1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 1

1.1 생활속의수학

수학은 생활의 미세한 부분에서도 나타난다.눈에 보이지 않는듯 하면서도 일상을지배하는것이바로수학이다.갖가지의물체에서나타나는수학,숨어서우리를엿보는수학,그래서아무도느끼지않는사이에우리의생활을편리하게 만들어 주는 수학을 주변의 몇 가지 사물에서 발견함으로써 수학에로의 흥미로운여행을시작해보자.

1.1.1 고대와현대

신라시대의기하학. 동양의수학은중국의수학책 p구장산술y에서많은영향을 받았는데,이 책은 토지 측량,조세,토목공사 등 삼국시대의 사회상에 많은영향을주었다.

서양의기하학이자와컴파스를사용하는기하학이었던것과같이동양의기하학의중심개념도원(하늘의모양)과정사각형(땅의모양)이었다.

석굴암에서도 원과 정사각형 및 그를 이용한 여러 도형을 사용하고 있는데,

석굴암의주실은반지름 12자의완전한원이고,주실의입구는그원에내접하는정육각형의한변의길이와같다.여기서 12라는수치는 1년이 12개월이라는것을의식하였기때문으로보인다.또석굴암의내부에는여러가지의내접정다각형을 그려 넣고 있으며,본존상의 높이는 석실을 구성하는 원의 반지름을한변으로하는정사각형의대각선의길이와일치한다.즉,

√2의길이를사용하

였으며,비례중항(√

2, 2, 2√

2)도사용하고있다.

석굴암본전불상의얼굴너비는당시사용한단위로 2.2자,가슴폭은 4.4자,어깨폭은 6.6자,양무릎의너비는 8.8자이다.한마디로얼굴 :가슴 :어깨 :무릎 =

1 : 2 : 3 : 4의 비율이다. 그리고 기준이 된 1.1자는 본존불상 자체 총 높이의10분의 1이다. 10분의 1이란 비율은 로마시대의 신전 건축가 비트루비우스의p건축서y에서말하는균제비례의적용이라할수있다.

신라인들이당시에균제비례를알았을리만무하다.그러나,신라인들은비트루비우스가알아낸안정감과아름다움의비율을이미알고있었고,석굴암의공간마다이상적인비례배분을적용했다.그리고석굴암전체의구조를기하학적으로분석해보면모든공간이가로 :세로또는세로 :가로의비율이 1 : 2인직

2 ◀◀◀

사각형으로이루어졌다고하니신라시대의수학수준에놀랄뿐이다.

첨성대는 동양에 남아있는 최고의 천문대(제단이라는 주장도 있음)이며,직선과곡선이간결하게조화된건축물이기도하다.첨성대는돌을쌓아올릴때,

밑의원과위의원의지름의비를 5 : 4또는 5 : 3으로하였다.이수는피타고라스수와일치하며,첨성대를구축할때에쓰인돌의수가 362개라하였는데,이것은 1년을 음력으로 계산해서 잡은 것이라 한다.또 다보탑은 건축물과 탑 사이의관계를 1 : 2 : 4 : 8이라는등비수열을이용하였다고판단되어진다.

덜거덕거리는식탁다리와수학의정리. 둥근식탁이덜거덕거려서불편을주는경우를종종겪는다.이것은식탁다리의길이네개는모두같지만바닥이고르지않아한개가떠있는상태가되어흔들거리기때문이다.이럴때어떻게하면덜거덕거리지않도록할수있을까?떠있는식탁다리에종이를접어서끼워넣는 것도 한 방법이지만,머리를 좀 더 써서 수학적인 방법을 생각해 보자.그것은둥근식탁을회전시키는것이다.

식탁을잡고,오른쪽방향이건왼쪽방향이건마루위를미끄러지게해서회전시키면,

14

,즉 90◦를 회전시키는 사이에 네 다리가 모두 마루에 닿는 부분이있어서식탁이안전된상태가된다.왜이런방법을쓰면식탁이덜거덕거리지않게되는것일까?

다리 4개에 A,B, C, D라는기호를붙이면다리D만이마루에닿지않고떠있는 상태라 가정하자.이 때, D의 대각선 위에 있는 B가 뜨지 않도록 한 손으로A와 B의중간쯤의식탁위를누르고,다른한손으로 C와 D 사이의식탁을누른다.이제식탁을 90◦회전시켰을때, D가 C의위치까지움직이는상태에관해생각해보자.다리 D의끝은마루에서떠있는상태로부터출발하여,다리 C가있었던위치까지이동하는사이에서서히마루에접근하고, 90◦ 회전하는사이에반드시마루에닿는부분이있게된다.이사실을증명해주는것이함수론에있어서다음과같은정리이다.

[중간값정리]연속적인곡선과 x축사이의거리는 a에서 b로옮겨가는동안에a와 b사이의모든값을적어도한번은겪는다.

즉,이때문에우리는식탁의다리가평형을이루는점을찾게되는것이다.

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 3

공포의무인단속카메라. 도로교통법제 15조에는자동차의운행최고속도를규정해놓고이를어겨적발되었을때에는범칙금과벌점을부과하고있다.그런데그많은차를소수의인력으로다감시할수가없기때문에궁여지책으로무인단속 카메라를 설치할 수 있도록 법으로 규정해 놓고 단속을 시행하고 있다.그것을피하기위해서운전자들은갖가지묘기를연출하고,그에따라단속장비도더세밀화되어가고있는것이작금의한국의세태이다.그렇다면이무인단속카메라는어떤원리로작동되는것일까?

여러 가지 방식이 있는데,이동용이나 중앙통제의 경우에는 두 점을 선택해놓고자동차가그지점에들어오면센서에의해감지를두번한후에두지점사이의거리를통과한시간으로나눔으로써평균속도를계산하여사진을찍고있다.물론모든차를다찍을수없기 때문에기준 속도를초과하여빠르게달려오는경우에감지를할수있도록조작을해놓는다.일반적으로많이쓰이는방법은 ‘선(와이어)방식’인데이는도로에속도를읽는센서를내장한두줄의선을깔고,그사이를지나는차의시간을측정해속도로환산한다.제한속도를넘어서면 바로 적외선이 감지하여 카메라에 담게된다.물론 플래쉬는 터지지 않는다.어쩌다터지는것이있기는하지만극소수의경우에만그렇다.자동차경주에서도이방식으로속도를측정한다.

그러면두개의선은어디에설치를하는가?도로사정에따라다르지만첫번째선은보통두번째선의 20 ∼ 30m전방에설치되고,두번째선은무인단속카메라전방 50m지점에설치된다.첫번째선과두번째선의통과시간을재는것이기 때문에,무인 단속 카메라 도달 50m 이내까지 과속했다면 영락없이 과속에따른과태료청구서를받게된다.

1.1.2 우주의비밀을간직한고대건축물

고대의 대형 축조물에는 언제나 천문학과 기하학이 숨어 있다.고대인들은 자신들이 발견한 자연의 질서를 현실에서 보여 줄 수 있는 건축물을 세움으로써절대적권위를얻고자했던것이다.피라미드,스톤힌지,판테온에들어있는천문학과수학의비밀을추적해본다.

