1560_Kumpulan Rumus Teknik

KUMruLAN

(

(

(UNDANG.UNDANG NOMOR 7 TAHUN 1987

TentangHak Cipta

pasal 44

Barangsiapa dengan sengaja dan tanpa hakmengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaanatau memberi izin untuk itu,; dipidana denganpidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/ataudenda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratusjuta rupiah).Barangsiapa dengan sengaja menyiarkan, mema-merkan, mengedarkan, atau menjual kepadaumum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaranHak Cipta sebagai mana dimaksud dalam ayat (1),dipidana dengan pidana penjara paling lama5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyakRp. 50.000 000,00 (lima puluh juta rupiah)

(

(1)

(2)

I

I

I

RUMUS TEKNIK

olehK. Gieck

Cstrho keenam

PT PRAI}TEA BRA}ITTAJAKANTA

Perpustakaan Nasional : katalog dalam terbitan (KDT)

GIECK, KKumpulan rumus tekniVoleh K. Gieck;

terjemahan Inggris oleh J. Walters; penerjemah.R. Slamet Brotodirejo, Heryanto Slamet, Cet.6Jakana: Pradnya Paramita, 2005

xiv, 353 hlm.; 14 cmEdisi Inggris ke-6 tahun 1985.ISBN 979-408-229-5.I. Teknik, Ilmu-Rumus. I. Judul. II. Walters, J.III. Brotodirejo, R. Slamet. IV. Slamet, Heryanto

620.002 l2

$rr /*'/ tfurlrf (zcvi7 -

Kata pengantar

Makrud dari kumpulan rumus-rumus teknik ini adalah untuk menye- Idiakan sebuah podoman yang ringkas. ielas dan mudah digunakanuntuk msnelaah rumus-rumus taknik dan matematik

;":::_ (

Setiap pokok persoalan yang berbeda telah digoburscbuah hurul besar. Rumus-rumus y8ng berbeda-beda telah di ke-lompokan di bawah huruf-huruf kecil yang sesuai serta diberi nomor /yang berurutan. Metode inl memungkinkan untuk memberi tanda Ikepada rumus.rumu! yang digunakan dalam setiap perhitungan khu-9Jl.

Kata pengEntarEdisi Revisi Keenam

Untuk edisi kc6 telah diperluas dan disempurnakan.Sgbuah Bab baru mengenai STATISTIK telah dimasukkan, mengi-ngst pontingnya perkembangan dalam hubungannya dengan distri-buri kamungkinan pengswassn kualitas dan keandalan.Transformasi-transformasi Fourier dan l-aplace telah ditambehkandalam Bab yang disebut ARITMATIKA bersama dengan sebuahBab mengenai pecahanf ecahan sebagian.

K. GieckKUMPULAN RUMUS TEKNIKOleh : K. GieckTerjemahan Inggris oleh : J. Walters B. Sc (eng). C Eng., M.l. Mach. E.Judul asli : A. Collection of Technical FormulaeEdisi Pengetahuan 1985 dari edisi ke-66Diindonesiakan oleh : R. Slarret Brotodirejo

Heryanto Slameto Cieck Verlag, HeilbronrliN. West Gcrmanyo Hak Cipta edisi bahasa Indonesia pada :

PT Pradnya ParamitaJalanBunga8-8AJakarta 13140

Cctakankeenam: 2005Dicetak oleh : PT. Perca

IL

DAFTAR ISI

SatuanLuasllmu ukur ruangAritmatikaFungsi Iingkaranllmu ukur analisaStatistikHitungan diferensialHitungan integralPersamaan diferensialStatikaKinematikaDinamikaHidrolikaPanasKekuatanBagian dari mesinTeknik produksiTeknik listrikFisika radiasillmu kimiaTabel

s(

(

((

It

tBS

DIN

VDI

Referensi bagi DS, DIN dan VDEBritish Standards lnstitution(Alamat: 2 Park St., LONDON W 1 A 2 BS)Deutsches lnstitut fur Normung(Alamat: D-l000 B ER LIN 30, Postfach 1 1 07)Verein Deutscher lngenieure(Alamat: D4000 OUESSELOORF 1 . Postfach 11391

{(

(

(Metode Penyajian dan Penggunaan Satuan-satuanSebagian besar persamaan?ersamaan dengan ielas mengemuka-kan hubungan-hubungan fisik yang mereka terangkan dan tetapberlaku tanpa mengindahkan sistom satuan{atuan yang diguna-kan, asal saja mereka itu dalam keadaan tetap,Beberapa persamaan berasal dari pengalaman dan pengamatan,dan satuan6atuan yang diambx'l harus digunakan dalam rumusuntuk memperoleh hasil yang besar; hal ini sebagian besar dapatdijumpai dalam Bab O dan Bab R.Untuk selanlutnya ditetapkan penggunaan cara penulisan Stroudpada lvaktu menghitung dengan rumus-rumus, yaitu kuantitasdan satuan keduaduanya ditulis sebagai pengganti suatu rimbolyang ditentukan dan perhitungan selanjutnya mdibatkan carapengaturan penempatan angkaangka dan satuanatuan bersama.sama

-

Sebagai contoh, ambillah persamaan 123: (Jika s (jarak) = 2.8 meter

v (kecepatan) = Smeter/detik_

2.8 meter x detikI meter

= 0.35 detik (waktu)tanpa satuan meter

Di sini jelas tiahwa f akan mempunyai satuan waktu, bilamanatidak demikian, maka meniadi nyata, bahwa suatu kesalahantelah dibuat, dan pekerjaan penyelesaian soal itu perlu diteliti.

s

maka tsehingga t

tx

ISebasai alat bantu dalam banyak kejadlan, dlambll trturnrltu!nyang telah diketahui sebelumnya, dengon manggunakan tandasingkatan "EU" (- Example-Unitl yang borarti: tatuan contoh.Bilamana nilai-nilai berbentuk angka (numerikl dan retuantstu.an termasuk di dalam perhitungenparhitungan, mlkr lkuivalsn-ekuivalen atau dsfinisideflnisinya rsbolknya dltullr redernlklanrupa. rehlngga meraka ltu tldak momlltkl ukur.n (t!np. dlmonrl)dan bernllal 1.0. Dalam bontuk rap.rtl lnl mcrokr krdbng-kadrngdlrebut rebagal "lkatan kcutuen" (Unlty Brrckrbl d.n pcnggu.nunny! daprt dlkorJrkrn drngrn tl$ c.r!ldongln ratuan trtlp,parramaan a 6

1 km . 10lmpersamaan a 62

12in . 1 ltpersamaan a 90

778.6 ft lbf - 1 Btu

I r xm'ldldaprt!- Lr. ldidspar,- [#]didspst t - [r+*,,-]

[o.roz xotldidapat 1 . L-trfj

I rm 'ldidapat'l - L 3r8, r, l

I o.sso rcat tu Ididapatl"L tkSBr, I

rgf I s ar N I [ro' ".,1 fr uN I

il[Ltke,JLrm,Jlro'HJF

misalnya, untuk mengub$ 14.7 lbf/ln' ke lbf/ft'

,0,lfl = ,4.7 i:{ [#]'- rz'roo Sdalam konversi di sntara berbegsi rirtem satuan,

= 2'r7i$

persamaan a 361N - 0.102ksf

perramaan a 651m - 3.281 ft

perramaan a 1 101 Btulb - 0:556 kcaUkg

Misalnya, untuk mengubah 1000 kgf/cm2 ke satuan S.1.,looo .4 = rooo

cm.

= 98'l

tLlam pcnggg66an dcf lnirldcllnlrl :I lbf cdalah botrr gry! di mana rebuah mara tebesar I lb dibcriprcopamn teberar 32.t 74 ft/r, .

I lbl -

I lb ' 32'l;; L meniedi , - [sz'rz'l ru rtl,_F _"__.. I rs,rur I

Dongan cara ysng rema, Satuan Newton ditotapkan oleh pe6a-moon rN-1ke.+p yansmenladr ,-[H]

in r ksr - I ke ,0.8t * dtdapot , -[ffi ]Scbogrl contoh, untuk mcndapltksn gaya dalam ukuran ratuanS.l. dlmanc rebuah marra reberar3 lb diberl psrcapatsn roborrr2.51t1.1 kerjakanlah rebegal berlkut :

F n ma, peroamaanml.F

- 3rb, 2.5 ! [g1r*!s-l[__,._l L_Ud82 L lrb JL3.28trrJIicC-

3 r 2'5 r 0.4538 11 -

t.036 N3.28r

yang manr merupakan satuan gsya.

Kuantitar Dasar dan Satuan Dasar pada Ukuran Sistem

(

(

darar Kuantltasnama rlmbol

(huruf ltellc)penjang Im83SA munktu tarur listrik Iwhu absolut Tjumlah zat nintantitar cahoys Iv

d8S8r sOtusnnama simbol

( huruf tegak Imoter mkilogram kgdetik s8mpro Akelvin Kmol molcandela cd

lnternasional

(Saturn lams dlletakksn dalam ikatan [] )

Ruang dan waktuo. F, f suduto sudut masifD,Sleberd,Ddiameter (diagonal IA.IItingglI L panlangP iaftkr.fl jaii-iaris jangkauan, perlmster, ketabalanu,U keliling,4 lua5, perumpang-llntangAa pormukasn yang'ditim.

bulkanao luas permukeany lsit waktuu kecepatan linearar kecepatan suduta percepatan lineara percepatan sudutt percepstan gravitasi

Fenomena periodik dankaitannyaf periode/ frekuensi,, kecepatan putarro frekuensi sudutI panjang galombangc kecepatan cahaya

Mekanika,a maSsaI lerapatanF 9.y., gay. bngsung

Daftar rlmbol

Itl

g togangan utama (dircctrtress)

, tegpngpn geser {rhearrtress)

takan6n normolmemanlang, regengsnmodulur ols3tlr lmodulur

young)modulus kskakuan (mo-

dulur g6ser)momon ohanan lbeng-

kok!mornon torrl, momen

puntlrmodulur rekrlgays goser, beban grerr'eakri vertikalberat atau beban, usahabeban terbagl ratamornen inmla, momen

kedua pa& luarmomen lnersla polarkonstanta torsimodulus raksikoefisien friksi sellpkoefislen lriksi statiskoeflslen friksi dsya du-

kung (bentalanl' radialkoefisien friki daya du-

kung lbantalanl longi.tudinal '

koof isien frlkri gelindingkakentalan (vlskorltas)

dinamiskakentalan lviskorltar)

klnematls

PtE

zavwU

TIetzpFoIrq

P t.mg!/d.y!? efirlenrl

PanalT tuhu abrolut( tuhuo koeflrlen llner darl per

muaian/ekspansi7 kooflrlon kubik darl pe.

muaian/ekspansiO arur panat atau alirang kerapatan aliran panarg beraran pana3 por ratusn

mstaO kuantlt$ panatcp prnas tpBlrlk poda teka-

nan kaprtancv plnat 3p6ifik pada volu.

me totlpy porbandlngn cp trhadapCy

R konstanta ga!I konduktivltss panasa koefitlen pemindahan pa-

na3/< koefisienpancaran/trans-

mbl panarC konstsntr radia3iu volume spetlfik

Lirtrik dan magnet/ arul.l kerapoton rrurY, tegEngEoUq tegEngan rumber

R prhrf,n n (rclltbntllC kofldqkbnrlQ kuanttur llrtrlk (lrl)C kaparltanrlD perplndshsn dldektrlkaE kekustsn medan lbtrlkO flukr in.gnota lndukrl nrcgnetI lnduktantlI/ kekuatan med6n magnete tirkulasl medan magnet,/ tsgEngFn magnetR, rerlrtanrl magnatd konduktansl magnetd panlang celah udarao kooflslen ruhu reclstanslr konduktlvlta0 rerlnlvlta:6 pcrmitivita!to permltlvitarabrolutr pormltiviutsrelatif/V fumlah lilitanI Permeabilita!,/o pormeabilltas ab6olut& permeabilitasrelatipP iumlah pasangan kutubz jumlah peng8ntarA kualltas,angkaongka

baik-burukd sudut rugiZ impedansiX reaktansiPr daya temu (samar)Pq daya reaktifCu konstanta momen

c(

((

ala2a3ala5a6

a7a8a9a 10.lli 12

a 13I 14a l5a 16a 17a 18

I10'r10'cl0' r10-et0-r0

Radlarl rlnar dan elektro.magnet yang berkaltan/c intensitar paocar (ra-

diant)4 lntenritar cahaya@. daya psncar, flukr pencarO, flukr cahaye0. onorgl psncar0v kuantltar rlnarE1 lredlcnrlEv llumlnorllll perrcaheyaan pancar (ra.

dlant exporurelfl" pencahayaan rlnar (light

exposure)L" radiansiL, luminasic kecepatan rlnarn indeks refraktif (pem.

biaran t/ panjang titlk aplp daya refraktlf (pembiassnl

Kelipatan desimal dan pecahan pada satuan= deca = l0r= heclo = .|02= kilo ='t0,- m80a = 10.- et98 - tOe- tera n l0r,. pot! E 10r!. ox! ' 10tl

SATUAN

Satuan panjanglrmlmm

10!10-r

1

10t02106

rjannm

ldI

to-rl0-.t0-6l0- 7

Ard = dcl ='10-lc = conti ='10-,m - milll =10-,

mlcro . 10-tn-nEnO-to-tP'Plco'10-r,t

- lemto ilO'!!!Illto.10-ll

q(

I(

l

(

Il

(

1 0-t1 0-eI 0-610-.l0-.

1

dahkMGTPE

lm1pmlmm1cm1dmlkm

lmmlpm,I nm[r A]

'I m? --1pm2 =lmm? =Icm? -

'| dm? =1 km2

m2 I p-,1

'to - 1:

10-6'10.to-2.t 06

cm2 dm:

'|10-5l0 -310- 210- r103

102't0-r10-i

1

10l0t

1061

10310.105t0o

10I 0-510 -?10'l

t10r

ganpmlll " [m A1 't

l0ro10110.10r10

1

l0'?1

10510.10r01018

106t 0-5

1

r0:10.'t0',

10"l0' r't0-?

I10210'0

102t0-'cl0- '10' 2

1

108

t0 5l0-,i,10-'?l0 "ol0:r

1

Satuan panjang (sambungan)

l0e106l0r10?

