OGM – Metoda sil 1

1. METODA SIL

1.2 OPIS METODE Metoda sil se uporablja za račun statično nedoločenih konstrukcij. V njej kot neznanke nastopajo sile. Namenjena je predvsem ročnemu računanju konstrukcij, ki so sicer lahko zapletene, niso pa prevečkrat statično nedoločene. Pred začetkom računa moramo poznati stopnjo statične nedoločenosti konstrukcije. Konstrukcija je statično določena, če je število ravnotežnih enačb (v ravnini 3) enako številu neznanih sil (t.j. vsota števila neznanih sil v podporah in neznanih medsebojnih sil med elementi v vozliščih). Stopnja statične nedoločenosti je enaka razliki med številom neznanih sil in številom ravnotežnih enačb. V splošnem je lahko konstrukcija notranje in/ali zunanje statično nedoločena. V okviru predmeta OGM se bomo praviloma ukvarjali predvsem z zunanje statično nedoločenimi konstrukcijami, pri katerih se statična nedoločenost nanaša na način podpiranja konstrukcije. Postopek določitve stopnje statične nedoločenosti je v tem primeru enostaven, saj lahko stopnjo zunanje statične nedločenosti izračunamo kot število neznanih sil v podporah zmanjšano za tri. Velja torej, da je ravninska konstrukcija zunanje statično določena (ozirom statično določeno podprta), če je le trikrat podprta (smeri podpor se ne smejo sekati v eni točki). Če je konstrukcija podprta manj kot trikrat, je statično predoločena, oziroma labilna. Vzemimo, da je konstrukcija n-krat statično nedoločena. S primernim vstavljanjem kinematičnih členkov izločimo iz konstrukcije n sil Xi (sile so lahko sile ali momenti). Z izločanjem neznanih sil prvotno statično nedoločeno konstrukcijo spremenimo v statično določeno in stabilno konstrukcijo. To konstrukcijo obtežimo s prvotno obtežbo in silami Xi, ki smo jih izločili pri vstavljanju kinematičnih členkov. Tako obteženo konstrukcijo imenujemo glavni sistem. Ker želimo, da je glavni sistem v celoti enak prvotni konstrukciji, lahko zahtevamo, da so v kinematičnih členkih izpolnjeni določeni deformacijski pogoji. Izpolnitev teh pogojev pomeni, da se glavni sistem deformira enako kot prvotna konstrukcija. Zapišemo lahko toliko dodatnih deformacijskih pogojev, kolikor sil Xi smo izločili.

Primer:

Enkrat nedoločena osnovna konstrukcija:

L

P P

L

0 1 2

Glavni sistem:obremenjen s prvotno obtežbo:

P P0 1 2

δ10

Pomik δ10:δ10

3

34 91=

P (2L ). E I

Glavni sistem obremenjen s silo X1:

X1

01

2δ11

Pomik δ11:δ111

3

48= -

(2 E I

X L )

Deformacijski pogoj:

δ10 + δ11 = 0

P X34 91 48

0

1 375

1

..

X P1

− =

⎯→⎯ =

Reakciji pri levi in desni podpori:

ΣV=0

Va = Vb= (2 P - 1.375 P)/2 = 0.313 P

Moment nad srednjo podporo (prerezni postopek):

P P

1.375 P 0.313 P0.313 P

Mmin

Mmin - 0.313 P L + P L/2 = 0 Mmin = - 0.188 P L

OGM – Metoda sil 2

Premike (pomike ali zasuke) glavnega sistema lahko razdelimo na premike zaradi zunanje obtežbe in zaradi sil Xi. Pri tem pomeni: δi0 … premik glavnega sistema na mestu in v smeri sile Xi zaradi zunanje obtežbe in δik … premik glavnega sistema na mestu in v smeri sile Xi zaradi sile Xk=1. Za premike glavnega sistema na mestu in v smeri sile Xi lahko zapišemo:

i0 (i od 1 do n) δ δ δ δ δi i= 1 X + X + ... + X + 1 i2 2 in n

Ker prvotna konstrukcija na mestu in v smeri delovanja sile Xi ni prekinjena (sicer bi bila sila Xi=0) velja: δi = 0 Tako dobimo sistem n enačb (deformacijskih pogojev), ki nam skupaj z ravnotežnimi pogoji omogoča rešitev problema. Na primer za 2-krat statično nedoločene konstrukcije tako dobimo: δ11 X1 + δ12 X2 = - δ10

