18 · 2019-03-21 · информация: ... О проекте «Пробный ОГЭ...

Математика. 9 класс 2019 г. Тренировочный вариант №6 от 08.10.2018 1 / 10

© 2018 Всероссийский проект «ОГЭ 100 БАЛЛОВ» vk.com/oge100ballov Составитель: vk.com/shkolapifagora

http://vk.com/oge100ballov/2019kim06

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях

ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

Основной Государственный Экзамен по

МАТЕМАТИКЕ, 9 класс

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух модулей: «Алгебра» и

«Геометрия». Всего в работе 26 заданий. Модуль «Алгебра» содержит 17

заданий: в части 1 - 14 заданий; в части 2 - 3 задания. Модуль «Геометрия»

содержит 9 заданий: в части 1 - 6 заданий; в части 2 - 3 задания.

На выполнение экзаменационной работы по математике отводится

3 часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 2, 3, 14 запишите в бланк ответов № 1 в виде

одной цифры, которая соответствует номеру правильного ответа.

Для остальных заданий части 1 ответом является число или

последовательность цифр. Ответ запишите в поле ответа в тексте работы, а

затем перенесите в бланк ответов № 1. Если в ответе получена

обыкновенная дробь, обратите её в десятичную.

Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на бланке ответов

№ 2. Задания можно выполнять в любом порядке, начиная с любого

модуля. Текст задания переписывать не надо, необходимо только указать

его номер.

Сначала выполняйте задания части 1. Начать советуем с тех заданий,

которые вызывают у Вас меньше затруднений, затем переходите к другим

заданиям. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся

выполнить сразу, и переходите к следующему. Если у Вас останется время,

Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими черными чернилами.

Допускается использование гелевой или капиллярной ручки.

При выполнении части 1 все необходимые вычисления,

преобразования выполняйте в черновике. Записи в черновике, а также в

тексте контрольных измерительных материалов не учитываются при

оценивании работы. Если задание содержит рисунок, тона нём непосредственно в тексте

работы можно выполнять необходимые Вам построения. Рекомендуем

внимательно читать условие и проводить проверку полученного ответа.

При выполнении работы Вы можете воспользоваться справочными

материалами, выданными вместе с вариантом КИМ.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.

Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее

количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в

бланках ответов №1 и №2 записан под правильным номером.

Желаем успеха!

Часть 1

Ответами к заданиям 1–20 являются цифра, число или

последовательность цифр, которые следует записать в БЛАНК

ОТВЕТОВ № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная

с первой клеточки. Если ответом является последовательность

цифр, то запишите её без пробелов, запятых и других

дополнительных символов. Каждый символ пишите в отдельной

клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами.

Модуль «Алгебра»

Найдите значение выражения 1

10+

29

20.

Ответ: ___________________________.

Расстояние от Земли до Солнца равно 149,6 млн км. В каком случае

записана эта же величина?

1) 1,496 ∙ 1010 км

2) 1,496 ∙ 108 км

3) 1,496 ∙ 107 км

4) 1,496 ∙ 106 км

Ответ:

На координатной прямой отмечены числа 𝑝, 𝑞и 𝑟.

Какая из разностей 𝑞 − 𝑝, 𝑞 − 𝑟, 𝑟 − 𝑝положительна?

1) 𝑞 − 𝑝

2) 𝑞 − 𝑟

3) 𝑟 − 𝑝

4) ни одна из них

Ответ:

1

2

3

http://vk.com/oge100ballov

https://vk.com/shkolapifagora






ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

Какое из данных ниже чисел является значением выражения √90 + √10?

1) 4√5

2) 10√10

3) 4√10

4) 10

Ответ:

На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков,

выпадавших в Якутске с 18 по 29 октября 1986 года. По горизонтали

указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в

соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на

рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из

данного периода в Якутске выпадало более 0,1 миллиметра осадков.

Ответ: ___________________________.

Решите уравнение

𝑥2 + 3𝑥 = 10. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из

корней.

Ответ: ___________________________.

После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой цены. На

сколько процентов уменьшилась цена телевизора в результате уценки?

Ответ: ___________________________.

На диаграммах показано содержание питательных веществ в какао,

молочном шоколаде, фасоли и сушёных белых грибах. Определите по

диаграммам, в каких продуктах содержание углеводов превышает 50%.

*к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества

1) какао

2) шоколад

3) фасоль

4) грибы

В ответ запишите номера выбранных вариантов ответов без пробелов,

запятых и других дополнительных символов.

Ответ: ___________________________.

На экзамене 60 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность

того, что ему попадётся выученный билет.

