 8
6 324 316 2
6 324 316 4
x
x
x
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− −
= = −
− += =
b) Funktio 3( ) 4 13 1f x x= − + Funktion nollakohdat
f(x) = 0
3
33
4 13 1 0
4 13 1 ()
4 13 14 12 : 4
3
x
x
xxx
− + =
− = −
− = −
=
=
Vastaus: Funktion nollakohdat ovat a) 32
− tai 34
b) 3.
305. Ratkaistaan yhtälöt. a) 3 2 312 3 ()x x− = −
2
2
12 2712 27 0x x
x x− = −
− + =
2
1
2
( 12) ( 12) 4 1 272 1
12 36 32
12 36 92
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅−
= =
+= =
b) 4 2 2 77 10 12 0 7 10 0 eli 0 tai 10
x x x x x x− + = − ≥ ≤ ≥
4 27 10 12x x− = −
194
Ei ratkaisua, koska 4 27 10x x− ≥ 0. Vastaus: a) 3 tai 9 b) Ei ratkaisua 306. a) Epäyhtälö 5 3x − >
5 3 0x − − > Tutkitaan funktiota ( ) 5 3f x x= − − , x ≥ 5
Nollakohdat 5 3 0x − − =
25 3 ()
5 914
x
xx
− =
− ==
Merkkikaavio
Epäyhtälön ratkaisu 5 3 0x − − > x > 14 b) Epäyhtälö 3 26 1x x− ≤
3 26 1 0x x− − ≤
Tutkitaan funktiota 3 2( ) 6 1f x x x= − −
Nollakohdat 3 26 1 0x x− − =
3 2 3
2
2
6 1 ()
6 16 1 0
x x
x xx x
− =
− =
− − =
2
1
2
( 1) ( 1) 4 6 ( 1)2 6
1 25 112 3
1 25 112 2
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅−
= = −
+= =
195
Merkkikaavio
Epäyhtälön ratkaisu 3 26 1 0x x− − ≤
1 13 2
x− ≤ ≤
Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on a) x > 14 b) 1 13 2
x− ≤ ≤ .
307. Ratkaistaan yhtälö.
2
2
2
2
2 8 8 2
2 8 8 2 ()
2 8 8 4 8 4
4 8 4 ()
16( 8) 8 1624 112 0
x x
x x
x x x
x x
x x xx x
+ − + =
+ = + −
+ = + − + +
+ = − +
+ = − +
− − =
2
1
2
( 24) ( 24) 4 1 ( 112)2 1
24 10244
224 1024
282
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅−
= = −
+= =
Tarkistetaan yhtälön 2 8 8 2x x+ − + = ratkaisut. Sijoitetaan x = −4: 2 ( 4) 8 4 8 2⋅ − + − − + = − Ei käy
Sijoitetaan x = 28: 2 28 8 28 8 8 6 2⋅ + − + = − = Käy Vastaus: Yhtälön ratkaisu on 28. Juurifunktion derivaatta 308. Sievennetään lausekkeet.
a) 1 1 1 1 1 3 1 3
2 3 24 2 4 2 2 2 2 24 8 (2 ) (2 ) 2 2 2 2 4+
⋅ = ⋅ = ⋅ = = =
b) 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 3 4
3 4 24 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 43 27 81 3 (3 ) (3 ) 3 3 3 3 3 9+ +
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = =
196
c)
1 1 1 11 1 1 1 4 1 5 1 5 12 2 2 2146 6 6 6 6 6 6 6 3 6 6 63 81 3 3 81 3 3 (3 ) 3 3 3 3 3 3 3
+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d)
11 333 32 2
11346 3 34
8 3 (2 ) 3 264 24 (2 ) (3 2 )
⋅ ⋅= − = −
⋅ − ⋅ ⋅
1133⋅
1
322
13
13⋅ 1
1
12
2= −
⋅
Vastaus: a) 4 b) 9 c) 3 d) 12
−
309. Derivoidaan lausekkeet.
a) D15x =
451
5x−
b) D83x =
538
3x
c) D(763x
−) =
13 136 67 73
6 2x x− −⎛ ⎞⋅ − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
d) D 8 2x + = 8 1( 8 2)x ++
Vastaus: a) 451
5x−
b) 538
3x c)
1367
2x−
− d) 8 1( 8 2)x ++
310. Derivoidaan lausekkeet.
a) D2 7
9 2 9 97 9 79
2 2 2D9 99
x x xxx
−= = = =
b) D ( )1 7 5 1
3 3 2 22 2 2 27 7 7D D2 2 2
x x x x x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c) D1 2
3 3 32 233
1 1 12 1 D(2 1) 2 (2 1)3 3 (2 1)3(2 1)
x x xxx
−+ = + = ⋅ + = =
++
d) D3 13
2 3 25 5 5( 1) ( 1) D ( 1) ( 1) D( 1)x x x x x⎡ ⎤
+ + = + + = +⎢ ⎥⎣ ⎦
= 8 3
1 355 513 13 13( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)5 5 5
x x x x x+ = + + = + +
Vastaus: a) 9 7
2
9 x b) 27
2x x c)
23
1
3 (2 1)x + d) 3513 ( 1) ( 1)
5x x+ +
311. Derivoidaan lausekkeet.
a) D ( )1 1
2 2 22 213 D ( 3) 1 2 ( 3)2
x x x x x x−⎡ ⎤
+ + = + + = + ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
197
= 2
23)
1 2 22 2
31 13 3( 3)
xx x x x
x xx
+ + ++ = + =
+ ++
b) D ( )1 1 1
2 2 22 2 213 D ( 3) 2 ( 3) ( 3)2
x x x x x x x x−⎡ ⎤
+ = + = ⋅ + + ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
= 2 2 2
2 3) 4 ( 3) 5 122 32 3 2 3 2 3
x x x x x x xx xx x x
+ + + ++ + = =
+ + +
c) D
1 11 2 22
2
1 ( 3) ( 3) 13 ( 3) 2Dx x xx x
x x x
−⎛ ⎞ + ⋅ − + ⋅⎛ ⎞+ +⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
3)
22 2 2
33 3 1 32 3 :
2 3 2 3 2 3
xx xx xx x
x xx x x x
+− +
− − −+ = = ⋅ = −+ + +
Vastaus: a) 2
2
3
3
x x
x
+ +
+ b)
25 122 3x x
x++
c) 2
32 3x x
−+
312. Funktio 1
2 2 2( ) 5 8 5 ( 8 )f x x x x x= − − = − − , x ≤ 0 tai x ≥ 8
Derivaatta f ′(x) = 1
2 22 2
1 2 8 40 (2 8) ( 8 )2 2 8 8
x xx x xx x x x
− − −− − ⋅ − = − =
− −
Derivaatan nollakohdat f ′(x) = 0
2
4 08
4 04
x
x xxx
−=
−− =
=
Ei nollakohtia, koska x ≤ 0 tai x ≥ 8 Vastaus: Derivaatalla ei ole nollakohtia.
