11 - mathemateg.comΒ Β· /adolygumathemateg Tudalen 3 @mathemateg Pennod 1: Theorem y Ffactor,...
Transcript of 11 - mathemateg.comΒ Β· /adolygumathemateg Tudalen 3 @mathemateg Pennod 1: Theorem y Ffactor,...
11
/adolygumathemateg Tudalen 2 @mathemateg
Fersiwn 19 Mawrth 2018
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
παΊπ₯ + ππ₯α» β παΊπ₯α»
ππ₯
ΰΆ± ππ₯π ππ₯ =ππ₯π+1
π + 1+ π
Ongl Sin Cos Tan
0Β° 0 1 0
30Β° 1
2
ΞΎ3
2
1
ΞΎ3
45Β° 1
ΞΎ2
1
ΞΎ2 1
60Β° ΞΎ3
2
1
2 ΞΎ3
90Β° 1 0 β
ΰΆ₯αΊπ₯2 β π₯1α»2 + αΊπ¦2 β π¦1α»2
/adolygumathemateg Tudalen 3 @mathemateg
Pennod 1: Theorem y Ffactor, Theorem y Gweddill ..................................................................... 5
(1a) Rhannu Polynomialau 5
(1b) Theorem y Gweddill 7
(1c) Theorem y Ffactor 8
(1ch) Ffactorio Polynomialau 9
(1d) Hen Gwestiynau Arholiad 10
Pennod 2: Differu ....................................................................................................................... 12
(2a) Differu trwy Egwyddorion Sylfaenol 13
(2b) Hen Gwestiynau Arholiad 16
(2c) Differu Sydyn 17
(2ch) Rheolau Indecsau 17
(2d) Hen Gwestiynau Arholiad 19
(2dd) Ail Ddeilliad 21
(2e) Pwyntiau Arhosol 22
(2f) Hen Gwestiynau Arholiad 25
Pennod 3: Integru ....................................................................................................................... 28
(3a) Sut i Integru 29
(3b) Hen Gwestiynau Arholiad 30
(3c) Integru Pendant 32
(3ch) Hen Gwestiynau Arholiad 35
Pennod 4: Geometreg Cyfesurynnau Cartesaidd ......................................................................... 39
(4a) Pellter rhwng dau bwynt 39
(4b) Hen Gwestiynau Arholiad 41
(4c) Hafaliad Llinell Syth 43
(4ch) Llinellau Paralel a Pherpendicwlar 45
(4d) Hen Gwestiynau Arholiad 48
/adolygumathemateg Tudalen 4 @mathemateg
Pennod 5: Datrys Hafaliadau ...................................................................................................... 51
(5a) Cwblhauβr SgwΓ’r 51
(5b) Hen Gwestiynau Arholiad 55
(5c) Datrys un hafaliad llinol ag un hafaliad cwadratig 57
(5ch) Hen Gwestiynau Arholiad 60
Pennod 6: Problemau Tri Dimensiwn .......................................................................................... 62
(6a) Pythagoras 62
(6b) Trigonometreg 64
(6c) Hen Gwestiynau Arholiad 66
Pennod 7: Cymarebau Trigonometreg ........................................................................................ 67
(7a) Graffiau Sin, Cos a Tan 67
(7b) Gwerthoedd Arbennig 69
(7c) Hen Gwestiynau Arholiad 71
Pennod 8: Prawf Algebraidd ....................................................................................................... 73
(8a) Unfathiannau Algebraidd 77
(8b) Prawf Ysgrifenedig 78
(8c) Hen Gwestiynau Arholiad 79
Pennod 9: Topigau TGAU Arferol ................................................................................................ 80
(9a) Syrdiau 80
(9b) Rheolau Indecsau 82
(9c) Mynegiadau Cwadratig 84
(9ch) Ffracsiynau Algebraidd 86
(9d) Hyd, Arwynebedd a Chyfaint 87
(9dd) Trigonometreg 92
Atebion Ymarferion .................................................................................................................... 94
Atebion Hen Gwestiynau Arholiad .............................................................................................. 100
/adolygumathemateg Tudalen 5 @mathemateg
Pennod 1: Theorem y Ffactor, Theorem y Gweddill
Rydych eisoes yn gwybod sut i ffactorio mynegiadau cwadratig, e.e. xΒ² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3),
2xΒ² + 5x β 12 = (2x β 3)(x + 4). Rydym yn defnyddio Theorem y Ffactor a Theorem y Gweddill i ffactorio
mynegiadau efo pwerau uwch, e.e. 2xΒ³ β xΒ² β x + 18, 2x4 + 3xΒ³ + 9xΒ² β 5x + 1.
(1a) Rhannu Polynomialau
Er mwyn gwneud swm rhannu efo polynomialau, e.e. (xΒ² + 3x + 2) Γ· (x β 1), rhaid cofioβn gyntaf sut i
wneud swm rhannu efo rhifau. Fel enghraifft, dyma un ffordd o osod allan y swm 56273 Γ· 13.
0 4 3 2 8
13 5 6 2 7 3
5 2 0 0 0
4 2 7 3
3 9 0 0
3 7 3
2 6 0
1 1 3
1 0 4
9
Fel arfer, rydym yn ysgrifennuβr ateb iβr swm uchod fel 56273 Γ· 13 = 4328 g 9, ble maeβr βgβ yn golygu
βgweddillβ. Dyma ffordd arall o ysgrifennuβr ateb:
56273 = 4328 Γ 13 + 9
Rydym yn dweud fod 56273 wedi ei wneud allan o 4328 gwaith 13 hefo 9 dros ben. Byddwn yn
defnyddioβr dull yma o ysgrifennuβr ateb wrth rannu efo polynomialau.
Enghraifft 1.1
Ystyriwch ein bod eisiau gwneud y swm rhannu (xΒ³ + 2xΒ² β x + 3) Γ· (x β 1). I gychwyn, rydym yn gosod
allan yr ateb mewn ffrΓ’m rannu:
x β 1 xΒ³ + 2xΒ² β x + 3
Yn y swm rhannu 56273 Γ· 13, y cwestiwn cyntaf oedd βfaint o weithiau mae 13 yn mynd i mewn i 5?β.
