1

1973 年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes 提出了著名的 B-S 定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， Robert C. Merton 独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了 1997 年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克 - 舒尔斯 - 默顿期权定价模型（下文简称 B-S-M 模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。

2

我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。

因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。

在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。

3

市场有效理论与随机过程

1965 年，法玛（ Fama ）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。

1 、弱式效率市场假说2 、半强式效率市场假说 3 、强式效率市场假说

根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（ Markov Stochastic Process ）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。

有效市场三个层次

4

布朗运动（ Brownian Motion）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。

对于标准布朗运动来说：设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量 z 在 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：特征 1 ： 和 的关系满足： =其中， 代表从标准正态分布（即均值为 0 、标准差为 1 的正态分布）中取的一个随机值。特征 2 ：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。

t

tz

z

z t

t z

z t

5

bdzadtdx

将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令漂移率为 a ，方差率为 b2 ，我们就可得到变量 x 的普通布朗运动： 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为 0 ，方差为 1 的普通布郎运动。

6

普通布朗运动的离差形式为 ，显然， Δx也具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为

tbtax ta tb tb 2

1 、显然，遵循普通布朗运动的变量 x 是关于时间和 dz 的动态过程，其中第一项 adt 为确定项，它意味着 x 的期望漂移率是每单位时间为 a 。第二项 bdz 是随机项，它表明对 x 的动态过程添加的噪音 。这种噪音是由维纳过程的 b倍给出的。

2 、在任意时间长度 T 后 x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT ，标准差为 ，方差为 b2T 。Tb

7

 

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x 的漂移率和方差率当作变量 x 和时间 t 的函数，我们就可以得到

这就是伊藤过程（ Ito Process）。其中， dz是一个标准布朗运动， a 、 b 是变量 x 和 t 的函数，变量 x 的漂移率为 a ，方差率为 b2 。

dztxbdttxadx ),(),(

8

在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（ K.Ito）进一步推导出：若变量 x 遵循伊藤过程，则变量 x 和 t 的函数G 将遵循如下过程：

bdzx

Gdtb

x

G

t

Ga

x

GdG

)2

1( 2

2

2

其中， dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。

9

案例 11.1 运用伊藤引理推导 lnS 所遵循的随机过程假设变量 S服从其中 μ 和 σ都为常数，则 lnS 遵循怎样的随机过程？由于 μ 和 σ 是常数， S显然服从 ， 的伊藤过程，我们可以运用伊藤引理推导 lnS所遵循的随机过程。

令 ，则

代入式 我们就可得到 所

遵循的随机过程为

由于 dlnS 是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续

复利收益率服从期望值 ，方差为 的正态分布。

dS Sdt Sdz

( , )a S t S ( , )b S t S

SG ln 0,1

,1

22

2

t

G

SS

G

SS

G

bdzx

Gdtb

x

G

t

Ga

x

GdG

)2

1( 2

2

2 SG ln

2

ln ( )2

dG d S dt dz

2

( )2dt

2dt

** 随机微积分与非随机微积分的差别 lndS

d SS

10

一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为 μS 、方差率为 S2的伊藤过程（即几何布朗运动）

来表示：2

dS Sdt Sdz

之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：

一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。

11

从案例 11.1 我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动，则有 从自然对数的定义域可知， S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率 和恒定的方差率 。由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动 时，其在任意时间长度 T-t 内的变化值都服从均值为 、方差为 的正态分布。也就是说，

2

ln ( )2

dG d S dt dz

2/2 2bdzadtdx

a T t 22b T t

]),)([(~lnln 2

2

tTtTSST

12

由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明 ST服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到

和

)()( tTT SeSE

]1[)var()()(22

2

tTtT

T eeSS

实际上就是股票价格在 T － t 期间的连续复利收益率，

则 T － t 期间年化的连续复利收益率可以表示为 ，从式（ 11.9 ）可知随机变量 服从正态分布

SST lnln

ln lnTS S

T t

2

2~ [( ), ]T t

13

:

1 、几何布朗运动中的期望收益率。 2 、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。

2/2

14

1 、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 2 、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。

:

15

　　当股票价格服从几何布朗运动　　　　　　　时，由于衍生证券价格 G 是标的证券价格 S 和时间 t 的函数G(S,t) ，根据伊藤引理，衍生证券的价格 G 应遵循如下过程：

比较（ 11.1 ）和（ 11.11 ）可看出，衍生证券价格 G 和股票价格 S都受同一个不确定性来源 dz 的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。

SdzSdtdS

SdzS

GdtS

S

G

t

GS

S

GdG

)2

1( 22

2

2

16

假设：1 、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；2 、允许卖空标的证券；3 、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4 、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5 、存在无风险套利机会；6 、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7 、衍生证券有效期内，无风险利率 r 为常数。

