1.3.Gia Tri Lon Nhat - Nho Nhat Cua Ham So
Transcript of 1.3.Gia Tri Lon Nhat - Nho Nhat Cua Ham So
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số
Bước 1: Dự đoán và chứng minh
Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để
2. Các phương pháp thường sử dụng
Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương
Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.
Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacôpski
Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm.
Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp véctơ và hệ tọa độ
Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P(x, y) = x2 + 11y2 6xy + 8x 28y + 21
Giải. Biến đổi biểu thức dưới dạng P(x, y) = (x 3y + 4)2 + 2(y 1)2 + 3 3
Từ đó suy ra MinP(x, y) = 3
Bài 2. Cho x, y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S =
Giải.
S
S .
Với x = y > 0 thì MinS = 2
1
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
Giải . =
S
S .
Với , (k) thì
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải.
Với , thì
Bài 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = 19x2+ 54y2 +16z2 16xz 24y +36xy
Giải. Biến đổi S f(x) = 19x2 2(8z 18y)x + 54y2 +16z2 24y
Ta có x = g(y) = (8z 18y)2 (54y2 +16z2 24y) = 702y2 +168zy 240z2
y = (84z)2 702.240z2 = 161424z2 0 zR g(y) 0 y, zR
Suy ra x 0 y, zR f(x) 0. Với thì
Bài 6. Cho x2 + xy + y2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
S = x2 xy + y2
Giải Xét y = 0 x2 = 3 S = 3 là 1 giá trị của hàm số.
Xét y 0, khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây
với
u(t2 + t + 1) = t2 t + 1 (u 1)t2 + (u + 1)t + (u 1) = 0 (*)
2
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
+ Nếu u = 1, thì t = 0 x = 0, y = u = 1 là 1 giá trị của hàm số
+ Nếu u 1, thì u thuộc tập giá trị hàm số phương trình (*) có nghiệm t
= (3u 1)(3 u) 0 .
Vậy tập giá trị của u là ; Max u = 3
Min S = 1 t = 1
Max S = 9 Maxu = 3 t = 1
Bài 7. Cho x,yR thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức S=
Giải. Biến đổi
Do 4x2 0 nên
Với x = 0, y = , thì .
Với x = 0, y = , thì
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải. Gọi y0 là 1 giá trị của hàm f(x)
tồn tại x0 sao cho y0 =
g(x0) = . Ta có g(x) = 0 có nghiệm x0
= =
Do y0 = nên
3
Chương I. Hàm số – Trần Phương
0 2y0 1 0 . Với x = thì Minf(x) =
Bài 9. Cho Tìm các giá trị của m sao cho
Giải. Ta có
Gọi (P) là đồ thị của y = f(x) (P) = (P1) (P2) khi đó (P) có 1 trong các
hình dạng đồ thị sau đây
Hoành độ của các điểm đặc biệt trong đồ thị (P):
Hoành độ giao điểm (P1), (P2) xA = 1; xB = 4 ; Hoành độ đỉnh (P1): .
Nhìn vào đồ thị ta xét các khả năng sau:
Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = Minf(1), f(4).
Khi đó Minf(x) > 1 1 < m 3 (1)
Nếu xC [xA, xB] m[ 3, 3] thì Minf(x) = =
Khi đó Minf(x) > 1 (2)
Kết luận: Từ (1) và (2) suy ra Minf(x) > 1
Bài 10. (Đề thi TSĐH 2005 khối A)
4
A
BC
P2
P1A
BC
P2
P1
A
BC
P1
P2
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Cho ; . Tìm Min của S
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có:
Bài 11. (Đề thi TSĐH 2007 khối B)
Cho . Tìm Min của S
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 9 số ta có
S
Bài 12. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của S =
Giải:
Mặt khác, S = = =
Suy ra 2S MinS = .
Bài 13. Cho x, y, z > 0. Tìm Max của: S =
Giải: Sử dụng bất đẳng thức Côsi và BunhiaCôpski ta có 3 đánh giá sau:
5
Chương I. Hàm số – Trần Phương
; EMBED Equation.3
2 2 2333. . . 3.xy yz zx xy yz zx x y z
. Từ đó suy ra
Bài 14. (Đề thi TSĐH 2003 khối B)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Cách 1: Tập xác định ;
Cách 2: Đặt
;
Bài 15. (Đề dự bị TSĐH 2003 khối B)
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của trên đoạn
Cách 1. Đặt . Ta có
Nhìn bảng biến thiên ta có
Cách 2. Đặt .
Với thì . Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
6
x01y 0 00y4
1
x 22y +00y22
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
. Với
Bài 16. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số
b) Cho . Chứng minh rằng:
Giải. a) TXĐ: ;
.
Suy ra . Nhìn BBT
ta có
b) Theo phần a) thì .
Đặc biệt hóa bất đẳng thức này tại các giá trị ta có:
Cách 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy đặt
.
Khi đó .
Do
Từ đó suy ra
Bài 17. (Đề 33 III.2, Bộ đề thi TSĐH 1987 – 1995)
Cho . Tìm Max, Min của A .
Giải. 1. Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có
A .
7
x1/3y +00y11
a a+b a+b+c
C
A
B1
2
3
O x1
y
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Với thì Max A
2. Tìm MinA: Xét 2 trường hợp sau đây
• Trường hợp 1: Nếu , xét 2 khả năng sau:
+) Nếu thì A>0
+) Nếu x 0, y 0 thì
A =
Từ 2 khả năng đã xét suy ra với thì Min A = 1
• Trường hợp 2: Xét : Đặt
Ta có:
Thế vào phần dư của chia cho .
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
suy ra
xảy ra ;
x, y là nghiệm của
Kết luận: Max A ;
Bài 18. Cho thoả mãn điều kiện: .