Yma, y cwestiwn cyntaf yw βfaint o weithiau mae x β 1 yn mynd i mewn i xΒ³?β. I ateb y cwestiwn yma,
rydym yn ystyried beth allwn luosi x β 1 efo i gael mynegiad syβn cynnwys y term xΒ³. Gan fod
xΒ²(x β 1) = xΒ³ β xΒ², yr ateb iβr cwestiwn βfaint o weithiau mae x β 1 yn mynd i mewn i xΒ³β yw βxΒ² o weithiau,
efo rhyw weddill dros benβ. Er mwyn ffeindioβr gweddill, yma, rydym yn cychwyn trwy roi xΒ² ar ben y
ffrΓ’m rannu.
xΒ²
x β 1 xΒ³ + 2xΒ² β x + 3
(i) Mae 13 yn mynd i
mewn i 5 dim o
weithiau, gweddill 5
(ii) Mae 13 yn mynd
i mewn i 56 pedwar
o weithiau
(iii) Mae 4 Γ 13 =
52, felly rhaid tynnu
i ffwrdd 52000.
(iv) Rydym yn
ailadrodd efo 4273 ....
/adolygumathemateg Tudalen 6 @mathemateg
Nesaf, rydym yn tynnu i ffwrdd oβr polynomial ciwbig xΒ² gwaith x β 1.
xΒ²
x β 1 xΒ³ + 2xΒ² β x + 3
xΒ³ β xΒ²
3xΒ²
I ddarganfod y gweddill, rydym yn copΓ―o gweddill y cwestiwn i lawr.
xΒ²
x β 1 xΒ³ + 2xΒ² β x + 3
xΒ³ β xΒ²
3xΒ² β x + 3
Rydym nawr yn ailadrodd efo x β 1 aβr gweddill 3xΒ² β x + 3; y cwestiwn cyntaf yw βfaint o weithiau mae
x β 1 yn mynd i mewn i 3xΒ²?β. Fel oβr blaen, rhaid meddwl beth rydym yn gallu lluosi x β 1 efo i gael
mynegiad syβn cynnwys y term 3xΒ². Yma, rhaid lluosi efo 3x (gan fod 3x(x β 1) = 3xΒ² β 3x); mae 3x felly yn
mynd ar ben y ffrΓ’m rannu.
xΒ² + 3x
x β 1 xΒ³ + 2xΒ² β x + 3
xΒ³ β xΒ²
3xΒ²β x + 3
3xΒ²β 3x
2x + 3
Yn y trydydd cam, rydym yn gofyn βfaint o weithiau mae x β 1 yn mynd i mewn i 2x?β. Yma rhaid rhoi 2 ar
ben y ffrΓ’m rannu (gan fod 2(x β 1) = 2x β 2).
xΒ² + 3x + 2
x β 1 xΒ³ + 2xΒ² β x + 3
xΒ³ β xΒ²
3xΒ²β x + 3
3xΒ²β 3x
2x + 3
2x β 2
5
Yn y swm rhannu 56273 Γ· 13, roeddem yn stopio wrth gyrraedd y 9, gan fod 9 yn llai na 13. Yma rydym
hefyd yn stopio, gan fod 5 yn βllaiβ na x β 1 (wrth ystyried y pwerau, mae 5 = 5x0 yn llai na x = x1). Yr ateb
terfynol iβr cwestiwn felly yw (xΒ³ + 2xΒ² β x + 3) Γ· (x β 1) = xΒ² + 3x + 2 g 5, neu
xΒ³ + 2xΒ² β x + 3 = (xΒ² + 3x + 2)(x β 1) + 5.
Mae xΒ³ β xΒ³ = 0, ac
mae 2xΒ² β βxΒ² = 3xΒ².
/adolygumathemateg Tudalen 7 @mathemateg
Enghraifft 1.2
(a) (2xΒ³ β xΒ² β x + 18) Γ· (x + 2) (b) (x4 β 2xΒ²) Γ· (x + 3)
2xΒ² β 5x + 9 xΒ³ β 3xΒ² + 7x β 21
x + 2 2xΒ³ β xΒ² β x + 18 x + 3 x4 β 2xΒ²
2xΒ³ + 4xΒ² x4 + 3xΒ³
β 5xΒ² β x + 18 β3xΒ³ β 2xΒ²
β 5xΒ² β10x β3xΒ³ β 9xΒ²
9x + 18 7xΒ²
9x + 18 7xΒ² + 21x
β21x
Felly 2xΒ³ β xΒ² β x + 18 = (2xΒ² β 5x + 9)(x + 2) β21x β 63
63
Felly x4 β 2xΒ² = (xΒ³ β 3xΒ² + 7x β 21)(x + 3) + 63
Ymarferion 1.1
(a) (xΒ³ + 2xΒ² + 2x + 3) Γ· (x + 1) (b) (xΒ³ + 3xΒ² β 4x β 7) Γ· (x β 1)
(c) (2xΒ³ β xΒ² β 2x + 3) Γ· (x β 2) (ch) (x4 β 3xΒ³ + xΒ² β 2x β 8) Γ· (x + 3)
(d) (2x4 + xΒ² β 2x β 1) Γ· (x β 1) (dd) (xΒ³ + x β 1) Γ· (2x β 1)
(e) (xΒ³ + 7xΒ² + 4x β 9) Γ· (x + 2) (f) (8x4 β 24xΒ³ + 4xΒ² β 9x + 5) Γ· (2x β 3)
(g) (2x4 + 3xΒ³ + 9xΒ² β 5x + 1) Γ· (xΒ² + 6x + 1) (ng) (2xΒ³ + 5xΒ² β 9x β 18) Γ· (2x + 3)
(1b) Theorem y Gweddill
Fel rydym wedi gweld, pan gaiff un polynomial ei rannu efo polynomial arall, cawn weddill ar ddiwedd y
cyfrifiad (syβn gallu bod yn sero). Mewn sefyllfaoedd arbennig, mae ffordd gyflym o weithio allan y
gweddill yma heb orfod gwneud y swm rhannu: gelwir y dull yma yn Theorem y Gweddill.
Theorem y Gweddill
Pan gaiff polynomial f(x) ei rannu gydaβr polynomial x β a, ble mae a yn rif, ynaβr gweddill ar ddiwedd y
cyfrifiad yw f(a), hynny ydiβr rhif yr ydym yn ei gael drwy amnewid y rhif a yn f(x).
Enghraifft 1.3
(a) Y gweddill pan gaiff 2xΒ² + 3x + 4 ei rannu efo x β 3 yw
2(3Β²) + 3(3) + 4 = 31
(b) Y gweddill pan gaiff 3xΒ³ β 6x β 7 ei rannu efo x + 5 yw
3(β5)Β³ β 6(β5) β 7 = β352
/adolygumathemateg Tudalen 8 @mathemateg
Ymarferion 1.2
Darganfyddwch y gweddill pan gaiff y polynomial gyntaf ei rannu gydaβr ail bolynomial.