313. Funktio 1
2 2 2( ) 4 ( 4 )f x x x x x= − = − , x ≤ 0 tai x ≥ 4
Derivaatta f ′(x) = 1
2 22
1 2 4(2 4) ( 4 )2 2 4
xx x xx x
− −− ⋅ − =
−
Derivaatan nollakohdat f ′(x) = 0
2
2 4 02 4
2 4 02
x
x xx
x
−=
−− =
=
198
Kulkukaavio
Vastaus: Funktio f(x) on vähenevä, kun x ≤ 0 314. Lausekkeen 4 28 8 2x x+ − suurin ja pienin arvo, kun 0 ≤ x ≤ 3 Tutkitaan funktiota f(x) =8 + 8x − 2x2, 0 ≤ x ≤ 3. Derivaatta f ′(x) = 8 − 4x Derivaatan nollakohdat f ′(x) = 0 8 − 4x = 0 x = 2 Kulkukaavio
Funktion f(x) =8 + 8x − 2x2 maksimi f(2) = 8 + 8·2 − 2·22 = 16 Minimit f(0) = 8 + 8·0 − 2·02 = 8 f(3) = 8 + 8·3 − 2·32 = 14 Lausekkeen 4 28 8 2x x+ − suurin arvo on 4 16 2= ja pienin 4 8 . Vastaus: Lausekkeen suurin arvo on 2 ja pienin arvo 4 8 .
199
315. Käyrä 12( ) 1 ( 1)y f x x x x x= = + + = + +
Derivaatta f ′(x) = 121 1( 1) 1 1
2 2 1x
x
−+ + = +
+
Tangentin kulmakerroin kt = f ′(3) = 1 5142 3 1
+ =+
Tangentin yhtälö 0 0 0 05( ) , 3, 3 1 3 54t ty y k x x k x y− = − = = = + + =
55 ( 3)45 54 4
y x
y x
− = −
= +
Tangentin ja x-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y = 0.
5 504 41
x
x
= +
= −
Tangentin ja y-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla x = 0. 5 5 504 4 4
y = ⋅ + =
Kolmion ala
5154
2 2 8x y
A−
= = =
Vastaus: Kolmion ala on 58
.
200
Eksponenttifunktio 316. Määritä algebrallisesti funktion nollakohdat. a) Funktio f(x) = 3x – 81 Nollakohdat f(x) = 0
3x – 81 = 0 3x = 34 | Kantaluvut samat, eksponentit yhtä suuret
x = 4
b) Funktio f(x) = 2 4 2
1
1 33 9
x x
x
+
+
⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠
Nollakohdat f(x) = 0 2 4 2
1
2 4 2
1
21 2 4
2 1
22 4
2 2
2 4 2
1 3 03 9
1 33 9
3(3 )(3 )33
33 3 Kantaluvut samat, eksponentit yhtä suuret2 4 2
2 2 : ( 2)1
x x
x
x x
x
xx
x
xx
x
x
xxx
+
+
+
+
− ++
− −+
− − −
⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
=
− − = −
− = −
= −
Vastaus: Funktion nollakohta on a) 4 b) –1. 317. Ratkaistaan yhtälöt. a) 2 316 4 2x x=
14 2 32
4 3
4 2 3
4 2 3
2 (4 ) 22 4 2
2 (2 ) 22 2 Kantaluvut samat, eksponentit yhtä suuret
4 2 34
x x
x x
x x
x x
x xx
+
⋅ =
⋅ =
⋅ =
=
+ ==
b) 3 4
27 3273
x
x
−
=
201
3
1134 23
4 333 2
3 3
(3 )(3 )
3 3 Kantalauvut samat, eksponentit yhtä suuret4 333 21 9 ( 3)3 2
1132
x
x
x x
x x
x
x
−
− − −
=
=
− = − −
− = − ⋅ −
=
Vastaus: Yhtälön ratkaisu on a) 4 b) 1132
.
318. Ratkaistaan epäyhtälöt.
a) 4 5 1327
x+ >
4 5 33 3 Kantaluku >1, järjestys säilyy4 5 3
4 8 : 42
x
xxx
+ −>
+ > −
> −
> −
b) 21 2
4
xx
−−⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠¨
1
2
2
(4 ) 24 2
(2 ) 22 2 Kantaluku > 1, järjestys säilyy23 0 : 3
0
x x
x x
x x
x x
x xxx
− − −
−
−
−
≤
≤
≤
≤
≤ −
≤
≤
Vastaus: Epäyhtälön ratkaisu on a) x > –2 b) x ≤ 0 319. Ratkaistaan yhtälö. a) 4x – 6·2x + 8 = 0
(22)x – 6·2x + 8 = 0 (2 x)2 – 6·2x + 8 = 0 Sijoitetaan 2x = t t 2 – 6t + 8 = 0
202
2
1
2
( 6) ( 6) 4 1 82 1
6 4 22
6 4 42
t
t
t
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅−
= =
+= =
Sijoitetaan t = 2x 2x = 2 tai 2x = 4 x = 1 2x = 22 x = 2 b)
2
93 3 26 33
3 (3 ) 26 3 9 0
x xx
x x
⋅ − = ⋅
⋅ − ⋅ − =
Sijoitetaan 3x = t 3t 2 – 26t − 9 = 0
2
1
2
( 26) ( 26) 4 3 ( 9)2 3
26 784 1 Ei käy6 3
26 784 96
t
t
t
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅−
= = −
+= =
Sijoitetaan t = 3x 3x = 9 3x = 32 x = 2 Vastaus: Yhtälön ratkaisu on a) 1 tai 2 b) 2. 320. Funktio f on vähenevä, kun kantaluku on suurempi kuin 0, mutta pienempi kuin 1. a) Funktio f(x) = (2k + 6)x on vähenevä, kun
0 < 2k + 6 < 1 |−6 −6 < 2k < −5 |:2
−3 < k < 52
−
b) Funktio f(x) = (3k – 2)2x = [(3k – 2)2]x on vähenevä, kun 0 < (3k – 2)2 < 1 9k2 – 12k + 4 > 0 ja 9k2 – 12k + 4 < 1 9k2 – 12k + 3 < 0 Epäyhtälö 9k2 – 12k + 4 > 0 Nollakohdat 9k2 – 12k = 0 (3k – 2)2 = 0 3k − 2 = 0
203
k = 23
Epäyhtälö 9k2 – 12k > 0, kun k ≠ 23
.
Epäyhtälö 9k2 – 12k + 3 < 0 Nollakohdat 9k2 – 12k + 3 = 0 |:3 3k2 – 4k + 1 = 0
2
1
2
( 4) ( 4) 4 3 12 3
4 4 16 3
4 4 16
k
k
k
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅−
= =
+= =
Epäyhtälö 9k2 – 12k + 3 < 0, kun 1 13
k< < .
Funktio on vähenevä, kun 1 13
k< < ja k ≠ 23
.
Vastaus: Funktio f on vähenevä, kun a) −3 < k < 52
− b) 1 13
k< < ja k ≠ 23
204
321. Ratkaistaan graafisesti yhtälö f(x) = g(x), kun 1( ) 12
x
f x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ja 2
( ) 3 42xg x x= − + + .
Vastaus: Yhtälön ratkaisu on x ≈ −1 tai x ≈ 4,8.
322. a) Funktio 2( )5
x
f x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, –2 ≤ x ≤ 3
Funktio on eksponenttifunktiona vähenevä, koska kantaluku on pienempi kuin 1.
Funktion pienin arvo 32 8(3)
5 125f ⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Funktion suurin arvo 2 22 5 25( 2)
5 2 4f
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b) Funktio g(x) = 4–x = (4−1)x = 14
x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, –2 ≤ x ≤ 3
Funktio on eksponenttifunktiona vähenevä, koska kantaluku on pienempi kuin 1.
