國立嘉義大學 電機工程學系簡介 元件導論 數位積體 電路 資料結構 vlsi 導論 線性代數 訊號與系統 數位影像 處理 數位訊號 處理 基礎科目
1.3 指數和根號
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1.3 指數和根號
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1.3 指數和根號
學習目標 求含指數或根號之式子的計算。 化簡含指數的式子。 求代數式的定義域。
第一章 微積分基礎複習 P.1-13
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含指數或根號的式子
第一章 微積分基礎複習 P.1-13
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學習提示
如果 n 是偶數,則主 n 方根為正。例如, 和 。
4 2
第一章 微積分基礎複習 P.1-13
4 81 3
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範例 1 算式
式子 x 值代入
第一章 微積分基礎複習 P.1-13
2 2
3 33
22
22 2
2 4 2( ) 2(16) 32
3 3 3 1 3( ) 3
( 1) 1
1 1 ( )
2 4
2 2 3 2(3 ) 18
4
1
1
2
3
x
y x x y
y x x y
y x x y
y x yx
a.
b.
c.
d.
式 子 值 代入
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檢查站 1
若 x = 3 時,求 y = 4x - 2 的值。
第一章 微積分基礎複習 P.1-13
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範例 2 算式
第一章 微積分基礎複習 P.1-14
1 2
3 2 2 3 1 3 2 2
4
2 4 2 2(2) 4
8 (8 ) 2 48
x
y x x y
y x x y
a.
b.
式 子 值 代入
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檢查站 2
若 x = 8 時,求 y = 4x1/3 的值。
第一章 微積分基礎複習 P.1-14
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指數的運算
第一章 微積分基礎複習 P.1-14
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範例 3 化簡指數的式子
化簡下列式子。
第一章 微積分基礎複習 P.1-14
22 3 2 3
1 2 3
41 2
2 3 1
32 ( ) (3 )
( )
5 (2 )
( ) 5
xx x x x
x
x xx x
x x
a. b. c.
d. e. f.
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範例 3 化簡指數的式子 (解)
第一章 微積分基礎複習 P.1-14
2 3 2 3 5
2 2 1 3 2 (1 3) 7 33
2 22 (3 2) 1 2
1 2 3 3 2
4 44 6 2
2 3 6 2
1 2 1 2 2 1
1 2(1 2) 1 3 2
1 1
2 ( ) 2 2
(3 ) 9 9 9
33 3 3
( )
5 5 55 5
( )
(2 ) 2 2 2
1 1 1
5 5 5 5
x x x x
x x x x x x
x xx x
x x
x xx x
x x x
x x x x x x
x xx x
x x
a.
b.
c.
d.
e.
f.
( ) ,
( ) ,
n m n m
n m n m
nn m nm n m
m
nn m nm n m
m
n m n m
nn m
m
x x x
x x x
xx x x
x
xx x x
x
x x x
xx
x
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檢查站 3
化簡下列式子。
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
22 4 3
1 3 2
43 ( ) (2 )
( )
xx x x x
xa. b. c.
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指數的運算
注意在範例 3 中化簡的式子有一個特徵就是沒有負指數。其他的特徵就是和與差寫成因式的形式。為了做到這一點,可用分配律的性質 (Distributive Property) 。
abxn + acx n + m = axn (b + cxm)
下一個範例須小心研讀,以確定了解因式分解過程中的觀念。
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
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範例 4 用因式分解化簡
用因式分解化簡下列式子。a. 2x2 - x3
b. 2x3 + x2 c. 2x1/2 + 4x5/2 d. 2x - 1/2 + 3x5/2
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
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範例 4 用因式分解化簡 (解)
a. 2x2- x3 = x2(2 - x)
b. 2x3+ x2 = x2(2x + 1)
c. 2x1/2 + 4x5/2 = 2x1/2(1 + 2x2)
d. 2x - 1/2 + 3x5/2 = x - 1/2(2 + 3x3) =
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
32 3x
x
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檢查站 4
用因式分解化簡下列式子。a. x3 - 2x
b. 2x1/2 + 8x3/2
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
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指數的運算
很多在微積分中所求得的代數式並非以最簡的形式出現。例如,下面範例所示的兩個式子是由微積分的微分 (differentiation) 之運算所得〔第一個是 2(x + 1)3/2 (2x - 3)5/2 的導數,而第二個是 2(x + 1)1/2 (2x - 3)5/2 的導數〕。
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
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學習提示
為了驗算化簡的式子是否等於原式子,可在每個式子中代入 x 值來驗算。
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
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範例 5 用因式分解化簡
用因式分解化簡下列式子。
第一章 微積分基礎複習 P.1-15
1 2 5/2 3 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
3( 1) (2 3) 10( 1) (2 3)
( 1) (2 3) [3(2 3) 10( 1)]
( 1) (2 3) (6 9 10 10)
( 1) (2 3) (16 1)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
a.
