0202 総重量説明表 自 重 （注2） 積載物重量 合計 トラック トラクタ ・自重 乗 員（人） トレーラ自重 小 計 前 部 後 部 小 計 t ・ t ・
14 多重積分
23
歐歐歐歐 14 多多多多 Multiple Integration
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14 多重積分. Multiple Integration. 14.1 逐次積分和平面上的面積 14.2 重積分和體積 14.3 積分變數變換：極坐標 14.4 質心和慣性矩 14.5 曲面面積. P.636. Ch14 多重積分. 14.4 質心和慣性矩 (Center of mass and moments of inertia). 質量 如果一均勻密度為 ρ 的薄膜對應的區域是 R ，如圖 14.33 所示，則此薄膜的質量是 如非特別說明，通常都假設薄膜的密度是常數。. P.636. Ch14 多重積分. - PowerPoint PPT Presentation
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14 多重積分 Multiple Integration
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14.1 逐次積分和平面上的面積
14.2 重積分和體積
14.3 積分變數變換：極坐標
14.4 質心和慣性矩
14.5 曲面面積
14.6 三重積分
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14.4 質心和慣性矩 (Center of mass and moments of inertia)質量
如果一均勻密度為 ρ 的薄膜對應的區域是 R ，如圖14.33 所示，則此薄膜的質量是
如非特別說明，通常都假設薄膜的密度是常數。
P.636Ch14 多重積分
dAdAA RR 質量
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圖 14.33 密度為常數ρ的薄膜。
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非均勻密度平面狀薄膜質量的定義
假設對應於一平面區域 R 的薄膜其密度函數是由一連續函數 ρ 所決定，我們以二重積分定此薄膜的質量
m
如下
注意 密度的單位通常是每單位體積的質量，不過，對平面狀薄膜而言其密度的單位是每單位面積的質量。
P.636Ch14 多重積分
dAyxm R ),(
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例 1 求平面狀薄膜的質量
求密度函數為 ρ(x, y) = 2x + y ，以 (0, 0), (0, 3) 和 (2, 3)
為頂點的三角形薄膜的質量。
解 如圖 14.34 ，區域 R 的邊界是 x = 0, y = 3 和y = 3x/2 （或 x = 2y/3 ），因此薄膜的質量是
P.636Ch14 多重積分
1039
10
9
10
)2()2(
3
0
33
0
2
3/2
0
3
0
2
3
0
3/2
0
ydyy
dyxyx
dydxyxdAyxm
y
y
R
歐亞書局 P.636Ch14 多重積分
圖 14.34 非均勻密度的薄膜 ρ(x, y) = 2x + y 。
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例 2 以極坐標求質量
如圖 14.35 ，薄膜所對應的區域是圓域 x2 + y2 ≤ 4 在第一
象限的部分，已知其在點 (x, y) 的密度與該點到原點的
距離成正比，求此薄膜的質量。
解 薄膜的密度函數 ρ 是
由於 0 ≤ x ≤ 2 和 ，因此薄膜質量如下式
P.637Ch14 多重積分
2222 )0()0(),( yxkyxkyx 240 xy
2
0
4
0
22222
dxdyyxkdAyxkmx
R
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例 2 （續）
我們以極坐標變數變換化簡積分。積分的範圍是0 ≤θ≤π/2 和 0 ≤ r ≤ 2 ，所以質量是
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3
4
8
3
8
3
3
2/0
2/
0
2/
0
2
0
3
2/
0
2
0
2
2/
0
2
0
222
kkd
k
dkr
ddrkr
ddrrrkdAyxkm R
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圖 14.35 在 (x, y) 的密度：
P.637Ch14 多重積分
22),( yxkyx
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質矩和質心
如果薄膜對應一個平面區域 R ， R 上有一個分割，如圖 14.36 ，我們取第 i 個小長方形 Ri ，面積是 ΔAi 。假設Ri 的質量集中在它的一個內點 (xi, yi) ，則 Ri 對 x 軸的質矩可以下式近似
( 質量 )(yi) ≈ [ρ(xi, yi)ΔAi](yi)
同理， Ri 對 y 軸的質矩可以下式近似( 質量 )(xi) ≈ [ρ(xi, yi)ΔAi](xi)