(a) xΒ³ β 3x + 3, x β 1 (b) 9xΒ³ β 9xΒ² β 1, x β 1
(c) x4 β 2xΒ³ β 3x + 1, x β 2 (ch) x4 β 3xΒ³ β 1, x + 1
(d) xΒ² β 3x, x β 8 (dd) 3xΒ² + 5, x + c
(1c) Theorem y Ffactor
Pan rydym yn rhannu un polynomial efo polynomial arall, naill ai maeβr gweddill yn sero neu ddim yn
sero. Yn y sefyllfa ble maeβr gweddill yn sero, rydym yn gallu ffactorioβr polynomial sydd yn cael ei rannu
er mwyn ei ysgrifennu fel dau bolynomial wediβu lluosi gydaβi gilydd.
Enghraifft 1.4
Wrth rannuβr polynomial xΒ² + 6x β 16 efoβr polynomial x β 2, gwelwn fod y gweddill yn sero.
x + 8
x β 2 xΒ² + 6x β 16
xΒ² β 2x
8x β 16
8x β 16
0
Maeβn dilyn fod xΒ² + 6x β 16 = (x + 8)(x β 2), ac felly rydym wedi ffactorioβr polynomial cwadratig
gwreiddiol.
Mae Theorem y Ffactor yn rhoi ffordd i ni o benderfynu os yw polynomial oβr ffurf x β a yn ffactor o
unrhyw bolynomial arall f(x), heb orfod gwneud cyfrifiad efo ffrΓ’m rannu.
Theorem y Ffactor
(a) Maeβr polynomial (x β a) yn ffactor oβr polynomial f(x) os yw f(a) = 0.
(b) Os yw f(a) = 0 yna maeβr polynomial (x β a) yn ffactor oβr polynomial f(x).
Enghraifft 1.5
(a) Maeβr polynomial x + 4 yn ffactor oβr polynomial 2xΒ² + 5x β 12 gan fod
f(β4) = 2(β4)Β² + 5(β4) β 12
= 0
(b) Nid ywβr polynomial x β 2 yn ffactor oβr polynomial xΒ² β 3x + 4 gan fod
f(2) = 2Β² β 3(2) + 4
= 2
Mae
Theorem y
Ffactor yn
achos
arbennig o
Theorem y
Gweddill.
/adolygumathemateg Tudalen 9 @mathemateg
Ymarferion 1.3
Ydiβr ail bolynomial yn ffactor oβr polynomial cyntaf?
(a) xΒ³ β 3xΒ² + 2, x β 1 (b) 2xΒ² β 4x, x β 2
(c) 3xΒ³ + 2xΒ² β 3, x + 1 (ch) xΒ³ β 5xΒ² + 1, x β 5
(dd) xΒ² + 3x + 7
4, x + 1
2 (dd) xΒ³ β 2axΒ² + aΒ²x, x β a
(1ch) Ffactorio Polynomialau
Ystyriwch y broblem o ffactorioβr polynomial 4xΒ³ β 4xΒ² β 5x + 3. Gallwn ddefnyddio Theorem y Ffactor i
geisio darganfod ffactor iβr polynomial yma trwy amnewid rhifau gwahanol yn y polynomial a cheisio cael
ateb 0.
Cynnig 1: Amnewid x = 1: 4(1)Β³ β 4(1)Β² β 5(1) + 3 = β2
Felly nid yw (x β 1) yn ffactor o 4xΒ³ β 4xΒ² β 5x + 3.
Cynnig 2: Amnewid x = β1: 4(β1)Β³ β 4(β1)Β² β 5(β1) + 3 = 0
Felly mae (x + 1) yn ffactor o 4xΒ³ β 4xΒ² β 5x + 3; gallwn rannu i ddarganfod y
ffactor arall.
4xΒ² β 8x + 3
x + 1 4xΒ³ β 4xΒ² β 5x + 3
4xΒ³ + 4xΒ²
β8xΒ² + 5x + 3
β8xΒ² β 8x
3x + 3
3x + 3
0
Casgliad: Mae 4xΒ³ β 4xΒ² β 5x + 3 = (4xΒ² β 8x + 3)(x + 1)
Gallwn nawr ailadrodd yr uchod efo 4xΒ² β 8x + 3, neu ddefnyddio dulliau ffactorio TGAU i weld bod
4xΒ² β 8x + 3 = (2x β 1)(2x β 3), ac felly mae
4xΒ³ β 4xΒ² β 5x + 3 = (2x β 1)(2x β 3)(x + 1)
Ymarferion 1.4
Ffactorwch y polynomialau canlynol.
(a) 2xΒ³ β 2xΒ² + 2x β 2 (b) 2xΒ³ β 3xΒ² β 2x + 3
(c) 3xΒ³ + 3xΒ² (ch) 2xΒ³ β 3xΒ² β 3x + 2
(d) (Sialens!) Yn y polynomial xΒ³ β 7xΒ² + 2x β a, ceir gweddill 0 os ywβr polynomial yn cael ei rannu
efo x β 3. Defnyddiwch y wybodaeth yma i ddarganfod a.
Ceisiwch amnewid
1, β1, 2, β2, 3, ayb.
i geisio ffeindio ateb 0.
Mantais gallu ffactorio
polynomial yw ei bod hi,
fel arfer, yn gyflymach
gwneud cyfrifiad efo
polynomial wediβi
ffactorio nag un sydd
heb ei ffactorio.
/adolygumathemateg Tudalen 10 @mathemateg
(1d) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 11 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2007)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 12 @mathemateg
Pennod 2: Differu
Ystyriwch y ffwythiant y = xΒ² + 2. Maeβn bosib llunio graff oβr ffwythiant yma trwy lunioβr tabl isod a
phlotioβr pwyntiau oβr tabl ar bapur graff.
x β3 β2 β1 0 1 2 3
y 11 6 3 2 3 6 11
Beth yw graddiant y graff os yw x = 2? Un ffordd o ddarganfod hyn yw llunio tangiad iβr graff ar y pwynt
(2, 6) a darganfod graddiant y tangiad trwy lunio triongl.
