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Válter Lúcio Maio 2006 1
ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL
11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I
11 11 –– ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À ESTADO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAFLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
PROGRAMAPROGRAMA1.Introdução ao betão armado2.Bases de Projecto e Acções3.Propriedades dos materiais: betão e aço4.Durabilidade5.Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6.Estado limite último de resistência à flexão simples7.Estado limite último de resistência ao esforço transverso8.Disposições construtivas relativas a vigas9.Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.11.Estados limite últimos de resistência Estados limite últimos de resistência à flexão composta com esforço normal e à flexão desviadaà flexão composta com esforço normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção
Ponte sobre o Rio Sabor
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
ÍNDICEÍNDICE1. Flexão composta com compressão
A. Hipóteses baseB. ÁbacosC. Método simplificado
2. Flexão desviadaA. ÁbacosB. Método simplificado
3. Paredes resistentes
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
A. HIPÓTESES BASE :i. As secções planas mantêm-se planas após a deformação por flexão, isto é,
desprezam-se as deformações por corte da viga;ii. Existe compatibilidade entre as deformações das armaduras e do betão, ou
seja, a armadura é aderente ao betão, não existindo escorregamento entre a armadura e o betão que a envolve;
iii. Betão• A resistência do betão em tracção é desprezada.• A relação tensão-deformação em compressão é
parabólica até εc2 = 2x10-3 e é constante até à extensão máxima εcu2 = 3.5x10-3
• Quando a secção se encontra totalmente comprimida, a extensão média deve ser limitada a εc2
iv. AçoPara cálculo, pode admitir-se uma das seguintes relações tensão-deformação:1- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo inclinado com extensão limite de εud=0.9εuk;2- comportamento elástico até (fyd, εyd), ramo horizontal sem extensão limite.
1. FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO1. FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO
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ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO I fctfct -- UNLUNL
11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
2. MODELO - Para a relação tensão-deformação 2 do aço (elásto-plástico).
CASO 1 - Flexão composta com tracção elevada – toda a secção está traccionada
b
d
As
hMA’s
N
a
a σs = fyd
σ
σ’s
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Fs = As fyd
NRd = Fs + F’sMRd + NRd (0.5h-a)= Fs · (h-2a)
Seja ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd
F’s = A’s σ’s
MRd = 2As fyd · (0.5h-a) - NRd (0.5h-a)
εs≥εyd
ε
ε’s
εc≥ 0
β = A’s/As= 1.0
μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h
μ = (ωtotal - ν ) λ ou ωtotal = μ / λ + ν
Considere-se
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
CASO 2 - Flexão composta com compressão reduzida
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Fs = As fyd
NRd = Fc + F’s + Fs
MRd + NRd (0.5h-a) = Fs · (h-2a) -- Fc · (a-0.4x)
com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd
F’s = A’s σ’s
μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h
μ = ωtotal λ - ν λ + 0.8 (x/h) (0.5 - λ – 0.4 x/h)
ou ν = -0.8 (x/h) + ω (1 + σ’s/fyd)
b
d
As
hMA’s
N
a
a εs≥εyd
ε
ε’s
−εc ≤ -εcu2 = 3.5x10-3
x
σs = fyd
σ
σ’s
σc = fcd
0.8 xFc = -0.8x b fcd
Fs
F’s
Fc
MRd = 2As fyd · (0.5h-a) - NRd (0.5h-a) + 0.8x b fcd · (a-0.4x) da 1ª eq.:
NRd = -0.8x b fcd + A’s σ’s + As fydda 2ª eq.:
EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADExxdcs ε
=−ε
xax' cs ε
=−
ε
Para o caso particular de σ’s = - fyd: ν = -0.8 (x/h) μ = ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)ou ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λ
Considere-se como limite: εs = εyd , resultando da 1ª eq. de compatibilidade: x/h ≤ (1-a/h) · 3.5 / (3.5 + εydx103)
Para a/h = 0.1: ν ≤ -0.48 para A400 e ν ≤ -0.44 para A500
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
CASO 3 - Flexão composta com compressão elevada
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
F’s = - A’s fyd
NRd = Fc + F’s + Fs
MRd - NRd (0.5h-a) = - F’s · (h-2a) - Fc · (h - 0.4x - a)
Fs = As σs
b
d
As
hMA’s
N
a
a
Fc = - 0.8xb fcd
MRd = 2 A’s fyd · (0.5h-a) + NRd (0.5h-a) + 0.8xb fcd · (h - 0.4x - a)
com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h
μ = ωtotal λ + ν λ + 0.8 x/h (1 + λ - 0.4x/h)
Para o caso particular de εs = 0:
-ε’s≥ εsd
εs < εsd
-εc = -εcu2 = 3.5x10-3
ε
xσ’s = fyd
σ
σs < fyd
σc = fcd
Fs
F’s
Fc
0.8x
NRd = Fc + F’s NRd = -0.8xb fcd - A’s fyd
ν = - 0.8x/h - 0.5 ωtotal 0.8x/h = - ν - 0.5 ωtotal
logo: μ = 0.5 ωtotal (λ - 1 - ν - 0.25 ωtotal) - ν (1 + 0.5ν)
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
CASO 4 - Flexão composta com compressão elevada e pequena excentricidade
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
F’s ≈ - A’s fyd
NRd = Fc + F’s + Fs
MRd - NRd (0.5h-a) = - F’s · (h-2a) - Fc · (0.5h-a) Fs = As σs
σ’s = fyd
σσs
σc = fcd
Fc = - bh fcd
Fs
F’sFc
b
d
As
hMA’s
N
a
a
-ε’s≥ 2x10-3
εs< 0
2x10-3 = -εc2 ≤-εc ≤ -εcu2 = 3.5x10-3
εεc2 = -2x10-3
-ε’s≥ εyd
εs
εc
ε
MRd = 2 A’s fyd · (0.5h-a) + NRd (0.5h-a) + bh fcd · (0.5h-a)
com ωtotal = (As+ A’s)fyd / bhfcd μ = MRd/ bh2fcd e ν = NRd/ bhfcd λ = (0.5h-a)/h
μ = ωtotal λ + ν λ + λ
A deformação média no betão não pode exceder εc2= 2x10-3
μ = (ωtotal + 1 + ν) λou seja ou ωtotal = μ/λ - (1 + ν)
Para o caso particular de compressão simples → MEd = 0, i.e., μ = 0 :
Para o A400NR ωtotal = - (1 + ν) Para o A500NR ωtotal = - (1 + ν) · fyd/400
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
b
d
As
hMA’s
N
a
a
β = A’s/As= 1.0
FLEXÃO COMPOSTA COM COMPRESSÃO
a = 0.1 h
μ = MRd/ bh2fcd
ν = NRd/ bhfcd
ω = (As+ A’s)fyd / bhfcd
A400NRCOMPRESSÃO
TRACÇÃO
B. ÁBACOS
-2.0
-1.8
-1.5
-1.3
-1.0
-0.8
-0.5
-0.3
0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
μ
ν
CASO 2εs > ε yd
CASO 3εs ≤ ε yd
CASO 4 - secção toda comprimida
εs = ε yd
CASO 1 - secção toda traccionada
ω =
0.0
ω =
0.50.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
ω =
1.0
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
-2.0
-1.8
-1.5
-1.3
-1.0
-0.8
-0.5
-0.3
0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
μ
ν
ω =
0.0
ω =
0.50.1
0.2
0.3
0.4
0.6
0.7
0.8
0.9
ω =
1.0
B. MÉTODO APROXIMADO
a = 0.1 h
A400NR
β = A’s/As= 1.0
μ = MRd/ bh2fcd
ν = NRd/ bhfcd
ω = (As+ A’s)fyd / bhfcd
TRACÇÃO ν ≥ 0
μ = (ωtotal – ν ) λ ωtotal = μ / λ + ν
COMPRESSÃO MODERADA 0 ≥ ν ≥ - 0.45μ = ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)
ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λ
TRANSIÇÃO - 0.45 ≥ ν ≥ - 0.7μ = β ωtotal λ - 0.5 ν (1 + ν)
ωtotal = [μ + 0.5 ν (1 + ν)] / λβ
β = 1.5 ν2 + 2.4 ν + 1.8
COMPRESSÃO ELEVADA - 0.7 ≥ ν
μ = 0.9 ωtotal λ - 0.35 (1 + ν)ωtotal = [μ + 0.35 (1 + ν)] /0.9 λ
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μy/μx = 1,0
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
ν
μx
ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0
2. FLEXÃO DESVIADA2. FLEXÃO DESVIADA
a = 0.1 h
μx = MRd,x/ bh2fcd
ω = As,total fyd / bhfcd
A500NRb
hMRd,x
x
y
MRd,y
MRd
μy = MRd,y/ b2h fcd
A resultante do vector momento não se encontra segundo uma das direcções principais de inércia da secção.
