要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延 伸·拓 展误 解 分 析

第 12 课时 立体几何综合与应用

要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点考点

1.初步掌握“立体几何”中“探索性”“发散性”等命题的解法。

2。提高立体几何综合运用能力。能正确地分析出几何体中基本元素及其相互关系。能对图形进行分解、组合和变形。

3。能用立体几何知识解决生活中的问题。

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课 前 热 身1. 一 个 立 方 体 的 六 个 面 上 分 别 标 有 字 母A 、 B 、 C 、 D 、 F ，下图是此立方体的两种不同放置，则与 D 面相对的面上的字母是 ( )B

2. 如图，以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点为顶点且四个面都是直角三角形的四面体是 __________( 注：只写出其中的一个，并在图中画出相应的四面体 )

等ABC-A1

3. 一间民房的屋顶有如图所示三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜 .记三种盖法屋顶面积分别为 P1 、 P2 、 P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 α ，则 ( )(A)P3 ＞ P2 ＞ P1

(B)P3 ＞ P2=P1

(C)P3=P2 ＞ P1(D)P3=P2=P1

D

4. 如 图 是 正 方 体 的 平 面 展 开 图 ， 在 这 个 正 方 体中，① BM∥ED ②； CN 与 BE 是异面直线；③ CN与 BM 成 60° 角；④ DM⊥BN 以上四个命题中正确的序号是 ( )(A)①②③ (B)②④ (C)②③④ (D)③④

D

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5. 已知甲烷 CH4 的分子结构是：中心一个碳原子，外围有 4 个氢原子 ( 这 4 个氢原子构成一个正四面体的四个顶点 ). 设中心碳原子到外围 4 个氢原子连成的四条线段两两组成的角为 θ ，则 cosθ 等于 ( )(A)-13 (B)13(C)-12 (D)12

A

能力能力 ·· 思维思维 ·· 方法方法1. 在直角坐标系 xoy 中，点 A 、 B 、 C 、 D 的坐标分别为 (5 ， 0) 、 (-3 ， 0) 、 (0 ， -4) 、 (-4 ， -3) ，将坐标平面沿 y 轴折成直二面角 .(1) 求 AD 、 BC 所成的角；(2)BC 、 OD 相交于 E ，作EF⊥AD 于 F ，求证： EF 是 AD 、 BC 的公垂线，并求出公垂线段 EF 的长；(3) 求四面体 C-AOD 的体积 .【解题回顾】这是一道与解几结合的翻折题，画好折后图将原平面图还原成四棱锥，进一步用三垂线定理证明 AD⊥BC.

2. 在 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1

中， E 、 F 分别是棱 AB 与 BC 的中点， (1) 求二面角 B-FB1-E 的大小； (2) 求点 D 到平面 B1EF 的距离； (3) 在棱 DD1 上能否找一点 M ，使 BM⊥ 平面EFB. 若能，试确定点 M 的位置，若不能，请说明理由 .【解题回顾】此题也可以作面 B1EF的垂线与DD1 相交，再

说明可以找到一点M 满足条件 .过程如下：先证明面 B1BDD1

⊥面 B1EF，且面 B1BDD1∩面 B1EF=B1G，在平面 B1BDD1 内作 BM⊥B1G，延长交直线DD1 于 M，由二平面垂直的性质可得：BM⊥ 面 B1EF，再通过△ B1BG∽△BDM可得M 是 DD1 的中点，∴在棱上能找到一点M 满足条件 .此题是一道探索性命题 . 往往可先通过对条件的分析，猜想出命题的结论，然后再进行证明 .

3. 四面体的一条棱长是 x ，其他各条棱长为 1.(1) 把四面体的体积 V 表示为 x 的函数 f(x);(2) 求 f(x) 的值域；(3) 求 f(x) 的单调区间 .

【解题回顾】本题 (1) 也可以用 V=VB-SAD+VC-SAD 求体积，(2) 也可以对根号里的 x2·(3-x2) 求导得最大值，(3) 当然可以考察导函数的符号定区间

4. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，∠ ACB=90°侧棱 AA1=2 ， D 、 E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ ABD 的重心 G.(1) 求 A1B 与平面 ABD所成角的大小 ( 结果用反三角函数值表示 ) ：(2) 求点 A1 到平面 AED 的距离 .

延伸延伸 ·· 拓展拓展5. （ 1 ）给出两块相同的正三角形纸片（如图 1 ，图 2 ），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1 、图 2 中，并作简要说明；（ 2 ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（ 3 ）（本小题为附加题） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3 ），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它们的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明 .

【解题回顾】本题是 2002年高考题，是一道集开放、探索、动手于一体的优秀考题，正三角形剪拼正三棱柱除参考答案的那种剪法外，还可以用如图 4 的剪法，当然参考答案的剪法是其本质解，因为它为（ 3 ）的解答提供了帮助 .

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图 1 图 2 图 3

图 4

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误解分析误解分析

1. 解探索性题目时，有些同学心浮气躁，没有根据地胡乱猜测，最终导致错解 .

2. 解应用题时，一定要注意审题，找出问题后面的图形模型，将其转化为熟悉的几何体求解 .