Oβr diagram uchod gwelwn mai 4 yw graddiant y graff os yw x = 2 (cofiwn ein bod yn rhannu uchder y
triongl efo hyd y sail er mwyn cyfrifoβr graddiant). Mae differu yn ffordd fathemategol o ddarganfod y
graddiant i unrhyw graff ar unrhyw bwynt heb orfod llunio tangiad a darganfod ei raddiant trwy lunio
triongl. Rydym yn defnyddio nodiant arbennig i gynrychioliβr graddiant yma: os yw y yn cynrychioli
unrhyw ffwythiant, yna mae ππ¦
ππ₯ yn cynrychioli graddiant y ffwythiant yma.
Mae graddiant graff yn
gallu bod yn ddefnyddiol
iawn. Er enghraifft, mewn
graff pellter-amser, mae
graddiant y graff yn rhoiβr
cyflymder.
/adolygumathemateg Tudalen 13 @mathemateg
(2a) Differu trwy egwyddorion sylfaenol
Ystyriwch etoβr ffwythiant y = xΒ² + 2 oβr dudalen flaenorol. Os rydym yn chwyddoβr graff ddigon, maeβr
graff yn edrych fel llinell syth mewn darn penodol.
β
β
Mae hyn yn wir o unrhyw ddarn oβr graff, felly i ddarganfod graddiant y graff ar unrhyw bwynt, un syniad
yw chwyddo i mewn nes gwelwn linell syth ac wedyn darganfod graddiant y llinell syth yma, trwy lunio
triongl. Ystyriwch ein bod wedi chwyddo i mewn digon fel ein gallu bod yn gweld y llinell syth ganlynol.
Gadewch i ππ₯ gynrychioli pellter bach iawn ar hyd yr echelin x, fel bod hyd sail y triongl yn
αΊπ₯ + ππ₯α» β π₯ = ππ₯.
Yn yr un modd, uchder y triongl yw
παΊπ₯ + ππ₯α» β παΊπ₯α» fel bod graddiant y triongl yn
παΊπ₯ + ππ₯α» β παΊπ₯α»
ππ₯
παΊπ₯ + ππ₯α»
παΊπ₯α»
π₯ π₯ + ππ₯
/adolygumathemateg Tudalen 14 @mathemateg
Y broblem nawr yw sicrhau fod ππ₯ yn ddigon bach i roi llinell syth i ni bob tro. Er mwyn gwneud yn siΕ΅r o
hyn, rydym yn defnyddioβr syniad o derfan (βlimitβ) fel bod ππ₯ mor agos at sero ac y dymunwn. Yn
fathemategol, rydym yn ysgrifennuβr terfan syβn rhoiβr graddiant ππ¦
ππ₯ fel yma:
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
παΊπ₯ + ππ₯α» β παΊπ₯α»
ππ₯
Er bod y fformwla yn edrych yn gymhleth, dim ond cynrychioliβn fathemategol y syniad o chwyddo i
mewn a darganfod graddiant rhyw linell syth maeβn ei wneud. Dangoswn hyn trwy weithio trwyβr
enghraifft y = xΒ² + 2 rydym wedi bod yn edrych arno.
Enghraifft 2.1
(a) Trwy egwyddorion sylfaenol, darganfyddwch ππ¦
ππ₯ os yw y = xΒ² + 2.
Mae παΊπ₯α» = π₯2 + 2
Felly παΊπ₯ + ππ₯α» = αΊπ₯ + ππ₯α»2 + 2
παΊπ₯ + ππ₯α» = αΊπ₯ + ππ₯α»αΊπ₯ + ππ₯α» + 2
παΊπ₯ + ππ₯α» = π₯2 + π₯ππ₯ + π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 2
παΊπ₯ + ππ₯α» = π₯2 + 2π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 2
Yn amnewid iβr fformwla, gwelwn fod
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
αΊπ₯2 + 2π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 2α» β αΊπ₯2 + 2α»
ππ₯
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
2π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2
ππ₯
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β02π₯ + ππ₯
ππ¦
ππ₯= 2π₯
(b) Trwy egwyddorion sylfaenol, darganfyddwch ππ¦
ππ₯ os yw y = xΒ² + 4x.
Mae παΊπ₯α» = π₯2 + 4π₯
Felly παΊπ₯ + ππ₯α» = αΊπ₯ + ππ₯α»2 + 4αΊπ₯ + ππ₯α»
παΊπ₯ + ππ₯α» = αΊπ₯ + ππ₯α»αΊπ₯ + ππ₯α» + 4αΊπ₯ + ππ₯α»
παΊπ₯ + ππ₯α» = π₯2 + π₯ππ₯ + π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 4π₯ + 4ππ₯
παΊπ₯ + ππ₯α» = π₯2 + 2π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 4π₯ + 4ππ₯
Yn amnewid iβr fformwla, gwelwn fod
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
αΊπ₯2 + 2π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 4π₯ + 4ππ₯α» β αΊπ₯2 + 4π₯α»
ππ₯
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
2π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2 + 4ππ₯
ππ₯
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β02π₯ + ππ₯ + 4
Rydym yn defnyddio CAMO i
ehanguβr cromfachau.
Maeβr xΒ² yn cansloβr βxΒ² ac
maeβr +2 yn cansloβr β2.
Maeβr ππ₯ yn canslo ar
y top aβr gwaelod.
Ar Γ΄l symleiddio gymaint ag y gallwn, rydym nawr yn
defnyddioβr terfan trwy amnewid ππ₯ = 0.
/adolygumathemateg Tudalen 15 @mathemateg
ππ¦
ππ₯= 2π₯ + 4
(c) Trwy egwyddorion sylfaenol, darganfyddwch ππ¦
ππ₯ os yw y = 2xΒ² β 6x + 9.
