153994792 4 Triangulacion Ppt
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Universidad Privada Antenor Orrego
Facultad de Ingeniería
Escuela Profesional de Ingeniería de Civil
DOCENTE:
Ing. Ms. Sc. ANAXIMANDRO VELÁSQUEZ DIAZ
TRUJILLO – PERÚ
2012-20
TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
DEFINICIÓN: es una red de apoyo, generada por una serie de triángulos en las cuales
uno o mas lados de un triangulo, son adyacentes de otro triángulo
TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
Es aquella que no se tiene en cuenta, la curvatura
terrestre, tanto en la medición de lados como en la
medición de los ángulos .
TRIANGULACIÓN
8
8
2020 AE
NM
D
M radiación
ANTECEDENTES
Terreno Pequeño:
PLANTEAMIENTO DE UNA
TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA
E3
E2
E1
B)
)2(180 ni
0Px
)2(180 ne 0Py
A) Poligonal cerrado
- T. Mediano:
- T. Gran Extensión:
H
F
D
B
C
A
E
En terrenos de gran extensión
La triangulación resulta ventajosa con respecto a la poligonación
principalmente en las regiones accidentadas y montañosos, ya que de
otro lado de la medición seria lenta y con dificultades.
TIPOS DE
TRIANGULACIÓN
A:400 – 625 Km2 (área) Topográfico
No se considera la C.T. (curvatura de la tierra)
A :+625 km2 Geodésico
Si se considera curvatura de la tierra
CD ,BC ,AB
C B, A, e
2, 1, i
BASE A
A
B
C
61
2
3
45
310
33 32Base de
comprobación
ELEMENTOS DE UNA TRIANGULACIÓN
Vértices A, B, C, D
Lados
De los lados de la triangulación se escoge el lado que ofrece mayores ventajas para medirlo
- Obstrucciones
- Poca pendiente
Ángulos
DE INICIO
D
BASE DE LA TRIANGULACIÓN
Es el lado de la triangulación cuya medición de su longitud
ha sido obtenida directamente en el campo.
Existe dos tipos de base:
La inicio de la triangulación (base de la triangulación)
La base de comprobación (base de cierre)
¿QUÉ FIGURAS GENERAN TRIÁNGULOS?
A B
C D
Cuadrilátero
A
B
C
D
E
F
Polígono de punto central ABCDE(F)
CANAL
Río
C. Triángulos:
A
BC
D
E
F
G
H
I
J
C. De cuadrilátero:
Radiación
Poligonacia
Triangulación
SÍMBOLOS
ELECCIÓN DE LA CADENA PARA
UNA TRIANGULACIÓN
Si bien en la practica no siempre es posible seguir o mantener una cadena de un
solo tipo de figura par elección de la cadena que mejor conviene tomar , tendrá en
cuenta los siguientes aspectos.
La triangulación formada por una cadena de triángulos , es de las mas sencillas ,
por cuanto que no requiere la medida de un elevado numero de ángulos , pero en
cambio requiere la medida e bases de comprobación , muchas veces es muy
cercanas unas a otras si se quiere llegar a una buena precisión
La triangulación por una cadena de cuadriláteros requiere un mayor número de
visuales pero brinda un mejor control de levantamiento principalmente en lo que a
precisión se refiere.
Triangulación formada por una cadena de polígonos con unto central requiere un
gran número de visuales y con las cadenas de cuadriláteros son las adecuadas
para levantamientos de gran precisión
TRABAJO DE CAMPO COMPRENDE
Reconocimiento del terreno
Ubicación de vértices y ubicación de la base.
Medición de la base de la triangulación.
Medición de los ángulos de la triangulación.
Medición de azimut de la base.
TRABAJO DE GABINETE, COMPRENDE:
1. Cálculo de longitud
2. Precisión de la triangulación
3. Compensación de figuras
4. Cálculo de la resistencia de la figura y selección del mejor camino de calculo
5. Calculo de azimut y rumbos del mejor camino del cálculo
6. Cálculos de la longitud de los lado de la triangulación
7. Cálculos de proyecciones de los lados
8. Calculo de coordenadas
9. Clasificación general de la triangulación ejecutada
10. Dibujo de la triangulación
El personal necesario para la medición es:
Dos cadeneros, uno de ellos tomara las tensiones
de mediciones
Dos lectores de las longitudes, uno de ellos colocara
las marcas
Un registrador de las temperaturas de medición
Un libretista
1. MEDICIÓN DE LA BASE DE LA TRIANGULACIÓN
EL EQUIPO NECESARIO ES :
Teodolito con trípode
Wincha de acero
Termómetro
Tensiómetro
Jalones
Nivel ingeniero con trípode y mira
MODELO DE REGISTRO CAMPO:
DESCRIPCIÓN PRIMERA MEDICIÓN
Tramo Apoyos Desnivel Longitud m T ªC P kg
A-2 A-1
2 - 4
4 - 6
…
CORRECCIONES SISTEMÁTICAS
Los datos de medición deberán estar exentos de toda posibilidad de errores groseros o equivocaciones vulgares. Los errores sistemáticos en una medición con wincha de acero son: error por dilatación de la wincha, error por catenaria, error por falta de horizontalidad, error por deformaciones por tención y error por calibramiento de la wincha y que se compara con un patrón que generalmente es una wincha o hilo invar. A cada uno de estos tipos de errores sistemáticos, corresponde su corrección, siendo: •C. por Temperatura
•C. por Catenaria
•C. por Horizontalidad
•C. por Tensión
•C. por Calibramiento
Corrección por temperatura:
: Corrección por temperatura. K: Coeficiente de dilatación de la wincha. L: Longitud del terreno medio. T: Temperatura del ambiente en el instante de la medición.
: Temperatura de calibramiento
Corrección por catenaria:
Cc : Corrección por catenaria
L: Longitud del terreno medio
W : Peso lineal de la wincha L : longitud entre apoyos
P : Tensión de medición
Corrección por horizontalidad:
: Corrección por horizontalidad
h : Desnivel entre estacas de apoyo
l : Longitud entre apoyos.
