145013968 Hidrologia David Cedeno (1)
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TNI\'ERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMA
FACIJLTAD DE IIIGENTERIA CIVIL
Departamento de llidráulica, Sanitaria y
Ciencias Ambientales
Apuntes de
HIDROLOGIA
Preparados por
Ing. Daüd Cedeño B.
Verano
L997
F
CONTENIDO
PRINCIPIOS HIDROLOGICOS
1 - 1 Introducción.
a ) Evolución de la Hidrología
| -2 Ciclo Hidrológico
a ) Balance Hídrico
1 - 3 Precipitación.
a) HumedadAtmosférica . . . .
b ) Cambios de Fase
c ) Cantidad de Agua Precipitable
d ) Causas y Mecanismos de Formación de laPrecipitación
e ) Análisis de Datos de Precipitación
f ) Estimación de Datos Faltantes
g ) Análisis de Doble Masa .
h ) Precipitación Promedio sobre una Región
1 - 4 Evaporacióny Transpiración
a ) Método del Balance Hídrico
b ) Método de Transferencia de Masa
c ) Método de Balance Energético
d ) Tanque Evaporímetro
e ) Métodos Combinados
f) Evapotranspiración.
1
1
7
l5
2t
22
26
27
32
34
38
4l
46
52
54
55
56
59
60
66
1 - 5 Infiltración
a ) Rata de Infiltración 69
b ) Otros Métodos para calcular la Infiltración 73
1-6 EscorrentíaSuperficial . 78
a ) Medición del Caudal: Aforos 80
2. ANALISIS DE PRECIPITACION - ESCORRENTIA
2.1RelaciónentrePrecipitaciónyEscorrentía
a ) Método Racional 87
2 - 2 Análisis de Hidrogramas 90
a ) Componentes del Hidrograma 94
b ) Separación del Flujo Base y Recesión. 91
c ) Precipitación Neta y el Hidrograma. 99
d ) Método de Tiempo - Area . . 102
2 - 3 Teoúa del Hidrograma Unitario . 108
a ) Derivación de Hidrogramas Unitarios. . 109
b ) Método de la Curva S . . 119
c ) Métodos Matriciales para DesarrollarHidrogramas Unitarios . 128
Desarrollo de Hidrogramas Unitarios Sintéticos . 137
a ) Método de Snyder . l4lb ) Método SCS (Hidrograma Unitario Triangular) . 149
Aplicaciones de Hidrogramas Unitarios. . 158
a ) Convolución de Hidrogramas Unitarios . 159
2-4
2-5
ANALISIS DE FRECUENCIAS
3-1 Introducción. .166
a ) Variables Aleatorias . 166
b ) Presentación de los Datos . 168
c ) Conceptos de Probabilidad. . 174
3 -2 Yariables Aleatorias y Distribuciones de Probabilidad . 177
a ) Momento de una Distribución . 182
b ) Estimación de los Momentos a partirde los Datos . 188
c ) Ajuste de una Distribución a los Datos . 195
3 - 3 Período de Retorno ó Intervalo de Recurrencia . I91
a ) Clasificación de los Datos . 200
3 - 4 Modelos Probabilísticos Comunes . 205
a) DistribuciónBinomial . .208
b) RiesgoyConfiabilidad .210
c ) Distribución Exponencial . 213
d ) Distribución Normal . 217
e ) Distribución Log Normal . 223
f ) Distribución Gamma (2 Parámetros yPearson Tipo 3) . 231
C ) Distribución Log Pearson Tipo 3 . . 240
h ) Distribución Gumbel ó Valor Extremo Tipo I . 244
REFERENCIAS 250
lll
PRINCIPIOS HIDROLOGICOS
INTRODUCCION
Hidrología es una ciencia multidiciplinaria que estudia la ocurrencia,
circulación y distribución del agua sobre la tierra. El dominio de la
hidrología incluye los procesos físicos, químicos y las reacciones biológicas
del agua en los ambientes naturales y aquellos construidos por el hombre.
Debido a la compleja naixalezadel ciclo hidrológico y- sus relaciones con los
patrones climáticos, tipos de suelo, topografía y otros factores geológicos, es
dificil establecer fronteras entre la hidrología y otras ciencias de la tierra tales
como: Meteorología, Geología, Ecología y Oceanografía entre otras.
La hidrología es de fundamental importancia para los Ingenieros Civiles
y Ambientales, Hidrólogos y otros científicos relacionados con la tierra;
debido a las implicaciones en el medio ambiente de las inundaciones y
sequías, abastecimiento de agua, consideraciones sobre la calidad del agua,
drena-jes y control de inundaciones.
EVOLUCION DE LA HIDROLOGIA
La historia inicial de la hidrología incluye las prácticas de
administración de agua en las civilizaciones Egipcias y Sumerias
(Mesopotamia) establecidas en el Medio Oriente a 1o largo de los ríos Nilo,
Tigris y Eúfrates y en la China a lo largo del Río Amarillo. Las excavaciones
Hidrología / David Cedeño 2
arqueológicas en estos lugares muestran evidencias de estructuras hidráulicas
que fueron construidas para irrigación y otros proyectos para el control del
agua. Por ejemplo en el año 4000 A.C. se construyó un canal para
transportar agua dulce entre El Cairo y Suez (Alejandría).
Los filósofos griegos fueron los primeros investigadores de la
hidrología. Aristóteles propuso la teoría de que la humedad del aire se
convertía en agua dentro de las montañas y que ésta era la fuente de todas las
corrientes de agua y Homero sugirió la idea de que existía un mar
subterráneo que era el origen del agua superficial.
Las técnicas de medición de caudales se intentaron por primera vez en
los sistemas de acueductos Romanos (97 D.C.) basados en la sección
transversal del flujo. Estos teoremas continuaron hasta el Renacimiento
cuando Leonardo Da Vinci descubrió una relación adecuada entre área,
velocidad y caudal (Q : V.A).La primera medición registrada de precipitación y flujo superficial
fueron hechas en el siglo XVII por Perrault, quien comparó la cantidad de
lluvia medida y el flujo estimado del río Sena, mostrando que ambas variables
estaban relacionadas; estas observaciones fueron publicadas en 1694.
El astrónomo inglés Halley (1636 - 1742) utllizó una bandeja pequeña
para estimar la evaporación del Mar Mediterráneo y concluyó, que era
equivalente al flujo de los ríos tributarios. Mariote también midió la
velocidad del flujo en el río Sena.
Estos comienzos modestos de la ciencia de la hidrología establecieron
las bases para los avances de esta ciencia en el siglo XVIII, incluyendo el
Hidrología / Davíd Cedeño
Teorema de Bernoulli, el tubo de Pitot y la fórmula de Chezy (1769), que
constituyen la base de la hidráulica y las mediciones de fluidos.
Durante el siglo XIX, ocurrieron avances significativos en hidrología
subterránea: La ley de Darcy para flujos en medios porosos, la formula de
pozos de Dupuit-Thiem y también se desarrollo la ecuación de flujo capilar
de Hagen-Poiseville.
En hidrología superficial se desarrollaron muchas fórmulas e
instrumentos de medición que permitieron el inicio de la medición sistemática
de las corrientes de agua. Humprey y Abbot (1861) efectuaron mediciones
de caudales en el río Mississippí, y el U.S.G.S. (United States Geological
Survey) estableció un programa para la medición y registro de caudales del
Mississippi en 1888. Además, la formula de Manning se introdujo en 1889
y el medidor de corriente fue inventado por Price en 1885. Durante este
período el gobierno de los Estados Unidos fundó una serie de agencias
hidrológicas incluyendo el U.S. Army Corps of Engineers (1802), U.S.
Geological Survey (1879) y el Weather Bureau (1891).
El intervalo de tiempo comprendido entre 1900 hasta 1930 se denominó
"Período de Empiricismo" (Chow, 1964), debido a la gran cantidad de
fórmulas empíricas que se desarrollaron; muchas de las cuales resultaron ser
incorrectas. Las agencias del gobierno incrementaron sus esfuerzos en la
investigación hidrológica y se organizaron cierto número de sociedades
técnicas para el avance de esta ciencia. Por ejemplo, el U.S. Bureau of
Reclamation (1902), el Forest Service (1906) V el U.S. Army Engineers
Waterways Experiment Station (1928) fueron organizadas durante este
Hidrología / David Cedeño
período. Además, The International Association of Scientific Hidrology
(1922) y The Hidrologic Section del American Geophysical Union (A.G.U.)
empezó antes de 1930.
El período de 1930 a 1950 se le denominó "Período de
Racionalización", el cual produjo un avance significativo en el campo de la
hidrología; ya que las agencias de varios gobierno desarrollaron programas
de investigación hidrológica. Entre los avances significativos del período
tenemos: Sherman (1932) estableció el concepto de hidrograma unitario,
Norton (1933) desarrolló la teoría de infiltración, Theis (1935) formuló la
ecuación de flujo inestable en hidráulica de pozos y Gumbel (1950) propuso
el uso de la distribución de valores extremos para el análisis de frecuencias
de datos hidrológicos, estabieciendo las bases de la hidrología estocástica.
En este período el U.S. Army Corps of Engineers, el U.S. Weather
Bureau (ahora National Weather Service), el U.S. Department of Agriculture
(U.S.D.A.) a través del Soil Conservation Service y el U.S. Geological
Survey (U.S.G.S.) aportaron contribuciones significativas a la teoría
hidrológica y se continuó con el desarrollo de redes de medición para
registrar la precipitación, evaporación y escorrentía. Estas agencias
efectuaron estudios vitales y proporcionaron fondos para la investigación
privada y universitaria en el área de hidrología. Las grandes presas,
embalses, proyectos de control de inundaciones, etc. son el resultado directo
de los avances en los campos de Mecánica de Fluidos, Sistemas Hidrológicos,
Hidrología Estadística, Análisis de Evaporación, Tránsito de Avenidas e
Investigación de Operaciones.
4
7
Hidrología / David Cedeño
A partir de 1950, se conoce como "Período de Teorización", ya que
la introducción de computadoras digitales en hidrología durante 1960 y 1970
permitió la simulación de problemas complejos de sistemas hidrológicos.
El primer modelo hidrológico comprensivo fue desarrollado por
Crawford y Linsley (1966) en la Universidad de Stanford y se denominó
Stanford Watershed Model (S.W.M.). Este modelo puede simular los
procesos principales del ciclo hidrológico: precipitación (P), evaporación (E),
transpiración (T), infiltración (F), escorrentía superficial (R) y flujo
subterráneo (G).
Otro modelo que ha alterado significativamente el curso de la hidrología
moderna es el programa IIEC-I (1973) desarrollado por el U.S. Army Corps
of Engineers, Hidrologic Engineering Center, Davis, California. Este modelo
simula inundaciones a partir de datos de precipitación utilizando hidrogramas
unitarios y funciones elementales de pérdidas. Otro modelo que le acompaña
es el HEC-2 (1976), desarrollado también por el Hidrologic Engineering
Center, el cual efectúa cálculos de los perfiles de la superficie del agua para
una geometría conocida del canal y caudales máximos, los cuales se pueden
obtener utilizando HEC-I.
El Storm Water Management Model (S.W.M.M.) fue desarrollado
por el U.S. Enviromental Protection Agency (E.P.A.) durante 1981 a 1988
y es el modelo más comprensivo para el análisis de escorrentía urbana en
sistemas de alcantarillados.
El modelo ILLUDAS (Illinois Urban Drainage Area Simulator),
desarrollado por Terstriep y Stalt (1974) está basado en un modelo del
Hidrología / David Cedeño 6
British Road Research Laboratory y utrliza un procedimiento simple de
precipitación-escorrentía para la simulación de tormentas y el diseño de
drenajes adecuados.
Estos modelos se han convertido en un instrumento utilizado
frecuentemente por los investigadores e ingenieros hidrólogos y la lista
representa algunos de los programas de computadora más poderosos de la
hidrología moderna. El desarrollo de esta herramienta en los últimos 20 años
ha ayudado directamente en la colección de datos hidrológicos al permitir la
calibración del modelo contra los datos observados. Por consiguiente, se ha
avanzado mucho con estos procesos en la comprensión del comportamiento
de los sistemas hidrológicos.
Los modelos hidrológicos para computadoras desarrollados inicialmente
en 1960 y 1970 han sido aplicados satisfactoriamente a otras áreas que
anteriormente no se estudiaban ó que estaban definidas empíricamente
solarnente. Por ejemplo, hidrología urbana, hidrología de cuencas y planicies
de inundación, diseño de drenajes, diseño y operación de embalses, análisis
de la frecuencia de inundaciones y sequías; además, la administración y
planificación de la cuenca de los ríos han resultado beneficiados por la
aplicación de los modelos de computadora.
Las limitaciones de los modelos de simulación incluyen el peligro de
creer que un modelo producirá resultados adecuados para todas las
situaciones. Una confianza excesiva en los programas de computadora en la
década de 1970 condujo a un tratamiento más cuidadoso de los modelos
hidrológicos en la década de 1980, produciendo un regreso a las aplicaciones
Hidrología / David Cedeño 7
de los modelos que no excedieran la disponibilidad de datos satisfactorios de
entrada. Sin embargo, la simulación de modelos en hidrología, al aplicarse
correctamente, producirá la aproximación más lógica a la comprensión de los
procesos complejos que ocurren en el ciclo hidrológico y por lo tanto, nos
encontramos en una nueva era en 1a ciencia de la hidrología.
EL CICLO HIDROLOGICO
Las componentes básicas del ciclo hidrológ-ico son las siguientes:
precipitación (P), evaporación (E), transpiración (T), infiltración (F),
escorrentía superficial (R) y flujo subterráneo (G). El ciclo del agua es un
proceso contínuo en el cual el agua se evapora de los océanos, lagos, ríos y
otras fuentes, se mueve en la atmósfera formando masas de aire húmedo y
luego se produce la precipitación cuando existen condiciones adecuadas. La
lluvia que cae en la superficie de la tierra se dispersa a través de muchos
medios; pero una porción es retenida en el suelo cerca del sitio donde cayó
y retorna a la atrnósfera por evaporación, es decir, la conversión del líquido
a vapor de agua y también por transpiración, la cual consiste en la pérdida de
agua a través de las plantas; esta pérdida de agua combinada se denomina:
evapotranspiración(ET: E + T).
Otra porción del agua se convierte en flujo superficial o escorrentía
directa (R), la cual abastece las corrientes y ríos. Finalmente, la parte restante
del agua entra al suelo como infiltración (F), la cual puede convertirse en
flujo subsuperficial y aparecer posteriormente en canales ó percolarse hacia
las profundidades para recargar el flujo del agua subterránea. El agua
7
Hidrología / David Cedeño B
superficial y subterránea se mueve hacia elevaciones inferiores y
eventualmente puede descargar en el océano. Sin embargo, grandes
cantidades de agua superficial y porciones de agua subterránea pueden
regresar a la atmósfera a través del proceso de evapotranspiración.
Figura No1: Representación Esquemática del Ciclo Hidrológico.
aquaatmosferica
I
If-'"fS#,ti,r
f_I
aquasubtérranea
superlicial{lagos)
Hidrología / David Cedeño
La estimación de la cantidad total del agua en la tierra y en los
diferentes procesos del ciclo hidrológico ha sido un tema de investigación
científica desde hace muchos años. Sin embargo, la cantidad de datos es
escasa, particularmente sobre los océanos y también la cantidad de agua en
los diferentes componentes del ciclo hidrológico global todavía no se conoce
con exactitud.
La Tabla 1: "Cantidades Mundiales Estimadas de Agua" muestra los
volúmenes estimados de agua en las diversas fcmas sobre la tierra.
Alrededor del 96.5% de toda el agua sobre Ia tierra está en los océanos. Si
la tierra fuera una esfera uniforme, esta cantidad sería suficiente para cubrir
el planeta hasta una profundidad de aproximadamente 2.6Kn (1.6 millas).
Del resto del agua, 7.7% es hielo polar, 1.69% es agua subterránea y
solamente 0.ll% se encuentra en la superficie y la atmósfera. El sistema
atrnosférico del agua contiene solamente 12,900 Km3 de agua; es decir, menos
de una parte en 100,000 del total de agua de la tierra y es la componente
principal que impulsa la hidrología del agua superficial.
Del volumen total de agua dulce en la tier¡a, aproximadamente 2/3 es
hielo polar y la mayor parte del resto es agua subterránea hasta una
profundidad de 200 a 600 metros. Debajo de esta profundidad la mayoría del
agua subterránea es salina. Solamente 0.006% del agua dulce está contenida
en los ríos. El agua biológica, retenida en los tejidos de las plantas y
animales, contiene aproximadamente 0.003% de toda el agua dulce,
equivalente a la mitad del volumen de agua contenida en los ríos.
7
Hidrología / David Cedeño
TABLA N'1: Cantidades Mundiafes Estimadas de Agua
10
Descripción Area(106 Km? )
Volumen (Km3 ) ? totafde agua
?aguadul ce
océanos 361.3 1,338,000,000 96.5
AguaSubterránea:
Dul ceSafina
134.8134.8
10,530, 000L2,870,O00
0.760 _ 93
30.1
Humedad delSuel o
82.O l-6,500 0.0012 0 .05
CapasPofares
16 .0 24 ,023 , 500 L.7 68.6
Glaciares yN aeve
0.30 340,600 0.02s 1.0
Lagos:Dul ceS al ina
L.20.8
9r-,00085,400
0.0070.006
0 .26
Pant ano s 2.7 rr,470 0.0008 0 .03
Ra os 148.8 2,120 0.0002 0.006
AguasB i of ógi cas
510.0 a,L20 0.0001 0.003
AguaAtmo s féri ca
5l-0.0 t2 , 900 0.001 0 .04
Total deAguas
510.0 1, 38s, 984 , 6L0 100
Agua Dufce 148.8 35 , 029 ,2r0 2.5 100
7
Hidrología / David Cedeño 11
TABLA N"2: Bafance Hídrico Global Anuaf.
FUENTE: World Water Balance and ¡Iat.er Resources of theEart.h, UNESCO, 1978.
A pesar de que el contenido de agua en la superficie y en la atrnósfera
es relativarnente pequeña en cualquier momento, cantidades inmensas de agua
pasan anuahnente a través de estos sistemas. La Tabla 2 muestra el balance
hídrico global anual y la Figura 2 (Balance Hídrico Promedio Gtobal Anual)
muestra los componentes principales del ciclo hidrológico en unidades
relativas a una precipitación anual sobre la tierra de 100 unidades de
volumen. Se puede observar que la evaporación sobre la tierra consume 61%
de la precipitacióny el resto39%, constituye la escorrentia hacia los océanos,
principalmente en forma superficial. La evaporación de los océanos
Descripción LJn1clacl OCEANO TIERRA
Area Km2 361,300,000 148, 800, 000
Prec ipi tac ión Km"/ ano 4s8, 000 r_19, 000
Evaporac ión Km' / ano 50s,000 72 , OO0
E s corrent. iahacia ef Mar Km'/ ano 44 ,7 00
Fluj oSubt erráneo Ám'/ ano 2,200
EscorrentiaTotaf Km- / ano 47 , OOO
Hidrología / David Cedeño
contribuye con el 90% de la humedad atmosférica. El anátisis del flujo y
almacenamiento del agua en el balance global anual proporciona algunos
conocimientos elementales sobre la dinámica del ciclo hidrológico.
Á.\ ,#?'*í Ilr ú*ilrY
I(?:
Figura No2: Balance Hídrico Promedio Global Anual.
El ciclo del agua es muy complejo, pero bajo ciertas condiciones bien
definidas, la repuesta de la cuenca a la precipitación, infiltración y
evaporación se pueden calcular si se establecen suposiciones simples. Por
ejemplo, si la rata de precipitación sobre una cuenca es menor que la rata de
1-2
r,\l6t )\/
-;:i+
Hidrología / David Cedeño
infiltración y si existe un amplio almacenamiento en la humedad del suelo,
entonces la escorrentia directa en la superficie y el flujo resultante en los
canales de drenaje será cero. Por el contrario, si la precipitación precedente
ha llenado la capacidad de almacenamiento de la humedad del suelo y la
intensidad de la precipitación es mucho mayor que la rata de infiltración y
evaporación, entonces el volumen de escorrentia superficial será igual al
volumen de precipitación. En la mayoría de los casos, desafortunadamente,
las condiciones existentes quedaran localizadas eritre estos dos límites y
debemos medir cuidadosamente o calcular más de una componente del ciclo
hidrológico para predecir la respuesta de la cuenca.
El ingeniero hidrólogo debe ser capaz de calcular o estimar las diversas
componentes del ciclo hidrológico para diseñar adecuadamente proyectos de
recursos hidráulicos. Muchos de estos proyectos hidráulicos deben ser
diseñados para protección contra los daños producidos por eventos extremos
de inundaciones y sequías y serán operados generalmente tomando en cuenta
estos eventos críticos. Algunos de los temas típicos relacionados con la
ingeniería hidrológica incluyen los siguientes:
l. Flujos máximos de inundación esperadas en los vertederos, las
alcantarillas y puentes de las carreteras.
2. Capacidad de los embalses requerida para asegurar una cantidad
adecuada de agua para irrigación y abastecimiento de agua para las
ciudades.
3. Efectos de embalses, muros de contención y otras estructuras de
control de inundaciones en una corriente.
13
Hidrología / David Cedeño
Efectos de desarrollo urbano en la capacidad futura de un sistema de
drenaje y los flujos asociados con las inundaciones.
Determinación de los niveles probables de inundación para mejorar la
protección que ofrecen los proyectos construidos por el hombre contra
las inundaciones ó para promover el establecimiento de zonas con
riesgo de inundaciones.
Ejemplo 1: Estimar el tiempo de residencia de la humedad atmosférica
global.
Solución: El tiempo de residencia T, es la duración promedio para que una
molécula de agua pase a través de un subsistema del ciclo hidrológico.
T= volumen de agua almacenada
rata de flujo
L4
4.
5.
De la Tabla 1:
De la Tabla 2:
s
O
s--a:
T=
12,900 Km3
458,000 + 119,000 : 577,000 Km3/año
12,900 Km3= 0.022 años = 8.2 días
577 ,000 Km3laño
Observación: Debido al corto período de residencia de la humedad en la
atmósfera, es difícil predecir el estado del tiempo con varios días de
anticipación. Este valor del tiempo de residencia es promedio y puede
mostrar variaciones espaciales considerables.
Hidrología / David Cedeño
BALANCE HIDRICO
Para cualquier sistema hidrológico, se puede desarrollar un balance
hídrico para tomar en cuenta las trayectorias del flujo y el almacenamiento de
agua. El sistema más simple es una superficie impermeable inclinada,
confinada en todos sus bordes y con una sola salida. Un lote pequeño
pavimentado de estacionamiento en un área urbana satisface este modelo.
Figura N'3: Sistema Hidrológico Simple
La ecuación de continuidad (flujo no permanente ó inestable) para
cualquier sistema hidrológico es:
l_5
r-o-dsdt
Entrada = |
Sal¡da = O
Hídrología / David Cedeño
donde: I
o
ds/dt
flujo de entrada (vol/tiempo)
flujo de salida (vol/tiempo)
cambio en el volumen de almacenamiento por
unidad de tiempo.
I6
Al aplicar este modelo al lote de estacionamiento (figura 3), la
precipitación se acumula sobre la superficie y eventualmente se descarga a
través de la salida. Si despreciamos la evaporación durante todo el período,
eventualmente toda la precipitación se convertirá en flujo de salida, pero
estará algo retrasada con respecto al tiempo. La diferencia entre el caudal de
entrada acumulado y el caudal de salida en cualquier momento representa el
cambio en el almacenamiento, el cual se descarga a través de la salida,
después que halla finalizado la lluvia.
Figura N'4: Balance hídrico de una Cuenca.
El mismo concepto se puede aplicar a una cuenca pequeña o grande,
con la diferencia que es más difícil el análisis, pues algunos de los términos
7
Hidrología / David Cedeño
correspondientes a los períodos en el balance hídrico pueden ser desconocidos
o difíciles de evaluar.
Una Cuenca se define como una superficie de tierra que es drenada a
través de una salida única y que esta separada de las otras cuencas por una
divisoria de aguas. Para un período de tiempo, el modelo matemático
conceptual para la cuenca es el balance hídrico (figura 4) el cual se puede
expresar (en unidades de profundidad: cm ó plg) como:
P-R-G-E-T:AS
1-'7
donde: P
R
G
E
T
AS
precipitación
escorrentia superficial
flujo subterráneo
evaporación
transpiración
cambio en el almacenamiento
También podemos definir un coeficiente de escorrentia (R / P) como la
razórentre la escorrentía y la precipitación. Observe que la infiltración F es
una pérdida en la superficie del sistema y una ganancia para el flujo de agua
subterránea, por consiguiente se cancela en el balance hídrico general.
Además, las unidades de profundidad (cm ó plg) representan un volumen de
agua cuando se multiplican por el área de la cuenca.
Hidrología / David Cedeño
Ejemplo 2: Balance Hídrico/Unidades de Conversión
Para un mes dado, un lago con una superficie de 300 acres recibe un
caudal de entrada de 15 p3ls y descarga 13 p3ls; además, el almacenamiento
total se incrementa en 16 acres-pie durante este período. Un medidor cerca
del lago registro un total de 1.3 plg de precipitación durante dicho mes.
Asumiendo que la infiltración es insignificante, determinar la pérdida de agua
por evaporación sobre el lago (en pulgadas).
18
IP = f¡recipitacion
Solución:
La ecuación de balance hídrico para la
unidades de profundidad) es:
E = ev¡poranón
evaporación del lago (en
E:I-O+P-F-aS
Hidrología / David Cedeño
Donde:
, (ls pies3lseg) (12 plglpie) (86,400 segldía) (30 días)
(300 acres) (43,560 pies2lacre)
I : 35.70 plg
..\ (13 pies3/seg) (12 plglpie) (36,400 segldía) (30 días)
(300 acres) (43,560 pies2lacre)
O : 30.94 plg
P : 1.3 plg
o , - (16 acrespie) (12 plglpie) = 0.64 ptg300 acres
aS : 0.64 plg
E:I-O+P-aS
E : 35.70 -30.94 + 1.3 - 0.64 : 5.42pls
Ejemplo 3: Balance Hídrico en una cuenca.
En un año dado, una cuenca con un área de 250,000 hectáreas recibió
P : 130 cm de precipitación. El caudal promedio medido en un río que drena
la cuenca fue de R : 30 m3/s. Estimar la cantidad de agua que se pierde
debido a los efectos combinados de evaporación, transpiración e infiltración
hacia el agua subterránea. Además, calcular el coeficiente de escorrentía.
I9
7
Hidrología / David Cedeño
Asumir que los niveles de agua al inicio (t : 0) y al final (t - 1 año) son
iguales; por 1o tanto el cambio de almacenamiento es AS : 0.
Solución:
La ecuación de balance hídrico para la superficie de la cuenca es:
ET+F:P-R-aS
Donde:
* _ (30 m3lsei (86,400 segldla) (365 dlais = 0.3784 m
(2sq000 ha) (1o,ooo m2lha)
R 37.84 cm
ET+F P-R-AS
ET + F 130 - 37.84 92.16 cm
El coeficiente de escorrentía es:
R 37.84 cm = 0.29P t30 cm
20
Hidrología / Davíd Cedeño
PRECIPITACION
2a
La precipitación es la cantidad primaria de entrada del agua en el ciclo
hidrológico superficial, ya sea en forma de lluvia, nieve ó grarizo; y
generalmente se deriva de la humedad atmosférica. Las masas de aire
húmedo deben estar sometidas a un ascenso, con el enfriamiento resultante,
condensación y crecimiento de las gotas de agua antes de que la precipitación
ocurra. La precipitación se clasiflca a menudo en tres tipos de acuerdo con
las condiciones que generaron el movimiento verticll de las masas de aire
cargadas de humedad:
A. Convectiva: Debido al calentamiento intenso del aire al nivel del suelo
ó el mar, se produce una espansión y el ascenso vertical del aire
húmedo. Este tipo de precipitación es característico del trópico.
B. Ciclónica: Esta asociada con el movimiento de grandes sistemas de
masas de aire, de regiones de alta presión a regiones de baja presión.
(Como en el caso de frentes cálidos y fríos). Esta diferencia de presión
es creada por el calentamiento desigual de la superficie de la tierra.
C. Orográfica: Producida por el ascenso mecánico de las masas de aire
húmedo sobre las montañas.
OBOBAFIC,T
Hidrología I David Cedeño
I
HIIiTDO
FROIITAL
í-r-l
"-.'ff.,'¡1'l'+
¿ T T¡FE F
Figura N"5: Típos de Precipitación
HT]MEDAD ATMOSFERICA
La humedad atmosférica es la fuente requerida para la precipitación y
se deriva de la evaporación y transpiración.
Mediciones comunes relacionadas con la humedad atmosférica, o
simplemente humedad, incluyen presión de vapor, humedad específica,
humedad relativa y temperatura para la formación de rocío. Bajo condiciones
húmedas, se puede asumir que el vapor de agua satisface las leyes de los
gases ideales, 1o cual permite una derivación de relaciones sencillas entre
presión, densidad y temperatura.
[t YECflfA
7
Hidrología / David Cedeño
La Presión Parcial es la presión que actuará sobre la superficie de un
recipiente por un gas particular en una mezcla de gases. La presión parcial
producida por el vapor de agua se denomina Presión de Vapor (e) y se puede
obtener a partir de la ley de Dalton y la ley de los gases ideales de la siguiente
manera:
P,RTe=0.622
)a
donde: e
p'
R
R
T
presión de vapor en mb
densidad de vapor o humedad absoluta en grlcmr
constante de los gases para aire seco
2.87 xl03 (mb. cm3)/(gr. oK)
temperatura absoluta en oK
El factor 0.622 surge de la razót entre el peso molecular del agua (= 18)
al peso molecular del aire ("29). Cerca de la superficie de la tierra la
presión del vapor de agua es l% al2% delapresión atmosférica total, donde
la presión atmosférica promedio es 1,013.2 mb al nivel del mar.
(Nota: I mb : 100 Pa).
La hesión de Saturación de Vapor (e,) es la presión parcial que
ejerce el vapor de agua cuando el aire esta completamente saturado (no ocurre
más evaporación) y es una función de la temperatura.
a
Hidrología / David Cedeño
La Humedad Relativa (H) es aproximadamente la raz6n entre la
presión de vapor de agua a la presión de saturación de vapor bajo las mismas
condiciones e igual temperatura. Esta se puede definir como:
H=100e€"
Por consiguiente, 50% de humedad relativa signiflca que la atmósfera
contiene 50% de la humedad máxima que podría retener bajo condiciones
saturadas a esa temperatura.
La Humedad EspecÍlica (q) es la masa del vapor de agua contenida en
una unidad de masa de aire húmedo y es igual a:
p.,q=p-
Observe que la humedad específica q es adimensional; por 10 tanto, la
densidad del vapor pu y Ia densidad del aire húmedo p. deben tener las
mismas unidades.
Utilizando la ley de Dalton y asumiendo que la atmósfera esta
compuesta de solamente aire y vapor de agua, tenemos:
p^ (P - e) + 0.622 e
24
RT
o = P (r-03784)RT\ P )
Hídrología / David Cedeño
La ecuación anterior nos muestra que el aire húmedo es más liviano que
el aire seco a la misma presión y temperatura por 1o tanto:
pu
p^0.622 e
P - 0.378 e
donde: humedad específica (grlgr)
presión de vapor (mb)
presión atmosférica total (rnb)
densidad de la mezcla de aire seco y
vapor de agua (grlcm3)
densidad de vapor (grlcm3)p,
Finalmente, la temperatura para la formación de rocío (TJ es el
valor para el cual una masa de aire llega a estar safurada (e : e.) cuando se
enfría a presión constante y el mismo contenido de humedad. Una relación
aproximada para la presión de saturación de vapor de agua e. en función de
la temperafura para la formación de rocío T¿ es:
q
e
P
Pm
- 4,278.6
Ta + 242'79
donde e, está en mb y Tu está en oC. Esta relación es exacta dentro de un
rango de más o menos de 0.57o de los valores observados dentro del intervalo
de temperatura de OoC hasta 40oC.