Mae παΊπ₯α» = 2π₯2 β 6π₯ + 9
Felly παΊπ₯ + ππ₯α» = 2αΊπ₯ + ππ₯α»2 β 6αΊπ₯ + ππ₯α» + 9
παΊπ₯ + ππ₯α» = 2αΊπ₯ + ππ₯α»αΊπ₯ + ππ₯α» β 6αΊπ₯ + ππ₯α» + 9
παΊπ₯ + ππ₯α» = 2αΊπ₯2 + π₯ππ₯ + π₯ππ₯ + αΊππ₯α»2α» β 6π₯ β 6ππ₯ + 9
παΊπ₯ + ππ₯α» = 2π₯2 + 4π₯ππ₯ + 2αΊππ₯α»2 β 6π₯ β 6ππ₯ + 9
Yn amnewid iβr fformwla, gwelwn fod
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
αΊ2π₯2 + 4π₯ππ₯ + 2αΊππ₯α»2 β 6π₯ β 6ππ₯ + 9α» β αΊ2π₯2 β 6π₯ + 9α»
ππ₯
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β0
4π₯ππ₯ + 2αΊππ₯α»2 β 6ππ₯
ππ₯
ππ¦
ππ₯= lim
ππ₯β04π₯ + 2ππ₯ β 6
ππ¦
ππ₯= 4π₯ β 6
Ymarferion 2.1
Darganfyddwch ππ¦
ππ₯ os yw
(a) y = xΒ² + 8x (b) y = 3xΒ² + 5
(c) y = 5xΒ² β 3x β 7 (ch) y = 6x + 17
(d) y = β2xΒ² + 9x β 5 (dd) (Sialens!) y = xΒ³ + 3x
/adolygumathemateg Tudalen 16 @mathemateg
(2b) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 17 @mathemateg
(2c) Differu Sydyn
Tra rydym yn gallu differu ffwythiannau gwahanol trwy egwyddorion sylfaenol, maeβn dod yn amlwg
wrth wneud mwy a mwy o enghreifftiau fod patrwm iβw weld wrth fynd oβr ffwythiant y iβr differiad ππ¦
ππ₯ .
Ystyriwch yr enghreifftiau canlynol gan feddwl pa batrwm yr ydych yn ei weld.
Enghraifft 2.2
(a) π¦ = 4π₯2 + 5π₯ (b) π¦ = π₯3 β 6π₯2 + 7π₯ + 2 (c) π¦ = 4π₯3 + 4π₯ β 9 (ch) π¦ = 4π₯ + 3
ππ¦
ππ₯= 8π₯ + 5
ππ¦
ππ₯= 3π₯2 β 12π₯ + 7
ππ¦
ππ₯= 12π₯2 + 4
ππ¦
ππ₯= 4
Mewn geiriau, y patrwm ar gyfer unrhyw derm yw i βluosiβr pΕ΅er efoβr rhif cyn y term ac wedyn tynnu un
oddi wrth y pΕ΅erβ. Er enghraifft, gydaβr term 7xΒ³, rydym yn lluosiβr pΕ΅er 3 efoβr rhif 7 ac wedyn yn tynnu
un oddi wrth y pΕ΅er, i adael 21xΒ². Mewn symbolau, os ydi a ac n yn cynrychioli unrhyw rifau, yna rydym
yn differu term cyffredinol oβr ffurf ππ₯π fel yma:
Os yw π¦ = ππ₯π yna mae ππ¦
ππ₯= πππ₯πβ1
Enghraifft 2.3
Ystyriwch y ffwythiant π¦ = 6π₯3 + 8π₯2 + 9π₯ + 4. Gan ddefnyddioβr rheol, maeβr ddau derm gyntaf yn
differu i roi 18π₯2 a 16π₯1 = 16π₯. I ddifferuβr ddau derm olaf, rhaid cofio fod 9π₯ = 9π₯1 a 4 = 4π₯0 (mae
unrhyw beth iβr pΕ΅er 0 yn rhoi ateb 1). Felly wrth ysgrifennu
π¦ = 6π₯3 + 8π₯2 + 9π₯1 + 4π₯0
rydym yn gweld fod
ππ¦
ππ₯= 18π₯2 + 16π₯ + 9π₯0 + 0π₯β1
= 18π₯2 + 16π₯ + 9.
Ymarferion 2.2
Darganfyddwch ππ¦
ππ₯ os yw
(a) y = 5xΒ² (b) y = 3xΒ³ (c) y = x4
(ch) y = 12x (d) y = 8 (dd) y = x4 β 2xΒ³ + 3xΒ² + 6x
(e) y = 3x5 β 7xΒ² (f) y = 2xΒ² + 3xβ1 (ff) y = 5xΒ³ + 5xΒ½
(g) y = xΒ² + 5xβ2 + 4xβ5 (ng) y = 12xΒΌ β 3x10 (h) y = Β½x4 β xβΒ½ β 3xβ4
(2ch) Rheolau Indecsau
Cyn symud ymlaen iβr set nesaf o ymarferion, rhaid cofioβr rheolau indecsau canlynol o waith TGAU:
(a) 1
π₯π= π₯βπ (b) ΞΎπ₯
π= π₯
1
π
Mae 0 lluosi unrhyw
beth yn 0 felly nid
oes angen y term
0x-1 yn yr ateb
terfynol.
/adolygumathemateg Tudalen 18 @mathemateg
Enghraifft 2.4
(a) π¦ = ΞΎπ₯ (b) π¦ = ΞΎπ₯3
+1
π₯2 (c) π¦ =
2
π₯3β 3ΞΎπ₯ (ch) π¦ = ΞΎπ₯
5β
8
π₯4
π¦ = π₯1
2 π¦ = π₯1
3 + π₯β2 π¦ = 2π₯β3 β 3π₯1
2 π¦ = π₯1
5 β 8π₯β4
ππ¦
ππ₯=
1
2π₯β
1
2 ππ¦
ππ₯=
1
3π₯β
2
3 β 2π₯β3 ππ¦
ππ₯= β6π₯β4 β
3
2π₯β
1
2 ππ¦
ππ₯=
1
5π₯β
4
5 + 32π₯β5
Ymarferion 2.3
Darganfyddwch ππ¦
ππ₯ os yw
(a) π¦ =1
π₯3 (b) π¦ = 5ΞΎπ₯ β
3
π₯4 (c) π¦ = ΞΎπ₯4 +
12
π₯2+ 4π₯6
(ch) π¦ = β8ΞΎπ₯ + 4 (d) π¦ = 15π₯ +1
π₯15 (dd) π¦ =
3
π₯3β
1
π₯+ ΞΎπ₯
3
Defnyddio π π
π π
Wedi dysgu sut i ddifferu ffwythiannau gwahanol, cofiwn nawr mai pwrpas differu yw darganfod
graddiant ffwythiant ar bwynt arbennig.
Enghraifft 2.5
Beth yw graddiant y ffwythiant π¦ = 4π₯3 β 15π₯ + 4 ar y pwynt ble mae x = 2?
I ateb y cwestiwn yma, rhaid yn gyntaf darganfod ππ¦
ππ₯:
ππ¦
ππ₯= 12π₯2 β 15
Ar y pwynt ble mae x = 2, mae ππ¦
ππ₯= 12αΊ2α»2 β 15
ππ¦
ππ₯= 33
Felly graddiant y ffwythiant π¦ = 4π₯3 β 15π₯ + 4 ar y pwynt ble mae x = 2 yw 33.