Generalmente se toma el primer termino de la formula anteriormente escrita, ya que para desniveles pequeños a partir del segundo término, la serie va tomando valores cada vez más pequeños. El signo de la corrección por falta de horizontalidad a aplicarse a toda medición, siempre es negativo, sea el desnivel positivo o no.
Corrección por tensión:
: Corrección por tensión
L : Longitud del tramo medio
P : Tensión por medición
: Tensión de calibramiento
S : Sección recta de la wincha
E : Modulo de elasticidad del acero
Corrección por calibramiento:
Luego de haber efectuado las correcciones anteriores, las winchas deben ser calibradas con una wincha patrón invar., y se determinara su verdadera magnitud.
SxE
PoPLxCp
)(
: Coeficiente de dilatación
: Sección recta de la wincha
Se ha realizado la medición de la base de triangulación AB. Las características de la wincha son
Resolver:
1. ¿Se pide calcular la longitud medida en el campo?
2. ¿Calcular la corrección sistemática?
3. ¿Calcular la longitud medida corregida?
SOLUCIÓN: a) Long. Medida en el campo:367.197
b) Corrección sistemática(Cs)
Cs= ∑Ct+∑Ch+∑Cp Cs= -9.7-39.6-29.3+23=-55.6mm= -0.0556m c) Longitud medida corregida.
L mc= 367.197-0.0556=367.1414
Longitud medida: 367.197m.
Corrección sistemática: -9.7-39.6-29.3+23.0 = -55.6mm Longitud corregida: 367.197-0.056 Longitud corregida: 367.141 mt.
La precisión de una triangulación depende del cuidado con que se haya medido la base y de la precisión en la lectura de los ángulos.
Los ángulos de cada triángulo deben sumar 180º ; debido a pequeños errores inevitables durante el proceso de medición esto no se logra exactamente y es así que se presenta un pequeño error en cada triangulo (cierre en ángulo).
º180
2. PRECISIÓN DE LA BASE DE TRIANGULACIÓN
La estimación de los errores accidentales, en conjunto y que inciden una medición, se realiza por fórmulas obtenidas por probabilidades, presentándose las que interesan a nuestro estudio.
Sean:n1, n2, n3,………nn, los valores de las longitudes medidas y calibradas de una base de triangulación, entonces:
VALOR MÁS PROBABLE DE LA BASE:
• Para igualdad de condiciones de medición está dado por la fórmula:
• n: número de mediciones
n
nnnnM n
........321
ERRORES RESIDUALES O DESVIACIONALES:
• Es la diferencia entre los valores de las mediciones y
la medida aritmética, así:
• V1 = n1 – M ; V3 = n3 – M
• V2 = n2 – M ; Vn = nn – M
MEDIA DE LOS ERRORES:
Es la media aritmética de los errores residuales, sin
tener en cuenta su signo:
n
vT
ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE UNA MEDICIÓN:
Está dado por la expresión:
1
2
n
vem
ERROR MEDIO CUADRÁTICO DE LA MEDIA ARITMÉTICA:
Está dado por la expresión:
1
2
nn
veM
ERROR MÁXIMO ADMISIBLE:
Denominado también error tenible, está dado por la
expresión:
mmáx ee 5.2
ERROR PROBABLE:
Se calculará por:
:Error medio cuadrático probable de una
medición cualquiera
: Error medio cuadrático probable de una
media
aritmética
mpm ee 6745.0
MpM ee 6745.0
ERROR RELATIVO:
• Existen diversos criterios en cuanto a la fórmula específica a utilizar, así:
• A fin de despejar posibles confusiones, se especifica la fórmula
usada.
M
ee
M
ee
M
ee
M
ee
pM
r
pm
rM
rm
r ,,,
Ejemplo:
• La medición de una base de triangulación ha dado
las siguientes mediciones corregidas
calibradas:526.178 m, 526.202 m, 526.163 m, 526.194
m. 526.170 m, 526.199 m, 526.169 m, 526.165 m:
Solución:
Medición Longitud m + V mm - V mm V2 mm2
1 526.178 2 4
2 526.202 22 484
3 526.163 17 289
4 526.194 14 196
5 526.170 10 100
6 526.199 19 631
7 526.169 11 121
8 526.165 15 225
n=8 4 209.440 55 55 2 050
mM 180.5268/440.4209
mmem 177/2050
mmemáx 40165.2
Valor máximo aceptable = 526.180 + 0.040 = 526.220 m
Valor mínimo aceptable = 526.180 - 0.040 = 526.140 m
526.180 526.220 526.140
• Dado que los valores de las mediciones se encuentran
comprendidos entre los valores máximos y mínimo
aceptables, proseguimos con el cálculo, caso contrario
debería procederse a la depuración de los valores que no se encuentran en el rango.
Para los errores relativos tomados:
ERROR REAL
000,30/1:,886,32
1
180.526
016.0tomaráseer
• ERROR PROBABLE:
000,45/1:,834.47
1
180.526
011.0tomaráseepr
011.0016.06745.0 xepm
3. Compensación
de Ángulos
Ecuación de Ángulos y ECUACIÓN DE LADO
Compensación de Ángulos:
• Los ángulos deben ser compensados
por ecuaciones de ángulo
Ecuaciones de Ángulo:
• CA = Nº - L + 1
• Donde:
o CA = Número de ecuaciones de Ángulo.
o Nº = Número de ángulos que conforman la figura o red.
o L = Número de líneas o lados de la figura o red.