Funktion pienin arvo 31 1(3)
4 64g ⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Funktion suurin arvo 2
21( 2) 4 164
g−
⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Vastaus: a) Suurin arvo on 254
ja pienin 8125
. b) Suurin arvo on 16 ja pienin 164
.
205
323. Funktio f(x) = abx
Kuvaaja kulkee pisteiden 11,8
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
ja (2,8) kautta.
1
2
1( 1)8
(2) 8
18
8
f
f
ab
ab
−
⎧ − =⎪⎨⎪ =⎩⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
Ylemmästä yhtälöstä saadaan 8ba = . Sijoitetaan alempaan yhtälöön.
2
3 3
8 88
64
4
b b
b
b
⋅ =
=
=
Vakio 4 18 8 2ba = = =
Funktio 1( ) 42
xf x = ⋅ , –2 ≤ x ≤ 3
Funktio on eksponenttifunktiona kasvava, koska kantaluku on suurempi kuin 1.
Funktion pienin arvo 21 1( 2) 42 32
f −− = ⋅ =
Funktion suurin arvo 31(3) 4 322
f = ⋅ =
Funktion arvojoukko on 132
≤ y ≤ 32.
Vastaus: a = 12
ja b = 4, arvojoukko 1 3232
y≤ ≤
Logaritmifunktio 324.
a) log5125
= −2, koska 5−2 = 125
b) log3 81 = 4, koska 34 = 81
c) log36 6 = 12
, koska 1236 6=
206
d) 13
log 27 3= − , koska 31( ) 273
− =
Vastaus: a) −2 b) 4 c) 12
d) −3
325. a) logx
64 = 3 x3 = 64 x = 4 b) log2 x = 4 x = 24 = 16 c) logx
11 = 0,5 x0,5 = 11 | ( )2
x = 121
d) lg 2x = 1,5
1,5
112
102
2 10
20 10
x
x
x
+
=
= ⋅
=
e) ln (x+1) = 2,5 x + 1 = e2,5
x = 122e
+− 1
x = 2 1e e − f) log7 (x2 −4x + 4) = 0 x2 −4x + 4 = 1 x2 −4x + 3 = 0
2( 4) ( 4) 4 1 32 1
x− − ± − − ⋅ ⋅
=⋅
14 4 1
2x −= =
24 4 3
2x +
= =
Vastaus: a) 4 b) 16 c) 121 d) 20 10 e) 2 1e e − f) 1 tai 3
207
326. a) 2x = 10 | ln( )
ln10 3,322ln 2
x = ≈
b) 5-x = 9
ln 9ln 5ln 9 1,365ln 5
x
x
− =
= − ≈ −
Vastaus: a) ln10 3,322ln 2
≈ b) ln 9 1,365ln 5
− ≈ −
327. a) log5 x − 3log5 x = 2 log5 x − log5 x3 = 2
5 3
5 2
22
2
2
log 2
1log 2
1 5
25 11 , 02515
xx
x
xx
x x
x
=
=
=
=
= >
=
b) logx 3 − logx
4 = 12
122
3 1log4 2
3 ()49
16
x
x
x
=
=
=
Vastaus: a) 15
b) 916
208
328. aika t
( ) 32 0,90625tf t = ⋅ a) t = 0
0(0) 32 0,90625 32f = ⋅ = b) Ihmisen normaalilämpötila on n. 37° 32 0,90625 37
370,9062532
37ln32 1,5
ln 0,90625
t
t
t
⋅ =
=
= ≈ −
Vastaus: a) 32° b) 1,5 tuntia aiemmin 329. Aineen puoliintumisaika on yksi vuosi aika vuosina x
7,0 ⋅ 0,5x = 0,01
0,010,57,0
x =
0,01lg 0,5 lg7,0
x =
0,01lg 0,5 lg7,0
x ⋅ =
0,01lg7,0
lg 0,59,451...
x
x
=
=
Vastaus: Kymmenen vuoden päästä viimeisestä mittauksesta tai 11 vuoden päästä onnettomuudesta 330. aika vuosina x hiili-14:n alkuperäinen määrä a
57300,5 0,34 :x
a a a⋅ =
57300,5 0,34x
=
5 730lg 0,5 lg 0,34x
=
209
lg 0,5 lg 0,345 730
x⋅ =
lg 0,345 730 lg 0,5
lg 0,345 730lg 0,5
x
x
=
= ⋅
8 900x ≈ Vastaus: noin 8 900 vuotta vanha 331. a) 1,5 ⋅ 0,852 ≈ 1,1 b) pomppujen määrä ensimmäisen pompun jälkeen x
1,5 ⋅ 0,85x = 0,05 :1,5
0,85x = 0,051,5
0,05lg 0,85 lg1,5
x =
0,05lg 0,85 lg1,5
x = : lg 0,85
0,05lg1,5
lg 0,85x =
20,928 ...21
xx=≈
Vastaus: a) 1,1 m b) 21 pompun päästä 332. aika vuosina x Leivän hinta tulee joka vuosi 100 % + 4,7 % = 104,7 % = 1,047 -kertaiseksi 0,45 ⋅ 1,047x = 1,25 : 0, 45
1,047x = 1,250,45
1,25lg1,047 lg0, 45
x =
1, 25lg1,047 lg0, 45
x = : lg 1,047
1, 25lg0, 45
lg1,047x =
210
22, 244 ...22
xx=≈
Vastaus: 22 vuotta sitten
333. a) 0
10 lg ISI
= ⋅ 12 100 2 2
W W10 ( ), 10 ( )m m
I I− −= =
10
121010 lg 2010
S−
−= ⋅ = (dB)
b) 0
10 lg ISI
= ⋅ 12 60 2 2
W W10 ( ), 2 10 ( )m m
I I− −= = ⋅
6
122 1010 lg 63,010... 6310
S−
−⋅
= ⋅ = ≈ (dB)
Vastaus: a) 20 dB b) 63 dB 334. Tutkitaan lukua 230 402 457 a = 230 402 457 lg lga = 30 402 457lg2 a = 1030 402 457lg2 =109 152 051,498... = 109 152 051 ⋅ 100,498... = 3,15... ⋅ 109 152 051 Vastaus: 9 152 052 numeroa ja kaksi ensimmäistä ovat 3 ja1. 335. hkl = Ty + TΔ e–0,0248t |hkl = 47, Ty = 20, TΔ = 160 – 20 = 140 47 = 20 + 140 e–0,0248t 140 ⋅ e–0,0248t = 27 :140
e–0,0248t = 27140
0,0248 27ln ln140
te− =
–0,0248t ln e = ln 27140
( ): 0,0248 , ln 1e− =
x ≈ 66 aikayksikkö on oltava minuutti Vastaus: 66 minuuttia
211
Eksponenttifunktion derivaatta 336. a) D4ex = 4ex b) De4x + 5 = 4e4x+5
c) D2 2 21 1 1
2 2 21 22
x x xe xe xe− − −
= − ⋅ = −
d) D 1 1 12 2
x x xe e ex x
= ⋅ =
e) D 2( )xe = De2x = 2e2x
Vastaus: a) 4ex b) 4e4x+5 c) 21
2x
xe−
− d) 12
xex
e) 2e2x
337. a) Dx2e − 3x =2xe − 3x + x2(−3)e − 3x = (2x − 3x2) e − 3x
b) D 1 1 1( )2 2
x x x xe x e x e e xx x
= + ⋅ ⋅ = +
c) D 2 2 21 1 (1 ) ( 2 ) 2
( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x x x xx e x e e e xe e x x
e e e e e− − ⋅ − − − − + − + −
= = = = = De−5x = −5e−5x = 55xe
−
d) 1
2 2 2
1 12 22 2
2
22
2
22
1 ( 1)D D
1 2 ( 1) ( 1)2
( )
11
( )
11
x x
x x
x
x x
x
x
x xe e
x x e x e
ex e x e
xe
x xx
e
−
+ +=
⋅ + − +=
⋅ − + ⋅+=
− ++=
212
e)
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
( )( ) ( )( )D( )
( )( )
1 1 1 1( )
4( )
x x x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x x
e e e e e e e e e ee e e e
e e e e e e e e e e e ee e
e e e ee e
e e
− − − − −
− −
− − − − − −
−
− −
−
−
+ − − − + +=
− −
− − + − + + +=
−
− − + − − − −=
−−
=−
Vastaus: a) (2x − 3x2) e − 3x b) 1( )2
xe xx
+ c) 2x
xe− d)
22
11
x
x xx
e
− ++
e) 24
( )x xe e−−−
338. a) D4x = 1 ⋅ 4x ⋅ ln4 = 4x ⋅ ln4 b) D4−x = −1 ⋅ 4−x ⋅ ln4 = −4−x ⋅ ln4 c) D 2 34 x+ = 2 ⋅ 2 34 x+ ⋅ ln4
d) D 3 3 3 3 3( ) 1 ( ) ln ( ) ln4 4 4 4 4
x x x= ⋅ ⋅ = ⋅
Vastaus: a) 4x ⋅ ln4 b) −4−x ⋅ ln4 c) 2 ⋅ 2 34 x+ ⋅ ln4 d) 3 3( ) ln4 4
x ⋅
339.