€" = 2.7459t fO' ' "*n I
7
Hidrología / David Cedeño 26
Las mediciones anteriores de la humedad atmosférica se utilizan
frecuentemente en el análisis del estado del tiempo para predecir la
probabilidad de precipitación sobre un área en particular.
CAMBIOS DE FASE
Para que el vapor se condense (pase del vapor al estado líquido) y
comience la formación de la precipitación, una cantidad de calor conocida
como calor latente debe ser removida de la masa de-aire húmedo. El calor
latente de condensación L" es igual al calor latente de evaporación L", el cual
se define como la cantidad de calor requerido para convertir agua en estado
líquido a vapor a la misma temperatura; por consiguiente:
- -|J = 597.3 - 0-57 T
donde los calores latentes L" y L" estan en callgr y la temperatura T está
medida en oC.
Los meteorólogos usan las relaciones de humedad y los conceptos de
calor latente para obtener relaciones de presión-temperatura para el
enfriamiento de las masas ascendentes de aire húmedo. La rata de cambio de
temperatura con la elevación en la affnósfera se denomina Gradiente Térmico.
Cuando las masas de aire húmedo no saturado, ascienden en la
aÍnósfera, la humedad relativa se incrementa y al alcanzar cierta elevación,
la masa de aire húmedo está completamente saturada, es decir, que Ia
humedad relativa (H) alcanza el I00%. Adicional enfriamiento del aire
resulta en la condensación de la humedad y el calor latente de condensación
Hidrología / David Cedeño
es liberado, calentado el aire y por 1o tanto, disminuye el gradiente térmico
atmosférico. Este intercambio de calor latente es la principal fuente de
energía de los huracanes y ciclones tropicales.
Se ha observado que no existe una relación definida entre la cantidad
de vapor de agua y la precipitación resultante sobre una región; es decir que
la condensación puede ocurrir formando nubes sin que se produzca
precipitación sobre la superficie de la tierra, por lo tanto es necesario
considerar otros procesos climáticos para analizar -los mecanismos de la
precipitación.
CANTIDAD DE AGUA PRECIPTABLE
La estimación de la cantidad de precipitación que puede ocurrir sobre
una región donde existan condiciones favorables en el ambiente es una
información útil. Este valor puede ser obtenido calculando la cantidad de
agua contenida en una columna de la atmósfera que se extiende desde la
superficie de la tierra y el resultado se conoce como cantidad de agua
precipitable (D), la cual se expresa generalmente en centímetros o pulgadas;
sin embargo esta cantidad no se puede remover totalnente de la atrnósfera por
procesos naturales.
La ecuación para obtener la cantidad de agua precipitable en la
atmósfera se puede derivar considerando una columna de aire con una base
de área A. La masa total de agua M contenida en ésta columna de aire
húmedo entre la elevación cero y alguna alfiraZ se puede expresar como:
27
Hidrología / David Cedeño
donde pu es la humedad absoluta. La ecuación fundamental de la hidrostática
se puede escribir como:
dp - _ p^gdz
donde p- es la densidad total de lamezcla de aire seco y aire húmedo. Por
consiguiente, podemos despejar dz enla ecuación hidrostática, obteniendo:
-dPdzP^8
Sustituyendo esta expresión en la primera ecuación y observando que la razón
de densidades es la humedad específica q : p, / p,n ; tenemos:
28
Y = 1." P'dz
M=-1 [,o"ar=1[,.ndpA g "Po P^ g "'
Recordando que la densidad del agua en estado líquido se puede expresar de la
siguiente manera:
Masa MVolumen A D
7
Hidrología / David Cedeño
donde D es la cantidad de agua precipitable (profrmdidad); finalmente tenemos
la siguiente ecuación:
- I [-"00,P g JP
Después de introducir los factores de conversión correspondientes al
sistema métrico, podemos obtener aproximadamente la cantidad de agua
precipitable de la siguiente manera:
D * [r'"uat
donde la profundidad D esá en cm, la presión P se mide en mb y la humedad
específica q en gm/gm. El siguiente ejemplo ilustra un procedimiento de
integración numérica de la fórmula anterior para el calculo de la profundidad
de agua precipitable.
Ejemplo 4: Cantidad de Agua Precipitable.
La siguiente tabla muestra los datos de elevación, temperatura, presión
atmosférica y presión de vapor. Calcular la profundidad D en cm de la
cantidad de agua precipitable en la atrnósfera contenida en una columna de 5.4
Km de altura.
29
D- MpA
Hidrología / David Cedeño
Tabla: Datos Meteorológicos.
Procedimiento:
Se divide la columna de la atmósfera en capas de 600 m de alfura, se
utiliza el valor promedio de la humedad específica q y se calcula el
incremento en la presión atmosférica AP para integrar numericamente la
fórmula de la cantidad de agua precipitable de la siguiente manera:
30
Elevación (z)
Km
Temperatura (T)
oc
PresiónAtmosférica (P)
mb
Presión deVapor (e)
mb
0.0 15 1013.0 7.0
0.6 11 942.0 5.0
t.2 1 875.0 3.8
1.8 J 812.0 3.2
2.4 -1 753.0 2.0
3.0 -5 697.0 1.6
3.6 -9 644.0 1.1
4.2 -13 595.0 0.8
4.8 -1',| 550.0 0.6
5.4 -20 500.0 0.4
D"tqtp
Hidrología / David Cedeño
Resultados:
31
Tabla de Cálculos
D(cm) - E q.tP = 1,017.03¡10-3
D r 7.02 cm = 0.40 plg
ElevaciónZ
x L03m
HumedadEspecífica
9"0.622e1P
x 10-3 gm/gm
ValorPromedio
q
xl0'3 gm/gm
Incremento
AP
mb
Producto
q' LP
103mb
0.0 4.30
0.6 33r 3.81 71 269.80
1.2 2.71 3.01 67 201.00
1.8 2.45 2.58 63 t62.54
2.4 1.65 2.Os 59 120.95
3.0 1.43 t.s4 56 86.24
3.6 1.06 1.25 53 66.25
4.2 0.84 0.95 49 46.55
4.8 0.68 0.76 45 34.20
5.4 0.50 0.59 50 29.s0
Hidrología / David Cedeño
CAUSAS Y MECANISMOS DE FORMACION DE LA
PRECIPITACION
La condensación de vapor de agua en gotitas en las nubes ocurre como
resultado del enfriamiento del aire a una temperatura por debajo del punto de
saturación para el vapor de agua. Esto se logra generalnente a través del
ascenso vertical a elevaciones donde la temperatura y la presión son más
bajas. La mitad de la masa de la atmósfera esta locplizada hasta una altura
de 18,000 pies (5.48 Km) medida desde la superficie y contiene la mayoría
de las nubes y la humedad. La condensación puede ser producida por:
1. Enfriamiento diniámico ó adiabático (sin perdida de calor hacia los
alrededores).
Mezclas de masas de aire que tienen diferentes temperafuras.
Enfriamiento por contacto.
Enfriamiento por radiación.
El enfriamiento dinámico es el mecanismo más importante en la
producción de cantidades apreciables de precipitación. El rocío ó sereno, la
escarcha y la niebla son productores menores de precipitación y son causados
por enfriamiento por contacto y radiación.
Los núcleos de condensación deben estar presentes para la formación
de gotas en las nubes. El origen de estos núcleos es variado; entre ellos
tenemos: sal de los océanos, polvo proveniente de suelos arcillosos, producto
2.
4.
a
Hidrología / David Cedeño
de la combustión industrial y automotriz, cenizas volcánicas, etc. y varían en
tamaño desde 0.1p a 10¡r. (Nota: lp = 1x10-6 metros)
Las gotas en las nubes inicialmente tienen un diámefro promedio de
0.01mm y solamente cuando estas exceden 0.5mm de diámetro es que ocrüre
una precipitación significativa. El proceso para que una gota pequeña de lluüa
(lmm) crezca sobre un núcleo de condensación puede tomar varias horas.
Cuando las masas de aire cargadas de humedad suben, estas se enfrían y
expanden, y al ocurrir la saturaciór¡ el vapor de agua eomienza a condensarse
en los núcleos activos. El principal mecanismo para el suministro de agua a las
gotas crecientes en las etapas iniciales es la difusión de las moléculas de vapor
de agua debido al gradiente de presión hacia las superhcies de las gotas.
Cuando la masa de las gotas se incrementa, estas comienzan a moverse con
respecto a las nubes. Sin embargo, existen otros procesos que afectan el
crecimiento de las gotas hasta que alcancen un tamaño suficiente (0.5mm -
3.0mm) de manera que superen la resistencia del aire y caigan como
precipitación en cualquiera de sus formas. Estos mecanismos son el proceso de
coalescencia y el proceso de cristales de hielo.
El proceso de coalescencia es considerado el mecanismo dominante de
la precipitación en forma de lluvia. Cuando las gotas de agua caen, las más
pequeñas y lentas son absorbidas por las más grandes, las cuales tienen una
velocidad de caída mayor, y el tamaño de las gotas se incrementan a través
de la colisión. Esto puede producir una precipitación abundante,
especialmente en cúmulos cálidos en las regiones tropicales (cierto tipo de
nube).
33
Hidrología / David Cedeño
El proceso de cristales de hielo provoca la condensación en los núcleos
congelados debido a las presiones de vapor más bajas. Los cristales de hielo
crecen en tamaño a través del contacto con otras partículas y la colisión
produce la formación de nieve en forma de hojuelas. Estas pueden
transformarse en gotas de lluvia, si al caer entran en contacto con aire en el
cual la temperatura se encuentra por encima del punto de congelación.
Los núcleos de condensación se pueden introducir artificialmente en las
nubes para provocar la precipitación bajo - ciertas condiciones.
Corrientemente se utiliza hielo seco y yoduro de plata como núcleos
artificiales. En la actualidad esta es un área de investigación muy activa para
el control del clima, y todavía existen muchos problemas técnicos y legales
por resolver relacionados con la precipitación inducida o artificial.
ANALISIS DE DATOS DE PRECIPITACION
Los eventos de precipitación son registrados en localidades específ,cas
utilizando pluviometros y pluviografos. La interpretación de los datos
recogidos en las diferentes estaciones de medición muestra la gran variación
en el espacio y el tiempo de la precipitación. Las variaciones en la
distribución y frecuencia de la precipitación ocurren debido a las estaciones
climáticas y alalocalización geográfica, al igual que las variaciones de un
evento individual de precipitación se deben al tipo de tormentas, intensidad,
duracióny época del año; los vientos prevalecientes y la temperatura relativa
de la tierra con respecto al océano también tienen su efecto sobre la
precipitación.
34
Hidrología / Davíd Cedeño
Generalmente se requiere una red de 5 a l0 estaciones de medición por
cada 100 millas cuadradas (25,000 hectáreas) para registrar las variaciones
de la precipitación. Pero el mantenimiento de estas redes de medición es
costoso y muchas veces ocurren fallas en el equipo; por lo tanto, algunas
veces los registros están incompletos.
Los datos de precipitación se pueden utilizar para derivar las curvas de
intensidad-duración-frecuencia (IDF), las cuales se utilizan generalmente
para obtener las características de las tormentas de diseño.
Se deben utllizar métodos estadísticos (tales como la distribución de
valores extremos) para ulr.lrzar la información requerida para la construcción
de curvas IDF. Uno de los modelos más simples para estas curvas fue
propuesto por Steel (1960), el cual tiene la siguiente forma:
t+B
35
donde: i
t
A,B
intensidad de la lluvia (plg/hr)
duración de la precipitación (min)
constantes
La intensidad i representa el valor promedio de la profundidad de la
precipitación acumulada P dividida por la duración / registrada, es decir:
Hídrología / David Cedeño
Los coeficientes A y B varián con la localización y el período de
retorno T en años. Estos coeficientes se pueden obtener utilizando el método
de regresión lineal, el cual requiere la transformación de la función a una
línea recta:
INTENSIDAD tds/h'J
FRECUENCA
36
llB = _t +iAA
'100 años50 años25 años10 ¿ños5 eñns
DUFACI0N {minl
Figura N'6: Curvas Típicas deIntens ídad-Duración- Frecuenc ia
Ejemplo 5: Curvas de Intensidad-Duración-Frecuencia.
La siguiente tabla muestra la precipitación acumulada y la
para lluvias con un período de recurrencia de una vez cada 10 años.
una curva IDF a los datos utilizando el método de regresión lineal.
duración
Ajustar
7
Hidrología / David Cedeño
Tabla: Datos y Calculos
t (min) P (plg) i (plg/hr) 1 / i (hr/plg)
5 0.60 '7 1 0.1389
10 0.98 5.9 0.1695
15 1.27 5.1 0.1961
30 1.90 3.8 0.2632
60 2.30 2.3 o.4348
t20 2.80 1.4 0.7t43
Solución:
LacurvalDFtransformada I li: (l lA)t + (B/A) representauna
línea recta, de la forma típica:
y -- mx + b
donde: x : t : variableindependiente
y : lli variabledependiente
m llA: pendiente
b : B/A: ordenadaenelorigen
Efectuando un análisis de regresión lineal con los datos anteriores, se
obtienen los siguientes resultados:
31
Pendiente:
Ordenada :
m 0.0050
b : 0.1190
Hidrología / David Cedeño
Con wr Coeficiente de Determinación:
de las constantes de 1a curva IDF es:
m
B = b.A
3E
Rz - 0.9986; por consiguiente el vaior
= 200A0.005
(0.1190) (200) = 23.8
La curva de intensidad-duración-frecuencia para un período de retorno
T : 10 años resulta ser:
200
t + 23.8
donde ia intensidad i se mide en plg/hora y el tiempo / en minuros.
ESTIMACION DE DATOS FALTANTES
Muchas estaciones de precipitación tienen datos taltantes en sus
registros, causados por la ausencia del observador ó debido a f'allas en los
instrumentos, por 1o tanto, a menudo es necesario estimar la precipitación en
una estación utilizando los valores registrados en las estaciones localizadas en
1os airededores,
Para la estimación de los daros faitantes, Faulhus y Kohler (1952)
propusieron el uso del promedio aritmetico simple con los datos de tres
estaciones cercanas, el cual es adecuado cuando ia precipiración anual rie
cada estación no difiere en más del i0 % de la precipitación anual de ia
estación con registro incompleto; de tal manera que:
Hidrología / David Cedeño
P * Pz * P")
En caso contrario, es necesario ajustar las precipitaciones observadas
utilizando un factor de corrección igual a la razón de las precipitaciones
anuales N / N¡ entre la estación con datos faltantes y las tres estaciones
cercanas. Este procedimiento se denomina método de la razón normal y la
fórmula es la siguiente:
39
1 ( P"3"
Np. ¡/N"'u ¡i/c+(
N p, +NA
P")P
en donde F es la precipitación estimada y ly' es la precipitación anual
registrada en las estaciones.
Sin embargo, el método más utilizado en la actualidad para la
estimación de datos faltantes de precipitación fue desarrollado por el National
Weather Service (1972), el cual esta basado en el promedio pesado de los
valores observados en los alrededores. En este caso, el peso W es el
recíproco de la dist¡ncia al cuadrado; es decir, la suma de las coordenadas al
cuadrado de las estaciones medidas desde el punto de interés:
D2=X2*Y2
Por lo tanto, el factor de peso utilizado en el promedio pesado es:
1W
D2
Hidrología / David Cedeño 40
El valor estimado de la precipitación utilizando n estaciones cercanas
(aproximadamente una estación en cada cuadrante) resulta ser:
E r,w,i=l
Ew,t=l
Ejemplo 6: Promedio Pesado
Estimar la precipitación en la estación A utilizando los datos de 5
estaciones cercanas.
Localización de las estaciones cercanas (sin escala)
P
Hidrología / David Cedeño
Solución:
Tabla: Datos y Cálculos.
41
SUMA: 334.5 567.7
E p,w,-A
tt
Ew,i=l
fn = l.T|plg
ANALISIS DE DOBLE MASA
Latecntca de doble masa se utiliza para verificar la consistencia de los
datos de precipitación. Este método está basado en el hecho de que la
precipitación promedio acumulada para cierto número de estaciones no es
muy sensitiva a los cambios en una estación individual debido a que los
EstaciónP
(ple)
Coordenadas(millas)
X YD2 w.103 P.W.103
A I 0 0 0
B 1.6 +4 +2 20 50.0 80.0
C 1.8 +1 +6 37 27.0 48.6
D 1.5 -3 +2 t3 - 76.9 tt5.4
E 2.0 -J -J 18 55.6 ttt.2F t.7 +2 a 8 t25.0 2I2.5
Hidrología / David Cedeño
errores se compensan, mientras que los valores acumulados para una estación
individual son afectados inmediatamente por los cambios que ocurren en la
estación. Estás variaciones se producen por cambios en la localización de la
estación, tipo de instrumento, método de observación; los cuales muchas
veces no se indican en los registros publicados. Si al graficar la precipitación
anual acumulada para la estación bajo investigación contra la precipitación
promedio anual acumulado de las otras estaciones se obtiene una línea recta,
se puede garantizar que los registros completos para esa estación han sido
obtenidos bajo las mismas condiciones; pero si existe un cambio de pendiente,
generalmente se puede encontrar una explicación al fenomeno. (por ejemplo:
la estación fue movida de sitio). En este caso, los registros anteriores al
cambio de pendiente deben ser ajustados multiplicando por la razón de las
pendientes S2 / Sl para hacerlos compatibles con los datos más recientes.
Ejemplo 6: Análisis de Doble Masa
La siguiente tabla muestra los datos de precipitación anual de la
estación X y el promedio de precipitación anual para 10 estaciones localizadas
en los alrededores (para 25 años de registro).
a) Determinar la consistencia de los registros de la estación X; en caso
necesario, indicar el año donde ocurre el cambio de pendiente.
b) Calcular la precipitación promedio anual para la estación X utilizando
los datos originales y efectuando los ajustes correspondientes.
42
Hidrología / David Cedeño 43
Tabla: Datos y Cálculos
AÑO PRECIPITACION (cm)ESTACIONX PROMEDIO
IO BSTAC]ONES
PRECIPITACION ACUMULADAESTACION X PROMED]O
1O ESTACIONBS
1960 49 38 49 38
1961 38 25 87 63
t962 36 3'7 123 100
1963 25 148 126
1964 35 181 150
1965 38 31 221 181
1966 34 33 255 214
196'7 40 30 29s 244
1968 26 20 32r 264
1969 25 345 289
1970 48 36 393 325
19',71 26 26 419 351
l9'72 42 24 461 375
1973 21 49t 402
197 4 32 32 523 434
197 5 25 30 548 464
19'16 18 566 490
1977 12 5'78 514
r978 36 602 550
19'19 T6 27 618 577
1980 18 25 636 602
1981 20 26 6s6 628
1982 3l 680 6s9
1983 19 32 699 691
1984 18 37 111 728
= at)-uJ9oF@t¡l
€)oOFa tlJo
Iou¡Eo
ob
oJf
=oo<At
6tctu
ó=c\t
@
=uJJtr¡ool!oI9Jz
óooooóoooaó !4, t ci c\¡
x NolSvIS3 :VO\rInv{n3v Nol3vildlc3ud
*1 x
8383ro ta) t c.t
Hidrología / Davíd Cedeño
Solución:
a) El an"ílisis de doble masa muestra un cambio de pendiente en el año
1974, por lo tanto no existe consistencia en los datos de precipitación
para la estación X. Los Valores da las pendientes para cada tramo
son los siguientes:
45
b) Precipitación promedio anual para la Estación X:
Datos originales:
F = 717 = 28.68 cmlaño25
Datos ajustados:
^ 523J. = 1.20' 434
., ( 7t7 - s23)r. = 0.66' (728 - 434)
J:9!-+sr + (717-4e1 )]= te.84cmlaño
F = Li,,ll ¡=t
8_125
Hidrología / David Cedeño
PRECIPITACION PROMDDIO SOBRE TINA REGION
El promedio de la profundidad de la precipitación sobre un área
específica se requiere a menudo para predecir la respuesta de una cuenca o
para desarrollar la tormenta de diseño. Existe tres métodos básicos para
obtener los valores promedios sobre el área: Promedio Aritmético, el
Polígono de Thiessen y el Método de las Isoyetas.
El método más simple es el promedio aritmético de los valores P;
observados en las n estaciones de precipitación loicalizadas dentro de la
cuenca, es decir:
P=
Este método es satisfactorio si los medidores de precipitación están
distribuidos uniformemente y las variaciones individuales de las lecturas no
difieren mucho de la precipitación promedio.
El Polígono de Thiessen permite la distribución de la precipitación de
acuerdo a las áreas correspondientes a cada estación. Para construir los
polígonos se conectan las estaciones por medio de líneas rectas y se trazan
líneas perpendiculares que bisecten a las líneas conectoras para formar los
polígonos alrededor de cada estación; a continuación se miden o calculan las
áreas y laraz6n de las áreas A¡de cada polígono dentro de los límites de Ia
cuenca y el área total A, se utiliza para obtener la contribución de la
precipitación P, en cada estación a la precipitación promedio sobre la cuenca'
en este caso:
46
Li,,h ¡=t
Hidrología / David Cedeño 47
E p,A,P
E¿,
Este método es único para cada red de medición cuando las localización
de las estaciones es permanente y por consiguiente no permite la
incorporación de los efectos orográficos (tales como cambios en la elevación
del terreno) en la distribución de la precipitación. No obstante, es
probablemente el método más utilizado de los tres métodos disponibles para
obtener la precipitación promedio sobre la cuenca.
El método de isoyetas involucra el trazado de contornos de igual
precipitación, o líneas isoyetas, sobre el áreade la cuenca y es el método más
exacto de los tres; sin embargo, se requiere una gran cantidad de estaciones
de medición para dibujar las isoyetas con precisión. Los cálculos de la
precipitación promedio sobre la cuenca están basados en el valor promedio de
profundidad de la precipitación entre cada par de contornos, luego se
multiplica por el área entre las isoyetas para obtener el volumen de
precipitación, finalmente se suman estos productos y se divide por el ítrea
total; en otras palabras:
D/ Volumen
A
tl=l
A.f)l
' A,
PEt=l
Ei=l
E A I
Hidrología / David Cedeño
El método de la isoyetas puede incluir los efectos orográficos y la
morfología de las tormenias; por lo tanto, el ftazado de isoyetas constituye un
mapa adecuado del patrón de la precipitación.
Ejemplo 8: Precipitación Promedio sobre un Área.
Una cuenca de 23.6 millas cuadradas tiene un sistema de cuatro
estaciones de precipitación, tal como se indica en el mapa (sin escala) y las
profundidades de precipitación observadas en cada eitación se muestran en
la tabla de datos. Determinar Ia precipitación promedio sobre la cuenca
utilizando los siguientes métodos:
a) Promedio Aritmético
b) Polígono de Thiessen
c) Método de Isoyetas
Tabla de Datos:
4B
ESTACION PRECIPITACION (ple)
A 2.0
B 1.8
C 1.2
D 1.0
Hidrología / David Cedeño
Solución:
a) PromedioAritmético:
Tabla de Datos:
49
Mapa de la Cuenca (sin escala)mostrando 1a localización de fas
Estaciones .
D-l
J
(
| ", . P, * Po
1.2 + 1.O
)
33 plg
ESTACION PRECIPITACION (plg)
A 2.0
B 1.8
C 1,2
D 1.0
P1.8 +
Hídrología / David Cedeño
b) Polígono de Thiessen:
50
Tabla de Cálculos:
Suma: ú : 23.6 1.000
I.3s plgP
1.35
Pi(ple)
Ai(mi')
Ai/AT Pt(At/Ar)(ple)
2.0 1.5 0.064 0.13
1.8 7.2 0.305 0.55
1.2 5.1 0.216 o.26
1.0 9.8 0.415 0.42
Figura N'7: Poligono de Thiessen.
Hidrología / David Cedeño
c) Método de Isoyetas
Suma: N:23.6
P
Tabla de Cálculos
51_
Vol, 3172
VOL4 :31.72
1.34 plgAr 23.60
0,¿t a +Yalor est¡mado
ISOYETA(ple)
A. (mi') P (nls) Vol=PA¡lt(plg-mi')
2.0
5.1 1.9 9.69
1.8
9.8 i.5 t4.'7
r.2
3.1 1.1 3.41
1.0
5.6 0.'7 3.92
0.4
Figura N'B: Método de Isoyetas.
Hidrología / Daüd Cedeño
EVAPORACION Y TRANSPIRACION
Evaporación es el proceso por medio del cual el agua en estado líquido
o sólido es transformada en vapor de agua, el cual se mezcla con el aire de
la atmóslera.
La evapotranspiración se considera separadamente como la pérdida
combinada de vapor de agua a través de la superficie de las plantas
(transpiración) y la evaporación de la humedad del suelo.
El conocimiento de los procesos de evaporac-ión es importante para
predecir las pérdidas de agua debido a la evaporación que ocurrirán en un
lago o embalse. Aproximadamente el6l% de la precipitación promedio anual
sobre la superficie terrestre regresa a la atmósfera a través de la evaporación
y evapotranspiración (tal como se indica en la figura del balance hídrico
promedio global anual). Sin embargo, las variaciones en la evaporación a
través del continente pueden ser muy grandes, ya que existen regiones
desérticas o áridas donde la evaporación anual puede exceder la precipitación
promedio anual.
En el caso de evaporación desde la superficie de un lago, la pérdida de
agua es función de radiación solar, temperatura del agua y el aire, diferencia
en la presión de vapor entre el agua y la capa de aire sobre el lago y la
velocidad del viento sobre el lago. Cuando ocurre evaporación dentro de un
sistema cerrado a temperatura constante, la presión dentro del recipiente se
incrementa debido al aumento en la presión parcial de vapor. La evaporación
continúa hasta que la presión de vapor de la capa de aire sea igual a Ia presión
de vapor de la superficie del líquido; en este instante se dice que la masa de
52
Hidrología / Daüd Cedeño
aire está saturada a esa temperatura y no ocurre más evaporación. Este
estado de equilibrio no se alcanzaría si el recipiente estuviera abierto a la
atrnósfera; en cuyo caso, el líquido se evaporaría completamente. Se requiere
energia térmica para incrementar la energía libre de las moléculas de agua
para que estas pasen a través de la interfase gasJíquido. La cantidad de calor
requerida para convertir agua en estado líquido a vapor se denomina calor
latente de evaporación.
Cuando la evaporación continúa sobre una s+tperficie horizontal de
agua, la acumulación de moléculas de vapor de agua produce un incremento
en la presión de vapor en el airejustamente sobre la superficie del agua, hasta
que evenfualmente comience la condensación. El aire está saturado cuando
la rata de condensación es igual a la rata de evaporación y además, la presión
de vapor es igual a la presión de vapor de saturación. Sin embargo, existen
varios procesos de transporte convectivo que afectan el transporte de vapor
(tales como corrientes de aire ó vientos) las cuales evitan que ocurra el
equilibrio en el ambiente (sistema abierto).
La evaporación solamente es de gran preocupación en la planificación
de grandes proyectos de recursos hidráulicos y en los estudios de
abastecimiento de agua. Durante períodos típicos de tormentas, con
intensidades de precipitación de 0.5 plg/hr, la evaporación se encuentra en el
orden de 0.01 plg/hr y por lo tanto se puede despreciar en los estudios de
caudales de inundaciones y en las aplicaciones de diseño de drenaje urbano.
La evaporación ha sido estudiada extensivamente en los Estados Unidos
tr2
Hidrología / David Cedeño
especiaknente en los proyectos de investigación de evaporación efectuados en
el Lago Hefner, Oklahoma, por Marciano y Harbeck (1954).
Existen tres métodos primarios para estimar la evaporación desde la
superficie de un lago:
a) El método de balance hídrico
b) El método de transferencia de masa
c) El método de balance energético
METODO DEL BALANCE HIDRIC" "A*A-
DETERMINAR LA
EVAPORACION
El método de balance hídrico para obtener la evaporación de un lago
esta basado en la ecuación de continuidad hidrológica. Asumiendo que el
cambio en el almacenamiento AS, la escorrentia superficial de entrada I y de
salida O, la infiltración F hacia el flujo subterráneo y la precipitación P
pueden ser medidas; la evaporación se puede calcular de la siguiente manera:
E=P+I-O-F-A,S
Este procedimiento es simple en teoría, pero la evaluación del término
correspondiente a la infiltración hace que este método sea muy difícil de
implementar. Las dificultades con este procedimiento resultan de los errores
en la medición de la precipitación y caudales de entrada y salida, cambios en
el almacenamiento y rata de infiltración. Se han obtenido muy buenos
resultados con este método en el Lago Hefrrer con errores del 5% a l0%. Es
importante señalar que el Lago Hefner fue escogido entre más de 100 lagos
54
7
Hidrología lDawd Cedeño 55
y embalses, ya que es uno de los tres o cuatro lugares que satisfacen mejor
los requerimientos del balance hídrico.
METODO DE TRANSFERENCIADE MASA
Las técnicas de transferencia de masa están basadas principalmente en
el concepto de transferencia turbulenta de vapor de agua desde la superficie
del líquido hacia la atmósfera. Se han desarrollado rumerosas fórmulas
empíricas para obtener la rata de evaporación co?no una función de la
diferencia de presión de vapor y la velocidad del viento sobre el lago o
embalse. La mayoría de estas ecuaciones se pueden escribir de manera
similar a la ley de Dalton:
E = l"* - eo)la * bu)
donde: E
e-
ea
u
a,b
evaporacron.
presión de vapor en la superficie del agua.
presión de vapor a cierta altura sobre la superficie
velocidad del viento
constantes empíricas
Un obstáculo para comparar 1as diferentes fórmulas de evaporación es
la variabilidad en la medición de la altura para ea y z. Si reducimos todas las
fórmulas existentes a efectuar las mismas mediciones a una alfura de 2 metros
(6.5 pies) para la velocidad del viento y la presión de vapor y tomamos en
Hidrología / D avid Cedeño
cuenta la diferencia de alrededor de 30% entre la evaporación medida en un
tanque evaporímetro y la evaporación actual sobre un embalse, la discrepancia
entre las diferentes fórmulas se reduce considerablemente.
La fórmula empírica con la mejor base de datos es para el lago Hefner,
la cual también funciona para el lago Mead, fue presentada por Harbeck y
Meyers (1970) y tiene la siguiente forma:
56
donde: E
N
N
N
E = N url e, - er)
rata de evaporación (cm/día)
constante empírica
0.012 para el Lago HeÍher
0.0118 para el Lago Mead
presión de vapor en la superficie del agua (mb)
presión de vapor medida a 2 metros sobre la
superficie (mb)
velocidad del viento medida a 2 metros sobre Ia
superficie del agua (m/s).
ew
e2
u2
METODO DE BALANCE ENERGETICO
El método más preciso y complejo para determinar la evaporación
utiliza el balance energético de un lago. La ecuación general para el balance
energético de un lago en langley/día (1 langley - Lv I callcñ) se puede
expresar como:
Hidrología / Daüd Cedeño
o -o.-o=o^-o
radiación neta absorbida por el cuerpo de agua
transferencia de calor sensible
(conducción y convección hacia la atmósfera)
energía utilizada para evaporación
incremento en la energía almacenada en el cuerpo
de agua
energía transportada por advección del caudal de
entrada y salida
donde:
Figura N'9: Balance Energético de un Lago
Por otro lado, la radiación neta Q" absorbida por el cuerpo de agua es
equivalente a:
o =o -o -o-b
57
Qn
Qn
Q"
Qu
Q"
Hidrología / David Cedeño
donde: Q, radiación solar de onda corta
Q. radiación reflejada de onda corta
Qn radiación de onda larga reflejada hacia la atmósfera
Si recordamos que L" representa el calor latente de vaporización
(cal/gm) y p larazón entre la perdida de calor por conducción y la pérdida de
calor por evaporación, tenemos que:
EQ,*Q,-Qs
oZ,(1 +P;
donde E es la rata de evaporación (cm/día) y p es la densidad del agua
(gm/cm3). La razón de Bowen p se utiliza como una medida del calor
sensible transferido y puede ser calculada de esta manera:
(r-r\ro\ (r-r\p ='., l.;=j l,r*,l ='li=)donde: P : presión atmosférica (mb)
Tu temperatura del aire (oC)
T, temperatura de la superficie del agua (oC)
es presión de saturación de vapor a la temperatura de
la superficie del agua (mb)
ea presión de vapor del aire (mb)
y : constante psicométrica (mb/oC)
58
Hidrología / Daüd Cedeño
Nota: 0.66 P / 1,000
La aplicación del método de balance energético requiere la medición de
la radiación total de entrada neta. La razón de Bowen fue propuesta debido
a que la transferencia de calor sensible no puede ser calculada fácilmente. El
método fue aplicado al Lago Hefner y al Lago Mead y fue utilizado para
evaluar los coeficientes empíricos para el método de transferencia de masa y
para interpretar los datos de evaporación para un tanque evaporímetro
colocado en el Lago Hefner. El método de balance energético es
teóricamente el más preciso, pero requiere la colección de grandes cantidades
de datos atmosféricos. Para evitar este problema, se han desarrollado otros
procedimientos, tales como el tanque evaporímetro para estimar la
evaporación de un lago poco profundo y los métodos combinados.