FIGURAS MÁS
COMUNES
Triángulo •NOTACIÓN
•CA = 3 – 3 + 1 = 1
•La ecuación es: o (1) + (2) + (3) = 180º
1 2
3
E F
H
Cuadrilátero •NOTACIÓN •CA = 8 – 6 + 1= 3
• Las ecuaciones son:
o (1)+(2)+(3)+(4)+(5)+(6)+(7)+(8) =
360º
o (1)+(2)=(5)+(6)
o (3)+(4)=(7)+(8)
2
3 1
4 5
6
7
8
A B
D C
Polígono con Pto. Central •NOTACIÓN •CA = 12 – 8 + 1 = 5
•Las ecuaciones son:
o (41)+(42)+(42)+(44)=360 o (1)+(2)+(41)=180
o (3)+(4)+(42)=180
o (5)+(6)+(43)=180
o (7)+(8)+(44)=180
1 2 3
4 5
6 7
8
41
42 43
44
C D
E F
G
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Ángulos del Cuadrilátero
1 2
3
4 5 6
7
8 1 2
2 1
3
3
4 5 6
7
8 41 42
43 44
H
F E
D C
A B
G
[1] 45º12'10''
[2] 37º51'08''
[3] 51º04'06''
[4] 45º52'50''
[5] 36º19'21''
[6] 46º44'05''
[7] 47º50'20''
[8] 49º06'24''
Ángulos Polígono
1 2
3
4 5 6
7
8 1 2
2 1
3
3
4 5 6
7
8 41 42
43 44
H
F E
D C
A B
G
[1] 33º43'58''
[2] 36º40'10''
[3] 49º23'08''
[4] 41º28'04''
[5] 55º17'38''
[6] 56º00'03''
[7] 42º11'57''
[8] 45º15'26''
[41] 109º35'57''
[42] 89º08'50''
[43] 68º00'00''
[44] 92º32'51''
Ángulos del Triángulo
1 2
3
4 5 6
7
8 1 2
2 1
3
3
4 5 6
7
8 41 42
43 44
H
F E
D C
A B
G
[1] 62º27'15''
[2] 57º31'42''
[3] 60º00'48''
1 2
3
4 5 6
7
8 1 2
2 1
3
3
4 5 6
7
8
41 42
43 44
H
F E
D C
A B
G
Compensación por ecuación de
Angulo: Triangulo EHF
Compensación y análisis:
[1] 62º27'15'' + 00º00'05'' 62º27'20''
[2] 57º31'42'' + 00º00'05'' 57º31'47''
[3] 60º00'48'' + 00º00'05'' 60º00'53''
TOTAL 179º59'45'' 180º00'00''
180º00'00'' - 179º59'45'' 00º00'15''
Compensación por ecuación de Angulo: cuadrilátero ABCD
Procedimiento y Análisis :
Nº VALOR C IÁNGULO
CORREGIDOCII CIII
ÁNGULO
COMPENSADO
[1] 45º12'10'' - 03'' 45º12'07'' + 02'' 45º12'09''
[2] 37º51'08'' - 03'' 37º51'05'' + 02'' 37º51'07''
[3] 51º04'06'' - 03'' 51º04'03'' - 03'' 51º04'00''
[4] 45º52'50'' - 03'' 45º52'47'' - 03'' 45º52'44''
[5] 36º19'21'' - 03'' 36º19'18'' - 02'' 36º19'16''
[6] 46º44'05'' - 03'' 46º44'02'' - 02'' 46º44'00''
[7] 47º50'20'' - 03'' 47º50'17'' + 03'' 47º50'20''
[8] 49º06'24'' - 03'' 49º06'21'' + 03'' 49º06'24''
TOTAL 360º00'24'' - 24'' 360º00'00'' 00'' 00'' 360º00'00''
Procedimiento y Análisis :
[1] 45º12'10'' [5] 36º19'21'' DIFERENCIA 83º03'26'' - 83º03'18''
[2] 37º51'08'' [6] 46º44'05''
TOTAL 83º03'18'' TOTAL 83º03'26'' CII 08'' / 4 = 02''
[3] 51º04'06'' [7] 47º50'20'' DIFERENCIA 96º56'56'' - 96º56'44''
[4] 45º52'50'' [8] 49º06'24''
TOTAL 96º56'56'' TOTAL 96º56'44'' CIII 12'' / 4 = 03''
08''
12''
Compensación por ecuación de Angulo:
Polígono CDEF(G)
[41] 109º35'57'' + 04'' 109º36'01''
[42] 89º08'50'' + 04'' 89º08'54''
[43] 68º42'06'' + 04'' 68º42'10''
[44] 92º32'51'' + 04'' 92º32'55''
TOTAL 359º59'44'' + 16'' 360º00'00''
1º PASO
POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL CDEF(G) POR ECUACIÓN
DE ÁNGULOS
2º PASO
[1] 33º43'58'' [3] 49º23'08'' [5] 55º17'38'' [7] 42º11'57''
[2] 36º40'10'' [4] 41º28'04'' [6] 56º00'03'' [8] 45º15'26''
[41] 109º36'01'' [42] 89º08'54'' [43] 68º42'10'' [44] 92º32'55''
TOTAL 180º00'09'' TOTAL 180º00'06'' TOTAL 179º59'51'' TOTAL 180º00'18''
C. TOTAL - 09'' C. TOTAL - 06'' C. TOTAL 09'' C. TOTAL - 18''
Compensación por ecuación de Angulo: Polígono
CON PUNTO CENTRAL: CDEF(G)
C. TOTAL
I - 09'' [41] - 03'' [41] + 02'' [41] - 01'' [1] - 04'' [2] - 04''
II - 06'' [42] - 02'' [42] + 02'' [42] 00'' [3] - 03'' [4] - 03''
III + 09'' [43] + 03'' [43] + 02'' [43] + 05'' [5] + 02'' [6] + 02''
IV - 18'' [44] - 06'' [44] + 02'' [44] - 04'' [7] - 07'' [8] - 07''
TOTAL - 08'' + 08'' 00''
Corr. 1º T1º Tanteo CORRECCIONES POR ECUACIÓN ÁNGULO
3º PASO
ÁNGULOS COMPENSADOS
[1] 33º43'54''
[2] 36º40'06''
[3] 49º23'05''
[4] 41º28'01''
[5] 55º17'40''
[6] 56º00'05''
[7] 42º11'50''
[8] 45º15'19''
[41] 109º36'00''
[42] 89º08'54''
[43] 68º42'15''
[44] 92º32'51''
COMPENSACION POR ECUACIÓN DE LADO
•Con los valores de los ángulos compensados por las ecuaciones
de ángulo se calcula los valores de los logaritmos senos de los
ángulos , obteniéndose luego la suma de ellos , de acuerdo a la
condición de lado
• Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente
encontrada
• Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno
1”para los valores de los ángulos.