δ21 X1 + δ22 X2 = - δ20 Koeficiente enačb δi0 in δik, t.j. premike glavnega sistema na mestih in v smeri delovanja sil Xi zaradi sil Xk=1 in zaradi zunanje obtežbe, določimo s pomočjo metode virtualnega dela. Kadar je to mogoče, si pomagamo tudi s tabelami in obrazci v priročnikih. Tako smo na primer pri ilustrativnem primeru na prejšnji strani uporabili izraze za pomik prostoležečega nosilca pri koncentrirani sili v sredini in pri simetrični obtežbi z dvema koncentriranima silama, ki jih lahko najdemo v prilogi A (priloga A vsebuje rezultate za različne statično določene konstrukcije obremenjene z različnimi obtežbami). V precej primerih si lahko pomagamo tudi s seštevanjem rezultatov zaradi različnih obtežb. V primeru določitve deformacije statično določenega glavnega sistema s pomočjo virtualnega dela na mesto in v smeri iskane deformacije namestimo na konstrukcijo virtualno silo V, če je iskana deformacija pomik, ali virtualni moment Mv, če je iskana deformacija zasuk. Virtualno delo, ki ga opravijo notranje sile zaradi zunanje obtežbe na pomikih zaradi virtualne obtežbe (npr. za račun δ10) določimo po naslednji enačbi:

DMMEI

dxNNEA

dxQQGA

dxs

= + +∫ ∫ ∫

… M - upogibni moment … N - osna sila … Q - prečna sila (Količine s prečko pripadajo virtualni obtežbi, vrednosti brez prečke pa zunanji obtežbi) … E - elastični modul

… I - vztrajnostni moment (za pravokotnik b h3

12, za krog

π D64

4

… A - prerez … G - strižni modul (0.4 E) … As - strižni prerez (za pravokotnik A/1.2, za krog A/1.11)

OGM – Metoda sil 3

Virtualno delo, ki ga opravijo notranje sile zaradi virtualne obtežbe na pomikih zaradi virtualne obtežbe (npr. za račun δ11) pa podobno:

DMEI

dxNEA

dxQGA

dxs

= + +∫ ∫ ∫2 2 2

Integriranje poteka po vsej konstrukciji. Strižne deformacije so pomembne pri kratkih elementih, na primer pri nizkih stenah, medtem ko je njihov doprinos pri tankih in dolgih stebrih ali gredah zelo majhen. Iz tega pri računu virtualnega dela običajno zanemarimo vpliv prečnih sil, pogosto pa tudi osnih sil. (na primer pri betonskih okvirjih, kjer so osne deformacije v splošnem zanemarljive). Če so vrednosti v imenovalcih konstantne po dolžini elementa, jih lahko izpostavimo. Deformacijo nato izračunamo po enačbi:

δ= D / V Praviloma za velikost virtualne sile izberemo vrednost 1. V tem primeru je izračunano virtualno delo D kar enako iskani deformaciji:

δ= D Na ta način izračunamo pomike glavnega sistema zaradi zunanje obtežbe in sil Xi, pri čemer najprej postavimo V=X1, nato V=X2 in končno V=Xn Integriramo največkrat s pomočjo metode Verešagina (glej “Osnove tehniške mehanike, str 93). Ta metoda poeneostavlja izvedbo integrala pri računu virtulnega dela (deformacij). Integriranju na ravnem delu delu konstrukcije s konstantnimi materialnimi in geometrijskimi karakteristikami (E, I, A) in linearnim (nelomljenim) potekom momenta M se lahko izognemo z uporabo naslednjega izraza.

1

1

2

E I X

X

M M dx = 1

E I A y∫

kjer je A ploščina moment-nega diagrama M, y pa vrednost momenta M nad težiščem (T) ploščine momentnega diagrama M.

