12.세표본 이상의 평균비교

세 표본 이상의 평균비교


• 일원분산분석(One-way ANOVA) – 독립인 두 표본의 평균 비교의 확장으로 세 표본 이상의 평균이 모두 같은지 검정

– 분산분석(ANalysis Of VAriance) • 전체 자료의 분산(변동량)을 어떤 요인(혹은 요인들)에 의한 분산과 자연발생적인 분산으로 나누어 요인에 의한 분산이 자연발생적인 분산보다 클 경우(분산비가 클 경우)에 자료 내의 분산은 어떤 요인에 의해 발생했음을 판별하는 방법

– 가설 : 세 표본으로 이뤄진 경우 • 영가설 : 𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3

• 대안가설 : 적어도 한 집단의 평균은 다르다.

한림대학교 이윤환(http://fb.com/yoonani72)


• 분산분석표 – 분산분석의 결과. 즉, 요인에 의한 분산과 자연발생적인 분산을 표로 나타낸 것

– 분산분석의 검정통계량은 분산분석표 상의 분산비를 나타내는 F 분포로 부터 도출


요인 제곱합 자유도 평균제곱합 F

처리 𝑆𝑆𝑡 𝑘 − 1 𝑀𝑆𝑡 =𝑆𝑆𝑡

𝑘 − 1 𝐹 =

𝑀𝑆𝑡𝑀𝑆𝑒

오차 𝑆𝑆𝑒 𝑁 − 𝑘 𝑀𝑆𝑒 =𝑆𝑆𝑒

𝑁 − k

합 𝑆𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑁 − 1


• 사후검정 – 앞선 가설검정에서 대안가설을 채택한 경우. 즉, 적어도 한 집단의 평균은 다를 경우 어느 집단의 평균이 차이가 나는 지를 검정

– 서로 두 집단별로 독립인 t 검정을 실시하는 것과 유사한 과정



• 예제) R 내장 데이터인 iris – 분꽃 품종별 꽃받침(sepal)과 꽃잎(petal)의 길이와 넓이가 기록된 데이터

– 품종별 꽃잎의 넓이의 차이가 있는지 알아보자.


> str( iris ) 'data.frame': 150 obs. of 5 variables: $ Sepal.Length: num ... $ Sepal.Width : num ... $ Petal.Length: num ... $ Petal.Width : num ... $ Species : Factor w/ 3 levels "setosa","versicolor",“virginica" ...

분석 예제

• 전체 변동량 : 총 제곱합 – (개별 꽃잎의 넓이 – 전체 꽃잎의 평균)2 의 합

– (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦.. )2𝑛𝑖

𝑗=1𝑘𝑖=1

𝑘 : 그룹(서로 다른 표본)의 수 𝑛𝑖 : 그룹별 표본의 수 𝑦𝑖𝑗 : i번째 그룹의 j 번째 관찰값 𝑦.. : 전체 평균

– R을 통한 계산


> attach(iris) > ybar <- mean(Petal.Width) > sum((Petal.Width - ybar)^2) [1] 86.56993

분석 예제


분석 예제

• 전체 변동량의 분해 – 요인에 의한 변동량 (그룹간 변동량, Between Difference) : 처리제곱합

– 자연발생적인 변동량 (그룹내 변동량, With-in Difference) : 오차제곱합

– (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦.. )2𝑛𝑖

𝑗=1𝑘𝑖=1 = 𝑛𝑖(𝑦𝑖. − 𝑦.. )

2𝑘𝑖=1

+ (𝑦𝑖𝑗 − 𝑦𝑖.)2𝑛𝑖

𝑗=1𝑘𝑖=1

– 각 집단별 평균


> mg <- aggregate(Petal.Width, by=list(Species), mean) > mg Group.1 x 1 setosa 0.246 2 versicolor 1.326 3 virginica 2.026

분석 예제

• 처리 제곱합


분석 예제

• 오차 제곱합


분석 예제

• 통계적 모형 – 두 개의 변수가 있다고 할 때 한 변수가 다른 변수의 원인이 될 경우 설명변수(독립변수)라 부르고 결과되는 변수를 반응변수(종속변수) 라 부른다

– 수리적 표현 • 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝜀𝑖, 𝑦𝑖 : 반응변수

𝑥𝑖 : 설명변수 𝜀𝑖 : 오차항 (자연발생적인 오차)

– R에서의 표현 : 𝑦𝑖 ~ 𝑥𝑖 – 이 예제에서는 반응변수는 꽃잎의 넓이가 되고 설명변수 종(Species)가 된다. 즉, 종에 따라 넓이가 설명됨을 나타낸다.


분석 예제

• 가설 수립 – 영가설 : 𝜇𝑠𝑒𝑡𝑜𝑠𝑎 = 𝜇𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 = 𝜇𝑣𝑖𝑟𝑔𝑖𝑛𝑖𝑐𝑎

• 분꽃(iris)는 종에 따라 꽃잎 넓이의 평균에 차이가 없다.

– 대안가설 : 𝑛𝑜𝑡 𝐻0, 즉 적어도 하나의 종은 차이가 있다.

• 분꽃(iris)는 종에 따라 꽃잎 넓이의 평균에 차이가 있다.

• 주의 : 세 종의 평균이 모두 다르다. 즉, 𝜇𝑠𝑒𝑡𝑜𝑠𝑎 ≠ 𝜇𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟 ≠ 𝜇𝑣𝑖𝑟𝑔𝑖𝑛𝑖𝑐𝑎 를 뜻하는 것이 아님


분석 예제

• 분산분석표 : 검정통계량을 구하기 위한 R 사용과 판정


> out <- aov( Petal.Width ~ Species) > summary(out) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Species 2 80.41 40.21 960 <2e-16 *** Residuals 147 6.16 0.04 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

분석 예제

• 다중비교 : TukeyHSD 사용


> TukeyHSD(out) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = Petal.Width ~ Species) $Species diff lwr upr p adj versicolor-setosa 1.08 0.9830903 1.1769097 0 virginica-setosa 1.78 1.6830903 1.8769097 0 virginica-versicolor 0.70 0.6030903 0.7969097 0

분석 예제

• 다중비교 : TukeyHSD 사용 - 그래프


> plot(TukeyHSD(out, "Species"))

12.세표본 이상의 평균비교

Education

Transcript of 12.세표본 이상의 평균비교