•La corrección se obtienen por división del valor de la diferencia de
las sumas de logaritmo seno , entre el valor de la suma de las
diferencias tabulares , siendo positiva para los ángulos cuya suman
de logaritmos seno fue menor siendo negativa apara los ángulos
cuya suma de logarítmica fue mayor
ECUACIÓN DE CONDICIÓN DE LADO
CL = Número de Ecuaciones de ángulo.
L = Números de líneas o lados
S = Número de estaciones o vértices
Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-
logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0
En toda figura geométrica cerrada ,e l número de ecuaciones de condición de lado que deben
cumplirse los ángulos de la misma , es:
3
1 2
3 2 1
8
4 5 6
7
41 42
43 44
CASO DEL TRIANGULO:
Cl=3-2(3)+3= 0
CASO DE UN POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL:
CL=8-2(5)+3=1
Siendo la ecuación:
Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-
logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0
CASO DEL CUADRILÁTERO:
Siendo la ecuación:
Logsen(1)+logsen(3)+logsen(5)+logsen(7)-logsen(2)-
logsen(4)-logsen(6)-logsen(8) = 0
CL=6-2(4)+3=1
3
1 2
6 5
4
43
44
41
42
4 5
3 2
7 6
8 1
H
F E
D C
B A
1
7
8 3 2
G
TRIANGULACIÓN TOPOGRÁFICA:
POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL
TRIÁNGULO
CUADRILÁTERO
Para una cadena de triángulos con base de
comprobación
A C
B D F
H
G E
b
A6 A4
A3
A2
A1 A5 B5
B4
B3
B2
B1
B6
C6
C1 C5
C4 C2
C3 GH = b´ base de comprobación
Log b + Log Sen (B1) + Log Sen (B2) + Log Sen (B3) + Log Sen (B4) + Log Sen (B5)
+ Log Sen (B6) - Log b’- Log Sen (A1) - Log Sen (A2) - Log Sen (A3) - Log Sen (A4) -
Log Sen (A5) - Log Sen (A6) = 0
AB =Base de la
triangulación
A
1
C D
2 3
4 5
8
7 6
7
3
2
2 1
1
2 4
3
43
41
44 42
EJEMPLO :
ÁNGULOS COMPENSADOS DEL
CUADRILÁTERO ABCD G
ÁNGULOS COMPENSADOS DEL
POLÍGONO CDEF (G) E
H
F
B
[1] 33º43'54''
[2] 36º40'06''
[3] 49º23'05''
[4] 41º28'01''
[5] 55º17'40''
[6] 56º00'05''
[7] 42º11'50''
[8] 45º15'19''
[41] 109º36'00''
[42] 89º08'54''
[43] 68º42'15''
[44] 92º32'51''
45º12'09''
37º51'07''
51º04'00''
45º52'44''
36º19'16''
46º44'00''
47º50'20''
49º06'24''
ÁNGULOS COMPENSADOS DEL
TRIÁNGULO EFH
62º27'20''
57º31'47''
60º00'53''
Compensación por ecuación de lado
1° Se trabaja con los ángulos compensados por las ecuaciones de ángulos se calcula los valores de los
Logaritmos Senos de los ángulos, obteniéndose luego la suma de ellos, de acuerdo a la condición de
lado.
2° Se calcula la diferencia de valores en la suma anteriormente encontrada.
3° Se calcula la suma de las diferencias tabulares en el logaritmo seno l” para los valores de los ángulos.
4° La ecuación se obtiene por división del valor de la diferencia de las sumas Logaritmos Seno, entre el valor
de la suma de las diferencias tabulares; siendo positiva para los ángulos cuya suma de logaritmos seno
fue menor y siendo negativa para los ángulos cuya suma de logaritmos fue mayor.
