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Mayo 2013, InvestigacionyCiencia.es 89

Juegos matemticos

por Bartolo Luque

Todo o nadaLeyes cero-uno, fenmenos de umbral y transiciones de fase

En el innito, y en contra de nuestraintuicin, a veces las cosas se simpli-

can. Aunque los matemticos usan a me-nudo objetos nitos como aproximacionesal innito, hay ocasiones en las que el l-mite innito resulta ms fcil de abordar.Tal es el caso de un sumatorio intratable

que, al reemplazarlo por una integral, seconvierte en un clculo sencillo. Pero, msall de estos ejemplos, existen sistemas uobjetos matemticos que, llevados al in-nito, muestran propiedades que resultansiempre ciertas o siempre falsas.

Tal vez el resultado ms conocido alrespecto sea la aparicin de una compo-nente gigante en grafos aleatorios, demos-trada en 1960 por los matemticos PaulErds y Alfrd Rnyi. Imagine que colocasobre una mesa nbotones (nodos, en len-guaje de teora de grafos). Para formaruna red o grafo aleatorio, Erds y Rnyi

nos proponen unir con un hilo cada po-sible par de botones con probabilidadp.Si pes cero, todos los nodos quedarnaislados; sipes uno, todos estarn en-ganchados con todos.

Para valores intermedios dep, apare-cern mltiples grupos de botones unidosentre s pero separados del resto. Si tira-mos del hilo de uno de esos conjuntos,arrastraremos todos los botones que loforman, pero ninguno ms. El tamao detales grupos ser muy variopinto. Sin em-

bargo, Erds y Rnyi demostraron que, a

medida que ntiende a innito, para valo-res depque satisfagan la condicinnp > 1aparece una componente interconectadagigante: un grupo al que pertenece lamayor parte de los nodos. As que, en ellmite de innitos nodos, si tiramos deun hilo cualquiera arrastraremos todoslos botones de la mesa. Esto correspondea un caso de ley cero-uno: en el innito,por debajo de cierto valor, la probabilidadde encontrar una componente gigante escero; por encima, uno.

Los tericos de la computacin des-cribiran la situacin anterior como un

fenmeno de umbral. En problemas deoptimizacin combinatoria en los que hayque encontrar un objeto determinado en-tre una gran cantidad de posibilidades,resulta frecuente toparse con fenmenosde umbral en el rendimiento de los al-goritmos de bsqueda. Suele darse una

fase en el espacio de parmetros en laque la solucin no existe, y otra donde elalgoritmo la encuentra con facilidad. Latransicin entre ambos regmenes puedeocurrir de manera abrupta, remedandoen muchos aspectos las transiciones defase de la fsica, como la que tiene lugarcuando calentamos agua hasta el puntode ebullicin.

No deja de resultar sorprendente quetales transiciones bruscas aparezcan ensituaciones tan dispares y alejadas. Haceunas dos dcadas que matemticos como

Assaf Naor, tericos de la computacin

como Dimitris Achlioptas y fsicos comoStephan Mertens, por citar al vuelo al-gunos nombres, rompieron las fronterasde sus respectivas disciplinas para atacarestos problemas usando indistintamenteherramientas de las tres reas.

Cifras y letras

En abril de 2008, Juan M. R. Parrondopublicaba en esta seccin una columnatitulada Cifras y letras, en referenciaal popular concurso televisivo. En elladescriba un astuto cdigo informtico

desarrollado por el matemtico PedroReina, el cual permita resolver de ma-nera automtica el desafo numrico delprograma.

Inspirado por su lectura, el fsicoLucas Lacasa propuso la siguiente va-riante. Dado un conjunto de nmeros{1, 2, ...,M}, se eligen al azar kde ellos,as como un nmero objetivo T. El

juego se gana si existe una combinacinaritmtica de los knmeros escogidoscuyo resultado sea T. Las operacionespermitidas son la suma, la resta, la mul-tiplicacin y la divisin. Al operar con

ellos, cada uno de los knmeros puedeusarse solo una vez, pero no es obliga-torio utilizarlos todos.

Consideremos el caso en el queM= 100y k= 3. Del conjunto {1, 2, ..., 100} ele-giremos al azar 3 nmeros y un nmeroobjetivo T. Supongamos que obtenemos

2, 5 y 10, y que T= 25. Hemos de encon-trar una combinacin aritmtica de 2,5 y 10 cuyo resultado sea 25. Dado que(5 10)/2 = 25, en este caso habremosganado. Desde el punto de vista de lacomputacin, este juego puede inter-pretarse como un problema de decisin:hemos de determinar si la igualdad sesatisface o no a travs de un algoritmoque busque de manera exhaustiva todaslas combinaciones aritmticas posiblesde los knmeros.