TANQUE EVAPORTMETRO
La evaporación puede ser medida utilizando un tanque estandarizado
tipo A, el cual es un tanque cilíndrico abierto de hierro galvanizado de 4 pies
de diámetro y 10 pulgadas de profundidad, colocado a 12 pulgadas sobre el
suelo. Para estimar la evaporación, el tanque se llena de agua hasta una
altura de 8 pulgadas y se debe rellenar cuando la profundidad desciende a 7
pulgadas. El nivel de la superficie de agua se mide diariamente y laevaporación se calcula como la diferencia entre los niveles observados,
ajustados para tomar en cuenta la precipitación medida en un pluviometro
cercano. La evaporación en un tanque evaporímetro es mayor que la
59
Hidrología / David Cedeño
evaporación actual en el lago y debe ser ajustada para tomar en cuenta la
radiación y los efectos del intercambio de calor. El factor de ajuste se
denomina coeficiente del tanque, el cual varia de 0.64 hasta 0.81 con un valor
promedio de 0.70. Observe que este coeficiente varia con la exposición a la
radiación y las condiciones climáticas y debe ser utilizado solamente para una
estimación aproximada de la evaporación de un lago por medio de la siguiente
fórmula:
EL = Cr'E,
60
donde: EL
CT
ET
evaporación estimada en el lago
coeficiente del tanque (Cr = 0.7)
evaporación medida en el tanque evaporímetro
O+
METODOS COMBINADOS
Penman (1948) fue el primero en utilizar las mejores características de
los métodos de transporte de masa y balance energético para derivar una
relación para la evaporación de la superficie del agua de un lago que fuera
relativamente sencilla de calcular. La ecuación de Penman [(en unidades de
eneryial (ínea'tiempo) I es :
F.=-h
vEa +y a
A
A +Y
a
Hidrología / Daüd Cedeño
donde: Eh flujo de calor latente debido a la evaporación
A : pendiente de la gráfica de presión de saturación de
vapor es en función de la temperatura T (mb/oC)
constante psicométrica (mb/oC)
Qn radiación neta absorbida
Eu poder de secado del aire
De puede uttl:zar la siguiente fórmula para el cálculo del flujo de calor
latente debido a la evaporación :
Eh = p L"E
donde: E, flujo de calor latente debido a la evaporación
lener gía I (ár ea' tiemp o)l
densidad del agua (masa/volumen)
L" calor latente de vaporización, generalnente
evaluado a la temperafura del aire (energía/masa).
E rata de evaporación (profundidad/tiempo)
En la práctica, es común medir el parámetro A a la temperatura del aire
y no a la temperatura de la superficie del agua. Este parámetro A (en mb/oC)
se puede obtener diferenciando la expresión para la presión de saturación de
vapor en función de la tempetratura T (en oC); es decir:
A = d"" - (2.7489xrc8)'G,27g.6) "*o
( - q,zts.a \dr (r.rorrn\2 '\r*z+zts)
\/
6L
Hidrología / David Cedeño
Según Brutsaert (1982), el poder de secado del aire [en unidades de
energía / (área.tiempo)l se puede evaluar de la siguiente manera:
52
Eo = pL"(".0,)(,,,-"")
donde: E^
p
L"
a,b
u
er"
poder de secado del aire
densidad del agua
calor latente de evaporación
constantes empíricas de transferencia
velocidad del viento
presión de vapor de saturación a la temperatura del
aire
presión actual del vapor en el airee2
H" too sa
humedad relativa en porcentaje ( %)
La ecuación de Penman tiene la ventaja de que la temperafura del agua
o del suelo no se requiere en los cálculos. Se ha encontrado que esta ecuación
es muy útil para estudios de evapotranspiración, en los cuales es muy difícil
determinar la temperatura superflcial de la vegetación. Cuando la
temperatura de la superficie del agua se puede medir, el procedimiento del
balance energético - razón de Bowen es probablemente mejor porque evita la
necesidad de utilizar los coeficientes empíricos de transferencia (a + bu).
H
Hidrología lDaidCedeño 63
Ejemplo 9: Evaporación utilizando la ecuación de Penman
La ecuación empírica de transferencia de masa para cierto lago es:
E = 0.0106f, I +0.r,\(, -e l\ /\' ')
donde E se mide en pulgadas/día, u en millas/horas y las presiones de vapor
en mb. Estimar la evaporación de ese lago utilizando la ecuación de Penman,
para una temperatura del aire de 90oF, velocidad hel viento de 20 MPH,
humedad relativa de30%, un flujo de radiación neta de 400 langley/día y una
presión atmosférica de l000mb (nota: 1 Ly : I callcm2).
Datos: T 90oF
u : 20MPH
H 30%
Qn 400 Lyldía
P : 1,000 mb
Solución:
a) Coeficiente empírico de transferencia (a + b u):
E = ('.u,)("--,,) = 00roe (r.0,,)(,--".)
Por lo tanto, el valor del coeficiente empírico es:
/\/\/\1a + b/t = 0.0106 I l+0.lrl = o.oloe f t * ol.zol= ornts ptg\/\/\/mb'dta
Hidrología / Daüd Cedeño
b) Temperatura (T):
T("C) - s
9rr".F)-32 l- s lno-rr) = i2.2.cI s\ i
64
c) Constante Psicométrica (y):
_ 0.66P _ 0.66(1,000) = 066 mb
1,000 1,000 0c
d) Pendiente (A):
^ du, 2.7489 x to. . (4,278.6) f - 4.27s.6avñ I
--
dT / \z 'l T*z¿ztg\T+2a2.7e)
t
e) Presión de Saturación de Vapor a la temperatura del aire (e,"):
€"o = 2.7489x 108 exp ( --o''''r u
)-^'lr*242.7s)
€,o = 2.748er ros exp ( - !''!|-u --) = 48.7 mb
\ 32.2 +242.79 )
1.1761 x 012
.79
1
2"'.n I
- 4,278.6
32.2 + 242.79) = 2.72 mb
).c^= (rr, .,o)'
Hidrología i Daüd Cedeño 65
0 Presión actual del Vapor del aire (e):
e = H " - 30 (48.1 ) = l4.4mb
' 1oo so loo
g) Calor Latente de Vaporización (L"):
L, = ss7.3 - 0.57 T = se7.3 - 0.s7 (32.2) = sls +
h) Poder de Secado del aire (E"):
Eo = pL"( o.r,\(,""-,,\--¿\" i \ sct r)
".= [' #\,, #)(00,,* #h)(or,*u - 144nb)
" =(uroon cat'ptg.l( ,ro:y\ = 1.576 cat = t.si6 Lv' \ cm3.día)\ pts ) cm2'día dta
i) Flujo de Calor Latente de Vaporización (ecuación de Penman):
E.=Lo*\E/'
^ +y 'tl A +T a
E, = 2.72 loool¿) + 0.6ó ( ,.rru tr_)' 2.72 + 0.66 \ dla ) 2.72 + 0.66 \ dial
Hidrología / Daüd Cedeño
E.
E.
Rata de Evaporación (E):
Eh = p L"E
Por consiguiente, tenemos que:
630 cal
cm2 . día
PL" ('#) ("'Conversión de unidades (sistema inglés):
E = ( ,0, ,,'\( rprs ) = 043\ dral\ 254cm)
66
uro L!día
= 630cm2.día
cm
dlaE
plgdla
= 1.09cal \_t
cm)
EVAPOTRANSPIRACION
Evapotranspiración @T), algunas veces llamado uso consuntivo ó
evaporación total, es la combinación de evaporación sobre la superficie del
suelo y la transpiración a través de los poros (estomas) de las hojas de las
plantas. Los mismos factores que afectan la evaporación de una superficie de
Hidrología / Daüd Cedeño
agua (tal como un lago) también gobiernan la evapotranspiración,
principalmente el abastecimiento de energía y el transporte de vapor. En
adición, un tercer factor afecta el mecanismo de evapotranspiración: el
abastecimiento de humedad en la superñcie de evaporación. Cuando el suelo
se seca, la rata de evapotranspiración se reduce a un nivel inferior al que
existiría en un suelo bien irrigado.
La capacidad de campo del suelo es el contenido de humedad por
encima del cual el agua drena por gravedad y el punto de marchitez es el
contenido de humedad por debajo del cual las plantas no pueden extraer agua
del suelo.
Para la mayoría de las plantas, la transpiración ocurre solamente
durante las horas de luz solar mediante el proceso de fotosíntesis, la cual
produce variaciones diurnas en el nivel freático poco profundo en zonas con
vegetación densa. La evapotranspiración alcanza un valor máximo si el
suministro de agua hacia las plantas y superficie del suelo es ilimitado. La
pérdida máxima posible esta limitada por condiciones meteorológicas y se
denomina eyapotranspiración potencial (Thornthwaite, 1948) y es
aproximadamente igual a la evaporación que ocurriría en una superficie
grande de agua, tal como un lago. Por consiguiente, los métodos utilizados
para arnlizar la evaporación discutidos anteriormente, también se pueden usar
para predecir la evapotranspiración potencial.
Hidrología / David Cedeño
INFILTRACION
El proceso de infiltración ha sido ampliamente estudiado y representa
un mecanismo importante para el movimiento del agua hacia el suelo bajo la
acción de la gravedad y fuerzas capilares. Horton (1933) demostró que
cuando la rata de precipitación i excede la rata de infiltración/, el agua se
infiltra en las capas superficiales del suelo en una proporción que
generalmente disminuye con el tiempo. Para cualquier suelo, existe una
curva limítrofe que define la rata de infiltración máx-ima posible en función
del tiempo. La rata de infiltración depende de manera muy complicada con
la intensidad de precipitación, tipo de suelo, condición de la superficie y
cobertura de la vegetación.
Cuando existe una precipitación excedente, es decir, la rata de
precipitación es mayor que la rata de infiltración, la infiltración seguirá la
curva limítrofe mostrada en la Figura 10, la cual se denomina curva de
capacidad de infiltración del suelo. En esta gráfrca se puede observar que la
capacidad disminuye con el tiempo hasta que alcarlza un valor constante. Esta
disminución se produce por el llenado de los poros del suelo con agua,
reduciendo la succión capilar. Por ejemplo, en pruebas controladas se ha
demostrado que esta disminución es más rápida y el valor constante es menor
para suelos arcillosos que para suelos arenosos.
68
Hidrología / Daüd Cedeño
ALh{ACENAMIENTO INICIAI {INTEHCEPüÚN Y AWAC€NAMIENf O
EN DEPfiESIONES]
INTENSIOAD DE PREEHTACIBNVOLUMEN DE
ESCCFFENiIA
lNRLIFACIIJN II}
Figura N'10: Módelo Conceptual de-Lnl].Icracron de -Horton.
RATA DE INFILTRACION
El concepto hidrológico de capacidad de infiltración es empírico y está
basado en observaciones efectuadas en la superficie del suelo. Cuando la
intensidad de precipitación i es mayor que la rata de infiltración f, Horton
(1940) sugirió la siguiente forma para 1a ecuación de infiltración:
bv
i,f
VOLUMEN DE
iNFIL;RAI:IÜN
Hidrología / Daüd Cedeño
donde: ff"
f"
k
capacidad de infiltración (plg/hr)
capacidad inicial de infiltración (plg/hr)
capacidad final de infiltración (plg/hr)
constante empírica (hr-1)
70
El volumen total de infiltración F se puede obtener integrando la
ecuación de Horton y esta dado por:
F(t\ = r"t . ("*"1 ,, -,-*,,
Una limitante de la ecuación de Horton es que la capacidad de
infiltración disminuye como una función del tiempo, sin tomar en cuenta la
cantidad de agua disponible para infiltración. Es decir, que la ecuación asume
la formación de lagunas ó charcos de agua en la superficie que del suelo y una
reducción en la capacidad de infiltración, independientemente de que la
intensidad de precipitación i exceda ó no el valor calculado para la capacidad
inicial de infiltración f". Por ejemplo, es muy común que la capacidad de
infiltración de suelos arenosos sea mayor que la intensidad de precipitación,
con valores de la capacidad final f que se encontraran en el rango de 10 a
20 plglhr. En muchas ocasiones, las lluvias muy fuertes no alcanzan estos
valores; en consecuencia, toda la lluvia se infiltraría en el suelo, es decir que
f : í. Por consiguiente, la capacidad de infiltración debe reducirse en
proporción al volumen acumulado de infiltración, no en proporción a la
duración de la infiltración.
Hidrología / Daüd Cedeño '7L
Rubin y otros (1963, 1964) demostraron que las curvas observadas por
Horton se pueden predecir teóricamente si se conoce Ia intensidad de la lluvia,
las condiciones iniciales de la humedad del suelo y las curvas características
para el suelo no saturado. Ellos indicaron que la rata de infiltración final es
numéricamente equivalente a la conductividad hidráulica para suelos
saturados. Adicionalmente, Rubin mostró que la formación de charcos de
agua y lagunas en las superficie ocurrirá solamente si la duración de la
precipitación es mayor que el tiempo requerido para que el suelo se sature en
la superficie.
Eiemolo 10: Ecuación de infiltración de Horton.
Se estima que la capacidad inicial de infiltración f de una cuenca tiene
unvalor de 1.5 plg/hry la constante empírica k se asume que es 0.35 hr r;
además, se ha observado que la capacidad de equilibrio f" es 0.2 plg/hr.
Utilizar la ecuación de Horton para encontrar:
a) Los valores de la capacidad de infiltración f para los siguientes
instantes: t : 10 min, 30 min,l hr, 2hr y 6 hroras.
b) El volumen total de infiltración durante el período de 6 horas.
Observación: Durante el intervalo de tiempo 0 < t < 6 hr, la intensidad de la
precipitación i es mayor que la rata de infiltración /; es decir: i > /.
7
1)Hidrología / Daüd Cedeño
Solución:
a) Capacidad de infiltración/ (Ecuación de Horton):
r = r, - (r,-r"), n'
f = 0.2 + ( 1.5 - 0.2)e-035t - 0.2 + 1.3 exp(-0.35t)
t [horasJ
K = 0-35 hr
f [plsrhr]
t (horas) f (ple/hr)
u6 t.43
U2 1.29
1 l.r22 0.85
6 0.36
7
Hidrología / Daüd Cedeño
b) Volumen de infiltración -F (integración de la ecuación de Horton en el
intervalo 0 < t < 6 horas):
'73
F = {"' f o, = [,' t 0.2 + t.3e o'35t ) dÍ
6
0
or, -(-J.3-') "-0.,,,\ o.ls /F=
F = 1.2 - 337 exp(-2.10) + 3.71 = 4.46 plg
OTROS METODOS PARA CALCULAR LA INFILTRACION
Se han desarrollado otras fórmulas para calcular la infiltración
utilizando soluciones analíticas para la ecuación de flujo no saturado. Por
ejemplo, Philip (1957) desarrollo una ecuación de la siguiente forma:
f = | ¿r-rrz + B2
F = A ttt2 + Bt
donde: f : capacidad de infiltración (plg/hr)
F : volumen acumulado de infiltración (plg)
A, B : constantes relacionadas con el tipo de suelo y
movimiento del agua
Hidrología / Daüd Cedeño
i . f [plgJhrl PF¡ECIPITACIf]¡I Tf]TAL
rHErcEf
t [horasl
Figura N"11: Método del Indice é
Por otro lado, cuando no existen mediciones detalladas de las pérdidas
de agua y en e1 caso de cuencas urbanas, las cuales son altamente
impermeables; el uso de procedimientos empíricos producen resultados
satisfactorios en la mayoría de estas situaciones. Se ha observado que la
infiltración representa un porcentaje variable de la precipitación total que cae
enuna cuenca. En la mayoría de los esrudios de drenaje u¡bano y control de
inundaciones se utiliza la ecuación de Horton, o en su reemplazo, métodos
más simples para predecir los volúmenes de infiltración. El índice iD es el
'74
YOLUI¡tEH DE IHFILTRACIÜH
Hidrología / Daüd Cedeño
método más elemental y se calcula encontrando la diferencia entre la
precipitación total y la escorrientia superhcial registrada en un hidrograma de
descarga. El método del Índice o asume que la pérdida de agua se distribuye
uniformemente durante el evento de precipitación. El método del índice o
para infiltración se ilustra por medio del siguiente ejemplo.
Ejemplo 11: Método del índice é para calcular la infiltración.
Utilice los datos de precipitación mostrados en la tabla para determinar
el índice é de una cuenca que tiene un área de 0.875 millas cuadradas, si el
volumen de escorrentia medido fue de 228.7 acres-pie; además, calcular la
profundidad de precipitación total y la infiltración (ambas en plg).
Tabla de Datos:
75
Intervalo de Tiempo(hr)
Intensidad de Precipitación(ple/hr)
o-2 1.4
2-5 2.3
5-7 1.1
7-10 0.7
10 12 0.3
Hidrología / Daüd Cedeño
Solución:
El primer paso requerido para la solución del problema involucra ia
construcción de una gráfica con los datos de precipitación.
a) Profrutdidad de Escorrentia Superficial R :
R= Volumen
Area
(228.7 acres.pies) (43,560 pies2/acres) (12 ptg/pie)(0.875 mi2 ) ( 5,280 pieslmilla)2
R = 4.9 ptg
76
R
Hidrología / Daüd Cedeño
b) Indice o:
La rcta de infiltración ó índice o se puede encontrar por ensayo y
error. La escorrentia superficial R es el volumen de agua por encima de la
línea para la cual i : ó: observe que en algunos períodos el índice é es
mayor que la intensidad de precipitación i. Asumiendo que el rango para la
rata de infiltración es 0.7 plg/hr < o < 1.1 plg/hr; tenemos:
77
R = (1.4 - o)(2 -0) +(2.3 - o)
4.9 = (2.8 + ó.9 + 2.2) - (2 + 3
11.90 - 4.91.0 plglhr
Observe que este valor esta dentro del rango asumido. Estos cálculos
nos indican que debajo de la línea atrazos para la cual o : 1.0 plg/hr, la
precipitación se infiltra en el suelo y que el volumen encima de la línea a
trazos corresponde a la escorrentia superficial.
c) Precipitación Total P:
P= 1.4(2-0) + 2.3(5 -2) * 1.1(z -s) + 0.7(10-7) + 0.3(12-10)
P = 2.80 + ó.90 + 2.20 + 2.10 + 0.60 = 14.60 plg
(s-2)+(1.1 -o)(7-s)
+2)é = 11.90 - 7O
Hidrología / David Cedeño
d) Infiltración F:
F = P - R = 14.6 - 4.90 = 97 plg
Método alterno para el cálculo de la infiltración:
¡' = o(7 - 0)+0.7(10 - 7) * 0.3(12 - 10)
F = 7 +2.1 + 0.6 = 9.7 ple
ESCORRENTIA ST]PERFICIAL
Cuando la precipitación cae sobre la superficie de la tierra, se
distribuye de diferentes maneras; inicialmente la precipitación comienza a
rellenar las depresiones del suelo, infiltrarse para recargar la humedad del
suelo y agua subterránea, o viajar como flujo subsuperficial hasta alcanzar
una corriente de agua. El almacenamiento en las depresiones se satisface en
los períodos iniciales de la tormenta, seguido a continuación por la capacidad
de humedad del suelo. Eventualmente comienza el flujo superficial ó
escorrentía, el cual ocurre solamente después que la intensidad de laprecipitación i sobrepase la capacidad de infiltración f (i > f).
El concepto clásico de generación de corrientes debido al flujo
superficial sobre la tierra fue propuesto por Horton (1933), quien indicó que
el flujo superficial estaba distribuído de manera generalizada sobre el terreno.
Posteriormente otros investigadores analizaron la gran heterogeneidad que
existe en cuencas naturales e introdujeron el concepto de contribución parcial
del área superficial (Betson, 1964). Este concepto reconoce que solamente
78
Hidrología / David Cedeño
algunas porciones de la cuenca contribuyen regularmente al flujo superficial
hacia las corrientes y que no más del I0% aproximadamente del área de la
cuenca en estado natural contribuye al flujo superficial. En ambientes urbanos
con grandes zonas impermeables, el porcentaje de contribución al flujo
superficial puede ser mucho mayor.
Un segundo concepto importante en la generación de escorrentía
superficial es el movimiento de agua debajo de la superflcie del terreno en las
capas superiores del suelo sin alcawar la zona de saturación, el cual se
denomina flujo subsuperficial. Freeze (1972) concluyó que el flujo
subsuperficial era una componente significativa solamente en terrenos con
pendientes convexas que abastecen canales profundos y solamente en el caso
de suelos muy permeables. En pendientes cóncavas, los valles saturados
creados por el ascenso del nivel freático contribuyen con el flujo superficial,
el cual generalmente excede el flujo subsuperficial.
El flujo superficial producido por la precipitación excedente se mueve
hacia abajo en dirección de la pendiente de la superficie del terreno hasta
alcanzar los pequeños canales de drenaje ó quebradas, los cuales fluyen hacia
corrientes mas grandes, transformandose generalmente en ríos. Cuando el
flujo alcanza la corriente principal, las velocidades y las profundidades del
flujo se pueden medir en una sección transversal particular a través del
tiempo, 1o cual nos permite obtener el hidrograma, es decir, una gráfica de
la descarga ó caudal en función del tiempo. La forma actual y los tiempos del
hidrograma están determinados en gran parte por el tamaño, forma, pendiente
y almacenamiento en la cuenca; y por la intensidad y duración de la
'79
Hidrología / David Cedeño
precipitación. Estos factores se analizan con mayor detalle en la siguiente
sección donde se estudian las relaciones entre precipitación y escorrentía.
Después que termina la precipitación, el volumen almacenado en la cuenca se
libera hacia las corrientes, completando el ciclo de la tormenta.
Los canales pueden contener cierta cantidad de flujo base, el cual
proviene del flujo subterráneo y las contribuciones del suelo, aún en la
ausencia de precipitación. La descarga producida por la precpitación
excedente, es decir, la precipitación total menos todas-las pérdidas, constituye
el hidrograma de escorrentía directa. Por lo tanto, se considera que el
hidrograma total está formado por la escorrentía directa mas el flujo base. La
duración de la precipitación determina la porción del área de la cuenca que
contribuye al flujo máximo, mientras que la intensidad de la precipitación
determina la magnitud del caudal máximo resultante. Si la precipitación
mantiene una intensidad constante por un período muy largo de tiempo, se
produce un almacenamiento máximo y se alcanza una condición de equilibrio
para la descarga. Esta condición de equilibrio se logra en muy raras ocasiones
en la naturaleza debido a la variación de la intensidad y distribución en el
tiempo y el espacio de la precipitación sobre la cuenca.
MEDICION DEL CAT]DAL: AFOROS
Para determinar el caudal en un río se utiliza una técnica denominada
aforo, la cual consiste en dividir el ancho total de la corriente en un número
conveniente de secciones y la velocidad media en cada sección se mide
80
Hidrología / David Cedeño
utilizando un molinete. Estas mediciones se pueden efectr¡ar por vadeo cuando
los ríos son poco profundos, desde un bote, puente ó cablevía.
Se ha observado que la velocidad media V en una sección ocurre
aproximadamente a 0.6 D, medida desde la superficie del agua, por lo tanto
la velocidad se mide a ese nivel con el molinete. Sin embargo, cuando la
profundidad D enla sección es mayor de cierto valor, se recomienda utilizar
el promedio de las velocidades medidas a 0.2 D y 0.8 D.
También se puede estimar el caudal en una corriente de manera
rudimentaria utilizando un flotador; en este daso el caudal Q en cada sección
será igual a la velocidad V del flotador corregida utilizando un coeficiente
C, el cual tiene un valor aproximado de 0.85, multiplicada por el área,4 de
la sección transversal del río sobre la cual se midió la velocidad con el
flotador; es decir:
Q, = C'V,'A,
Por lo tanto, el caudal total es:
o^ = Io
Cuando escogemos un sitio para el establecimiento de una estación de
medición, podemos obtener información sobre el caudal para diferentes
niveles del agua en la sección de aforo, lo cual nos permitirá desarrollar una
curva de calibración, es decir, una relación entre el nivel y la descarga.
81
Hidrología / David Cedeño
bl Curva de Calibración
Figura Nql2: Determinación de1 Caudal.
Ejemplo 12: Determinación del Caudal
Obtener el caudal total y la velocidad
transversal de un río, utilizando la información que
tabla, obtenida por medio de un aforo por vadeo.
82
F_t
'/
promedio en ia sección
se muestra en la siguiente
'iIF.
,r "-lD¡
-l!.'t'o*
it\-
a.| Sección Transversal Típic
ca uda I
Hidrología / David Cedeño
Tabla: Datos del Aforo
* Nota de Aclaración: l¿ lectura en la varilla de vadeo para la medición de la velocidadestá tomada con respecto al fondo. Cuando D < 0.40 m se efectuó una sola medición a
0.40 D; pero si D > 0.40 m, se efectuaron dos mediciones a 0.80 D y 0.20 D; obseweque en este caso la suma de las dos lecturas es igual a la profundidad.
B3
Est¿ción(m)
Profundidad: D(m)
Lectura *(m)
Velocidad: V(m/seg)
3.00 o_28 0.000
3.75 0.32 0.13 0.329
4.50 0.46 0.37
0.09
0.448
o.397
5.00 0.56 0.45
0. 11
0.430
o.310
6.50 0.69 0.55
0.14
0.468
0.443
7.00 0.75 0.60
0.15
0.527
0.428
7.75 0.73 0.58
0.15
0.458
0.357
8.75 o.62 0.50
0.r2
0.428
0.3s2
i0.00 o.s2 0.42
0.10
0.458
0.329
10.50 o.41 0.33
0.08
0.448
0.302
12.75 0.33 0. 13 0.410
14.00 0.00 0.000
Hidrología / David Cedeño
Tabia: Cálculo del Aforo
Suma: Ib; :11.00 IAi:5.3355 IQi :2.1407
Observaciones:
a) Columna 3: La velocidad media es el valor único rnedido ó el valor promedio de
las dos velocidades observadas en cada estación. En ambas orillas del río(estaciones de los extremos) se utiliza 1/3 V de la velocidad registrada en las
estaciones adyacentes.b) Colur¡na 4: El ancho correspondiente a cada estación es la diferencia entre las
distancias a los puntos medios entre cada estación, con excepción de los extremosdonde se utiliza el punto rredio entre la estación adyacente y la estación de laorilla. Colno regla general tenemos que:
b = r/2 (ESTti - EST: )
Adernas, observe que la suma de todos los anchos debe ser igual al espejo (ancho
total de la sección transversal del río).
a4
Esución(m)
ProfundidadD¡ (m)
VelocidadV, (m/s)
Anchobi (m)
AreaAi (m')
Caudal
Q¡ (m3/seg)
3.00 0.28 0.1097 0.315 0.1050 0.0115
3.7s 0.32 0.3290 0.750 0.2400 0.0790
4.50 0.46 0.422s 0.62s 0.2875 0.t2r5
5.00 0.s6 0.4000 1.000 0.5600 0.2240
6.50 0.69 0.4555 1.000 0.6900 0.3143
7.00 0.15 0.4775 o.625 0.4688 0.2239
'7.75 0.13 0.4075 0.875 0.6388 0.2603
8.15 0.62 0.3900 1.125 0.697s o.2720
10.00 0.52 0.3935 0.875 0.45s0 0.1790
10.50 0.41 0.3750 t.375 0.5638 0.2114
t2.15 0.33 0.4100 t.'750 0.57'/5 0.2368
14.00 0.00 0.1367 0.625 0.0516 0.0070
Hidrología / David Cedeño 85
c) Columna 5: El área de cada sección es igual a la profundidad multiplicada por el
ancho; es decir:
Ai = b.' Di
Excepto en las orillas sin profundidad donde se utiliza un cuarto (1/4) de laprofundidad de la estación adyacente.
d) Columna 6: El caudal en la seccióu es el producto de la velocidad media y el área;
por consiguieffe:
o = v..a
Solución:
a) Ancho total B (espeio) de la sección transversal del río:
B = E.S/ _ EST IbJlnat tnt.ral
B = 14.00 - 3.00 = 17.0O m
b) Area total Ar:
Ar = LA,- = 5.3355m2
c) Caudal total Qr:
Q' = L Q' = 21407 m3 /seg
d) Velocidad Promedio en la Sección Transversal:
v = 8' - 2 7407 m3 lseg = o.4or2 mrsegAr 5.3355 m2
ANALISIS DE PRECIPITACION - ESCORRENTIA
RELACION ENTRE PRECIPITACION Y ESCORRENTIA
Cuando la precipitación sobrepasa la rata de infiltración en la superficie
del terreno, el exceso de agua comienza a acumularse como almacenamiento
superficial enpequeñas depresiones del terreno originadas por la topografía.;
eventualmente el flujo escurre sobre la superficie del terreno en algunas
porciones de la cuenca y el flujo se concentra rápidamente en arroyos ó
canales pequeños, los cuales fluyen a su vez hacia corrientes más grandes ó
ríos. Tal como se mencionó anteriormente, el flujo subsuperficial y el flujo
base también contribuyen en cierta proporción con el hidrograma total de
descarga durante un evento de lluvia.
Los hidrólogos e ingenieros civiles especializados en recursos
hidráulicos, están interesados en la cantidad de escorrentia generada en una
cuenca por un patrón dado de precipitación. Se han efectuado muchos
intentos para analizar estadísticamente los datos históricos de precipitación,
evaporación y datos de flujo en corrientes con la finalidad de desarrollar
relaciones de predicción entre estos procesos. Factores tales como
precipitaciónprecedente, humedad del suelo, inñltración variable y respuestas
diferentes de la escorrentia superficial con las estaciones del año, hacen que
el desarrollo de estas relaciones sea muy difícil.
Una gran cantidad de investigadores ha intentado desarrollar relaciones
de precipitación - escorrentía que se puedan aplicar a cualquier región ó
cuenca bajo cualquier serie de condiciones. Sin embargo, estos métodos
Hidrología / David Cedeño
deben ser utilizados con extrema precaución debido a la variabilidad de los
factores que afectan la evaluación de la escorrentía a partir de un volumen
conocido de precipitación.
Las relaciones simples de precipitación - escorrentía deben ser
utilizadas solamente en estudios de planificación de recursos hidráulicos
cuando se requiere una estimación rústica de la respuesta de la cuenca. Es
importante señalar que se requiere un conocimiento detallado de la magnitud
y distribución en el espacio (área) y tiempo de la preeipitación y escorrentía
para el análisis completo de los proyectos de control de inundaciones y
estudios de planicies de inundación, especialmente en las regiones afectadas
por el drenaje urbano.