1° Calculamos los valores de Logaritmos Senos :
Del cuadrilátero ABCD
2° Luego se calcula la diferencia de valores de las sumas de LogSen(-) – LogSen(+) = Ῑ.384663 - Ῑ.384445 = 218 (unidades del 6° orden décimal)
[1] LOGSEN 45º12'09'' + 1
[2] LOGSEN 37º51'07'' + 1
[3] LOGSEN 51º04'00'' + 1
Ῑ. 851015
Ῑ. 787902
Ῑ. 890911
=
=
=
Ejemplo: Del cuadrilátero ABCD
[1] 45º12'09''
[2] 37º51'07''
[3] 51º04'00''
[4] 45º52'44''
[5] 36º19'16''
[6] 46º44'00''
[7] 47º50'20''
[8] 49º06'24''
TOTAL 360º00'00''
Nº
VALOR DE
ÁNGULO
COMPENSADO+ -
Ῑ. 851015
Ῑ. 787902
Ῑ. 890911
Ῑ. 856046
Ῑ. 772549
Ῑ. 862234
Ῑ. 869971
Ῑ. 878481
Ῑ. 384446 Ῑ. 384663
LOGSEN
2.09
2.71
1.70
2.04
2.86
1.98
1.91
1.82
17.12
D''
+ 13''
- 13''
+ 13''
- 13''
+ 13''
- 13''
+ 13''
- 13''
C IV
45º12'22''
37º50'54''
51º04'13''
45º52'31''
36º19'29''
46º43'47''
47º50'33''
49º06'11''
360º00'00''
ÁNGULO
COMPENSADO
1° paso :
1: Log sen (33º43’54”) = -0.255469 = -0.255469+1 = Ῑ.744531
2 :Log sen (36º40’06”) = -0.223893 = -0.223893+1 = Ῑ.776107
2° paso : Tomamos los 4 últimos dígitos:
7080-6913=167
3° paso :diferencia tabular
1: Log sen (33º44’54”)= -0.255280 + 1 = Ῑ.744720
Log sen (33º43’54”)= -0.255469 + 1 = Ῑ.744531
189/60 = 3.15
4° paso : la corrección :
167 / 17.45 = 9.87” =10”
Del Polígono CDEF (G)
Ejemplo: Del Polígono CDEF (G)
[1] 33º43'54''
[2] 36º40'06''
[3] 49º23'05''
[4] 41º28'01''
[5] 55º17'40''
[6] 56º00'05''
[7] 42º11'50''
[8] 45º15'19''
TOTAL 360º00'00''
NºÁNGULOS
COMPENSADOS+ -
Ῑ. 744531
Ῑ. 776107
Ῑ. 880298
Ῑ. 820981
Ῑ. 914919
Ῑ. 918581
Ῑ. 827165
Ῑ. 851411
Ῑ. 366913 Ῑ. 367081
LOGSEN
3.15
2.83
1.81
2.38
1.46
1.42
2.32
2.09
17.46
D''
+ 10''
- 10''
+ 10''
- 10''
+ 10''
- 10''
+ 10''
- 10''
C IV
33º44'04''
36º39'56''
49º23'15''
41º27'51''
55º17'50''
55º59'55''
42º12'00''
45º15'09''
360º00'00''
ÁNGULO
COMPENSADO
4. RESISTENCIA O CONSISTENCIA DE FIGURAS
EL PARÁMETRO QUE VALORA LA BONDAD DE PRECISIÓN DE LAS FIGURAS DE UNA
TRIANGULACIÓN ES EL COEFICIENTE DENOMINADO RESISTENCIA DE FIGURA, CUANDO MENOR SEA EL
VALOR DE LA RESISTENCIA, LA FIGURA ES DE MEJOR PRECISIÓN.
LA FÓRMULA A CALCULAR LA RESISTENCIA DE FIGURA ES:
R = D – C ∑ ( dA2 + dAdB + dB
2 )
D
EN DONDE:
R: Resistencia de figura.
D: Numero de nuevas direcciones observadas en la figura o red.
C: Número total de ecuaciones de condición ( C= CA + Cl )
dA: Diferencia tabular del logaritmo seno 1’’ del angulo opuesto al
lado conocido, expresada en unidades del 6º orden decimal.
dB: Diferencia tabular del logaritmo seno 1’’ del angulo opuesto al
lado por calcular, expresada en unidades del 6º orden decimal.
D=(L-1) x 2
CA=n+L+1
CL=L+2S+3
CL=L+2S+3
CL=L+2S+3
C=CA+CL n: número de ángulos
L: número de lados
S: número de vértices
El factor (da2 + dadb + db
2 ) realizara la selección del mejor camino de cálculo
de la triangulación, tomándose aquel cuyo valor es el menor.
VALORES MÁXIMOS RECOMENDADOS PARA LA RESISTENCIA DE
FIGURAS
DESCRIPCIÓN 1º
ORDEN 2º
ORDEN 3º
ORDEN
FIGURA SIMPLE INDEPENDIENTE:
DESEABLE
MÁXIMO
15
25
25
40
25
50
RED ENTRE BASES
DESEABLE
MÁXIMO
80
100
100
130
125
175
A B
C D
E F
G
H
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
8
5
5 6
6
7
7
8
FIGURA 1:
4-1 4-2
4-3 4-4
CUADRILATERO POLIGONO
TRIANGULO
[1] 45º12'22''
[2] 37º50'54''
[3] 51º04'13''
[4] 45º52'31''
[5] 36º19'29''
[6] 46º43'47''
[7] 47º50'33''
[8] 49º06'11''[41] 109º36'00''
[42] 89º08'54''
[43] 68º42'15''
[44] 92º32'51''
[1] 33º44'04''
[2] 36º39'56''
[3] 49º23'15''
[4] 41º27'51''
[5] 55º17'50''
[6] 55º59'55''
[7] 42º12'00''
[8] 45º15'09''
[1] 62º27'20''
[2] 57º31'47''
[3] 60º00'53''
EJEMPLO:
Para la triangulación de la figura 1, llevar a cabo la evaluación de
la resistencia de figuras, así como indicar cual debe ser el camino
de cálculo de lados de proyecciones.
TRIANGULACIÓN
TOTAL23 17 12 9 2 11 28 1.92
1CUADRILÁTERO 8 6 4 3
12 8 5 5 1
1 4 0.75
4 10 0.60
6 14
D FACTOR
POLÍGONO
TRIÁNGULO
n L S CA CL C
0.57
3 3 3 1 0
CÁLCULO DE LOS FACTORES:
D – C
D
CÁLCULO DE FACTORES:
(d2A + dAdB + d2
B)
*CUADRILÁTERO:
EN TODO CUADRILÁTERO CON DOS DIAGONALES,
EXISTE LA POSIBILIDAD DE EJECUTAR EL
CÁLCULO DE LOS LADOS MEDIANTE CUATRO (4)
CAMINOS DE CÁLCULO, SIENDO ESTOS:
-CAMINO I :
d245º53´
+ d45º53´ d88º55´ + d288º55´
d294º34´ + d94º34´ d49º06´ + d2
49º06´
4
3+2
6+7
A B
C D
8
2.03 ^2 + 2.03 x 0.05 + 0.05 ^2 = 4.24
1.82 ^2 + 1.82 x -0.17 + -0.17 ^2 = 3.03
TOTAL
7.26
-CAMINO II :
A B
C D 4+5
3 1+8
7 d2
47º51´ + d47º51´d94º19´ + d294º19´
d282º12´ + d82º12´d51º04´ + d2
51º04´
1.90 ^2 + 1.90 x -0.17 + -0.17 ^2 = 3.32
1.70 ^2
+ 1.70 x 0.28 + 0.28 ^2
= 3.45
SUMA
6.77
-CAMINO III:
A B
C D
1
4 6
3
d245º53´ + d45º53´d45º12´ + d2
45º12´
d246º44´ + d46º44´d51º04´ + d2
51º04´
2.08 ^2 + 2.08 x 2.03 + 2.03 ^2 = 12.71
1.70 ^2 + 1.70 x 1.98 + 1.98 ^2 = 10.20
SUMA
22.91
-CAMINO IV:
En consecuencia el mejor camino de cálculo en el cuadrilátero ABCD será el camino II.