2( ) xf x x e= 2'( ) 2 x xf x xe x e= +
1 2 1'(1) 2 1 1 3f e e e= ⋅ ⋅ + =
1
( ) ( )
'( ) 1 ( ) (1 )
'(1) (1 1 ) 2
x
x x x
g x x a e
g x e x a e x a e
g a e e ae
= −
= ⋅ + − = + −
= + − = −
Ratkaistaan a 2 3
1
e ae eae ea
− =− =
= −
213
2
2
2
2
2
1
2
'( ) '( )
2 (1 ( 1))
2 2 :
2 2
2 0
1 1 4 1 ( 2)2 1
1 9 22
1 9 12
x x x
x x x x x
f x g x
xe x e x e
xe x e e xe e
x x x
x x
x
x
x
=
+ = + − −
+ = +
+ = +
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− −
= = −
− += =
Vastaus: a = −1 ja kohdassa 2x = − 340.
2
2
1
1'2
x
x
y e
y e
= −
= −
y-akselin eikkauspisteessä x = 0
02
02
(0) 1 0
1 1'(0)2 2
y e
y e
= − =
= − = −
Tangentin yhtälö
10 ( 0)212
y x
y x
− = − −
= −
Vastaus: 12
y x= −
214
341. f(x) = 2ex − 3 xe− + 5 Nollakohdat 2ex − 3 xe− + 5 = 0
2
2
32 5 0
2 3 5 0
2 3 5 0
xx
x x
x
x x
ee
e ee
e e
− + =
− +=
− + =
Sijoitetaan t = ex 2t2 + 5t − 3 = 0
25 5 4 2 ( 3)2 2
t− ± − ⋅ ⋅ −
=⋅
t = 3− tai t = 12
ei käy Sijoitetaan t = ex
ex = 12
x = ln 12
= −ln2
Derivaatta f’(x) = 2ex + 3 xe− Derivaatan nollakohdat 2ex + 3 xe− = 0
2
2
2
32 0
2 3 0
2 3 032
xx
x
x
x
x
ee
ee
e
e
+ =
+=
+ =
= −
ei ratkaisua Kulkukaavio
Vastaus: Funktion nollakohta on −ln2 ja se on aidosti kasvava kaikkialla.
215
342.
28( )
( 1)
x
xef x
e=
+
Nollakohdat
28 0
( 1)
x
xe
e=
+
ei ratkaisua Derivaatta
2 2
4 38 ( 1) 8 2 ( 1) 8 ( 1) 16'( )
( 1) ( 1)
x x x x x x x x
x xe e e e e e e ef x
e e+ − ⋅ + + −
= =+ +
Derivaatan nollakohdat 2
3
2
8 ( 1) 16 0( 1)
8 ( 1) 16 0 :
8 8 16 0
8 8
10
x x x
x
x x x x
x x
x
x
e e ee
e e e e
e e
e
ex
+ −=
+
+ − =
+ − =
=
==
Kulkukaavio
f '(−1) > 0 f '(1) < 0
Suurin arvo f (0) = 2 Vastaus: Funktiolla ei nollakohtia, se on aidosti kasvava, kun 0x ≤ ja aidosti vähenevä, kun 0x ≥ ja suurin arvo on f (0) = 2. 343. f(x) = x2 ekx f’(x) = 2x ekx + x2k ekx Derivaatan nollakohdat
x
f ′(x)
f(x)
0
max
216
2
2
2 0 0
2 0(2 ) 0
0 tai 2 0
kx kx kxxe x ke e
x kxx kx
x kx
+ = >
+ =+ =
= + =
2xk
= −
Funktion mahdolliset ääriarvopisteiden x-koordinaatit ovat derivaatan nollakohtia. Ääriarvopisteen y-koordinaatit f(0) = 02 e0 = 0
2( )2 22
2 2 4( ) ( )k
ky f e ek k k
⋅ − −= − = − ⋅ = ⋅
Ratkaistaan k yhtälöstä 2xk
= −
2
2
xk
kx
= −
= −
Sijoitetaan
2 2 2 2 22 2
2
4 4 42 4( )
y e e e x ek
x x
− − − −= ⋅ = ⋅ = ⋅ =−
Vastaus: 2 2y x e−=
217
Logaritmifunktion derivaatta 344.
a) D(1+3lnx) = 0+ 1 33x x⋅ =
b) Dln(−5x) = 1 155x x
− ⋅ =−
c) Dln( x ) = 1 1 1 12 2xx x⋅ ⋅ =
d) D( 7 ln(5 )x x ) =
) 2 )
1 1 17 ln(5 ) 7 52 5
7 ln(5 ) 72
7 ln(5 ) 2 72
7(ln(5 ) 2)2
x x
x xxx
x xxx
x x xx xxx
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= +
+=
+=
e) Dln(2x3 − 8) = 2 2 2
3 3 36 6 3
2 8 2( 4) 4x x x
x x x= =
− − −
Vastaus: a) 3x
b) 1x
c) 12x
d) 7 (ln(5 ) 2)2
xx+ e)
2
33
4x
x −
345.