[M]

[M]y

T

y

T

X1 X2 X1 X2

ploščina A

vrednost vtežišču

V primeru, da je momentna črta lomljena, oziroma da se spremenijo materialne ali geometrijske karakteristike, integriramo po posameznih odsekih, na katerih je potek konstanten, in rezultate med seboj seštevamo. V primeru, da je potek M in M linearen, velja obrnljivost (vseeno je ali kombiniramo ploščino M z vrednostjo v težišču M ali obratno). Pri računanju moramo paziti na predznake količin. Ker upogibne momente vedno rišemo na tisto stran, na kateri povzročajo natege, je v primeru, da sta momenta zaradi M in M na isti strani, produkt pozitiven, v nasprotnem primeru pa negativen. Nekateri izrazi za račun integrala M M dx∫ za najpogostejše oblike momentnih črt so zbrane v dodatku B. Dobljeni sistem linearnih algebraičnih enačb je simetričen. Matriko, ki jo lahko sestavimo iz koeficientov [δik] (i=1 do n, k=1 do n) imenujemo tudi podajnostna matrika konstrukcije. Z njeno

OGM – Metoda sil 4

inverzijo lahko izračunamo togostno matriko konstrukcije. V okviru našega predmeta, kjer bo število neznank majhno, bomo sistem reševali s pomočjo eliminacije naznank. Z rešitvijo sistema enačb dobimo neznane sile Xi. Glavni sistem, ki ga obremenimo zunanjo obtežbo in silami Xi, je enak prvotni konstrukciji. Posamezne statične količine (upogibne momente, osne sile, prečne sile) lahko izračunamo neposredno z upoštevanjem ravnotežnih pogojev ali pa s seštevanjem že znanih vrednosti statičnih količin na glavnem sistemu za posamezne obtežbe. Ko smo glavni sistem obremenili z zunanjo obtežbo, smo v neki točki izračunali notranje sile M0, N0 in Q0. Pri obtežbi z neznankami Xi=1 pa smo za isto točko izračunali notranje sile Mi, Ni in Qi. Kadar na glavni sistem deluje vsa obtežba, so notranje sile:

M = Mo + X i ii

n

M=∑

1

N = No + X i ii

n

N=∑

1

Q = Qo + X i ii

n

Q=∑

1

Pri računu notranjih sil je potrebno torej sešteti notranje sile zaradi zunanje obtežbe z notranjimi silami zaradi obtežbe s silo X1, X2, X3 …. in Xn. Pri tem je v zgornjih izrazih potrebno upoštevati dejanske izračunane vrednosti sil Xi. Na enak način lahko izračunamo tudi reakcije. Včasih je potrebno uporabiti oba načina, ker pri računu koeficientov enačb (deformacijskih pogojev) ne upoštevamo vseh notranjih sil, ki v konstrukciji nastopajo. Pri računu koeficientov enačb običajno zanemarimo vpliv prečnih sil, pogosto pa tudi osne deformacije, vendar pa to ne pomeni, da so prečne oziroma osne sile enake nič - le v računu vpliv prečnih oziroma osnih sil ni vključen. Prečne oziroma osne sile lahko izračunamo s pomočjo ravnotežnih pogojev. Sama metoda sil zaradi različnih variant za izbiro glavnega sistema in bistveno obsežnejšega računskega dela pri večkrat statično nedoločenih konstrukcijah ni primerna za splošne velikokrat statično nedoločene sisteme (npr. več-etažne okvirje). Za računalniško obdelavo se je kot primernejša izkazala deformacijska metoda.

OGM – Metoda sil 5

NALOGA 1 - PALIČJE Leseno strešno konstrukcijo predstavlja paličje, ki je na levi strani vrtljivo podprto, na desni strani pa vrtljivo priključeno na betonski steber. Po metodi sil izračunaj osne sile v paličju zaradi podane obtežbe in upogibni moment v stebru (razporeditev upogibnih momentov tudi nariši). Pri računu zanemari vpliv prečnih sil in osne deformacije v stebru. Naris konstrukcije in osnovni podatki so prikazani na spodnji sliki.

45

STEBERb/h=0.5/0.5 mE=3.00E07 kN/m2

PALIČJEvse palice so pravokotnega prerezab/h=12/16 cmE=1.05E07 kN/m2

P=100 kN P=100 kN

4.0 m 4.0 m 5.0 m

2.0 m

1

2 3

4

bhA B

C

1. Določitev stopnje statične nedoločenosti Konstrukcija je sestavljena iz paličja in stebra, ki je zaradi raztezka spodnega pasu paličja upogibno obremenjen (nategi se bodo torej pojavili na levi strani stebra). Takšne konstrukcije imenujemo tudi mešane konstrukcije. Poglejmo si vsak sestavni del zase. Paličje je statično določeno, če je sestavljeno iz posameznih trikotnikov in če je statično določeno podprto. Obravnavano paličje je torej statično določeno, ni pa statično določeno podprto. Neznano število reakcijskih sil je 4 (horizontalni in vertikalni reakciji v vozliščih A in B). Steber je v primeru, če poznamo horizontalno in vertikalno silo, ki se nanj prenašata preko členka B, statično določen. Ker v ravnini obstajajo 3 ravnotežni pogoji, je konstrukcija enkrat statično nedoločena.

