Revisional conjuntos, teoria de conjuntos, intervalos reais e procentagens
1.2 conjuntos
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INDICEINTRODUCCIN
RELACION DE PERTENENCIADETERMINACION DE CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN
CONJUNTOS ESPECIALES
RELACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTOS NUMRICOS
UNION DE CONJUNTOS
INTERSECCIN DE CONJUNTOS
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
DIFERENCIA SIMTRICA
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO
PROBLEMAS
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En matemticas el concepto deconjunto es considerado
primitivo y no se da unadefinicin de este, por lo tanto lapalabra CONJUNTO debe
aceptarse lgicamente como untrmino no definido.
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Un conjunto se puede entender como
una coleccin o agrupacin biendefinida de objetos de cualquier clase.Los objetos que forman un conjunto
son llamados miembros o elementosdel conjunto.Ejemplo:
En la figura adjuntatienes un Conjunto dePersonas
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NOTACIN
Todo conjunto se escribe entre llaves { }y se le denota mediante letrasmaysculas A, B, C, ...,sus elementos se
separan mediante punto y coma.Ejemplo:
El conjunto de las letras del alfabeto; a,b, c, ..., x, y, z. se puede escribir as:
L={ a; b; c; ...; x; y; z}
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Ejemplo:A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=
B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=
En teora de conjuntos no se acostumbra
repetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplementeser { x; y; z }.
Al nmero de elementos que tiene un conjuntoQ se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y sele representa por n(Q).
5
3INDICE
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Para indicar que un elemento pertenecea un conjunto se usa el smbolo: Si un elemento no pertenece a un
conjunto se usa el smbolo:Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M
5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M
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I) POR EXTENSIN
Hay dos formas de determinar un conjunto,por Extensin y por Comprensin
Es aquella forma mediante la cual se indicacada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A) El conjunto de los nmeros pares mayoresque 5 y menores que 20.
A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
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B) El conjunto de nmeros negativos
impares mayores que -10.B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
II) POR COMPRENSIN
Es aquella forma mediante la cual se da unapropiedad que caracteriza a todos loselementos del conjunto.
Ejemplo:se puede entender que el conjunto P esta formadopor los nmeros 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
P = { los nmeros dgitos }
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Otra forma de escribir es: P = { x / x = dgito }se lee P es el conjunto formado por los
elementos x tal que x es un dgito Ejemplo:
Expresar por extensin y por comprensin el
conjunto de das de la semana.Por Extensin : D = { lunes; martes; mircoles;
jueves; viernes; sbado; domingo }
Por Comprensin : D = { x / x = da de la semana }
INDICE
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Los diagramas de Venn que se deben al
filsofo ingls John Venn (1834-1883)sirven para representar conjuntos demanera grfica mediante dibujos
diagramas que pueden ser crculos,rectngulos, tringulos o cualquier curvacerrada.
AMT
7
23
6
9
aei
o
u(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)
84
1 5
INDICE
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A = o A = { } se lee: A es el conjuntovaco o A es el conjunto nulo
CONJUNTO VACO
Es un conjunto que no tiene elementos,tambin se le llama conjunto nulo.Generalmente se le representa por los
smbolos: o { }J
J
Ejemplos:M = { nmeros mayores que 9 y menoresque 5 }
P = { x / }1
0X !
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CONJUNTO UNITARIO
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = a_ 2x / x 4 x 0!
CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado nmero deelementos.Ejemplos:
E = { x / x es un nmero impar positivo menorque 10 }
N = { x / x2
= 4 }
;
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CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado nmero de
elementos.Ejemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x es un nmero par }
CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene atodos los elementos de una situacin
particular, generalmente se le representapor la letra UEjemplo: El universo o conjunto universal
;
de todos los nmeros es el conjunto de losNMEROS COMPLEJOS. INDICE
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INCLUSINUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sy slo s, todo elemento de A es tambin elementode B
NOTACIN : A BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto deB, A esta contenido en B , A es parte de B.
REPRESENTACIN GRFICA :
B A
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PROPIEDADES:
I ) Todo conjunto est incluido en si mismo. A A
II ) El conjunto vaco se considera incluido encualquier conjunto. J A
III ) A est incluido en B ( ) equivale a decir
que B incluye a A ( )
A B
B AIV ) Si A no est incluido en B o A no essubconjunto de B significa que por lo menos unelemento de A no pertenece a B. ( )A B
V ) Simblicamente: A B x A x B
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CONJUNTOS COMPARABLESUn conjunto A es COMPARABLE con otro
conjunto B si entre dichos conjuntos existe unarelacin de inclusin.