17

由于证券价格 S 遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔 中， S 的变化值 为：

在一个小的时间间隔中， f 的变化值 为：

zStSS

SdzS

fdtS

S

f

t

fS

S

fdf

)2

1( 22

2

2

zSS

ftS

S

f

t

fS

S

ff

)2

1( 22

2

2

设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和t 的函数，根据伊藤引理可得：

SdzSdtdS

St

f

18

为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。

令 代表该投资组合的价值，则：

z

S

f

ff S

x

在 时间后，该投资组合的价值变化 为：f

f SS

t

代入　　和　　可得f S tSS

f

t

f

)2

1( 22

2

2

19

tSS

f

t

f

)2

1( 22

2

2

　　　　　　　　　　中不含任何风险源，因

　 此组合　必须获得无风险收益，即tr

代入上式可得

tSS

ffrtS

S

f

t

f

)()2

1( 22

2

2

化简为

rfS

fS

S

frS

t

f

2

222

2

1

**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的定价。

20

 

观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f 的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。

在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率 r ，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。

21

假设一种不支付红利股票目前的市价为 10元，我们知道在 3 个月后，该股票价格要么是 11元，要么是 9 元。现在我们要找出一份 3 个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于 3 个月后股票的市价。若 3 个月后该股票价格等于 11元，则该期权价值为 0.5元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元，则该期权价值为 0 。

风险中性定价原理的应用

22

为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若3 个月后该股票价格等于 11元时，该组合价值等于( 11 － 0.5)元；若 3 个月后该股票价格等于 9元时，该组合价值等于 9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的 值，使 3 个月后该组合的价值不变，这意味着：

11 － 0.5=9 =0.25

因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和 0.25股标的股票。无论 3 个月后股票价格等于11元还是 9 元，该组合价值都将等于 2.25元。

23

假设现在的无风险年利率等于 10%，则该组合的现值应为：

由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25单位股票多头，而目前股票市场为 10元，因此：

这就是说，该看涨期权的价值应为 0.31元，否则就会存在无风险套利机会。

元19.225.2 25.01.0 e

元31.0

19.225.010

f

f

24

从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到 11元的概率和下降到 9 元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为 10%，则股票上升的概率 P 可以通过下式来求：

0.1 0.2510 [11 9(1 )]e P P

P=62.66%。

25

又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为 15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：

0.15 0.2510 [11 9(1 )]e P P

P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于 0.31元。

26

在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（ T 时刻）的期望值为：

)]0,[max( XSE T

其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格 c 等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即：

)]0,[max()( XSEec TtTr

E

27

对　　　　　　　　　　　右边求值是一种积分过程，结果为：其中， )()( 2

)(1 dNXedSNc tTr

tTdtT

tTrXSd

tT

tTrXSd

1

2

2

2

1

))(2/()/ln(

))(2/()/ln(

N （ x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数( 即这个变量小于 x 的概率 ) ，根据标准正态分布函数特性，我们有 。 )(1)( xNxN

这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。

)]0,[max()( XSEec TtTr

28

对于布莱克－舒尔斯期权定价公式的理解： 在 B-S公式中， N(d2) 是在风险中性世界中 ST 大于 X 的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-

r(T-t)XN(d2) 是 X 的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)STN(d1) 是 ST 的风险中性期望值的现值 。

因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。

29

无收益资产的欧式看跌期权的定价公式

根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：

)()( 12)( dSNdNXep tTr

30

无收益资产美式看涨期权的定价公式

在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此 C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是：

( )1 2( ) ( )r T tC SN d Xe N d

31

有收益资产的欧式期权的定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用 S 表示有风险部分的证券价格。σ表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式 :

分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。

)()( 12)( dSNdNXep tTr

)()( 2)(

1 dNXedSNc tTr

32

因此，当标的证券已知收益的现值为 I 时，我们只要用（ S－ I ）代替 S 即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 q （单位为年）时，我们只要将 代替 S 就可求出支付连续复利收益率)( tTqSe

证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为 r 的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。

33

有收益资产的美式看涨期权的定价 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近 似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，若不合理，则按欧式期权处理；若在

nt 提前执行可能是合理nt

价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。

时刻到期的欧式看涨期权的的，则要分别计算在 T 时刻和

34

美式看跌期权的定价

美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。

35

　　我们已经知道， B-S-M 期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。

36

（一）估计无风险利率　　在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首先，要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利率（即零息票债券的到期收益率），而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式，才可以在 B-S-M公式中应用。一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去通常使用银行存款利率，现在则可以从银行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率。其次，要注意选择利率期限。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的利率作为无风险利率。

37

（二）估计标的资产价格的波动率　　估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多，也更为重要。估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。

38

历史波动率　　所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格对数收益率的标准差，具体方法一般有两种，第一种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标准差，案例 11.7 以股票价格为例给出了这种方法的一个简单说明。第二种则包括广义自回归条件异方差模型（ Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity ，GARCH ）、随机波动率模型等。

隐含波动率　　资本市场具有强大的信息功能。资本市场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了重要的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格，这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波动率信息。所谓的隐含波动率，即根据 B-S-M 期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据，然后用于其它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。

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造成用布莱克——舒尔斯期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有以下几个：1.计算错误；2.期权市场价格偏离均衡； 3.使用错误的参数；4.布莱克——舒尔斯期权定价公式建立在众多假定的基础上。

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B-S-M期权定价模型拓展

一、无交易成本假设的放松

二、常数波动率假设的放松

三、参数假设的放松

四、资产价格连续变动假设的放松