12.7 acqua neisuoli-richards

L’acqua nei suoli e nel sottosuolo L’equazione di Richards

Riccardo Rigon

Jay

Stra

tton

Noll

er, G

lob

al S

oil

Sca

pes

, D

eser

t D

etai

l, 2

00

7

R. Rigon

Obbiettivi:

!2

L’acqua nei suoli e nel sottosuolo

•Introdurre l’equazione di Richards

R. Rigon

Una legge di conservazione si esprime come:

!La variazione della quantità nel volume di controllo è uguale a tutto

quello che entra meno quello che esce dalla superficie del volume di

controllo sommato algebricamente a quella parte della quantità che si

trasforma in altre cose

Jv�y �z (Jv +�Jv

�x�x)�y �z

!3

La conservazione della massa

Equazioni ed esperimenti

R. Rigon

meno quella che si trasforma (in ghiaccio e vapore, per esempio)


�x�x)�y �z

!4



R. Rigon

Se, per il momento, trascuriamo le transizioni di fase, la variazione di massa d’acqua nell’unità di tempo si scrive:

dMw

dt=

d(�wVw)dt

Se la densità dell’acqua si assume costante:

dMw

dt= �w

d(Vw)dt

e in genere, anzichè considerare la variazione eil flusso di massa, si considera la variazione volumetrica

!5



R. Rigon

La variazione volumetrica, a sua volta, viene normalmente scritta in

termini del contenuto d’acqua adimensionale:

dove si considera che il volume di suolo Vs è costante nel tempo

!6


d(Vw)dt

=Vs

Vs

d(Vw)dt

= Vsd�w

dt


R. Rigon

Il flusso d’acqua attraverso le superfici del volumetto elementare di lati

�x �y �z

e la somma di tre contributi ognuno per ogni coppia di lati


�x�x)�y �z

!7

L’equazione di continuità


R. Rigon

Per esempio, per i lati paralleli al piano yz, come si deduce dalla figura

(Jv +�Jv

�x�x)�y �z � (Jv)�y �z


�x�x)�y �z

!8



R. Rigon

Ripetendo l’operazione per le altre due coppie di lati si ottengono, dopo

aver fatto le opportune sottrazioni


�x�x)�y �z

�Jv

�x�x�y �z +

�Jv

�y�x�y �z +

�Jv

�z�x�y �z

ovvero, se il volumetto è infinitesimo, il teorema della divergenza.

Pertanto !9



R. Rigon


�x�x)�y �z

!10


⇤�w

⇤t= ⇥ · ⌃Jv(⇥)


R. Rigon

V a r i a z i o n e d i contenuto d’acqua nel suolo nell’unità di tempo

Divergenza del flusso volumetrico attraverso il contorno del volume infinitesimo

Ric

har

ds,

19

31

!11

⇤�w

⇤t= ⇥ · ⌃Jv(⇥)



R. Rigon

Hydraulic capacity of the soil

!12

Ignore soil hysteresis and think of the SWRC as a function that relates water content to matric

pressure

⇤�(⇥)⇤t

=⇤�(⇥)⇤⇥

⇤⇥

⇤t� C(⇥)

⇤⇥

⇤t

R. Rigon

!13

Se = [1 + (��⇥)m)]�n

Se :=�w � �r

⇥s � �r

C(⇥)⇤⇥

⇤t= ⇥ ·

�K(�w) �⇥ (z + ⇥)

⇥

K(�w) = Ks

⇧Se

⇤�1� (1� Se)1/m

⇥m⌅2

SWRC + Darcy-Buckingham

(1907)

Parametric Mualem (1976)

Parametric van Genuchten

(1981)

C(⇥) :=⇤�w()⇤⇥

L’equazione di Richards!

L’equazione di Richards

R. Rigon

Termine gravitativo, legato

al gradiente della conducibilità

idraulica verso il basso

Termine avvettivo con

trasporto di psi nella direzione

del gradiente della conducibilità idraulica !14


C(⇥)⇤⇥

⇤t= �⇥K(�w) · �⇥ (z + ⇥) + K(�w)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥

⇤⇥

⇤t=

1C(⇥)

�⇥K(�w) · �⇥z +1

C(⇥)�⇥K(�w) · �⇥⇥ +

K(�w)C(⇥)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥


R. Rigon

Velocità di avvezione della pressione

!15


C(⇥)⇤⇥

⇤t= �⇥K(�w) · �⇥ (z + ⇥) + K(�w)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥

⇤⇥

⇤t+ u(⇥) · ⇥⇥ =

1C(⇥)