Una de las fórmulas mas simples de precipitación - escorrentía se
denomina Método Racional, el cual permite la predicción del caudal máximo
Q de la siguiente manera:
donde: C
o = c'i.A
coeficiente de escorrentía, el cual varía con el uso
de la tierra
intensidad de la precipitación para la frecuencia ó
período de retorno seleccionado y una duración
igual al tiempo de concentración /"
tiempo que demora la lluvia que cae en el punto
mas remoto de la cuenca en viajar hasta la salida
área de la cuenca
tc
87
A
Hidrología / David Cedeño
Existen muchos métodos empíricos para estimar la magnitud del tiempo
de concentración; una de las primeras fórmulas fue propuesta por Johnston
y Cross (9a\ y es la siguiente:
t = orl ''l'' lrl-r)Donde el tiempo de concentración /" está en horas, la longitud del canal
principal I en millas y la pendiente promedio del canal ,S en pies/milla.
El Método Racional se le atribuye generalmente a Mulvaney (185i),
quien describió el procedimiento en una publicación técnica en Irlanda. El
método está basado en la suposición de que una rata de precipitación
consfante y uniforme producirá la esconentia máxxna cuando fodas las partes
de la cuenca estan contribuyendo con el caudal; observe que esta condición
se satisface cuando la duración de la lluvia es mayor ó igual al tiempo de
concentración. El Método Racional fue el precursor del concepto de
hidrogramas de tormentas y el resto de este capítulo se dedicará al desarrollo
de la teoría de hidrogramas y a la aplicación de estos métodos al análisis de
lluvias complejas en cuencas grandes.
Ejemplo 13: Método Racional
Se desea determinar el caudal máximo Q ("n m3/s) producido por una
tormenta con un período de retorno T : 10 años. El área de la cuenca es
A : 40 hectáreas y el tiempo de concentración es t" : 25 minutos.
8B
7
Hidrología / David Cedeño
Suponga que la curva de intensidad-duración-frecuencia para este período de
retorno es la siguiente:
I ¿5
t" * 36
donde i esta en plg/hr y /" en minutos. Los datos sobre el uso de la tierra
y coeficientes de escorrentía se muestran en la siguiente tabla.
Tabla de Datos
Solución:
a) Coeficiente de escorrentía:
B9
E c,' A,0.40. 30 + 0.60' 3 + O.15 . 7
E ,t,30 + 3 + 7
c - 1485 = 0.3740
Uso Area(ha)
Coeficiente deescorrentía
Residencial 30 0.40
Comercial 3 0.60
Parques 7 0.15
Hidrología / David Cedeño
b) Intensidad:
90
. 323 323 = 5.3 plglhrtc+36 25+36
c) Caudal máximo:
o = c-i.A
ANALISIS DE HIDROGRAMAS
El proceso de escorrentía superficial es el resultado de una combinación
de condiciones fisiográficas y meteorológicas de la cuenca y representa los
efectos combinados de la precipitación, pérdidas hidrológicas, flujo sobre la
superficie del terreno, flujo subsuperficial y flujo subterráneo. Según
Sherman (1932), los factores climáticos que influyen en la forma del
hidrograma y volumen de escorrentía son:
1. Patrón e intensidad de la lluvia
2. Distribución de la precipitación sobre la cuenca
3. Duración de la tormenta
Qo = 0.37 (r' ,"'r,
Qo = (,,r,nrrru
0.0254 m
)(
hrc
2
s
00mha
m3 l
q
I
J
o
.5
I
5
ha.40lglp
m3 lhr .
600 s¿J,
7-
Hidrología / David Cedeño
y los factores fisiográficos de mayor importancia son:
9't
1.
2.
J.
4.
Tamaño y forma del área de drenaje
Naturaleza del sistema de drenaje
Pendiente del terreno y del canal principal
El almacenamiento por retención en la cuenca
Durante un evento de precipitación, las pérdidas hidrológicas tales
como infiltración, almacenamiento en depresiones ] almacenamiento por
retención deben ser satisfechas primero antes que comience la escorrentía
superficial. Al incrementarse la profundidad del agua retenida en la
superficie, el flujo superficial sobre el terreno comenzará en algunas
porciones de la cuenca. El agua eventualmente se moverá hacia los pequeños
arroyos, quebradas y ríos que constituyen el sistema de drenaje de la cuenca.
Parte del agua que se infiltra en el suelo se mueve lateralmente a través de las
capas superiores del suelo hasta que alcarua una corriente superficial; a ésta
porción de la escorrentía se le denomina flujo subsuperficial. Otra porción
de la precipitación que se filtra en el suelo alcarua el nivel freático,
generalmente varios metros debajo de la superficie del suelo y contribuirá a
la escorrentía como flujo base si el nivel freático intersecta la superficie de la
corriente de agua en el canal.
Hidrología / David Cedeño
FFECIPITACIONESCOHFENTIA
92
ESCOHRENTIAPF!DUEIDA PIFEL ALMACENAMIENTOFETENIDO
a) Distribucion de una Precipi'ta.ión Unilorrn". TIEMPo
LLUVIA
DES|}EGA
PUNTO DE
INFLEXION
b) Hidrograma de Equilibrio. TIEMPO
Figura N"l-3: Fenómeno de Escorrentía Superficial
En la parte (a) de la figura del fenómeno de escorrentía directa se
ilustra la distribución de la precipitación uniforme para una duración finita.
Pero si la precipitación continúa a intensidad constante por un tiempo infinito.
entonces se produce una descarga de equilibrio, es decir que el flujo de
entrada es igual al de salida y esto se logra cuando el área total de la cuenca
PRECIPITACIEN DE
INTENSIDAD UNIFOFME
ALMACENAI"iIENT0DE DEPFESIÜNES
ALMACENAMIENTOPOR RETENCION
INFILTRACII]N
ESCOBFENTIADIFECTA
a
Hidrología / David Cedeño
esá contribuyendo al flujo. Esta condición de equilibrio se observa en muy
raras ocasiones en la nafural eza, excepto en cuencas urbanas muy pequeñas,
debido a las variaciones en la intensidad y duración de la lluvia.
El flujo base en un canal natural se debe a las contribuciones del agua
subterránea poco profunda y es otro de los componentes del hidrograma. En
cuencas naturales grandes, el flujo base representa una fracción significativa
de la descarga total, mientras que se puede despreciar en cuencas pequeñas
urbanizadas donde el flujo superficial sobre el terreno es predominante.
El flujo base es separado y sustraído del hidrograma total para obtener
el hidrograma de escorrentía directa. El volumen de agua del hidrograma de
escorrentía directa debe corresponder a la precipitación excedente ó neta, la
cual se obtiene sustrayendo de la precipitación total la infiltración y las otras
pérdidas de agua (almacenamiento en depresiones, intercepción, etc.). El
hidrograma de escorrentía directa representa la respuesta de la cuenca a la
lluvia excedente, mientras que la forma y los tiempos del hidrograma de
escorrentía directa están relacionados con la intensidad y duración de la
precipitación, así como también a los factores fisiográficos que afectan el
almacenamiento.
El hidrograma en la mayoría de los casos esta constituído por un
miembro ascendente, segmento de la cresta y una porción descendente ó
recesión. La pendiente del miembro ascendente esta determinada en gran
parte por la intensidad de la tormenta y el punto de inflexión en el segmento
descendente generalmente indica el instante en que termina la escorrentía
93
Hidrología / David Cedeño
superficial directa. En la recesión, la descarga se produce por el movimiento
de agua subterránea almacenada en el subsuelo que fluye hacia la superficie.
94
II{TEIISIDADDEIIUÍJIA i
?EECI}ITAEIOT{ ]IETA = VI]LIJI.fEIf NX ESI]OEEEI{TIA DISEüTA
CIESIA
sxGl.{EttToÁSCEHDE TT SXG!4EI{TO DESC¡I'DEIITE
DESCAEGA q
ESI]OEEXIITIADIXXCIA
,,'
FLUJO BASX
TII{ IlE XSCOENEMIADINXMA
xEcEsIolf
II{ICIO DE ESCOXEEIITIA
DIXECTA
Figura N"14: Hidrograma de Descarga Total
COMPONENTES DEL HIDROGRAMA
Un hidrograma esta formado por varios componentes: flujo superficial
sobre el terreno, flujo subterráneo ó flujo base y flujo subsuperficial,
producido por el agua infiltrada que se almacena temporalnente en las capas
superiores del suelo y entra posteriormente de manera lateral al canal. La
contribución relativa de cada componente al hidrograma depende de la
intensidad de la precipitación i medida con respecto a la rata de infiltración
7
Hidrología / David Cedeño
/, así como también el almacenamiento de humedad en el suelo en relación
con la capacidad de campo; la cual definimos anteriormente como la cantidad
de agua retenida en el suelo después que la gravedad drena el exceso de agua.
Observe que no ocurrirá escorrentía superficial en el caso de que la
intensidad de la precipitación sea menor que la rata de infiltración (i < f );al igual que el flujo subsuperficial y el flujo subterráneo serán nulos si la
humedad almacenada en el suelo es menor que la capacidad de campo, ya que
todavía existe almacenamiento adicional de humedad en el suelo, a menos que
el flujo subterráneo se produzca por almacenamientos de agua a largo plazo.
En la situación de que tanto la precipitación sea mayor que la infiltración, así
como la humedad del suelo sea mayor que la capacidad de campo (lo cual es
típico en casos de eventos de tormentas grandes), la escorrentía directa
superficial, el flujo subsuperficial y el flujo base ó flujo subterráneo
contribuirán con el hidrograma de descarga total. La precipitación en el canal
es un componente también, pero generalmente es una fracción muy pequeña
de la descarga total.
La escorrentía superficial es un factor muy importante cada vez que
llueve considerablemente. Las precipitaciones de gran intensidad, así como
también la urbanización y deforestación de las cuencas, simplemente
magnif,ca el caudal máximo y disminuye el tiempo para alcanzar la descarga
máxima. El flujo subsuperficial puede ser un factor grande en tormentas de
moderada intensidad sobre cuencas con capas delgadas de suelo sobre roca
impermeable. Si el agua subterránea fluye hacia la corriente durante períodos
de lluvia fuerte, la corriente se denomina efluente ó emanación; pero si el
95
Hidrología / David Cedeño
flujo de la corriente es hacia el sistema de agua subterránea, como en el caso
de condiciones de sequía, la corriente es llamada influjo o afluencia.
En la práctica, es muy común considerar que ia descarga total se divida
en dos partes solamente: escorrentía directa y flujo base. La escorrentía
directa puede incluir una porción considerable del flujo subsuperf,rcial,
mientras que el flujo base esta constituído principalrnente por el flujo de agua
subterránea.
DESCAFGA O
(I
PRECIPITE¡¡ EL
DIRECTA
SUPERfICIALI
I
I
ILUJO SURSÜPEBFICIAL
lltlfPtl I
96
I ,- nr ot L.l LLuvn
Figura N"15: Componentes del Hidrograme
Hidrología / David Cedeño
SEPARACION DEL FLUJO BASE Y RECESION
Existen muchas técnicas para separar la escorrentía directa del flujo
base, las cuales están basadas en el análisis de las curvas de recesión del agua
subterránea. En algunos casos, la curva de recesión se puede describir por
medio de una ecuación exponencial de la siguiente forma general:
donde:
llt = qo' " '
descarga inicial especificada
descarga en un tiempo posterior t
constante de recesión
base de los logarítmos naturales
Las ecuaciones de esta forma son utilizadas a menudo en ingeniería
para describir un agotamiento de primer orden y la misma se puede
transformar a una línea recta:
log,o (q,) = logro (4,) - | k.log,o(e)l /
Por consiguiente, al graficar la ecuación de recesión en papel
semilogarítrnico, obtendremos una línea recta; la diferencia entre esta línea
y la curva correspondiente al hidrograma de descarga total graficado en el
mismo papel, representra el hidrograma de escorrentía directa. En la práctica
se utilizan otros métodos para separar el flujo base. El método mas simple
consiste en dibujar una línea horizontal desde el punto donde comienza la
9l
Qo
Qt
k
e
Hidrología / David Cedeño
escorrentía superficial hasta intersectar el hidrograma de recesión. Otro
método sugerido por Linsley, Kohler y Paulus (1949), el cual es utilizado
frecuentemente, consiste en extender la curva de recesión anterior al inicio de
la lluvia hasta un punto situado debajo de Ia descarga máxima y luego
conectar este punto con el hidrograma en el lugar donde termina la escorrentía
superficial, el cual se puede estimar utilizando la siguiente fórmula:
donde:
¡i/ = e Ao2
tiempo en días después de la descarga máxima
área de drenaje de la cuenca
factor de conversión que depende de las unidades
de A (millas cuadradas ó kilómetros cuadrados)
1.0 para A en mi 2
0.8 para A en Km2
Todos estos métodos tienen la desventaja de que son arbitrarios y en
cierta medida inexactos. La separación del flujo base es un arte más que una
ciencia; en muchos casos de interés práctico tales como drenaje urbano, el
flujo base se desprecia a menudo porque representa una fracción muy pequeña
de la descarga total. Generalmente, el flujo base es mas importante en
corrientes naturales y ríos grandes debido a la contribución a la descarga total
a lo largo de las orillas del canal o riberas del río proveniente del flujo de
agua subterránea. Independientemente del método seleccionado para la
separación del flujo base, el hidrólogo debe ser consistente con el método
9B
N
A
Hidrología / David Cedeño
utilizado, de manera que los
comparar con los otros, al igual
de diferentes cuencas.
hidrogramas de una
que los hidrogramas
99
tormenta se puedan
de escorrentía directa
OESCARGA Q
Figmra N"16: Separación del FlujoBase.
PRECIPITACION NETA Y EL HIDROGRAMA
Anteriormente analizamos el fenómeno de escorrentía superficial y
distribuimos la precipitación total en varias componentes: infiltración,
almacenamiento en depresiones, almacenamiento por retención y escorrentía
directa. Podemos escribir una ecuación hidrológica de continuidad de la
siguiente forma:
FIN DE IA ESCOBFENTIADIBECTA
LINEA FECTAHOFUO NTAL
TIEMP,O a
Hidrología / David Cedeño 100
Precipitacién = Almacenamiento + Eyaporación * Infiltración * EscorrentíaTotal en Depresiones SuperFrcial
Donde hemos asumido que el almacenamiento por retención se convertirá en
escorrentía superficial después que termira la lluvia. A menudo es importante
determirnr la distribución con respecto al tiempo del exceso de precipitación
o precipitación neta, la cual es igual volumen total de escorrentía directa; es
decir el volumen de escorrentía directa superficial más volumen almacenado
retenido, el cual escurrirá de la cuenca durante un int-ervalo de tiempo mayor
que la duración de la tofinenta. En otras palabras:
Precipitación Exc€dente ó Neta : Precipitación Total - Pérdidas Hidrológicas
Precipitación Excedente ó Neta - Escorrentía Directa Superficial
Generalmente, los métodos empleados para determinar la precipitación
excedente incluyen el método de Horton, incluyendo una pérdida inicial por
almacenamiento en depresiones, y el método del índice Q, el cual consiste en
una pérdida constante durante el período de tormenta. En la práctica, los
coeficientes de pérdida por infiltración son difíciles de estimar, por lo tanto,
el procedimiento simple del índice S es el método utilizado más
frecuentemente debido a la escasez de datos para la distribución de infiltración
en el tiempo. Observe que el índice ó tiende a subestimar las pérdidas al
inicio de la tormenta y sobreestimar las pérdidas al final.
Tan pronto como la precipitación neta ha sido determinada para una
cuenca, entonces el siguiente paso para convertir la precipitación neta en
Hidrología / David Cedeño 101
escorrentía directa superficial es un problema fundamental de la ciencia de la
hidrología. El hidrograma de descarga resultante se forma por las
contribuciones del flujo superficial sobre el terreno y del flujo en el canal
llegando en diferentes tiempos desde todos los puntos de la cuenca. Los
tiempos relativos de viaje para el flujo superficial y el flujo en el canal están
relacionados con el tamaño de la cuenca; el tiempo de flujo superhcial es más
significativo para cuencas pequeñas, mientras que el tiempo de viaje en el
canal predomina en cuencas grandes.
PRÉClPlTAC!{]!'¡I l'¡ FttT RÉ.t G t¿
Figura N'17: Distribución de laPrecj-pitación Total
OJRVA DEIN FILf F.A¡l ÓNDE HOFION
T¡EtrlPO (
Hidrología / David Cedeño
METODO DE TIEMPO - AREA
L02
Una manera interesante de comprender el proceso de conversión de la
precipitación excedente en un hidrograma consiste en utilizar el concepto de
Histograma de Tiempo - Area desarrollado por Clark (1945). Este método
asume que el hidrograma de descarga se produce por la traslación pura de la
escorrentía directa hacia la salida, ignorando los efectos de almacenamiento
en la cuenca. Si urn precipitación de intensidad uniforme se distribuye sobre
la cuenca, el agua comienza a fluir primero de lai áreas inmediatamente
adyacentes a la salida y el porcentaje del área total contribuyendo a la
descarga se incrementa progresivamente en el tiempo.
€ SAUÓA
PFECIPfTACIOi!
b} . HÍDROGFAMA DEPRECIPTTACIÓN i{ETA
a). CUENCA
c) . HISTOGFAMA 0ETIEMPO-AREA
Figura N"18:
d) . HIDROGR,{MA DEDESCARGA DIRECTA
Método de Tiempo-Area
S¡:roNA
?¿ P{PI
P5
TE'PO
Hidrología / David Cedeño 103
Por ejemplo, en la figura anterior, la escorrentía superficial proveniente
del área A, alcanza la salida primero, seguida de las contribuciones de Ar,
luego A, y finalmente d. Este proceso para la generación de los caudales se
puede expresar de la siguiente manera:
Q, - Pi Ar+P.-r'Ar+ +P .'A: Vi<ir-l+ L l
donde: ordenada del hidrograma en el tiempo i
precipitación excedente en el tiempo i
ordenada del histograma tiempo-áreaen el instante j
Observe que el número de ordenadas del hietograma no tiene que ser
necesariamente igual al número de ordenadas del histograma. Por ejemplo,
esta fórmula nos indica que la precipitación neta del período Pr, sobre el área
4., P, sobre A, y P, sobre A, arriban a la salida simultáneamente para
producir la descarga Q.. El hidrograma de descarga directa se desarrolla
evaluando todos los caudales Qr, Qz, Qs,...,Q" donde Qn : 0 indica el fin de
la escorrentía directa.
El concepto de tiempo - área proporciona una idea básica para
comprender el fenómeno de escorrentía, pero sus aplicaciones son limitadas
debido a que el hidrograma debe ser ajustado posteriormente para incluir los
efectos de almacenamiento en la cuenca; y además, las líneas isocronas
(líneas de igual tiempo de viaje hasta la salida) son muy difíciles de construir.
Qi
Pi
4
Hidrología / David Cedeño 104
Un concepto más general en la práctica es la teoría del hidrograma
unitario, la cual es reconocida como una de las contribuciones mas
import¿ntes relacior¡adas con la predicción de Ia escorrentía superficial. Esta
teoría, combinada con los métodos de infiltración y el análisis del tránsito de
avenidas ó crecidas en canales y embalses, es suficiente para investigar los
efectos de la precipitación y almacenamiento en cuencas pequeñas y grandes.
Observe que el método de tiempo - área es un caso especial del hidrograma
unitario.
Ejemplo 14: Método de Tiempo - Area
Una cuenca se divide en cuatro secciones A, B, C y D. Los datos de
área y el tiempo de viaje desde cada región hasta la salida se muestran en la
siguiente tabla;
Sección A B C D
Área (acres) 100 200 300 100
Tiempo hasta la estación G (hr) 1 2 3 4
La escorrentía desde cada sección contribuirá con la descarga directa
en la estación localízada en la salida (punto G). Considere que una
precipitación neta de 0.5 plg/hr de intensidad está cayendo uniformemente
sobre toda el área de la cuenca durante un intervalo de tiempo de 5 hr.
Encuentre el hidrograma de descarga directa en la estación G en respuesta a
la lluvia y asuma que no hay pérdidas por almacenamiento.
Hidrología / David Cedeño 105
Solución:
En éste caso, la fórmula para obtener el caudal directo usando el
Método de Tiempo - Area es la siguiente:
Q, = P,'At * P,-r'A, * P,-r'A, * P,-r'Ao
La fórmula anterior, nos permite obtener los caudales (escorrentía directa)
para diferentes instantes:
eooQt P,'A,
Qz Pr.A, + Pr.A2
Q. Pr.A, + pz.A2 + p1 .A3
Qn Po.A, * Pr. A2 + P2.A' * P,.Ao
Q, Pr.A, * Po.A2 + P3.A' * Pr. Ao
Qo Pr.A, * Po.A3 + P3.A4
Q, Pr.A, + P4.A4
Qr Pr'Ao
eno
Observación: La conversión de unidades en la multiplicación (e : p . A) es:
/ ,\ / \ I \l4ll =[ ete.o",nl .l t hr .qz,seop¡es2. t pie
I
\ "rg i \ n, / \ r,eoo r"g t aue t2 pts )
pie3/seg = 1.0083 acre.plglhora * 1 acre. plg/hr
7
Hidrología / David Cedeño
o(¡rictlrcgt
350
300
250
200
t50
100
50
Tabla de Cálculos
106
Tiempo(horas)
Pn t"(plg/hr)
Area(acres)
P''{ Pr4 Pr.4 Po'4 P''{ Q'(ptls)
0 0
1 0.5 100 50 50
2 0_5 200 100 50 150
3 0.5 300 150 100 50 300
4 0.5 100 50 150 100 50 350
5 0.5 50 150 100 50 350
6 50 150 100 300
7 50 150 200
8 50 50
9 0
Gráfica de1 Hidrograma de Escorentía Dírecta
7
Hidrología / David Cedeño
Alternativa:
L07
de escorrentía directa
El sistema de ecuaciones lineales simultáneas descrito anteriormente se
puede resolver utilizando álgebra lineal de la siguiente manera:
0 = tptÁ
o
oY.2
o-3
Q1
Q5
o,
o-
8,
ar
a2
A3
A4
P1
P2
P3
P4
P-
0
0
0
000Pro o
P2 Pr 0
P3 P2 Pr
P+ P3 P2
Ps P4 P3
0 P5 P4
0 0P5
Por consiguiente, las ordenadas del hidrograma
(solución del sistema) son:
g1
Q2
o-
gn
o_
o-
o_
g8
100
200
300
100
50
150
300
350
350
3 00
200
50
%0Yz Yz
0%0000
0000Y20
%%
ll r/
0%
r
Hidrología / David Cedeño
TEORIA DEL HIDROGRAMA TINITARIO
108
Sherman (1932) introdujo la teoría del hidrograma unitario (HU), el
cual se define como el caudal de descarga de una cuenca que se produce por
una pulgada de escorrentía directa generada uniformemente sobre el área de
drenaje por una precipitación de intensidad constante durante el período de
duración de la lluvia (en el sistema métrico generalmente se adopta una
profundidad de un centímetro).
Muchas de las suposiciones inherentes del hidró-grama unitario tienden
a limitar sus aplicaciones en una cuenca de acuerdo a Johnstone y Cross
094\; entre ellas tenemos:
1. Se asume que la precipitación excedente de igual duración producirá
hidrogramas con tiempos bases equivalentes, independientemente de la
intensidad de la lluvia.
2. Se asume que las ordenadas de escorrentía directa para una tormenta
de duración dada son directamente proporcionales a los volúmenes de
la precipitación neta.
3. Se asume que el tiempo de distribución de escorrentía directa es
independiente de la precipitación antecedente.
4. Además también se asume que la distribución de la precipitación sobre
la cuenca es la misma para todas las tormentas de igual duración.
La proposición clásica de la teoría del hidrograma unitario se puede
resumir brevemente: los sistemas hidrológicos son lineales e invariables con
el tiempo (Dooge, 1973). La propiedad de proporcionalidad y el principio de
7
Hidrología / David Cedeño 109
superposición se aplican al hidrograma unitario, pero estas suposiciones no
fueron cuestionadas seriamente hasta la mitad de la década de 1950.
Las superposiciones de linearidad e invariancia con el tiempo no son
estrictamente correctas para una cuenca, pero las adoptamos frecuentemente
cuando nos son útiles; puesto que existen ejemplos no lineales de flujo en
canales abiertos, modelos de laboratorio de escorrentía y demostraciones en
el campo. Sin embargo, las suposiciones lineales todavía se utilizan porque
son relativamente simples y son la base de los métodos disponibles más
desarrollados; además, los resultados obtenidos con métodos lineales son
aceptables para la mayoría de los propósitos requeridos en ingeniería.
DERIVACION DE HIDROGRAMAS UNITARIOS
Las cuencas con estaciones de medición nos permiten registrar el
hietograma de precipitación y el hidrograma de descarga producido por la
tormenta sobre la región. El hietograma de precipitación es una gráfica de
la intensidad de la lluvia en función del tiempo y el hidrograma es una gráfica
del caudal de descarga en función del tiempo. En la siguiente figura, se
muestra el desarrollo del hidrograma unitario y también se ilustran los
parámetros relacionados con el tiempo, tales como la duración de la
precipitación neta o excedente y el tiempo hasta la cúspide ó valor máximo de
la descarga. El hidrograma de descarga total esta constituído por un miembro
ascendente, segmento de la cresia, segmento descendente y curva de recesión.
Hidrología / David Cedeño 110
Los aspectos de tiempo del hidrograma están caractefizados por los
siguientes parámetros:
1. Tiempo de retraso (tr): es el tiempo desde el centro de masa de la
precipitación excedente o neta hasta la cúspide del hidrograma de
descarga.
2. Tiempo de ascenso (t): es el tiempo desde el inicio de la precipitación
excedente hasta la cúspide del hidrograma.
3. Tiempo de concentración (t"): es el tiempo de eqtrilibrio para la cuenca,
es decir cuando la descarga es igual a la entrada. También representa
el tiempo de viaje de una onda para propagarse desde el punto más
distante de la cuenca hasta la salida.
4. Tiempo base (t"): duración del hidrograma de escorrentía directa.
Las siguientes reglas generales se deben observar en el desarrollo de
hidrogramas unitarios para cuencas con estaciones de medición:
1 . Las tormentas seleccionadas deben tener una estructura simple con
distribuciones relativamente uniformes en el espacio y tiempo.
2. El tamaño de la cuenca generalmente debe estar dentro de 1,000 acres
a 1,000 millas cuadradas.
3. El volumen de escorrentía directa debe encontrarse en el rango de 0.5
pulgadas a 2 pulgadas.
4. La duración de la precipitación excedente debe ser aproximadamente
del25% al30% del tiempo de retraso.
a
5.
6.
Hidrología / David Cedeño 111_
Se debe analizar cierto número de tormentas de duración similar para
obtener un hidrograma unitario promedio para esa duración de lluvia
neta ó efectiva.
El paso anterior se debe repetir para precipitaciones excedentes de
diferentes duraciones.
Los siguientes pasos son fundamentales para el desarrollo de un
hidrograma unitario a partir de un evento simple de precipitación:
l. Analizar el hidrograma y separar el flujo base.
2. Medir el volumen total de escorrentía directa y convertirlo a pulgadas
ó centímetros de profundidad sobre la cuenca.
3. Convertir la precipitación total a precipitación neta ó excedente
utilizando algún método típico de infiltración y obtener la duración D
de la lluvia para identificar el tiempo para el hidrograma unitario y el
hidrograma de escorrentía directa.
4. Dividir las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa por el
volumen en pulgadas ó centímetros de la lluvia neta y graficar los
resultados para obtener el hidrograma unitario de la cuenca. Se asume
que el tiempo base t" es constante para tormentas de igual duración.
5. Verificar el volumen del hidrograma unitario para estar seguro de que
corresponde a una pulgada ó un centímetro y ajustar los valores del
hid rograma en caso necesario.
Hidrología / David Cedeño
LLt'\TA
fplg/i'rl
1-72
¡ÉRf10¡s
¡Écr[A¿ró ETat0u
o
[p'ls¿ul I so
129
80
{0
a. Hielogr¡m¡ dc Lluüa I Hidrograma de Dcscarga Total
vd.hÉn de h^¡/b nd€ (i -0) D = R = 49
0¡ 100 p ls
I t ; ; i ioir,o'ltB-- 11 hr
b. Precipitación Excedente I Hidrograma dc Ocscrrga 0irecta
R=2 PLGDE
ESCOhRE}{NA
DI*CTA
I
Hidrología / David Cedeño 113
c Hidrograma Unilario para una duración D = 2 horas
Figura No19: Desarrollo del Hidrograma Unitario
Debido a las suposiciones de linearidad esenciales en el desarrollo del
hidrograma unitario, es necesario resaltar que debemos tener mucho cuidado
al aplicar el método del hidrograma unitario cuando las condiciones existentes
violan el principio de superposición. Grandes variaciones en la duración e
intensidad de la precipitación se reflejan en la forma de hidrograma
resultante. A menudo se suman hidrogramas unitarios de corta duración,
retrasados el uno con respecto al otro, para generar un hidrograma de una
duración mayor. Si la variación de la intensidad de la precipitación es muy
grande durante la duración de la tormenta, la suposición de linearidad puede
que no siga siendo válida en ésta situación.
vofunen unrl*io de lwia = I plg
-a¡snp3h
R= 1 PLG DE
EScOhRENTIA
DIRECTA
I
7
Hidrología / David Cedeño 1-1-4
El volumen de escorrentía directa y la distribución sobre el área de la
cuenca de la escorrentía superficial pueden causar variaciones en la forma del
hidrograma. Para cuencas grandes, generalmente es mejor desarrollar
hidrogramas unitarios para sub-cuencas, luego se suman y también se atrasan
de acuerdo al tiempo de viaje de la onda para generar el hidrograma de la
cuenca total. Los caudales máximos en los hidrogramas unitarios obtenidos
a partir de eventos de tormentas muy pequeñas, a menudo son de magnihrd
inferior que aquellos obtenidos utilizando tormentas nxís grandes debido a las
diferencias en el flujo subsuperficial y a los tiempos de flujo en el canal. Las
suposiciones de linearidad se pueden verificar generalmente comparando
hidrogramas para tormentas de diferentes magnifudes. Si no existe linearidad,
entonces los hidrogramas unitarios derivados deben ser utilizados únicamente
para generar eventos de magnitudes similares y se debe tener mucho cuidado
al ttllizar los hidrogramas unitarios para extrapolar eventos extremos.
A pesar de estas limitaciones, cuando se utilizan los hidrogramas
unitarios en combinación con los métodos de tránsito de avenidas ó crecidas
para la predicción de los niveles de inundación en cuencas pequeñas y
grandes, la exactitud de los resultados se ha incrementado en la última década
con el uso de programas de computadora.
Ejemplo 15: Hidrograma Unitario
Obtener el hidrograma unitario para una cuenca con un área 1,135 .5
acres, donde se ha medido el siguiente hidrograma de descarga total y el
hietograma de precipitación que originó la respuesta de la cuenca:
Hidrología / David Cedeño 115
t5
a. Hietogramade lluvia
Asuma que el índice de infiltración 0 para ésta tormenta es de 0.5
pulgadas/hora y que el flujo base es constante y tiene una magnifud de 100
pies3/segundo. Además, indicar el tiempo base tu, el tiempo de atraso to y la
duración D de la lluvia neta.
Solución:
a) Precipitación neta:
R = (t-0)A/ = (1.s-0.s)(3-1) = 2ptg
El resultado anterior representa una precipitación con una intensidad
neta (i - 0) : 1 plg/hr durante dos horas; por 10 tanto la duración de la
precipitación neta es:
2 plg = 2 horasD
t /F[H#]
2 Á 6 I 10
b. Hidrograma de Descarga
r-ó I plglhr
HidrologÍa / David Cedeño 116
Además, observe que ra interuidad de la precipitación neta que generará
el hidrograma unitario debe transformarse de la siguienrc manera:
I pls = | /2 plg/ hrD
para que el volumen de escorrentía directa sea equivalenre a una unidad.