고대인들은 과연 무지하고 원시적이었는가?물론 그들은 우리가 지금 누리는수많은과학문명의이기들을가지고있지않았다.그러나이것만이전부는

4 ◀◀◀

아니다.그들은우리가가진것을못가졌던대신우리가갖고있지않는것을갖고있었다.그것은바로우주의신비와직접내통할수있는신비한능력이었다.

지금 관점에서 보자면 이런 능력은 미신에 불과할 수도 있지만 그 당시로서는이것도 엄연한 하나의 과학으로서 나름대로 사회적 기능을 하고 있었다.고대인들은천체의운행을몸소체험할수있는그들만의비밀스런능력을갖고있었다.이런능력은우리를가끔씩놀라게해주는발전된고대문명의형태로나타났다.우리는 고대인들은 무조건 무지했을 것이라는 편견 때문에 이런 고대문명을불가사의라고부르며놀라워한다.그러나창조자의세계를가슴으로받아들였던고대인들은우리와는다른또하나의문명을이룰수있었다.고대건축물은이러한고대문명의불가사의를가장많이간직하고있는대표적예다.

피라미드의무게중심과황금비. 고대건축물은기하형태와숫자를통해우주의비밀을지상에서표현해냈다.이집트의피라미드는네개의정삼각형이모여서 이루어지는 사각뿔 형태로 구성됐다.이 사각뿔의 밑변과 경사면이 이루는각도는 52◦(더정확히는 51◦50′ = cos−1(0.61804). 여기서 0.61804는피라미드의빗변을 1로했을때밑변길이의반으로나타나는길이)이다.이렇게만들어지는피라미드의무게중심에는우주의에너지가모이는것으로알려져있다.

피라미드의무게중심에녹슨면도날을놓으면녹이지워진다.초자연적인신통력을이용하는치료가운데에는피라미드의무게중심에환자를놓아우주의에너지를이용하려는방법도있다.이집트피라미드의경우에도파라오의미라가놓이는무덤은정확히무게중심지점과일치했다.미라가수천년이지나도썩지않는데에는미라자체의방부가뛰어났던것만은아니다.미라가피라미드의 무게중심에 놓임으로써 우주의 에너지를 흡수할 수 있었던 것도 중요한 이유가운데하나였다.

그러나 이집트인들도 처음부터 미라를 피라미드의 무게중심에 놓았던 것은아니었다. 고왕국 제4왕조의 쿠푸왕 때(기원전 2570년 경)에 피라미드는 비로소 완전한 정삼각형으로 구성되는 사각뿔 형태를 갖추었다.그리고 미라가 피라미드의무게중심에매장되게된것도이때부터였다.그이전까지의피라미드는 불완전한 비정형이었으며 미라는 피라미드 밑의 땅 속에 묻혔다.쿠푸왕의피라미드 경우에는 묘실로 가는 통로가 중간에 두 갈래로 갈라지는데 이 가운

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 5

그림 1.1 피라미드에서의황금비

데한갈래는지하로이어진다.이것은도굴을방지하기위해서땅속의가짜묘실로인도하는일종의속임수이기도하지만그이전에미라를땅속에묻던방식의 잔재이기도 하다.위대한 파라오 쿠푸는 피라미드의 무게중심 속에 숨어있는우주의비밀을알고있었다.그리고자신이죽은뒤바로그무게중심에누워영생하며내세를이어가이집트세계를계속보살필수있었다.

피라미드는 또한 황금비를 내포하고 있다. 피라미드의 꼭지점과 중심, 밑변의한변의중점을연결하면직각삼각형(그림 1.1)을얻는데,이때밑변(BC)과빗변(AC)의 길이의 비가 예로부터 신성한 비 또는 아름다운 비로 알려진 황금비(1.6180)를이룬다.여기서이비의역을생각하면앞에서이야기한빗변의반의 길이 0.618034를 얻는데 이는 높이 0.78615의 제곱에 해당하는 흥미로운 값이다.피라미드에서 이 높이에 2 × 3.14를 곱하면 4.937002가 나오는데 이것은피라미드의밑변의둘레의값과같다.약간의수치상의오차가있는데이는 π값을 3.14라고두고계산했기때문이다.보다정밀한 π값을적용하면그오차는더줄어든다.이것은피라미드의높이는구의반지름에해당하고밑면의둘레는구의가장큰원의둘레를의미한다.

스톤힌지(Stonehenge)는 숫자의 조합. 영국의 셀리즈베리 초원에 남아 있는스톤힌지(기원전 2000년경)는고대문명의천체관측소였다.스톤힌지는여섯겹의 동심원으로 구성되며 그 가운데 초점에 해당되는 지점에 제단이 놓인다.

스톤힌지밖에서는힐스톤(Heel Stone)이라고불리는선돌이일렬로늘어서서직선가로(街路)를형성하고있었다.이직선가로는스톤힌지를가로질러제일안쪽의원에까지이르도록만들어져있었다.이힐스톤가운데현재는스톤힌

6 ◀◀◀

지바깥쪽멀리하나만이남아있다.스톤힌지의중심제단에서힐스톤을바라보면하짓날태양의위치가힐스톤의정점과일치한다.이것은이당시고대인들이 천체의 운행 과정을 정확히 읽고 있었으며 이 스톤힌지는 그러한 천체의운행과정을풀어내는데쓰였던일종의천체컴퓨터였음을의미하는것으로풀이된다.

위와같은내용은스톤힌지를구성하는기하작도의비밀에의해뒷받침되고있다.스톤힌지의원형평면은 4개의정삼각형을중심주위로돌려서얻어진것이었다. 그 결과 스톤힌지 안에는 여러 종류의 12각형과 6각형이 내접하게 된다.이렇게해서스톤힌지의원형평면안에는 3, 4, 6, 12라는네개의숫자가복잡하게어우러지면서질서를형성하게되는데이러한구성요소들은고대문명을이루는중요한의미를지녔다.

원과정삼각형,그리고정사각형은가장완벽한기하형태이다.이가운데에서도특히고대인들은 원을천상의 신인 코엘러스(Coelus)가사용하던상형문자라고믿었다. 12라는숫자는자연과계절의변화를설명해주는가장기본적인숫자이다.또한 6이라는숫자는약수들의합과자신이같아지기때문에고대인들이 완전수(perfect number)라고 믿었던 숫자였다. 이러한 숫자들의 조합으로이루어지는다양한스톤힌지의내부구성은천체의운행과변화를읽어내는고도로발전한컴퓨터였다.예를들면스톤힌지내에있는여러개의삼각형중어떤한삼각형에태양의위치가일치했을때이들은파종을했을것이다.

고대인들은이미태양의궤적을읽어내고자연의흐름을물리적으로추적해내는계산판을땅위에축조해놓았다.나아가스톤힌지의동심원구도는태양계 행성의 궤도, 즉 여신의 눈을 상징하는 천체 지도이다. 이집트인들은 네 개의정삼각형을 52◦(더정확하게 51◦50′)로세워피라미드라는정사각뿔을만들어그무게중심에우주의에너지를모았다.영국의고대인들은네개의정삼각형을평면위에서돌려육각형과십이각형으로구성되는동심원구도를만들어태양의궤적을읽어내고자연의길흉화복을점쳤다.스톤힌지는절기의변화를알려주는달력이자,천지의기운을읽어내는천체관측소였으며고도의복잡한계산을행하는컴퓨터였다.