2. Določitev glavnega sistema Glavni sistem lahko dobimo s sprostitvijo ene prostostne stopnje. Ker konstrukcijo sestavlja paličje in steber, je najbolje, da sprostimo horizontalno reakcijo v vozlišču B in jo nadomestimo z neznano silo X1. Glavni sistem prikazuje naslednja slika:

Va Vb

Ha X1 X1

P P

Vb

OGM – Metoda sil 6

3. Obtežba glavnega sistema z zunanjo obtežbo - reakcije Glavni sistem obremenimo z zunanjo obtežbo. Ta deluje samo na paličje. Ker je konstrukcija simetrična in obtežba simetrična, sta reakciji enaki zunanji obtežbi in usmerjeni navzgor. V horizontalni smeri obtežbe ni, zato je horizontalna reakcija enaka nič.

P

0

P P

P

A

1

4. Notranje sile zaradi zunanje obtežbe Podpora A:

P

AN1

N2

ΣX=0 N2 cos 45 + N1 = 0 N1 = - N2 cos 45 ΣY=0 N2 cos 45 + P = 0 N2 = - P / cos 45 = - 141.4 kN (tlak) => N1 = 141.4 cos 45 = 100 kN (nateg) Vozlišče 1

P

1N4

N2=141.4N3

ΣX=0 N3 cos 45 + 141.4 cos 45 + N4 = 0 N4 = - N3 cos 45 - 100 ΣY=0 141.4 cos 45 - N3 cos 45 + P = 0 N3 = 0 => N4 = - 100 kN (tlak) Ker je paličje simetrično in obtežba simetrična, so tudi osne sile simetrične. Osne sile zaradi osnovne obtežbe:

OGM – Metoda sil 7

P

0

P

P

P-P

0 0-P 1.41

PP

-P 1.41

5. Obtežba glavnega sistema z neznano silo X1=1 - reakcije in notranje sile Sile X1 obremenjuje le spodnji pas paličja. Reakcije in osne sile so prikazane na spodnji sliki:

X1=1

0

X1 -X1- X1

0

0

0000

Sila X1 obremenjuje tudi steber in v njem povzroča upogibni moment:

X1

h=5

M=h X1

6. Računanje koeficientov enačb Ker je konstrukcija enkrat statično nedoločena, sistem deformacijskih pogojev predstavlja ena sama enačba:

δ11 X1 = - δ10 … δ10 je pomik glavnega sistema zaradi zunanje obtežbe na mestu in v smeri neznane sile X1 … δ11 je pomik glavnega sistema zaradi neznane sile X1 na mestu in v smeri neznane sile X1 Pri paličjih nastopajo le osne sile. Izraz za izračun virtualnega dela se poenostavi. Pri paličjih deformacijsko delo, oziroma pomik (če je izbrana velikost virtualne obtežbe enaka 1) računamo po enačbi:

δ101

==∑ N N

E Ali i

i ii

i

n

(pomik na mestu in v smeri sile X1 zaradi zunanje obtežbe)

oziroma po enačbi

δ111

==∑ N N

E Ali i

i ii

i

n

(pomik na mestu in v smeri sile X1 zaradi sile X1=1)

OGM – Metoda sil 8

… n - število palic paličja … Ni - osna sila zaradi zunanje obtežbe v palici i … N i - osna sila zaradi sile X1 v palici i … li - dolžina palice i … Ei - elastični modul palice i … Ai - prerez palice i Zgornji enačbi veljata za primer, ko sta material in prerez pri posamezni palici konstantna. Pri našem primeru koeficienta δ10 in δ11 izračunamo s pomočjo zgornjih izrazov, pri čemer so nekatere vrednosti osnih sil enake nič in njihovi produkti iz enačbe izpadejo:

δ10 = 1

E Al p (-1 P 4 - 1 P 4) = -

1E Al p

8 P (- označuje pomik v smeri, ki je nasprotna sili X1=1)

PP

δ10

Pri računu pomika zaradi virtualne obtežbe X1 moramo poleg osnih sil v paličju zaradi sile X1 upoštevati še upogibni moment v stebru (osna sila v stebru zaradi virtulne sile X1 je enaka nič, vpliv prečnih sil pa zanemarimo).