Fijados My k, a cunto asciende laprobabilidad P(k,M) de ganar? Consi-

deremos primero dos casos extremos.Si k = 1, solo acertaremos si Tcoincidecon el nico nmero elegido, por lo queP(k,M)=1 /M, una probabilidad muy bajasiMes grande. Sin embargo, dicha proba-

bilidad aumentar con k. Parece plausibleque, si ktoma un valor lo sucientemen-te elevado, la probabilidad de acertar seacerque mucho a 1. Este razonamiento fueel que llev a Lacasa a sospechar que tal

vez se escondiese en el juego una transi-cin de fase.

Podemos intentar validar nuestra hi-

ptesis con el siguiente experimento nu-mrico: jamos valores para My k, de-jamos que un ordenador calcule todaslas combinaciones aritmticas posiblesde los knmeros, repetimos el juego10.000 veces y promediamos el resulta-do. La probabilidadP(k,M) se calcula en-tonces como el cociente entre el nmerode aciertos (las veces que el ordenadorhalla una combinacin aritmtica de losknmeros que proporciona T) y el deintentos (10.000).

La primera grca muestra el resulta-do de nuestro experimento. Como haba-

Bartolo Luquees fsico y profesor de matemticas

en la Universidad Politcnica de Madrid. Sus investigaciones

se centran en la teora de sistemas complejos.

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Juegos matemticos

CORTESADELAUTOR

mos intuido, para valores pequeos de kla probabilidad de ganar es nma, perocuando kes grande se aproxima muchoa la unidad. La gura superior muestracmo las curvas de probabilidad sufrenuna transicin abrupta entre valores bajos

y altos. Al aumentar M, la curva se des-plaza hacia la derecha, pero su compor-tamiento cualitativo no cambia.

Para describir mejor dicha deriva, ob-servemos que para cada nmeroMexisteun valor crtico k

cen el que la probabi-

lidad de obtener Tes igual a 1/2. En el

inserto de la grca hemos representadokcen funcin de Men ejes semilogart-

micos. Al ajustar los datos observamosuna clara relacin logartmica: un ajustelineal nos revela que k

c(M) =a log(M) +b,

donde a y bdenotan constantes dadaspor a = 0,84 y b = 0,39.

Resolver sin calcular

Hallar con exactitud la probabilidadP(k,M) nos pondra ante un problemacombinatorio endiablado. Sin embargo,podemos intentar estimarla de formaheurstica. Llamemos N= N(k,M) a la

cantidad media de nmeros diferentesque podemos generar con combinacio-nes aritmticas de nuestros knmeros ycuyo resultado caiga dentro del conjunto{1, 2, ..., M}. Dichos nmeros no sernindependientes entre s, puesto que loshemos obtenido a partir de las combina-ciones aritmticas de knmeros jadosde antemano. Sin embargo, a modo deaproximacin, comencemos por suponersu independencia mutua.

En tal caso, la probabilidad de obtenerTresultar equivalente a la de extraer di-

cho nmero del conjunto {1, 2, ...,M} trasNintentos aleatorios. Puesto que la pro-babilidad de acertar en un solo intento esigual a 1/M, la de lograr nuestro objetivoal menos una vez trasNintentos vendrdada por:

donde en el segundo paso hemos supues-to queMes un nmero muy elevado, locual nos permite aproximar la funcinexponencial exp (1/M) = e 1/M medianteel binomio (1 1/M).

Observemos ahora que, si kes peque-o, esperamos queNtambin lo sea. Deacuerdo con la ecuacin anterior, ello re-sultara en una probabilidad de xito baja.

Y al revs: un valor de kelevado implicalo propio paraN, por lo que obtendramosuna probabilidad alta de acertar. As que,

al menos cualitativamente, parece que va-mos por buen camino.

Ignoramos la forma funcional deN(k,M). Sin embargo, parece razonablesuponer que la cantidad de nmerosdistintos que podremos generar crecerde manera exponencial con ky con M.Tambin intuimos que, a medida que kaumente, la proporcin de nmeros quecaern dentro del conjunto {1, 2, ..., M}disminuir. De modo que una estimacinrazonable (Ansatzes el trmino alemnque usan fsicos y matemticos) podra

ser:

donde hemos aadido una dependenciafuncional conMdesconocida a travs dela funcin r= r(M). Rogamos al lectorque no se asuste por el malabarismo: sinuestroAnsatzes una metedura de pata,quedar patente en los experimentos nu-mricos.