Enghraifft 2.6
Darganfyddwch y pwynt ar y gromlin π¦ = 4π₯2 + 5π₯ β 2 ble maeβr graddiant yn 21.
I ateb y cwestiwn yma, rhaid eto cychwyn trwy ddarganfod ππ¦
ππ₯:
ππ¦
ππ₯= 8π₯ + 5
Os ywβr graddiant yn 21, yna mae 21 = 8π₯ + 5
16 = 8π₯
2 = π₯
Fellyβr pwynt ar y gromlin π¦ = 4π₯2 + 5π₯ β 2 ble maeβr graddiant yn 21 ywβr pwynt (2, 24).
(Ceir y 24 trwy amnewid x = 2 i mewn i 4π₯2 + 5π₯ β 2.)
/adolygumathemateg Tudalen 19 @mathemateg
(2d) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
/adolygumathemateg Tudalen 20 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2008) (Sialens!)
/adolygumathemateg Tudalen 21 @mathemateg
(2dd) Ail Ddeilliad
Mae Megan yn rholio pΓͺl i fyny allt. Maeβr bΓͺl yn cychwyn teithio i fynyβr allt, yn arafu, yn stopio am
ffracsiwn o eiliad, ac ynaβn dychwelyd at Megan. Rydym yn gallu modelu taith y bΓͺl gan ddefnyddioβr
hafaliad y = β2xΒ² + 10x. Dyma graff oβr hafaliad yma; ar draws maeβn dangos yr amser mewn eiliadau, ac
ar i fyny maeβn dangos dadleoliad (displacement) y bΓͺl oddi wrth Megan mewn metrau.
Rydym yn sylwi fod y bΓͺl wedi cymryd 5 eiliad i ddychwelyd at Megan, ac ar Γ΄l 2.5 eiliad roedd y bΓͺl
β2(2.5)Β² + 10(2.5) = 12.5m oddi wrth Megan.
Er mwyn darganfod cyflymder y bΓͺl ar unrhyw adeg yn ystod ei daith, gallwn ddifferuβr ffwythiant
y = β2xΒ² + 10x er mwyn cael ππ¦
ππ₯= β4π₯ + 10. Wedyn, er enghraifft, gallwn ddweud fod cyflymder y bΓͺl ar
Γ΄l 1 eiliad yn β4(1) + 10 = 6m/s.
Gan fod graddiant y graff y = β2xΒ² + 10x yn amlwg yn newid rhwng x = 0 ac x = 5, gallwn ddweud fod
cyflymder y bΓͺl yn newid yn gyson yn ystod ei daith. Cyflymiad (acceleration) ywβr term am ba mor
gyflym maeβr cyflymder yn newid ar unrhyw adeg. Rydym yn darganfod y cyflymiad trwy ddifferuβr
ffwythiant ππ¦
ππ₯ i gael ffwythiant newydd rydym yn ei alwβn
π2π¦
ππ₯2.
Yn yr enghraifft uchod,
π¦ = β2π₯2 + 10π₯
ππ¦
ππ₯= β4π₯ + 10
π2π¦
ππ₯2= β4
Felly cyflymiad y bΓͺl yn ystod ei daith yw β4m/sΒ². (Maeβr cyflymder yn newid 4m/s bob eiliad.)
/adolygumathemateg Tudalen 22 @mathemateg
Yn gyffredinol, rydym yn gallu darganfod π2π¦
ππ₯2 ar gyfer unrhyw ffwythiant, ac maeβn disgrifio pa mor
gyflym mae graddiant y graff yn newid ar unrhyw adeg.
Enghraifft 2.7
(a) π¦ = π₯4 + 3π₯2 β 5π₯ + 3 (b) π¦ = 4ΞΎπ₯ +3
π₯4β 16π₯5
ππ¦
ππ₯= 4π₯3 + 6π₯ β 5 π¦ = 4π₯
1
2 + 3π₯β4 β 16π₯5
π2π¦
ππ₯2= 12π₯2 + 6
ππ¦
ππ₯= 2π₯β
1
2 β 12π₯β5 β 80π₯4
π2π¦
ππ₯2= βπ₯β
3
2 + 60π₯β6 β 320π₯3
Ymarferion 2.4
Darganfyddwch π2π¦
ππ₯2 os yw
(a) π¦ = 4π₯3 β 3π₯2 + 12 (b) π¦ = 6π₯5 (c) π¦ = 16ΞΎπ₯ + 26π₯
(ch) π¦ = βπ₯4 + π₯3 β π₯2 + π₯ β 1 (d) π¦ =2
π₯2 (dd) π¦ = 10π₯7 + ΞΎπ₯
3β
6
π₯3
(2e) Pwyntiau Arhosol
Edrychwch eto ar y graff ar y dudalen flaenorol syβn ymwneud Γ’βr enghraifft o rolio pΓͺl i fyny allt. Ar Γ΄l
2.5 eiliad, maeβr graff yn cyrraedd macsimwm wrth iβr bΓͺl gyrraedd mor bell i fynyβr allt ac maeβn mynd i
fynd. Ar y pwynt yma, sylwch fod y graff yn fflat, fel bod graddiant y graff yn sero.
Yn gyffredinol, mae pwynt arhosol (stationary point) yn unrhyw bwynt ar graff ble maeβr graddiant yn
sero. Mae tri math o bwynt arhosol, sef pwynt macsimwm (fel yn yr enghraifft); pwynt minimwm; a
phwynt ffurfdro (point of inflection).
Pwynt Macsimwm Pwynt Minimwm Pwynt Ffurfdro
Gan fod y graddiant yn sero ar unrhyw bwynt arhosol, rydym yn datrys yr hafaliad
ππ¦
ππ₯= 0
er mwyn darganfod pwyntiau arhosol.
/adolygumathemateg Tudalen 23 @mathemateg
Enghraifft 2.8
Darganfyddwch gyfesurynnau pwyntiau arhosol y gromlin y = xΒ³ β xΒ² β x + 2.
Er mwyn ateb y cwestiwn yma, rhaid cychwyn trwy gyfrifo ππ¦
ππ₯= 3π₯2 β 2π₯ β 1.
Gan fod pwyntiau arhosol wedi eu lleoli ble mae ππ¦
ππ₯= 0,
rydym nesaf yn datrys yr hafaliad 3xΒ² β 2x β 1 = 0.