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範例 5 用因式分解化簡
第一章 微積分基礎複習 P.1-15~1-16
1 2 5 2 1 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
3 2
1 2
( 1) (2 3) 10( 1) (2 3)
( 1) (2 3) [(2 3) 10( 1)]
( 1) (2 3) (2 3 10 10)
( 1) (2 3) (12 7)
(2 3) (12 7)
( 1)
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x
x
b.
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檢查站 5
用因式分解化簡下列式子(x + 2)1/2 (3x - 2)3/2+ 4(x + 2) - 1/2 (3x - 1)5/2
第一章 微積分基礎複習 P.1-16
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指數的運算
範例 6 所示為一些可能在微積分出現的其他類型之式子〔範例 6(d) 是 (x + 1)2Y3(2x + 3) 的反導數,範例 6(e) 是 (x + 2)3/(x - 1)3的導數〕。
第一章 微積分基礎複習 P.1-16
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範例 6 含商的因式分解
用因式分解化簡下列式子。
第一章 微積分基礎複習 P.1-16
2 4
3 2
1 3
5 3 8 3
2 3 3 2
3 2
3
2
(9 2) 18(9 2)
3 3( 1) ( 1)
5 4
3( 2) ( 1) 3( 2) ( 1)
[( 1) ]
x x
x
x x
x
x x
x x
x x x x
x
a.
b.
c.
d.
e.
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範例 6 含商的因式分解 (解)
第一章 微積分基礎複習 P.1-16
2 4 2 2 2 1 2 2
3 2 1 2
1 (1 2)
1 3 1 3 4 3
4 3
3
3 (3 ) (3 ) (3 )
2 2 2 2
(1 ) 1 1
(9 2) 18(9 2) (9 2) [1 18(9 2) ]
1 18(9 2)
9 2
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
a.
b.
c.
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範例 6 含商的因式分解 (解)
5 3 8 3 5 3 8 3
5 3
5 3
3 3 12 15 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)5 4 20 20
3 ( 1) [4 5( 1)]
203
( 1) (4 5 5)20
x x x x
x x
x x
d.
5 33 ( 1) [5 9]
20x x
第一章 微積分基礎複習 P.1-16
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範例 6 含商的因式分解 (解)
第一章 微積分基礎複習 P.1-17
2 3 3 2
3 2
2 2
6
2
6 2
2
4
3( 2) ( 1) 3( 2) ( 1)
[( 1) ]
3( 2) ( 1) [( 1) ( 2)]
( 1)
3( 2) ( 1 2)
( 1)
9( 2)
( 1)
x x x x
x
x x x x
x
x x x
x
x
x
e.
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檢查站 6
用因式分解化簡下列式子。
第一章 微積分基礎複習 P.1-17
3 65
3
x x
x
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代數式的定義域
在做 x 代數式的運算時,有時會遇到將 x 代入某一個值使得這個式子無定義 ( 不能產生一個實數 ) 的問題。例如,當 x = - 2 時, 是無定義的,因為 不是一個實數。
2 3x
第一章 微積分基礎複習 P.1-17
2( 2) 3
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代數式的定義域
使得一個式子有定義之所有 x 值的集合稱為它的定義域 (domain) 。所以, 的定義域是所有使得 為實數之所有 x 值的集合。為了使 成為一個實數, 2x + 3 ≥ 0 必須成立,也就是說 僅在 x 的值落在區間 [ , ∞) 時才有定義,如圖 1.14 所示。
第一章 微積分基礎複習 P.1-17 圖 1.14
3
22 3x
2 3x 2 3x
2 3x
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範例 7 求式子的定義域
求下列式子的定義域。
第一章 微積分基礎複習 P.1-17
3
3 2
1
3 2
9 1
x
x
x
a.
b.
c.
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範例 7 求式子的定義域 (解)
a. 的定義域包含所有 x 使得 3x - 2 ≥ 0 式子必須為非負的故得 x ≥ 。所以,定義域是 [ , ∞) 。
b. 除了 在 3x - 2 = 0 ( 亦即 x = ) 時無定義之外,其定義域是與 的定義域相同,所以,它的定義域是 ( , ∞) 。
c. 因為 對所有的實數都有定義,所以它的定義域是 ( -∞ , ∞) 。
2
3
第一章 微積分基礎複習 P.1-17
3 2x
2
3
1/ 3 2x 2
3
2
3
3 2x
3 9 1x
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檢查站 7
求下列式子的定義域。
第一章 微積分基礎複習 P.1-17
3
2
1
2
2
x
x
x
a.
b.
c.