16세기중반에영국인들은자신들의뿌리찾기작업의일환으로스톤힌지를복원해그속에담긴비밀을밝혀낸적이있었다.이시기는영국에서노르만족

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 7

이지배하던오랜중세봉건문명이끝나면서근세문명이시작되던때였다.당시영국의앵글로색슨족은이같은문명변천에맞추어전제군주문명을새롭게시작하며민족적정체성을찾는범국가적작업을벌이고있었다.제임스 1세는이러한영국부흥운동을앞장서서이끈왕이었다.제임스 1세는건축가들과고고학자들로 하여금 스톤힌지에 담긴 위와 같은 비밀을 밝혀내게 했다.이러한발견으로부터스톤힌지는신에게봉헌된로마시대의신전이라는역사적정의가 내려졌다.이로써 영국의 앵글로 색슨족은 나름대로의 찬란한 고대 문명을일구어낸뛰어난민족임이천명됐다.궁극적으로제임스 1세는자신이그러한앵글로색슨족의법통을이어받은왕임을내세워전제군주로서통치기반을강화할수있었다.

빗물이들지않는원형창. 로마시대의판테온(Pantheon,서기 120년경)은구가지니는완전성을건축적으로활용한대표적인고대건축물이다.스톤힌지는원의이미지를평면적으로해석해천체의움직임을읽어내는도구로활용한반면에 판테온에서는 원의 이미지가 구라는 3차원 구조물로 축조됨으로써 천상의비밀을지상에축조해놓은상징성이확보될수있었다.판테온은범(pan)신전(theon)이라는뜻으로모든신이지상에왕림해쉬어가는장소로지어졌다.이때문에판테온은신가운데가장나이가많은코엘러스가사용하던상형문자인원의형태로지어졌다.판테온의천장정상부에는둥근창이뚫려있다.이둥근창에는 창문이 없는데도 건물 내부로 빗물이 들어오지 않는다.그것은 판테온이완벽한구로만들어져있기때문에기압차이에의해상승기류가발생해빗물을밀어올릴수있기때문이다.우리식의집중호우가없는로마의기후적특성아래에서부슬부슬내리는비정도는구의비밀스런힘에의해서밀쳐올려질수있는것이다.

뿐만아니라판테온에서는위와같은구의형태를지지하는구조골격에 16이라는 숫자가 여러 번 반복돼 쓰이고 있다. 판테온의 골격은 16개의 큰 기둥과16개의 작은 기둥이 교대로 한 쌍씩 반복해 쓰이고 있다. 16은 로마인들에 의해가장완벽한수라믿어졌던숫자였다.로마인들은 10이라는숫자를 6과더불어또하나의완전수로믿었다.그리고이두개의완전수가더해져서얻어지는16을 완전수 가운데에서도 가장 완벽한 숫자로 믿었다.판테온의 원형 천장은

8 ◀◀◀

16개의큰기둥에의해서지지되고있다. 16개의기둥만으로이처럼큰원형천장을받치는것은구조적으로볼때무리다.그러나로마사람들은 16이라는숫자에대한신앙적믿음때문에 16개를초과해기둥을더쓰지는않았다.

그대신에이에따르는구조적무리를릴리빙아치(relieving arch)라는그당시로서는첨단의구조공법으로해결해냈다.릴리빙아치란한마디로기둥에집중되던 천장의 무게를 벽체로 전환시키는 변환체계(transfer system)이었다. 그결과 판테온의 기둥에서는 16이라는 숫자가 잘 지켜졌고,로마 사람들은 이렇게구성되는판테온에정말로모든신이모여드는것으로믿었다.그결과판테온은로마시대의사회통합기능을훌륭히수행해낼수있었다.

1.1.3 미래생물학을지배하는수학적사고

게놈연구결과가계속보고되면서,우리는개별적인생체부품뿐아니라생명체의전체적인윤곽을볼수있게됐다.생물의모든유전정보가체계적으로모이고 정리됐기 때문이다.유전정보에 대한 접근과 기능의 해석이 가능했던 것은생물정보학(bioinformatics)의역할에크게힘입었다.즉유전정보를체계적으로집대성하고,종합적인비교분석이가능하게됐다.이제전산분석시스템이없다면 생명과학의 연구현장에 접근할 수 없다고 말해도 무리가 아니다.컴퓨터는생명과학의공통적이고보편적인연구수단으로발전한것이다. DNA칩의경우를예로들어살펴보자.

고혈압의유전적원인을알기위해다음과같은실험을구상해보자. 10만명의60세이상고혈압환자로부터 DNA를추출하고,이를칩과반응시킨다.또 10만명의 60세이상고혈압이없는환자로부터같은실험을실시한다.

우선 20만개의 시료와 이에 수반되는 다양한 정보들을 다루기 위해서는,단순히데이터를얻는과정그자체에서도컴퓨터가중요한역할을할것이다.그러나컴퓨터의진정한힘은그다음부터발휘된다.이렇게대량의데이터가있을 경우 컴퓨터 기술은 이들이 공통적으로 가지는 성질을 반영하는 모델을 만들수있다.이모델은물론사람이들여다보아서이해할수있는형태는아니다.

즉이모델이만들어졌다고해서우리가고혈압이발생하는역학구조를이해할수있거나,고혈압에관련되는유전자들을정확히집어낼수있는것은아니다.

단지컴퓨터내부에복잡한정보망(네트워크)형태의구조로존재하는것일뿐

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 9

이다.그렇다면도대체이모델이무슨소용이있을것인가?

직접적이고 실용적인 사용처가 있다.고혈압 환자와 그렇지 않은 사람 각기10만명의데이터에대해서별도의모델을만든다.일단두가지모델들이만들어진다음에는어떤알려지지않은시료가어느모델에더잘들어맞는지를컴퓨터가계산해낼수있다.즉일반적인경우아직고혈압과는거리가먼 30대(또는 20대)로부터 DNA를 추출해 모델과 맞추어 보는 작업을 하면,그 사람이 장차고혈압으로고통받게될확률이얼마나되는지를미리알려주어 40대쯤부터는여러가지예방정책을쓸수있게해주는것이다.이처럼사전에질병을예측하는진단법은앞으로커다란시장을형성할것이다.

70년대초반부터서서히태동하기시작한생물정보학은오랫동안별로눈에띄지않는분야로남아오다가최근들어갑자기큰붐을이루고있다.생물체와이들이이루는생물계는다른무생물적인대상에비해훨씬더 ‘정보적’이다.하나의생물체를볼때 DNA 속에담겨진정보에의해서다수의단백질들이만들어지고,이단백질(물론다른종류의생체분자도포함하여)들은그자체의구조에대한정보와함께어떤조건에서무엇이어떤식으로상호작용을할것인가에대한정보를가지게된다.다시다세포생물의세포,조직,기관들사이의상호작용에서시작해,개체사이의상호작용,환경과의상호작용,집단과집단과의상호작용,그리고진화에이르기까지다양한계층의정보를가지게된다.이에수반되는정보의양은실로막대하며,그복잡한정도는인간이지금까지다루어온그어떤것보다크다.이복잡한정보를다룰수있는,현재인간이가진,

도구는당연히컴퓨터다.생물정보학은바로컴퓨터를이용해생명체가가지는정보를처리하고이용할수있도록하는학문분야다.