4

5

6

7

8

9








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

Ответ: ___________________________.

Установите соответствие между графиками функций и формулами,

которые их задают.

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:

Выписаны первые три члена геометрической прогрессии:

-84; 42; -21; …

Найдите её пятый член.

Ответ: ___________________________.

Найдите значение выражения

10𝑎𝑏 + (−5𝑎 + 𝑏)2

при 𝑎 = √10, 𝑏 = √5.

Ответ: ___________________________.

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле

𝑆 =𝑑1𝑑2𝑠𝑖𝑛𝛼

2,

где 𝑑1 и 𝑑2 − длины диагоналей четырёхугольника, 𝛼 − угол между

диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали 𝑑2, если

𝑑1 = 6, 𝑠𝑖𝑛𝛼 =1

3, а 𝑆 = 19.

Ответ: ___________________________.

Укажите решение неравенства

2𝑥 − 3(𝑥 − 7) ≤ 3.

1) (−∞; −24] 2) (−∞; 18] 3) [18; +∞)

4) [−24; +∞)

Ответ:

Модуль «Геометрия»

Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном

положении, находится на высоте 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м.

Найдите расстояние от основания флагштока до места крепления троса на

земле. Ответ дайте в метрах.

10

11

12

13

14

15

А Б В








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

Ответ: ___________________________.

Косинус острого угла 𝐴треугольника 𝐴𝐵𝐶равен √21

5. Найдите sin 𝐴.

Ответ: ___________________________.

Отрезки 𝐴𝐶и 𝐵𝐷 −диаметры окружности с центром в точке 𝑂. Угол

𝐴𝐶𝐵равен 79°. Найдите угол 𝐴𝑂𝐷. Ответ дайте в градусах.

Ответ: ___________________________.

Сторона ромба равна 9, а расстояние от точки пересечения диагоналей

ромба до неё равно 1. Найдите площадь этого ромба.

Ответ: ___________________________.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция.

Найдите её площадь.

Ответ: ___________________________.

Какое из следующих утверждений верно?

1) Все углы ромба равны.

2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

3) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Ответ: ___________________________.

Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 в

соответствии с инструкцией по выполнению работы. Проверьте,

что каждый ответ записан в строке с номером соответствующего

задания

Часть 2

При выполнении заданий 21–26 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ № 2.

Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и

ответ. Пишите чётко и разборчиво.



(𝑥2 − 25)2 + (𝑥2 + 3𝑥 − 10)2 = 0.

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной

концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий

16

17

18

19

20

22

21








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный

раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты

содержится в первом растворе?

Постройте график функции

𝑦 =(𝑥2 + 2,25)(𝑥 − 1)

1 − 𝑥.

Определите, при каких значениях 𝑘 прямая 𝑦 = 𝑘𝑥имеет с графиком ровно

одну общую точку.


Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон

равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Основания 𝐵𝐶и 𝐴𝐷трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷равны соответственно 5 и 20,

𝐵𝐷 = 10. Докажите, что треугольники 𝐶𝐵𝐷и 𝐵𝐷𝐴подобны.

Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐾.

Найдите площадь параллелограмма, если 𝐵𝐶 = 19, а расстояние от точки 𝐾

до стороны 𝐴𝐵 равно 7.

Проверьте, что каждый ответ записан в строке с номером

соответствующего задания.

СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА:

ФИО: Евгений Пифагор

Предмет: Математика

Стаж: 7 лет репетиторской деятельности

Регалии: Основатель и руководитель проекта Школа Пифагора

Аккаунт ВК: https://vk.com/eugene10

Сайт и доп.

информация:


https://youtube.com/ШколаПифагора

О проекте «Пробный ОГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта

«ОГЭ 100 баллов» https://vk.com/oge100ballovи безвозмездно

распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.

Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожеланий: https://vk.com/topic-88725006_38530429

(также доступны другие варианты для скачивания)

23

24

25

26




https://vk.com/oge100ballov

https://vk.com/topic-88725006_38530429





ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

Система оценивания экзаменационной работы по математике

За правильный ответ на каждое из заданий 1–20 ставится 1 балл.

Ответы к заданиям части 1

Номер задания Правильный ответ

1 1,55

2 2

3 2

4 3

5 8

6 2

7 48

8 23

9 0,8

10 123

11 -5,25

12 255

13 19

14 3

15 2,4

16 0,4

17 22

18 18

19 20

20 2

Решения заданий части 2



(𝑥2 − 25)2 + (𝑥2 + 3𝑥 − 10)2 = 0.

.