El camino IV es el camino más desfavorable para el cálculo de los lados.
A B
C D
2
5 7
8
d247º51´ + d47º51´d37º51´ + d2
37º51´
d236º19´ + d36º19´d49º06´ + d2
49º06´
2.70 ^2 + 2.70 x 1.90 + 1.90 ^2 = 16.03
2.87 ^2 + 2.87 x 1.82 + 1.82 ^2 = 16.73
SUMA
32.76
*POLÍGONO:
EN TODO POLÍGONO CON PUNTO CENTRAL EXISTE
LA POSIBILIDAD DE CÁLCULO POR DOS CAMINOS,
EN UNO Y OTRO SENTIDO RESPECTO DEL VÉRTICE
CENTRAL, PARA EL CASO QUE NOS OCUPA SE TIENE:
-CAMINO I:
C D
F
G
6
4
43
3 41
1
E d2
109º36´ + d109º36´d33º44´ + d233º44´
d241º28´ d41º28´d49º23´ + d2
49º23´
d256º00´ + d56º00´d68º42´ + d68º42´
3.15 ^2
+ 3.15 x -0.75 + -0.75 ^2
= 8.12
1.80 ^2
+ 1.80 x 2.38 + 2.38 ^2
= 13.21
0.82 ^2 + 0.82 x 1.42 + 1.42 = 3.83
SUMA
25.16
EN CONCLUSIÓN EL CAMINO II, ES EL MEJOR CAMINO DE CALCULO, AUNQUE EL CAMINO I
PODRIA SER TOMADO TAMBIEN COMO CAMINO DE CALCULO YA QUE LOS VALORES NO
DIFIERON SUSTANCIALMENTE EN NADA.
-CAMINO II:
C
E F
D
G
5
43
41
2 8
7
d2109º36´ + d109º36´d36º40´ + d2
36º40
d242º12´ + d42º12´d45º15´ + d2
45º15´
d255º18´ + d55º18´d68º42´ + d68º42´
2.83 ^2 + 2.83 x -0.75 + -0.75 = 6.47
2.32 ^2 + 2.32 x 2.08 + 2.08 = 14.53
1.47 ^2 + 1.47 x 0.82 + 0.82 = 4.02
SUMA
25.01
*TRIANGULO:
EL MEJOR CAMINO ES EL I.
-CAMINO I:
-CAMINO II:
d262º28´ + d62º28´d60º01´ + d2
60º01´
3
3
E
F
H
E
F
H
1
2
d260º01´ + d60º01´d57º32´ + d2
57º32´
1.10 ^2 + 1.10 x 1.22 + 1.22 = 4.03
1.33 ^2 + 1.33 x 1.22 + 1.22 = 4.88
*TRIANGULACIÓN TOTAL:
CUAD. POL. TRIA. TOTAL
MIN 6.77 25.01 4.03 35.82
MAX 32.88 25.16 4.88 62.92
EN CONCLUSIÓN LOS VALORES MÍNIMOS Y MÁXIMOS
DE LA RESISTENCIA DE FIGURAS
FACTOR MÍN MAX RESISTENCIA MÍN RESISTENCIA MAX
CUADRILÁTERO 0.60 6.77 32.88 4.06 19.73
POLÍGONO 0.57 25.01 25.16 14.29 14.38
TRIÁNGULO 0.75 4.03 4.88 3.02 3.66
TRIANGULACIÓN
TOTAL1.92 35.82 62.92 68.82 120.90
EL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO ES:
BA, AD, DC, DG, GF, FE, EH
5. Azimut y
Rumbo
La dirección de los alineamientos en topografía se dan en función del ángulo que se forma con el meridiano de referencia y puede ser de dos tipos: azimut o rumbos.
Azimut
• Es el ángulo horizontal medido en
el sentido de las manecillas del reloj a
partir del extremo superior de un
meridiano, conocido comúnmente como
NORTE, hasta el alineamiento respectivo.
Su valor puede estar entre 0 y 360° en el
sistema sexagesimal.
Norte
Z°
90°
180°
270°
(0°-360°)
Rumbo
• Es el ángulo horizontal con respecto al meridiano de referencia, medido con la línea de los extremos norte (N), sur (S), este (E) u oeste (W), según la orientación que tenga dicho alineamiento. Se expresa como un ángulo entre 0 a 90°, indicando el cuadrante en el cual se encuentra situado.
N
N R° W
S
EW
Contrazimut de un Alineamiento El contrazimut de un alineamiento es el azimut observado desde el otro extremo del mismo.
En la Figura se ilustran un caso posible que se pueden presentar. Como se puede deducir, el
contrazimut de un lineamiento se puede calcular por la siguiente expresión:
Contrazimut de un alineamiento = Azimut del alineamiento ± 180°.
Se aplica el signo (+) si el azimut del alineamiento es menor a 180° y el signo (-) si el azimut
es igual o mayor de 180°.
N
Z°C
Z°
N
Contrarumbo o rumbo inverso de un alineamiento El contrarumbo de un alineamiento es el rumbo de ese alineamiento medido en sentido contrario.