It0''

l0'10r10.110-21 0-l

lomhmll -

\-

xtv

" I = Angsrrci- Ur mi = r XE = I X-satuan

Az

1 ml-1mm:-1cm!-1 dm'-I kml-

Satuan gaya (juga gaya gravitasi)[rst]

0.1 020 102,0.r02,106

! 19r20.21.22a23

.24r25a26a27a28

a29a30e3ts32a33a 3,1a35

.39r40!{l,a?r tl3

a rt4.45a4Et17r48

s49a50s5!a32853

a 5.1

SATUAN

Satuan tekrnanPa Nlmmt I bar

Pr-1N/m'. 10-. I 1o-t1 lVmmt I

0'lI bar[txgtrtmr-164. 9.81rt0-, I 0.9811 torrltt I 33rt0-r h.3ilr

Satuan urahakwh l[retm] Ircal]

10-. 0,102t I 367'td2.72.10-'I 11.16'10-t I 128.9

0.736 lo.zz.tdSatuan tenagakw l[16 mrr]l [rzaun]

to-, lo.rozl0.8601 102 I 860

9.Ot lg.B1,t6-rl 1 8'43r.ro l1.r6,ro-tl 0.119 I I7361 0.736 I 75 I 632

Satuan rirassa untuk b'atu permata

adalah suhu Celcius. Fahrenheitt) 1 lorr - 1/760 atm - 1.33322mbar - I mm Hg pads t - 0-C

[torrl0.0075

7'5 r'td750736

'|

[trp tt]t0-0

1.36

l'58'10-tt

lt pl1'36,10-t

1.3613'3,'10-t'1.58,10-r

1

(

(

i(

SATUAN

Satuan volumeml m-J I cm3

Satuan massal(g mg

1061

10310,10e

Satuan waktuns

10 I

108 | rO,tO-3 | rO-.

(

(

(

'02r t (10.21,02

t'36, ll

Ag

103't0-lI

10rl0ll

a36a37e 3{l

10rd10r !

t 0-61 0-r

1

10r1 0-tI 0-r

'I

10r,

l0e1

10310.10rt

I10-r'10-.1 0'310c

1 0't10- rt10- t510- 1?

t

I 0-r1 0-et0-610- |

1

1

rd10r

98 100r3it

J

1

6:t2

I1000

s

l0r1 0-.

1

103106

II 0-6I 0-l10210r

kg-m9=dt=

t=1Mg=

r55i50

s=ns=

ms=min =

d= a57

a56

a59

a60

10--?1 0-t1 0-t

I

Jakwh

1 kgl ml1 kcallI hp h'l

Wl,kw

I kgl m/slI kcal/hlt hpl

1

10-et o-6I O':60

360086'4' 1 03

10e1

.i 03106

60, 1 0e3.6, 10'2

'I 6.65''10-3'r 6.66,10- r2r 6.66.10-l1 6.66. I 0-6

'I

601 440

lavnl

1 karat - 200 mg - 0.2x l0-rkg - t/5000 kOSatuan keindahan untuk loqam-looam mulia24 karat A [email protected] % | ia farat-a 75o.oo %14 karat a 5m.gr % I ekarat A 3at.3at %

Satuan suhu60,106 I 60,1033.6,tOe | 3.6,106

4' 10!2 86.4,10ri 86.4,106

N2), -ZG+ - ,r)o..({- rzr'':)".'-

(;,+ ' ,z)oF - (rh - 45s.67)oF .T, ra, t dan lr bsol' nol1 0-3'|

103

N=kN=MN=

, . (+, ztt.t))x.3,#;* t;ili:j.",t ),,Jl',L,r'(+ { a5e'67)Rant 't,f n"^* 760 tott ,,,rl o .

l16:m.3,

,lldmt=1r=lliter l r,, ru = 1 kgm/s2 = 1 Newton alJ-Nm-1Wc lotW-I.l/r'lNrvr

Ar SATUANPcrubehrn Setuan

lnggrbAmcrlke kc dalam ratuln metrik(

(

(ydln

t123C

lanlutan dari A 4

Satuan kerjarr tb kgl m

SATUAN

0.1 383I

0.102

1.356

As

&tun Prnlrng kwh kcal 8tu

Srtuan lul

rq ln!q ttqyt!cm'dm'm'

39.3739370

Ilaar2000.r5515.51550

cu inI

172840556

1026r.0261023

0027780.31lll3

tl@4r10-'

1.0941094

sq yd.772,1O-'o.il11

I1'197r10-'

0.011961.196

cu yd

0.037I

'l'3t' lO-r0.00131

1.307

0.0039060.0625

't

0'0022052.2052205

II 3.r 5.r 0-r 34r,10'

13415 614i 4l5

0.7 457807,1 0 -lo-r

1

41871 055

0 94843 968

1

tlnlrrlydlmmtmlkm

o.@3i}3'l3

328'r r3.28r328r

25.1304.891a.4

1

100010.

cm2

6.4529e,

8361I

r0010000

cmt16.3928316

Ir0001d

I1.77220.35453.0

1

l0@1d

0'02540.30.180.914.0'@r

'l1fi)O

dm'

9'2983.61o01

1

100

dmJ

0.016392A-3276r.550.oor

I1000

k9

I 0-.0.@1

't

m2

64.t 10-5o09290.83610.000r0.00r

1

m!

1.64.10-,0.02830.7646

10 -.o.oor

1

Mg

.tlrt2rt3.C4rc6etO

!67.C8e69t7Or?t.72

,73.71r75.76t77.78

.79

.00

.Cl

.oile83e 0rl

a85005r87a88a09a90

a 9la92a93a94a95a96

a97a98a99a100al01z1 02a 103al0.la1 05a 106at 07a 108al09.1 l0altlal l2al l3all{al l5al t6

lrrtblkglm1J.lWsl kwhI kcalI BIU

'I hPI k9l

I7.233

0.7376? 555.1 063.087'

778 6426 9107 5

lrl

76 04I

0 r02102

426.9107 6

324,1 0 - 62.344.r 0-239,r 0-6

8601

0.232

k caUs

0.1 782344,1 0 -

239,1 0 -5

0.2391

o.25?

Satuan tenaga

9 807 12.725.10r 1277 8,tq-

1.285.1 0-l1.1 0- I

948.4.1 0-634 t3

3.9681

0.70739.296,1 0-!

4.1 O -6

(hO x9t mrs llrs-wl Elu/ssq ln 3q r!

rlt9

'l J/s . lW

I kcalrs =

1 Sluis =Satuan lainnya

l mri = l0'lrn1 sq mrl = 10'6sq rnlyard=3ll'I Mrl inggns - 1 760 vds'l mil (nautical) laLrrI mil geograf ikt torr panlang . 2240 lt)1 ton pendek (US) = 20OO lb1 ton pantanq = 2240 lb1 ton Pendek (US) = 2000 lb1 imperial gallon1 US gallonI BTU,f,' = 9 547 kcaliml1 BTU/Ib = 0.556 kcal/kg1 lbl/fl? = 4.882 kgl m2I lbt/in2 (p.s r) = 0 0703 kgl,cml1 chain = 2? yds1 Hundredweroht (GB) (cwt) = 112I Ouarter (GB) = 28 lbt1 Stone (GB) = 1a 151

= 0 0254 mm= 645.2 pm?= 0 914 m= 1609 m- 1852 m= 7420 m= l016Md= 0.9072 M9= 996MN= 9.00 MN= 4 546 dml= 3 785 dm!= 39 964 kJ/ms= 2:327 kJtkg= 47.8924 N/mz= 0 6896 N/cm2= 20.11m= 498 kN= 124.5 kN= 62'3 kN

7 45.7I 807

I

I 00041871 055

culn -cull

-

cutd:cmJdm3

o.r07610.76

cu lt

1

273a32, rO'.0'03532

35.32

oz

0.0625'I

t60.ut527

35.2735270

l0- 1 44r

mt-Eeturn mar

dram1 dram1ozllb19lko

0'0O177 I 1'77'10-'0,02832 I 28.3"1 0_.0..53r 14.53^tO_.(}001 I 1o-.

1 I O00lr000

Satuan ld

bersambung ke A 5lMg

-

BrA.ar,Vtd."{V

r . $1 . Ii^raDr'T

.lffiDiGi

bujur ungkar

iaiaran genlang

(

(((

_l

regitiga

Segitiga rama riri

LUAS

A.

t - ] ali.iF"

- +,lto-6e - i,tf-:ffkonstru ksi :

76 -

0.r,. 6c - 86. cD - cE

^ - lsY;d , ?a- fr" ' r'155s

" - $o - o.B65d

{r,*vr b15

b14

b19b20b21

b22

b23b 2.r

b25b26b27

b28

b29

Segi lima (pentagon) br0bt7b18

Segi delapan (oktagon) ,,

a

I

Segi enam (hekragonl

Segi banyak (poligon)@2as

- 0.8)s?

z s Vll?s lan22'50- O'115 sd cos 22 50- O.92,1 d.*r-lZE" = l o8]s

A1+Az+At

a hi+b fu +b A,2

LUAS

b30

b3t

b32(

((

b33

b34

0.7a5 d2

?xr = xd

f {o' - a')r (a + b)bD-d

?b35

b36

b37

b38

b39

b40b 4l

b42b43b44

b45

!' 46

b47

A - ,fot'_

b,2

u = ffi'"-xa = le6do

d17' Sektor ling

(d = adi dalam lingkara^)i_],il

= ?r sln*-

*(5n:,+s')/r s?2 th

- a.= r(1-cosz)lihat rumus b 39

.(;.+.?4.+)'^''

Lingkaran

sur linqkaran

- l.dimana,l - a-9'J a+o

ILMU UKUR RUANG CrKubus

c6 a2

liTc

(((

(Paralelepipedu m

11

l

CzSilinder

Silinder Kosong

Kerucut konusa2

Kerucut terpancung

{-m, \,1,,"

a-'l \l,

12 t3

ILMU UKUR RUANG

v - !a'nAm

' 2 t r h

Ao -- 2rr(r+hl

v . !r'nAm

' '

I hAo = rr(r+mlr+^ =

lfn2.r'A2t \ = ?th2

ILMU UKUR RUANG

*n (: "' + 1.!' + h')?r rhr(zrh. aa. b')

4 hr)

l^snt'(o n

Sektor

Bo Ia dengan luEing-sil inE,ilr..=-

I

Csc lt

c12

ct3

c26

c27

c28

c29

c30

c3l

c32

c33

c34

c35

's2 . ,t')-

htt'

f^tir A2 (r?^rhIt zT("'

s)

v

Ao

V

Ao

(((

(

v = $a(D'+Dd+d2)t^. +n(D+dl .2rph

ct5c16cllctt

:"cm

c2l

c2.

4ntb2th(R + r)

Bola dengan lubang kerucut*,

,'

1'r89 r'*, o'

t t72

a

a

D

c

c

c36

c37

ln"n,^r(n,

Ao =

12-:! 1' . a'

Cc ILMU UKUR RUANG

lo'dtd2d3d4d5

d6

.i7

d6

d9

AngulaB v . l,'aAa' 2rh c /alc12c43Gentong (barrel)

d'ro

drr

d\2

dl3d14

dr5

i, ntz p' , d')

v . i (1, r rr r 4,r)rumus ini dapat digunakan

untu k perhitungan-perhitunyang menyangkur benda.bemasif dalam gambar C1... C3dan juga bola serta bagian-bagiannya.

ABITMATIKA I tPangkat dan akar I U

'

umum I contoh dengan anglap a'! g o". 1p Lq)o" )o' a a+ 7o'lo

aD on '

oh'n ol, ot = otlfr,

^ h-D

o f o" a o ot/a'Eol-2.03, r.n , n,m m(a , r to , . a (ot )' = (ot )r - or'! . 06

dn . 1/ao d' 'r /o'

(*)"o^"

(+)'!obr

,WroF = tprilW oF.rE = ,,|/rV", = \tr.ltr a-- a- a-l/t o, ar -- \/t o ,l/ar

[+E:Yo (*l #=vi=znt.--Vo^' - Yt

6_ J-V"" = V"'ta-l'W (l/"1= ."

G -. ,W','--f,o = (i6'l= "*Vr --ff '-

'-,tidak dapat dioakai unruk) misalnya V(_?)r =Vi = ,r,perhitungan khusus J lV+-ll, ='-ZEksponen dari pangkai dan akar harus merupakan besaran yatida k berdimensi!

Persamaan kuadrat (persamaan pangkat dua)Bentuknormal y'+px+q = O

-r.-_Penyetesaian rr.r i x. = +t lf{ - oAturan Vieta

Perhitungan berulang'ulang (iteratif) untuk akar ke'Jika, -h, maka, = * [,^-t1,. - ;#-],

15

lrisan silinder

((

r-

ARITMATIKAPangkat, Akar

-

Teorema Binominallanjutan dari Dl

Di mana ro adalah nilai perkiraan pendahuluan dari x.Dengan memasukan nilai x yang didapat sebagai nilai barudari 16 secara berulang-ulang, maka ketelitian dari harga xberangsu r-angsur men ingkat.

eerlu(oIu)': = ottzob+b'(a t a;! . att,a2D+ JoD'! D,(o . D)" = on + i o'-'o . +* o,-2 b. +

* n(a:l )(3-2) o.- r oi

d17dr0d19

d20d?1d22d23d24d25

d26d27

d26

d29

(o + b + c)2(o -

b + 6)'?o'-b'o)+b)or-bla"-bn

(o *

' -1;i4- q o'+ '" D"

= o' * ?ob + 2ag+ D,+ Zbc + c2o2-2ab+2a.+0,-l!..",

= (o+b)(o-b)- (o+O)(o'- a-b+bz)= (a - b)(a'+ ab+ bz)= (o - b)(on-' + o^-2 b + o.-J b2 +

... + Obn-:+ D"-l)Teori Binomial(;),'.0,"' o.(;)""-, 0,.(!)."-,

(o * o)o(o r b)r(o + o1 I(o + b)l(o + o){(o.+ o)5(o + D)3 IEerlanjut dengan setiap baris dimulai dan diakhiri denganangka 1. Angka kedua dari awal dan kedua dari akhir, harusmc:':pakan nilai eksponen, dan angka-angka lainnya adalahjumlah dari angka-angka sebelah kiri dan kanan yang beradalangsung di atasnya.