B. ÁBACOS ν = NRd/ bhfcd
É necessário decompor o vector momento segundo essas direcções principais para efectuar a análise.
b
As/4
aa
h
As/4
As/4 As/4
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μy/μx = 0
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
ν
μx
ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0
μy/μx = 1,0
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
ν
μx
ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0
μy/μx = 2,0
-0.10
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
ν
μx
ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0
μy/μx = ∞
-0.30
-0.20
-0.10
0.00
0.10
0.20
0.30
-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00
ν
μy
ω=0,1ω=0,2ω=0,3ω=0,4ω=0,5ω=0,6ω=0,7ω=0,8ω=0,9ω=1,0
a = 0.1 h
μx = MRd,x/ bh2fcd
ω = As,total fyd / bhfcdA500NR
μy = MRd,y/ b2h fcd
ν = NRd/ bhfcd
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B. MÉTODO APROXIMADO
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2. PAREDES RESISTENTES2. PAREDES RESISTENTESAs paredes resistentes para as acções horizontais (vento, sismos, etc.) têm, em geral, esforços axiais pequenos (valores baixos de ν) e elevados momentos flectores e esforços transversos.
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
As paredes resistentes devem ser posicionadas de forma a que o seu centro de rigidez se aproxime do centro de massas do edifício.Geralmente são posicionadas em torno dos núcleos de acesso vertical do edifício ou nas empenas, aproveitando a existência de um número reduzido de vãos nestas zonas.
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As paredes caracterizam-se por, ao contrário dos pilares, possuírem uma das dimensões da sua secção transversal superior a 4 vezes a outra dimensão.Por condicionalismos arquitectónicos, podem surgir paredes com formas em U, em C ou ainda mais complexas, o que dificulta o dimensionamento das armaduras em flexão composta com as ferramentas normalmente usadas para os pilares.
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SECÇÃO RECTANGULAR
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Fs = As fyd
Compressão: NRd ≤ 0MRd - NRd (0.5h-a) = - Fc · z
z = (h-a) - 0.4x 0.5h-a(0.5h-a)-
Fc = NRd - Fs [MRd - NRd (0.5h-a)] / z = Fs - NRd Fs = [MRd - NRd (0.5h-a)] / z + NRd
NRd = Fc + Fs
Seja (0.5 h – a) ≈ z / 2 então: Fs ≈ MRd / z + NRd / 2
Se ν ≤ 0.45 então εs ≥ εyde σs = fyd
EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE εc / x = εs / (d-x)
x = d εs / (εc + εs) ou x = d εc / (εc + εs) para εs ≥ εyd temos x ≤ d 3.5 / (3.5 + 2.17)
donde x ≤ 0.6h logo z ≥ (h - 0.1h) – 0.4x0.6h = 0.75 h
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Secção equivalente a secção rectangular mas com ys ≈ h2/(2h+c) - e/2Fs = (MRd - NRd ys) / z + NRd com z ≈ 0.75 h
Secção equivalente a secção em T com ys ≈ d-h2/(2h+c)Fs = (MRd - NRd ys) / z + NRd com z ≈ d - e/2
Secção em U com banzo traccionado
Secção em U com banzo comprimido
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
Secção equivalente a secção rectangular (com ys = h/2 - e/2)Fs ≈ MRd / z + NRd/2 com z ≈ h - e
Secção em C
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ARMADURAS HORIZONTAISNos pilares fictícios aplicam-se as regras de cintagem dos pilares.
Nas almas as armaduras devem respeitar as regras de dimensionamento e de pormenorização das armaduras de esforço transverso.
PORMENORIZAÇÃO
ARMADURAS VERTICAIS
0.4% Ac ≤ AsV ≤ 4% Ac
sV ≤0.30m
Quantidade de armadura horizontal AsH ≥ 0.5 AsV
Diâmetro da armadura horizontalφH ≥ φV / 4
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PROGRAMAPROGRAMA1. Introdução ao betão armado2. Bases de Projecto e Acções3. Propriedades dos materiais: betão e aço4. Durabilidade5. Estados limite últimos de resistência à tracção e à compressão6. Estado limite último de resistência à flexão simples7. Estado limite último de resistência ao esforço transverso8. Disposições construtivas relativas a vigas9. Estados limite de fendilhação10.Estados limite de deformação11.Estados limites últimos de resistência à flexão composta com esforço
normal e à flexão desviada12.Estados limite últimos devido a deformação estrutural13.Disposições construtivas relativas a pilares e paredes14.Estado limite último de resistência à torção
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
b
d
hc,eff
hd
x
h
A’s
As
b
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11 11 –– EST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADAEST. LIM. DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO COMPOSTA E DESVIADA
1. Redes electrosoldadas2. Consequências da limitação da armadura máxima nas zonas críticas nas
tabelas da flexão simples.3. Ver armadura transversal nas emendas – EC84. EC8 disposição de armaduras em vigas nos banzos 5.4.3.1.1
Válter Lúcio Maio 2006 25
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