I fpls/t'rl
Q = 0.5 plslhr
Pérdidas por lnfillración
r th4
b) Separación del flujo base
La ordenada del hidrograma de escorrentía directa eo se obtiene
substrayendo el flujo base eo de la escorrentía total e,, es decir:
Qo = Q,-Q,
Prc cip ita ción Nela
Hidrología / David Cedeño Lt7
c) Hidrograma Unitario
Las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa se dividen por 1a
precipitación neta para obtener el hidrograma unitario de la cuenca; por lo
tanto, podemos establecer la siguiente proporción:
o o.rpls R
Tabla de Datos y Cálculos
Tiempot
(hr)
Caudal Tot¿l
Q,(p3lseg)
Flujo Base
Q,(p3lseg)
Escorrentía Direct¿
Qo:Q-Qo(p3lseg)
HidrogramaUnitario Q,
(p3lseg)
0 100 100 0 0
1 100 100 0 0
2 300 100 200 100
3 700 100 600 300
4 1,000 100 900 450
5 800 100 700 350
6 600 100 s00 2s0
7 400 100 300 150
8 300 100 200 100
9 200 100 100 50
10 100 100 0 0
11 100 100 0 0
L Q, : 1,750 P'ls
Hidrología / David Cedeño
Finalmente se dibuja el hidrograma
determinan los tiempos requeridos:
unitario para la
118
cuenca y se
Tiempo Base:
Tiempo de Ascenso:
Tiempo de Retraso:
Duración:
0.2 hr+l
tB
tP
tL
D
thr3hr
2hr
2hr
0.5
0.0
--T-I = 1lD = 112 plglhr
450
ll3f.l ,oo
te= 3 h¡
200
l5[
I0[
t [hrl
lg =9 hr
Hidrograma Unitario parala lluvia neta de
una duración2 horas
de
Hidrología / David Cedeño
d) Verificación:
Cuando el intervalo de tiempo At es constante,
volumen utilizando la regla de Simpson para verificar
siguiente manera:
LL9
podemos calcular
los resultados de
el
1a
Volumen = R.A = (LQ¡tt
Por consiguiente, la profundidad de escorrentía en el hidrograma unitario es:
It O )arA
(1,7s0f /s) (1hr) (3600se/hr)(1,7 3 5.5 a c re $ (43,5 60 pz / a c r e)
R = (0.0832 pie) x (t2plgll pie) = | plg
METODO DE LA CT'RVA S
Un hidrograma unitario para una cuenca particular está definido para
una duración especificada de la precipitación neta. La propiedad lineal del
hidrograma ruritario se puede utllizar para generar un hidrograma unitario de
una duración diferente. Por ejemplo, si se conoce el hidrograma unitario de
una cuenca para una duración de la precipitación efectiva de una hora, el
hidrograma unitario que resultaría de una tormenta de dos horas de duración
se puede generar utilizando dos hidrogramas unitarios de una hora cada uno,
R
Hidrología / David Cedeño L20
desfasados una hora uno con respecto al otro, sumando las ordenadas y luego
dividiendo el resultado entre dos. De esta manera, una pulgada de escorrentía
directa en una hora, se ha distribuido uniformemente en dos horas de duración
y se ha derivado el hidrograma unitario para dos horas. Este procedimiento
de desfasamiento esta limitado a múltiples enteros de la duración original del
hidrograma unitario.
Figura N"20: Hidrograma Unitario por Desfasamiento
El método de la Curva S permite la construcción de hidrogramas
unitarios de cualquier duración. En este caso se supone que se conoce un
hidrograma unitario de duración D y que se desea generar un hidrograma
unitario para la misma cuenca con una duración distinta D'. Elprimer paso
para obtener las ordenadas de la curva ,S es el de sumar una serie de
Hidrotogía / David Cedeño L2L
hidrogramas unitarios de duración D, desfasados uno con respecto a otro un
tiempo D. El hidrograma de escorrentía directa resultante corresponderá a
una precipitación de intensidad: í - 1/D: el cual es equivalente a un
hidrograma de equi librio.
Si desplazamos la curva ,S en el tiempo una magnitud D' y restamos
las ordenadas entre las dos curvas S, el hidrograma resuitante se producirá
por una precipitación de intensidad l/D, que ocurre con una duración D';
por lo lanto, debemos ajustar las ordenadas multipiicaldo por la razón D/D'
para obtener el hidrograma unitario para una duración D'.
7
Figura N'21 : Hidrogramael Método
Unitario porde la Curva S
/a
FtrcFFAc{ÁtM|A p,i1,4 Et MEro t{B{ffi.' ü
Hidrología / Davicl Cecleño 122
En muchas ocasiorres se ha observado que después que la curva J
alcanz.a un v¿lloL máximo, el valor de la suma oscila alrededor de este valor
máximo. Esto se clebe a errores pequeños en la duración del hidrograma
unitario original, ó debido al comportamiento no lineal. Cuando se presen[an
las oscilaciones, el hiclrótogo debe efectuat' ajustes para eliminar las
fluctuaciones en la derivaciÓn cle curva s. Un método modil'icado de curva,s
hacia clelante y hacia atrás fue sugericlo por 'lauxe (1978), colllo una fflanera
de emparejar y eliminar el probtema de las fluctuaciolnes.
tequilibrio = lg
o {p llnl
Figura N"22: Curva S
Hid rogram ! lJnit¡rio P6ra I lidrogramás Uniltriosdefasados 2 hor¡ s
Hidrología / David Cedeño L23
Ejemplo 16: Método de la Curva S
Uttlizar los siguientes datos de las ordenadas del hidrograma unitario
de dos horas de duración de la precipitación neta para obtener un hidrograma
unitario de tres horas, aplicando el método de la curva S.
Ordenadas del Hidrograma Unitario
Solución:
Generación de la curva S:
Los datos originales del hidrograma unitario para D : 2 hr se utilizan
para generar la Cwva,f, desfasando varios hidrogramas dos horas y sumando
las ordenadas. La Curva,S representa un número infinito de esas adiciones.
Sin embargo, generalmente es necesario repetir el proceso hasta que se
alcance un valor constante; el cual ocurre generalmente en el instante:
t = t"-D
donde t" es el tiempo base del hidrograma unitario original y D es la duración
de la precipitación neta.
Tiempo(horas)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
H.U.D:2hr(p3lseg)
0 75 2so 300 275 200 100 75 50 25 0
Hidrología / David Cedeño 1-24
Tabla de Cálculos de la Curva S
Alternativa:
La curva ,S también se puede obtener utilizando un procedimiento
condensado del método anterior, que consiste en desfasar las ordenadas
acumuladas (suma) un intervalo de tiempo igual a la duración D.
Tiempo(hr)
H.U.(D :2 hr)
Ordenadas Desfasadas2 horas
Suma(p'ls)
0 0 0
1 75 75
2 250 0 250
3 300 75 375
4 275 2s0 0 525
5 200 300 75 575
6 100 275 2s0 0 625
7 't5 200 300 75 650
8 50 100 275 2s0 0 615
9 25 75 200 300 '75 675
10 0 50 100 275 250 0 675
11 25 75 200 300 75 675
12 0 50 100 275 250 n 675
13 25 75 200 300 75 675
Hidrología / David Cedeño ].25
Método Alterno para el Cálculo de la Curva S
Tiempo
(hr)
H.U.
(D:2hr)Ordenadas Acumuladas
desfasadas 2 horas
Suma
(p'ls)
0 0 0
1 75 75
2 2so 0 zso
3 300 75 375
4 275 2so 525
5 200 375 575
6 100 525 625
7 75 575 6s0
8 50 625 675
9 25 6s0 675
10 0 675 67s
1i 61s 675
12 675 675
b. Hidrograma Unitario para una duración diferente: D' : 3 horas.
El hidrograma unitario para D' : 3 hr, se puede obtener a partir de la
curva S, desplazando la curva S tres horas y restando las ordenadas de la
curva original. Estos valores deben ser multiplicados por la raz6n entre la
duración D del hidrograma unitario original y la duración D' del hidrograma
que se desea derivar; esto nos dará el valor de las ordenadas del hidrograma
unitario derivado. En este caso, el ajuste de las ordenadas es:
Hidrología / David Cedeño L26
D/D' :213
Los cálculos de las ordenadas del H.U. para D' : 3 hr se presentan en la
siguiente tabla.
Ordenadas del Hidrograma Unitarioobtenidas a partir de la Curva S
Tiempo(hr)
Curva S
Original(p'ls)
Curva S
Desplazada
3hrDiferencia
H.U.D':3hr
(p'ls)
t, 0 0 0.00
1 75 75 50.00
2 250 250 166.6'7
3 375 0 375 250.00
4 52s 75 450 300.00
5 57s 2s0 32s 216.67
6 625 375 2so 166.67
7 650 525 125 83.33
8 675 5'75 i00 66.67
9 675 62s 50 JJ,JJ
l0 67s 650 25 16.67
11 675 675 0 0.00
12 675 675 0 0.00
Hidrología / David Cecleño
o tpshl
1000
800
600
4(l0
200
r2't
a. Deslas¿miento de las curvas S
I fh4
t [h4
o[p /sl
300
200
100
1l10
Derivacióncualquier
b, Hidrograma Unilario para I horas de duracién
de Hidrogramas Unitarios paraduración a partir de fa Curva S
curva S
original curya S
desplozada
3 hr
Hidrología / David Cedeño L2B
METODOS MATRICIALES PARA DESARROLLAR HIDROGRAMAS
T]NITARIOS
El proceso para obtener un hidrograma unitario producido por una
precipitación excedente de períodos múltiples utilizando métodos matriciales
se ilustra para el caso mostrado en la siguiente figura.
t I hrl
t lhrl123t5b. H¡dtogram¿ Unilario [p¿ra una duración de r h4
Figura N"23:
1234561c, H¡drograma dr Escorrcntí¿ D¡rccló
Hidrograma UnitarioMatriciafes .
por Métodos
a. Hidrogr¿ma de Prec¡pitác¡ón Excedcnte
nrolq
Hidrología / David Cedeño L29
Observe que la precipitación de la lluvia neta o efectiva es constante en
cada período; por lo tanto, la cantidad de escorrentía directa en cada intervalo
se puede obtener de la siguiente manera:
P = (r-ó)Ar
En este caso, el sistema de ecuaciones resultantes para la escorrentía
directa producida por la precipitación en los tres períodos es:
Q'
Q,
Q,
Qu
Q,
Qu
Pr'Ut
Pr.U, + P1 .U2
P, .U, + P2.U2
Pr.U, + Pr.U,
Pr.U, + P2.U4
P.'Uo
+ P1 .U3
+ Pl .U4
donde Q representa las ordenadas del hidrograma de escorrentía directa, U
las ordenadas del hidrograma unitario y P la precipitación excedente durante
el período de tiempo. La relación entre el hidrograma unitario original, la
precipitación excedente y el hidrograma de escorrentía directa es la siguiente:
n = j+i-l
donde n es el número de ordenadas del hidrograma de descarga, j es el
número de ordenadas del hidrograma unitario y i es el número de períodos de
precipitación excedente.
Hidrología / David Cedeño 13 O
El sistema de ecuaciones se puede escribir de manera compacta
utilizando notación matricial :
tóJ = tPl t¿71
donde:
a)a vector ( 6 x 1 ) del hidrograma de descarga directa:
tót
Q,
Q,
o^
8o
o-
o-
Matriz ( 6 x 4 ) de precipitación neta:
tPl
b)P:
Pt 0 0 0
PrPr o o
P3P2Ptoo P3P2Pl
o 0 PrP,
0 0 0P,
Uc)
Hidrología / David Cedeño 131
vector ( 4 x 1 ) de las ordenadas del hidrograma unitario:
tul
ur
u2
u3
u4
Los métodos clásicos para la solución del sistema de ecuaciones
requieren el cálculo del inverso de la matriz de precipitación: [P]-1, la cual
existe cuando Ia maftiz es cuadrada con determinante distinto de cero. En
este caso, la matriz de precipitación [P] no satisface ésta condición, pero
multiplicando por la matriz traspuesta [Pr], se puede generar una matriz
simétrica cuadrada [PrP], que si tiene inversa y de esta manera podemos
obtener la solución del sistema:
Vr Pt ' lul = fp, el
La cual se puede resolver explícitamente para obtener las ordenadas del
hidrograma unitario de la siguiente forma:
lul = lP' Pl-t v' gl
El procedimiento descrito anteriormente fue desarrollado por Newton
y Vineyard (1967),los cuales utilizaron el método de Gauss para la solución
del sistema de ecuaciones simultáneas. Sin embargo, hay que tener cuidado
Hidrología / David Cedeño 1-32
con los procedimientos numéricos, ya que debido al truncamiento, la
propagación de errores puede producir resultados pocos satisfactorios,
especialmente en las ordenadas finales del hidrograma unitario. El siguiente
ejemplo demuestra el procedimiento para obtener el hidrograma unitario
utilizando matrices.
Ejemolo 17: Métodos Matriciales
Obtener un hidrograma unitario para una duración de una hora
producido por una precipitación excedente de tres horas de duración, con tres
períodos de intensidad constante, la cual generó el hidrograma de escorrentía
directa cuyos valores se muestran en la tabla de datos y en la gráfica.
Tabla: Precipitación Neta
Tabla: Descarga Directa
Intervalo de Tiempo(horas)
0-1 r-2 2-3
Intensidad Efectiva(ple/hr) 2 3 1
t(horas)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
a(p'ls) 0 400 1,200 1,400 900 425 150 25 0
llidrología / David Cedeño
a. llieloqrama de Precipitación Neta b. Hidrograrna de Descarga Direcla
Diagramas de Precípitación y Escorrentia
Soluciórr:
a) Cantidad de Datos:
Valores de Caudal Directo:
Períodos de Precipitación:
Ordenadas Unitarias:
133
n
i
jjj
)+1+1
i[ptgfhr]
7
Hidrología / David Cedeño
b) Vector de descarga Q (n x 1):
t8l
Q,
Q,
o^
Qo
o_
o-6,
o_
c) Matriz de precipitación P ):
tPl
(nxj000000PtoP" P,
P, P,
oP1
tul =
400
1,200
1,400
900
425
150
25
2000032000t320001320001320001300001
1-34
Pt 0 0
P, P,. o
P3 P2 Pl
o P3P2
0 0P3000000
d) Vector del Hidrograma Unitario U (j x I ):UL
u2
U^
u4
U.f
Hidrología / David Cedeño
Procedimiento de Algebra Lineal:
tPl . I¿71
lPr pl . ÍÚl
Matriz transpuesta (j x n
135
e)
vrl
):
231o23002000000
ú1
fP' 0l
00001000310h2310o237
c) Multiplicacióndematrices (j x j):
IP, PI
149 2 0 0
9149 2 0
2 9149 2
0 2 914 9
0 0 2 914
Multiplicación de una matriz por un vector ( j x I ):
5,800
7,500
< ot<
7 ))<
1,325
h)
Hidrología / David Ccdcño
i) Sisten-ra de ecuaciones lineales simultáneas:
136
l4 9 2
914 9
2 914029002
0020921499t4
5,800
'7,500
5,925
3,225
1,325
ul
u2
U.
u4
U-
j) Vector solución (i x I )
tul
U,
u2
u)
un
U.
200
300
l s0
75
25
Ordenados y Graficade I hr.
o tpls es]I [h4 on ¡y'¡s"q¡
0 {;
200
2 300
3 150
4 75
5 2S
6 0
rlel tlidr0gfti ta Unilario pEra ull¡ du.ac¡ón
Hidrología / David Cedeño L31
DESARROLLO DE HIDROGRAMAS TINITARIOS SINTETICOS
Los procedimientos presentados en la sección anterior para derivar los
hidrogramas unitarios en cuencas con estaciones de medición han sido
aplicados satisfactoriamente cuando existen datos adecuados de precipitación
y escorrentía. Por otro lado, Ios métodos para derivar hidrogramas unitarios
para cuencas sin estaciones de medición están basados en fórmulas teóricas
ó empíricas que relacionan el caudal máximo y las características de tiempo
de Ia cuenca. El resultado de estos métodos se ilenomina Hidrograma
Unitario Sintético y los mismos ofrecen a los hidrólogos e ingenieros cierta
cantidad de procedimientos para desarrollar hidrogramas unitarios para
cualquier cuenca. Sin embargo, todas estas fórmulas tienen suposiciones que
limitan su uso, por consiguiente deben ser aplicadas con precaución. En
algunos casos, también se puede intentar una calibración de la cuenca cuando
hay cuencas adyacentes con estaciones de medición.
Los Hidrogramas Unitarios Sintéticos se han desarrollado a lo largo de
dos tendencias: una asume que cada cuenca tiene un hidrograma unitario
único y la otra tendencia supone que todos los hidrogramas unitarios pueden
ser representados por una familia única de curvas ó una ecuación única.
La primera categoría de desarrollo esta basada en el método racional
modificado para incluir las curvas de tiempo-área para una cuenca en
particular. Clark (1945) supuso que la respuesta de la cuenca sería producida
por el tránsito de las curvas de tiempo-área a través de un elemento de
almacenamiento lineal, el cual tiende a atenuar el caudal máximo y a retrasar
el hidrograma. Cada hidrograma unitario sería único para la cuenca; por
7
Hidrología / David Cedeño 138
consiguiente, esta técnica representa una mejora sobre el método del
hidrograma de tiempo-área. En general, se requieren expresiones empíricas
para transformar los métodos de Clark en técnicas útiles para desarrollar
hidrogramas unitarios para cuencas reales.
La segunda metodología para el desarrollo de hidrogramas unitarios
asume representaciones matemáticas para la forma del hidrograma unitario.
El método más popular fue desarrollado por el Soil Conservation Service
(SCS) en 1964; el cual define un Hidrograma UrÉtario Adimensional de
descarga en función del tiempo. Debido a que el volumen es fijo, solamente
se requiere un parámetro para determinar el hidrograma unitario en su
totalidad; el cual sería cualquiera de los siguientes valores: el tiempo al pico
t" ó el caudal máximo Qo.
La mayoría de los investigadores han señalado que existen varios
parámetros importantes para determinar la forma y los tiempos del
hidrograma unitario de una cuenca. Entre los parámetros utilizados más a
menudo tenemos el tiempo de retraso t, el tiempo de ascenso to y el tiempo
de concentración t". El tiempo base t" también se incluye para definir la
duración de la escorrentia directa. Estos pariímetros de tiempo deben estar
relacionados con las características de Ia cuenca para el desarrollo
satisfactorio de hidrogramas unitarios sintéticos. Otros parámetros de
importancia incluyen el caudal máximo Qp y el área de la cuenca A.
La mayoría de los métodos para derivar hidrogramas unitarios
sintéticos asumen que el hidrograma unitario de una cuenca representan los
efectos combinados del tamaño, pendiente, forma y características de
Hidrología / David Cedeño 139
almacenamiento. Bajo estas condiciones, si los factores entre dos cuencas son
iguales y permanecen constantes con el tiempo, la respuesta será idéntica para
ambas cuencas. Para dos cuencas del mismo tamaño, si la pendiente de una
es mayor que la otra ó si la forma de la cuenca es más concentrada (la
razón entre la longitud y el ancho es menor), la forma del hidrograma
cambiará del tipo a (cuenca natural) al típo á (cuenca parcialmente
desarrollada); tal como se indica en la figura de los factores que modifican ei
hidrograma unitario. Las características de almacenamiento en la cuenca
esüán relacionadas con la pendiente, tipo de suelo, topografía, resistencia en
el canal y forma de la sección transversal del canal. Por otro lado, si existe
almacenamiento en un embalse en combinación con Ia canalizaciín aguas
abajo del embalse, el hidrograma también cambiará del tipo a al tipo b,
debido a un tiempo de ascenso menor por la reducción en la resistencia en el
canal y menores pérdidas por infiltración debido al desarrollo de la cuenca.
Firnlmente, si la forma de la cuenca fuera alargada y estuviera completamente
urbanizada sin ninguna capacidad de almacenamiento (embalse); la respuesta
de la cuenca sería un hidrograma tipo c (cuenca completamente desarrollada);
observándose un tiempo de ascenso mucho menor y un caudal máximo mayor
que el hidrograma unitario del tipo c. Los primeros métodos de hidrogramas
unitarios sintéticos generalmente no consideraban los efectos del desarrollo
de la cuenca; pero fórmulas empíricas más modernas permiten incluir los
cambios producidos por la urbanizaciln de la cuenca, tales como el
incremento en el porcentaje de áreas impermeables y la construcción de
alcantarillas para el drenaje pluvial.
r
Hidrología / David Cedeño
(a) cuenca(é) c pretanehte
dés¿i!o.lt¿da
140
(b) Par:éialJtrén!édesarrollada
Figura N'24: Factores que Modifican e1 HidrogramaUnitario de una Cuenca .
La mayoría de los métodos para hidrogramas unitarios sintéticos
relacionan el tiempo de retraso t, ó el tiempo de ascenso to del hidrograma
con las medidas de longitud y forma del canal principal de drenaje de la
cuenca. Algunos métodos también relacionan estos parámetros de tiempo con
el inverso de la pendiente del canal. Por lo tanto, para una longitud mayor
del canal y una pendiente menor, se debe observar un tiempo de ascenso
mayor en el hidrograma.
7
Hidrología / David Cedeño 144
También se puede presentar generalmente una segunda relación entre
el caudal máximo Qp y el área A de la cuenca ó entre Qp y el inverso de t'- ó
t, del hidrograma, lo cual nos indica que la magnitud de Qo es proporcional
al área tributaria; es decir que áreas más grandes producen un caudal máximo
mayor. Por otro lado debemos satisfacer continuidad, lo que implica que un
caudal mayor Qn esta asociado a un tiempo de retraso tL menor para mantener
el volumen de escorrentia directa del hidrograma unitario.
METODO DE SNYDER
Snyder (1938) fue el primero en desarrollar un hidrograma unitario
sintético basado en estudios de cuencas localizadas en los Montes Apalaches
(U.S.A.) que tenían un área de drenaje que variaba de 10 a 10,000 millas
cuadradas. Las relaciones empíricas obtenidas por Snyder son:
Donde: tL
L
tL = C,(L L"\03
tiempo de retraso de la cuenca (hr)
longitud del canal principal desde la salida hasta la
divisoria de aguas (millas)
Iongifud a lo largo del canal principal desde la
salida hasta el punto más cercano al centroide de la
cuenca (mi)
coeficiente que variaba de 1.8 a 2.2 enlos Montes
Apalaches
L"
cr
Hidrología / David Cedeño
La descarga máxima es:
L42
/o =640c "o ,,.
donde: Qo caudal máximo del hidrograma unitario (p3lseg)
A área de la cuenca (millas cuadradas)
Cp coeflciente de almacenamiento que variaba de 0.4 a
0.8. Observe que los valores mayores de Co están
asociados con valores menores de Cr.
Y finalmente para el tiempo base (en días):
f_t- = 31---aoB
donde t, esta en horas. La expresión anterior para el tiempo base produce
resultados adecuados para cuencas grandes, pero valores excesivos para
cuencas pequeñas. En este último caso, es conveniente asumir de 3 a 5 veces
el tiempo de retraso tL para definir el tiempo base t" en el trazado del
hidrograma unitario; es decir:
Í3<a<5
tL
Hidrología / David Cedeño r43
s_ D ___!Q,L
ats
oso
Figura No25: Hidrograma Unitario Sintético de Snyder
El procedimiento anterior define un hidrograma unitario sintético para
una duración de precipitación excedente D (horas) igual a:
t-D=L
5.5
Qp
Hidrología / David Cedeño a44
Para una duración de precipitación neta diferente D' (hr), se debe ajustar la
fórmula para el tiempo de retraso t,_ (hr):
ti = tr * o.2s (D/ - D)
donde r/ (hr) representa el tiempo de retraso ajustado para la duraciónD'.
Al aplicar este método empírico a cualquier cuenca, se debe tener
cuidado con la selección de los coeficientes C, y Cp,ya que se ha observado
que varían considerablemente de urn región a otra. Por consiguiente se puede
efectuar una calibración utilizando cuencas localizadas en los alrededores con
estaciones de medición para obtener el valor de estos coeficientes antes de
aplicar el método a otras cuencas en la región.
Después que se han calculado los tres parámetros: tr, Qp y t", se puede
dibujar un hidrograma unitario de tal manera que el área bajo la curva
represente 1 plg de escorrentía directa sobre la cuenca. Para construir el
hidrograma unitario por el método de Snyder se pueden tttlizar puntos adicio-
nales que corresponden al 50Vo y 75% del caudal máximo Q. El ancho W (en
horas) para estos caudales, se puede obtener de manera empírica por medio
de las siguientes fórmulas:
470
(+)"
Hidrología / David Cedeño 1-45
w_. - 8305u / ^ \r.llQ, I
\^ )
donde el caudal Q esta en p3/s y el área A en millas cuadradas. Los tiempos
correspondientes al ancho W se deben distribuir de la siguiente manera: 1/3
antes de QrV 213 después de Qo (en proporción de I a2).
Ejemplo 18: Método de Snyder
Utilice el método de Snyder con la finalidad de obtener el hidrograma
unitario sintético, para una duración de 1.0 hora de la precipitaciÓn neta, en
una cuenca con las siguientes características:
A 100 millas cuadradas
cr 1.8
ce 0.6
L 18 millas
L" 10 millas
Solución:
a) Tiempo de Retraso
tL = C, (L L")03 = 1.8 (18 " 10)03 = 8.55 hr
-
Hidrología / David Cedeño
b) Duración de la Precipitación Excedente
f_D = L = 1.55 hr
5.5
c) Aiustes para D' : t hora
ti = ttno.2s(Dt-D) = 8.55 +02s(t -1.5s) = B.4hr
d) Caudal Máximo
0 Anchos
0,". = 0.75 Q- = o.75 x 4,570 = 3,427.5 pief /seg
t_470_4707s (QotA¡r, (4,s70lroo)r 1
a46
7 hr [2.33 hr : 4.67 hr]
640 C^ A 640 x 0.6 x 100Qo = 4'57o Piel lsegtL
e) Asumir Tiempo base (cuenca pequeña):
tB " 44. = 4x8.4 = 33.6hr
Hidrología / David Cedeño r4'7
wro
n = 050Qe = 0.50x
830 830
4,570 = 2,285 piel /sett
12.4 hr 14.13 hr:8.27 hrl(Q,/A¡r: (4,s70l100)t t
0p = 45IB
075=3{27
0 = 2285-50
Hidrogramade t hr por
4.77 6.57 8.9 13.57 1t 17
úa = 30'9 hr
Unitario parael- Método de
una duraciónSnyder.
D',=1h¡
/lL
I
I
fI
Hidrología / David Cedeño
C) Verificación:
1-48
R - volumen = | prgA rea
R=
t t2 ( 228s )'(4 .11) s ,449 .72
r 12 ( 3427 .s + 228s ).( 6.s7 - 4.77 ) s ,t4t .2s
U2 ( 4570 + 3427 .5 ).( 8.9 - 6.57 ) 9,317.08
u2 (3427.s + 4570 ).( 13.57 - 8.9 ) - t8,674.t6
u2(228s + 3427.s).(r7.r7 -13.s7) : 10,282.s0
1t2(228sX33.6-r7.t7) : t8,77r.27
Volumen 67 ,636 (pies3lseg) . hr
= 1.05 plg > t plg
too mi2 ( s,zeo p¡rt\t
\ t nitt" )
h) Cálculo del Volumen Unitario:
vot = RA = (ro,r. te¡e)\ lzptg )
roo mi2. I s.zso p¡", )'l\ tmiua )]
I/ol = 23\32O,OOO Orú .( lhr3,600 seg )
= 64,s33.3i eties3 /seg) hr
-
Hidrología / David Cedeño
Ajuste del Tiempo Base:
Vol = (67,636 _
64,533.33
18,771.27) + % (2,28s) {tB - 17.17)
48,864.73 + 1,142.50 (tB - 17.17)
L49
Por lo tanto, tenemos que:
I 5,668.61tB + l7 .17 = 13 .71 + 77 .17
1,142.50
tB = 30.88 horas " 30.9 hr
METODO SCS (Hidrograma Unitario Triangular)
Este método fué desarrollado por el Soil Conservation Service (1957),
una división del U.S. Departament of Agriculture, y está basado en un
hidrograma adimensional, el cual fué confeccionado utilizando una gran
cantidad de hidrogramas de diferentes cuencas que variaban en tamaño y
Iocalización geográfica. El hidrograma está representado por un triángulo
simple, con una duración de la precipitación neta D (hr), tiempo de ascenso
/" (hr), tiempo de descenso ro ftr) y caudal máximo Q" (pies3/seg).
Hidrología / David Cedeño 150
Figura N"26: Hidrograma Unitarrotriangular del SCS
Para el hidrograma de forma triangular mostrado en la figura anterior,
el volumen de escorrentía directa es:
vor = Q't' * Q'to22
Por consiguiente:
o 2.Volto * t*
Hidrología / David Cedeño
Utilizando una gran cantidad de hidrogramas, se encontró que:
5Í : _t'R3'P
Por lo tanto, el caudal máximo resulta ser:
^ 075 . Volt,tP
151
Recordando que Vol : R. A, para una precipitación excedente ó neta de I plg
(Hidrograma Unitario) tenemos :
484 AP
tP
Donde : Qp caudal máximo (pies3/seg)
A área de la cuenca (mi2)
tp tiempo de ascenso (horas)
En la figura del hidrograma triangular se puede observar que:
Dt- = -+tr
'2
Donde: D duración de la precipitación neta (hr)
tL tiempo de retraso (hr) medido desde el centroide de
la lluvia hasta Q"
7
Hidrología / David Cedeño L52
El tiempo de retraso t, se puede estimar utilizando cualquiera de las
fórmulas empíricas desarrolladas por el SCS, tales como:
ro8 ¡,s * 1;07
reoo /tDonde: tL tiempo de retraso (hr)
L distancia hasta la divisoria de aguas (pies)
Y pendiente promedio de la cuenca en porcentaje (%)
S : retención potencial máxima (plg)
.9 = 1'ooo -toCN
Donde Cly'es el número de curva que depende del tipo de suelo y uso de la
tierru. La siguiente tabla muestra los números de curva (CA) para diferentes
usos de la tierra, donde los grupos hidrológicos de suelos son:
A suelo arenoso, bien drenado
B suelo arcilloso-arenoso
C suelo arcilloso
D suelo arcilloso plástico (se expande al mojarse)
Los valores de Cly' mostrados en la tabla suponen condiciones normales de
humedad en el suelo.
tL
Hidrología / David Cedeño
Tabla CN
Fuente: SCS Tecbnical Report, "Urball Hydroloy for Sflall Watersheds " (1986)
153
Números de Curva para escorrenlía en terrenosutiJizados para agricultura, zonas rurales y urbanas
(condición de humedad artecedente tipo tr)
Descripción del Uso de la TieÍaGrupo Hidrológico de Suelo
B c D
Terrenos cuhivados :
Sin métodos de conservación de suelosCon métodos de conservación de suelos
72 81 88 9r62 7L 78 81
Pastos ó campos de pastoreo:Bn mal estadoEn buen estado
68 79 86 8939 - 61, 74 80
Praderas en buen estádo 30 58 71 78
Bosques ó forestas:Vegetación poco densa con cubiefta pobre, sin malezaBuena condición (vegetación protegida del pastoreo)
45 66 77 83
25 55 70 '7'7
Espacios abiertos, prados, parques, campos de golf,cementerios, etc.Buena condición: el césped cubre el 75% 6 Ít6s del fueaCondición regular: el césped cubre del 50 al75% del fuea
39 61 74 8049 69 79 84
Áreas comerciales o de negocio (85 % impermeables) 89 92 94 95
Distritos o zonas industriales (72% imJ'enneables) 81 88 91 93
Zon¿s residenciales :
Tamaño promedio del lote porcentaje impermeable1/8 acre o menos 65 %
l/4 acre 38 %
113 tcre 30 %
l/2 acre 25 %
I acre 20 %
77 85 90 92
61 75 83 8',7
5'7 72 81 8654 '70 80 85
51 68 79 84
Patios de estácionamiento pavimentados, areas techadas,calzadas o vlas de acceso, etc. 98 98 98 98
Calles y caminos:Pavimentadas con cunetas y alcantarilla pluviatGravaTierra
9876'72
98
8582
98 98
89 9l87 89
7
El SCS también desarrolló un hidrograma unitario adimensional para
transformar el hidrograma triangular en una curva continua utilizando los
parámetros tn y Qp. Este hidrograma unitario adimensional se muestra en la
siguiente figura, junto con la t¿bla de los valores'. t I tp y Q / Qo.