그렇다면생물정보학은왜최근에각광을받고있을까?인간게놈프로젝트때문이다.애초에사람과몇가지모델동물들의 DNA 염기서열을모두밝히는것이출발점이던인간게놈프로젝트는여러가지파급효과를가져왔다.이가운데하나는다양한방식으로대규모정보를생물체로부터얻는일을수행하려는움직임이다.예를들어생물체가가지는모든단백질에대한 3차구조를인체게놈프로젝트와유사한형태로체계적으로모두얻는일,수백만명에대한개개인의유전적인차이를데이터베이스로만드는일,인간의외모와유전정보와의관계를데이터베이스로만드는일,다양한종류의인간암세포에대한대규모의정

10 ◀◀◀

보를 얻는 일,환경오염물질에 대한 개인별 차이를 대규모 데이터베이스로 만드는일등다양한시도들의목록은계속증가하는추세다.

컴퓨터로 처리할 대량의 정보를 얻기 위해서는 당연히 이를 얻어낼 수 있는도구의발전도따라주어야한다.전자공학,로보틱스,미세기술등의발전이컴퓨터자체의발전과함께이러한추세의또다른원동력이다.전산학적인도구,

그리고이를사용해데이터를대규모로얻어낼수있는로보트화된도구들의사용이앞으로점점생물학연구의일부가될것이다.

이러한급변하는추세는한가지자명한결과를낳는다.즉새로운형태의생물학자를양성하는일이다.수학이나전산학과가장멀리떨어질수있는분야였기에, 생물학 분야는 일종의 수학혐오자들의 도피처였던 면이 있었다. 그런데갑자기수학과전산학이절실하게필요한분야로변한것이다.유전자를하나씩자세하게들여다보는것이주업이었던분야가갑자기정보학적인처리가핵심이되는분야로바뀌어가기때문에생긴일이다.

미국의경우생물정보학분야의전문가를키우기위해흥미로운정책을세우고있다.기존의생물학에싫증을느낀많은수의젊은생물학도들이,이제막발견된 아직 사람이 거의 살지 않는 신대륙인 생물정보학을 향해 절호의 탈출의기회로삼아대거이동을시도하고있다.그러나미국의정책은이를전혀추천하지도,부추기지도않고있다.오히려단념시키려하는것같다.왜그럴까?

‘수학적사고방식’이이미오랫동안두뇌에서떠나있던사람에게다시이를주입하는것보다,이미수학적으로단련된사람에게생물학적지식을가르치는것이 훨씬 효율적이라 판단하기 때문이다.즉 새로운 형태의 생물학은 기존의생물학교육을이미다받은사람에게몇가지새로운기술을습득하게하면되는것이아니라,가능한한어린시절부터사고체계자체를완전히다른형태로쌓아 올라와야만 하는 것이다.앞으로 수학과 전산학으로 무장한 이러한 새로운생물학자들이대거등장하게됐을때생물학분야전체에커다란혼란이일어날지모를일이다.

1.1.4 0이늦게탄생한죄?

2000년을맞으며지난세기와천년을마감하고새로운세기와새로운천년의출발을 축하하는 행사가 각 나라마다 이어졌었다.그런데 2000년은 과연 21세기

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 11

의첫해일까.?그리고새로운천년의첫해일까?

세기(century)는 1백년을 단위로 시대를 구분하는 서수,즉 순서가 있는 수의개념이다. 21세기는 21번째또는제 21세기(the 21th century)를의미한다. 2000년이 21세기의첫해라면, 21세기는 2000년부터 2099년까지, 20세기는 1900년부터1999년까지이다.이렇게거슬러올라가면, 19세기는 1800년부터 1899년까지. . .

2세기는 100년부터 199년까지일 것이다.그러면 1세기는 어떻게 될까?이쯤에서우리는 ‘0년은없다’는난관(?)에봉착한다.그래서 1세기는 1년부터 99년까지라고해야한다.그래서모든세기는 1백년씩인데, 1세기만은 99년에불과하게된다.

그러나사실 1세기는 1년부터 1백년까지다.이는현재사용하고있는태양력의기산점이 0년 1월 1일이아니라서기 1년 1월 1일이기때문이다.그래서 2세기는 101년부터 200년까지, . . . , 20세기는 1901년부터 2000년까지돼야정확하다.

천년(millennium)도 서수의 개념이다. 그래서 새로운 천년, 즉 제 3 천년(the

third millennium)은 2001년부터시작된다.그러나 2000은 1999와매우다른수로보이기 때문에,이것들이 나타내는 연도는 서로 다른 세기와 천년으로 구분하는것이자연스러워보인다.미국정부에서도이런일반대중의정서를무시할수없어서 2000년 1월 1일부터 2001년 1월 1일까지를아예 ‘밀레니엄의해’로지정하고,이를 기념하는 행사들을 열었다. 0년이 있었다면,이런 혼란은 없었을것이라는아쉬움이남는다.

0년이없기때문에발생하는또다른문제가있다.온도의경우,영하 3도에서5도가올라가면영상 2도가된다.수식으로표현하면 (−3) + 5 = 2로당연하다.

그렇지만기원전 3년 1월 1일에태어난사람이만 5세가되는날은서기 2년 1월1일이아니라,서기 3년 1월 1일이다.수식으로표현하면 (−3) + 5 = 3이라는이상한 등식을 얻게 된다. 0년이 없기 때문에 덧셈과 뺄셈을 단순하게 적용할 수없게된예다.

마찬가지로 지하 3층에서 5층을 올라가면 지상 2층이 아니라 지상 3층이 된다.그이유역시 0층이없기때문이다.

1930년에 학계는 대단히 큰 실수를 저질렀다.당시에 시인 베르길리우스(기원전 70∼19,로마의시인,트로이의용사아이네이아스가트로이함락후여러

12 ◀◀◀

나라를유랑하다가로마건국의시조가되기까지의갖가지모험을그린서사시p아이네이아스y의작가)의탄생 2000주년기념행사가한창진행중이었다.그런데 기원전 70년에 태어난 그 시인은 1931년이 되어야 탄생 2000주년이 된다고어떤사람이지적했다. 0년이있었다면이렇게흥이깨지는일은벌어지지않았을텐데!

온도의영상과영하,증가와감소,흑자와적자등과같이서로상반되는양은각각양수와음수로표현되는데,이때의기준은언제나 0이다.이경우에는수학의연산이정확하게적용된다.그러나기산점이 0이아닌층수나연도의경우에는불편한계산을감수해야한다.

사실 ‘0’이라는 수는 매우 늦게 등장했다.이제 겨우 1천3백5십년 정도가 되었으니 말이다(0은 서기 650년에 인도에서 처음 탄생하고 876년에 인도의 대중에게공인되어아라비아인에의해아라비아와유럽으로전파되었다.그러나0의사용은많은저항에부딪쳤고, 1600년경에와서야전유럽에서공인되어널리사용되었지만그때까지도저항은계속되었다).그래서기산점이 0이아니라1이되는경우가많다.우리는태어나자마자한살이다. 0은 1보다작지만,컴퓨터자판에서는 1부터시작해서 9까지의자연수가순서대로나타난뒤에 0이등장한다.이러한것들이모두 ‘0’의뒤늦은출발때문일까?.