A es comparable con B A B B A
Ejemplo: A={1;2;3;4;5} y B={2;4}
1
23
4
5A
B
Observa que B est
incluido en A ,por lotanto Ay B son
COMPARABLES
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IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos
elementos.Ejemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x 3)(x + 3) =0 }
Resolviendo la ecuacin de cada conjunto seobtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3,es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B
Simblicamente : !
A B
(A B
) (B A
)
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CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen
elementos comunes.REPRESENTACIN GRFICA :
A B
17
5 39
24
8
6
Como puedes
observar los
conjuntos A y B notienen elementos
comunes, por lo
tanto son
CONJUNTOS
DISJUNTOS
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CONJUNTO DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son conjuntos.
Ejemplo:F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }
Observa que los elementos del conjunto F tambin
son conjuntos.{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F
Es correcto decir que {b} F ? NO
Porque {b} es un elemento del conjunto F ,locorrecto es {b} F
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CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia de un conjunto A denotado
por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado portodos los subconjuntos de A.
Ejemplo: Sea A = { m;n;p }
Los subconjuntos de A son{m},{n},{p},{m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p},
Entonces el conjunto potencia de A es:
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p}; }
CUNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTOPOTENCIA DE A ?
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Observa que el conjunto A tiene 3 elementos ysu conjunto potencia osea P(A) tiene 8
elementos.PROPIEDAD:
Dado un conjunto A cuyo nmero de elementos es
n , entonces el nmero de elementos de suconjunto potencia es 2n.
Ejemplo:
Dado el conjunto B ={x / x es un nmero par y5< x
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Nmeros Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}
Nmeros Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}
Nmeros Racionales (Q)
Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}
Nmeros Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3; T
Nmeros Reales ( R )
R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3
1
2
1
5
1
2
4
3
Nmeros Complejos ( C )
C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 31
2
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N
Z
Q
I
RC
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EJEMPLOS:
Expresar por extensin los siguientes conjuntos:
A ) _ a2P x N / x 9 0! !
B )C )
D ) a_T x Q /(3x 4)(x 2) 0! !
E ) a_B x I /(3x 4)(x 2) 0! !
_ a2
Q x Z / x 9 0! !_ a2F x R / x 9 0! !
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
_ a4
T3
!
_ aB 2!
RESPUESTAS
INDICE
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A B
El conjunto A unin B que se representa asi
es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.
A B
a_ ! A B x / x A x B
Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9
9
87
3
1
4
2
a_ !A B 1;2;3; 4; 5; 6;7; 8; 9
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REPRESENTACIONES GRFICAS DE LAUNIN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B sonconjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
AB
B
B
AUB AUB
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PROPIEDADES DE LA UNIN DECONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A = A4. A U = U
5. (AB)C =A(BC)
6. Si AB= A= B=
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A B
El conjunto A interseccin B que se representa es
el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A y pertenecen a B.
A B
a_A B x / x A x B !
Ejemplo:
a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9
9
87
3
1
4
2
a_A B 5; 6;7 !
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REPRESENTACIONES GRFICAS DE LAINTERSECCIN DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B sonconjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
AB
B
AB AB=B
B
AB=
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PROPIEDADES DE LA INTERSECCINDE CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A = 4. A U = A
5. (AB)C =A(BC)
6. A(BC) =(AB)(AC)A(BC) =(AB)(AC)
INDICE
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A B
El conjunto A menos B que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A y no pertenecen a B.
A B
a_A B x / x A x B !
Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9
9
87
3
1
4
2
a_A B 1;2;3; 4 !
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A B
El conjunto B menos A que se representa
es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a B y no pertenecen a A.
B A
a_B A
x / xB
xA
!
Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9
9
87
3
1
4
2
a_B A 8; 9 !
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REPRESENTACIONES GRFICAS DE LADIFERENCIA DE CONJUNTOS
Si A y B son no comparables Si A y B son comparables
Si A y B sonconjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
AB
B
A - B A - B
B
A - B=A
INDICE
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A B
El conjunto A diferencia simtrica B que se
representa es el conjunto formado por todos loselementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).A B(
a_A B
x / x (A B
) x (B A
)( !
Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9
9
87
3
1
4
2
a_ a_A B 1;2;3; 4 8; 9( !
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Tambin es correcto afirmar que:
A B (A B) (B A)( !
A B (A B) (A B)( !
A BA-B B-A
A B
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Dado un conjunto universal U y un conjunto
A,se llama complemento de A al conjuntoformado por todos los elementos deluniverso que no pertenecen al conjunto A.
Notacin: A o AC
Ejemplo:
U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y
Simblicamente: a_A ' x / x U x A!