δ11 = 1

E Al p ((-1)2 4 + (-1)2 4) +

1E Ib s

h h 1

2

23

h = 8

3

3

Eh

l A +

E Ip b s

izraz 1

E Ib s

h h 12

23

h predstavlja produkt ploščine diagrama momenta v stebru in vrednosti

momenta v težišču istega diagrama. Kompabilitetno enačbo lahko ponazorimo z naslednjo sliko:

δ10

H3

3EbIsX1

8ElAp

X1

končni pomik točke B

Neznano silo X1 lahko torej izračunamo iz že omenjene enačbe, tako da izračunane koeficiente vstavimo v enačbo δ11 X1 = - δ10 (upoštevamo tudi predznake koeficientov). Pri tem je potrebno paziti na različna modula elastičnosti za les in beton! Običajna vrednost modula elastičnosti za beton je 3.00E+07 kN/m2 ali 30000000 kN/m2.

(8

3

3

Eh

l A +

E Ip b s) X1 =

1E Al p

8 P => X1 = 0.1295 P = 12.95 kN

… El - elastični modul za les … Eb - elastični modul za beton … Ap - prerez palice paličja (enak za vse palice), Ap = 0.16 0.12 = 0.0192 m2

… Is - vztrajnostni moment stebra, Is = 0.53 0.5/12 = 0.005208 m4

OGM – Metoda sil 9

Izračunana sila X1 je pozitvna, kar pomeni, da sila dejansko deluje v predpostavljeni smeri. S pomočjo izračunane sile X1, lahko izračunamo vse neznane notranje količine.

7. Račun osnih sil in reakcij v paličju Osne sile v paličju izračunamo s seštevanjem osnih sil zaradi zunanje obtežbe in osnih sil zaradi virtualne obtežbe X1 na glavnem sistemu. Pri tem upoštevamo izračunano vrednost za silo X1.

100

X1=12.95 P-X1=87.1

100

-P=-100

-141.100-141.4

P-X1=87.1 X1=12.95

8. Račun mometa ob vpetju stebra X1=12.95

h=5

M=5 12.95= 64.75

100

9. Račun horizontalnega pomika na vrhu stebra Pomik točke B zaradi zunanje obtežbe za primer, da je točka B pomično podprta (glavni sistem)

δ10 = - 1

E Al p 8 P = - 0.00397 m

(neg. predznak označuje pomik v nasprotni smeri sile X1, t.j. v desno) Pomik točke B zaradi vpliva stebra (sile X1) za primer, da je točka B pomično podprta (glavni sistem)

X1 E

8

l pA= 0.00052 m (pozitvni predznak označuje pomik v smeri sile X1, t.j. v levo)

Končni horizontalni pomik vrha stebra: H

Is

3

3E X1

b= 0.00345 m (pozitvni predznak označuje pomik v smeri sile X1, t.j. v desno)

Kontrola: 0.00397 = 0.00052 + 0.00345

B

H3

3EbIsX1

OGM – Metoda sil 10

NALOGA 2 - NOSILEC Določi reakcije in razporeditev upogibnih momentov in prečnih sil za spodaj prikazani nosilec. Nosilec je konstantnega prereza in materiala. Obremenjen je z zvezno obtežbo q in koncentrirano silo P. Zanemari vpliv prečnih sil.

Pq

a b

l

A B C

1. Določitev stopnje statične nedoločenosti V podpori A nastopajo 3 neznane reakcije (Ha, Va, Ma), v podpori B pa ena neznana reakcija (Vb). Ker v ravnini obstajajo 3 ravnotežni pogoji, je konstrukcija (4-3=1) enkrat statično nedoločena. V primeru, da vse štiri reakcije poznamo, lahko izračunamo tudi vse notranje statične količine.

Va

MaHa

Vb

2. Določitev glavnega sistema Za določitev glavnega sistema obstaja več možnosti. Ogledali si bomo račun z dvema različnima glavnima sistemoma. Pri 1. glavnem sistemu bomo sprostili podporo B. V tem primeru je glavni sistem konzola. Pri 2. glavnem sistemu bomo sprostili moment v podpori A. V tem primeru je glavni sistem prostoležeči nosilec. V obeh primerih mankajočo podporo nadomestimo z neznano silo X1.