Hidrología / David Cedeño
Coordenadas del HidrogramaUnita¡io Adimensional del SCS
tltp0.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000
1. 100
t.2001.3001.4001.5001.6001.800
2.0002.2002.4002.6002.8003.0003.5004.0004.5005.000
Q/Q"0.0000.0150.0750.1600.2800.4300.6000.7700.8900.9701.000
0.9800.9200.8400.7500.6600.5600.4200.3200.2400.1800.1300.0980.0750.0360.0180.0090.004
r54
Fiq. N" 27: Hidrog'ramaUniLaric Adi mens ional
QP
Hidrología / David Cedeño 155
Ejemplo 19: Método SCS
Derivar un hidorgrama unitario triangular utilizando el método SCS
para una duración de la precipitación neta de 1.5 horas. El área de la cuenca
es de 100 mi2, constituídapor 50% de suelo tipo arenoso-arcilloso y el resto
es suelo arcilloso; el ffi% de la tierra tiene uso residencial (lotes de 1/4 acres)
y el 40% restante se utiliza para pastos (en buena condición); la pendiente
promedio de la cuenca es 100 pies/milla y la longitud de la corriente principal
es de 18 millas.
Solución:
a) Datos: D
A
L
Y
b) Número de Curva:
l.-5 hr
100 mi2
18 millas ' 5,280 pies/milla : 95,040 pies
lOOpies/milla' 1 mi11a/5,280pies . 100 : 1.9%
Uso de la tierra Tipo de suelo Porcentaje del áreaCN
Residencial(lotes de 1/4 acres)
B
C
0.6'0.s = 0.30.6' 0.5 = 0.3
75
83
PastoreoBC
0.4. 0.s : 0.20.4'0.s = 0.2
61
74
suma : 1.0
7
Hidrología / David Cedeño 15 6
CN = 0.3 x75+0.3 x83+0.2x61 +0.2x74 = 74.4
CN = 74 ( nota: redondear al valor entero más próximo )
c) Retención Potencial Máxima:
^s = t{9,0 - to = l'ooo - to = 3.s ptgCN 74
d) Tiempo de Retraso:
tL¿o'a 15 + 1¡oz _ (95,040)08 (3.5 * 1¡oz
10.5 hrt,soo tfl r,900 y' 1.9
e) Tiempo de Ascenso:
tp = *.,, = l-5 *lo.s = tt.25hr
0 Caudal Máximo:
^ 484 A 484 " 100Q, = 4,300 Piel lseg' tP 11.25
g) Tiempo Base:
D - Volumen - %t"Q,
Area
Hidrología / David Cedeño
2ARtB
8,
h) Alternativa:
70o mi 2 5,280p
lmi
tB = 30 hr
( 1 1.25) = 18.75 hr
tR = 11.25 + 18.75 = 3O hr
15'7
55tR= zt, =
3
tB
i= UD
op= 43oo P3¡s
D=f.5hr
tL= 10.5 hr
tp = 11 .25 hr
te= 30 hr
Hidrograma Unitario lriangül¿r Fara 1.5 hr de precipitación neta
Hidrología / David Cedeño
APLICACIONES DE HIDROGRAMAS T]NITARIOS
158
1)
2)
Cuando se ha calculado el hidrograma unitario para una duración dada
de la precipitación excedente ó se han utilizado métodos sintéticos para
desarrollar el hidrograma de respuesta de una cuenca bajo ciertas condiciones
psiográficas, estos hidrogramas se pueden utilizar para diferentes cálculos
hidrológicos; entre ellos tenemos los siguientes:
Obtener hidrogramas de descarga para precipitaciones excedentes de
múltiples períodos.
Diseñar hidrogramas para tormentas con un período de recurrencia
seleccionado (T : 10, 25, 50 ó 100 años) utilizando procedimientos de
convolución y desfasamiento.
Determinar las variaciones en el hidrograma de descarga debido a los
cambios en el uso de la tierra, modificaciones en los canales de
drenaje, almacenamiento en la cuenca y otros factores que afectan el
hidrograma unitario.
Los hidrogramas para cuencas grandes que consisten en varias
subcuencas se pueden simular por procedimientos de adición,
desfasamiento y tránsito de avenidas para los caudales producidos por
hidrogramas unitarios en cada subcuenca. Los efectos en la variación
en el patrón de intensidad de la precipitación y uso de la tierra se
pueden comprobar en la respuesúa hidrológica para la cuenca completa.
3)
4)
-
Hidrología / David Cedeño 159
5) Los métodos de tránsito de avenidas se pueden utilizar para analizar la
atenuación del caudal máximo y retraso de Ia onda que sufrirá el
hidrograma de entrada al pasar por un embalse y de esta manera
obtener el hidrograma de salida.
CONVOLUCION DE HIDROGRAMAS TNITARIOS
El procedimiento para derivar un hidrograma de descarga a partir de
un período múltiple de precipitación excedente repres&Ía un caso general del
método de tiempo-área. Las ordenadas del hidrograma unitario se multiplican
por la precipitación neta, se desfasan y suman en secuencia para producir las
ordenadas del hidrograma de descarga directa.
Cada hidrograma unitario se incorpora en el instante correspondiente
al inicio del período de lluvia. El flujo base se puede añadir para producir un
hidrograma más realista de descarga total cuando los valores típicos de flujo
base eslán disponibles para la cuenca bajo estudio. Se debe tener cuidado en
los cálculos, especialmente se debe verificar que los incrementos de tiempo
de la precipitación excedente correspondan a Ia duración del hidrograma
unitario. La ecuación en forma discreta que gobierna el hidrograma para
tormentas múltiples se denomina ecuación de convolución:
o = Iru t n-t+l¡=l
Hidrología / David Cedeño
Donde: Q, ordenada del hidrograma de descarga
Pj precipitación excedente
Uj ordenada del hidrograma unitario
(nota:j:n-i+1)
160
Observe que cuando la precipitación tiene períodos múltiples con
intensidad constante, pueden ocurrir intervalos sin precipitación.
Ejemplo 20: Derivación de hidrograma para perío?os múltiples de lluvia.
Derivar el hidrograma de descarga total para una cuenca que se
produce como respuesta a una precipitación con períodos multiples de
intensidad constante, utilizando los siguientes procedimientos:
a) Método de Convolución
b) MétodosMatriciales.
El hietograma de la precipitación excedente (después de considerar las
pérdidas por infiltración y evapotranspiración) y el hidrograma unitario para
una duración D : t hr se muestran en la siguiente figura; además, asuma
que el flujo base es de 25 piesr/seg (constante).
Valores de la Precipitación Neta
Intervalo de tiempo(horas)
0-1 1-2 2-3 3-4
P""," (ple) 1.0 1.5 0.0 0.5
Hidrología / David Cedeño 16L
Ordenadas del Hidrograma Unitario
t (hr) 0 1 2 3 4 5 6 7 8
H.U.D:1hr
(p'ls)0 150 300 450 360 270 180 90 0
Hietograma de Precipitación Neta
Hidrog'rama UnítarioparaD=1hora
Hidrología / David Cedeño
Solución:
a) Método de Convolución:
1-62
o = )-¡ u¡=1
Tabla de Cálculos
t(hr)
Pi(plg)
uj(p3lseg)
P,U¡ P,U¡ P.Uj PoU¡ a,(p3lseg)
0 1.0 0 0 0
1 1.5 150 150 0 150
2 0.0 300 300 22s 0 525
3 0.5 450 450 4s0 0 0 900
4 360 360 675 0 75 1,110
5 270 270 540 0 150 960
6 180 180 40s 0 225 810
7 90 90 270 0 180 s40
8 0 0 135 0 135 270
9 0 0 90 90
10 0 45 45
11 0 0
Hidrología / David Cedeño
b) Método Matriciales:
tPl
1-63
b-1) Matriz de Precipitación:
b-2) Vector del Hidrograma Unitario:
t1J = rPr.rül
1000000312 l 0 0 0 0 0
03/2 I 0 0 0 0
1/2 0 3/2 I 0 0 -00t/203/2 I 0 0
0 01120312 I 0
0 0 0t1203/2 1
0 0 0 0 t/203120 0 0 0 0ll2 0
000000112
tul
150
300
450
360
270
180
90
L64
fü ÍPt - tul
Hidrograma de Descarga Total
150
525
900
1,110
960
810
540_
270
90
45
-19
-
11
Hidrología / David Cedeño
b-3) Vector de Escorrentía Directa:
Hidrología / David Cedeño
c) Hidrograma de Escorrentía Total:
1-65
O = O.+O.
Tiempot
(hr)
Caudal Directo
Q¿(pies3/seg)
Flujo Base
Qr(pies3/seg)
Caudal Total
Q,(pies3/seg)
0 0 25 25
1 150 25 175
2 525 25 550
3 900 25 925
4 1, 110 25 1,13s
5 960 25 985
6 810 25 835
7 540 25 565
8 2'70 25 295
9 90 25 115
10 45 25 70
11 0 25 25
12 25 25
Observación:
El caudal total máximo producido por la lluvia de períodos múltiples
sobre la cuenca es Qma* : 1,135 pies3/seg
ANALISIS DE FRECI]ENCIAS
INTRODUCCION
Muchos procesos en hidrología deben ser analizados y explicados de
manera probabilística debido a la taixaleza aleatoria (casual) de los mismos.
Por ejemplo, es muy difícil predecir la escorrentia y la precipitación en
sentido puramente determinístico (en el pasado, presente ó fufuro), debido a
que es imposible conocer cuantitativamente todos los parámetros que afectan
estos procesos. Afortunadamente, existen métodos estadísticos disponibles
para orgarnzar, presentar y reducir los datos observados de manera de que se
facilite su interpretación y evaluación. En esta sección estudiaremos algunos
métodos estadísticos que nos permitan cuantificar la incertidumbre de los
datos hidrológicos en un marco de referencia estocástico.
VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es un parámetro (por ejemplo: precipitación,
escorrentia, etc.) que no se puede predecir con ceÍteza, debido a que las
variables aleatorias son el resultado de un proceso casual o incierto. Estas
variables deben ser tratadas estadísticamente como discretas ó contínuas.
La mayoría de los datos hidrológicos son contínuos y deben ser analizados
probabilísticamente utilizando distribuciones contínuas de frecuencias; por
ejemplo, los valores de descarga en un hidrograma pueden ser cualquier
número positivo real, el cual depende del aparato de medición, es decir, que
pueden tomar cualquier valor dentro de cierto rango. Sin embargo estos datos
Hidrología / David Cedeño L67
se presentan a menudo de manera discreta debido al proceso de medición (por
ejemplo: valores mensuales, diarios u horarios de escorrentía).
Las variables aleatorias discretas solamente pueden tomar valores
enteros dentro de un conjunto de valores especificados; como ilustración,
podemos observar que al lanzar una moneda se producirá como resultado:
cara ó sello, mientras que tirar un dado de seis caras producirá cualquier
número entero del conjunto | 1, 2, 3, 4, 5, 6 l. Los datos observados en un
aparato de medición deben ser tratados como valores discretos, ya que han
sido redondeados y cuantificados durante el proceso de colección de la
información. Sin embargo, esto es muy inconveniente para el análisis de
frecuencias debido a la gran cantidad de intervalos de valores que se deben
considerar. Por ejemplo, si el rango de la magnitud del caudal de descarga
varía de 0 a 5,000 pie3/seg y los datos se han redondeado a valores enteros,
existirán 5,0ü) intervalos discretos que se deben considerar. En este caso, es
mucho mas fácil suponer que los registros son contínuos. No obstante,
algunas veces se aplican distribuciones de frecuencia discretas a variables
contínuas (por ejemplo: profundidad de Ia precipitación); pero la mayoría de
las aplicaciones de distribuciones discretas en hidrología ocurren en el caso
de variables aleatorias que representan el número de eventos que satisfacen
algún criterio; por ejemplo, el número de inundaciones que pasarán de cierta
magnitud durante cierto período de años.
Hidrología / David Cedeño
PRESENTACION DE LOS DATOS
168
Los datos observados a menudo se presentan en la forma de un
diagrama de barras ó histograma. La altura y forma general del histograma
es útil para caracterízar los datos y permite la selección de una distribución
de frecuencia para ser aplicada a los datos; por ejemplo, la distribución puede
ser sesgada (oblicua) o simétrica. Utilizando como ejemplo los datos de
escorrentía, el rango de caudales se divide en intervalos de clase y el número
de observaciones (frecuencia) correspondiente a cada intervalo de clase es
tabulado. El ancho de cada intervalo de clase debe ser suficientemente
pequeño para que se pueda observar el comportamiento de los datos y a la vez
suficientemente grande para que el patrón no sea confuso. El valor utilizado
para los intervalos de clase puede alterar la impresión de los datos en el
observador; por consiguiente, este valor deberá poder ser alterado fácilmente
en los programas estadísticos de computadora de manera que los ingenieros
puedan comparar varias opciones. Panofsky y Brien (1968) sugirieron la
siguiente fórmula como una ayuda para la selección:
k = 5log,o(z)
donde k es el número de intervalos de clase y Í es el número de datos
observados. Los intervalos de clase no tienen que ser del mismo ancho, ya
que algunas veces es conveniente agrupar los datos en intervalos mas grandes
de ancho variable.
Hidrología / David Cedeño 1-69
Una manera de discretizar los datos contínuos de flujo sería la de
asignar una variable discreta aleatoria a cada intervalo de clase. Cualquier
valor de caudal dentro de un intervalo de clase sería asignado al valor discreto
correspondiente al intervalo, generalmente el punto medio, el cual se
denomina marca de clase. En este caso la marca ó señal de clase se graficará
en el eje de las abcisas del histograma.
Si las ordenadas del histograma se dividen por el número total de
observaciones, el resultado se denomina frecuencirrelativa (probabilidad)
de cada intervalo de clase, de tal forma que la suma de las ordenadas sea igual
a 1, produciendo un método alternativo para graficar los datos. Para
comparar el ajuste de una distribución teórica a la distribución empírica, hay
que normalizar los datos; es decir, dividir la frecuencia relativa entre la
amplitud del intervalo de clase y el resultado recibe el nombre de frecuencia
relativa normalizada ó simplemente densidad. En el histograma de
densidad, el área total de la gráfica es igual a 1, lo cual corresponde al caso
teórico. Otra manera de presentar los datos es la distribución de la frecuencia
acumulada, la cual representa la suma de las frecuencias relativas del
histograma hasta un intervalo dado y es la probabilidad de que un valor
cualquiera a 1o largo de las abcisas sea menor o igual a la magnitud de ese
dato. Tanto las frecuencias relativas como las frecuencias acumuladas se usan
extensivamente en hidrología, lo cual será ilustrado en el siguiente ejemplo.
a
Hidrología / David Cedeño
Ejemplo 21: Histogramas de Frecuencia.
L't 0
La siguiente tabla muestra los caudales máximos anuales registrados en
una estación de aforo en un río durante un período de 31 años. Construir los
histogramas de frecuencia relativa y acumulada.
Tabla: Serie Anual Máxima
AñoCaudal
Mríximofn3lseq)
AñoCaudal
Máximoln3 /seo)
1945 9 ,840 19 6r 6,260
L946 5, l-70 L9 62 1,360
L947 L,620 1963 1,000
L948 23s L9 64 2,770
t9 49 15, 600 ]-965 1 , 400
1950 4,740 :-966 3 ,2L0
19 51 427 L9 67 1, 1-l-0
1"952 3,310 1968 5,230
1953 4,400 L9 69 4,300
1954 7,760 t97 0 2,820
1955 2 , 520 L97 L 1,900
r-956 340 t97 2 3, 980
1957 5,440 L97 3 6,560
1958 3,000 L97 4 4 , 71,0
1959 3 ,690 L97 5 3,460
1960 1-0, 300
Hidrología / David Cedeño
Solución:
L1L
a) Ordenamiento o clasificación de datos (de mayor a menor caudal):
Tabla: Datos Ordenados
Posición Caudal Posición Caudal
1 15,600 17 3,310
2 10,300 18 3,210
1 9,840 19 3,000
4 7,760 20 2,820
5 6,560 21 2,770
6 6,260 22 ') \x\
1 5,440 23 1,900
8 s,230 24 t,620
9 5,t70 25 1,400
10 4,'140 26 1,300
11 4,710 27 1,110
12 4,400 28 1,000
13 4,300 29 427
t4 3,980 30 340
15 3,960 31 235
16 3,460
Hidrología / David Cedeño
b) Intervalos de Clase:
L'72
k = 5log,o (n) = 5log,o (31) = 7.45
Se utilizaran 8 intervalos de clase y vamos a considerar que el rango del
caudal es: 0 < Q < 16,000 pie3/seg; por 10 tanto, la amplitud (constante) de
cada intervalos de clase es:
LQ - 16'000-o = 2,oooPies3/seg8-
c) Cálculo de la Frecuencia, Frecuencia Relativa, Densidad y Frecuencia
Acumulada:
Tabla: Distribución de Frecuencias
Intervalo deClase
(p3lseg)
Marca deClase
(p3lseg)Frecuencia
FrecuenciaRelativa
DensidadFrecuencia
RelativaAcumulada
0 - 2,000 1,000 9 0.29 0.000145 0.29
2,000 - 4,000 3,000 9 0.29 0.000145 0.s8
4,000 - 6,000 5,000 7 0.23 0.000115 0.81
6,000 - 8,000 7,000 3 0.10 0.000050 0.91
8,000 - 10,000 9,000 1 0.03 0.000015 0.94
10,000 - 12,000 11,000 1 0.03 0.00001s 0.97
12,000 - 14,000 13,000 0 0.00 0.000000 0.97
14,000 - 16,000 1s,000 1 0.03 0.000015 1.00
Suma: n :31
Hidrología / David Cedeño
0.30
0.25
0
0.1
0.1
L73
0.05
0.00246 '10 12 14 16
FRECUEHCIA RELATIVAHISTOGRAI|¡IA DE
4 6 810 12 14 16
FRECUENCIA RELATIVA ACUIIIULADA
CAUDAL
(10"p"/s)
FRECUENCIARELATIVA
ACUMULADA
1.0
0.8
0.6
0.4
o2
2
HISTOGRANA DE
Diagramas de Barra
Hidrología / David Cedeño
CONCEPTOS DE PROBABILIDAD
r'74
Considere un experimento aleatorio discreto con n resultados posibles:
{ *,,, *",...., x" }. Los resultados son mutuamente excluyentes si dos
cualquiera de ellos no pueden ocurrir simultáneamente. También se dice que
son exhaustivos colectivamente si tienen en cuenta todos los resultados
posibles del experimento. La probabiüdad de un evento X, se pueden definir
como el numero de ocurrencias del evento después de un gran número de
ensayos. Esta probabilidad puede ser estimada de la siguiente manera:
P (Xt)n
donde q es el número de ocurrencias (frecuencia) del evento Xi en un total de
n experimentos. Por consiguiente n,/ n es la frecuencia relativa ó probabilidad
de ocurrencia de X,.
Una probabilidad discreta es simplemente la probabilidad de un evento
discreto. Si definimos P(X) como la probabilidad de un evento aleatorio X,,
las siguientes condiciones se satisfacen para las probabilidades discretas de
esos eventos cuando se consideran todos los N resultados posibles:
0 < P(x) < I
EPrx) = rt=l
n.I
Hidrología / David Cedeño 1-l5
La probabilidad de la unión (simbolizada por u) de dos eventos
mutuamente exclusivos Xr y Xz es la suma de las probabilidades de cada uno,
es decir:
P(\¿ x) = P(x) + P(x2)
Los eventos X, y Yr son independientes si la ocurrencia de uno no
afecta la ocurrencia del otro. La probabilidad de ü ocurrencia de ambos
eventos o intersección (simbolizada por n) cuando los eventos son
independientes es el producto de sus probabilidades individuales:
P(xtn Y) = P(x)' P(r,)
Para eventos que no son ni independientes, ni tampoco mutuamente
exclusivos, se cumple la siguiente relación:
P(4u Y) = P(x,) * P(rr) - P(\n Y)
La probabiüdad condicional de un evento X, después que el evento Y,
ha ocurrido es:
P(X, n yr )Pé,1Y,) =P(Y)
7
Hidrología / David Cedeño 1-1 6
Si los eventos X, y Y, son independientes, entonces:
Ejemplo 22: Probabilidad Condicional
Definimos X, como la condición de que lloverá en un día dado y Y,,
representa la condición de que habrá relámpagos "n-rr.r
díu cualquiera. Las
probabilidades de esos eventos son:
P(X,) 0.3 (probabilidad de lluvia : 30%)
P(Y,) 0.1 (probabilidad de truenos : l0%)
P(Y1 lX1) 0.25 (si hay lluvia,la probabilidadcondicional de truenos es de25%)
Calcular la probabilidad de que llueva y truene simultáneamente ese día:
P(\n Y) = P(\ I Xr) ,. P(Xr) = 0.25 x 0.3 = o.075
Además, la probabilidad de que llueva ó truene durante ese día es:
P(xtu Y) = P(x,) + P(Y) - P(4a Y)
P(Xl uY) = 0,3+0.1 -0.075 = 0.325
El comportamiento de una variable aleatoria discreta ó contínua se
puede describir por medio de su distribución de probabilidad. Podemos
asignar un valor numérico a cada resultado posible de un experimento de
acuerdo a una función de masa de probabiüdad (variables discretas) ó a una
función de densidad de probabilidad (variables contínuas).
En hidrología, las variables aleatorias -discretas se utilizan
corrientemente para describir el número de ocurrencias que satisfacen cierto
criterio; por ejemplo, el número de caudales de descarga que pasarán de
cierta magnitud (los cuales producirán inundaciones) ó el número de
tormentas que ocurren por año en una localidad.
Ocasionalmente, es conveniente tratar las variables contínuas de manera
discreta. Por ejemplo, en el caso de los caudales máximos (histogramas de
frecuencia) podemos utilizar las marcas de clase para describir la magnitud
del evento correspondiente a cada intervalo de clase. En este caso, si la
variable X representa los caudales discretos, podemos definir las
probabilidades de cada evento utilizando las frecuencias relativas:
P (Xt)
Hidrología / David Cedeño
VARIABLES ALEATORIAS YPROBABILIDAI)
De acuerdo a los resultados
distribución de frecuencias), tenemos
discreto:
DISTRIBUCIONES
1-'7'7
DE
del ejemplo de histogramas (tabla de
las siguientes probabilidades en el caso
n.I
Hidrología / David Cedeño
0.29
0.29
0.23
0.10
0.03
0.03
0.00
0.03
satisfacer los
L7B
axiomas de probabilidad
P(1,000)
P(3,000)
P(5,000)
P(7,000)
P(e,000)
P(l1,000)
P(13,000)
P(15,000)
Observe que estos valores deben
mencionados anteriormente :
< P(X) < I
P(Xt)
donde k es el número de intervalos de clase. Además, para probabilidades
discretas tenemos las siguientes relaciones:
P(a<X<b) = t P(X¡)a<Xéb
k
E
Hidrología / David Cedeño 1-7 9
Por lo tanto, podemos definir la función de distribución acumulada como:
F(x) = P(X<x) = E Pfx,lX,,,
Usando los valores de probabilidad anteriores, tenemos que:
F(s,000) = P(X <s,000) = P(1,000)+P(3,000)+P(s,000)
F(5,000) = 0.29+o.29+0.23 = 0.81
Las variables aleatorias contínuas se utilizan generalmente en hidrología
para representar los eventos de caudal, lluvia, volumen, profundidad y
tiempo. Los valores utilizados no están restringidos a números enteros, sin
embargo, muchas veces las variables contínuas se redondean a cantidades
enteras. Para una variable aleatoria contínua, el área bajo la función de
densidad de la probabilidad /(l) representa la probabilidad; es decir:
fP(Xt<X<X) = Jf?l¿xxL
La función de densidad de probabilidad no es una probabilidad por sí
misma y tiene unidades correspondientes al inverso de las unidades de la
variable X. Sin embargo, a diferencia de otros cálculos en ingeniería, estas
unidades generalmente se ignoran.
Por el contrario, la función de densidad acumulada es de mucho
interés ya que es una probabilidad. La función de densidad acumulada para
7
Hidrología / David Cedeño
variables contínuas se define
discreta:
de manera similar
r_80
al caso de una variable
x,fF(Xt) = P(-- <X<Xt\ = Jf?¡¿x
Algunas propiedades de esta función incluyen:
o<F(x)<1.0
P(Xr<X<X) = F(X)-F(X)
Utilizando los datos de caudales máximos del ejemplo de histogramas
de frecuencia, podemos calcular algunas probabilidades considerando que el
caudal es una variable aleatoria contínua; por ejemplo:
P(Q<4,ooo) = o.s8
P(4,000<0<6,000) = 0.81 -0.58 = 0.23
P(Q>6,000) = r-P(8 <6,000) = 1-0.81 = o.le
A continuación, podemos observar que al dividir las frecuencias
relativas por la amplitud del intervalo de clase, obtenemos la densidad o
frecuencia relativa normalizada y el área total bajo el histograma de densidad
es 1 (una unidad), 1o cual satisface la siguiente definición para variables
aleatorias contínuas:
Hidrología / David Cedeño 1Bi
Area f(x) dx = I
por consiguiente, la densidad es equivalente a una función empírica de
densidad de probabilidad.
La selección del tipo de función de densidad de ia probabilidad para
representar los datos hidrológicos es difícil, ya que existen varias opciones
que se ajustan a la fbrma del histograma de densidad. En las siguientes
secciones describiremos aigunas de las funciones teóricas de densidad de
probabilidad más utilizadas para analizar variables hidrológicas.
Fig. 28: FUNCIOH DE 0EHSIDAD DE PROBAB|LIOAD.{para variables a lBato rias continuas}
r_J
Hidrología / David Cedeño
MOMENTO DE T]NA DISTRIBUCION
L82
Una función de probabilidad de masa ó una función de densidad de
probabilidad son una forma funcional cuyo momento está relacionado con sus
pariárnetros; por lo tanto, si se pueden encontrar los momentos, entonces
también se pueden obtener los parámetros de la distribución. A su vez, los
momentos también nos indican la forma de la distribución.
Para una distribución discreta, el enésimo momento alrededor del
origen puede ser definido como:
¡¡Muo = \x,rtqx¡
i=l
y para una distribución contínua como:
El primer momento alrededor del origen es la media (¡,r) ó valor
promedio, el cual es el valor esperado y se denota como E(X). Por lo tanto
para una distribución discreta tenemos:
tv
E(n = | x,r1x,¡¿=1
Moo = I_: ,r f(x) dx
Hidrología / David Cedeño
y para una distribución contínua:
183
E(x) = I:xf@)dx
La media es una medida de tendencia central y también se le llama
parámetro de localización, debido a que indica dónde está situado en el eje X
el centroide de la distribución.
La esperanza es un operador lineal, de tal ñrodo que si a y á son
constantes, se satisfacen las siguientes propiedades:
E(a) = a
E(bx) = b E(x)
E(a+bx) = ct+bE(x)
Los momentos de orden mayor generalmente no se necesitan. Sin
embargo, los momentos centrales alrededor de la media se pueden definir
para una función discreta de probabilidad de masa como:
Mk = E 6, - r,loptx,l¿=l
Hidrología / David Cedeño
y para una función contínua de densidad de probabilidad como:
144
Estos momentos centrales representan el valor esperado de la diferencia
entre .r y el valor promedio pr, elevado a una potencia k. Es evidente que
el primer momento central es cero, debido a:
El segundo momento central se denomina varianza y es muy
importante en estadística, pues es una medida de la variabilidad. Para
variables aleatorias discretas tenemos:
¡/I/AR(X) = o2 = El(x - p)'l = E, tx, - F)2 p(x,)
j=l
Para variables aleatorias contínuas :
VAR(x) = o2 = EÍ(x - p)l'?l = I :" (x - r,)2 f(x) dx
Lavarianza es el valor esperado de la desviación al cuadrado alrededor del
promedio y represenúa la escala ó dispersión de la distribución. Una medida
Mk = [: (,-r,)'f(x)dx
[-"U-¡t)f(x)dx = [--xf(x)dx-u[:-f@)dx = 0
7
Hidrología / David Cedeño 185
equivalente es la desviación est¿índar (o), la cual simplemente es la raíz
cuadrada de la varianza. Utilizando las propiedades de la esperanza, tenemos
el siguiente resultado:
Var(x) = EIQ-tt)21 = E(x2-2¡tx+1t2¡
Var(x) = E(r')-2pE(x)+¡t2 = E(x2)-p2
Var(x) = E(x')-lEQ)É
Observe que la varianza no es un operador lineal. Algunas relaciones
útiles incluyendo las constantes a y á son:
Var (a\ = 0
Var(b x) = b2 Var(x)
Var(a + bx) = b2 Vdr(x)
En estadística se pueden obtener momentos de mayor orden cuando se
necesiten, pero en hidrología el parámetro más utilizado corrientemente es la
asimetría (1), la cual se define como la razónentre el tercer momento central
y la desviación estándar elevada al cubo:
M3
o3
7
Hidrología / David Cedeño 186
La asimetría y es el parámetro que define Ia forma de la distribución.
Observe que si la distribución es simétrica alrededor del promedio, la
asimetría es cero.
Algunas veces es conveniente tener una medida normalizada de la
dispersión de la distribución. El coeficiente de variación (CV) se define
como la razórentre la desviación estándar y el valor promedio:
CVF
Una medida adicional de tendencia central es la mediana (Xrr, la cual
no es un momento, pero representa el valor de X para el cual la función de
distribución acumulada es 1/2, es decir:
F (X^) = 0.5
Otro parámetro de interés ocasional, que tampoco es un momento, es
la moda de la distribución. Este es el valor de X para el cual la función de
densidad de probabilidad (o la función de probabilidad de masa) alcanza su
valor máximo. La relación entre el promedio, la mediana y la moda se
ilustra en la siguiente figura. La mayoría de las distribuciones de interés de
hidrología son unimodales, pero en algunas ocasiones se presentan
distribuciones mixtas que son bimodales.
Los momentos y parámetros analizados en esta sección se refieren a las
distribuciones de probabilidad fundamentales y se pueden derivar
7
AS IMETRICAS SESGO NEOATIVO
LA FUHCIOH DE DEHS¡DADFlG. 29: EFECTOS DE LA ASlfitETRlA EHDE trROEAEILIT]AD.
Hidrología / David Cedeño 1-8'l
analíticamente. Existen fórmulas generales para las frrnciones de probabilidad
de masa (discreta) y densidad de probabilidad (contínua) que se pueden
sustituir en las sumatorias ó integrales para evaluar los momentos en función
de los parámetros de la distribución. Estas relaciones proporcionan un
estimados de los momentos de lamétodo simple para obtener valores
distribución.
S I Ii4 ETR ICA
MODA
MEDIANA
[NEDIA
SESGO POS¡TIVO
MEDIA= MEDIANA = MODA
Hidrología / David Cedeño 1BB
ESTIMACION DE LOS MOMENTOS A PARTIR DE LOS DATOS
Si se conocen los valores numéricos para los parámetros de una
distribución, es posible generar una serie de variables aleatorias Xl, X2, ...Xo
que pertenecen a la función de probabilidad de masa (discreta) ó la función
de densidad de probabilidad (contínua). Dicha serie de longitud infinita
constituiría la población de todas las variables aleatorias que pertenecen a las
funciones mencionadas cuyos parámetros deflnen los momentos.