1

ll121

1 .lt )

I'|

5

t . f6--l--Tl

r'.-i-i-o ---T-_-15 ?o 1,

/a\ _ a(n-t)(n-2) ... (n-rrr)')\^/ l,2r)... A(a + b){

= q( + 46) 6 + 6ol b, + ,lo.O! + D1Penyelesaian dengan diagramkoelisien

- segitiga pascal

,6 17

Dz

bn

ARITMATIKAPerluasan pecahan bagian dari fungsi-fungsi Dg

d30

d31

Eksponon: Penjumlahan dari e!'ponen a dan b untuk sotiapfaktor yang berbeda adalah se.'na dengan eksponen z bino-mial. Apabila pangkat dari a b'trkurang maka pangkat dari Dakan bertambah.

Taodt: (a+b) adalah selalu posil,p.(a-b) adalah qositin oar a awalnya dan berubah dari

faktor ke faktor.

(o + D)i - qs+ !o'D + lQotbl+ lQolDl+ 5oD(+ D:(o - 0)3 = +os- 5oa6 + lgotb'- l6orb'+ 5ob(- DSPecahan yang tepat untuk fungsi rasionalP(r) !o+rirt + eyr'+.,.+a-r-ylrr=!_(?T-ffi

Koefisien ay, 6r dapat berupa nyata atau kompleks. Apabilanl adalah nol-nol denominator Q{x), maka bentuk denganlaktor dari ylx) adalah:yt,)-ffi-ffidimana nol nyata atau nol komplek dari Qft) dapat teriadikt,kz... kq kali;qadalah faktor konstan.

Perluasan pecahan parsialUntuk mempermudah penggunaan

.r'1/x,/, misalnya untuk in.tegrasi, perluasan 1,ft) meniadi pecahan-bagian seringkali le-bih cocok.

((

(

vG) ={+i. +h. #.;"A,, ATT

.4a' x-ar' (t-n)z

T;;Fi +#-t ii *"''F-Ari-

1

I51

5.1 '4* b;;ttnol-nol kompleks terjadi dalam pasangan-pasangan (penafsir-an bilangan kompleks) bila Qft) mempunyai nilai koefisienyang nyata. Untuk perluasannya, pasanganfasangan ini men-iadi pecahan bagian yang nyata. Apabila dalam d 33, iumlah

l.nruon d.rl Ooangka yaog nol n2 - a-1 (n2adalah penal:iran komplekr padazrl dan apabila, karena terjadinya pasanganfasangan itufut12-1, maka pecahan bagian dari d 34 dengan konstantaAtt . . . Ato &pat digabungkan dalam pecahan parsial berl-liut ini:

t#. (it##i'....*flffiyUntuk mendapatkan konstanta-kon3tanta Arr ko Aqrq 3a-perti luga 8rr, Crr ke Strq Crr koefisien-koefisien pangkatyang sama dalam x pada persamaan di sebelah kiri, dapat di-bandingkan dengan koefisien-koefi3ien di rebelah kanan, se-telah diubah di dalam penyebut (deminator) bersama Q(x).Contoh:v (, )' F:,,:af*#fl;rF .

#. ffi . L, u. &,2:-l 8,rx ( r+ i),rGr ( r+l)r +Iqr( rr t) ( rr+2r+! ) + t.l l+2 r +51Of,-I'21-1. (ta+ 61,)rl + ().lqr + I.2+ 28rr + C11)r, +

* 17 Ar, + 2,11 + Bt + ZCr, ): + jAlt + JAl + CtPerbandingan koefisien-koefisien antara ruas kiri dan ruas ka-nan.

atr . -1/2; Ctt - l/1' l.t - 1/?; A"2 -

-)/1.Apabila terdapat angka-angka nol tunggal n, maka konstantaA11, A21 ... Aq1 dari persamaan d 34 daprt dihasilkan de-n9an:1,, - p(n,)/Q'(ar) i .irr- p(^)/e'(^rl;... lr- p(aol/e,(a"l

d

d

d

d

d41d42d43

d41

d45d46

loq'o

fogro = 19loge = lnlog: = Ib

ststem

se hi ngga

berdasarkanlog

o

l0?

2

log dengan dasarolog biasalog biasa (natural)log dengan dasar 2

Simbol di chlam log o : = b dapat disebut o dasarx. lawan logaritmao logaritma (log) (

(Rumus untuk perhitungan logaritmalogo (r._v) = logo r + logo y

I.:.oo

'o yloo xnroeo fi

logor - logoy4 , 1oo

-floo,a -oPersamaan eksponensial

br - d = .rtaD.

rosod I o - yilogo b I

Konversi logaritma19 e , ln t = O.434294x

19 r19. c

19 rIn r 2.302585 x

ln19

lg

d50d51d52d53d54

Idx = 1.442695,rnx = 3.321928xDasar logaritma biasa e = 2.71'Zs1g?g4sfl. . .

Kunci logaritma umum dari ribuan angkatq 0'0,l = -2. atau O. ...-tOIg 0'l = -1. atau 9. ...-tOlS I = 0'19 1O = l.l9 l0O = ?.

dst

Cetatan: Lawan logaritma selalu harus merupakan sebuah ku-antitas tanpa dimensl.

I

ARITMATIKALogaritma

Umum

Dc

19

ARITMATIKAKombinasi, permutasi Ds

PermutasiSuatu seleksi atau susunan yang diatua r, dari iumlah ll hal di-katakan sebagai "permutasi" dari rl hal dengan mengambil rpada suatu saat,Jumlah d?ri permutasi ini dapat ditunjukkan oleh:

pn . n(a-r)(a-2)...(n-r+l), ^

> r

hal dengan yang lainnya (yaitu 3 pada satu saat) dengan 6langkah berikut ini:abc bac cahocb bu cln di sini r = rt = 3

Pt- 1,2,)=6Kcadaan khusus: iumlah permutasi dari n hal yang keseluruhan

merupakan penggabungan nt bentuk pertama, nf bentuk laindan, nr dari sebuah bentuk ke'r, adalah:

o = ^ltA.. n,! , nr! , ... n.!Contoh: n = 3 hal a,a,bdapat dipermutasikan dengan 3 langkah

beri kut ini :aah aha haa

O=' 1,2

seleksi r dari fl hal lanpa memperdulikan susunannya dika"kombinasi" dari n hal dengan mengambil r pada satu saat

kombinasi ini dapat dituniukkan oleh-n - nt - /n\"'c. =;(^-:lr - \r/

n! diucapkan "n faktorial"Simbol biasa untuk koef isien binomial (lihat d 27)

di sinirr=3,nl =2,n2=1_

1.2')-12! . l! 1,2' 1

Kombinasi

20 21

lanjutan dari D5Contoh: Untuk n - 3 hal di mana c, t, c digabungkan, hanyamemberikan satu kombinasi aDc. Di sini n = 3. r - 3.

sehingsa ":

. (i) -l;fi), - t.Tabel di halaman D6 membandingkan kombinasi-kombinasi danpermutasi-permutasi (dengan atau tanpa pengulangan hal).

((

(

I

)

IN

,

Jum

lah

kom

bina

sita

npa

I de

ngan

peng

u la

ngan

, tai

rpa

mem

Pedu

lika

n

Jum

lah

perm

utas

ita

npa

I den

gan

peng

ulan

gan

deng

an m

em

perh

a.tik

an k

eada

an h

al

II IO li >

rli =

?11.

u =

=-cE

l5i

i$13 I

=!1

3.e

3lo

) I

o:n

D-O oo-

,bl

boo

Poo

nf 6E

oN

f (') ?'

- s o 3

Determinan yang lebih besar dari orde ke-2:(Aturan Sarrus, lihat 07, dapat digunakan untuk determinan-de-terminan dari orde yang lebih besar daripada orde ke-3). Daripenjumlahan atau pengurangan perkalian-perkalian yang sesuaidari dua baris atau kolom, dapat diusahakan untuk mendapat-kan nilai-nilai nol. Kembangkanlah determinan dengan memulaidari baris atau kolom yang memiliki jumlah nol terbesar. Bolak-baliklah tanda-tanda faktor dengan mulai dari Ql I sebagai +.

Contoh:

Pengembangan pada kolom ke-4:! +

-

+lI or,---" orr-""'crr I

or.l o:, orr orllI o.r drr o., I

Pengembangan lebih luas sebagai:

D = o,,(",,1::l ::: I -",,1::i l::l .",,1::; :::l) -.,.( )Untuk membentuk determinan Dr,.D2 . . . (lihat D7), masukkankolom r untuk yang pertama, kedua, . . . dari D, dan buatlah eva-luasi dengan cara yang sama seperti untuk D.Untuk determinan pada order ke a, dapatkan tr1mus:

ARITMATIKADeterminan dan persamaan linear

", =!

"" -

9oz

0

Da

+t- -- otr I

::: I

ol otrd!t "" dtt

otr arl

!tr "'9i.6'

dari ru.

..".=ffUntuk determinan dari orde ke.rr teruskanlah hinggamendapatkan determinan pada orde ke-3.

24 25

t73

171

d75

d76

Deret hitungUrutan 1, 4,7, 10 dan setorusnya disebut deret hitung. (S.lblhantara dua bilangan terdekat adalah konstanl.Rumus:

oa - o, + (a -

t)d,^' +(o1r 6') . o, r, * 3!,!-E

Angka rengah deret hitung (arithmatic moan):Setiap bilangan dari deret hitung adalah angka tengah dsrct hl-tung a6 dari bilangran-bilangan terdekat o--r dan a..eMaka, bilangan ke-rn adalah

o-..]*(misalnya, dalam deret di atas)

Deret ukurUrutan 1 ,2,4,8 dan seterusnya disebut sebuah der6t ukur (Haril

dari dua bilangan terdekat adalah konstanl.Rumus:

Qa '

o, gn-t

! - . gn-l . grqn-oi-^-tg-lq-l

Angka tengah deret ukur lgeometric meanl:Setiap bilangan dari deret ukur adalah angka tengah darat ukura^ dari bilangan-bilangan terdekat a.-r dan a6-r'

Maka bilangan ke-m adalah

ARITMATIKADeret Dg

untuk t

e = tlo:

integer b menentukan jumlah bilangan, atau jumlah dari angkastandar sebuah deret di dalam satu dekade. Nilai-nilai bilanganyang harus dibulatkan, dihitung menurut d 77:

bilangan awalbilangan akhirselisih antaradua bilangan terdekat

Contoh-contoh b

jumlah bilanganjumlah sampai n bilanganhasil bagi dari duabilangan terdekat

n = 1...b= 100 atau..

cat.atan

mtern, dere(deret DlN. lihar R I

6, 12,24,... I ee. En. e24,...5. 10, 20, ... I R5. R 10. R20. ...

26

laniutan di D 11

d80

d 8,1

d85

o86

da2

d83

d87

d88

d89

d90

Deret binomialf(x) . (r r r)o .

"(?), . (;)u r (;),,, ..a dapat bernilai positif ataupun negatif, dapat berupa angkabulat atau pecahan.

Perluasan dari koefisien binomial :1a\ _ o(a - t)(a - ?)(a - ))... (a - n + t)\a/ -

Contoh:ITT;

ln-m'|)'i:?

rtlrr-*t'I ++r r;/

Oeret taylor11x) - t(a).

';1"' ,. ,+ (r - o). rmemasukkan (L = 0 akan menghasilkan deret MacLaurin

t(x). /(o) '#9, , 1fL* + . .o

Io

,x'l!'-ir'zr'JT* "

rlno (rIno)t (rlno)'.--T-.----TT_.-'T-..

=,F+.;(..,J". i(#J lxl rJ x' x'

--T.A+J-.-5-+.._

r .

r _

| .

l --.211t

((

(

'lf"+

*e". (t

-tJ:)I

! r)r .!1x)'.

(

untu ksemua/

ARTTMATIKADeret

Deret Trylor(sambunganl

rr{rr-5r'5T-7T+ "

irrz'-T,,TT -JT+..

tan r., *.tr' ,#r' ,iJir'cotr.+-i, -#,'-fi,'

I lt lrJ rt 1rl'J r'Arcrln r ' r + Z3 , T-1.r, Z4-,6a.AFccor , -+-Arcsin r

.rltr?trArct.n,-x-T.T-TrT-Arccot , -; - Arctan r

rtlu'rtslnh x,, .JT . j_i .Jl_ *gl-.tr'rtr'coshrol+rT+IT.ZT.ET

tanhr'r-irt r#r'-*,cothr-+'+, -#",#,

I rr 'lr) xr llr'5 x',

- Z -, . Fi -j- ?.-1;6 7.. . .arcosh r = ln ?: -+ *-n ii-Hi* #

ll x' x' xlartanh, . x . a' +J- +.=i-.,i-.lirlarcoth r = r. ,I . ,T + ixr r

Penyederhanaan hitungan urtuk koefisien gelomban! simet.risFungsi genap: f(x) = l(-t)

fungsi ganjil: t(xl - -l(-x)

', '*-l""coa (,ir)d:dengan indeks * = O,1,2 ,

ot -0 ,

r' - l"[ra cln (Ar)drdengan indeks L = O, 1. 2..

.

Fungsi harmonis genapf( r) - l(-t)t(! +,1 - -t(, - ,)

, r/t

", - +).,,(,) cos (Ar)ar

intukr=1.3,5,...

Drruntuksemua

,

Umum : Tiap fungsi periodik /(r)denganperiode-rsrS nyang dapat dibagi-bagi lagi kedalam jumlah Interval terbatassedemikian rupa sehingga /(x)dapat diuraikan dengan kurva kon-tnu (continuous curve) dalammasing-masing interval ini, dapatdiperluas dalam interval ini, kedalam deret-deret konvergen daribentuk berikut ini (r = o/):

^n - 1r r # [.. cos(nr) ' o, crn(ar)]

Berbagai koefisien dapat dihitung dengan:

Dp

o, = llrt'lsln (^r)dr. 2,.. ..