Решение:

Оба слагаемых неотрицательны (больше или равны нулю), поэтому

единственный вариант, когда такая сумма будет равна нулю – это если

каждое слагаемое равно нулю:

(𝑥2 − 25)2 = 0

𝑥2 − 25 = 0

𝑥2 = 25

𝑥 = ±5

(𝑥2 + 3𝑥 − 10)2 = 0

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 49

𝑥1 =−𝑏 + √𝐷

2𝑎= 2

𝑥2 =−𝑏 − √𝐷

2𝑎= −5

Только при 𝑥 = −5оба слагаемых обратятся в ноль, поэтому:

Ответ: -5

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной

концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий

55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный

раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты

содержится в первом растворе?

.

Решение:

__________________________________________________________

Схема задач на сплавы и смеси

Доля1 ∙ 𝑚1 + Доля2 ∙ 𝑚2 = Долясплава или смеси ∙ 𝑚сплава или смеси

__________________________________________________________

Требуется найти Доля1 ∙ 𝑚1:

{𝑥 ∙ 10 + 𝑦 ∙ 16 = 0,55 ∙ 26

𝑥 ∙ 𝑚 + 𝑦 ∙ 𝑚 = 0,61 ∙ 2𝑚 ⃒: 𝑚

21

22








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

{𝑥 ∙ 10 + 𝑦 ∙ 16 = 0,55 ∙ 26

𝑥 + 𝑦 = 0,61 ∙ 2

{𝑥 ∙ 10 + 𝑦 ∙ 16 = 0,55 ∙ 26

𝑦 = 1,22 − 𝑥

𝑥 ∙ 10 + (1,22 − 𝑥) ∙ 16 = 0,55 ∙ 26

10𝑥 + 19,52 − 16𝑥 = 14,3

5,22 = 6𝑥

𝑥 = 0,87

𝑥 ∙ 10 = 0,87 ∙ 10 = 8,7

Ответ: 8,7

Постройте график функции

𝑦 =(𝑥2 + 2,25)(𝑥 − 1)

1 − 𝑥.

Определите, при каких значениях 𝑘 прямая 𝑦 = 𝑘𝑥имеет с графиком ровно

одну общую точку.

.

Решение:

Вынесем в числителе −1 за скобку:

𝑦 =−(𝑥2 + 2,25)(1 − 𝑥)

1 − 𝑥

ОДЗ:

1 − 𝑥 ≠ 0

𝑥 ≠ 1

После нахождения ОДЗ сократим:

𝑦 = −(𝑥2 + 2,25)

𝑦 = −𝑥2 − 2,25

Заполним таблицу значений функции:

𝑥 −2 −1 0 1 2

𝑦 −6,25 −3,25 −2,25 −3,25 −6,25

Построим график и проведём прямые 𝑦 = 𝑘𝑥, при которых будет одна

общая точка с графиком:

Подходит:

1) прямая, проходящая через «выколотую» точку;

2) две прямые, являющиеся касательными к параболе

1) Найдём коэффициент 𝑘 у прямой, проходящей через выколотую точку

𝑦 = 𝑘𝑥 проходит через точку (1; −3,25)

Значит 𝑥 = 1 и 𝑦 = −3,25

−3,25 = 𝑘 ∙ 1

𝑘 = −3,25

2) Найдём коэффициент 𝑘 у прямых, являющихся касательными к

параболе, для этого приравняем функцию параболы и функцию прямой и

найдём дискриминант

−𝑥2 − 2,25 = 𝑘𝑥

−𝑥2 − 𝑘𝑥 − 2,25 = 0

𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 𝑘2 − 4 ∙ (−1) ∙ (−2,25) = 𝑘2 − 9

23








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

Прямые являются касательными для параболы, если дискриминант равен

нулю

𝑘2 − 9 = 0

𝑘2 = 9

𝑘 = ±3

Ответ: -3,25; -3; 3


Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон

равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

.

Решение:

𝐵𝑂 =1

2∙ 𝐵𝐷 =

1

2∙ 60 = 30

𝑂𝐻 = 15

△ 𝐵𝑂𝐻 −прямоугольный

__________________________________________________________

Свойство прямоугольного треугольника

Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы

__________________________________________________________

∠𝐻𝐵𝑂 = 30° (т.к. катет, лежащий напротив угла 30° равен половине

гипотенузы)

∠𝐵 = 2∠𝐻𝐵𝑂 = 2 ∙ 30 = 60°

__________________________________________________________

Свойство параллелограмма

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°

__________________________________________________________

∠𝐴 = 180 − 60 = 120°(т.к. сумма углов, прилежащих к любой стороне

ромба равна 180°)

Ответ: 60 и 120

Основания 𝐵𝐶и 𝐴𝐷трапеции 𝐴𝐵𝐶𝐷равны соответственно 5 и 20, 𝐵𝐷 = 10.