1.1.5 구구(99)절은무엇의끝일까?

요즈음젊은이들사이에구구절(다른것과관련된이야기는생각하지말자.우리는수학을생각하고있으니까)이라는것이유행한다고한다.이는 9월 9일을일컫는말로끝낸다는것을뜻한다.두이성친구중에여자친구가남자친구에게말한다. “우리 9월 9일에끝내자.” 남자가화들짝놀라서묻는다. “무엇을끝내?”여자가말한다. “바보,그것도모르니? 9월 9일은우리의우정을끝내고사랑을시작하는날이란말이야.”남자는피식이웃는다.좋아서이겠지!그럼 99절은왜끝내는날일까?이는 99의수학적의미를모르고서는결코알수없다.

1999년에 ‘99버그’라는 용어가 종종 등장했다.컴퓨터에 ‘99’를 입력하면 프로그램작동이정지하거나오류가발생하는경우를말한다.일부프로그래머들이 숫자 ‘99’를 연도가 아닌 ‘데이터 입력 종료’ 등 특수 작업 수행을 명령하는신호로활용하던관행때문에빚어지는오류다.

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 13

이런 관행은 어떻게 생겼을까?수 99는 두 자리 수 중에서 가장 크기 때문에종료를의미할수있다.그렇다고해서어떤특수한숫자,그것도그렇게크지않은수 ‘99’의입력으로프로그램작동의정지를명령한다는발상이쉽게납득되지않는다.여기에는또다른이유가있는것으로보인다.

사실 99라는 수는 매우 특이한 상황에서 나타났다.기독교에서 기도문의 마지막에는 ‘아멘(amen)’이나타난다.그런데일부기독교문헌에서는아멘대신에 ‘99’라는수가나타나는경우가있다.

이유는다음과같다.고대그리스에서는알파벳을숫자로사용했다.각문자에수를할당하고(예를들어, α = 1, β = 2, γ = 3, ι = 10, λ = 30, · · ·등)이것들을병렬로나열해서수를나타냈다.예를들면다음과같다.

ιγ = 13, λα = 31, ψµβ = 742

그래서각단어는그에대응하는수를나타낼수도있었다.아멘을그리스어로나타내면 αµην인데,각문자에대응하는수로나타내어더하면다음과같다.

α + µ + η + ν = 1 + 40 + 8 + 50 = 99

이것이바로수 99가아멘대신에나타나는이유이다.아멘은기도문의끝을나타내는 방법이고 이런 수단으로 수 99가 쓰였다면, 99는 ‘데이터 입력 종료’를나타내는명령으로사용될만한충분한근거가있지않았을까?

1.1.6 종이의미학

세계 4대발명품(종이,화약,나침반,인쇄술)중의하나인종이에도수학이숨어있다.가장대표적인 A4용지는복사용지를포함해각종서류와인쇄물등에가장많이사용되고있는용지이다. A4용지의규격은 297mm × 210mm이다.단순하게 300mm × 200mm로정하면훨씬편했을텐데왜이렇게복잡한수치가쓰였을까?게다가 A4용지는우리눈에가장아름답게보인다는황금비를이루지도않는다.황금비는 1 +

√5

2; 1.618인반면, A4용지의폭에대한길이의비

는약 1.414이다.

일상생활에서사용되는종이는제지소에서만든큰규격의전지를절반으로자르고또다시절반으로자르는과정을반복하면서만들어진다.그런데이렇게절반으로자르다보면,원래의규격과다른모양이될수있다.

14 ◀◀◀

예를들어 300mm×200mm와같이폭에대한길이의비가 1.5인종이를절반으로자르면, 200mm × 150mm크기로만들어지고이때의비는 1.333(즉, 4

3 )이다. 1.333의비를가진직사각형은 1.5의비를가진처음종이에비해뭉툭해보인다.이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어보기좋은형태로만들어야한다.그렇게되면아까운종이와펄프를낭비하게된다.

독일공업규격위원회(Deutsche Industrie Normen)는큰종이를잘라서작은종이를만드는과정에서낭비를최소로줄일수있는종이의형태와크기를제안했다.적절한규격을선택했을때,타자지의절반을그대로편지지로사용하고편지지의 절반을 그대로 메모지로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이라고여겼다.이렇게해서등장한것이 A4용지다.

절반으로자르는과정에서만들어지는종이를그대로사용하기위해서는어떻게 해야 할까?우선 전지의 규격이 보기 좋아야 하고,이를 절반으로 자르고또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다.수학적으로말하면서로닮은꼴이어야한다는얘기다.

전지의 길이 대 폭의 비를 x : 1이라고 하자. 그러면 이것을 절반으로 자른종이의 길이 대 폭의 비는 1 :

x

2이다. 두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례

식 x : 1 = 1 :x

2가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 x2 = 2를 얻는다. 그래서

x =√

2이다.이렇게전지의폭에대한길이의비를√

2로택하면,반으로자르는과정에서이비가항상유지된다.

√2는황금비는아니지만눈으로보아서그

렇게큰차이가나지않는다.이렇게도형의닮은꼴,비례식,이차방정식,무리수등의수학적개념이실생활에유용한종이의재단에이용된다.

앞에서 A4용지의폭에대한길이의비는약 1.414였다.눈치챘겠지만,이값은실제로

√2를가리킨다.단지제조과정에서편의를위해근사값을택했을뿐

이다. 그런데 왜 297mm × 210mm일까? A4 용지의 전지를 A0이라고 하는데,

A0의규격은 1189mm×841mm이다.더복잡한수치다.그런데 A0용지의넓이를계산해보면 999949mm2임을알수있다.이는 1000000mm2,즉 1m2의근사값이다. A0은폭에대한길이의비가

√2이고넓이는 1m2가되도록만든종이이

다.이를절반으로자르는과정에서 A1, A2, A3, A4등의 ‘에이(A)판’ 용지가만들어진다.

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 15

B4와 B5 용지도 많이 사용된다. 이런 종이도 A판과 같은 원리로 만들어진다. 전지 B0의 폭에 대한 길이의 비는

√2이고 넓이는 1.5m2가 되도록 규격을

1456mm× 1030mm로정했다.이를절반으로자르는과정에서 B1, B2, B3, B4,

B5등의 ‘비(B)판’이만들어진다.

A판과 B판의모든용지가서로닮은꼴(A0과 B0의닮음비는√

1.5)이기때문에,적절한비율로확대하거나축소해서다른용지에복사할수있는또다른이점이있다. A판과 B판의폭에대한길이의비는우리눈에가장아름답게보인다는 황금비는 아니다.그렇다고 주변에서 황금비를 이루는 종이나 책을 찾아보기 쉬운 것도 아니다.실제로 황금비를 이루는 직사각형을 그려보면 이것이매우길다는느낌을갖게될것이다. ‘수학적으로’ 만들어진종이인 A판과 B판이현대적황금비가아닐까?

1.1.7 생활속의패라볼라

패라볼라는우리주변에서늘볼수있다.자동차의전조등은평면의패라볼라를 축을 중심으로 회전하여 얻어지는 모양이다.초점에 위치한 전구로부터 발사되는모든빛은패라볼라의축에평행하게반사된다.즉,지면과평행이된다.