A = U - A
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12 3
4
56
7 8
9
U AA
A={2;4;6,8}
PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
1. (A)=A2. AA=U
3. AA=
4. U=5. =U
INDICE
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PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3
PROBLEMA 4PROBLEMA 5FIN
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Dados los conjuntos:A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}B = { 2 ;4;6;...;26}C = { 3; 7;11;15;...;31}
a) Expresar B y C por comprensinb) Calcular: n(B) + n(A)c) Hallar: A B , C A
SOLUCIN
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Los elementos de A son:Primero analicemos cada conjunto
,1 3 x1
tt4tt
,1 3 x 2
tt7tt
,1 3 x3
tt tt10
,1 3 x11
tt3 tt4
,1 3 x0
tt1tt
...
A = { 1+3n / nZ 0 n11}Los elementos de B son:
,2x 2
tt4tt,2x3
tt6tt ,2x 4
tt8tt,
2x13
tt tt26,2x1
tt2tt ...
B = { 2n / nZ 1 n13}
n(B)=13
n(A)=12
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Los elementos de C son:
,3 4 x1tt7tt ,3 4 x2tt tt11,
3 4x3
tt tt15
,
3 4x7
tt tt31
,3 4 x0tt3tt ...
C = { 3+4n / nZ 0 n
7 }a) Expresar B y C por comprensinB = { 2n / nZ 1 n18}C = { 3+4n / nZ 0 n
7 }b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C)=8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
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A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Hallar: A B , C A
A B = { 4;10;16;22 }
C A = { 3;11;15;23;27 }
Sabemos que A
B esta formado por loselementos comunes de A y B,entonces:
Sabemos que C - A esta formado por loselementos de C que no pertenecen a A,entonces:
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Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }Determinar si es verdadero o falso:
a) Gb) {3} Gc) {{7};10}G
d) {{3};1} Ge) {1;5;11} G
SOLUCIN
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Observa que los elementos de A son:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Entonces:es VERDADERO porque estaincluido en todo los conjuntos
es VERDADERO porque {3}es un elemento de de G
es FALSO porque {{7};10}
no es elemento de Ges FALSO
a) G ....
b) {3} G ...
c) {{7};10}G ..
d) {{3};1} G ...
e) {1;5;11} G ...
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Dados los conjuntos:P = { xZ / 2x2+5x-3=0 }M = { x/4N / -4< x < 21 }T = { xR / (x2 - 9)(x - 4)=0 }a) Calcular: M - ( T P )
b) Calcular: Pot(M T )c) Calcular: (M T) P
SOLUCIN
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P = { xZ / 2x2+5x-3=0 }
Analicemos cada conjunto:
2x2 + 5x 3 = 02x 1
+ 3x
(2x-1)(x+3)=0
2x-1=0 x = 1/2x+3=0 x = -3
Observa que xZ ,entonces: P = { -3 }
M = { x/4N / -4< x < 21 }
Como x/4 N entonces los valores de x son: 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 pero los elementos de Mse obtienen dividiendo x entre 4,por lo tanto :
M = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
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T = { xR / (x2 - 9)(x - 4)=0 }
Cada factor lo igualamos a cero y calculamos
los valores de xx 4 = 0 x = 4x2 9 = 0 x2 = 9 x = 3 o x =-3
Por lo tanto: T = { -3;3;4 }
a) Calcular: M - ( T P )
T P = { -3;3;4 } - { -3 } T P = {3 ;4 }M - (T P)= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - {3 ;4 }
M - (T P)= {1 ; 2 ; 5 }
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b) Calcular: Pot( M T )
M T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3;3;4 }
M T = {1 ; 2 ; 5 }Pot( M T ) = { {1}; {2}; {5};{1;2};{1;5};
{1;2;5};{2;5};
}
c) Calcular: (M T) P
M T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } { -3;3;4 }
M
T = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }(M T) P = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3 }
(M T) P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }
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Expresar la regin sombreada entrminos de operaciones entre los
conjuntos A,B y C.
A B
C
A
B
C
SOLUCIN
A
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A B
C
A B
CA
B
C
AB
C
[(AB) C]
[(B
C) A]
[(AC) B]
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A B
A
B
C
Observa como seobtiene la regin
sombreada
Toda la zona de amarillo esABLa zona de verde es AB
Entonces restando se obtiene la zonaque se ve en la figura : (AB) - (AB)
C
Finalmente le agregamos C y se obtiene:
[ (A
B) - (A
B) ]
C( A B ) C
=
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Segn las preferencias de 420personas que ven los canales A,B o
C se observa que 180 ven el canal A,240 ven el canal B y 150 no ven elcanal C,los que ven por lo menos 2
canales son 230cuntos ven lostres canales?
SOLUCIN
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El universo es: 420
Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240
No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x =180
be
xf
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Dato: Ven por lo menosdos canales 230 ,entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
-
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(I) a + e + d + x =180
(II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270
Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)
Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420
230entonces : a+b+c =190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690
190 230190 + 560 + x =690 x = 40
Esto significa que 40 personas ven los tres canales
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Profesor: Rubn Alva Cabrera