Докажите, что треугольники 𝐶𝐵𝐷и 𝐵𝐷𝐴подобны.

.

Решение:

24

25








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐵 −накрест лежащие при параллельных 𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 и секущей

𝐵𝐷

Рассмотрим △ 𝐵𝐶𝐷: 𝐵𝐶

𝐵𝐷=

5

10=

1

2

Рассмотрим △ 𝐴𝐵𝐷: 𝐵𝐷

𝐴𝐷=

10

20=

1

2

__________________________________________________________

Второй признак подобия

(По двум пропорциональным сторонам и углу между ними)

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а

стороны, образующие этот угол, пропорциональны в равном отношении, то

такие треугольники подобны

__________________________________________________________

△ 𝐵𝐶𝐷~ △ 𝐴𝐵𝐷 по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

(𝐵𝐶

𝐵𝐷=

𝐵𝐷

𝐴𝐷∠𝐶𝐵𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐵

)

∎

Биссектрисы углов 𝐴 и 𝐵 параллелограмма 𝐴𝐵𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐾.

Найдите площадь параллелограмма, если 𝐵𝐶 = 19, а расстояние от точки 𝐾

до стороны 𝐴𝐵 равно 7.

.

Решение:

Пусть 𝐻 − основание перпендикуляра из точки 𝐾 на 𝐴𝐵

𝐾𝐻 = 7

Пусть 𝐸𝑃 − высота параллелограмма, проходящая через точку 𝐾 1

∠𝐻𝐵𝐾 = ∠𝐾𝐵𝐸(т.к. 𝐵𝐾 − биссектриса)

∠𝐵𝐻𝐾 = ∠𝐵𝐸𝐾 = 90°

∠𝐵𝐾𝐻 = 180 − ∠𝐻𝐵𝐾 − ∠𝐵𝐻𝐾

26








ТР

ЕН

ИР

ОВ

ОЧ

НЫ

Й К

ИМ

№ 1

81

00

8

∠𝐵𝐾𝐸 = 180 − ∠𝐾𝐵𝐸 − ∠𝐵𝐸𝐾

=>∠𝐵𝐾𝐻 = ∠𝐵𝐾𝐸

__________________________________________________________

Второй признак равенства треугольников

(По стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника

соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого

треугольника, то такие треугольники равны

__________________________________________________________

△ 𝐵𝐾𝐻 =△ 𝐵𝐸𝐾 по стороне и двум прилежащим к ней углам

(𝐵𝐾 − общая

∠𝐻𝐵𝐾 = ∠𝐾𝐵𝐸∠𝐵𝐾𝐻 = ∠𝐵𝐾𝐸

)

=>𝐾𝐻 = 𝐸𝐾 = 7 (т.к. в равных треугольниках все соответственные

элементы равны) 2

∠𝐻𝐴𝐾 = ∠𝐾𝐴𝑃(т.к. 𝐴𝐾 − биссектриса)

∠𝐴𝐻𝐾 = ∠𝐴𝑃𝐾 = 90°

∠𝐴𝐾𝐻 = 180 − ∠𝐻𝐴𝐾 − ∠𝐴𝐻𝐾

∠𝐴𝐾𝑃 = 180 − ∠𝐾𝐴𝑃 − ∠𝐴𝑃𝐾

=>∠𝐴𝐾𝐻 = ∠𝐴𝐾𝑃

△ 𝐴𝐾𝐻 =△ 𝐴𝑃𝐾 по стороне и двум прилежащим к ней углам

(𝐴𝐾 − общая

∠𝐻𝐴𝐾 = ∠𝐾𝐴𝑃∠𝐴𝐾𝐻 = ∠𝐴𝐾𝑃

)

=>𝐾𝐻 = 𝑃𝐾 = 7 (т.к. в равных треугольниках все соответственные

элементы равны) 3

𝑃𝐸 = 𝐸𝐾 + 𝑃𝐾 = 7 + 7 = 14 __________________________________________________________

Площадь параллелограмма (через высоту)

𝑆 = 𝑎ℎ𝑎

__________________________________________________________

𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐵𝐶 ∙ 𝑃𝐸 = 19 ∙ 14 = 266

Ответ: 266




18 · 2019-03-21 · информация: ... О проекте «Пробный ОГЭ...

Documents

Transcript of 18 · 2019-03-21 · информация: ... О проекте «Пробный ОГЭ...