패라볼라 반사기는 통신기기, 전자 탐지 시스템, 레이다 시스템과 망원경에서도 볼 수 있다. 레이다에서는 전자파 빔이 목표물을 맞고 되돌아 오면, 이것을신호처리하기위해패라볼라반사기는반사된빔을모아서집중시킨다.이것은패라볼라 반사기가 되돌아오는 신호들을 초점으로 반사시키기 때문에 가능하다.패라볼라의 이러한 성질을 이용하여 미약한 전파를 잘 탐지하는 안테나를제작할수있다.가정용으로제작된이작은안테나는흔히접시안테나라불리는것으로제대로된명칭은 ‘패라볼라안테나’이다.이패라볼라안테나만으로도먼나라의방송을생생하게수신할수있는위력을가지고있다.그런데 ‘패라볼라’(parabola)는수학에서 ‘포물선’을의미한다.전파를탐지하는안테나와수학의포물선사이에는어떤관계가있을까?

포물선을 이용하는 현수교. 중학교 수학에서 2차함수를 배울 때, 2차함수 그래프와같은모양의곡선을포물선이라고부른다.포물선은공중으로비스듬히던져올려진물체나,대포로공중을향해쏜포탄이땅에떨어질때지나는경로

16 ◀◀◀

에서도찾아볼수있다.이런경우에는중력만작용하는것으로가정한다.사실자유낙하하는물체의낙하거리를구하는그유명한공식 y = 1

2gt2(g는중력가속도, t는초)도 2차함수꼴이다.

다리중에는양쪽에거대한주탑을세운후줄을이용해연결한현수교가있다.한국의남해대교,미국샌프란시스코의금문교(golden bridge)등이그예이다.재질이 균일한 줄의 양끝을 같은 높이의 두 위치에 고정시켰을 때,그 사이에서줄이쳐진모양과같은곡선을현수선이라고한다.이말에서현수교라는이름이나왔을것이다.

현수선

y = a coshx

a=

a

2(e

xa + e−

xa

)

은포물선과그모양이매우비슷하다.공중으로비스듬히던져올린물체가그리는 경로가 포물선이라는 사실을 밝혔던 수학자이자 과학자였던 갈릴레이도현수선을포물선이라고믿었을정도다.

그런데현수선모양으로처진줄에일정한간격으로하중을주면,포물선모양으로바뀐다.현수교의경우에도중심줄에일정한간격으로짧은줄을아래위로설치한상태에서하중을주고있으므로,중심줄은포물선인셈이다.그렇다면현수교는 ‘포물교’라고불러야정확하지않을까?

빛을모으는거울. 2차함수그래프라고알려져있는포물선은원래기하학적인방법으로도입됐다.평면에서고정된점 F (초점)와이를지나지않는고정된직선 `(준선)에이르는거리가같은점 P 전체의집합이바로포물선이다.그리고초점을지나고준선에수직인직선을포물선의축이라고한다.

포물선의특징은축과평행인직선이포물선과만나는점에서입사각과반사각이 서로 같도록 꺾이면 초점을 지난다는 사실이다.따라서 포물선을 거울로생각하면축과평행하게들어온모든빛은거울에반사돼초점에모인다.

축을 중심으로 포물선을 회전시켜 얻은 면을 포물면이라 하고,반사면이 포물면으로돼있는오목거울을포물면거울이라고한다.포물면도포물선의특징을가지므로,포물면거울의축에평행하게들어온모든빛은초점에모인다.

아르키메데스가이를이용해로마와의전쟁에서포물면거울로태양광선을집중시켜가까이접근한배에불을질렀다는이야기가있다.

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 17

천체망원경의 원리 역시 포물면 거울과 같다.포물면으로 연마된 유리에 알루미늄을코팅하여포물면거울을만든다.어두운별빛은포물면에반사되어초점에밝은상을맺는데이러한형태의망원경을반사망원경이라고한다. (포물면 거울 대신 볼록렌즈를 이용해서 빛을 모으는 방식은 굴절 망원경이라고 한다.)

아르키메데스가이용한원리와는반대로,포물면거울의초점에광원을놓으면불빛은포물면에반사돼축과평행인방향으로직진한다.이런원리가먼곳에 있는 목적물을 비치기 위한 탐조등과 자동차의 전조등에 이용된다.전조등의반사경은포물면거울이다.전구를초점의위치에놓으면빛은축과평행인방향으로 먼 곳까지 비춘다.이를 원등(상향등, high beam)이라고 한다.그런데평소에는마주오는차에눈부심을주지않기위해서근등(하향등, low beam)을이용한다.이것은단순히전구를초점으로부터벗어난위치로옮기면된다.이렇게하면빛은위와아래로향한다.이때위로향하는빛을차단해아래쪽으로진행하는빛만보내므로짧은거리만을비춘다.

소리를모으는포물면(패라볼라)반사기(집음기). 음성파는두개의포물면(패라볼라)반사기(집음기)를이용하면효과적으로전달할수있다.포물면집음기는멀리서온작은소리(음파)를한곳에모아증폭시킨다.즉,들리지않는작은소리도포물면안테나를이용해한점(포물면의초점)에모으면크게들리는것이다.이것을잘이용한것중의하나를샌프란시스코의탐험관(Exploratorium)에서볼수있다. (한국에서는강원도영월의별마로천문대에서볼수있다.)샌프란시스코모델에서는반사기는각각반지름이 2.4m이고 15m떨어진곳에서서로마주보고있다.어떤사람이하나의반사기의초점에서속삭이면다른반사기의초점에서있는사람은그소리를분명하게들을수있다.이러한현상이나타나는 건물이 하나 있는데 미국의 국회의사당이다.이 건물에는 한때 하원의회의장소로쓰였던조각홀(Statuary Hall)이있다.이방에서매우신기한사실이 발견됐다.이 방의 어떤 특정한 위치에 있으면,방 반대편의 어떤 특정한 지점에서이뤄지는대화를바로옆에서듣듯이매우또렷하게들을수있다.중간에있는사람들의대화는들을수없으며그들의대화가아무리크더라도반대편에서 이뤄지는 대화의 전달을 방해하지 않는다.특정한 위치들은 바로 포물

18 ◀◀◀

면의초점에해당하는두지점이었다.이방의특별한구조때문에양편이포물면의형태로돼있었고,한쪽의초점부근에있으면,반대편초점에서이뤄지는대화를또렷하게들을수있었던것이다.이구조는우연히만들어졌을것이고,

그들은 그것을 의식하지 않았을 수도 있지만 비밀이 누설되어 불행한 일이 벌어졌던때가있었을수도있었으리라. (저자는직접방문하여확인해보았다.)

패라볼라안테나는전파의수신만이아니라송신에도쓰이는장치인데,이것도포물면거울의형태를띠고있다.포물면의초점에서방출된전파는축과평행인 방향으로 진행하고,포물면의 축과 평행하게 접근한 전파는 포물면에 반사돼 초점에 모인다.따라서 패라볼라 안테나는 전파를 일정한 방향으로 집중시켜송수신할수있으며,마이크로파중계나위성방송의수신등에쓰인다.