Los datos hidrológicos observados a menudo -son el resultado de una
mezcla de procesos físicos (por ejemplo, la escorrentía es el resultado de la
precipitación) y por 1o tanto incorporan una combinación de distribuciones de
probabilidad. En adición, los datos observados están sujetos a errores de
medición y no se ajustarán perfectamente a cualquier distribución. Por 1o
tanto, los valores de los momentos para la población total calculados a partir
de los datos permanecerán desconocidos. Sin embargo, se pueden obtener
estimaciones de dichos valores a partir de los datos observados para los tres
momentos de mayor importancia en hidrología. Si el número de
observaciones independientes de una variable aleatoria representa el tamaño
de la muestra n, entonces una estimación de la media ó valor promedio, será:
¡i=x
Los momentos de mayor orden pueden estar sujetos a desviaciones
parciales en sus valores estimados. Una estimación imparcial es aquella para
Ex,r=l
7
Hidrología / David Cedeño
la cual el valor estimado de la muestra es
población. Por ejemplo, se puede demostrar
es una estimación imparcialparc p.
189
al valor esperado de la
16l = tt ; por lo tanto x
igual
que
iE(n = Elt
E (X)
I yr,ll ¡=l
Ei-l
E (Xt)
I g nrL¡t=11 ¡=t n _
E, 6,i=l
- i)'62 = 52n-1
x,' - "fn-l
Donde el divisor n - I (en vez del valor intuitivo de n) elimina la
desviación parcial; es decir: E(,s') = o2. Observe que para muestras más
grandes un divisor ígaal a n produciría casi la misma respuesta; pero en la
práctica se prefiere el estimador imparcial.
Debido a que los momentos estimados son una función de variables
aleatorias, estos resultan también variables aleatorias. La varianza de la
estimación del promedio se puede calcular de la siguiente forma:
Á'2
Var (X) ó'2
7
Hidrología / David Cedeño 190
Por lo tanto, si interpretamos la varianza del promedio como una
medida del error en la estimación del promedio; ésta se reduce al incrementar
el tamaño de la muestra. Esta proposición generalmente es válida para todas
las estimaciones de momentos.
La asimetría presenta problemas especiales debido a que involucra la
sumatoria de las desviaciones al cubo de la media y por consiguiente está
suj eta a errores más grandes en su evaluación. Una estimación imparciai
aproximada es el coeficiente de asimetría:
cs,=f (X,-E(n-r)(n-2)
Desafortunadamente, la corrección apropiada para la parcialidad
depende de la distribución respectiva. Una corrección para C^S, que se
utiliza en la distribución Pearson Tipo 3 es:
¡'3E
CS,
El valor corregido también se puede tttlizar con reserva en las otras
distribuciones cuando se requiera este parámetro. La estimación de la
asimetría calculada con la última fórmula se denomina estimación en sitio, lo
cual significa que la estimación incorpora solamente datos de un solo registro
de mediciones.
Las cuencas en desarrollo, con niveles variables de urbanización y
deforestación, presentan un problema muy difícil en la estimación de los
( ,* u).r,n)
7
Hidrología / David Cedeño 191
momentos debido a que la escorrentía tiende a aumentar con el tiempo. Por
lo tanto, las distribuciones de frecuencia pueden ser no estacionarias (varían
con el tiempo). En esta situación, se puede utllizat la simulación por medio
de modelos utilizando programas de computadoras para desarrollar
distribuciones de frecuencias para caudales en cuencas urbanas para una
condición dada de desarrollo.
Ejemplo 23: Momentos de una Serie Anual Máxima
Utllizar la serie de 31 años de caudales máximos registrados en la
estación de aforo, usada anteriormente en el ejemplo de los histogramas de
frecuencia, para evaluar la media y la desviación estandar de los datos
originales y transformados; además, estimar la asimetría corregida.
Observación:
En la estimación de los parámetros se utilizaron 1os datos originales:
x--oy transformados de la siguiente manera:
Y = LoCro (Q)
Estos valores se muestran en la siguiente tabla, al igual que los
resultados de las diferentes sumatorias obtenidos por medio de una hoja
electrónica de cálculo.
Hidrología / David Cedeño 192
Tabla: Datos Originales y Transformados(Tamaño de la Muestra: n : 31)
Año Caudal: X = Q Y:LogQ1945194619471948194919501951
t9s21953t9541955
195619571958195919601961
t9621963t9641965t96619671968t969t970t97tt972t973t974t975
9,8405,1701,620
23515,6004,740
4273,3104,4007,1602,520
340s,4403,0003,690
10,3006,2601,3601,0002,7701,4003,2101, 110
s,2304,3002,8201,9003,9806,5604,7103,460
3.9933.7133.2102.3714.t933.6162.6303.5203.6433.8903.4012.53r3.7363.4713.5674.0t33.7973.t343.0003.4423.1463.5073.0453.1t93.6333.4503.2'793.6003.8t73.6733.539
Sumatorias:Ex : 128,462Ex' :861,184,754E1x-l¡': 1.690188x10"
Ey : 107.3454EY' : 377.0935E(v-i)' : - 1.9956
Hidrología / David Cedeño
Solución:
a) Media:
b) Yariarza:
193
x = Li *, = +- e2q462\ = 4,t43.e4p3/sn i4 31
I = Lf t, = + U07:4s4) = 3.462sn ¡ --t 3l
s; = ;+ln,t-,,']E'= +ls6t,ts4,7s4 -3rx q+t+t.o+¡2
1
S"' = 10,961,550 .46 p6 /s2
s'2 - I li",-,/fv n-r l7-' l
,s,,t - I p77.og3s -3rx 12.+azt¡21 = 0.1794' 30
Hidrología / David Cedeño
c) DesviaciónEstándar:
,s= = 3,310.82 p3 /s
= 0.4236
Ii.;', - x)'n í=l
10/1'
d)
s=v
Coefi ciente de Asimetría:
cs.
c.s-
(n-I) (n-2) .'3J
31 7.6902 x 7012
?Ox29 (3,3 10.s2)3
,s3v
I
l
Et=l
= 1.659
g, - f)'cs.ty (n-r)(n-2)
31 - 1.9956c.s.ty - 0.936
(30 " 2e) (o.4?3q3
10,96 1,5 5 046
0.1794
Hidrología / David Cedeño
e) Asimetría Corregida:
195
cs, = ('.*).',
cs", = ( r . 6 )' (r.65e) = 1.e8r\ rl /
cs,., =(r.6'l "(-0.e36)= -r.n7¿Y \ ¡t /
AJUSTE DE T]NA DISTRIBUCION A LOS DATOS
Un uso intuitivo para la estimación de los momentos es el ajuste de la
distribución de probabilidad a los datos por medio de la igualación de los
parámetros estimados obtenidos de los datos a la forma funcional de la
distribución. Por ejemplo, la distribución normal tiene dos parámetros:
Media ¡r y Yarianza o2; el ajuste por el método de momentos para la
distribución normal simplemente estima los valores:
0=O y 6=so
utilizando los resultados obtenidos para el valor promedio y la desviación
estándar en el análisis de la muestra.
7
Hidrología / David Cedeño 1-96
Los métodos gráficos y el método de probabilidad máxima son los dos
procedimientos altemos al método de momentos para ajustar las distribuciones
a los datos. A pesar de que estadísticamente se ha observado que el método
de probabilidad máxima es superior al método de momentos, generalmente
es mucho más complicado de calcular que el método de momentos y por Io
tanto se encuentra más allá de esta introducción a la hidrología estadística.
El objetivo principal de determinar los parámetros de una distribución
es el de evaluar la función de densidad acumulada.- En algunos casos, se
puede lograr el mismo objetivo sin calcular los parámetros actuales de la
distribución. En lugar de eso, la distribución es evaluada utilizando el factor
de frecuencia K, el cual se define como:
K X_Xs,
El valor de K es una función del valor deseado para la función de
densidad acumulada y también dependen de la asimetría. Por lo tanto, si se
conoce el factor de frecuencia K para el valor deseado de la función de
densidad acumulada y la asimetría, se puede obtener el valor correspondiente
de X, de la siguiente manera:
X = X+KS,
Posteriormente durante el análisis de diferentes distribuciones de
probabilidad, se ilustrará el uso de los factores de frecuencia K.
7
Hidrología / David Cedeño L97
PERIODO DE RETORNO O INTERVALO DE RECT]'RRENCIA
La manera mas común en hidrología para indicar la probabilidad de un
evento es la asignación de un período de retorno ó intérvalo de recurrencia
para ese evento. El período de retorno se define de la siguiente manera:
Un evento anual m.áximo tiene un período de retorno (ó inténalo de
recurrencia) de T años sí su magnítud es igualada ó excedída, en promedio,
cada T años. El recíproco de T es la probabilidad de que el evento será
igualado ó excedido en un año cualquíera.
Por consiguiente, la inundación con un período de retorno de 50 años,
tiene una probabilidad de 0.02 ó 2% d,e ser igualada ó excedida un año
cualquiera. Es importante señalar que el período de retorno no implica nada
acerca de las secuencias en el tiempo de los eventos hidrológicos. Esta
inundación de 50 años no ocurre una vez cada 50 años; por el contrario, se
debe esperar que ocurran, en promedio, aproximadamente 20 inundaciones
con un período de retorno de 50 años durante los próximos mil años. Por
ejemplo, suponiendo que los eventos sean independientes, podrían ocurrir dos
inundaciones con un período de retorno de 50 años en dos años consecutivos
y ésta secuencia de eventos tendría Ia siguiente probabilidad de ocurrencia:
P(Qrol Qr) = P(?r) " P(Qs) = 0.02 x 0.02 = 0.0004
El concepto de período de retorno implica eventos independientes y
generalmente se obtiene analizando los datos de una serie de aaudales
a
Hidrología / David Cedeño 198
máximos anuales (ó precipitación máxima, etc). El evento de mayor
magnitud en un año dado, se asume que es independiente del mayor evento
en otro año cualquiera. También es posible aplicar dicho análisis a los n
eventos independientes mayores en un intervalo de z años, sin considerar el
año en que ocurrieron los mismos. En este caso, si el segundo evento en
magritud en un año es más grande que el evento de mayor magnitud en otro
año, este se debe incluir en el análisis de frecuencia. Esta serie de los n
valores mayores (independientes) se denomina Seriede Excedencia Anual,
en oposición a la Serie Anual M¡íxima. Ambos tipos de series se utilizan en
hidrología, con muy pequeñas diferencias en los eventos con períodos de
retornos grandes (eventos raros). Existen más problemas asegurando la
independencia de los eventos cuando se utiliza la serie de excedencia anual,
pero para los eventos con períodos de retorno bajo, esta serie produce
resultados más realistas para los períodos de retorno de eventos con la misma
magnitud que cuando se utiliza la serie de valores máximos anuales. Según
Chow (1964), la relación entre los períodos de retorno basados en Ia
excedencia anual I" y los valores máximos f es:
TLn(T^)-Ln(T.-l)
Otra opción para el análisis es la de ttllizar todos los datos registrados
en la serie histórica sin considerar la independencia de los eventos. Esta serie
se denomina Serie Completa y un ejemplo típico es el registro diario de
caudales, la cual se úllizará para determinar los caudales máximos anuales
7
Hidrología / David Cedeño L99
y los caudales de excedencia anuales. La información de frecuencia obtenida
de las series completas generalmente se muestran en una curva de duración
de caudales (Searcy, 1959), la cual es una gráfica de la magnitud del caudal
en función del porcentaje del tiempo que este valor del caudal es igualado o
excedido. La información obtenida del análisis de la serie completa no se
puede relacionar directamente con los períodos de retorno debido a que los
valores registrado en la serie completa no son independientes necesariamente.
CAUDAL
Fig.3O: Cun/a de Duración
Los períodos de retorno pueden ser asignados a eventos mínimos (por
ejemplo: sequías) de una manera completamente análoga, pero la
interpretación "igualado ó excedido" significa "igual ó más severo que esta
magnitud". Por consiguiente, un caudal bajo de 20 años es aquel que tiene
una probabilidad óe 5% de que la magnitud del caudal en un año cualquiera
será menor ó igual a este valor.
7o del tiempo en que el caudal es superado
Hidrología I David Cedeño
CLASIFICACION DE LOS DATOS
200
Para graficar los caudales ó cualquier otro dato hidrológico, primero
debemos ordenar los valores desde t hasta n (numero de años registrados) en
orden decreciente de magnitud (eventos extremos de inundaciones). Es decir
que el dato de mayor magnitud tendrá una posición m : I y el de menor
magnitnd tendrá una posición m : n. El rango ru y el número de años n se
ttlllzaúnpara calcular la posición de los datos y para efectuar una estimación
empírica de la frecuencia Fy el período de retorno i.En hidrología la clasificación de posición más común para obtener el
período de retorno ( I ) es por medio de la fórmula de Weibull:
T= n+1
por consiguiente, la frecuencia ( F ) es:
D-rfrn+7
Observeque: F(Q) = P(Q<Q) = I - P(Q>Q)i porloranro
se satisface la siguiente relación: 1/1 = P(Q , Q).El procedimiento
anterior fue analizado en detalle por Gumbel (1958); sin embargo, la
venerable fórmula de Weibull ha sido ampliamente criticada debido a que no
proporciona una estimación adecuada para la función de densidad acumulada
de tal manera que el valor esperado E(¡') sea igual al valor teórico para los
datos observados de mayor magnitud, escogido entre el total de ,? muestras
1- I
T
Hidrología / David Cedeño 20r
para cualquier distribución; exceptuando la uniforme. Es decir, que las
distribuciones corrientemente usadas en los análisis hidrológicos para estudios
de frecuencia producen un valor desviado ó parcializado para la frecuencia F
al utilizar la formula de Weibull. Gringorten (1963) propuso una forma
generalizada para tratar de corregir estas deficiencias; sugiriendo las
siguientes fórmulas para el período de retorno y la frecuencia:
n+1-2aT
m-a
m-aF = 1-n+7-2a
donde el valor del parámetro a depende de la distribución: es igual a0.375
para la distribución normal ó log normal, 0.44paru la distribución de Gumbel
y se sugiere el valor de 0.40 para éste parámetro, como un compromiso
adecuado para las situaciones en que se desconoce la distribución exacta de
la muestra. A pesar de que las últimas fórmulas son mejores desde el punto
de vista teórico, la formula de Weibull todavía goza de gran aceptación en
hidrología.
Eiemolo 24: Período de Retorno y Frecuencia
Usar la fórmula de Weibull con los datos de caudales máximos
registrados en la estación de aforo (utilizados en diferentes ejemplos
desarrolados en esta sección) para encontrar el período de retorno y la
frecuencia.
7
Hidrología / David Cedeño
Solución:
En la siguiente tabla se muestran los caudales ordenados de mayor a
menor magnitud, mostrando su período de retorno utilizando la formula de
Weibull:
- n+l1-
m
y la frecuencia evaluada de la siguiente manera:
F = l- 1
T
Tabla: Cálculos
Posiciónm
Caudal
Q (p3ls)Período de Retorno
T (años)Frecuencia
F
1 15,600 32.00 0.969
2 10.300 16.00 0.938
3 9,840 14.67 0.906
4 7,760 8.00 0.875
5 6,s60 6.40 0.844
6 6,260 s.33 0.813
7 5,440 A<1 0.781
8 5,230 4.00 0.750
9 5,170 3.56 0.119
10 4,740 3.20 0.688
7
Hidrología / David Cedeño 203
Tabla: Continuación
m a T F
11 4,710 2.9t 0.6s6
12 4,400 2.67 o.625
13 4,300 2.46 o.s94
14 3,690 2.29 0.562
15 3,5 80 2.r3 0.531
16 3,460 2.00 0.500
l7 3,310 1 ,88 0.469
18 3,2r0 1.78 0.438
19 3,000 1.68 0.406
20 2,820 1.60 0.315
2l 2,770 t.52 0.344
22 2,520 r.46 0.313
23 1,900 1.39 0.281
24 t,620 1.33 0.250
25 1,400 t.28 o.219
26 1,360 t.23 0. 188
27 1,110 1. 19 0.156
28 1,000 t.t4 0.12s
29 427 1.10 0.094
30 340 1.07 0.063
31 23s 1.03 0.031
Hidrología I David Cedeño
1.mlD
0.cm
0.&m
0.7(m
0.dm
0.sm
0.¡fm
0.cm
o2lp
0.1(m
o^{rm
ctl!{oz5(,
-t¡¡ÉIL
6{m gno rm 1ffi f 4mc tDlL(cD
FlG.31: FUNCION DE DENSIDAD ACUMUIáDA (OJIVA)
244
I,"""-'
r'aI
7I/
I./
II¡LitI
I/
ryIII
J/
7
Hidrología / David Cedeño
MODELOS PROBALISTICOS COMT]NES
245
En hidrología se utilizan muchas funciones de probabilidad de masa
para variables discretas y funciones de densidad de probabilidad para
variables contínuas, pero solamente se van ha describir en esta sección las
más comunes. Es muy difícil reducir el número de distribuciones para
variables contínuas, ya que se pueden seleccionar diversas funciones para el
análisis de caudales máximos; sin embargo, las más comunes son:
Distribución Normal, Log Normal, Gamma (de 2-parámetros), Pearson
Tipo 3, Log Pearson Tipo 3 y Gumbel ó Valor Extremo Tipo I. En
adición a las funciones anteriores, se incluirá Ia definición de Distribución
Binomial para variables aleatorias discretas y la Distribución Exponencial
para variables contínuas debido a su simplicidad para ilustrar algunos
conceptos de probabilidad.
A menudo, el objetivo de un análisis discreto es asignar probabilidades
para el número de ocurrencias de un evento, mientras que el objetivo de un
análisis contínuo es el de determinar la probabilidad de la magnitud de un
evento. En el caso discreto, puede existir interés en la función de
probabilidad de masa y en la función de distribución acumulada; mientras que
en el caso contínuo, el valor de la función de densidad de probabilidad solo
nos permite comparar el ajuste de la distribución teórica a la distribución
empírica, mientras que la función de densidad acumulada para las variables
aleatorias contínuas nos define la probabilidad de ocurrencia de los eventos.
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Hidrología / David Cedeño
DISTRIBUCION BINOMIAL
204
Es muy común examinar ura secuencia de eventos independientes para
la cual el resultado de cada evento puede ser éxito o fracaso; por ejemplo, la
inundación con un período de retorno de I años ocurre o no. Esta secuencia
consiste en ensayos independientes de Bernoulli, para los cuales la
probabilidad de éxito de cada ensayo es una constante igual a la fracción p.
Utilizaremos la distribución Binomial para averiaguar cuál es Ia probabilidad
de que ocurran exactamente x éxitos en n ensayoi de Bernoulli. Observe
que ésta será la única distribución de tipo discreto analizada en esta sección
y la misma se utilizada en algunas ocasiones en Hidrología, especialmente
para definir el riesgo y la confiabilidad de un proyecto.
La probabilidad de que ocurran r éxitos seguidos por ( n - x )fracasos es el producto de las probabilidades de ocurrencia de éxitos p y
fracasos: S : (1-p) en los n eventos independientes; es decir:
p' (l - p)'-'
Pero los ensayos de Bernoulli representan una secuencia posible para la
ocurrenciade .r éxitos y (n-x ) fracasos; por lo tanto debemos considerar
todas las secuencias posibles, incluyendo aquellas en las cuales los éxitos no
ocurren consecutiv¿rmente. El número de combinaciones ó maneras posibles
de escoger ir eventos entre los n posibles resultados ésta dado por el
coeficiente binomial:
nlxl (n - x)l
Hidrología / David Cedeño 209
La probabilidad deseada es el producto de la probabilidad de cada una
de las secuencias y el número de maneras en que pueden ocurrir las
secuencias; por 10 tanto, el resultado (función de masa de probabilidad) es la
Distribución Binomial:
p* (l - p)n' ; V¡ = 0,1,2,3,...,n
La notación B (n,p) indica una distribución Binomial-con parámetros n y p.
Para éste tipo de distribución, la media ó valor esperado es:
t¡ = E(x) = nP
la varianza es:
02 = Var(x) = np(1 -P)
y la asimetría es:
| - 2p
Lnp (r - p)l%
En la expresión anterior se puede observar claramente que la distribución es
simétrica si la probabilidad de éxito es p : 0.5. En este caso en particular,
la función de distribución acumulada es:
(;)
F(x) = P(x<x) = l(",)o,r-o¡b-t)
7
Hidrología / David Cedeño 2L0
La evaluación de la f,rnción anterior es tediosa para valores grandes de
n y valores intermedios de x, pero afortunadamente existen tablas en los
libros de estadística con los valores calculados para F(x).
RIESGOS Y CONFIABILIDAD
Enuna secuencia de n años, ¿cuál es la probabilidad de que el evento
con un período de retorno Z ocurra solamente una vez? La probabilidad p
deocurrenciadel evento enun año cualquiera es h f?acción p : I I T y el
número de ocurrencias en la secuencia de n años es B (n,p). La probabilidad
de que el evento ocurra al menos una vez en n ensayos se denomina Riesgo.
Este valor se puede calcular rápidamente considerando que riesgo es igual a
1 menos la probabilidad de que el evento no ocurra en n años; es decir:
Riesgo = 1-(1 -p)'= I
Por otro lado, la Confiabilidad se define como 1 menos el riesgo; por lo
tanto tenemos la siguiente expresión:
Confiabilidad= (l-pf
(' +)'
(' +)'Los conceptos de riesgo
hidrológico, especialmente
hidráulicas.
y confiabilidad son importantes en el diseño
durante las etapas de construcción de obras
Hidrología / David Cedeño
Ejemplo 25: Diseño de Ataguías
21-].
Se va a construir una ataguía para proteger una urbanización en una
planicie de inundación mientras se completa un proyecto de canalización. La
afagtría se diseñara para una inundación que tiene un período de retorno de 20
años y el proyecto de canalización requiere 3 años para ser terminado.
Describir el proceso estocástico y calcular las siguientes probabilidades
durante la construcción del proyecto
a) El nivel del agua sobrepasará la ataguía en un año cualquiera.
b) La ataguía contendrá la inundación de diseño (Confiabilidad).
c) El nivel del agua sobrepasará la ataguía exactamente una vez.
d) La ataguía será sobrepasada por lo menos vnavez (Riesgo).
e) La ataguía será sobrepasada solamente durante el último año.
Solución:
En este análisis se va ha investigar el éxito ó fracaso del ataguía para
contener los niveles de inundación; por 1o tanto se trata de un caso discreto
y el proceso se puede definir por medio de una distribución binomial:
B(n,p) = B(3,00s)
donde donde n es la duración de la construcción en años y la proporción
p es el inverso del período de retorno Z.
7
Hidrología / David Cedeño
Cálculo de las Probabilidades:
a) La ataguía falla en un año cualquiera:
P(o>o..,\ = D - I - I = o.o5ry drteno. . T 20
b) Confiabilidad de la ataguía:
Confiabilidad= q' = (l -P)'
Confiabitidad = (l -0.0s)3 = (0.95)3 = 0.86
c) La ataguía falla exactamente una vez en tres años:
21-2
F(x=r) = f''l p'(r-p)(n-x' = f ''l p0-p)2\ *i \ I /
F(x=r) = +; (0.05) (0.e5), = 0.135
d) Riesgo de la medida de protección:
Riesgo= l-Confiabilidad= l-0.86 = 0.14
e) La ataguía falla durante el último año (regla de multiplicación):
Prob = qxqxp = (r-p)"p = (0.9s)2(0.0s) = 0.045
7
Hidrología / David Cedeño
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
f(t) = ),eL';
La media de la distribución es:
21-3
Considere una secuencia de sucesos aleatorios, de tal manera que los
eventos son independientes, el proceso es estacionario (es decir, los
parámetros del proceso no cambian con el tiempo) y no es posible tener más
de una ocurrencia del evento en cualquier instante. Estas condiciones
describen un proceso de Poisson, el cual es representativo los eventos de
tormentas. Si la variable aleatoria / representa el intervalo de tiempo entre
los eventos, se pueden decir que la variable f tiene una distribución
exponencial con la siguiente función de densidad de probabilidad:
l> 0
t.r = E(t)
y la varianza es:
a2 = Var(t)
Esta distribución tiene la propiedad característica de que su promedio
es igual a su desviación estándar; por 10 tanto, el coeficiente de variación es
CV : l. La distribución es obviamente sesgada hacia la derecha, con una
asimetría constante y : 2.
_1L
,)
7
Hidrología / David Cedeño 2L4
La función de densidad acumulada se puede evaluar analíticamente,
integrando la función de densidad de probabilidad; es decir:
F(f) = Jo' , exp (- )" t) dt = I - exp(-1. /)
En la expresión anterior, es evidente que cuando t : * ,la función de
distribución acumulada es: F(-) = 1; 1o cual satisface una de las
propiedades de este tipo de función, ya que el área total bajo la función de
densidad de probabilidad debe ser igual a la unidad y representa la
probabilidad de todo el espacio muestral.
La distribución exponencial puede ser manipulada fácilmente en forma
analítica y en consecuencia se utiliza algunas veces para aproximar
distribuciones asimétricas más complejas. También se emplea ocasionalmente
para encontrar la correspondencia entre la precipitación total en la cuenca y
el caudal en el río; pero se utiliza más a menudo para obtener los intervalos
de tiempo entre los eventos. Algunas funciones de distribución estrechamente
relacionadas con Ia distribución exponencial son la distribución de Poisson,
la cual define el número de ocurrencias en el tiempo / y la distribución
Gamma, la cual define el intérvalo de tiempo entre k eventos.
Ejemplo 26: Intérvalo de tiempo entre tormentas
Durante el transcurso de un año, ocurren aproximadamente 110 eventos
independientes de tormentas en cierta localidad, con una duración promedio
de 5.3 horas cada una. Describir el proceso ignorando las variaciones
a
Hidrología / David Cedeño 2]-5
durante las estaciones del año y calcular algunas probabilidades, las cuales se
van a definir posteriormente.
Solución:
El proceso se puede describir utilizando una distribución exponencial,
la cual tiene las siguientes funciones de densidad de probabilidad f (t) y
densidad acumulada F(t) :
f(t) = )'e-L'; t>o
F(t) = I - exp(-.1.r)
El intérvalo de tiempo promedio (en horas) entre eventos de tormentas
en un año es (1 año : 8,760 horas):
_ 8,760 - 110 " 5.3t=ff=743hr
El parámetro I de la distribución exponencial está relacionado con el
valor promedio anterior, ya que:
E(t) - I)L
Por lo tanto, utilizando el método de momentos, tenemos:
.r. = 1 - 1 = o.or35hrlr 74.3
7
Hidrología / David Cedeño 216
Probabilidades:
a) ¿Cual es la probabilidad de que existan al menos 4 días (96 horas) entre
tormentas?
P(t>96hr) = r -F(96) = exp(-0.0135x9ó) = 0.27
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo entre dos tormentas sea
exactamente igual a 12 horas ?
P(t=t2hr) = F(12)-F(12) = 0
Observe que la probabilidad de que una variable aleatoria contínua sea
exactamente igual a un valor específico siempre es cero.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la separación entre dos tormentas sea
menor ó igual a 12 hr?
P(t<12hr) = F(12\ = 1-exp(-0.0135x12)
P(t<l2hr) = l-0.85 = o.l5
7
Hidrología / David Cedeño
DISTRIBUCION NORMAL
211
La Distribución Normal también se conoce con el nombre de
Distribución de Gauss y es de fundamental importancia en probabilidad y
estadística. Una razón de esto, es que el Teorema del Límite Central
establece que bajo condiciones muy generales, la distribución de la suma de
una gran cantidad de variables aleatorias se puede aproximar a una
distribución normal, independientemente de de la distribución verdadera de
la muestra. Muchos procesos físicos se pueden ide-alizar como la suma de
procesos individuales; por lo tanto, la distribución normal encuentra muchas
aplicaciones en hidrología y otras aéreas de estadística, tales como prueba de
hipótesis, intérvalos de conflanza y control de calidad.
La función de densidad de probabilidad para la distribución normal
(curva en forma de campana) es la siguiente:
f (x'l - (x - tt)' -oo < f < oo
, lt; 2a2
Los párametros de la distribución son el promedio p y la varianza o2; las
variables aleatorias que tienen esta distribución se denotan como N(¡r, o2).
Debido a la naturaleza simétrica de la distribución normal, esta no es
adecuada para analizar eventos extremos, tales como caudales máximos; pero
es satisfactoria para describir totales anuales.
.,.0 | l
Hidrología / David Cedeño 2L8
La evaluación de la función de la densidad acumulada requiere un
cambio de variable:
z = (¡ - t¡)o
Donde z es la variable normal estandarizada y tiene una distribución N (0, 1);
entonces la función de densidad acumulada para la variable transformada es:
F(z) = |
Desaforhrnadamente, esta integración no se puede efecfuar fácilmente,
pero existen tablas de F(z) en función de la variable z enla mayoría de los
libros de estadística. Obsérvese que la variable estandarizada e corresponde
al factor de frecuencia ft utilizado en otras distribuciones. La magnitud de -r
para un período de retorno dado, se puede encontrar fácilmente utilizando el
siguiente procedimiento :
1- Calcular la Función Normal Acumulada: F(Z) = 1 - I lT
Obtener el valor de Z en una Tabla de Distribución Normal
Entonces: X = X+2.5"
1
J-
/ "\1 I -u'lexr.tl
-l
du,lt; '\ 2 )
Hidrología / David Cedeño
F(z)
0.0t 0.02
Función de l)istribución Normal Acumulada
279
0.521e 0.5279 0.51t90.5ó.16 0.56?5 0.57 t40.6026 0.6064 0.6 t0_1
0.6406 0.6441 0.64800.617: 0.6808 0.6$44
0.7 D1 0.7t57 0.7190 0.ltt40.7454 0.7486 0.7i I7 0.7:tS0.7164 0.1194 t).7821 0.78_i:0.8051 0.8078 0.810ó 0.81i l0.81l5 0.3J¿0 0.8i65 0.8189
0.85i¿ 0.85770.8770 0.87900.8962 0.89800.9tJ I 0.91470.9219 0.9292
0.8599 0.36: I
0.88 r0 0.33i00.8997 0.901i0.9162 0.91770.910ó 0.9,119
0.9406 0.9418 0.9429 0.94,1t0.q5ti 0.9525 0.9515 095J:0.4608 0.96 t6 0 qó25 n.gólj0.9686 0.969t 0.9699 0.910ó0.9750 0.9156 0.9?61 t\.91610 qRoJ 0.s80R 0.s8 t 2 o 98 I 7
0.9846 0.9850 0.9854 0.98570 9RR I 0.98R4 0.'rr87 0 o!9t)0.9909 0.991 I 0.99tJ 0.991ó0.991r 0.9912 0.9914 0.99,\60.9948 0.9945 0.9951 0.9ci20.996 r 0.9962 0.996J 0.996.r0.997t 0.9971 0.9973 0.99140.99?9 0.9979 0.9980 0.9q810.9985 0.9935 0.9986 0.99860.9989 0.9989 0.99q0 0.9990
I _,, )""nl , )aw
001 004 0.0i 0.06
0.00.t0.10.1
0.1
0.50000.5198
0.57910.6 l]90.6554
0.69 r50.12570.75800.76310.8ri90.84r l0.86410.88490.90J 2
0.9r92
0.91320.9452
0.9i540.96410.97r1
0.91120.98210 986r0.98910.9918
0.99180.99.r3
0.99ós0.99 t40.9981
O.998 t'
0.i lt00.55t70.59t00.6i930.6664
0.70 '90.7357
0.16130.19610.82 !8
0.5i590.57510.6rJl0.6ir70.6879
0.504c 0.50800.5138 0.5.¡;'80.J812 0.58710.6211 0.62550.6591 0 6613
0.6950 0.69850.7291 0.71t40.76 0.764.1
0.7910 0.79190.8186 0.8212
0.5 r60 0.J t990.5557 0.j5960.594S 0.i9870.611! 0.61680.6700 0.61i60.7054 0.10880.7389 0.i422o.iiíi; 0.71310.799i 0.802109264 0.3289
0.3508 0.351I0.8729 0.8749r).8q25 0.39440.9099 0.9 t r50.925 r 0.916s
0.9.182 0.93940.9495 0.95050.959r 0.95990.9611 0.96780.9718 09744
0.9193 0.91980.9818 0.98420.9875 0.98780.9904 0.99060.9927 0.9929
0.9945 0.99460.9959 0.99600.9969 0.9970rr.99.17 0.99780.9984 0.99840.9988 0.9989
0..i0.6
0.10.80.9
1.0
Llt.2LJ1.4
t.5t.61.7
t.8t.9
2.02.1
2.2
2.1
2.4
2.5
2.62.1
2.8
?.9
1.0
0.3418 0.8461 0.84850.86ó5 0.8686 0.87080.8869 0.8838 0.89070.9049 0.9066 0 9082o.9zo7 0.9222 0.9:360.9145 0.915? 0.91700.9463 0.9414 0.94840.9564 0.9571 0.95820.9ó49 0.96i6 t\.96640.9719 0.9126 0.9132
0.9't't8 0.978J0.9826 0.98100.9864 0.98680.9896 0.98980.9920 0.9922
0.97880.98140.98110.990t0.9925
0.9940 0.99¿ I 0.99410.9955 0.9956 0.99510.9966 0.9961 0.9s680.99?5 0.9976 0.99"t10.9982 0.9982 0.9e8.1
0.9987 0.9987 0.9988
Hidrología / David Cedeño
Eiemplo 27: Distribución Normal
Emplear la distribución normal en combinación con los datos de
caudales máximos registrados en la estación de aforo (utilizados en los
ejemplos anteriores desarrollados en esta sección) para calcular:
a) El caudal con período de retorno de 100 años (Q,oo).
b) La probabilidad de que el caudal será menor ó igual a 10,000 pies3/seg
y su respectivo período de retorno.