a) Dlog9x = 1ln 9x
b) Dlog3(−2x + 1) = 2 2( 2 1) ln 3 (2 1) ln 3x x
−=
− + −
c) D 2 2
11 1
ln (ln ) (ln )x
x x x x
−= = −
d) 22 1 21 ln( ) ( 1)lnxx x x xx e e++ += =
218
2 2
2
2
2
( 1)ln 2 ( 1)ln
21
2
2 2
1D [2 ln ( 1) ]
1[2 ln ]
1[2 ln ]
[2 ln 1]
x x x x
x
x
x
e x x x ex
xx x xx
xx x x xx
x x x x
+ +
+
= + + ⋅
+= +
+= +
= + +
Vastaus: a) 1ln 9x
b) 2(2 1) ln 3x −
c) 21
(ln )x x− d)
22 2[2 ln 1] xx x x x+ +
346. Käyrät y = ln(x2 + 2) ja ln( 14)y x= − +
Määrittelyehdot x2 + 2 > 0 kaikilla x −x + 14 > 0 x < 14 Leikkauspisteet ln(x2 + 2) ln( 14)x= − +
2
2
2
1
2
2 14
12 0
1 1 4 1 ( 12)2 1
1 7 42
1 7 32
x x
x x
x
x
x
+ = − +
+ − =
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅− −
= = −
− += =
Käyrän y = ln(x2 + 2) tangentin kulmakerroin kohdissa x = −4 ja x = 3
y’ = 22
2x
x +
219
y’(−4) = 22 ( 4) 4
9( 4) 2⋅ −
= −− +
y’(3) = 22 3 6
113 2⋅
=+
Suuntakulmat
1
1
4tan925,0
α
α
= −
≈ − °
2
2
6tan1128,6
α
α
=
≈ °
Käyrän ln( 14)y x= − + tangentin kulmakerroin kohdissax = −4 ja x = 3
1 1'14 14
yx x−
= =− + −
1 1'( 4)4 14 18
y − = = −− −
1 1'(3)3 14 11
y = = −−
Suuntakulmat
11tan
183,18
β
β
= −
≈ − °
2
2
1tan115,19
β
β
= −
≈ − °
Käyrien leikkauskulmat −3,18o – (−25,0o) ≈ 21,8o ja 28,6o – (−5,19o) ≈ 33,8o Vastaus: 21,8o ja 33,8o 347. f(x) = ln( x2 +1) Nollakohdat ln( x2 +1) = 0 x2 +1 = 1 x2 = 0 x = 0
220
f’(x) = 22
1x
x +
Derivaatan nollakohdat 2x = 0 x = 0 nimittäjällä ei nollakohtia Kulkukaavio
f '(−1) < 0 f '(1) > 0
Funktio on vähenevä, kun x≤ 0
Funktio on kasvava, kun x≥ 0
Funktion pienin arvo f(0) = ln (02 +1) = 0
Vastaus: Funktion nollakohta on 0. Funktio on vähenevä, kun x≤ 0
Funktio on kasvava, kun x≥ 0
Funktion pienin arvo f(0) = 0
1
3
4
5
6
2
1–1–2–3–4–5–6–7–8 2 3 4 5 6 7 8
y
x
y = ln(x2 + 1)
348. Yhtälö ln x3 + x2 = 0. Tutkitaan funktiota f(x) = ln x3 + x2, x > 0 1) f(0,1) = ln 0,13 + 0,12 < 0 f(1) = ln 13 + 12 = 1 > 0 Joten jatkuvana funktiona f:llä on ainakin 1 nollakohta välillä ]0,1;1[ 2)
f '(x) = 2
33 32 2 0, kun 0x x x x
xx+ = + > > , joten f on aidosti kasvava.
Kohdista 1) ja 2) seuraa, että yhtälöllä ln x3 + x2 = 0 on täsmälleen yksi juuri.
x
f ′(x)
f(x)
0
min
221
349. 2( 1) 0xe− − ≥
Tarkastellaan funktiota
1 ln 2( ) , 0x xf x xx
+ −= >
2
2
2
1( 2) (1 ln 2 ) 1'( )
1 2 1 ln 2
ln
x x xxf x
xx x x
xx
x
− ⋅ − + − ⋅=
− − − +=
= −
Derivaatan nollakohdat
2ln 0
ln 01
xx
xx
− =
==
Kulkukaavio
f '(0,5) > 0 f '(2) < 0
Kulkukaaviosta nähdään, että funktio saa suurimman arvonsa kohdassa x = 1.
Suurin arvo 1 ln1 2 1(1) 11
f + − ⋅= = −
Koska 2( 1) 0xe− − ≥ ja 1 ln 2( ) 1x xf xx
+ −= ≤ − , on käyrä 1 ln 2x xy
x+ −
= kaikilla
muuttujan positiivisilla arvoilla käyrän 2( 1)xy e−= − alapuolella.
222
350.
y = ln x, 1'yx
= , x > 0
y = 212
xe
, 2'2
x xye e
= =
Määritetään se muuttujan arvo, jollakäyrien tangentit ovat yhdensuuntaiset eli kulmakertoimet yhtä suuret.
2
1
0
xx e
x e x
x e
=
= >
=
Lasketaan y-koordinaatit kummallakin käyrällä.
12 1ln ln
2y e e= = =
2 21 1 1 1( )
2 2 2 2y x e e
e e e= = ⋅ = ⋅ =
Nähdään, että käyrillä on yhteinen tangentti pisteessä 1( , )2
e , joten käyrät sivuavat
toisiaan ja sivuamispiste on 1( , )2
e .
Vastaus: 1( , )2
e
223
351. 1ln1
111
( 1) 1
11
11
y
y y
y y
y
y
y
y
xyx
xex
e e x x
e x e
exe
exe
+=
−+
=−
− = +
− − = −
−=− −
−=
+
Joten
f−1(x) = 11
x
xee
−+
(f−1)'(x) = 2 2
2 2 2( 1) ( 1) 2
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x x x
x x xe e e e e e e e e
e e e⋅ + − − ⋅ + − +
= =+ + +
Vastaus: f−1(x) = 11
x
xee
−+
ja (f−1)'(x) = 22
( 1)
x
xe
e +.
Harjoituskoe 1
1. a) Funktio 2
( )2
xef x = , derivaatta 2 21'( ) 2
2x xf x xe x e= ⋅ =
b) Funktio 1( ) lng x xx
= , derivaatta 22
1 1 ln 1'( ) ln xg x x xx x x
− − += − + ⋅ = , 0x >
c) Funktio 2
25 5( ) ( 1) ( 1)h x x x= + = + , derivaatta 21 152
35
1 2 1'( ) ( 1)2 5 5 ( 1)
h x x xx x
−−= ⋅ ⋅ + =
+, 0x >
Vastaus: a) 2xxe b) 2
ln 1xx
− + , 0x > c)35
1
5 ( 1)x x + , 0x >
2. Funktio ( ) ( )( ) ( ( ))f x h g x h g x= = Derivaatta '( ) '( ) '( ( ))f x g x h g x= Funktion kohtaan 2 piirretyn tangentin kulmakerroin on sama kuin funktion derivaatan arvo tässä kohdassa. Kulmakerroin
224
'(2) '(2) '( (2)) '(2) 1 (tangentin kulmakerroin); (2) 3
1 '(3) kuvaajasta '(3) 11
f g h g g g
h h
= = =
= ⋅ ≈
=
Vastaus: Kulmakerroin on 1.