1.1.8 체감온도와불쾌지수

수학은 기호의 학문이라는 말이 있다.숫자(0, 1, 2, · · · , 9)와 미지수를 나타내는문자(x, y, z, · · ·), 그리고 기지수를 나타내는 문자(a, b, c, · · ·), 여기에 이것들을연결하는기호(+,−,×,÷,=, <, >, · · ·)들이있으니말이다.또특수한용도로이용되는수많은기호도빠뜨릴수없다(예를들어4, {},∈,⊂,∩,∪,∞, lim,

∑,∫

,

π, e, · · ·).수학의문장은이런기호들을결합시킨 ‘식’으로표현된다.그래서수학은자

연언어와매우다른특별한언어다.이런언어를배우기위해서는많은노력과긴시간이필요하다.분명히수학은많은사람들의불만과원성을들을만하고,

두려움과공포의대상이되기에충분하다.

그렇지만 이런 기호 때문에 수학은 일상 언어로 표현하면 매우 길고 모호할수있는내용을매우간단한형태로명백하고정확하게나타낼수있다.수학이외의다른분야에서발견된결과와법칙들을수학적인식으로표현하는이유가바로여기있다.수학은 ‘과학의언어’라는말도있지않은가!

일상생활에서자주접할수있는많은수치계산에도수학적인식이이용된다.그 중 겨울철에 자주 접할 수 있는 것으로 체감온도가 있다.체감온도는 기온,풍속,습도등에따라신체가느끼는온도다.

바람이세찰수록낮아지는체감온도. 겨울철에는바람때문에더욱춥게느껴

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 19

지는 경우가 많다.같은 온도에서도 바람이 세차게 불수록 체감온도가 낮아지기때문이다.풍속을고려해서체감온도를구하는한가지방법을알아보자.온도가 t(◦C)이고풍속이 v(m/초)일때체감온도 T (◦C)를구할수있다.이때 T를풍랭지수(wind-chill index)라고하는데구하는식은다음과같다.

T = 33− (10.45 + 10√

v − v)(33− t)

이 공식은 풍속이 초속 1.79m(빠르게 걷는 속도)와 초속 20m(시속 72km)

사이일 때 사용되며, 피부의 온도를 33◦C로 가정하고 있다. 예를 들면 온도가0◦C이고 풍속이 초속 5m(시속 18km), 초속 10m(시속 36km), 초속 15m(시속54km)일때의체감온도는각각 −8.6◦C,−15◦C,−18◦C이다.

한겨울에 기온이 영하 12◦C이고 풍속이 시속 30km이면 이때의 체감온도는약영하 31◦C가된다.겨울바람을매섭게느끼는이유가여기에있다.

온도와 습도로 구하는 불쾌지수(discomfort index). 체감 온도가 주로 겨울에사용된다면여름철에자주등장하는용어는불쾌지수다.불쾌지수 D는건습구습도계에서 건구 온도(통상적인 온도) d◦F와 습구 온도 w◦F를 다음과 같은 공식으로구한화씨온도로식D = 15 + 0.4(d + w)로주어진다.이때화씨온도 F

와섭씨온도 C사이의관계는 F = C + 32이다.불쾌지수가 70이하일때,즉식에서구한화씨온도가 70◦F이하일때,대부분의사람들은매우쾌적하게느낀다.그리고 70이상이면약 10%, 75이상이면약 50%, 80이상이면대부분의사람이불쾌감을느낀다고한다.

미국에서는불쾌지수를발표함으로써불쾌감을더욱조장한다고해서,이를온습 지수(temperature-humidity index, THI)라는 말로 바꾸었다. 우리가 일상적으로 사용하는 섭씨 온도를 기준으로 보면 건구 온도가 a◦C이고 습구 온도가b◦C일때,불쾌지수D는D = 40.6 + 0.72(a + b)로나타난다.예를들어건구온도가 18◦C이고 습구 온도가 15◦C인 건조한 날씨에서는 불쾌지수가 약 64정도로 불쾌감을 찾아보기 힘들다.오히려 너무 건조해 정전기가 자주 발생하는데따른괴로움을느끼게된다.

1.1.9 피타고라스의음정이론

아름다운선율을자랑하는음악과딱딱한(?) 수학은전혀어울리지않을것같

20 ◀◀◀

아보인다.그러나수학자는음악의역사첫장부터등장하며수학없이는음악이론을전개할수없다.

‘수는만물을지배한다’고주장했던피타고라스는음정이 ‘수’의지배를받는다는사실을발견했다.음정은동시에울리거나연이어울리는두음의높이의간격인데,일반적으로 ‘도’를단위로해서음계에서똑같은단계에있는두음의음정을 1도,한단계떨어져있는두음의음정을 2도라한다.간격이한단계씩넓어짐에따라 3도, 4도라하는데, 8도를 1옥타브라고부른다.

피타고라스는장력과재질이서로같은두현을퉁겼을때나오는두음은길이의비가 2 : 1이면 8도, 3 : 2이면 5도, 4 : 3이면 4도씩음정이난다는사실을발견했다.그리고 현의 길이가 이렇게 간단한 정수의 비로 표현될수록 어울리는소리가나고,복잡할수록어울리지않는다는사실도발견했다.실제로 1도, 4도,

5도, 8도음정만을완전어울림음정이라고한다.이렇게피타고라스의음정이론은서양음악이론의출발점이되면서음악과수학은밀접한관계를맺었다.

피타고라스의 음정 이론에 따라 음계를 정하는 방법을 순정률(또는 순정조,

pure temperament)이라고한다.현을퉁겼을때,현의길이가짧을수록진동수는커지고,현의진동수가클수록높은음이나온다.즉음의높이는현의길이에반비례하고진동수에비례한다.순정률에따른 C장조음계에서각음에대응하는진동수와인접한진동수사이의비를보면음정의합과진동수비의곱이멋지게대응한다는사실을발견할수있다.예를들어 5도음정과 4도음정의경우는다음과같다.

음정의합 : 5도 + 4도→ 8도진동수의비의곱 :

32× 4

3=

21

이와같이덧셈과곱셈사이의관계가성립하기때문에,곱셈을덧셈으로바꾸는로그가이런맥락에서이용된다.

순정률은음정을정수의비로간단하게나타내고이에따라완벽한화음을보장한다.그렇지만순정률에서는음정이일정하지않다.똑같은 2도음정이라도진동수의비가각각 9 : 8, 10 : 9, 16 : 15로다르기때문이다.거의비슷한처음두가지를각각온음이라하고,훨씬작은마지막경우를반음이라고한다.그런데순정률에서는두반음의합이온음이되지않는다는결정적인약점이있다.

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 21

즉반음에대응하는진동수의비인 1615을두번곱하면 16

15× 16

15; 1.138로온음

에 대응하는 진동수의 비 98

; 0.125 또는 109

; 1.111보다 커진다.그래서 C장조를 D장조로 조바꿈을 할 경우 D와 E의 첫째 음정은 진동수의 비가 원래의9 : 8이아니라 10 : 9가되는데,이경우에는차이점을거의알수없다.그렇지만다음음정은온음이기때문에 E와 F 사이의반음과 F와 F#사이의반음을더해야하는데,음계에이런음정은없다.이런문제점은곡이진행될수록더욱커진다.

순정률은순수하고완벽한화음을지녔기때문에,음높이를자유롭게바꿀수있는 무반주 합창(아카펠라)이나 현악기의 합주 등에서는 그 화성적 아름다움이살아나지만,음높이를고정시킨악기(피아노,관악기등)에서는온음의폭이고르지않고조바꿈이곤란하다는등의문제점이있다.