En la Figura se ilustra un caso posible. Se deduce fácilmente que el contrarumbo de un
lineamiento, tiene el mismo valor numérico que su rumbo, pero cuadrante opuesto. Son
cuadrantes opuestos el NW con el SE.
N
N
E
S
W
W E
S
N 70° WS 7
0° E
Valor del Azimut Valor del Rumbo
Az° = 0° = 360° Norte (N)
0° < Az° <90° N Az° E
Az° = 90° Este (E)
90° < Az° < 180 S (180-Az°) E
Az° = 180° Sur (S)
180°< Az° < 270° S (Az°-180) W
Az° = 270° Oeste (W)
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W
Conversión de Azimut a
rumbos
CALCULO DEL AZIMUT Y RUMBOS DEL MEJOR CAMINO DE CÁLCULO DE LA
TRIANGULACION
• Ejemplo:
• Calcular los azimut y rumbos del mejor camino de
cálculo para la triangulación de la figura
• Azimut:
• Z AB = 103°20’14’’
Con los valores de los ángulos corregidos por ecuaciones de condición de ángulo y lado y según el mejor camino de cálculo para la triangulación, se procede al cálculo de los azimut y rumbos de dicho camino.
A
D
C
G
F
H
E
1
23
4 5
67
81
2
342
45
6
43
4441
2
3
1
8
7
NM
103°2
0'1
4''
A
B
D
C
G
F
H
E
1+8
2
3
4+5
6
7
2
3
1
81
2
342
45
6
43
44
41
7
RESISTENCIA DE FIGURAS
MEJOR CAMINO DE CALCULO
H
E F
C D
A B
G
2
6’
44
1
6
2’
90° < Az° < 180° S (180°-Az°) E
0° < Az° < 90° N (Az°) E
ZAB 103º20'14''
RAB 180º00'00'' - ZAB
180º00'00'' - 103º20'14'' = S 76º39'46'' E
ZAD = ZAB - 2
103º20'14'' - 37º50'54'' = 65º29'20''
RAD = ZAD = N 65º29'20'' E
A
D
G
C
CZ A
D
(6)
(1)
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W
ZDC = 180º00'00'' + ZAD + 6
180º00'00'' + 65º29'20'' + 46º43'47'' = 292º13'07''
RDC = 360º00'00'' - ZDC
360º00'00'' - 292º13'07'' = N 67º46'53'' O
ZDG = 180º00'00'' + ZAD + 6 + 1
180º00'00'' + 65º29'20'' + 46º43'47'' + 33º44'04'' = 325º57'11''
RDG = 360º00'00'' - ZDG
360º00'00'' - 325º57'11'' = N 34º02'49'' O
CZ
DG
G
F
D
(44)
0° < Az° < 90° N (Az°) E
ZGF = ZDG - 180º00'00'' - 44
325º57'11'' - 180º00'00'' - 92º32'55'' = 53º24'16''
RGF = ZGF = N 53º24'16'' E
G
F
E
(6)
CZ G
F
270 < Az° < 360° N (360-Az°) W
ZFE = ZGF + 180º00'00'' + 6
53º24'16'' + 180º00'00'' + 55º59'55'' = 289º24'11''
RFE = 360º00'00'' - ZFE
360º00'00'' - 289º24'11'' = N 70º35'49'' W
F
H
E
CZ F
E (2)
0° < Az° < 90° N (Az°) E
ZEH = ZFE - 180º00'00'' - 2
289º24'11'' - 180º00'00'' - 57º31'47'' = 51º52'24''
REH = ZEH = N 51º52'24'' E
A B
C D
E F
G
H
1 2
3
4 5 6
7
8
1 2
3
4 5 6
7
8
41
42
43
44
1 2
3
6. CALCULO DE LAS LONGITUD DE LOS LADOS
MEJOR CAMINO
A B
C
D
G
F E
H
A B
C
Sen
C
Sen
B
Sen
A
LEY DE SENOS
Triangulación
=
BC =
BC =
BC = 496,554.
4Sen
AB
)(Sen
BC
23
4
23
Sen
AB)(Sen
)"'(Sen
).)('"(Sen
315245
503336075588
A B
C
1 23
4
8Sen
CD
)76( Sen
BC
)(Sen
BCSenCD
76
8
)"33'5047"47'4346(
)"11'0649)(554,496(
Sen
SenCD
203494
554496110649
'Sen
),)("'(SenCD
538376,CD
CALCULO DE LAS LONGITUDES DE LOS LADOS.
El cálculo de las longitudes de los lados se realiza aplicando la formula de la ley de
senos para un triangulo.
Ejemplo:
Calcular los lados del mejor camino de calculo en la triangulación en estudio.
LADO AB 356.503
LADO AD 356.503 (SEN 94º18'33'' / SEN 47º50'33'' ) = 479.555
LADO DC 479.555 (SEN 51º04'13'' / SEN 82º12'00'' ) = 376.538
LADO DG 376.538 (SEN 36º39'56'' / SEN 109º36'00'' ) = 238.676
LADO GF 238.676 (SEN 45º15'09'' / SEN 42º12'00'' ) = 252.355
LADO FE 252.355 (SEN 68º42'15'' / SEN 55º17'50'' ) = 285.998
LADO EH 285.998 (SEN 62º27'20'' / SEN 60º00'53'' ) = 292.766
7. CALCULO DE LA PROYECCION DE LOS LADOS DE LA TRIANGULACION
Conocidos los valores de las longitudes de los lados así como los valores de los rumbos de
cada uno de ellos se procede al cálculo de proyecciones empleando la formula conocida.
Proyección en X = Lado * Seno Rumbo.