ARITMATIKADeret Fourier

Deret Fourier

d9r

dc?

d93

d grt

d95

d96

d97

d98

d99

d1@

d l01

dr02

dl03

d104

d105

d106

2A

Contoh:t1n r . r

cor r - I

errlnh r

lemua,

lrl

Drslaniutan dari D 12

or - o untuk t=0,2,0,... lo, . o untuk k4'o,1'?,..-br . 0 untuk k= 1,2,3,... lb, . 0 untuk t=2.'4.6,...Tabel perluasan Fourier

Iy- o untuk Q

ARITMATIKATransformasi Fourier

cor ()r)),rln (2r)

2

Drs ARITMATIKATransformasi Fourierlanjutan darl Dl5

r(s(r)) . s(o)r(s(ar )) 'f stfl a resr > oF{"r(r) . sr(r)}' 5r(o) r Su(o)

Dengan menggunakan d 159, kerapatan spektra yang telah dihi-tung diberikan untuk beberapa fungsi waktu yang penting. Pe-nyesualan antara fungsi waktu dan kerapatan spektra.

"(r),*is(.) c''' d.;Fungsi waktu s1r1

2 AT sln(uT)/(uf

Dro

!s1,) =Js(r) o''' dl

Kerapatan spektra J(o,)

sla)

S(o) = r(kerapatan spektra adalah

konstan untuk kelebihan

ARITMATIKATransformasi Fourier

s(o) - I R. (o)

Drz(fungri segi

empat)

ARITMATIKATransformasi Laplace Drs

lanjutan dari D17.

^ r .''('{)ut3

-T-t7{- x\'-|_i

T2 u't-rr;r

d 176117? (r)=*,.:1+:+!. o"nn"n ."

, ltrtt uo-j

laniutan dari D16

Fungsi waktusfr)ngsi segitiga ,{ o, ( I

PulsaCosi nus tttt

d Pulsa cosinus ,t2 .co s

2(oot ) withdl kuadratSarf 2xuo

'-f

a c''1 s(.) - ---I-)u + u

Umum: Transfornrai Laplace t (/(0) berdasarkan fungrsi integral

d 178d 179

d 18.0

d 165

t +'IKerapatan 3pektra S(ar,

- stn f(o

' o")

l+

. s1n f(- - o")

F(p)=[t(t)eJ

dl

((

(

(

((

)(

ii

,(

tl

,. co3(oo. )denganoo. ji

.,nrrttls(') =

(,) -

mengubah fungsi waktu 7iit. yang mana harus bernilainol untuk ,0. ke dalam suatu fungsi gambar. Bagian e o'di dalam d 190 digunakan sebagai sebuah faktor per-siapan untuk menentukan konvergensi integral untuksebanyak mungkin fungsi waktu, di sini p = rr r,ro de-ngan rr 2 0 , adalah variabel kerja yang kompleks. Oidaerah gambar ini persamaan dif erensial dapat dipe-cahkan dan proses-proses dengan ciri khas yang tidakperiodik (misalnya osilasi) dapat ditangani; sifat (wa-tak) waktu yang diinginkan akhirnya dapat dicapaidengan cara transformasi inversi di dalam daerah r(lihat D 20).Def inisi-rtrrr,I

- r1o1="17at;"0rIe-'{rrnr }= ^n

-*!i;;tu,",uraian singkat:

,/(r)+f(p)uraian singkat:

f(p).+r(.)

I

3a 36

Aturrn hitung (aturan operarllLlnearitas I L{lrlt) r,r:(r)) . 7t(pl + r2(pl

. c fr(p)l{c ,( t )}Lll(. - cr) '. . -tP r(p)i(tl , h(tl - [

^1.-t, lekl or

t- !tr(rl lzlt-tl at

1t(t) t !z(t) e 4(p) Fr(p)

t { t,l ttl.(J"(r))t-( 1"1 t t\

- p r(pl-t(e)- lr(pl-p t(o.l-l'ltl

ARITMATIKATransformasi Laplace

l.niutln dsrl Dl8

Penorapan transformasi t pada porr.m.an deferenriatskema

l;;.;------1daerah-t t Operasi. Operasi I daerah p+-r!r-

Drgtt

.t

a

dN

d 209Persamaan diferensialuntuk ,tr) + kondisistart

hasil penyelesaiandilerensial

lihat pada - Iaturanatrr"n !untuk penia- Ibaran !! t--- I 1

I lhasil penyelesaian l1 p".',nd.h* llp.nr"t"r.illIl II lpersamaan diferensiat | ! inversi cetrn- !lr"m"an normat I iI I jukdi D2O rluntuk vrpr I I

.-.

Kesukaran penyelesaian persamaan diferensial dialihkan keinversi. Hal ini dapat disederhanakan dengan eks-

dari ygt ke dalam fraksi-Iraksi bagian (lihat D3) atau ke37

bniutln dori Dl9dalam lungsi-fungsi bagian yang rcdemikisn rups untuk m.n!di dalam D20 konversi-konversi diberikan kemball kc dalamdaerah waktu.

Contoh: 2y' + y - l(t): /( t ) !d8l8h fungsi startI y( o') - 2 a kondisi 3tart

E l: Xlt zp r(pt-iv3')+r(pt - F(pl

l: ffi' y( r )+ r1r1 . r(P-)leY-(o') .'Ti';i'Sesuai dengan l()* flp) terdapat berbagi macam penye-lesaian untuk y@. aDi slni I0 dianggap sebagoi fungsi langkah.Dalam hal ini menunjuk pada d 213 F(p)-1tpl.l

::::':T") 'l'' 'il1bil ' +#'r - #*"'lo;'seterah D2o ytrl - r -rl;\ *z,zl;'4 - t, r')'

Panerapan aturan koovoluli (pcmbelitan) terhadap transformr:l-L pada jaringan-iaringon linear.Fungsi asli adalah h0 dirubah meniadi sebuah responsi .r,/r.lsetelah melalui sebuah jaringan. Jaringan ditetapkan deng8nfungsi pemindahannya Fzb). Fttil pemindahan inversi lz0.

daerah-t daerah-p

v(tl - h(.1 * h(.)-r(p) , ft(p)' fr(p)Untuk iaringan yang ditentukan responsi .,/(r, tergantung darihO. y(t) dapat diperoleh dari d 205. Selelah memperolehy(p, perhitungan diteruskan pada baris d 206. Seluruh Transfor-masi inversi ke daerah-r adalah mungkin,iika Fzb) ditentukansebagai fungi rasional Irakri yang vtaiar p dan bila transforma-si*t , yaitu fr(pj ditentukan dalam D 20.

((

(

(

((

d 2t1d 212d 213d 214d 215d 216d 217d 218d 219d 220d 221d 222d 223d 224d 225d 226d 227d 228d 229d 230d 231d 232d 233d 234d 235d 236

d 237i238

38

t3l415t6

7

9

I

2526

28

2930

31JZ

3334

ARTTMATIKA I nrr.nrtor,nrri r-.pi*. I Ll ZO

Tabel korelasi?

-or 6o'ia

F(il =lAt) "-"

dt; t(t) = # [rro, "o' o,Oung.;, o Lu - L?rf;, = d-''aerah-p daerah-t ldaerah-p ; daerah-t

ansformisi fungsi asli I transformasi I fungsi asliaplace.F(ptt [(t) lLaolace F(ot I lltl

I d(r).oirac I_r_-c

I unrul< > ol p{0Urtult

ARITMATIKABilangan kompleks

Bilangan komplekt(sambungon)

Di dalam rirtom koordinat polar:

Dn

d 252d 253d 254

d 255

d 256

d 257

d 258

d ?s9

d 260

d 261

d 262

d 263

d 264

c 265

r . l6t;TI . .rcten 3

slnp . + | "o"r = + 1,"", . *zt, 22 = r, , .r[cor(q +91 ) r 1 rt n(q +7, )]

* . i [cos(q-e.)+1sln(q-e")]

zn = r'[cor(^e) + I rln(.rp)j (r>ointogrst)V; . ip t"o" t+UL + 1 31n t+IlfW -

"o" f. 1 "1n 3r! (satuan akar ke-a)dalam rumus d 259 dan d 260 k = O, 1.2..... n-1

,0c . co3 9 + I s1n t.,?

c t cos I - 1 s1n 9

z , r(coe9 r1slno) o + lD

F;r;;;t"'7*"'i r ?;i-r;i2 | rin' '----In r + l(F + 2rl) (rr' 0,!1,!2. ...)

12 dan 9t - 92+2 t h, maka zt - z,harus dapat dikur sepanjang arc.adalah sembarang bilangan genap

cos, + 1 31nt

Il"'o l -

cos g

In:di mana r, =

Catatan: Ik

\-

4041

ARITMATIKAPenerapan dari deret ukur

Perhitungan bungaAa

(Compound interest)

Perhitungan bunga tahunan (Annuity interest)A^. ^"{-,o$*

--r s - rrJq-l)^ ' "F;::-Ero-tJrgcdi mana * = 0 kita mendapatkan "rumus-rumus pembebasan"Perhitungan deposito(rumus bank simpanan)

r^= Aoqn..o$*

Dzgmajemuk- ltqn

- r:t_19c.W

d26

d 269

d 270

((

(

(

a

IIII

!t

_

re fffiii . i*-

--------, c

-Huruf'hurufAo : modal awal a : iumlah tahunhn: modal setelahtrtahun q : 1+pr : pensiun tahunan p : suku bunga

(pengambilan kembali) (misalnya 0,06 pada 6%)

ARiTMAT|KA I rrKonstruksi geometri dari ungkapan aliabar | lJ 24

pembanding ke-4

b2

o;b = b:rpembanding ke-3

v;-tO:t=Xrb

pembanding lengah

d 278o 219

d 280

d 28r AIAU.r : hipotenusa dari sebuah

ang segitiga siku'siku

ketirrggiarr darisegitiga sama-sisi

Tlm"i#l\vi--_ , __-r

o : r = r : (o-r)seksi lebih besar dari garisyang berulang'ulang dibagilagi (seksi terbaik)

o -i

Er

(

iat5

i6

FUNGSI LINGKARANlstilah dasar

a((

at

t2c3

Ukurrn mclingkar dan ukurcn rudut drti tudut deterUkunn mdlngkar

Ukuran melingkar adalah pcr-bandingnn iarak d yang diukursepanjang busur dengan jari-iarl r.Satuan ukuran inl disebut "ra-dian" yang tidak mempunyaidimensl.

a . 4 (rad)

Ukurrn rudutUkuran sudut didapatkan dengan cara membagi sudut yangberrda di tengah-tetlgah lingkaran menjadi 360 bagian yangdikenal sebagai "deraiat"

A satu derajat dibagi dalam 60 menit {satuan: 'la satu menit dibagi dalam 60 detik (satuan: "l

Hubungnn rnterr ukunn mclingkar dan ukuran sudutBilamana sebuah lingkaran diperhatikan, maka dapat dilihat,bahwa:360 - 2rt radianatau 1 rad'- 5?.29580

c7

e8

.9

FUNGSI LINGKARANlstilah umum

Segitiga riku*ikutlnd risl berhadapan ot-t- hipotenusa

sisi sampingco3a !

hipotenusa

srsi berhadapantana '

-

-

a

sisi samping D

-ro,bl \o\

c

^ sisi samping

COr o r: O SlSr berhadapan

c

.Dc

,t stn (ta - 9)I cor (rto -

p)

Fungri rudut yang lebih penting

sin acos alan dcot a

Persamaan dasarfungsi sinusfungsi cosinus

o.7070,7071,0001,000

[email protected],732

01

0@

0.8660,500r,7320,577

0,9660,2593,7320,268

'|0

@0

0I0

@

-10

0

Hubungan antara fungsi sinus dan fungsi cosinus

e13e14

lengkung sinus I dengan L =lengkungsinus lamolitudelr =lengkung cosinus I l.r -

dant=t5 dan k.2

danA=tatau fengkung sinus dengan fasa yang besar pada o ' - i

f\T,..;:

l-

0

45

s1'n()50"-o) = -31nqcos( " ) = + cos o

sln( l8O- + c) = - stn q

s1n(160"+o) - +s1nqcos( " ) = + cos etan( " ) = + tanc

FUNGSI LINGKARANKuadran Es

e 15e '15c 17c 18e 19c20c 2lc22

crn( 9Oo - q)cos( " ) 51^( 90ocos(

ten(cot(

+ q) ! + cos q) = - sln o) ' - cot o) = - tan 0

r cos C1 s1n (lr cot O+ tan e

taa( " )cot( " );"(r80"

--

")cos( " )tan( " )cot( " ) cot(;(r?oT=A

cos( " ) = - cos 0) = + tan q+ !1n (r- col c-tano-cotq

c25c24c2)e26e21e28c29eJOc )lc)2e)Jc )tr

cor (ten(cot(

coc (tan(cot(

- col c-a1nc+cotq+ tla Or

s1n(270cos(tan(cot(

' - cos Q+ s1n &-cotd- tan Q

((

(

(

iIII

iI

\.'

r o))))

tan( " ) - - tan.ecot( " ) - - cot etln(

- A ) . - stn q" ) E + cos c" ) = -tanq" ) . -cotq

+y

-v

cot( " ) . l cot orln(ct n.)600) - . s1n ccos( " ) = + coc (ttan(Ct n't8Oo) = + tan dcot( " ) . i cot Q

Ii

'tb.'\9

.6,Y.-

o/si

I\\.

o...d..,

II

o eo"lf

FUNGSI LINGKARANKonversi ilmu ukur segitiga

ldentitas dasaro35c36

e37e38s39

e40

e4lo42

e43

e44

e45

o46

e47

o48

e49

e50

e51

e52

31n'c + cos'a - |t + ten2o = l,cos_ a

tan a cot oI + cotro

+ | stn(c* |"o"(o-fco"(o

1

I;;);Jumlah dan selisih sudut-sudut

sln(a!p) - slna cosp t "o"o slnPcos(a1p1 B cosa cos, f slno slnp

tan(a tp) . l-!^-s-i-!-tpi cot(o tp) = i*?+:lg+Jumlah dan selisih fungsi sudut-sudut

s1na+316P - Zr1yL*2 ro"L{slna-s1nF . Z.o.L|2 sLag-J--E-

z .r" 9f ,orffcos c - cos P = -2 516 1-l-!

"ot ajj

co! o + cos ,

= s1n(a t ll)

cos a cos Icotatcotrr = iln(Pta)

- s1n o sln PIsln c cos F = Z-sln(o + r)

cos c cos I f cos(o * f)f, cot(o - 9)

tanattan!