⇥K(�w) · ⇥z +K(�w)C(⇥)

⇥2⇥

⇧u(�) := �⇧⇥ K(�)C(�)


R. Rigon

Derivata Totale

!16


C(⇥)⇤⇥

⇤t= �⇥K(�w) · �⇥ (z + ⇥) + K(�w)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥

D⇥

Dt=

1C(⇥)

�⇥K(�w) · �⇥z +K(�w)C(⇥)

⇥2⇥

D�

Dt:=

⇥�

⇥t+ u(�) · ⇥�


R. Rigon

Termine diffusivo

Diffusività idraulica

!17


C(⇥)⇤⇥

⇤t= �⇥K(�w) · �⇥ (z + ⇥) + K(�w)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥

D⇥

Dt=

1C(⇥)

�⇥K(�w) · �⇥z +K(�w)C(⇥)

⇥2⇥

D(�) :=K(�)C(�)


R. Rigon

Termine diffusivo Termine gravitativo, legato al gradiente della conducibilità

idraulica verso il basso

Termine avvettivo con trasporto di psi nella

direzione del gradiente della conducibilità

idraulica !18


C(⇥)⇤⇥

⇤t= �⇥K(�w) · �⇥ (z + ⇥) + K(�w)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥

⇤⇥

⇤t=

1C(⇥)

�⇥K(�w) · �⇥z +1

C(⇥)�⇥K(�w) · �⇥⇥ +

K(�w)C(⇥)

�⇥2 (z + ⇥)

⇥


R. Rigon

Geometria del dominio di integrazione

Per risolvere l’equazione di Richards, la prima cosa da fare è assegnare la

geometria del dominio di integrazione. Che può essere assegnata, per

esempio a partire dall’analisi del terreno effettuata con un GIS

Mod

ified

from

Abb

ot e

t al.,

198

6

!19


R. Rigon

!20

Come si risolve un’equazione ? (differenziale alle derivate parziali )

Esiste Soluzione analitica ?

Si determinano le condizioni iniziali

Si determinano le condizioni al contorno


R. Rigon

Unsaturated Layer

Surface Layer

Saturated Layer:!

Surface boundary condition

Bottom Boundary condition

Condizioni al contorno

Mod

ified

from

Abb

ot e

t al.,

198

6

!21


R. Rigon

Le condizioni al contorno sulla superficie del suolo è:

�Kz⇥�

⇥z+ Kz = J(t)

Dove J(t) è la pioggia, se il primo strato di suolo non è saturo, perchè

altrimenti l’acqua è costretta a ruscellare superficialmente

!22



R. Rigon

Le condizioni al contorno in fondo al dominio di integrazione può essere

sia una condizione di flusso gravitazionale

Di fondo impermeabile:

⇥�

⇥z= 0

⇥�

⇥z= 1

O condizioni intermedie (si noti che le condizioni al contorno sono del

secondo tipo o di Neumann, ovvero assegnano la derivata dell’incognita)

!23



R. Rigon

Condizioni iniziali

Per poter risolvere l’equazione differenziale è necessario assegnare anche

delle condizioni iniziali, che corrispondono alla distribuzione della

suzione all’instante t=0.

!Tale assegnazione non è in genere un problema banale perchè corrisponde

ad indovinare il campo spaziale di cui si vuole valutare l’evoluzione, o ad

estrapolare alcuni punti di misura su tutto lo spazio.

Per esempio la condizioni in figura è una condizione “idrostatica sulla verticale” ...!24


R. Rigon

!25

Come si risolve un’equazione ? (differenziale alle derivate parziali )

Risoluzione numerica

Esiste Soluzione analitica ?

no

si

Stampa il risultato


R. Rigon

!26

Risoluzione numerica

Si sceglie un metodo numerico

Si discretizzano le equazioni

Si scrive un programma che le

risolva

Si “compera” un codice che la

risolva


R. Rigon

!27

Esecuzione

Si determinano i parametri

Condizioni iniziali


Esecuzione del codice numerico

Stampa il risultato


R. Rigon

Ora che possiamo, idealmente, pensare di aver assegnato: !

- la geometria del dominio - le condizioni iniziali - le condizioni al contorno

!In generale NON esistono soluzioni analitiche dell’equazione di Richards, se non per alcune particolarissimi casi in cui i parametri siano “linearizzati”. Per avere soluzioni, bisogna dunque: !

- fare delle semplificazioni dell’equazione !oppure !- risolverla numericamente

!28

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