3. Merkitään 2( ) 1 2f x x x= − − + + Funktio on jatkuva koko määrittelyjoukossaan. Haetaan funktion arvojoukko. Määritelty, kun juurretava on ei-negatiivinen, eli kun
2
2
1 0
1 , aidosti kasvava, säilyttää järjestyksen
11 1
x
x
xx
− + ≥
≤
≤
− ≤ ≤
Edellinen epäyhtälö voidaan ratkaista myös hakemalla nollakohdat ja tekemällä merkkikaavio. Haetaan funktio suurin ja pienin arvo, kun 1 1x− ≤ ≤ . Koska funktio on jatkuva, sillä on suljetulla välillä sekä suurin että pienin arvo ja se saa myös kaikki arvot näiden arvojen välistä. Suurin ja pienin arvo sijaitsevat joko välin päätepisteissä tai vastaavalle avoimelle välille kuuluvissa derivaatan nollakohdissa. Derivaatta
12 2 2( ) 1 2 ( 1) 2f x x x x x= − − + + = − − + +
12 2
2
1'( ) ( 2 ) ( 1) 2 22 1
xf x x xx
−= − − ⋅ − + + = +
− +
Derivaatan nollakohdat välillä 1 1x− < <
2 1)2
2
2
2
2 01
2 1 01
2 1 0
xx
x
x x
x
x x
− ++ =− +
+ − +=
− +
+ − + =
2 2
002 2
2 1 () , ja 0, eli 0, lisäksi 1 1, joten 1 0
4( 1)
x x x x x x
x x
>>
− + = − − > < − < < − < <
− + =
2 45
x =
225
4 1 0525
x x
x
= ± − < <
= −
Funktion 2( ) 1 2f x x x= − − + + arvo
päätepisteissä 2( 1) ( 1) 1 2 ( 1) 2f − = − − − + + ⋅ − = − , 2(1) 1 1 2 1 2f = − − + + ⋅ =
derivaatan nollakohdassa 22 2 2 5( ) ( ) 1 2 ( ) 5 2,245 5 5 5
f −− = − − − + + ⋅ − = = − ≈ −
Suurin arvo 2 ja pienin 5− . Näin ollen funktion ja lausekkeen arvojoukko on [ 5− , 2]. Vastaus: Arvojoukko on [ 5− , 2]. 4. Yhtälö log 9 log (2 3) 1x x x= − + Logaritmi on olemassa, kun kantaluku x on positiivinen ja ykkösestä eroava. Lisäksi
numeruksen tulee olla positiivinen, joten 2 3 0x − > . Ehdot yhdistämällä saadaan 32
x > .
Ratkaistaan yhtälö.
2 3)
2
2
2
1
2
log 9 log (2 3) 1
log 9 log (2 3) 1 log log log
9log 1 log 12 3
92 3
9 02 3
2 3 9 02 3
2 3 9 0
3 3 4 ( 2) 92 ( 2)
3 9 6 30, ei käy 4 4 2
3 9 34
x x
x x
x x
x
xax a bb
xx
xx
xx
x xx
x x
x
x x
x
−
= − +
− − = − =
= =−
=−
− =−
− + +=
−− + + =
− ± − ⋅ − ⋅=
⋅ −− +
= = − < >−
− −= =
−
Vastaus: 3
226
5. Funktio 2 2( ) (2 1)f x x x= − on jatkuva ja derivoituva (polynomifunktiona), kun x∈ . Näin ollen ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohtien joukosta. Funktio 2 2 2 2 2( ) (2 1) [ (2 1)] (2 )f x x x x x x x= − = − = −
Derivaatta 2 2'( ) (2 2 1) 2 (2 ) 2(4 1)(2 )f x x x x x x x= ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − Derivaatan nollakohdat
2
2
2(4 1)(2 ) 0
4 1 0 tai 2 04 1 (2 1) 0
1 10 tai 4 2
x x x
x x xx x x
x x x
− − =
− = − == − =
= = =
Kulkukaavio
Kulkukaavion perusteella
miniarvot 2 2(0) 0 (2 0 1) 0f = ⋅ ⋅ − = ja 2 21 1 1( ) ( ) (2 1) 02 2 2
f = ⋅ ⋅ − =
maksimiarvo 2 21 1 1 1( ) ( ) (2 1)4 4 4 64
f = ⋅ − =
Vastaus: Maksimi arvo on 164
ja miniarvo 0.
6. Funktio ( ) ( )( ) ( )( ) ( ( )) ( ( ))h x f g x g f x f g x g f x= ⋅ = ⋅ Derivaatta '( ) '( ) '( ( )) ( ( )) ( ( )) '( ) '( ( ))h x g x f g x g f x f g x f x g f x= ⋅ + ⋅
Derivaatta kohdassa 0, kun ( ) xg x e= , jolloin '( ) xg x e= Koska funktio ( )f x on derivoituva kaikkialla, niin ääriarvokohdissa sen derivaatta saa arvon 0. Koska funktio on jatkuva ja kohdassa 0 sen ääriarvo on äärellinen, niin funktio arvo kohdassa 0 on myös äärellinen.
0 0 (0) 0 (0)
(0) (0)
0
'(0) '(0) '( (0)) ( (0)) ( (0)) '(0) '( (0))
'( ) ( ) '(0)
1 '(1) (1) 0
0
f f
f f
h g f g g f f g f g f
e f e e f e f e
f e f e
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
=
Vastaus: 0
2
2
2
2
2
'( ) 2(4 1)(2 )
'( 1) 2 [4 ( 1) 1)][2( 1) ( 1)] 30 0
'(0,1) 2 (4 0,1 1)(2 0,1 0,1) 0,096 0
'(0,3) 2 (4 0,3 1)(2 0,3 0,3) 0,0048 0
'(1) 2 (4 1 2)(2 1 1) 4 0
f x x x x
f
f
f
f
= − −
− = ⋅ ⋅ − − − − − = − <
= ⋅ ⋅ − ⋅ − = >
= ⋅ ⋅ − ⋅ − = − <
= ⋅ ⋅ − ⋅ − = >
227
7. Funktiot ( ) 4g x x=− + , 3( ) 6f x x= −
Funktion ( ) 4g x x=− + kuvaaja on laskeva suora, joten funktio on aidosti vähenevä ja sillä on käänteisfunktio. Funktion 3( ) 6f x x= − derivaatta 2'( ) 3f x x= on positiivinen, kohtaa x =0 lukuun ottamatta. Joten funktio on aidosti kasvava ja sillä on käänteisfunktio . Haetaan käänteisfunktiot.
1
1
( ) 444
( ) 4 muuttujien vaihto
( ) 4
g x xy xx y
g y y
g x x
−
−
= − += − += − +
= − +
= − +
3
3
3 3
3
1 3
1 3
( ) 6
6
6 , yksikäsitteinen
6
( ) 6 muuttujien vaihto
( ) 6
f x x
y x
x y
x y
f y y
f x x
−
−
= −
= −
= +
= +
= +
= + a) Yhdistetyn funktion lauseke ja määrittelyjoukko
1 1 1 1 1 3 33( )( ) ( ( )) ( ) 6 4 6 10f g x f g x g x x x− − − − −= = + = − + + = − + Funktio on määritelty, kun x∈ . b) Funktio 1 1 3( )( ) 10f g x x− − = − +
Derivaatta 1 11 1 3
23
1 1( ) '( ) 1 ( 10)3 3 ( 10)
f g x xx
−− − = − ⋅ − + =− +
Derivaatta kohdassa x = 1 1 11 1 3
323
1 1 1( ) '(1) 1 ( 10)3 9 33 ( 1 10)
f g x−− − = − ⋅ − + = − = −
− +
Vastaus: a) 1 1 3( )( ) 10f g x x− − = − + , x∈ b) 1 131( ) '(1)
9 3f g− − = −
228
8. Funktio ( ) lnf x x= , x > 0
Funktion kohtaan x = a piirretyn tangentin kulmakerroin on sama kuin funktion derivaatan arvo tässä kohdassa.
