11_Duyarl²l²k_Analizi_1

1/36

SAKARYAÜNİVERSİTESİ

Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN

2/36



• Duyarlılık Analizi

• Optimalliği etkileyen değişimler

İçerik

Yöneylem Araştırması - I

3/36



Duyarlılık Analizi (Optimallik Sonrası Analiz):

• Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek midir?• Problemin çözümü tamamen bozulmadan yeni optimum çözümü hesap edebilir miyiz?


Duyarlılık Analizi

4/36



Modeldeki değişimin sonucu dört başlık altında toplanabilir:

1. Mevcut çözüm değişmez,2. Mevcut çözümün olurluluğu bozulur,3. Mevcut çözümün optimalliği bozulur,4. Mevcut çözümün hem olurluluğu hem optimalliği

bozulur.



5/36



Modeldeki değişimin sonucu dört başlık altında toplanabilir:1. Mevcut çözüm değişmez,Herhangi bir işlem yapılmaz.2. Mevcut çözümün olurluluğu bozulur,Dual simpleks uygulanır.3. Mevcut çözümün optimalliği bozulur,Primal simpleks uygulanır.4. Mevcut çözümün hem olurluluğu hem optimalliği

bozulur.Primal ve Dual simpleks uygulanır.



6/36



Duyarlılık analizi 3 kategoriye indirgenebilir:

1. Amaç fonksiyonu katsayılarının (cj) değişmesi sadece optimalliği etkileyebilir.

2. Sağ taraf değerlerindeki (bj) değişimler sadece olurluluğu etkileyebilir.

3. Amaç fonk. ve sağ taraf değerlerindeki değişimler hem optimalliği hem olurluluğu etkileyebilir.



7/36




1. Amaç fonksiyonu katsayılarının (cj) değişmesi sadece optimalliği etkileyebilir.

Optimallik bozulursa optimalliğe ulaşıncaya kadar (veya yeni çözümün optimalliği sınırsız olduğu görülünceye kadar) yeni tabloya primal simpleks uygulanır.



8/36




2. Sağ taraf değerlerindeki (bj) değişimler sadece olurluluğu etkileyebilir.

Olurluluk bozulursa olurluluk tekrar elde edilinceye (veya yeni çözümün olursuz kaldığı görülünceye) kadar yeni tabloya dual simpleks uygulanır.



9/36




3. Amaç fonk. ve sağ taraf değerlerindeki değişimler hem optimalliği hem olurluluğu etkileyebilir.

Eğer hem optimallik hem de olurluluk bozulduysa olurluluk gözardı edilerek önce primal simpleks daha sonra dual simpleks uygulanır. Aslında bu, 1. ve 2. işlemlerin sırasıyla uygulanmasıdır.



10/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:

Temelde olmayan değişkenlerin amaç fonksiyonu satırının (zj – cj) yeniden hesaplanması gerekir;

1. Y = CBB-1 dual fiyat vektörü hesaplanır.

2. Temelde olmayan xj’lerin tümü için zj – cj = YAj – cj

hesaplanır.


Duyarlılık AnaliziOptimalliği Etkileyen Değişimler

11/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:

Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir;

1. Optimallik bozulmamışsa mevcut çözüm aynı kalır, ancak amaç fonksiyonu değeri (Z) değişir.

2. Optimallik bozulmuşsa optimalliği sağlamak için primal simpleks yöntem uygulanır.



12/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:Örnek:Max Z = 3.X1+2.X2+0.X3+0.X4+0.X5+0.X6

X1 + 2X2 + X3 = 62X1 + X2 + X4 = 8-X1 + X2 + X5 = 1

X2 + X6 = 2X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0

Z = 3X1 + 2X2 yerine Z = 5X1 + 4X2



13/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:Örnek: Optimum Tablo

XB = (X2, X1, X5, X6)T = (4/3, 10/3, 3, 2/3)T



Temel X1 X2 X3 X4 X5 X6 Çözüm

Z 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3

X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

Temelde değil

14/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:Örnek:

XB = (X2, X1, X5, X6)CB = (C2, C1, C5, C6) = (4, 5, 0, 0)Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1

(y1, y2, y3, y4) = (4, 5, 0, 0)

Y = (y1, y2, y3, y4) = (1, 2, 0, 0)



2/3 -1/3 0 0-1/3 2/3 0 0-1 1 1 0

-2/3 1/3 0 1

15/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:Örnek:Optimal tabloda =0 olan Z3-C3 ve Z4-C4’ün yeni değerlerini hesaplayalım.

