Edwin Fabián Parada Arévalo Jeimy Catherinne Pardo Pachón 1002.
15 Raúl Pachón
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Transcript of 15 Raúl Pachón
Simposio de Topologıa Carlos Javier Ruiz Salguero
Universidad Nacional de ColombiaBogota, enero 24, 25 y 26 de 2013
A la memoria del Dr. Ruiz
Una nota acerca de la complementacion en el
retıculo de topologıas
Nestor Raul Pachon Rubiano
Escuela Colombiana de Ingenierıa Julio Garavito
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Algunos antecedentes
1 Hartmanis demostro que el retıculo de topologıas en unconjunto finito X es complementado, verificando que si Xtiene n ≥ 2 elementos entonces toda topologıa propia(distinta de la topologıa discreta y de la grosera) tiene almenos n− 1 complementos.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Algunos antecedentes
1 Hartmanis demostro que el retıculo de topologıas en unconjunto finito X es complementado, verificando que si Xtiene n ≥ 2 elementos entonces toda topologıa propia(distinta de la topologıa discreta y de la grosera) tiene almenos n− 1 complementos.
2 Gaifman demostro que este retıculo es complementado si elconjunto X es contable, demostrando que si toda topologıaT1 en X tiene un complemento entonces toda topologıa en elconjunto X tiene un complemento.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Algunos antecedentes
1 Hartmanis demostro que el retıculo de topologıas en unconjunto finito X es complementado, verificando que si Xtiene n ≥ 2 elementos entonces toda topologıa propia(distinta de la topologıa discreta y de la grosera) tiene almenos n− 1 complementos.
2 Gaifman demostro que este retıculo es complementado si elconjunto X es contable, demostrando que si toda topologıaT1 en X tiene un complemento entonces toda topologıa en elconjunto X tiene un complemento.
3 Steiner demostro que el retıculo de topologıas sobre unconjunto infinito arbitrario es complementado.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Algunos antecedentes
1 Hartmanis demostro que el retıculo de topologıas en unconjunto finito X es complementado, verificando que si Xtiene n ≥ 2 elementos entonces toda topologıa propia(distinta de la topologıa discreta y de la grosera) tiene almenos n− 1 complementos.
2 Gaifman demostro que este retıculo es complementado si elconjunto X es contable, demostrando que si toda topologıaT1 en X tiene un complemento entonces toda topologıa en elconjunto X tiene un complemento.
3 Steiner demostro que el retıculo de topologıas sobre unconjunto infinito arbitrario es complementado.
4 Mas recientemente, Schnare demostro que toda topologıa paraun conjunto infinito X, distinta de la grosera y de la discreta,tiene al menos card(X) complementos y a lo mas 22
car(X)
complementos, y que estas cotas son las mejores posibles.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Un resultado motivador
Un resultado del trabajo de Schnare nos llamo particularmente laatencion fue el siguiente:
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Un resultado motivador
Un resultado del trabajo de Schnare nos llamo particularmente laatencion fue el siguiente:
Toda ultratopologıa para un conjunto infinito X tiene exactamente22
car(X)complementos y 2card(X) complementos principales.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Un resultado motivador
Un resultado del trabajo de Schnare nos llamo particularmente laatencion fue el siguiente:
Toda ultratopologıa para un conjunto infinito X tiene exactamente22
car(X)complementos y 2card(X) complementos principales.
Lo que nos intereso de este resultado es que las ultratopologıas sontopologıas ordinables.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Un resultado motivador
Un resultado del trabajo de Schnare nos llamo particularmente laatencion fue el siguiente:
Toda ultratopologıa para un conjunto infinito X tiene exactamente22
car(X)complementos y 2card(X) complementos principales.
Lo que nos intereso de este resultado es que las ultratopologıas sontopologıas ordinables.