Derivaatta 1'( )f xx
=
Tangentin yhtälö ja leikkauspiste y-akselin kanssa ( x = 0)
0 0 0 01( ) , ( ) ln , '( )
1ln ( ) leikkauspiste 0
1 ln
t ty y k x x x a y f a a k f aa
y a x a xa
y a
− = − = = = = =
− = − =
= − +
Koska tangentti ja normaali ovat kohtisuorassa toisiaan vasten, niin kulmakertoimien tulo
1n tk k = − , eli 1'( )nk a
f a= − = −
Normaalin yhtälö ja leikkauspiste y-akselin kanssa ( x = 0)
0 0 0 0
2
( ) , ( ) ln ,
ln ( ) leikkauspiste 0
ln
n ny y k x x x a y f a a k a
y a a x a x
y a a
− = − = = = = −
− = − − =
= +
Kolmion korkeus h a= Kolmion kanta 2 2 21 ln ( ln ) 1 1AB a a a a a= − + − + = − − = + , koska 2 1 0a− − <
Kolmion pinta-ala 2 31 1 1( 1)
2 2 2A a a a a= ⋅ + ⋅ = +
Vastaus: Kolmion pinta-ala on 31 12 2
a a+ , 0a > .
229
Harjoituskoe 2 1. Funktiot f(x) = 2x + 1 ja g(x) = x2 Ratkaistaan yhtälö.
( )( ) ( )( )f g x g f x= f(g(x) = g(f(x) 2f(x) + 1 = [f(x)]2 2x2 + 1 = (2x +1)2 2x2 + 1 = 4x2 + 4x + 1 2x2 + 4x = 0 2x(x + 2) = 0 2x = 0 tai x + 2 = 0 x = 0 x = −2
Vastaus: Yhtälön ratkaisu on x = 0 tai x = –2. 2. Ratkaistaan yhtälö.
2
2
2
13 1 1 0 3 1 0 eli 3
3 1 1 () , 1 0 eli 1
3 1 2 15 0
( 5) 00 tai 5
x x x x
x x x x
x x xx xx x
x x
+ + − = + ≥ ≥ −
+ = − + − + ≥ ≤
+ = − +
− =− =
= =
Ei käy Vastaus: Yhtälön ratkaisu on x = 0. 3. a) Funktio f(x) = x2e–x Derivaatta f ′(x) = 2xe–x + x2·(−1)e–x = 2xe–x − x2e–x Derivaatan arvo f ′(1) = 2·1e–1 − 12e–1 = e–1 ≈ 0,368
b) Funktio1 12 2( ) 2 (2 )f x x x x x= − = −
Derivaatta f ′(x) =
2 )1 1 12 2 2
121 1 22 (2 )2 2 2 2
x
xx x xx x
− −−
⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠ −
= 2
4 14 12
2 2 4 2
xxx
x x x x x
−−
=− −
Derivaatan arvo f ′(1) = 2
4 1 1 344 2 1 1 1
−=
⋅ − ⋅
Vastaus: Derivaatan arvo on a) f ′(1) = e–1 b) f ′(1) = 34
.
230
4. Funktio 22 7 4( )2 1
x xf xx− −
=−
on määritelty, kun
22 7 4 02 1
x xx− −
≥−
ja 2x − 1 ≠ 0 eli x ≠ 12
Ratkaistaan epäyhtälö 22 7 4 02 1
x xx− −
≥−
.
Osoittajan nollakohdat 2x2 – 7x − 4 = 0
2
1
2
( 7) ( 7) 4 2 ( 4)2 2
7 81 14 2
7 81 44
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅−
= = −
+= =
Nimittäjän nollakohta 2x − 1 = 0
x = 12
Merkkikaavio
Epäyhtälön 22 7 4 02 1
x xx− −
≥−
ratkaisu on 1 12 2
x− ≤ < tai x ≥ 4.
Vastaus: Funktio on määritelty, kun 1 12 2
x− ≤ < tai x ≥ 4.
5. Ratkaistaan yhtälö. a) 8·2x + 2–x = 9 Sijoitetaan 2x = t 8t + t−1 = 9 |·t, t ≠ 0 8t2 + 1 = 9t 8t2 − 9t + 1 = 0
2
1
2
( 9) ( 9) 4 8 12 8
9 49 116 8
9 49 116
t
t
t
− − ± − − ⋅ ⋅=
⋅−
= =
+= =
231
Sijoitetaan t = 2x
2x = 18
tai 2x = 1
2x = 2−3 2x = 20 x = −3 x = 0 b) log3 x + log3(x – 4) = 1 |x > 0 ja x > 4 eli x > 4 log3 [x(x – 4)] = 1 log3 (x2 − 4x) = 1 31 = x2 − 4x x2 − 4x − 3 = 0
2
1
2
( 4) ( 4) 4 1 ( 3)2 1
4 28 4 2 7 2 7 Ei käy2 2
4 28 4 2 7 2 72 2
x
x
x
− − ± − − ⋅ ⋅ −=
⋅− −
= = = −
+ += = = +
Vastaus: Yhtälön ratkaisu on a) x = −3 tai x = 0 b) x = 2 7+ .
6. Funktio 1( ) xf xx−
= , x ≠ 0
Ratkaistaan x yhtälöstä
1
1( 1) 1 : ( 1), 1
11
xy xx
yx xy x y y
xy
−= ⋅
= −
− = − − ≠
=−
Vaihdetaan muuttujat f–1(x) = 11 x−
, x ≠ 1
Käänteisfunktion määrittelyjoukko Mf–1: x∈ , x ≠ 1 Käänteisfunktion arvojoukko Af–1: y∈ , y ≠ 0
Vastaus: Käänteisfunktio on f–1(x) = 11 x−
. Käänteisfunktion määrittelyjoukko Mf–1: x∈ ,
x ≠ 1 ja arvojoukko Af–1: y∈ , y ≠ 0.
232
7. Käyrä y = f(x) = ex
Derivaatta f ′(x) = ex Tangentin yhtälö
0 0 0 0( ) , , '( )
( )
t tt t
t t
t t t
y y k x x x t y e k f t e
y e e x ty e x e t e
− = − = = = =
− = −
= − +
Tangentin ja x-akselin leikkauspiste saadaan sijoittamalla y = 0.
0
( 1)
1
t t t
t t t
t
t
e x e t ee x e t e
e txe
x t
= − +
= −
−=
= −
Pisteen P kautta piirretty y-akselin suuntainen suora x = t Janan pituus t − (t − 1) = 1 Vastaus: Janan pituus on 1. 8. Olkoon f(x) = x3 + x – 2. Määritä (f–1)′(8). Funktio f(x) = x3 + x – 2 Derivaatta f ′(x) = 3x2 + 1 Koska f ′(x) = 3x2 + 1 > 0, niin funktio f(x) on aidosti kasvava ja sillä on käänteisfunktio.