31n c aln Ptan a tan I - tan a + tan , ,

-

tan q - tan P' coto+cot! cota-cot,

coto cotB = goto+cotP-_coto-cotP- tann+tanF tana-tanp

cota trnf = gotd+tanr--cota-tan,- tana+cotF tano-cotp

Jumlah 2 getaran harmonis dari frekuensi yang samao sln(ol + 9r) + b cos(or + p:) - V-;A sln(or + 9)dengan6 - o.slnpr+ b cosg2 ; d = o_cospt - b s1n92

p = arctanf dan e - arcsrn ffi { ffl;:.[::Sll

L-46 47

e53

. 5,1

e55

e56

e57

e58

e59

e60

FUNGSI LINGKARANKonversi ilmu ukur segitiga

yang sederhana.sl^ o '

cos(9oo- o)rrr -;;i';-

zstn I cos I

coJa- coa 2a

sntara setengah 3udut, dan rudut rangkap

ten a cot a

s 1n( !6o- q1

fr - .fi5-cos'!- srn'!

cot(9oo- o)1

cot ,sln qcos a

Es

tan(9oo- o)I

ta^;cog asln a

=,ll.L-g----[l - cos'a

cot'i- r2 cor!cot 2a

cot?o - t2cola

ltEcotd - Ztana

dcot 7_

sln o'l

-cosat + cos a-

l1n alftr-"=;;?-fl

- cos a

rn=;;:7;-Yzt

:.-Fy'l + cot'a

2 tan?t. tan?l

2 r.a" tr - tan'It, t"nt{

Zcoc'a - |'|

- 2s1n'a

sln 20

2 !lna cos

((

(

ia

II/

]J

aco3 7

la^ 2a

eGl

e tiz

e63

e64

e65

e66

l/r --"Il"-v?

sli dt . co3 a,|

- cor as1n a

I - cos a

'I I co3 a

FUNGSI'LINGKARANSegitiga bersudut lancip

Segitiga berrudut miringA

Aluran sinuso67

c68

e69

e70

e7te72e73

e74

e75

c76a 77p78

J'79e80

48

a1n a : a1n , : srn / . o : D : cbo - --;3- .ln a - ;1*; .rn o

0 - =f-.rn, - -:Lslnarlno _ sln l--.,"

c . -:L oln y - ;*7.tn ,Aturan cosinus

o. . Dl + cr -

2 occor obt - cl . o.

- Z ac cot pc' . or + b:

- 2 obcoa I(untuk sudut yang tumpul nilai cosinus adalah negatit,

Aturan Tangensial

a+o- r''nff lo.. ta^f-:-r=;q lo=;;"

AtuTan sotengah sudut

..^;.;- 1.."i-;{;Luas, lari-jari lingkaran-dalam dan lingkaran-keliling

r - |ocrrac - locttag . |oDrtn ra , t6ia -;I(" - DjT; ;t - e s

D+c u"[email protected]. II t-c

l62 .L^ao.Drc

2

1T D3in, ITo

- o)(s

- D)(s - ct

l-

ccr

FUNGSI LINGKARANKebalikan dari fungsi ilmu ukur segitiga

Kebalikan fungsi melingkar

e81

e82

e83

e84e85e86

e87

eBB

e89

x = coly

@

II

x o $rr ^'C3Z $o 3:9.:

!-?:

Z fo c^ t-> E, E>-=

Z@ A)

-{ o o o o -{ o cr o 0) a

ab=

o o-!

a>

0,0>

0a1

Arcs

lna+

Arca

lnO

Arcs

ln(a{

-1 -ff+b

yll=

r.:-

Arc

sln

(a!l-=

E +

b\/l

-=-d

Arcs

ln a

- Ar

cstn

D -

Ar

cstn

(i {1]

7- olG

F)-

*-Ar

cstn

la:.f

i=-F

- b\

fi-- d

t"-- - :.1

"- I::

l: !:{-

-a^ ":.

2f : P

.Ar

coos

a+Ar

ccos

DAr

ccos

(ab -

rfi

=A tf

i-=-O

zl? :.

. .|i 3.?

?1.1

?"9.

: _

{= - :f-

- "n.

- Ar

ocos

1ao

+ t/

l-V

\/1-4

1Ar

ccoe

(aD

+ lT

=V

{I4l

;;;;;;

'!? 6"

-1-

ab=

:r

+ A

rcta

n .4 7-e

b-

-r+

476b

6.4 1-e

b,":,""

_.^

--."

_".

"-_ .

--...^._

._..."

.,.,)...

-..Ar

ctan

a-Ar

ctan

D -

arc

tan

i-9 I +eD

E ,t +

Arc

tan

i-:!

1+aD

r - r

.t-

Arct

an :a

-

D,

1+tb

Arco

ott+

Arcc

otD

-

a;6

s61

4:J

Arcc

ota-

Arcc

oto

-

erc

csl *

:I.

e90 691

e92

93

s94

!>1

r>1

ab>

O o

ra>

0,00:.

"19"

:".0-

a>

be1a

'l

a>

0,eD

ILMU UKUB ANALISALingkaran Parabola

LingkaranPersamaan lingkaran

P usatdi tempat asalldi 5embarang tempat.Ll. yz =.'[{r-ro)r*(y-vo)2= r'l

Persamaan dasar?- f. ox + bv + c = o

Jari-jari lingkaranr = W6*

Koordinasi dari titik tengah i'ol oxo = -7 | vo ='Z

Tangens I pada tiiik Pl fr1, )r),. _

I - (r-io)(r,-:o)., 9,_ Vo

ParabolaPersamaao parabola (dengan mengubah ke dalam persamaan

Yo

t23

124

52

T"l:

Persamaan dasaro? +bx

Jari-iari PuncakSifat dasa r

c

PF-c!.

ini, puncak/verteks dan pararneler p dapat ditetapkan)Puncak [narabola! F: fokus

di temoat asal ldi sembarang tempa{di buka di L: direktriksI . 2pu I (r-ro )' = lp(v-vo)l atas lS; tangens diS = -zoi l{r-,0)'=-2p(v-!o)l,bawan I verteksrlv

--f-\ t

_v/.st

-,2 l\/ LF--'rf - -

Tangens f Pada titikPr (r1, Yrl

*) Keadaan menurut catatan pada hlm. F1

ILMU UKUR ANALISAHiperbola

t25

126

|.27

t2g

HiperbolaPersamaan Hiperbolis

di tempat asal di sembarang tempat

v '$ t''-.;p]r;-- '. IHiperbola empat persegi panjang

* -$ -, - oPersamaan dlsar

.Al+Bf +Cr +DySifat dasar

EF -iV - zoEksentrisitas

" . lF;l;' +)

Deralat kemiringan (gradientlD asimtotsimtottans . n r:-o

alJari-fari puncak e.i-

E+d-(v-vo)'-,. oE.o

t?9 (

(

((

t30 Tangensial IPt $t, yt)

I

empatpaniang a ' bDeraiat kemiringan asimtot

tan a'). n - tt (aPersamaan (untuk garis asimtot pa

ma ka

4ro )

v

alel rerhadap sumbu .r dan sumbu I'titik perpotongan garis-garis asimtotdi rempat asal ldi sembaraig-lerqal

-_-=-._-^l+x y . "t l(x-16)(v-vo)' cr

Jari-jari prrncak (Verteks radius)

t

ILMU UKUR ANALISAGaris tengkung (curve) Elips, Eksponensial

ElipsPorramaan Elips

Jari-iari puncako'l olrx'7lt-';

Eksentrisitas (keganiilan )e , W-:V

Sifat dasarF+6F - zo

angensial T pada h 0t: Yt)

Catatan: h danFz adalah titik.titik apiLengkung eksponensial (curve)

Persamaan dasar

a\lOi ;ini a adalah konstanta Positif',;Fr dan r adalahsebuah bilangan.Catatan:Sebuah lengkung eksPonensialmenerobos melalui'sebuah titi k

x - 0 ; 9 = 1.

Fq

Turunan dari lengkung yang menerobos melalui titik ini de-ngan deraiat kemiringan sebesar 45'(tan o r) = 1)adalah samadengan lengkung itu sendiri. Konstanta a, sekarang meniadi e(Bilangan Euler) dan merupakan dasar logaritma biasa (naturallog). e = 2.718281828459+1 Keadaan menurut catatan pada halaman F1

titik perpotongan sumbusumbu

---t- .lit-'

L54

ILMU UKUR ANALISAFungsi-fu ngsi Hiperbolis

Fungsi-f ungsi hiperbolisDelinisi

a-aslnh r = -----;--Z_t)?cosh r t ---;--

z- et- eo el* - 'lttnh r.-.ffi = --r----:-

'c ? e e t Iel+ e-' et'+ IcotnrE--._ a-aa-l

144145

t46

Sifat dasarcosh'xtanh rtanh x

s1nh2x : 1coth x = 1**i I r-t"n,,',' ;;r lr-cottrr, = ;;*-,

Perbandingan di antara fungsi-fungsi hyperbolicdimana r adalah positif

)a".hr;-:-T

untuk bukti lgslnrr(-r) =(argumen) negatit jlta"n( -:) = -slnh rJcosrr(-r) = +cosh r

-tanh xlcotn(-r) = -cotir r

tanh rlf-:la"hr"

((

((

b

(

issI (

il

r52r53

r54

r55

Dalil-dalil tambahanslnh(o : b)cosn(6 I 6)tanh(q 1 6)

coth(6 I 6)

slnh o cosh bcosh a cosh b

tanh o I tann

cosh o slnhslnh o slah

t i tanh o tanh bcoth o coth b t 'l

coth o 1 coth b*) Eksponen x selalu harus kuantitas non-dimensional. Tanda + untuk r > O;

-

untuk x< O

s1f,h r = cosh r = tanh r - coth r -

X 1"hi, . t nh'x +slnh x

- tanh-r/coqh'x

- 1

cosh rcosh Y%;Tr;-:-i

oth'r - Icolhl r I t

oth'r - 1 | coth r tanh r

ILMU UKUR ANALISA I F uFungsi-fungsi hiperbolis terbalik (inversi) | I

Fungsi-lungsi hiperbolis terbalik

Delinisi fungsi y =I arslnh r I arcosh 'r lartanh .r I arcoth x

3amadengan ,. tlnh y ,

- coch !r r-tanh! r.cothyekuivalenlogaritma rn(r+pi'i rn(r+/7J

t -

1+r._rnlI I - x+1-_rnlii

ditentu kandalam -@ Yal

az

ar+ar+a,a,i+atJ+

?x (

((

(

t76

177

178

Ukuron besar atau no?m8 vektor: la'l atau a dalam catatan teknik(l?l selalu - 0)

Arah cosinus vektor-yektor: cos a, cos p, cos ySudut-sudut a, p, Y, anlata vektor i dan poros-poros OX, OY dan OZ.lu, f, y :0" ... 180").

"ot, =4; cosp =2t cosf = o:it;t l;l t;t

cosza+cog'p+cos27=1Porhitungsn dari komponen-komponen apabila lil d, Fr, y diketahui:

a, = lE'l cos a ; ar=lilcosp ; a,=lf,lcosT

Catatan: Komponen-komponen sepanjang OX. OY, OZ digunakanunluk menentukan ukuran besar (magnitude), arah cosinus, jumlahvektor dan produk vektor. (

6tli(

f79,80

t81

t82t83

184

t85t86

ILMU UKUR ANALISAVektor

Jumlah (selisih) vektor'Jumlah voktor s dari dua vet

g1

92

93g4

s5

g6

97

STATISTI KTeori dasar kemungkinan-kemungkinan GrKemungkinan teorctis P (A )

Apabila E adalah suatu himpunan akibat dari sebuah ekr-perimen yang semuanya dianggap sama dan serupa, dansuatu keiadian A ditimbulkan oleh suatu bagian himpun-an ,4 dari himpunan-himpunan akibat itu, maka P(A) =n(A)ln(E)

Kemungkinan ekspeimen P (A )Apabila suatu keiadian ,4 ditimbulkan oleh suatu akibattertentu dari sebuah eksperimen dan, apabila eksperimeniru diulangi n kali dalam kondisi yang tepat sama,.4 akantimbul r kali dan n, maka

P(A) = timit V/nl

Aksioma bagi sebuatr kemungkinanP(A) >_ O.,., _

jumtah kejadian di mana A timtruljumlah kemungkinan keiadian

= frekuensi relatilZP(Al = 1,0. Jumlah kemungkinan dari semua ke-

mungkinan keiadian zli yang berlangsungharus 1,O

P(Aaflfl = P(A) + P(B) - P(AaB)').Apabila A dan B tidak dapat terjadi padawaktu sama, maka

= P(A) + P(B) dan kejadian-kejadian itu dise-but terpisah (disioint).

P(A/B) = p(,c, n A)rp(q' disebut kemungkinan A ber-syarat rerhadap B (kemungkinan kejadianz{,dengan ketentuan keladian, telah berlang-sung).

laniutan di G2

(

((

((

(61

STATIST! Klstilah umum

Algz

90

g10

s 1l

laniutan G1 Apabila keiadian-keiadian itu terpisah (apa'bila diketahui, bahwa timbulnya keiadianyang satu tidak mempengaruhi kejadian lainyang timbul) dengan menganggap P(A) .ber'turut-turut P(B) + O.P(A/B) = P(A)' dar| P('Blt1 = p161

P(A e' B1 = P(A) x P(B), apabila kejadian-keiadian ber'langsung terPisah.

P(A^i) = P(A)xptil = 0' sebab Adan A masing-ma'sing berada di luar'

rl Diagram VennPersegi paniang menuniukkan iumlah selwuh

keiadian ,{Lingkaran besar menunlukkan keiadian eLingkaran kec,il menuniukkan keiadian IDaerah bergaris miring memperlihatkan gabung'

an peristiwa'peristiwa yang berbeda'

AwB(,4 atau 8)

AaB ia?(e 'dan- a) (stapi tidak,{)

\-

ruN@NA

( tidak,{)

Variabel bebas (random variabel) ,1Variabel krebas .{ adalah suatu kuantitas yang dapat diu'kur dan yang dapat mengambil tiap angka r, atau suatuiangkauan nilai-nilai dengan suatu distribusi kemungkinanyang ditentu kan.