Naturalmente que nos preguntamos por la cardinalidad delconjunto de complementos de una topologıa ordinable sobre unconjunto infinito, y el proposito de la exposicion es presentarrespuestas parciales para la misma, que generalizan el resultado deSchnare.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Elementos ordinables en conjuntos ordenados
Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Mediante unproceso de derivacion de Cantor, asociamos a cada numero ordinalα un subconjunto (A,≤)α de A, al que llamaremos el nivel α de(A,≤), de la siguiente manera:
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Elementos ordinables en conjuntos ordenados
Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Mediante unproceso de derivacion de Cantor, asociamos a cada numero ordinalα un subconjunto (A,≤)α de A, al que llamaremos el nivel α de(A,≤), de la siguiente manera:
(A,≤)0 es el conjunto de elementos maximales de (A,≤).
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Elementos ordinables en conjuntos ordenados
Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Mediante unproceso de derivacion de Cantor, asociamos a cada numero ordinalα un subconjunto (A,≤)α de A, al que llamaremos el nivel α de(A,≤), de la siguiente manera:
(A,≤)0 es el conjunto de elementos maximales de (A,≤).
Si α > 0, (A,≤)α es el conjunto de elementos maximales delconjunto A\
⋃
β<α
(A,≤)β , con el orden inducido de ≤.
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Elementos ordinables en conjuntos ordenados
Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Mediante unproceso de derivacion de Cantor, asociamos a cada numero ordinalα un subconjunto (A,≤)α de A, al que llamaremos el nivel α de(A,≤), de la siguiente manera:
(A,≤)0 es el conjunto de elementos maximales de (A,≤).
Si α > 0, (A,≤)α es el conjunto de elementos maximales delconjunto A\
⋃
β<α
(A,≤)β , con el orden inducido de ≤.
Un elemento a ∈ A sera llamado ordinable si existe un ordinal α(necesariamente unico) tal que a ∈ (A,≤)α.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Los elementos ordinables del retıculo de topologıas estancaracterizadas por el siguiente teorema.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Los elementos ordinables del retıculo de topologıas estancaracterizadas por el siguiente teorema.
Teorema 1
Si Φ ∈ Top(X) entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:
1 Φ es ordinable en (Top(X),⊆)
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Los elementos ordinables del retıculo de topologıas estancaracterizadas por el siguiente teorema.
Teorema 1
Si Φ ∈ Top(X) entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:
1 Φ es ordinable en (Top(X),⊆)
2 La coleccion de ultratopologıas para X que contienen a Φ esfinita.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Los elementos ordinables del retıculo de topologıas estancaracterizadas por el siguiente teorema.
Teorema 1
Si Φ ∈ Top(X) entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:
1 Φ es ordinable en (Top(X),⊆)
2 La coleccion de ultratopologıas para X que contienen a Φ esfinita.
3 El intervalo [Φ,P(X)] es finito.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Los elementos ordinables del retıculo de topologıas estancaracterizadas por el siguiente teorema.
Teorema 1
Si Φ ∈ Top(X) entonces las siguientes afirmaciones sonequivalentes:
1 Φ es ordinable en (Top(X),⊆)
2 La coleccion de ultratopologıas para X que contienen a Φ esfinita.
3 El intervalo [Φ,P(X)] es finito.
4 Φ es de profundidad finita en el retıculo (Top(X),⊆).
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.
Teorema 2
(TopordX,⊆) es un retıculo.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.
Teorema 2
(TopordX,⊆) es un retıculo.
Tres resultados previos
Si X es un conjunto infinito entonces:
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.
Teorema 2
(TopordX,⊆) es un retıculo.
Tres resultados previos
Si X es un conjunto infinito entonces:
1 El conjunto Top(X) tiene 22card(X)
elementos, de los cuales2card(X) son topologıas principales.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.
Teorema 2
(TopordX,⊆) es un retıculo.
Tres resultados previos
Si X es un conjunto infinito entonces:
1 El conjunto Top(X) tiene 22card(X)
elementos, de los cuales2card(X) son topologıas principales.
2 El espacio (X, τ) es T1 si y solo si toda ultratopologıa para Xque contenga a τ es no principal.
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Elementos ordinables en el retıculo de topologıas
Notacion: TopordX denotara al conjunto de topologıas ordinablessobre X.