Glavni sistem 1 AX1

CB

Glavni sistem 2 AB

C

X1

3. Obtežba glavnega sistema z zunanjo obtežbo - reakcije Glavni sistem 1 Ha = 0 Va = q a + P

Ma = q a a2

+ P (a + b)

OGM – Metoda sil 11

Glavni sistem 2 Ha = 0 ΣY=0 Va + Vb = q a + P => Va = q a +P - Vb

ΣMA=0 Vb a - q a a2

- P (a + b) = 0 => Vb = q a

a

a2

+ P (a + b)

4. Momenti zaradi zunanje obtežbe Pri obeh glavnih sistemih je enostavneje, če posebej obravnavamo zvezno obtežbo q in posebej koncentrirano obtežbo P.

Glavni sistem 1 Glavni sistem 2

CB

A CB

P+

q

q a2

2

P (a+b)P b

A

P

=q

P

A B C

A BC

Pq

=

+

q

q a2

8

P b

5. Obtežba glavnega sistema s silo X1=1 - reakcije Glavni sistem 1 Ha = 0 Va = - 1 Ma = - a Glavni sistem 2 Ha = 0 ΣY=0 Va + Vb = 0 => Va = -Vb

ΣMA=0 Vb a + 1 = 0 => Vb = - 1a

OGM – Metoda sil 12

6. Obtežba glavnega sistema s silo X1=1 - momenti

Glavni sistem 1 Glavni sistem 2

X1=1

a

CBA

X1=1

1

CBA

7. Računanje koeficientov enačb Ker je konstrukcija enkrat statično nedoločena, sistem deformacijskih pogojev predstavlja ena sama enačba:

δ11 X1 = - δ10

… δ10 je pomik glavnega sistema zaradi zunanje obtežbe na mestu in v smeri neznane sile X1 … δ11 je pomik glavnega sistema zaradi neznane sile X1 na mestu in v smeri neznane sile X1 Koeficiente enačb določimo po principu virtualnega dela. Integrale izvrednotimo s pomočjo metode Verešagina. Pri tem je virtualna sila enaka in enako usmerjena kot sila X1 in kot momente zaradi virtualne obtežbe upoštevamo momente zaradi sile X1. Ker smo se odločili, da bomo vpliv prečnih (osnih sil ni) pri računu zanemarili, lahko tiste člene, ki vsebujejo Q in N , iz enačbe za račun deformacij s pomočjo virtualnega dela, izpustimo.

δ10 = ∫MMEI

dx (pomik na mestu in v smeri sile X1 zaradi zunanje obtežbe)

δ11

2

= ∫MEI

dx (pomik na mestu in v smeri sile X1 zaradi sile X1=1)

Količine s prečko pripadajo virtualni obtežbi, vrednosti brez prečke pa zunanji obtežbi. Kombiniramo momente, ki smo jih izračunali v razdelku 4 in 6. Pri tem je potrebno poznati površino in težišče lika, ki ga opisuje kvadratna parabola.

q q

M=

L L

q L2

2M=

q L2

8T

A=

MT

A=M L

3

58

L2

2 M3

L2

M L3=

38

L2

L4

3 L4

L2

OGM – Metoda sil 13

Glavni sistem 1 V našem primeru dolžina L ustreza dolžini a.

δ111

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥E I

a a2

23

a = 1

E I

a3

3

δ10 =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ -

1E I

13

q a a

2

34

a + a a2

P b + a a2

23

P a 2

površina parabole

ordinata vdiagramu M(X1)

površinadiagrama M(X1)

ordinata vdiagramu M(P)- pravokotnik

površinadiagrama M(X1)

ordinata vdiagramu M(P)

- trikotnik

Minus je posledica tega, da se diagrama nahajata na različnih straneh nosilca (imata nasprotni predznak). Računu ordinate pri trapezu smo se izognili tako, da smo ga razdelili na trikotnik in pravokotnik:

A CB

PP a

P bM [P]pravokotnik

trikotnik

Dobimo:

δ10 =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ -

1E I

q a

8 +

P a b2

+ P a

3

4 2 3

Nekateri izrazi za račun integrala M M dx∫ za najpogostejše oblike momentnih črt so zbrani v dodatku B. Za kombinacijo parabole in trikotnika lahko najdemo naslednji izraz:

M M dx = L4

M M = - a4

( q a2

a)1 3

2

∫

pri čemer smo upoštevali M1= -a in M3= q a 2

2.