Fungsi distribusi kumulatif (bertimbun) f (.r/Fungsi distribusi kumulatif F/-rl memperlihatkan kemung-kinan variabel bebas yang lebih kecil daripada suatu nilaitertentu r

62

IIo

tanjutan darl G2f(r7 berubah-ubah antara 0 dan r.o.F(-@l - 0 danF(il meningkat dengan r.

F(:) untuk suatu distri F/rt untuk fungsi-fungsi ber' 'laniut dari distribusi

STATISTI Klstilah umum

4\l.f g

r(t) =-lf(x) d,lfrr lnruk f ungsi.f ungsi ber' lanlut dari distribusi

Fungsi kerapatan kemungkinan,/l/.r/Fungsi kerapatan kemungkinan ['(x) memperlihatkan be-berapa kali, satu nilai khususp/ atau jangkauan nilai-nilaiJ(x) dari variabel bebas,4 akan timbut.

F(x) - f pt

busi ekperimon

,2' untuk suatu distribUsir s l5pgl;5p6

Daerah bergaris miring di bawah garis pengenal (curve)fungsi kerapatan kemungkinan, memperlihatkan kemungkin-an teriadinya variabel bebas,4 berada di antara rr dan 12

(

((

Id

Ir.l

t,P(r, s,.

rooooc

NN

NN

DO

!O

N

J

@60

@N

NN

N66

!0@ o

o 5

(r ol :. :'

o:

tr) - P(h + 1) + P(h +2 ) r... r p(n) -

Bilamana r! itu besar, yang umumnya demikian unruk keba-nyakan proses pabrik, danp

g6

laniutan dari G 10dan apabila ukuran contoh k itu kecil, makap(r>,t)

-,- jq#;'a= 1-;^r[t+ff,ry{....tt?,'' ]Dengan menggunakan g 61. pernyataan kelayakan P(r > k) untukbagian cacat di dalam seitmlah N dapat ditetapkan, apabiladapat diketemukan /r bagian cacat di dalam contoh n, atau g61 dapat juga digunakan untuk dapat menemukan ukurancontoh yang diperlukan, apabila dengan suatu kemungkinankesalahan p = kln, li bagian cacat dapat dipakai untuk sebuahpernyataan kelayakan P (x > k).

teristik kerja (OC = Operaring Characteristic)Seorang pemakai perlu mengetahui apakah kualitas barangpesanan yang dikirim oleh pembuatnya memenuhi perminta-annya. Dengan dugoan adanya suatu bagian p cacat di dalamseluruh kumpulan barang (P=Pd maka ia ingin menentukanapakah seluruh iumlah pesanan itu diterima atau ditolak apa-bila di dalam contoh bebas sebesar r bagian, hingga c bagianditemukan cacat. Kemungkinan bahwa pesanan akan diterimaberdasarkan bukti contoh adalah

L(p,c)) t -a

di mana o adalah tanggungan si pengirim barang atau daris 57:

L(p,c) =P(O) +P(1) + ... +P(h= c)atau dengan menggunakan distribusi poisson:

L(p,c) ' *tif ""-"'= "'n[r'^r* (^f!r..

.*f:]

\

72 73

STATISTI KKarakteristik keria; nilai AOL

!ittrt57bagian cacat * ol,

Perhatikan: Semakin kecilnilai c, semakin dekat ia'rak karakterislik keriadari p = O.c harus < a

A\r rrkeria

c-9;.:o!Eo.=:oFOEo,)l

Dengan menggunakan g 64. karakteri:tik-karakteristikL(pc) dapat digambarkan dengan dua cara:

TiPe A Tipe Ba = konstan c: parameter c=konstan r:Parameter

Conloh

0. r.l ! ( t .bagian cacat '- p'LPerhatikan: Semakin besar

nilai rt, semakin curamkarakteristik kerianya;apabila n = y'y', maka garispengenalnya (lengkung)meniadi paralel denganordinat dan tiap barangtelah di-uji. Semakin cu.ram garis pengenalnya.semakin mendalam pe-ngontrolannya.rr harus ) c

Tingkat Kualitas yang Dapat Diterima (A.O.L.= AcceptableLevel): Persetuiuan antara produsen dan konsumen

menghasilkan ritik terpenting mengenai karakteristik keria.yaitu nilai AOL. Pabrik perlu diyakinkan, bahwa metode per-contohan dapat memperkirakan kualitas barang dengan cer-mat. Apabila hal ini dapat mencapai suatu kemungkinan sebe-sar 90%, maka tanggungan produsen adalah dari 9 62:

L(p,c1 z 1 -

a = 1 -O'9 = 10%.namun metode percontohan dapat meningkatkan tanggunganprodusen. Untuk mencegahnya, produsen dapat memutuskan

rr : jumlah dalam contohcontoh bebasc : jumlah bagian-bagian cacat yang paling banyak dapat diteri-

ma

(

((

(

d

dI

STATISTI KKeandalan ( Reliabilityf

tiuttn dtrl G 1tuntuk mempertahankantingkat kekurangennyalauh di bowah nilai AOLyang telah disetuiui, mi-salnya safa Pot), yangmemberikan suatu keku-rangan cr, yang diizinkan,dalam contoh sepertiyang terlihat dalam grafikL(p,c) terhadap p, yanglebih sedikit daripada cz'.yaitu nilai asli yang dike.hendaki. Sebagai akibat-nya, maka kemungkinansukses dalam penangananbarang naik 99%. Dalampraktek, nilai AOL ada-lah sekitar O,65.

Dcfinisi umum

Keandalan (reliabilitas) R(r)

Kemungkinan terhadap kekurangan f( a ) =Kerapatan kekurangan

Tingkat kekurangan

Grz

l-(

^,.t ",e!

1-R(.)dR

-dt i-[^rt ,,

l( I ) e or(r) = #i+= ldR- ?ril

"tMTTF (mean time to failure/waktu rata-rata terhadap keku'rangan)

6. Jntr) .:r

a

laniutan di G13

0) : iumlah elemen pada waktu t

6arrF=[t(.)!dr

I

\

71

: iumlah elemen pada permulaan 8r=e - ^rlo

?5

STATI KAKeandalan; Distribusi eksponensial Grs

971

972

lanjutan dari Gl2Dalam sistemsistem yang dapat diperbaiki, MTTF diganti de-ngan waktu rata-rata antara dua kesalahan, yaitu larak keku-rangan rata-rata m = MTBF (mean time between failures/wak-tu rata-rata antara kekurangan_kekurangan). Nilai MTTF dannilai MTBF adalah sama.

MTTF MTEF n = JR(t) dta

t u ra n h as i I p r od u k s i untukkeandalan R.:Apabila Rr ... R" adalah ke-andalan elemen-elemen t ... n.maka ke-andalan seluruh sistem meniadi :

Rs --Rr Rr R" - IlR,'lp,n, . ,,n,.

^^,,i1' ,,

e'

e r h a t i k a n:Ungkapan-ungkapan untuk fungsi.fungsi ke-andalan R(t) ada-lah fungsi-fungsi distribusi L'(x) datam rabet G4 dan G5 (un-tuk perhirungan gunakanlah g66). Disrrlbusi eksponensialyang mudah dihirung itu, umumnya dapar mcmenuhi keper.luannya ( l= konstan)

Distribusi eksponensial digunakan sebagai fungsi keandalanKe-andalanKemungkinan terhadapKerapatan kekurangan

keku ra nganTingkar kekurangan

Jarak kekurangan (MTBF)

)(t) =#*. I =konsran(Dimensi: l/wakru)

[ .xa - le dt0

R(r)f(r)/(t)

e

I -a

(

((

id

dI

Ae

Aturan produk untuk keandalan A,

I

979980

lanjutan dari G13

Tfngkat kekurangankumulatif

Untuk nilai-nilai kecilkasar

- C'^t ' rr'"' ' rt'"

ls : lr +,1, + ... +f, r -LTTBF

tingkat kekurangan dapat dihitung kr-

iumlah yang cacatjumlah elemen pada permulaan x waktu kerja'

nilai-nilai l- kebanyaloan berkaitan denEan iam-iam keria.Satuan: 1 fit = 1 kekurangan/ tOt iam

Contohcontoh khas untuk tingkat kekuranganBipolar digital-lC (SSl )Bipolar analog-lC (OpAmp)Transistor-Si-UniversalTransis tor-S l-DayaDioda-SiTantalum cairdenqan eleKtrolrr

--

kapasitor PadatKondensator elektrolit-AluKapasitor kerami k (mul tilayer/berlapis-lapis)Kapasitor kertasKapasitor VulkanitePerlawanan-karbon > 100 kQPerlawanan-karbon

= 100 kO

Perlawa nan -logamPerlawanan -kawat gulungTransformator kecilKumparan (coil) HFKuarsa (Ouartz)Dioda ber'emisi cahaya (: intsnsitas sinar

berkurang 507oSambungan yang drsolderSambunqan yang dibungkus

I dalam fit:15

10020

1005

205

2010

21

5o.5

1

1051

t0

5000,5

0,0025

7677

Sambungan y.ng di keritingKontak rtekar rumbotSoket rteker tumba.t untuk tiap kontak yang dipakaiSakelar steker sumbat

lanjutan dari Gl30,26

0,30.4

5...30Prrhetian: Bincian untuk ke-andalan (reliabiliryl adatah OIN

29500, halaman 1, DIN 40040 dan DtN 4t6t 1

(

((

ddd

hl

HITUNGAN DI FERENSIALKoef isiensi diferensial Hr

Koefisien diferensial (atau turunan)Gradien suatu garis lengkung (kurval

Deraiat kemiringan sebuah leng-kung y = f(x) berbeda-beda darisatu titik ke tirik lainnya. Yangdimaksudkan dengan derajat ke-miringan sebuah lengkung padatitikP adalah derajat kemiringandari tangen pada titik tersebutApabila x dan y memilik! dimen.si yang sama yang tidak demikian halnya padakebanyakan diagram teknik dan diperlihatkan padaskala yang sama, maka derajat kemiringan dapat digam.barkan sebagai tangen sudut a antara tangen padatitikP dan sumbu horizontal

Derajat kemiringan yang selalulndapat digunakan

Koelisien selisihKoefisien selisih atau derajatkemiringan dari sebuah fungsiy = lH antara PPr adalah:

dv -

l(x+axl-f(x)Ar AxKoefisien diferensial

Apabila J: adalah kecil tak ter-hingga, yaitu apabila dr mende-kati nol, maka garis miring (slo'pe) pada titik P menladi nilai li'mit dari garis miring salah satudari garisgaris potong (secants),garis miring ini disebut "turun-an" atau "koefisiendif erensial"dari fungsi di titikP.

ten o

-!vAx

((

(((7a

HITUNGAN DI FERENSIALMaksud dari turunan Hz

h3laniutan dari H1

,'- ff' t'tt),'' ]::"*- ]P,tJ':4ft(r) -ff'rct

Keadaan Geometri dari turunan!iit komiringsn suatu lsngkune

Apabila, untuk setiap harga x dari suatu lengkung, dera,at ke'miringan yang berkaitan itu digambarkan sebagai ordinat y',maka akan diperoleh lengkung miring yang pettama y'=f'(x)atau turunan pertama dari lengkung asal y=t(-t). Jika kita am'bil turunan deraiat kemiringan pertama yr['(x)' maka kitadapatkan y"=f'(x) atau turunan kedua dari lengkung asaly=l'lx) da seterusnya.

lrt+ 8l+ Ct + 0

\\.\:.\?

mlntrnunt

Jari-iari dari lengkungn O pada setiaP titik x

It,,.t!'-/),tt-'-"-/""""

zJ-;

.9 16 . lT ilf berada di bawah lengkungan bita e

-

--r;- l(,berada di atas lengkungan bila p +

81

HITUNGAN DIFERENSIALMaksud dari turunan Hg

l.nlutrn darl H 2Koordinat iengah unluk lari.!ari O

ort Lf-l ,,I + urlyr-f,

Penentuan minlmum, mrklimum dan pelengkungrn

Minlmum dan maksimum

Nilaix=d diperoleh bilamana;"--i dimasukkan dalam y"

Untuky" (a) > O akan.diperoleh nilai minimum pada x=aUntux-y" (i1 < O akan diperoleh nilai maksimum pada x=aUniukY"(a) - Olihath 19.

Pelengkungan (i nf lexion)Nilai i=a-diperoleh apabila ./'!0 dimarukkan dalam y",Untuky"faT *0 akan diperoleh ruatu pelengkungan pada x--a

Bentuk lengkungY=//x/

Dr

Naik dan turun

v'(t) > oY'(r) < ov'(r) ' o

Pelengkunganv"(x) < ov"(r) > ov"(x) 'o

y/x/ meningkar Epabila x meningkst-y(x) betkwangapabila x meningkary(x) adalah Paralel recara tangen

dengan sumbu'.t di x

v/x/ adalah cembung (dilihat dari ata!)y'(r1 uaaun cekung (dilihet dari atas)

I dengan I suatu perubahan lbelokan (flsxionlfffififif,l randa,y'(x) oadr ftitik darar.r memgunyai

(

ddd

dI

HITUNGAN DI FERENSIAL HeDiferensial dasarlanjutan darl H3Kesur khurus

di mana pada ruatu tltik.r--ay,(o) . y,(o) . y.(o) - ,ra-r)1q) . O, teraply"(o) r o, iatu di antara 4 keadaan berada di sini:

n- bilangan genap rt-bukan bilangan ganlil

ht7hlE

h?lh22h23

h24

h25

h26

cx"u(r)u(r)u(:);frTv,

+Ct u(r)u(:)

yh'(o) . o,IA---#-

Turunan-turunan

Aluran darar

Turunan rebuah fungi drri sebuah lungsi(aturan berantai)/ ['(')]

Eentuk parametris dari turunan

t(x) {;: ll:i

tu runan

Y' - c n .rn-ly'- u'(r)l u'(x)Y'- utu + l,a u'

u'u - u u'---;,-

l'(u) u'(r)du du du.dr du atr

,,, . !