Teorema 2
(TopordX,⊆) es un retıculo.
Tres resultados previos
Si X es un conjunto infinito entonces:
1 El conjunto Top(X) tiene 22card(X)
elementos, de los cuales2card(X) son topologıas principales.
2 El espacio (X, τ) es T1 si y solo si toda ultratopologıa para Xque contenga a τ es no principal.
3 Sea F un subconjunto finito de X. Si U1,U2, ...,Un sonultrafiltros para X, entonces existe V ⊆ X\F tal que
card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈n⋃
i=1Ui.
N. R. Pachon (Escuela de Ingenierıa) Simposio de Topologıa Carlos Ruiz, enero de 2013
Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Teorema 3
Sean X un conjunto infinito y {x1, x2, ..., xr} ⊆ X. SeanU11,U12, ...,U1n1 ,U21,U22, ...,U2n2 , ...,Ur1,Ur2, ...,Urnr
ultrafiltros(no necesariamente distintos) para X, tales que
{x1, x2, ..., xr} /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij .
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Teorema 3
Sean X un conjunto infinito y {x1, x2, ..., xr} ⊆ X. SeanU11,U12, ...,U1n1 ,U21,U22, ...,U2n2 , ...,Ur1,Ur2, ...,Urnr
ultrafiltros(no necesariamente distintos) para X, tales que
{x1, x2, ..., xr} /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij .
Si Φ =r⋂
i=1
[
P (X\ {xi}) ∪ni⋂
j=1Uij
]
, entonces Φ tiene exactamente
22card(X)
complementos y 2card(X) complementos principales en elretıculo (Top (X) ,⊆).
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Teorema 3
Sean X un conjunto infinito y {x1, x2, ..., xr} ⊆ X. SeanU11,U12, ...,U1n1 ,U21,U22, ...,U2n2 , ...,Ur1,Ur2, ...,Urnr
ultrafiltros(no necesariamente distintos) para X, tales que
{x1, x2, ..., xr} /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij .
Si Φ =r⋂
i=1
[
P (X\ {xi}) ∪ni⋂
j=1Uij
]
, entonces Φ tiene exactamente
22card(X)
complementos y 2card(X) complementos principales en elretıculo (Top (X) ,⊆).
El teorema 2 garantiza que la topologıa Φ es ordinable.
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Bosquejo de la demostracion: Si F = {x1, x2, ..., xr} entonces ellema garantiza que existe V ⊆ X\F tal que
card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij .
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Bosquejo de la demostracion: Si F = {x1, x2, ..., xr} entonces ellema garantiza que existe V ⊆ X\F tal que
card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij . Sea
β ∈ Top(V ), arbitrario. Consideremos la topologıa para X,β∗ = {U ∪ F : U ∈ β} ∪ {∅, X}.
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Bosquejo de la demostracion: Si F = {x1, x2, ..., xr} entonces ellema garantiza que existe V ⊆ X\F tal que
card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij . Sea
β ∈ Top(V ), arbitrario. Consideremos la topologıa para X,β∗ = {U ∪ F : U ∈ β} ∪ {∅, X}.
Se demuestra que β∗ es un complemento para Φ en el retıculo(Top (X) ,⊆).
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Bosquejo de la demostracion: Si F = {x1, x2, ..., xr} entonces ellema garantiza que existe V ⊆ X\F tal que
card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij . Sea
β ∈ Top(V ), arbitrario. Consideremos la topologıa para X,β∗ = {U ∪ F : U ∈ β} ∪ {∅, X}.
Se demuestra que β∗ es un complemento para Φ en el retıculo(Top (X) ,⊆). De otra parte, si β1, β2 ∈ Top(V )) entonces β∗
1 =β∗
2 si y solo si β1 = β2, con lo que Φ tiene exactamente
22card(V )
=22card(X)
complementos en el retıculo (Top(X),⊆).
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Bosquejo de la demostracion: Si F = {x1, x2, ..., xr} entonces ellema garantiza que existe V ⊆ X\F tal que
card(V ) = card(X\V ) = card(X) y V /∈r⋃
i=1
ni⋃
j=1Uij . Sea
β ∈ Top(V ), arbitrario. Consideremos la topologıa para X,β∗ = {U ∪ F : U ∈ β} ∪ {∅, X}.