3xΒ² β 2x β 1 = 0
(3x + 1)(x β 1) = 0
Naill ai 3x + 1 = 0 neu x β 1 = 0
Naill ai 3x = β1 neu x = 1
Naill ai x = β1
3 neu x = 1.
Rydym nawr yn gwybod cyfesurynβx bob un oβr pwyntiau arhosol. I ddarganfod cyfesurynβy bob un oβr
pwyntiau arhosol, rydym yn amnewid β1
3 ag 1 i mewn i y = xΒ³ β xΒ² β x + 2.
(Amnewid x = β1
3 ) (Amnewid x = 1)
π¦ = (β1
3)
3
β (β1
3)
2
β (β1
3) + 2 π¦ = αΊ1α»3 β αΊ1α»2β 1 + 2
π¦ = β1
27β
1
9+
1
3+ 2 π¦ = 1 β 1β 1 + 2
π¦ = β1
27β
3
27+
9
27+
54
27 π¦ = 1
π¦ =59
27
Felly cyfesurynnauβr pwyntiau arhosol yw (β1
3,
59
27) a αΊ1,1α».
Natur Pwyntiau Arhosol
Trwy ddatrys yr hafaliad ππ¦
ππ₯= 0, rydym nawr yn gallu lleoli pwyntiau arhosol unrhyw ffwythiant. Y cam
nesaf yw darganfod os yw pwynt arhosol penodol yn bwynt macsimwm, pwynt minimwm neu bwynt
ffurfdro. I wneud hyn, rydym yn defnyddioβr prawf π2π¦
ππ₯2.
(i) Mae π2π¦
ππ₯2 yn negatif ar unrhyw bwynt macsimwm.
(ii) Mae π2π¦
ππ₯2 yn bositif ar unrhyw bwynt minimwm.
(iii) Os yw π2π¦
ππ₯2 yn sero, yna gall y pwynt fod yn bwynt minimwm, macsimwm neu ffurfdro. Yma rhaid
edrych ar y graddiant ππ¦
ππ₯ ar bob ochr oβr pwynt arhosol i benderfynu ar ei natur β gwaith Lefel A.
Enghraifft 2.9
Yn Enghraifft 2.8, darganfuwyd fod gan y gromlin y = xΒ³ β xΒ² β x + 2 ddau bwynt arhosol,
yn (β1
3,
59
27) a αΊ1,1α». Cyfrifwyd hefyd fod
ππ¦
ππ₯= 3π₯2 β 2π₯ β 1, fel bod
π2π¦
ππ₯2= 6π₯ β 2.
/adolygumathemateg Tudalen 24 @mathemateg
Natur pwynt arhosol (βπ
π,
ππ
ππ).
Os yw π₯ = β1
3, yna mae
π2π¦
ππ₯2= 6 (β
1
3) β 2
π2π¦
ππ₯2= β4.
Mae hwn yn negatif, felly maeβn rhaid iβr pwynt arhosol (β1
3,
59
27) fod yn bwynt macsimwm.
Natur pwynt arhosol (1, 1).
Os yw π₯ = 1, yna mae π2π¦
ππ₯2= 6αΊ1α» β 2
π2π¦
ππ₯2= 4.
Mae hwn yn bositif, felly maeβn rhaid iβr pwynt arhosol (1, 1) fod yn bwynt minimwm.
Ymarferion 2.5
Darganfyddwch gyfesurynnau a natur pwyntiau arhosol pob un oβr ffwythiannau canlynol.
(a) π¦ = π₯2 β π₯ (b) π¦ = βπ₯2 + 3π₯ + 5 (c) π¦ = 3 + 18π₯ + 2π₯2
(ch) π¦ = 6π₯2 β 4π₯ (d) π¦ = π₯3 β 8π₯ (dd) π¦ = π₯3
/adolygumathemateg Tudalen 25 @mathemateg
(2f) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 26 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 27 @mathemateg
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2006)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2008)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2010)
/adolygumathemateg Tudalen 28 @mathemateg
Pennod 3: Integru
Ym mhennod 2, gwelsom sut i ddifferu ffwythiannau gwahanol.
Enghraifft 3.1
(a) π¦ = 3π₯2 + 7π₯ (b) π¦ = 4π₯3 β 9π₯ + 2 (c) π¦ = 9π₯7 + ΞΎπ₯ (ch) π¦ = 4
ππ¦
ππ₯= 6π₯ + 7
ππ¦
ππ₯= 12π₯2 β 9
ππ¦
ππ₯= 63π₯6 +
1
2π₯β
1
2 ππ¦
ππ₯= 0
Yn yr un ffordd mae rhannu yn dadwneud lluosi, ac mae tynnu yn dadwneud adio, integru ywβr broses o
ddadwneud differu. Mae un peth yn cymhlethu pethau fodd bynnag β mae nifer o ffwythiannau
gwahanol yn gallu differu i roiβr un ateb.
Enghraifft 3.2
(a) π¦ = 2π₯2 + 5 (b) π¦ = 2π₯2 + 45 (c) π¦ = 2π₯2 β 15 (ch) π¦ = 2π₯2 + 2.4738
ππ¦
ππ₯= 4π₯
ππ¦
ππ₯= 4π₯
ππ¦
ππ₯= 4π₯
ππ¦
ππ₯= 4π₯
I ddelio efoβr broblem yma, rydym yn defnyddio cysonyn integru k fel pan rydym yn integru ffwythiant,
rydym yn ystyried yr holl atebion syβn bosib.
Enghraifft 3.3
Os yw ππ¦
ππ₯= 4π₯, yna maeβn rhaid i y fod oβr ffurf π¦ = 2π₯2 + π, ble mae k yn gysonyn integru syβn
cynrychioli unrhyw rif.
Nodiant
Rydym yn defnyddio nodiant arbennig i ddangos ein bod yn integru ffwythiant. I gychwyn, rydym yn
ysgrifennuβr symbol integru β« ; wedyn rydym yn ysgrifennuβr ffwythiant rydym eisiau integru; ac olaf
rydym yn nodi pa newidyn rydym yn differu mewn perthynas Γ’. Golygai hyn ein bod yn ysgrifennu ππ₯ os
rydym yn integru mewn perthynas ag x; yn ysgrifennu ππ¦ os rydym yn integru mewn perthynas ag y; ac
yn y blaen.
Enghraifft 3.4
Gan ddefnyddioβr nodiant cywir, dyma sut i osod allan y cyfrifiad yn Enghraifft 3.3:
β« 4π₯ ππ₯ = 2π₯2 + π
Maeβn bosib darllen y llinell uchod fel yma: βRydym yn integru 4x mewn perthynas ag x i roiβr ateb
2xΒ² + kβ.