Cmo podemos evaluar la funcinr(M)? Recordemos que habamos de-nido el valor crtico k

ccomo aquel que

satisfaca queP(kc,M) = 1/2. Si evalua-mos N(k,M) en k= k

ce introducimos

el resultado en nuestra expresin parala probabilidad, podremos despejar laexpresin de r(M) cuando k= k

c. Con

ayuda de un lpiz y un papel, el lectorcomprobar con facilidad que nuestraansiada expresin para la probabilidadde ganar viene dada por:

donde el valor crtico kces una funcinde Mque debe sustituirse por el ajustelineal que habamos calculado al prin-cipio: k

c(M) = 0,84 log(M) + 0,39. En

la grca hemos representado nuestrasolucin en forma de curvas continuasen negro. El acuerdo entre teora y expe-rimentos no est nada mal; sobre todo,teniendo en cuenta el nmero de suposi-ciones suicidas que hemos hecho.

Lmite termodinmico

Pero dnde est el comportamiento todoo nada, la ley cero-uno? Para encontrarlo,

P(k,M) = 1 exp ( ) ,kMexp (k

c

klog (k

cM log2))

1

M= 210

8

kc

0

20 M 1500

M= 29

M= 28

M= 270,8

0,6

P(k

,M)

k

0,5

0,4

0,2

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Probabilidadde que una combinacin aritmtica deknmeros tomados al azar del

conjunto {1, 2, ...,M} nos d un nmero escogido de antemano. Los colores indican los

valores obtenidos en distintos experimentos numricos; las sigmoides negras, los de

una funcin aproximada calculada a partir de hiptesis sencillas. El valor crtico

kcpara el queP(k,M) toma el valor 1/2 depende de manera logartmica de M(inserto):

kc(M) = 0,84 log(M) + 0,39.

P(k,M) = 1 (1 )N

1 exp ( ) ,M

1M

N

N(k,M) = ,k

exp (r(M)k)

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debemos preguntarnos qu ocurre conP(k,M) cuando el tamaoMdel sistema

y el parmetro de control ktienden a in-nito; lo que un fsico denominara ellmite termodinmico.

Puesto que kcdepende logartmica-

mente deM, crecer sin lmite a medidaque lo haga M. Un fsico clasicara k

c

como parmetro extensivo, ya que, aligual que la masa o el calor, aumentacon el tamao del sistema. Una manerade sortear esta cuestin consiste en de-nir un parmetro de control intensivo.El equivalente fsico correspondera acantidades como la densidad (masa por

unidad de volumen) o el calor especco(calor por unidad de masa).En nuestro caso, en lugar de utilizar

k, emplearemos el parmetro intensivoa= k/k

cy expresaremos P(k,M) como

P(a,M). De esta manera, nos asegurare-mos de que el punto crtico siempre seencontrar en a= 1 con independenciadel valor deM.

Cuando realizamos esa transforma-cin, las curvas para distintos valoresde Maparecen centradas alrededor dea = 1, tal y como podemos observar en lasegunda grca. Vemos que, al aumen-

tarM, la transicin se va haciendo cadavez ms abrupta. De hecho, si tomamos

el lmite en el que Mse torna innito,obtenemos queP(a,M) se convierte enuna funcin escaln: una cuyo valorsiempre es 0 cuando a< 1, y siempre1 para a> 1.

En el innito, lo que era una expresinms bien amedrentadora paraP(k,M) setransforma en una funcin que solo tomalos valores cero o uno. Nuestro juego seha simplicado hasta el punto de con-

vertirse en un todo o nada: o bien nosresultar imposible obtener T, o bien lolograremos con total seguridad. Sin duda,

un pasatiempo carente de inters para unprograma televisivo.

P A R A S A B E R M S

Cifras y letras.Juan M. R. Parrondo en Investigacin y Ciencian.o379, abril de 2008.The nature of computation.C. Moore y S. Mertens. OxfordUniversity Press, 2011.Phase transition in the countdown problem.Lucas Lacasa yBartolo Luque en Physical Review E86, 010105(R), 2012. Dispo-nible en arxiv.org/abs/1206.2876

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

M= 210

M= 29

M= 28

M= 27

M= 26

P(,

M)

0,5

0 0,5 1 1,5 2

Comportamientode la funcin de probabilidad expresada en trminos del parme-

tro de control intensivo a=k/kc. En el lmite en el que el tamaoMdel sistema tiende

a infinito (lnea negra), la probabilidad de acertar es siempre nula cuando a< 1, y

siempre uno cuando a> 1.