Solución:
Los parámetros de la distribución normal estimados en términos de los
momentos de la muestra son:
É = O = 4,744p3/s
ó = sa = 3,311 p3 ls
y la tunción de densidad de probabilidad es:
220
I -.1f(e\ = ---="*nl-t0-9r'¡ -*<e<*
sotfzr" L ,sn" ]
a) Caudal para un período de retorno T : 100 años:
F(Q,oo) = 1- L = t- ,# = o.ee
Hidrología / David Cedeño )41
Interpolando en las tablas de distribución normal acumulada, tenemos:
Z = 2.326
Por lo tanto la magnitud del caudal es:
Qroo = Q+Z'Sn = 4,144+2.326x3,3 11 = 11,850p3/s
b) Variable Normal Estandarizada:
z = O-O - 1o'ooo-4'144 = 1.769so 3,3 1l
Utllizar las tablas de la distribución normal acumulada para obtener:
F(Z) = F(1.76e) = 0 9615; por consiguiente, la probabilidad es:
P(8<1O,OOOp3/s) = F(Z) = 0.9ó15
y el período de retorno para un caudal Q : 10,000 pies3/seg es:
_lI_
1 ^- _= Zb AnOSr-F(z) 1-o.eóls
Observación:
La Distribución Normal no se ajusta satisfactoriamente a los datos de
caudales máximos registrados (histograma de densidad) debido a la asimetría
de la distribución empírica.
J
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7
Hidrología / David Cedeño
DISTRIBUCION LOG NORMAL
223
Considere un cálculo hipotético de escorrentía, en el cual la escorrentía
es igual al producto de funciones de diferentes factores aleatorios, tales como
precipitación, área tributaria, coeficiente de pérdidas, evaporación, etc. En
general, si una variable aleatoria X es el resultado del producto de una gran
cantidad de otras variables aleatorias (mecanísmos de multiplicación),
entonces la distribución de los logaríünos de x será aproximadamente normal,
ya que el logaríuno de X estará cónstiruído por h süna de los logarítmo de
los factores contribuyentes. En hidrología, es muy fácil concebir muchos
factores contribuyentes a la escorrentía que son aleatorios y de los cuales
existe muy poca información determinística; por lo tanto, un mecanísmo
multiplicativo para la escorrentía puede ser una suposición razonable. En
general, se puede considerar que una variable aleatoria tiene una distribución
log normal si el logarítmo de la variable aleatoria está distribuído
normalmente; es decir que si I : log 0) tiene una distribución normal,
entonces X tiene una distribución log normal. La función de densidad de
probabilidad para la distribución log normal es:
f(x)log,o (e) -0 - Fr)' ¡>0
, o ,lin 2 o2v
donde I = log,o 6) y e es la base de los logarítmos nafurales; observe
que la función de densidad de probabilidad para la distribución log normal
está limitada a la izquierda por el valor cero, tiene una asimetría positiva y se
"-rl
7
Hidrología / David Cedeño .'t a A
puede utilizar fácilmente debido a su relación con la distribución normal, ya
que la variable transformada tiene la siguiente función de densidad de
probabilidad normal:
f(y)o" rfz n
para la cual existen tablas que nos permiten obtener directamente la función
de densidad acumulada, ya que la distribución normalse utiliza ampliamente
en estadística.
La asimetría y de la distribución log normal es una función del
coeficiente de variación CV - a / p":
3 'CV * CV3
pero la asimetría de la variable transformada Y : log (X) es cero, tal como
se espera, debido a que I está distribuida simétricamente.
A pesar de que la función de densidad de probabilidad de X (variable
original) se puede derivar fácilmente, esta función se requiere en muy pocas
ocasiones. En lugar de eso se encuentran los momentos de I : log (E y
se utiliza la distribución normal para la variable transformada I. Esta
transformación se puede hacer de dos maneras, ya que se pueden usar
logarítmos naturales ó de base 10. El método de momentos requiere que el
momento de los datos originales sea calculado y relacionado con el momento
de los datos transformados. Cuando se utilizan logarítmos naturales en la
transformación: I = ln (X) , éstas relaciones son:
f-tv - r,..1' lexo | ' I'l 2 o,'
I
7
Hidrología / David Cedeño 22s
o2CV2 exp (o,2 - 1)
u2
/ "'\t¡- = exp I F.. * --2- |^ \ 2)
Las ecuaciones anteriores se pueden resolver simultaneamente para
encontrar Fy y arz. Si se utilizan logarítmos de base 10, las fórmulas
anteriores se deben modificar reemplazando la bise de los logarítmos
raturales (e : 2.718) con logarítmos de base 10. Observe que el logarítmo
del promedio no es el promedio de los logarítmos; por el contrario,
ly = log(X,)
donde X, es la mediana de X. El método de momentos para la estimación de
los parámetros conserva el momento de los datos originales, 1o cual es
necesario para la simulación de caudales en ríos.
Otro método es el de convertir el promedio y Ia variarza a logaritmos
naturales. Este segundo método es más común y está relacionado con
estimaciones de probabilidad máxima para los parámetros de I. En este
caso, primero se calculan los logaritmos de todos los caudales y luego se
obtiene el promedio y la variarva de los datos transformados; si los momentos
de los datos transformados son calculados por ambos métodos, la semejanza
de los resultados se incrementará al aumentar el tamaño de la muestra.
7
Hidrología / David Cedeño
Ejemplo 28: Distribución Log Normal
z¿6
Utilizar los datos de caudales máximos registrados en la estación de
aforo y aplicar la distribución log normal (usando logarítmos de base l0)
para calcular:
a) El caudal con un período de retorno de 100 años.
b) La probabilidad de que el caudal sea menor o igual a 10,000 pies3/seg
y su respectivo período de retorno.
Además, comparar los parámetros estimados utilizando los momentos de los
datos originales y los obtenidos con los datos transformados.
Solución:
Los parámetros de la distribución log normal estimados utilizando los
momentos de los datos transformados Y = log,o (p) son:
f = 3463
'Sr = 0 424
y la función de densidad de probabilidad es:
fQ\2.3 Q Sy \ft;
a) Caudal para un período de retorno T : 100 años :
F(r,oo) = 1- L = 1---l = 0.99
.-li#]
7
Hidrología / David Cedeño 22'7
Interpolando en la tabla de distribución normal acumulada, tenemos:
z = 2.326
Por lo tanto, la variable transformada l,oo = logro (0,00 )es:
Iroo = i*Z'5, = 3.463+2.326x0.424 = 4.449
y la magnitud del caudal se puede obtener de la siguiente forma:
Q ,oo = 16(rroq) = 16(a aas) = 28:80 p3 I s
b) Transformación del caudal 0 : 10,000 p3/s:
Y = log,o(10,000) = 40
Normalización de la variable transformada:
- y-y 4-3.463Z = ,"
= 1.267
Utllizar la tabla de la distribución normal acumulada para obtener:
F(Z) = F(l.267) = 0.8975; por consiguiente, la probabilidad es:
P (Q < ro,ooo p3 I s) = F(z) = 0.8e75
y el período de retorno para el caudal Q : 10,000 p3ls es:
T = I = 9.8 años ' lO años1-F 1-0.8975
7
Hidrología / David Cedeño
Comparación del Valor de los Parámetros:
Coehciente de Variación:
228
a_CVt ':
Fx
sf
Media ó Valor Promedio:
IIPx = exp I Fv +
\
Por lo tanto, tenemos:
,.9x 3,3 10.820.799
Coeficiente de Variación al cuadrado:
CVrt = exp (of - t'¡ " exp(S]'?- l)
Yarianza:
S: = tn(Cl/xl)*r = ln[(0.799)2]+r = 0.ss1
Desviación Estándar:
X 4,t43.94
= O.742
(
" "*nlr * +)+) =X
o'551 = 8.0542
,s2Y = tn(X) - -1!- = h(4,143.e4) -2
Cambio de Base de los Logarítmos:
ln (m)logro (m) = logro @) ^ ln(m) = 0.4343 ln(m)
2.3026
7
Hidrología / David Cedeño aaó
Por consiguiente, el Valor de los Parámetros por el Método de Momentos
(utilizando logarítmos de base 10) es:
y=8'054=3.49s2.3026
s. - 0742 = 0.322' 2.3026
Resumen:
Valor delPariímetro
Método deMomentos
Usando DatosTransformados
Y 3.498 3.463
,s/ 0.322 0.424
Observe que los valores obtenidos para los parámetros por ambos métodos
son parecidos; pero el método de datos transformados Y = logro (p) es
el más comun. Sin embargo, la diferencia es notable al calcular la magnitud
del caudal con un período de retorno de 100 años:
f,oo = l*Z'Sr = 3.498 +2.326x0.322 = 4.247
Q ,oo = 1¡(v'oo) = 16(+zn7) = 17,687 p3 ls
Ooc)
CL
o8<¡
aolo
ao
¡ J^EJQ¿<úózE9a:FzJ(J
OFaA!, F,l
9üc;¿¿rrJ
^z.oFf
En¿út,r FrgElÁo¿A.l¿0FZzr¿EEl eZ f-la\6|i z.zoú(Jfe¿ l-r
Uo<ltrloooc)o
3t¡.Joooq
otr.Jo(fc)o,¡i
3Lroq
3t¡JoQo(trñ
3rUoC]oñ
(oI
7
Hidrología / David Cedeño
DISTRIBUCION GAMMA
23a
Esta distribución es utilizada ampliamente en hidrología simplemente
debido a su forma y propiedades matemáticas bien conocidas; entre ellas
tenemos las características de estar limitada por la izquierda y un sesgo
positivo, 1o cual es conveniente para eventos extremos de inundaciones
(además, la distribución gaÍrma también se puede utilizar con un sesgo
negativo para eventos de sequías). La distribución Gamma puede ser de dos
parámetros (Gamma - 2) ó de tres párametros (Gammi - 3), la cual recibe el
nombre de Pearson Tipo 3. A pesar de que los coeficientes: ,1, y p ó en
el caso de Pearsontipo 3: 1, p y e requeridos para definir la función de
densidad de probabilidad son funciones simples que utilizan la media ¡.r,
desviación estándar o y la asimetría T; es muy común en aplicaciones
hidrológicas evaluar la función de densidad acumulada con factores de
frecuencia, evitando de ésta manera la integración de la función de densidad.
Existen tablas para los factores de frecuencia K, los cuales son función de la
asimetría corregida CJ y del período de retorno Z; por 1o tanto, para
estimar la magnitud del caudal con un período de retorno deseado, se calculan
los momentos de los datos: media g y desviación estándar sn y luego se
utiliza la siguiente fórmula:
Q, = Q+K(CS.T)'Sn
Este procedimiento es satisfactorio para los períodos de retorno
mostrados en la tabla, pero no es apropiado interpolar en la tabla para otros
7
Hidrología / David Cedeño z 1l
intérvalos de recurrencia. El procedimiento correcto sería efectuar una
interpolación gráfica en el diagrama de caudales en función de períodos de
retorno. Además, este es el procedimiento para el problema inverso de
encontrar la probabilidad (y por consiguiente, el período de retorno)
correspondiente a un caudal de una magnitud dada.
Alternativamente, los dos ó tres parámetros de la distribución Gamma
se pueden calcular y a continuación se utilizan las tablas de la función de
densidad acumulada que aparecen en algunos librcs de estadística para
determinar la probabilidad.
La distribución Gamma de dos parámetros (Gamma - 2) corresponde
al establecimiento del límite a la izquierda de la función de densidad en el
valor cero (. : 0); en éste caso no se requiere calcular la asimetría de la
muestra, ya que se puede utilizar la siguiente relación para estimar ese valor:
cs = t = 2.cv2
Por lo tanto, podemos obtener el coeficiente de asimetría requerido para
encontrar el factor de frecuencia K de la siguiente manera:
cs)
,(+
7
Facto¡ de Frecuenc¡a K para las Distribuc¡ónes: camma, Pearson T¡po 3 y Log Pearson T¡po 3.
lhtérvelo d¿ R¿currénc¡¡ cn Año! T
3.02,9
2,42.72.62.5
2,32.22.1
2.O
1.91.8
1.61.51.41.34.2'1.1
't.o0.90.8o.70.60.50.40.3o.20,1
o.o-0.1
4,2-0.3
4,4-0.5-0.6
4.7J).8¡.9-1.0-1.1
-1.2
-1.3-1.4.1.5
-1.6-1.7-1.8-1.9-2.O
-2.1
-2.2
-2.4-2.5-2.6-2.7
-2.93.0
o.480.¿t50
0.4790.,1!t9
0.5180.5370.5550.5740.5920.509o.6270.5¡13
0.5600.6750.6900.7050.719o.732o.7450.7540.769
0.7800.7900.8000.8080.816o.4240.8300.836o.4420.446
0.8500.8530.8550.8560.8570.8570.8560.8540.8520.8rl80.8440.83a0.8320.8250.817
0.8080.7990.788o.7770.765o.7520.739o.725o.7110.6960.681
0.6560.651
0.636
1.1951.2101.2241.2341.2501.2621.274t2a41.2941.3021.310l.3la1.3241.329
1.3391.3401.3411.3&1.3391.336
1.3171.3091.301
1.2921.2421.270l.25A1.261.2311.2161.200t.1831.1661.1471.1241.1071.0861.0641.O41
l.ot80.9940.9700.9450.9200.4950.4690.4440.a190.795o.771
o.747o,724o.7020.681
0.660
2.2772,2752.2722.2672.2622.2562.282.262.2302.2192.2072.1932.1792.1632.162.1242.1042.O47
2.0562.O432.0181.9931.9671.9391.9'10
1.440L8491.8181.7851.7511.7161.8801.5431.5061.5671.52aí.448,1.48
1.&71.3661.324
1.2&1.1941.157
l.ll5't.075'f.0350.9960.9590.9230.4880.4550.4230.7930.7640.738o.7120.6830.656
3.1343.1143.0933.0713.0443.0232.9972.9702.9422.9122.a412.482.4152.7aO2.7432.7062.6662.4262.5852.5422.4982.4532.672.3592.31,1
2.2612.2112.1592.1072.O542.0001.945L890La341.7771.7201.5631.6061.5491.492
1.3791.3241.2701.2171.1551.1161.0691.O230.940
0.9390.9000.8640.8300.7940.764o.740o.7140.6490.666
4.667 -0.396
4.690 ¡.3904.714 ¡.3844.740 ¡).3764-769 4.3684.799 4.3604.832 .0.351
4.867 -0.341
4.905 "0.330{.9,15 ¡.319{.990 -0.307
'-1.037 4.294-1.087 4.2A2-1.14 ¡.268-1.197 4.254t_256 4.2&f .318 4.225¡.3a3 4.210-,1.4d9 -0.195
-1.518 {.1a0-1.588 {.164-1.660 4.r€¡.733 4,132-1.806 4.116-l.aao ¡ og9-1.995 -0.0a3-2.029 -0.066-2.104 -0.050-2.17a -0.033-2.252 4.017-2.326 0.000-2.400 0.017-2.472 0.033
-2.544 0.050-2.615 0.066-2.686 0.083-2.755 0.099-2.424 0.116-2.491 0.132-2.957 0.1483.022 0.1643.087 0.1a03,149 0.195¡,211 0.2103.271 0.225¡.330 0.2&3.388 0.254-3.444 0.2683.499 0.2A23.553 0 2943.605 0.3073.556 0.3193.705 0.3303.753 0.341
€.800 0.3513.845 0.3603.489 0.36a3,932 0.376-3.973 0.384-4.013 0.390-4.051 0.396
4,051 4.9704.013 4.9043.973 4.A47
3.932 4.7833.449 4.7143.74{t 4.6523.aoo 4.5843.753 4.5153.705 4.4443.656 4.3723.605 4.2943,553 4.2233.¿¡99 4.1473.444 4.0693.344 3.9903.330 3.9103.271 3.a283.211 3.7453.'149 3.6613.087 3.5753.022 3.¡892.957 3.&12.a91 3.3122.424 3.2232.755 3.1322.686 3.041
2,615 2.9492,544 2 456
2.472 2.7632.&O 2.6702.326 2.5742.252 2.822.174 2.33a2.,104 2.2942.029 2.2011.955 2.104l.aao 2.0161.806 1.9261.733 1.8371.660 1.749l.saa I 6641.514 1.58.1,1.449 1.501
1.343 1.4241.31A 1.351'1.256 1.2a21.197 1.2161,1& 1.1551.087 1.0971.037 1.0440.990 0.9950.9,16 0.9490.905 0.9070.867 0.869oa32 0 9330.799 0.4000.769 0.7690.740 0.7410.714 0.7140.690 0.690
Fuentef Haan, C.T., 1377, Slaai.aical Methods in Hlldrology,lowt g.ate ljn¡vérsity Press, Anes.
Hidrología / David Cedeño
Ejemplo 26: Distribución Gamma
234
Utllizar los datos de caudales máximos registrados en la estación de
aforo para calcular la magnitud del caudal con un período de retorno de 100
años, utilizando las siguientes distribuciones de 2 y 3 parámetros:
a) Gamma - 2
b) Pearson Tipo 3
Además, describir la función de densidad de probabilidad y sus parámetros.
Advertencia: El problema inverso de encontrar et periodo de retorno para un
caudal de 10,000 p3/s requiere una gráfica de caudales en función de Ia
probabilidad cuando se utiliza la distribución Gamma; por lo tanto, no lo
vamos a calcular en esta ocasión.
Solución:
a) Distribución Gamma - 2:
Media y Desviación Estándar de la Muestra .
O = 4,144 p3 /s
So = 3,3llP3/s
Coeficiente de Asimetría:
/ \2
cs = ,lLl = zf ¡,¡rr'1' = 2(0.7ee)2 = 1.277loJ \+'t+t)
r
IIIIIlI
I
I
I
I
I
ItIIII
Hidrología i David Cedeño
Factor de Frecuencia (obtenido interpolando en la tabla):
a?tr
K = K(CS=r.227,r=loo) = 3.1e7
Magnitud del Caudal para un Período de Retorno T : 100 años:
Qtoo -- Q+KxSo = 4'144+3'197 x3,111
Q ro, = 14,730 P3 ls
Función de Densidad de Probabilidad para la Distribución
Gamma - 2:
\9 O9-t e'xQf@) = '" z - ; Q>of(B)
Parámetros de la Distribución Gamma - 2:
L = O = 3.280,. lo-as.' (3.31 1 )212
/ - \2 / \r
p = l_9_l - [ 4,t44 l'= 1566\ sn / \ 3,31r /
Observación: La función de densidad de probabilidad para la distribución
Gamma - 2 se ajusta de manera adecuada a la distribución empírica de los
caudales máximos registrados (histograma de densidad), tal como se puede
apreciar en la siguiente gráfica.
ca8oOv
aofo
oeao
J
-'¿riE
'q a_zf¡ tÁ
t¡o<9acÉ)d
=u1!r=F r-tILJ 'f
d,lr
e¿ó¡¡t2.8nl? Fl
)6-F- r.lvl a
l¡.1 (4dz.t- f¡2Atl r.t'a, Ao7.<U4?.<5Ff{:Q
q€88r¡r uj r.ü .t.gEEEvr,.rd
ÉtÉÉÉiFFSIEF
(ol¡
Hidrología / David Cedeño 231
b) Distribución Pearson Tipo 3:
Media, Desviación Estándar y Coeficiente de Asimetría Corregido,
utilizando los momentos de la muestra:
0 = 4,144 p3 ts
So = 3,311 p3 ls
cs = 1.981
Factor de Frecuencia (obtenido interpolando en Ia tabla):
K = rK(CS=1.981,2=100) = 3.595
Magnitud del caudal para un período de retorno Z: 100 años:
Qroo = 8"K'Sn = 4,144 +3.595x3,3 ll
., Q too = 16'050 P3 ls
Función de Densidad de Probabilidad para la Distribución
Pearson Tipo 3:
LF (O - e¡F-r ,-L(Q-.)f (Q)
f(p) ; Q>e
III
I
I
I
I
??aHidrología i David Cedeño
Parámetros de la Distribución pearson Tipo 3:
B = (+)'= (t+)'=,0,e3
L= = 3.049 " l0- a
€ = O - t, t[l = 4,t44 -:,:u / r-orx = 801.35 p3ls
Observación:
En la siguiente gráfica se muestra el ajuste de la función de densidad
de probabilidad para ra distribución pearson tipo 3 a la distribución empíricade los caudales máximos registrados (histograma de densidad) y en la mismapodemos apreciar el límite a la izquierda : e > e " B0O p3 ls .
_@sn
o*aoJ
eoE<()
J ..¡
¡-l a-
ó7,eúxr¡prAZ.<o¿.u¿é
vl-ü2H ¡.I\-<JU2¿tra,ol.l7.4I.)JFF]UcÁ;r?ÉqÉd9(t i¿r
<^&ttr- v)2. -4
Z l-t
?7<UlZ¿PU o
<Jit¡Jc)o
a
c)t].too9
fu.tCJoC]ó
3lrl(foc)".1
3t¡loaoor-t
3r¡.1
oó
ci
ol¡loooci
3uloooq
(oli
I
l
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
l
I
I
I
I
Hidrología / David Cedeño
DISTRIBUCION LOG PEARSON TIPO 3
240
Cuando se aplica la distribución Gamma de tres parámetros a los
logarítmos de los datos de variables aleatorias (datos transformados),
generalmente se le denomina dist¡ibución Log Pearson tipo 3. Esta
distribución tiene un papel muy importante en hidrología debido a que ha sido
recomendada por el U.S. Interagency Advisory Comittee on Water Data
(1982) como la distribución de probabilidad que debe ser aplicada a los
caudaies de inundación.
La forma de la distribución Log Pearson tipo 3 es bien flexible debido
a que utiliza tres parámetros y su uso es completamente similar a la
distribución Log Normal discutida previamente; sin embargo los momentos
de los datos originales y transformados no eslán relacionados en esta ocasión.
Por el contrario, los datos son transformados tomando logarítmos (de base e
ó base 10) de la siguiente manera: y = loe(Q) y la distribución Gamma - 3
se aplica exactamente como se hizo en la sección anterior. Esto significa que
las magnitudes de los caudales se pueden calcular directamente para los
períodos de retorno mostrados en la tabla, pero el problema inverso de
determinar el período de retorno (ó la función de densidad acumulada)
correspondiente a una magnitud dada solamente se puede resolver
gráficamente.
I
I
tHidrología / David Cedeño 24L
IEjemplo 27: Distribución Log pearson Tipo 3
I Utilizar los datos de caudales máximos registrados en la estación de
I aforo para calcular la magnirud del caudal con un período de retorno de 100
años aplicando la distribución Log Pearson tipo 3; demás, describir la función
I de densidad de probabilidad y los parámetros de la distribución.
I)o luc ron I
I -r*nsformación
de los Datos (logarítmos de base r0):
y = log,o (0)
Media, Desviación Estándar y Coeficiente de Asimetría Corregido para
I los datos transformados:
I
I
I
I
I
I
t-I
Y = 3.463
s = 0.424v
c,s = -1.117
Factor de Frecuencia (obtenido interpolando en la tabla):
K = K(CS= -1.117, f = 100) = 1.504
Variable Transformadai I,oo = logro (0roo )
I,oo = f *,KrSy = 3463 +1.504x0.424 = 4.101
Hidrología / David Cedeño
Por lo tanto, la magnitud del caudal paraT - 100 años es:
242
Qro, = 16rtt = 16(a lot) = 12,6.10 P3 /s
Función de Densidad de Probabilidad para la Distribución
Log Pearson Tipo 3:
f (o) ; Q > e',0 f (p)
Donde I = log,o(Q) y laconstantenumérica ln(10) = 2.3 se
debe al cambio de base de los loea¡ítmos.
Parámetros de la Distribución Log Pearson Tipo 3:
p (+)' (. \z' | = 3206
- r.rtt )
l= = 1.8362.3 (0.424)
€ = z:ql -s, 1r¡- I = 23(3.463-0.424r|;.zoe > = 6.227
Límite de la Función a la Izquierda:
,lT2.3 sY
O > e'= exp(6.227) = 506.22 p3 ls
Éz<o6a6fFH¡-,¡
AY.tz?=¿UóÉFdg ¡-.hla
É
:fA
Flá
< t¡¡¡ñr.¡ aÉ2Flf.¡ 2A r¡J
uf¡<A4zA
++se8HHHÉHHqsge(.rF_¡¡-jo
+sBsHHgÉóxlJoqñ38!tt<.¡(i
(o)¡
Hidrología / David Cedeño 244
DISTRIBUCION GLIN{BEL (Valor Extremo Tipo I)
Est¿ función de densidad de probabilidad surge de la teoría de valores
extremos desarrollada por Gumbel (1958). La distribución tiene una forma
adecuada; pero al igual que la distribución normal, carece de límites en ambos
extremos; sin embargo, la posibilidad de un valor menor de cero (por
ejemplo, caudales negativos) es de muy poca preocupación en su aplicación.
Unavez más, no se requiere la función de densidad de probabilidad, ya que
la función de densidad acumulada tiene la siguiente forma particular de una
doble exponenciación:
F(x) = erp{-exp[-a(x - z)]] ; -có<x<6
La función anterio¡ puede ser evaluada fácilmente sin necesidad de
tablas y en la misma, el parámetro d es un factor de escala y el parámetro
¿ es la moda. Estos parámetros están relacionados con el promedio ¡r y ladesviación estándar o por medio de las siguientes expresiones:
u=P
"GLas cuales proporcionan una forma de estimación de los parámetros por el
método de momentos. Se ha demostrado también que no es necesario efectua¡
I
lI
I
I
I
I
I
I
¡
l
Hidrología / David Cedeño 245
correcciones para tomar en cuenta el número de datos n en Ia evaluación de
c y u. La asimetría v de la distribución de Gumbel tiene un valor
constante igual a 1.1396.
El argumento del exponencial interno: y = d (x - u) se denomina
la variable reducida y debido a que la misma es una función única de la
frecuencia F = | - 1/T (laeual está relacionada con el período de retorno
I), estr variable se puede :utilizar para obtener una gráfica de la distribución
en forma lineal utilizando factores de escala adecuados.
Si la función de densidad acumulada se utiliza en combinación con las
relacíones de momento para obtener la variable X en términos de Ia
frecuencia F ó del período de retorno 7, se puede derivar facilmente un
factor de frecuencia K:
K = -0.7797Y 0.5772- o77e.t,nl,"(+) ]
K = -0.77e7 x 05772 - o77s7"l'"(,=)
El factor de frecuencia: K = (X - p)/ o x se puede utllizar para obtener
directamente el valor de la variable X; es decir: X = v * K ax .
Si la función de densidad acumulada se evalúa para el valor promedio:
X = p se encuentra que su magnitud es: F(f.) = 0.57;por 1o tanto, el
período de retorno para la media ¡,r es: T, = Il(1 - F) = 2.33 años. St
existe una gráfica de caudales en función del período de retorno, algunas
Hidrología / David Cedeño 246
veces se usa la información anterior para estimar de manera rustica el valor
promedio de los caudales, suponiendo que los mismos obedecen a una
distribución de Gumbel.
9=t1ü Distribución Gumbel
Utilizar nuevamente los datos de caudales máximos registrados en la
estación de aforo (serie anual máxima) en combinaciótTcon la Distribición de
Gumbel para encontrar la magnitud del caudal con un período de retorno de
100 años; además, encontrar la probabilidad de que la magnirud del caudal
sea menor ó igual a 10,000 p'ls y su respectivo período de retorno'
Solución:
Media y Desviación Estándar de la Muestra:
O = 4,744 p3 /s
So = 3,377 p3/s
Función de Densidad de Probabilidad:
fQ) = d exp\-*tO - u) -exp[-c tO - r)l\ < Q < a
Parámetros de la Distribución Gumbel:
tnG 3JnG= 3.874 ^ lo-a slp3
7
I
I
I'I
Hidrología / David Cedeño
u = e- 0'5772 = 4,144- 0.s772 = 2,653.9 p3 /s3.874x IO-a
Factor de Frecuencia K para Z - 100 años:
K = -0.450 -o77s7rl,,,lrqg)l = 3.137[ \ ssl]
Magnirud del Caudal:
Qroo = Q*KSB = 4,144+3.137 x3,3 1l = 14,5j0p3/s
Función de Distribución Acumulada:
F(Q) = exp{ -"*p[- "@ - u)Jl
Probabilidad:
F(10,000) = exp {-"rp[ -3.874x l0-4(10,000 _ 2,653.g)]l
p (Q < 10,000 p3ls) = ¡'(10,000) = 0.943
Período de Retorno:
-ll 18 años| - F I - 0943
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Hidrología / David Cedeño 249
Comparación de Resultados
Distribución Caudal Pronosticadopara T: 100 años
AsimetríaCalculada
Normal 11,850 p3ls 1.98
Log Normal:Datos TransformadosMétodo de Momentos
28,130 p3ls
17,690 p3ls- 1.12
Gamma - 2 14,730 p3ls 1.28
Pearson Tipo 3 16,050 p3ls 1.98
Log Pearson Tipo 3 12,610 p3/s - t.l2Gumbel 14,530 p3/s 1.98
Observación:
Los caudales pronosticados para un período de retorno de 100 años
varían al utilizar cualquiera de las 6 distribuciones de probabilidad estudiadas
en ésta sección, las cuales fueron aplicadas a la misma serie anual máxima
(caudales registrados en la estación de aforo). Es importante señalar que el
mejor ajuste se debe determinar gráficamente comparando la función teórica
de densidad de probabilidad con la función empírica (histograma de
densidad). Además, podemos observar que la asimetría también afecta el
ajuste de los datos a una función de densidad de probabilidad y en el caso de
la distribución normal, la función teórica es simétrica, pero el método de
momentos estima una asimetría corregida diferente para los datos.
REFERENCIAS
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