Se demuestra que β∗ es un complemento para Φ en el retıculo(Top (X) ,⊆). De otra parte, si β1, β2 ∈ Top(V )) entonces β∗
1 =β∗
2 si y solo si β1 = β2, con lo que Φ tiene exactamente
22card(V )
=22card(X)
complementos en el retıculo (Top(X),⊆).
Ahora, teniendo en cuenta que si β es principal entonces β∗ esprincipal, y que existen 2card(V ) = 2card(X) topologıas principalessobre V , entonces Φ tiene exactamente 2card(X) complementosprincipales en el retıculo (Top(X),⊆). �
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Corolario 1
Si Φ es una topologıa ordinable para el conjunto infinito X, conΦ 6= P (X), y si (X,Φ) es T1 entonces Φ tiene exactamente
22card(X)
complementos y 2card(X) complementos principales en elretıculo (Top (X) ,⊆).
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
Corolario 1
Si Φ es una topologıa ordinable para el conjunto infinito X, conΦ 6= P (X), y si (X,Φ) es T1 entonces Φ tiene exactamente
22card(X)
complementos y 2card(X) complementos principales en elretıculo (Top (X) ,⊆).
Corolario 2
Sean X un conjunto infinito, F un subconjunto finito y no vacıo
de X y U1,U2, ...,Ur ultrafiltros para X tales que F /∈r⋃
i=1Ui. Si
Φ = P (X\F ) ∪r⋂
i=1Ui, entonces Φ tiene exactamente 22
card(X)
complementos y 2card(X) complementos principales en el retıculo(Top (X) ,⊆).
Este corolario generaliza el resultado de Schnare mencionado alcomienzo.
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
La pregunta obvia es si el resultado del teorema 3 es aplicable acualquier topologıa ordinable. La siguiente proposicion nos afirmaque no.
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
La pregunta obvia es si el resultado del teorema 3 es aplicable acualquier topologıa ordinable. La siguiente proposicion nos afirmaque no.
Proposicion
Sea X un conjunto infinito y a, b ∈ X, con a 6= b. Si
Φ = [P(X\ {a}) ∪ 〈b〉] ∩ [P(X\ {b}) ∪ 〈a〉],
entonces Φ tiene exactamente 2card(X) complementos en elretıculo (Top (X) ,⊆).
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
La pregunta obvia es si el resultado del teorema 3 es aplicable acualquier topologıa ordinable. La siguiente proposicion nos afirmaque no.
Proposicion
Sea X un conjunto infinito y a, b ∈ X, con a 6= b. Si
Φ = [P(X\ {a}) ∪ 〈b〉] ∩ [P(X\ {b}) ∪ 〈a〉],
entonces Φ tiene exactamente 2card(X) complementos en elretıculo (Top (X) ,⊆).
Bosquejo de la demostracion: Se demuestra que los unicoscomplementos para Φ son las topologıas de la formaβZ = {∅, Z,X\Z,X}, donde Z ⊆ X y card (Z ∩ {a, b}) = 1.
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Sobre la complementacion en (Top(X),⊆)
La pregunta obvia es si el resultado del teorema 3 es aplicable acualquier topologıa ordinable. La siguiente proposicion nos afirmaque no.
Proposicion
Sea X un conjunto infinito y a, b ∈ X, con a 6= b. Si
Φ = [P(X\ {a}) ∪ 〈b〉] ∩ [P(X\ {b}) ∪ 〈a〉],
entonces Φ tiene exactamente 2card(X) complementos en elretıculo (Top (X) ,⊆).
Bosquejo de la demostracion: Se demuestra que los unicoscomplementos para Φ son las topologıas de la formaβZ = {∅, Z,X\Z,X}, donde Z ⊆ X y card (Z ∩ {a, b}) = 1.
Esto nos permite concluir que Φ tiene exactamente 2card(X)
complementos. �
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