순정률의문제점을보완한방법으로현재는건반악기를중심으로해서 1옥타브를반음씩 12등분한평균율(equal temperament)이일반적으로쓰이고있다.

반음씩의 등분은 이에 대응하는 진동수의 비를 일정하게 정한다는 말과 같다.

즉다음이성립해야한다(각문자는그음에대응하는진동수를나타낸다).

C#

C=

D

C#=

D#

D=

E

D#=

F

E=

F#

F=

G

F#=

G#

G=

A

G#=

A#

A=

B

A#=

C ′

B,

C#

C× D

C#× D#

D× E

D#× · · · × A#

A× B

A#× C ′

B=

C ′

C=

(C#

C

)12

= 2.

이에따라각반음에대응하는진동수의비를 12√

2 ; 1.0595로정해야한다.

(무리수가 이곳에도 등장하는데, 이런 비는 수학자 메르센느(Marin Mersenne,

1588-1648)가처음으로제시했다.)그러므로평균율에서음정은반음씩증가하는 등차수열을 이루고, 이에 대응하는 진동수는 일정한 비율 12

√2로 증가해서

1옥타브올라가면 2배가되는등비수열을이룬다.

평균율은복잡한무리수의비를이용하지만정수의비를이용하는순정률에서많이벗어나지는않는다.예를들면 5개의반음으로이루어지는 4도음정과7개의반음으로이루어지는 5도음정에대응하는진동수의비를순정률과평균율에서비교해보면다음과같다.

22 ◀◀◀

음정율 순정률 평균율4도 4

3; 1.3333

(12√

2)5 ; 1.3348

5도 32

= 1.5(

12√

2)7

= 1.4983

평균율에서유일한순음정(pure inteval)은 1옥타브뿐이며어울림음정과안어울림음정이건반위에서는동일한음정으로되는모순이있다.그러나평균율은모든장조와단조가연주가능한실용적음계를이루며,자유로운조바꿈과조옮김은물론자유로운화음진행을원활하게한다는장점이있다.

1.1.10 로그–지진,소음,산성도측정에사용

고등학교에서배우는여러가지종류의함수중에로그함수가있다.계산도구로서로그의힘은곱셈과나눗셈을좀더손쉬운연산인덧셈과뺄셈으로바꿀수있다는데있다.

loga MN = loga M + loga N

loga

M

N= loga M − loga N

그래서 17세기 초 로그가 처음 등장했을 때 로그는 유럽 전체에서 열광적인환영을 받았다.특히 많은 계산을 해야하는 천문학에서는 로그의 탄생만을 기다렸다고 해도 과언이 아니다. “로그는 천문학의 작업량을 줄임으로써 천문학자의수명을두배로만들었다”는말을들을정도였으니어느정도인지짐작이간다.

컴퓨터의 출현으로 계산 도구로서 로그의 가치는 많이 줄었다.하지만 함수로서의위치는계속고수하고있다.로그는물리적양을매우간편하게표현하는강점이있기때문에일상생활에서접할수있는몇가지수치를나타내는편리한도구로이용된다.예를들어지진의크기를정하는리히터규모,소리의세기를나타내는데시벨(dB),산성과염기성을알려주는수소이온농도(pH)가그것이다.

진도(리히터 규모) 1차이는 에너지 32배. 우리나라는 물론 세계 각지에서 발생하는 지진의 소식을 접할 때 꼭 따라붙는 용어가 있다.그것은 바로 ‘리히터규모’라는말이다.물론리히터규모말고도 ‘진도’라는표현을쓰기도한다.

1.1 생활속의수학 ▶▶▶ 23

‘진도’는지진에대한인간의반응과지진에의한피해의정도를기준으로지진의크기를정한오래된척도다.진도를나타내는방법은여러가지가있는데,

우리나라에서이용하는 ‘일본기상청진도계급’은 0부터 7까지 8등급으로나눠져 있다.예를 들어 진도 2는 창문이 약간 흔들리는 정도를,진도 3은 유리창이가볍게흔들리거나찻잔이약간덜그럭거릴정도의지진을말한다.

그런데진도는각지점에서지진의세기를나타내기때문에똑같은지진이라도지역에따라다르다.따라서지진을분류할때는지진자체의크기를어떤척도에따라정량적으로나타낼필요가있다.이를위해현재보편적으로이용하는방법이 1935년리히터(Lichter)가개발한척도인 ‘규모’(magnitude)다.지진의규모는진원지에서 1백km떨어진지점에서지진계로측정한지진파의최대진폭에따라결정되는데,지진파의최대진폭은지진에따라대단히큰차이를보인다.이런차이를알기쉽게축소해나타낸것이로그다.지진파의최대진폭이A마이크론(1마이크론=1천분의 1mm)인지진의규모M은상용로그를이용해M log10 A(= M log A)으로정한다.

그러므로지진의최대진폭이 10배씩커질때마다지진의규모는 1.0씩증가한다(log 1 = 0, log 10 = 1, log 102 = 2, · · · , log 10n = n). 그리고 지진의 규모(M )와지진에의해발생하는에너지(E)사이에는 log E = 11.8 + 1.5M이라는 관계가 성립한다.지진 규모의 값이 1증가하면 에너지는 약 32배로 증가한다는것을의미한다.

101.5 ; 31.6227 ; 32

자동차내부소음은표준음의 1억배. 얼마전부터도심의전광판에는소음공해의심각성을보여주기위해 ‘80데시벨(dB)’ 또는 ‘100dB’과같은수치가등장했다. ‘데시벨(dB)’은소리의세기를표준음의세기와비교해서나타낸다.표준음(진동수 1천Hz)은정상적인청각을지닌사람이겨우들을수있는소리로그세기는 1m2 면적당약 10 ∼ 12W의에너지를나타낸다(10 ∼ 12W/m2).표준음의세기를 I0이라하고어떤소리의세기를 I라고할때,이소리의세기를데시벨로환산한수치 L은상용로그를이용해서구한다(L = 10 log

I

I0).

일반적으로 대화를 나눌 경우가 60dB이고, 조용한 방은 30dB정도가 된다.

자동차 내부에서 느끼는 소음의 정도인 80dB의 소리는 표준음의 세기의 1억

24 ◀◀◀

배(108)이고,전기톱소리를나타내는 100dB의소리는 1백억배를의미한다.이소리들이얼마나큰소음인지짐작할수있다.

산성,염기성알려주는수소이온농도, pH. 대기오염의결과로산성비가내리고,토양이산성화되고있다는소식을종종듣는데이때 ‘pH4.5’, ‘pH5.2’와같은수치를 접하게 된다.또 비누 선전에도 pH가 등장한다.이런 수치는 용액 속의수소이온농도를측정해서얻는다.그런데수소이온농도는용액에따라대단히큰차이를보이기때문에,이를상용로그를이용해서수소이온지수(pH)로바꾸어 0부터 14까지의수로나타낸다. 1L의용액속에있는수소이온의그램이온수를 나타내는 수소이온농도 [H+]를 pH로 바꾸는 공식은 pH = − log [H+]이다.수용액중에수소이온이 1.0 × 10−7g 있다면이때의 pH는 7이다. pH가 7인용액은중성, 7보다작으면산성, 7보다크면염기성이다.