Tìm Max, Min của biểu thức:
8
t1t1t210011
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Giải. Do nên .
Vì hàm số nghịch biến trên nên bài toán trở thành.
1. Tìm MaxS hay tìm Min
.
Với thì MaxS =
2. Tìm MinS hay tìm Max
Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai:
Không mất tính tổng quát giả sử . Biến đổi và đánh
giá đưa về tam thức bậc hai biến z
Do đồ thị hàm y = f(z) là một parabol quay bề lõm lên trên nên ta có:
.
Với thì MinS =
Cách 2: Phương pháp hình học
Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz. Tập hợp các điểm thoả mãn
điều kiện nằm trong hình lập phương ABCDABCO cạnh 1 với
A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1); A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0).
Mặt khác do nên nằm trên mặt phẳng (P):
Vậy tập hợp các điểm thoả mãn điều kiện giả thiết nằm trên thiết
diện EIJKLN với các điểm E, I, J, K, L, N là trung điểm các cạnh hình lập
phương. Gọi O là hình chiếu của O lên EIJKLN thì O là tâm của hình lập
phương và cũng là tâm của lục giác đều EIJKLN. Ta có O M là hình chiếu của
OM lên EIJKLN. Do OM2 = nên OM lớn nhất OM lớn nhất
M trùng với 1 trong 6 đỉnh E, I, J, K, L, N.
Từ đó suy ra:
9y
3/ 2
O
E
1
1K
3/ 2
J
M
z
x
I
L
N
3/ 2
1
O
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Với thì MinS =
Bài 19. Cho thỏa mãn điều kiện
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải. Sai lầm thường gặp:
Nguyên nhân:
mâu thuẫn với giả thiết
Phân tích và tìm tòi lời giải :
Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại
Sơ đồ điểm rơi:
Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có
10
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
. Với thì
Cách 2: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức BunhiaCôpski ta có
. Với thì
Cách 3: Đặt
Do nên suy ra :
11
Chương I. Hàm số – Trần Phương
. Với thì
B. CÁC ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
I. ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Giải phương trình:
Giải. Đặt với
Nhìn BBT suy ra:
Phương trình có nghiệm duy nhất x 3
Bài 2. Giải phương trình:
Giải. PT . Ta có:
(x) đồng biến
Mặt khác (x) liên tục và
,
Phương trình (x) 0 có đúng 1 nghiệm x0
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Phương trình có không quá 2 nghiệm.
Mà nên phương trình (1) có đúng 2 nghiệm và
Bài 3. Tìm m để BPT: có nghiệm đúng
Giải.
Ta có: 0
;
12
x 0x0 1f 0f
(x0)
x66f 0+0
x234 02
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Nhìn BBT ta có ,
Bài 4. Tìm m để PT: (1) có nghiệm
Giải. Do ,2 2
x nên đặt
; . Khi đó (1)
(2)
Ta có: Bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Để (2) có nghiệm
thì
. Vậy để (1) có nghiệm thì .
Bài 5. Tìm m để hệ BPT: (1) có nghiệm.
Giải. (1) (2).
Ta có: ;
(x) 0 . Nhìn BBTsuy ra:
Để (2) có nghiệm thì 3 m 7
Bài 6. Tìm m 0 để hệ: (1) có nghiệm.
13
x023f 0 f0CT821
t11(t) 0(t)404
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Giải
(1) (2)
Xét . Ta có:
Nhìn BBT suy ra: (m) (2) 1,m 0
kết hợp với suy ra đểhệ (2)
có nghiệm thì m 2, khi đó hệ (2) trở thành:
có nghiệm . Vậy (1) có nghiệm m 2.
II. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. Chứng minh rằng: ,
BĐT
Ta có:
Bảng biến thiên.
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
(đpcm)
Bài 2. Cho CMR: T
Ta có: T .
Xét hàm số với x > 0
Ta có .
Nhìn bảng biến thiên .
Khi đó :
14
x0f 0f
0
xf 0f
m02 0171
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Đẳng thức xảy ra .
15
Chương I. Hàm số – Trần Phương
Bài 3. Cho 3 n lẻ. Chứng minh rằng: x 0 ta có:
Đặt .
Ta cần chứng minh < 1
Ta có:
Do 3 n lẻ nên (x) cùng dấu với (2x)
Nhìn bảng biến thiên suy ra:
(đpcm)
Bài 4. Chứng minh rằng: a, b > 0.
Xét f(t) = với
f(t) =
f(t) = 0 t = 1 Bảng biến thiên của f(t)
Từ BBT f(t) < 1 t > 0 .
Dấu bằng xảy ra a = b > 0.
16
x0f 0f1
t01+f0+f1
1
Bài 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1. Cho ABC có . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Bài 2. Tìm Max, Min của: y
Bài 3. Cho ab 0. Tìm Min của
Bài 4. Cho . Tìm Max, Min của
Bài 5. Giả sử phương trình có nghiệm x1, x2.
Tìm p 0 sao cho nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm Min của
Bài 7. Cho x, y 0 và . Tìm Max, Min của .
Bài 8. Cho . Tìm Max, Min của .
Bài 9. Tìm m để PT: có nghiệm.
Bài 10 Tìm m để PT: có nghiệm.
Bài 11 Tìm m để PT: có 4
nghiệm phân biệt.
Bài 12 Tìm m để PT: có nghiệm duy nhất.
Bài 13 Tìm m để PT: có nghiệm .
Bài 14 Tìm m để PT: có đúng 2 nghiệm .
Bài 15 Tìm m để hệ BPT: có nghiệm.
Bài 16 a. Tìm m để: có 2 nghiệm phân biệt.
b. Cho . CMR:
Bài 17 Chứng minh: ,
17