233
Käänteisfunktion derivaatta (f–1)′(y) = 1'( )f x
, missä y = f(x)
Kohta x f(x) = 8
x3 + x – 2 = 8 x3 + x – 10 = 0
Sijoittamalla x = 2 saadaan 23 + 2 – 10 = 0 eli x = 2 on funktion f(x) nollakohta. Se on myös funktion ainut nollakohta, koska funktio f(x) on aidosti kasvava.
Käänteisfunktion derivaatta (f–1)′(8) = 2
1 1 1'(2) 133 2 1f
= =⋅ +
Vastaus: Käänteisfunktion derivaatta on (f–1)′(8) = 113
.
Harjoituskoe 3 1. a) f(x) = (2x − 1)4
( ) ( )3 3(́ ) 4 2 1 2 8 2 1f x x x= − ⋅ = −
( )3(́ 1) 8 2 ( 1) 1 216f − = ⋅ − − = − b) f(x) = e2x − 1
2 1(́ ) 2 xf x e −= 2 ( 1) 1 3(́ 1) 2 2f e e⋅ − − −− = =
Vastaus: a) −216 b) 32e− 2. a) 2 4y x= +
2 2
1 1' 22 4 4
xy xx x
= ⋅ ⋅ =+ +
b) 3
24
xyx
=−
2 2 3 12 2 4 22 2
22 2
1 13 4 ( 2 )2 3 4 (4 )4'
4( 4 )
x x x xx x x xxy
xx
−− − ⋅ ⋅ ⋅ −− + −−= =
−−
Vastaus: a) 2 4
xx +
b)
12 2 4 2 2
2
3 4 (4 )4
x x x xx
−− + −
−
234
3. f(x) = 3x + 1 ja g(x) = x2 . f o g = 23 1x + g o f = 2(3 1)x +
2 2
2 2
2
3 1 (3 1)3 1 9 6 1
6 6 06 ( 1) 0
6 0 tai 1 00 1
x xx x x
x xx x
x xx x
+ = +
+ = + +
− − =− + =
− = + == = −
Vastaus: x = 0 ja x = −1 4. Alussa päästöjä a Lopussa 0,2a Vähennyskerroin 100 % − 8,5 % = 91,5 % = 0,915
0,915 0, 20,915 0, 2 ln()
ln 0,915 ln 0,2ln 0,915 ln 0,2 : ln 0,915
ln 0, 2ln 0,91518,117...
x
x
x
a a
x
x
x
=
=
=
=
=
=
Vastaus: 18,1 vuoden kuluttua 5.
2 000 0003a = lg
2 000 000 lg 3 674,751...
lg 2 000 000 lg3
10 10
a
a
=
= =
3 000 0002b = lg
3 000 000 lg 2 521,399...
lg 3 000 000 lg 2
10 10
b
b
=
= =
Joten luku 2 000 0003 on suurempi ja siinä on 675 numeroa.
674,751...10 = 10674 ⋅ 100,751... = 5,63... ⋅ 10674 Ensimmäiset numerot ovat 5 ja 6 Vastaus: 2 000 0003 on suurempi, 675 numeroa ja kaksi ensimmäistä ovat 5 ja6.
235
6.
( )2
x xa aay e e
−= +
1 1 1 1' ( )2 2 2
x x x xa a a aay e e e e
a a− −
= − = −
Tangentin kulmakerroin kohdassa x = a. 1 1 1 1'( )2 2 2 2
a aa ay a e e e
e−
= − = −
Normaalin kulmakerroin kohdassa x = a.
2 2 2
1 1 1 2 21 1'( ) 1 1 12 2 2
e ey a e e ee
e e
− = − = − = − =− − −−
Normaalin yhtälö
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2( ) ( )1
2 2( )2 1 1
2 22 2 1 1
2 22 21 1
2 221 1
a aa a
ey y a x ae
a e eay e e xe e
a a e eay e xe e e
e ea a ay x eee e
e ea ae ay xee e
−
− = −−
− + = −− −
− − = −− −
= − + +− −
+= − +
− −
236
Vastaus: 2
2 2
2 221 1
e ea ae ay xee e+
= − +− −
7. Funktio f (x) = − x ln( ax2) (a > 0) a) määrittelyjoukko 0x ≠ b) nollakohdat
2
2
2
ln( ) 00 tai ln( ) 00 (ei käy) 1
x axx axx ax
− =
− = =
= =
2 1
1
xa
xa
=
= ±
c) nollakohtiin piirrettyjen tangenttien yhtälöt 2
2 22
( ) ln( )1'( ) 1 ln( ) 2 ln( ) 2
f x x ax
f x ax x ax axax
= −
= − ⋅ − ⋅ ⋅ = − −
21 1'( ) ln( ( ) ) 2 ln1 2 2f aa a
− = − ⋅ − − = − − = −
237
21 1'( ) ln( ( ) ) 2 ln1 2 2f aa a
= − ⋅ − = − − = −
Tangentin yhtälö nollakohdassa 1xa
= −
10 2( ( ))
12 2
y xa
y xa
− = − − −
= − −
Tangentin yhtälö nollakohdassa 1xa
=
10 2( )
12 2
y xa
y xa
− = − −
= − +
d) ääriarvot
2
2
2 2
22
'( ) 0ln( ) 2 0
ln( ) 2
1
1 1
f xax
axax e
xae
xe a
−
=
− − =
= −
=
=
= ±
Kulkukaavio
21 1'( ) ln( ( ) ) 2 ln1 2 2 0f aa a
− = − ⋅ − − = − − = − <
22 2 4
1 1 1 1 1'( ) ln( ( ) ) 2 ln 2 4 2 2 0f aa ae e e
= − ⋅ − = − − = − = >
21 1'( ) ln( ( ) ) 2 ln1 2 2 0f aa a
= − ⋅ − = − − = − <
Minimiarvo 22
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1( ) ( ) ln( ( ) ) lnf ae a e a e a e a e ae
− = − − − = = −
Maksimiarvo 22
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1( ) ln( ( ) ) lnf ae a e a e a e a e ae
= − = − =
238
Vastaus: a) 0x ≠ b) 1a
± c) 12 2y xa
= − − ja 12 2y xa
= − + d) minimiarvo
2 1e a
− , maksimiarvo 2 1e a
8.
1 12 21 (1 )y x x= + = + , x > 0
1 1 12 2 21 1 1' (1 ) 0
2 2 4 1y x x
x x
− −= + ⋅ = >
+ ⋅, joten funktio on aidosti kasvava kaikilla x >
0 ja sillä on käänteisfunktio. Määritetään käänteisfunktion lauseke.
2
2 2
4 2
1
1
1 1 0 ja 0 1
2 1
y x
y x
x y y y y
x y y
= +
= +
= − − ≥ > ⇒ ≥
= − +
Joten f−1(x) = 4 22 1x x− + , määrittelyjoukkona [1, [∞ ja arvojoukkona [0, [∞ (f−1)'(x) = 4x3 – 4x (f−1)'(1) = 4 ⋅ 13 – 4 ⋅ 1= 0 Vastaus: f−1(x) = 4 22 1x x− + , (f−1)'(x) = 4x3 – 4x ja (f−1)'(1) = 0