Za kombinacijo trapeza in trikotnika pa naslednji izraz:

M M dx = L6

(M + 2M M = - L6

(Pb + 2P(a + b)) a1 2 3∫ )

pri čemer smo upoštevali M1= P b, M2= P(a+b) in M3= -a. δ10 izračunamo s seštevanjem obeh izrazov:

δ10 3=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 1

E I - q a

8 - P a b

6 - P a

3 - Pa

4 2 3 2b = −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ 1

E I q a

8 + P a b

2 + P a

3

4 2 3

Silo X1 izračunamo iz enačbe δ11 X1 = - δ10. Dobimo:

OGM – Metoda sil 14

a3

3 E I X1

1E I

q a

8 +

P a b2

+ P a

3

4 2 3

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oziroma: X1 = 3 q a

8 +

3 P b2 a

+ P (vertikalna reakcija v podpori B)

Glavni sistem 2

δ111

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥E I

a 12

23

1 = 1

E I

a3

δ10 24=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1E I

- 23

q a

8 a

12

+ P a b

2

13

= 1

E I

q a +

P a b 6

2 3

Silo X1 izračunamo iz enačbe δ11 X1 = - δ10. Dobimo:

a3 E I

X1 1

E I

q a24

- P a b

6

3

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

oziroma: X1 = q a

8 -

P b2

2

(vpetostni moment v podpori A)

Vidimo lahko, da zvezna obtežba q (oziroma večja dolžina polja a) vpetostni moment povečuje, sila P (oziroma daljša dolžina previsnega polja b) pa zmanjšuje.

8. Račun reakcij in notranjih sil Obstajata dve metodi za račun reakcij in notranjih sil. Pri prvi metodi notranje statične količine (upogibne momente, osne sile, prečne sile) izračunamo neposredno z upoštevanjem ravnotežnih pogojev (iz znanih reakcij). Pri drugi metodi reakcije in notranje statične količine izračunamo s seštevanjem že znanih vrednosti reakcij in notranjih statičnih količin na glavnem sistemu za posamezne obtežbe. Ko smo glavni sistem obremenili z zunanjo obtežbo, smo v neki točki izračunali moment M0. Pri obtežbi z silo X1=1 pa smo za isto točko izračunali moment M1. Kadar na glavni sistem deluje vsa obtežba, je torej celotni moment enak: M = Mo + X1 M1 Isti princip lahko uporabimo tudi za račun reakcij ali drugih notranjih statičnih količin. V našem primeru smo zanemarili vpliv prečnih sil (zanemarili smo njihov vpliv na deformacije). Prečne sile lahko določimo le iz reakcij s pomočjo ravnotežnih pogojev.

OGM – Metoda sil 15

Glavni sistem 1 Uporabimo metodo 1 - neznane količine računamo s pomočjo ravnotežnih pogojev:

Va

Ma

HaX1

Pq

a b Σ X = 0 Ha = 0 Σ Y = 0 - q a - P + Va + X1 = 0 => Va = q a + P - X1 Σ M = 0 Ma - q a2 / 2 + X1 a - P (a +b) = 0 => Ma = q a2 / 2 - X1 a + P (a +b)

Če v zgornje izraze vstavimo X1 = 3 q a

8 +

3 P b2 a

+ P , dobimo:

Ma = q a

8 -

P b2

2

(kar je enako vrednosti X1 iz računa z glavnim sistemom 2)

Va = 5 q a

8 -

3 P b2 a

Upogibni moment na sredini polja a (x = a/2) lahko izračunamo po prereznem postopku.

M (x=0.5 a) = q a16

- P b4

2

Po istem postopku lahko določimo tudi potek prečnih sil. Diagrama momentov in prečnih sil sta odvisna od konkretnih številčnih vrednosti za P, q, a in b.

Va

Ma

HaVb=X1

Pq

a b

Ma

M (x=0.5a)

P b

Mmax

Va PVb-

+ +

OGM – Metoda sil 16

Glavni sistem 2 Uporabimo metodo 2 - neznane količine računamo s pomočjo rezultatov, ki smo jih dobili na glavnem sistemu za različne obtežbe. Uporabimo rezultate za reakcije, ki smo jih za različne obtežbe izračunali v razdelkih 3 in 5. Izračunajmo reakcijo Vb.

Va

X1

HaVb

Pq

a b

Vb = q a

a

a2

+ P (a + b) -

1a

X1

Če vstavimo X1 = q a

8 -

P b2

2

, dobimo:

Vb = 3 q a

8 +

3 P b2 a

+ P (kar je enako vrednosti X1 iz računa z glavnim sistemom 1)

Podobno lahko določimo tudi reakcijo Va, oziroma ostale notranje statične količine. Dobljeni rezultati so enaki ne glede na izbrani glavni sistem.