ZJ-CJ=YA-CII

YA-CII = (1, 2, 0, 0) - (0, 0)

(Z3-C3, Z4-C4) = (1, 2)




Z -3 -2 0 0 0 0 0

X3 1 2 1 0 0 0 6

X4 2 1 0 1 0 0 8

X5 -1 1 0 0 1 0 1

X6 0 1 0 0 0 1 21 00 10 00 0

16/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:Örnek:

(Z3-C3, Z4-C4) = (1, 2)

Yeni amaç fonk. değeri:Z = 5X1 + 4X2 = 5(10/3) + 4(4/3) = 22

Z değeri 38/3’ten 22’ye yükseldiği için bu değişiklik olumludur.



Değerler non-negatif olduğundan Xj çözüm değerleri değişmez ancak Z amaç fonksiyonu değeri değişir.

17/36



A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:Örnek 2: Yeni amaç fonksiyonu Maks. Z=4X1+1X2

XB = (X2, X1, X5, X6)CB = (C2, C1, C5, C6) = (1, 4, 0, 0)Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1

(y1, y2, y3, y4) = (1, 4, 0, 0)

Y = (y1, y2, y3, y4) = (-2/3, 7/3, 0, 0)



2/3 -1/3 0 0-1/3 2/3 0 0-1 1 1 0

-2/3 1/3 0 1

18/36




ZJ-CJ=YA-CII

YA-CII = (-2/3, 7/3, 0, 0) - (0, 0)

(Z3-C3, Z4-C4) = (-2/3, 7/3)



1 00 10 00 0

19/36




(Z3-C3, Z4-C4) = (-2/3, 7/3)

Yeni amaç fonk. değeri:Z = 4X1 + 1X2 = 4(10/3) + 1(4/3) = 44/3



Non-negatif değer olduğundan PrimalSimpleks uygulanır. Yeni Z değeri de değişecektir.

20/36







Z 0 0 -2/3 7/3 0 0 44/3

X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

21/36







Z 0 0 -2/3 7/3 0 0 44/3

X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

22/36




Z değeri 38/3’ten 16’ya yükselmiştir.




Z 0 1 0 2 0 0 16

X3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

X1 1 1/2 0 1/2 0 0 4

X5 0 3/2 0 1/2 1 0 5

X6 0 1 0 0 0 1 2

23/36



B. Kısıt katsayıları değişirse:Örnek:

Amaç fonksiyonu Maks Z = 4X1 + X2 iken (son yaptığımız örneğe göre), 2 nolu iç boya faaliyetinin hammadde kaynaklarındaki 2 ve 1 tonluk kullanımları yerine 4 ve 3 tonluk kullanımlar olsun. Bu durumda optimum çözüm etkilenecek midir, araştıralım.



24/36






Modelin eski kısıtları:

X1 + 2X2 + X3 = 6

2X1 + 1X2 + X4 = 8

-X1 + X2 + X5 = 1

X2 + X6 = 2

X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0

Modelin yeni kısıtları:

X1 + 4X2 + X3 = 6

2X1 + 3X2 + X4 = 8

-X1 + X2 + X5 = 1

X2 + X6 = 2

X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0

25/36



B. Kısıt katsayıları değişirse:Örnek:Maks Z = 4X1 + X2’ye göreOptimum tablo sağdadır.

CB = (C3, C1, C5, C6) = (0, 4, 0, 0)Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1 ifadesinden;

(y1, y2, y3, y4) = (0, 4, 0, 0)

Y = (y1, y2, y3, y4) = (0, 2, 0, 0)




Z 0 1 0 2 0 0 16

X3 0 3/2 1 -1/2 0 0 2

X1 1 1/2 0 1/2 0 0 4

X5 0 3/2 0 1/2 1 0 5

X6 0 1 0 0 0 1 2

1 -1/2 0 00 1/2 0 00 1/2 1 00 0 0 1

26/36




Y = (y1, y2, y3, y4) = (0, 2, 0, 0)

Z2-C2 = 4y1 + 3y2 + y3 + y4 – 1

Z2-C2 = 4(0)+3(2)+1(0)+1(0)-1 = 5

Bu değer ≥0 olduğundan (maks için) optimalliği etkilemez, çözüm aynı kalır.