' zYvv' - ,'(+. u'rnu)

n27

h28

a2

tlu da ndt Cx i

HITUNGAN DIFERENSIAL HsDiferensial dasarlanjutan dari H4

I ,,-t=Turunan dari fungsi-fungsi inversi

Persamaan t'=J'(.\) yans dipecahkan untuk.t, menentukanfungsi inversi

h30

h31h32

x ' p(v)Contoh:

furu na nFungsi-f ungsi eksponensial

fungsi

I ,,,,, -l*--rt v-r(x)l(x) - arcoax I 'l 1

b'erit

HITUNGAN DI FERENSIALDiferensial dasar

Turunan-turunan (derivatif)Fungsi logaritma

turunan (derivatif)

lanjutan dari H 6Ho

- o lcoc(hr).

-o ,( sln (}-r)- nclf-lrco6x-

-n "o""-t x a1n r

- n tan''lr (l + tan2r)-

-n cot'-l.r (1 + cot'.r)

cosh rslnh r

1

;;a;-l

.1^F;

h6a

ht6h60

h67

h@

hc9

v

v

v

v

U

v

yt

v'

v'

v'

v'

v'

rrctan rarccot r.ralnh rrrcoah rtrtrnh rarcoth r

I- i-Titr

t'-rr-r

I' IFTT

I- 7-rI

r -I.

1

r -.c

h45h46h47h48h49h50

h5r

h52

h53

h54

h55

h56

h57

h58h59

h60

h61

h62

h63

84

/vtl,/,/

v'

v'

v'

v'

y'.yt

v'

a rtn (A.r)o coe (hr)rlna:cog'rtan'lcotn:

1Y cln :Iv - ;;;-i

V = ln xy = LogoxY i ln (1

Y = ln r"

v e rn/i-Fungsi hiperbolis

Y = slnh rY z coshr

Y ' tanhr

Fungsi ilmu ukur sudut inversiY = arcaln r

Y c arcco! r

y,=

v'

yt

v'

u'

i(

Idd

I

t'i

,,

i

I

I

HITUNGAN INTEG,RALlntegrasi

lntegrariKrbrlikrn lnt era a drrl dlfrrroleiYang dlrnrkrud dengon huhrngan lntcgral adolah mdralahpcncaharhn ruatu fungri y-f(x), turunan dari F/x/ adalahrama dengan//x/.Hingga f (tt . T)- - ilrtjadi. dengan integrarl

lntag?ll tlkt ntu(ll(xl ax ' f(r) + c)

Di rini C cdalah konstants yang ridsk dikctahui yang meng.hilang bila dUiferenriari,karena turunan dari suatu konstanteadalah nol.

Makrud Gcomctrit dari integrcl tidak tentuSepeni terlihat dalam gambarini,_ rerdapat jumlah lengkung)'=t'(x) yang tidak rerbatasdengan iebuah derajat kemirl-ngal y'=f(x). Semua lengkungy=F(x) mempunyai bentuiyang sama, tetapi memotongrumbs..r pada jarak y8ng ber-beda-beda. Ncmun konstantaC, membentuk suatu lengkungytng teEp. Apabila garis leng-kung tgrrebut memotong titikrol)o. mEks

I

- f(D) -

f(o)

I

d(

,idd

I

c . tb -r(tr)lntcarrl tartantu

I ntegral tertentu dinyeta kan sebaga,bb

oJt"' ' ' r(')lt4

HITUNGAN INTEGRALAturan integrasi lz

Di iini int"gtati mengambil tempat di antara limita dan b' te'sultan substitusi kedua diambil dari yang pertama, yang me'ngakibatkan konstanta C menghilang.

Rumus dasar

I** * C, disinii5rt

i7

i8

i9

I+ ' rnr + cJ[,,,,. u(r)]ar . J,tr) a, t J,t') a'

ffE* ' rn u(r) + cI" ,,, u' (r) d: - | [,t,t]' . c

lntegrasi melal ui bagian-bagian

l, A u, (r) a: . u(:) u

t2s

t30

t3r

132

t33

134

r35

r36

137

tat

HITUNGAN INTEGRALlntegral dasar

lntegral(mengabai kan konstanta integral C)

f##;-1- tnlt*c"o'l/u" rnr6, =

eo'-lnlrl - l/* .,

/e"' ern ar at . -fir.10 a1n br - b'cos br)

';[oo' cos b, dx - A*r ( o co s bt ] b 6Ln bx )

H:r=fr"lo,,oll----!,iG, - b)1 ;(r. JXd + bJ;-rH- ' 1rnl"'-oll-__ d,J(*-b)'= ;G:ll6:Fr-Ii;mii;-- "

'"l, '" J#++lffi==l'"+;;'"1:+*1ffi,"tt;1 = Fl?l*r"|"'+al-g r'1"*'l

' (Dc-ad * 0)r dr r b -

r -r--

.? Inlox+Olof+D o o- I I

*5 . #F,., + b)' - 2b(or + b) + b2 rnJo,. ol/#t . 4l(glqll- lut.l'ol'+rb.(orrb)- u,rn lo,rol-l/a*"- -#'"1"*l

i39

I ,10

l4r

ta2

t$laa i['GHro. -* - firl"-+]


(mengabeiken konstanta lntegral Cl

tat

I ,16

l1t

t48

r19

t60

t51

t52

ls3

t54

/,-#:a' -*[""^ lo',*o1-'"to'*u' ' "#rl]/d+,"-,-,.*?D * $ rnlo,+ol,*#y - 4[to,rol - zb rnlox+ul $]

IXr -+ arctaniI** " ] rnlo'*rlIi:* ' r-o!arctanr

Ii'* -4-+1nro'+:'lf ar r dx 1 I - lo+rlJT-:ir''ll:7'--t";slfxdr fxdx 1ii? ' -li* ' -f rnl"?-,'l

r55

t56

r57

t68

r69

t60

(

ddd

t

tB2

t63

i64

r65


tntegrallmenoabai kan konstanta integral C)

I t-gv-)1u" - ,"). 2lo'- x'')Ie*r= fil:?t-'*I

"\ ar a' 1 tnlor-rrlJ(J - ,'i'= 1(J:?1 'n ' -J'rr * -iV;ly6,7i a, =+Vt*,;\''l,t*, * = IILqLINGLDLt

lnYn ,t o, - 2Lt2i-t-:!o'o':]!D-[Gl ol

i66

r07

l68

t69

170


(Mengabaikan konstanta integral C)

lr,t77

r7c

r79I* - z(":-:P) l,{",, r)fJ,lt 2(ro2r2 - 4abr + ao") y'Gl*6l-lE_I',m!W= ", -+lF; *{"."rnr,i!,tn;z o, -+ttri,a'

t80

t01

182

i83

t84

{,,W= o, =+t[?;A' ts (,/uZ.o,"."rnr,])[,'/"'* ,, = /@io' - "' [+7t'lry o, = l/o\t -. r^y.qJlIry o, = - *? +arslnhtlry,,=-87'*

dr ,. xffi ' arelnh-:-ffi'w;7# =+1tr-,, - {,.,,nn rr-dg

= /@. rp

- o, lk . o,w;7 - ,

t85

r86

rot

188

t89

i90(

ddd

L

i92 f o, fi;eI:J fVa'* r' o- '


rv"ns"uuit"n [13"1*ta intesrat c)

pfu=-wir*,"Pry\Itfr- o, =*VVe-*o'".",tnr]

,1ft -7 o, = -!Wi -7ff1n= a, - -ifiEtf .{(tn-l*o'..".lnr)[:tri-:::ff!ff

- r."511J1

o

= -+W= *$".".rn:

= -rrnP.q=l/7-

- ---3x

fart:JVaz_ff xaxlvoz-f,?orv7-I iaxt:J l1/a2 - x'

i 102

i 103

I 104

i 105

I ro8

i 107

I 108

94

'y?:;, o, - *(,rc- - o, "."o"r,f),y'7-17 o, - +14,'*?)'{V?- o, = +l[7-7f . { QtfZ-- o'"."o"h.]l.)il7*' ,, - nn;}f * o'ftV-if

1"o," o, o, -; + f stn zo:

I 109

I 110


lnlegrat(Mengabaikan konstanta integral C)

f GJj ^- - t/j ^, aJ-r-"' = fx-o -oarccos--ftF:e v7-7 xf/7:7 , /7 -7 1 oJ---v- o, = ---2"- + 7; uccos:

[rrn o, dx - - 1 coe o:rtntor dx -+-+ B1n2or

I 112

I tt3

lnlar dr .

1ntro.r d-r -

- -l-

"o, o, * 3| "o"rot

- i-

"o" ox slnn-ror * n11 [.u"-'o, a,i 115

I 117

r 118

i 119

I 120

[x su ax

f ,rn o,/t' nrn o,

[*+' ,,

- stn or ,r cos orOX=-- ooo, =# slnor - ({ -#)".'",,, = (+- #).,^ ", - e - !r)"o. o,(or)r (or)u (or)1=ar- 141 '35 TTt* "

(n is an integer > 0)

I 122

I 123

I 124

,i,d

dd

I

I 't25

I 126.,i[' "o" o'

It "o, o,Jt' "o. o'

lxf"o" o,J--7-fco" otJr"

drl--cotaIs1n'ar a

96

or. coso.r =+['^1,,.(+.+)l #^J


lntegral '(Mengabaikan konstanta integral C)

(I

d

/I 141

lrrlnt6gral

(Mengabaikan konstanta integral C)xdx x . 1;!;q;. -f coto: +-! lnlsrno:l

*k=*r"1,"^("i,i)l--!+-=At"no,cos- or a

d, 1 rlnq: n-2 f dx.coatro.r o(a-l) costr-l or n-1Jcos^-zoxx dx x ',1,

;:;i; = '1- tan ax + ;? In lcos orl

..1 t.nE.TI + CO8(r.r A 2*.., = -lcot(E +) = -1-tun(+.+)

dxlor

-.

--col:I -

Coao.r o 2

in o. cos bx dx . ={:04".#

-.":[-;i,) (tot+ tot)"o"o,.cosDr dr = ";t:i;i,).{{gip ool+tot)

- Jsrn ,, , ! fr^-t

"tno, o.o oJ= 1 rn ltrn orl


cos or r sln ordr = --r-* -_a-

o, =ficosor+(*-+;,'^.,* = (+-q)

""..' .(t- $).,^.,

,,-;;i;;i-9.# -!#X.cog or f sln or drdY

= ---4r- 'xJ.xcos or o fsln o: dxor = - 1;=iI;i:r - ;:1 J Ii:r-

tan or dr = - ] fnl"o. orltan'o: dx - J- 1un o, - ,.

tan^o: d: - iti"],'f -.;ftunn-'o, c,

cot2or d: = -: --l-coto,ocotno: d:. "-itJ]t"f

-Jcotn-2o: a:

(n+1)

t,(

,d-l

dr 1 /ox r\i+;lno;=atan(z-zJ


lntegral(Mengabaikan konstanta integral C)

i 157

I 158

r 159

i 160

i r61

ffi=*('"ltanorl =+-)

csln:

1 =+('"lt"no'l ''*-)ldx2I = -^ = _ __:cot?orJsln'6y g95'sr afstn'ox cos'ar dr =

-l- sin"r or'cosn-r or +J - - o[m+n)

-trj fsrn'or'cosn-? ox d:a+ n JBilamana angkanya ganjil, maka penyelesaian integral sisa (romaindorl

f.tn'r, cos or dr = l9"t "'J--' -^ ---"^ -^ - o(,-l.]T, tA-r'- tn--*,^1,-trnlr

i 162

i 163

i 164

i l65

i 166

I t67

i 168

i 169

i 170

98

rccos r

rctan r

ccot r

dr = r arcsin r

dx = r arccosr

dr = r arcttnr

d.r = r arccot. r

1nh (o: )lnh? r dr

ur = + cosh(q5)

=]orar'tzrl -{ftnn^, o, = -1- cosr'r ' stnhn-t , -n]l [trnn"-' , a,N AJ :

o" = * slnh(or)cosh( or )(n>o)

/arcotfr x dx = x arcothr

g9

HITUNGAN TNTEGRALlntegral dasar

lntogrr!(Mengabaikan konstanta integral C)

r d.r ={srnr(zx) +f

F;il;";;. *;;6;;i;;i-*--"--- (n>o)Jtann'zx ax = .r - tanhr

coth(o!) or -.1 rnf slnn(ox)l

.,i/cottrrr o: r r - cotht

Jcotri: ox = - * coth^-t .r + .;[cottri-' .r o.r (n + t )

,m,.{:."1,.^n9ilfr#- . -coth r' df

=3 sr6qslgorcosn o.l a

-

- trnhtcosh'.r

-tffi- t/7-1*{rnl(r-l)l*]rnl(/-r)|

(

i

(n + -l)

i 171

i 172I 173

I 174

i 175

I 178

I 177

l 176

I 179

I 180

I 181

I 1d2

i r83

I 184

I 185

i 186

slnhrdr=rarsl.nhr

coshtdr=rarcoshr

tanhrdr=xartanht

(

((

I

i 187

i't88

i 189

i 191

HITUNGAN INTEG RALPeneraPan integrasi

HITUNGAN INTEGRALPenerapan integrasi

koordinat titik tengah gravitasi

(

i 192

i I95

i 196

,r- *

ty,

IlxYs - :i-

Moment statis sebuah benda(dalam hubungannya dengan

moment statis sebuah lengkung ,sumbu-.\ sumbu'l'

koordinat titik tengah gravrlasl{gaya berat)

s bidang y.z)^"1'Y' dr

tt

Koordinat titik tengah gravitasilE

Y

Teorema (dalii) PappusLuas permukaan benda yang bsrputar

,{m - paniang busurs kali jarak yang dijangkau oleh titik te.' ? x s y"

ngah gravitasi (gaya beratl(lihat juga rumus i 86 dan i 881Volume benda putar

v -luas z{ kali jarak yang dijangkau oleh titik tengah- 2 t A y,

gravitasi (gaya beratl(lihat juga rumus j 89 dan j 9ll

lntegrasi menurut angka (numerik)Pembagian luas ke dalam jumlah l

yang genap pada lajurlebar yang sama i ' +:bmaka, menurut

Aturan Trapazium

xs

mornen statis sebuah lengkungdalam hubungannYa dengan

(

((

k

v

Volume dari sebuahbenda vJno beroulsr di- I benda, Vang penam-r., luas]{ berputar I pang lintangnva A adamengelilingi sumbu--\

loo

i 197

lol

i 198

i 199

i 200

i 201

i 202

HITUNGAN INTEGRALPenerapan integrasi

lnjutan dari J 10^

. | (vo.2yr1292....+Yn)Aturan Simpson untuk tiga ordinat:

At. i,r" + 4Yt + 9r)

Aturan Simpson untuk lebih dari tiga c;dinat

, . i[* +vn+2(v2+v.+...+v^-')*1(v, +vr+"'Momen lnersia

{momen kedua dari luas)Umum

Dalil Steiner (Dalil semua sumbu paralel)Untuk tiap momen massa inersia, baik aksial maupun polar'persamaan berikur dapat digunakan :

Irt . Iyy . n l3r kg m'Persamaan'Persamaan Yang samadapat diPakai untuk momen'momen garis, luas dan volumeinnersia:

\r - Ivy + tl5'

Yang dimaksudkan dengan momen inersia dalam hubungan'n"uf"ngun rebuah sumbu'x atau sebuah titik O, adalah ium'ta'h pertltlan dari garis', lu8s', Volume', atau elem.en-massaJ"ng"; irrar"t iarat-iarat

HITUNGAN INTEGRAL I lt APenerapan integrasi I

lanjutan dari J l0rng dimrksudkan dengon momrn tentrifugll (hasil inerrle)daii sebuah bidang rata dalam hubungannya dengan kcduasumbu di dalam bidang datar tersebut,adalah perkalian antara elemen'elemen'tuas d4 dengan perkalian iarak'iaraknyax dan y dari ke-dua sumbu

I,r'lxvot i o

tahui, maka momen kedua dari luas /o da'lam hubungannya dengan sebuah sumbuyang dimiringkan x, sebesar sudut a terha'dap sumbu-x, dapat dihitung dengan:

Saru dari sumbu-sumbu yang berkaitan, merupakan sebuahsumbu yang simetris dari permukaan rata itu. akan menghasil-kan ,xy = 0.,onversi ke dalam sumbu miringix': Bilamana momen-momenIr, Iy, dan /1y dalam hubungannya dengan kedua sumbu'xdan sumhr-y yang saling tegak lurus dike'

corla * f, alnro - I* s1'n2ayang berhubungan dengan momen-ketiuadari luas di halaman J 10

Empat persegi paniang

.[+]:=bArt2

r,-$; r D!hi2, +.+ - !!15,*n,1 i rN - **(0,.t')Ipo' It + Iy ,,,

lrf - Ir, r, - ir* ^.hr'i*to^,- (+!lLingkaran

re -,1!, o^

,, -,|f,, o o,,r' ' L.-,(*)'

DAI,

i 211i 212

i 214i 215

i 216

104

-.ll' z, , o,

HITUNGAN INTEGRALPenerapan lntegrasl

(

i 217

i 218i 219

i 222

i 223

Ir ' ItItt- o,

- ,'[+J" - +. Jg

-

.4'- aL216{karona r dan, adalah rum-bu yang rimetri.

llngkrran lsemiclrclel

b .2* -+, Irf -u, karenaymeruPakan"sumbuSegi-benyek t.rrtur (Ragular polygonlr, - rt .+ -ffi(rerr+or1 . aqr'-!'-{ (6Rt-at);rryr : juri-lari lingkaran didalamnya I a : paniang sisiR: iari-jari lingkaran yang membebani I 11 : jumlah sisi

-r,li,{6oy-*-\

panjang (lihat J 11). maka per.

Momen kedua dari volume sebuah bendaMomen inenir drri scbuah kubus (cuboid)Eilamana (+ . +) adatah momen

inersia polar dari sebuah persegir2Jika x' dan/atau Y' adalahsumbu simetri, lx',y' ada'lah not.

remaan untuk irmbu{ adelah:

"."

-"1(+|l.*}- - 1?ro'. a')

dI.

| ,o-"n inersia dari soburh 3ilind.t b.?bontuk bulrt| (circutar cylinder)

,,,1 ;.:J;"'^,.-#. @I .,' "u| u "

.{-1 :", :,:":, .,":"":"::,,",

lMo-"n massa inersia / sekitar sebuah sumbu tertentu tdelahlhasil dari momen kedua volume /r' sekitar sumbu tersebut dlnI k.r"p",rn p.

, ?trl I ' Io, I kg mr, kg, m c'. lb lttr zcf dimana e . - i kg m-!, kg dm-t, lb tt-'

I misalnva untuk sebuah silinder sekitar sumbu'sz,".f rzz - ru,z,,+ - "i!'h - *

I un,u* momen'momen m6ssa inertia lainnya lihat M 3

Momen inersia dari rebuah rilinde b.?bontuk bulrt(circular cylinder)untuk sumbu'::: z,

,T

, rrulr,,,. rl* ^, . -f. itr=ffi

106 lo7

PERSAMAAN DIFERENSIALlstilah umum Jr

Definigi Pergamaan Dilerenaial (DElSuatu OE adalah sebuah persamaan fungsi-fungsi yang tidak diketa-hui, yang mengandung derivatif-derivatif (turunan) (turunan-turunanbagian) dari tungsi-tungsi yang tidak diketahui dan variabel-variabelyang berdiri sondiri. Jenis-jenis yang berbeda-beda adalah:Pcrramarn Dllcrcnrial Blaaa (ODEI: fungsi-fungsi yang tidak diketa-hui hanya tergantung dari satu variabel yang berdiri sendiri (indepen-

lr den), misalnya: Y" + 2x2Y = 31n * v=lG)Pcrramaan Dilcrcneial Partial lbagian) (PDEI: fungsi-fungsi yang tidak diketahui torgantung dari sejumlah variabel yang berdiri sendiri,

.u'\ = rrr r9^S x:l(u,v,w)Du 0v' du 0v

Persamaan-persamaan Diferensial Partial tidak dibahas secara khu-sus di sini, karona metoda-metode untuk Persamaan-persamaan Di-ferensial Biasa dapat diterapkan.

Persamaan Diferensial BiasaF b, y@, y'(x), ... y(r)(x)) = o.

Oi manay(x)adelah fungsi yang tidak diketahui. y' ... y(n) adalah derivatifke-1 hingge ko-n; r adalah variabel yang berdiri sendiri.Contoh: y"'(x) + nt(x) y'(x) + n(x)y2(x) + p(x)y = q(x).

Orde: dorivatrl teninggi yang rimbul dalam orde ke-3 ODE dalamcontoh di atas.

Tingkat: ekspon6n tertinggi dari fungsi yang ridak diketahui dan derivatif-derivatifnya; tingkat ke-2 dalam contoh di atas.

Linear: ODE berarti, bahwa eksponen tertinggi dari fungsi yang diperlukanadalah satu; yaitu sebuah OOE tingkat 1.

ODE homogsn berani fungsi paksa (forcing function),g(r) -

0.

ODE inhomogen berarti fungsi paksa, 4(r) = 0.Penyslesaian: y - y(x) dari ODE borani, bahwa fungsi ini dan derivatif-

derivatitnya memenuhi ODE.lntegrasi OOE menghasilkan penyelesaian itu.

Penyelesaian umum suatu ODE orde ke-n mengandung konstanta-konstantan Ct Cz .... Cn. Konstanta-konstanta ini. semata-mata ditentukan darikondisi-kondisi tapal b8tas.

y'(x) -

yi, .,. ytn-t)(x) - Yln-r)lntagral khas ODE adalah suatu penyelesaian khusus.

l4l6

jtl0lr0

111

112

113

dI

Id

I

115Ir0117

i18

PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial linear

Metodc PenYelesaian ODE

1 . Pindahkan ODE ke dalam salah satu bentuk standar yang terte-radalamJ6,J8...J12.

2. Penerapan metode khusus (lihat J pl.Dengan n'enggunakan metode ini ODE seringkali dapat diseder-h"nit"n ,^"ii-aAi ODE standar yang orde atau tingkatnya lebihrondah (lihat J 9 ... J 12)

3. Dengan cara pemindahan (transformasi). khususnyaLaplice-Transform lihat D 18 ..' D 20.

Pertamaan Diferensial Linear

B.ntuk: y@ + plx) y,,-t) + ... + pn-(x) y' + Pn6) y = SQe)'Oi sini y - y(r) adalah fungsi yang diminta. y' ... yl", derivatifke- 1hingga ka-n dari y(x) dan Plx) . . . Pn(x)adalah fungsi-fungsi darir.

Penyeloaalan darl ODE lnhomogon linoar.I=.Inomf.Ipart

Penyelesaian dari ODE homogen yno./tun ditentukan dcngan menempatkan fungsi paksa Ck) = O'Tiap ODE orde ke-a homogen linear memiliki',, penyelesaian-penyelesaian indopendsn linear y 1 y 2... yn dengan a konstantaindependen Ct . .. C".

)rrom = CrI(r) + C2y2G) + ... + Coynt)J 9 ... J 12 memberi penyelesaian untuk Persamaan DiferensialLinear orde ke-1 dan orde ke-2'

Penyelsaian khas dari ODE inhomogen yr.,1v--- ditantukan untuk q(x) + 0. J 3, J 6 dan J 7 mengarah-[5il"r" menemukan penyelesaian-penyelesaian' J 9 dan J-12membri penyelesaian untuk Persamaan Diferensial Linear or-de ke-l dan orde ke-2.

lls

i20

121

108

iII

I,

,

PERSAMAAN DTFERENSTALPersamaan diferensial linear Js

123

Penyelesaian khasPenentuan dengan menggunakan "Variasi konstanta" apabila)mm dari ODE orde ke-a linear telah terkenal (lihat j 2, i 20),rumusan berikut selalu mengarah ke suatu penyelesaian khas:

lpar,= c(x) Y, + C2$) lz +...+ cn\) Yn.Motode untuk menentukan c,1x1, C2ft) ..C^(x):

B6ntuklah persamaan-persamaan simultanci@) yt + c)(x) yz + ... + c;(x) yn = ociq) yi + ci@ yi + ... + c;(x) y;: oCi$) yr(n-zt + C)(x) yr{n-z) + ... + C;(x) ynb-2) : 0Ci6) y{r-r) + C)(x) yrtn-r) + ... + C;(r) y,,(^-t) = q(x)

Tentukan C1:, (r) untuki =1,2...n denganmenggunakansistem persamaan di atas.

lntegrasi Cl' (r) untuk I : 1, 2...n menghasilkan n;16;-n;16; C| (r)untuk penyelesaian ituContoh : Penyelesaian untuk .yp.rt dari ODE itu:

y"+ =LtMenurutr 121: )nom

: [:;::,"; :: ),i;='' rnr'r+c2

menggunakanyr (x) : ln lxll6n y2 g) = 1ttapkan )pan : C{x) yy + C2G) t2

menggunakan j 24 [ c;@) t"t*t + c)(x)'l = oIriet! +c!(x),o:2toleh karena ituCi(x)

- ?x2; Cik) = -2:2 lnkl

lntegrasi dati Cr (x) dan C2 $) memberikan:c(x) - lx,; c2g) = - {,, [r"r,r - ]]

Maka ! ptn = |rr 6nL.r - *1., :Penyelesaian umum:

./ : )nom * /psn - Cf lnEl 1' C, + |xt,Periksa: y'-A*lr, ,"--S

y"*{: -#***"\*\,-2,

124

I

J 26

dt_

L* T'

I33

134

PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial linear J+

ODE Linear Orde ke-1Bentuk: Y' + PG)Y = q(x).

Bentuk ini bersesuaian dengan J 2, j 1 5 untuk z = 1; derivatif di siniadalah y'. Penyelesaian-penyelesaian untuk y, yhom dan /parr dibe-rikandalamJ2danJ9.

Contoh: y' +{ = sinx y=)r'nom*}pandari i 110 p@ = + qG) = sin x.dari | 109 penyelesaian homogen adalah:

-fla,)hom = Cr e ', ' -- C, d'n''' = $. oengan c1 | o.dari | 110 penyelesaian khas adalah

/p"n = Jsin ' "lj1

o' o' u /l o'= Ji.in r.'n'''; d, d'n''' = Jl.in x ' x\dxI= lsinx-cosxx

.I = /nm * lpaa: ]{a, * rin.r) - cos r.Periksa: y' = -?1{-!9r{:1nr 1 5;6,

)'+i=sin.rC, ] o; c, ditentukan dengan menggunakbn kondisi tapal

- batas misalnyay(xJ = luntuk xo= ilZ

Maka: ,= #rr,+ sin|) - "os|.Memberikan: C, = t- l.

ODE Linear Orde ke-2Bontuk: ,', + plx) y'+p2@) y = q(x)

Bentuk ini bersesuaian dengan J2, j1 5, untuk n = 2; derivatif terting-gi adalah 1r'. Penyelesaian-penyelesaian untuk I, .Irrom dan yo"n di-berikandalamJ 11 danJ 12.

PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial linear Js

ODE orde ke-2 linear dengan koefisien-koefision konstanOleh sebab jenis ODE untuk soalsoal getaran (osilasi) sangat pen-ting, maka hal-hal khusus telah ditiniau.

Bontuk: y' + Zay' + bz y = q(x).a idan, adalah konstanta-konstanta + 0,Sk) adalah fungsi paksa

Penyelesaian umum, sesuai dengan J 2, J 16:! = lnomt lptn

Penyelesaian dengan lembab lebih / O.yt o. = Cr eeo+k), + Cr eGa-L)r

vr"n = 5# tsb-*t' q1l ax -_

e( o t)r 1.1,t rt, q1x) dr .l2k J"'Penyelesaian dengan lembab kritis: /

IPERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial linear

PERSAMAAN DIFERENSIALPersamaan diferensial linear

d&

i67

Cr e,+C2 e-r+{ + "ot2t-Cre,-

- C2 e-, + {cos zr = cos 2r

163

J64

l6s

J66

ODE orde ke-n linear dengan koelisien-koefisien konstantaBentuk: an.y@ + an-r.y(n-t) + ... + aty' + oSt = q(r).Penyelesaian dari ODE ke-n homogen dengan koefisien-koefisien ,

konstanta (q(x) = 0\.Tetapkan y = s',; y' = r'e"i ...y(n) = ,4'e',

Substitusi dalam O

1560_Kumpulan Rumus Teknik

Documents

Transcript of 1560_Kumpulan Rumus Teknik