OGM – Metoda sil 17

NALOGE ZA VAJO Naslednji nalogi rešite sami. Za kontrolo vaših rezultatov so obema nalogama priložene pravilno izračunane reakcije.

NALOGA 3 - ENOETAŽNI ČLENKASTI OKVIR Okvir, ki ga prikazuje slika je obremenjen z verikalno zvezno obtežbo q=20 kN/m, vertikalno koncentrirano silo P=100 kN in horizontalno silo H=100 kN. Z uporabo metode sil določi (in nariši) razporeditev upogibnih momentov ter prečnih in osnih sil. Pri računu zanemari vpliv osnih in prečnih sil na deformacije. Upoštevaj, da je Eb=3 107 kN/m2, I=0.004 m4, l=6 m in h= 4 m. Priporočljivo je, da se posamezne vplive obravnava ločeno in se jih nato med seboj sešteje.

H

Pq

h

l

l/2

I

I

I

Reakcije (kN):

26.626.69 73.473.31

43.343.33176.7

176.67

OGM – Metoda sil 18

NALOGA 4 - BRANASTA KONSTRUKCIJA Za podano leseno branasto konstrukcijo, pri kateri so štirje prečniki (A1-B2, B2-C1, A2-B4 in B4-C2) členkasto priključeni na kontinuirni glavni nosilec (B1-B5) izračunaj: a) Reakcije v vozliščih A1, A2, C1 in C2. b) Maksimalni upogibni moment v prečniku (A1-B2). c) Določi potrebne dimenzije prečnika. Pri tem upoštevaj, da je dopustna upogibna napetost za les

enaka 1 kN/cm2. d) Z metodo sil določi razporeditev momentov in prečnih sil v glavnem nosilcu (nariši). Pri tem

zanemari vpliv prečnih sil na deformacije. e) Izračunaj vertikalne reakcije v vozliščih B1, B3 in B5 in preveri ravnotežje. f) Preveri, če debelina glavnega nosilca 28/20 cm zadošča. Pri tem upoštevaj, da je dopustna

upogibna napetost za les enaka 1 kN/cm2. Ostali podatki: q=20 kN/m, Elesa=1. 107 kN/m2, a=2.5 m, b=4m.

B1

B3B2

B4B5

A1

A2

C1

C2q

q

q

q

a/2b

ba/2

a/2

a/2

Reakcije (kN):

40

25

25

110

40

40

40

Moment nad podporo B3 je enak -37,5 kNm.

Opomba: Nalogi 3 in 4 lahko rešite tudi s pomočjo deformacijske metode, oziroma z uporabo formul iz priloge A.

OGM – Metoda sil 19

Račun naloge 3 s programom Amses Frame 2D V nadaljevanju je prikazan primer izračuna naloge 3 s programom Amses Frame 2D. Prikazani so vhodni podatki, ki zajemajo vnos geometrije, podpor, členkov, materialov, prerezov in obtežb ter eden od izhodnih podatkov, ki prikazuje notranje statične količine – momente.

Prikaz vhodnih podatkov: statični model konstrukcije s podano geometrijo, podporami, členki ter obtežbami.

Prikaz enega od izhodnih podatkov: risba momentov z vpisanimi vrednostmi.

OGM – Metoda sil 20

Račun naloge 4 s programom SAP2000 Prikazan je primer izračuna naloge 4 s programom SAP2000. Prikazani so vhodni podatki, ki zajemajo vnos geometrije, podpor, členkov, materialov, prerezov in obtežb in nekateri izhodni podatki, ki prikazujejo različne rezultate: deformacije, reakcije, notranje statične količine – momente. Na koncu lahko tudi preverimo ali konstrukcija prenese podano obtežbo, kar je izraženo s faktorjem izkoriščenosti. Če ta preseže normirano vrednost 1, je treba prerez povečati. Vrednosti so izražene številčno in z barvo.

Prikaz nekaterih vhodnih podatkov: statični model konstrukcije s podano geometrijo, podporami, členki, ter izris s podanimi debelinami elementov.

OGM – Metoda sil 21

Prikaz nekaterih izhodnih podatkov: reakcije, momenti (rdeče: pozitivni, modro: negativni), deformacije (izpis označene točke v oknu) in prikaz napetosti v obliki izkoriščenosti prereza.