Modelin yeni kısıtları:

X1 + 4X2 + X3 = 6

2X1 + 3X2 + X4 = 8

-X1 + X2 + X5 = 1

X2 + X6 = 2

X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0

27/36



B. Kısıt katsayıları değişirse:Örnek: A ve B hammadde kullanımları 2 ve 1 yerine 2 ve 1/4 olursa çözüm etkilenir mi?

Y = (y1, y2, y3, y4) = (0, 2, 0, 0) olarak bulunmuştu

Z2-C2 = 2y1 + 1/4y2 + y3 + y4 – 1

Z2-C2 = 2(0)+1/4(2)+1(0)+1(0)-1 = -1/2

Bu değer negatif olduğundan (maks için) optimallik bozulur, primal simpleks uygulanmalıdır.



28/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:

A ve B`nin birleşmesiyle hem amaç hem kısıt değişir, optimallik değişebilir.



29/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:Örnek:Orijinal RMC modelinde, dış boyanın daha ucuz bir markasını üretmek isteyelim. Bu yeni boyanın her bir tonu için A ve B ham maddelerinin her birinden 3/4'er ton kullanılacak olsun. Yeni boyanın ton başına karı 3/2 (1000$)’dır. 3. kısıtı oluşturan iç boyanın dış boyaya göre talebinin en çok bir ton fazla olması şartına yeni boya ilave edilerek durum değerlendirilmelidir. X7, yeni boyanın üretim miktarını (ton olarak ) göstersin.



30/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:Örnek:Maks Z = 3X1 + 2X2 + 3/2X7

X1 + 2X2 + 3/4X7 ≤ 62X1 + 1X2 + 3/4X7 ≤ 8-X1 + X2 - X7 ≤ 1

X2 + 0X7 ≤ 2X1, X2, X7>=0



31/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:Örnek:1) X7 faaliyetinin optimum tablodaki amaç katsayısı:

Y = CBB-1

CB = (C2, C1, C5, C6)= (2, 3, 0, 0)

Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1

(y1, y2, y3, y4) = (2, 3, 0, 0)

Y = (y1, y2, y3, y4) = (1/3, 4/3, 0, 0)



Temel X1 X2 X7 X3 X4 X5 X6 Çözüm

Z 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3

X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

2/3 -1/3 0 0-1/3 2/3 0 0-1 1 1 0

-2/3 1/3 0 1

32/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:Örnek:1) X7 faaliyetinin optimum tablodaki amaç katsayısı:

Z7-C7 = (3/4)y1 + (3/4)y2 - (1)y3 + (0)y4 - 3/2

=(3/4)(1/3)+(3/4)(4/3)-(1)(0)+(0)(0)-3/2= -1/4

Z7-C7= -1/4 optimallik bozulmuştur.




Z 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3

X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

33/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:Örnek:2) X7’ye ait optimal tablo kısıt katsayıları sütunu:

B-1A7 =




Z 0 0 -1/4 1/3 4/3 0 0 38/3

X2 0 1 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -2/3 1/3 0 1 2/3

2/3 -1/3 0 0-1/3 2/3 0 0-1 1 1 0

-2/3 1/3 0 1

3/43/4-10

=

1/41/4-1

-1/4

34/36



C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:Örnek:




Z 0 0 -1/4 1/3 4/3 0 0 38/3

X2 0 1 1/4 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 1/4 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -1/4 -2/3 1/3 0 1 2/3

35/36







Z 0 0 -1/4 1/3 4/3 0 0 38/3

X2 0 1 1/4 2/3 -1/3 0 0 4/3

X1 1 0 1/4 -1/3 2/3 0 0 10/3

X5 0 0 -1 -1 1 1 0 3

X6 0 0 -1/4 -2/3 1/3 0 1 2/3

36/36




Z değeri 38/3’ten 14’e yükselmiştir.




Z 0 1 0 1 1 0 0 14

X7 0 4 1 8/3 -4/3 0 0 16/3

X1 1 -1 0 -1 1 0 0 2

X5 0 4 0 5/3 -1/3 1 0 25/3

X6 0 1 0 0 0 0 1 2

37/36



TEŞEKKÜRLER

SORULAR!

[email protected]

11_Duyarl²l²k_Analizi_1

Documents

Transcript of 11_Duyarl²l²k_Analizi_1