Proyección en Y = Lado * Coseno Rumbo
Ejemplo:
Lado Longitud Rumbo Lado Proyección X Proyección Y
LADO AB
LADO AD
LADO DC
LADO DG
LADO GF
LADO FE
LADO EH
479.555
376.538
238.676
252.355
285.998
292.766
356.503 S 76º39'46'' E
N 65º29'20'' E
N 67º46'53'' O
N 34º02'49'' O
N 53º24'16'' E
N 70º35'49'' O
N 51º52'24'' E
Px
Py
X
Y
CALCULO DE LAS PROYECCIONES DEL LADO AB
Px = 356.503 Sen 76° 39’ 46”
Px = 346.888
Py = 356.503 Cos 76° 39’ 46”
Py = -82.234
A
B
Py
Px
Py
76°39’46”
N
E O
S
LONGITUD0 RUMBO LADO PROYECCION X PROYECCION Y
DC 238,678 N 34° 02’ 50” - 133,630 197,763
PROYECCION:
PROYEC X=L Sen Rumbo
PROYEC X=238,678 Sen 34°02’50”
PROYEC X= -133,60 (Es negativo por estar en ese cuadrante)
PROYECCION Y=LCosRumbo
PROYEC Y=238,678 Cos 34°02’50”
PROYEC Y=197,763
N
S
DC
E O
LONGITUD RUMBO
252,359 N 53°24’19”
PROY X=L Sen RUMBO
PROY X= 252,359 Sen 53°24’19”
PROY = 202.61 M
LADO CF N
S
O E
F
C
LADO BC
Datos = BC=496.554
Rumbo=N 31° 27’ 24” 0
Px= Lado BC * SeN 31° 27’ 24”
Px= -496.554 *Sen 31° 27’ 24”
Px= -259.128
PY=Lado BC * Cos 31°27’24”
PY= +496.554 * Cos 31°27’24”
PY= +423.578
=(31°27’24”)
O E
N
Px
Y
X
PROYECCIONES DE LOS LADOS EN LA TRIANGULACIÓN
LADO RUMBO
AB S 76º39'46'' E
AD N 65º29'20'' E
DC N 67º46'53'' O
DG N 34º02'49'' O
GF N 53º24'16'' E
FE N 70º35'49'' O
EH N 51º52'24'' E
LONGITUD X Y
356.503 346.888 -82.239
479.555 -436.338 198.953
376.538 348.579 -142.385
238.676 -133.628 197.762
252.355 202.606 150.444
285.998 -269.754 95.012
292.766 230.304 180.754
PROYECCIONES
8. CALCULO DE COORDENADAS
DE UNA TRIANGULACIÓN
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
Se llama coordenadas geográficas a las líneas imaginarias que cruzan la
superficie de la tierra en dirección horizontal y vertical.
El Ecuador, Meridianos y Paralelos forman la red de coordenadas
geográficas que se utilizan en planos, mapas, globos terrestres para
determinar los distintos puntos de la tierra y la distancia que miden entre
ellos.
a) LONGITUD: Es la distancia de arco que se mide a partir del meridiano de
GreenwiCh y puede ser Este u Oeste máximo 180°.
b) LATITUD: Es la distancia de arco que mide a partir del plano del Ecuador y
puede ser Norte o Sur máximo 90°.
LATITUD
LONGITUD ECUADOR
MERIDIANO DE
GREENWISH
MERIDIANO
LATITUD
LONGITUD
El mejor camino del calculo será: AB – AD; DC; DG; GF; FE; EH
H
E
C
A
F
D
B
G
CALCULO DE COORDENADAS DE LOS VÉRTICES
VÉRTICE ABSCISAS ORDENADAS
A 8134.601 7267.924
346.888 -82.239
B 8481.489 7185.685
A 8134.601 7267.924
-436.338 198.953
D 7698.263 7466.877
348.579 -142.385
C 8046.842 7324.492
D 8046.842 7324.492
-133.628 197.762
G 7913.214 7522.254
202.606 150.444
F 8115.820 7672.699
-269.754 95.012
E 7846.066 7767.711
230.304 180.754
8076.370 7948.465
DIBUJO DE LA TRIANGULACIÓN
1.- Seleccione la escala adecuada de dibujo para la
triangulación
La selección de la escala de un plano o mapa
depende del propósito, tamaño y de la precisión
exigida del dibujo terminado, las dimensiones
estándares de las hojas, y el tipo y la cantidad de
símbolos topográficos a utilizar.
La escala de expresa de dos maneras :
1. Por una relación o fracción representativa, como por ejemplo: 1: 2000 ó 1/2000.
2. Gráficamente, consiste en dibujar la escala grafica en una línea sobre el plano, subdividida en distancias que correspondan a determinado numero de unidades en el terreno.
las escalas graficas serán sujetas a error pues el papel se alarga o encoge con los cambios de temperatura y humedad, por tanto, es conveniente indicar ambas escalas.
Escala grafica
2.- Trace
correctamente el
sistema de
coordenadas
Para trazar las coordenadas, la hoja del
plano se extiende precisamente sobre una
retícula de cuadrados unitarios de tamaño
apropiados ,dependiendo de la escala pueden
representar 100,200,300,400 , etc. metros el
trazo se realiza con una punta de trazo fino
ejemplo.
Existen dos tipos de coordenadas:
Coordenadas relativas: que son las coordenadas
dadas arbitrariamente y que pueden ser de
distinta denominación tanto para x como para y
Coordenadas geográficas:
que son las coordenadas dadas por un sistema
electrónico o satelital tales como los GPS donde se
puede ubicar las coordenadas con precisión en el
globo terrestre
3.- No es necesario ejecutar el trazado de toda la
cuadricula del sistema de coordenadas, basta que
se señalen las intersecciones de la
cuadricula mediante pequeños cruces
4.- Enumere correctamente los
valores del sistema de
coordenadas, tal numeración
solo debe realizarse en la
parte perimétrica de la lamina
de dibujo
5.- Se ubica las estaciones
con el valor de las
coordenadas y o
proyecciones
6.- empleo de la
simbología especifica
para cada caso
7.-Toda lamina debe llevar
indicado tanto la escala
numérica como la escala
grafica, las mismas que
deben encontrarse juntas