把這些乘積分別相加求得各自的黎曼和，並且令 Δ 的範數 ||Δ|| 趨近於 0 而得到極限，極限就是薄膜分別對 x軸和 y 軸的質矩。
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圖 14.36
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非均勻密度平面狀薄膜的質矩和質心
假設對應於一平面區域 R 的薄膜其密度函數是由一連續函數所決定，則以二重積分定此薄膜對 x 軸和 y 軸的質矩分別為
如果 m 是此薄膜的質量，則其質心的坐標為
如果 R 只是代表一個幾何形狀，點 稱為 R 的形心，此時相當於 ρ 是常數的情形。
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),( yx
dAyxxMdAyxyM RyRx ),(),( 和
m
M
m
Myx xy ,),(
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圖 14.37
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例 3 求質心
如圖 14.38 薄膜所對應區域是拋物線區域 0 ≤ y ≤ 4 – x2
已知其在點 (x, y) 的密度與該點到 x 軸的距離成正比，
求此薄膜的質心。
解 由於薄膜與 y 軸對稱並且 ρ(x, y) = ky ，所以質心落
在 y 軸上，亦即 。其次，求此薄膜的質量
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0x
15
256
5
32
3
6432
53
816
2
)816(22
2
2
53
2
2
424
0
2
2
22
2
4
0
22
kk
xxx
k
dxxxk
dxyk
dxdykyxx
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再求其對 x 軸的質矩
所以，
質心的位置是在 。
例 3 （續）
),0( 716
105
4096
75
121664
3
)124864(3
3))((
2
2
753
2
2
642
4
0
2
2
32
2
4
0
22
kxxxx
k
dxxxxk
dxyk
dxdykyyMxx
x
7
16
15/256
105/4096
k
k
m
My x
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圖 14.38 非均勻密度的拋物線區域。
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圖 14.39
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例 4 求慣性矩
求例 3 中的薄膜對 x 軸的慣性矩。
解 從慣性矩的定義，計算下式得到
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315
768,32
97
16
5
96
3
256256
4
)1696256256(4
4)(
2
2
9753
2
2
8642
4
0
2
2
42
2
4
0
222
kxxxxx
k
dxxxxxk
dxyk
dxdykyyIxx
x
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旋轉半徑
旋轉中薄膜動能與慣性矩密切相關。如圖 14.40 ，當薄膜以角速度（ ω ）（單位弧度∕秒）繞一直線旋轉
，薄膜所具的動能是另一方面，一質量為 m 的質點以速度 v 作直線運動時所具的動能是所以直線運動的動能與質量成正比，而繞軸旋轉的動能與慣性矩成正比。假設一質量為 m 的物體對一轉軸的慣性矩為 I ，我們定義此物的旋轉半徑（ ）為
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r
221 IE
221 mvE
m
Ir
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圖 14.40 以角速度 ω 旋轉的平面薄膜。
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例 5 求旋轉半徑如圖 11.41 ，薄膜所對應的區域 R 以下列不等式定義
R ：0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤π 。假設在點 (x, y) 的密度函數是ρ(x, y) = x ，求此薄膜對 y 軸的旋轉半徑。
解 先在積分區域 R 上積分 ρ(x, y) = x 得到薄膜的質量
是 π ，再求薄膜對 y 軸的慣性矩 Iy。
所以，對 y 軸的旋轉半徑是P.641Ch14 多重積分
6))(cos6())(sin63(
sin
30
32
0
3sin
00
3
0
sin
0
3
xxxxx
dxxxdxyxdxdyxIxx
y
967.166 2
3
m
Ix y
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圖 14.41 非均勻密度：對 y 軸的旋轉半徑約為 1.967 。
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