Mae rhai llyfrau yn defnyddio c
fel cysonyn integru, nid k.
/adolygumathemateg Tudalen 29 @mathemateg
(3a) Sut i Integru
O bennod 2, cofiwn ein bod yn differu unrhyw derm trwy βluosiβr pΕ΅er efoβr rhif cyn y term ac wedyn
tynnu un oddi wrth y pΕ΅erβ. I ddadwneud hyn, hynny ydi i integru unrhyw derm, maeβn rhaid βadio un iβr
pΕ΅er ac yna rhannu gydaβr pΕ΅er newyddβ. Er enghraifft, gydaβr term 12xΒ², rydym yn adio un iβr pΕ΅er er
mwyn cael 12xΒ³, ac yna yn rhannu efoβr pΕ΅er newydd (3) i gael ateb terfynol 4xΒ³. Mewn symbolau, os ydi
a ac n yn cynrychioli unrhyw rifau, yna rydym yn integru term cyffredinol oβr ffurf ππ₯π fel yma:
Mae β« ππ₯π ππ₯ =ππ₯π+1
π+1+ π.
Enghraifft 3.5
(a) β« 3π₯2 + 4π₯ + 2 ππ₯ = π₯3 + 2π₯2 + 2π₯ + π
(b) β« 4π₯β1
2 ππ₯ = 8π₯1
2 + π
(c) β« 2ΞΎπ₯3
+1
π₯5ππ₯ = β« 2π₯
1
3 + π₯β5 ππ₯
= 2π₯
43
4
3
+π₯β4
β4+ π
= 3
2π₯
4
3 β1
4π₯β4 + π
Ymarferion 3.1
(a) β« 3π₯2 ππ₯ (b) β« 5π₯ ππ₯ (c) β« 7π₯2 ππ₯ (ch) β«1
4π₯3 ππ₯
(d) β« 16π₯7 ππ₯ (dd) β« 12π¦2 ππ¦ (e) β« 3 ππ₯ (f) β« 6π₯2 +4π₯ + 3ππ₯
(ff) β« 3π₯4 β6π₯5ππ₯ (g) β« π₯2
3 ππ₯ (ng) β« β6 ππ₯ (h) β«3
π₯3ππ₯
(i) β« ΞΎπ₯ ππ₯ (j) β«1
π¦12
ππ¦ (l) β« π₯ +1
π₯2ππ₯ (ll) β«
1
π₯4+ 2π₯
1
4 + 3π₯β1
4 ππ₯
Maeβr hen bΕ΅er n yn
cynyddu 1 i roiβr pΕ΅er
newydd n + 1, ac wedyn
rydym yn rhannu efoβr
pΕ΅er newydd yma.
/adolygumathemateg Tudalen 30 @mathemateg
(3b) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 31 @mathemateg
(Lefel A Modiwl C2 Haf 2007)
(Lefel A Modiwl C2 Gaeaf 2009)
/adolygumathemateg Tudalen 32 @mathemateg
(3c) Integru Pendant
Yn ogystal Γ’ dadwneud differu, mae gan integru bwrpas arall: i ddarganfod yr arwynebedd o dan unrhyw
graff.
Enghraifft y Siglen FΓ΄r Mae Siglen FΓ΄r iβw weld mewn ffair leol. Maeβn cymryd 6 eiliad union iβr
llong fynd o un ochr iβr llall. Mae buanedd y llong, wrth iddi fynd o un ochr
iβr llall, yn cael ei fodelu gan y polynomial π¦ = 6π₯ β π₯2. Pa mor bell maeβr
llong yn teithio wrth fynd o un ochr iβr llall?
Gallwn lunioβr tabl canlynol er mwyn cael rhyw fath o syniad o fuanedd y
llong yn ystod ei daith.
x β1 0 1 2 3 4 5 6 7
y = 6x β xΒ² β7 0 5 8 9 8 5 0 β7
Gallwn wedyn blotio buanedd y llong ar graff.
Er mwyn darganfod y pellter maeβr llong yn teithio wrth fynd o un ochr iβr llall, rydym angen darganfod yr
arwynebedd o dan y graff rhwng x = 0 ac x = 6. Maeβn bosib cyfrifo amcangyfrif oβr arwynebedd yma trwy
ddefnyddio Rheol y Trapesiwm (gwaith TGAU), ond nawr gallwn ddefnyddio integru i roi ateb union
gywir. Yr hyn sydd angen ei wneud yw integruβr ffwythiant y = 6x β xΒ², ac yna darganfod y gwahaniaeth
rhwng y rhifau rydym yn ei gael trwy amnewid x = 0 ac x = 6 i mewn iβr ffwythiant newydd. Yn
fathemategol, rydym yn gosod allan y cyfrifiad yma fel y dangosir isod.
x
Amser (s)
y
Buanedd (m/s)
/adolygumathemateg Tudalen 33 @mathemateg
Arwynebedd o dan y graff rhwng x = 0 ac x = 6 = β« 6π₯ β π₯2 ππ₯6
0
= [3π₯2 β1
3π₯3] 6
0
= (3αΊ6α»2 β1
3αΊ6α»3) β (3αΊ0α»2 β
1
3αΊ0α»3)
= (3αΊ36α» β1
3αΊ216α») β αΊ0 β 0α»
= αΊ108 β 72α» β αΊ0α» = 36 Felly maeβr siglen fΓ΄r yn teithio 36m wrth fynd o un ochr iβr llall.
Ble maeβr cysonyn integru wedi mynd?
Yn y cyfrifiad uchod, maeβn edrych yn debyg ein bod wedi anghofio cynnwys y cysonyn integru wrth
integruβr ffwythiant 6π₯ β π₯Β² i roiβr ffwythiant 3π₯2 β1
3π₯3. Y rheswm pam rydym wedi ysgrifennu
[3π₯2 β1
3π₯3] 6
0 a nid [3π₯2 β
1
3π₯3 + π] 6
0 yw nad oes angen cynnwys y cysonyn integru wrth ddarganfod
arwynebedd o dan graff. I ddeall pam, gad i ni wneud y cyfrifiad uchod eto, ond y tro yma gan gynnwys y
cysonyn integru.
Arwynebedd o dan y graff rhwng x = 0 ac x = 6 = β« 6π₯ β π₯2 ππ₯6
0
= [3π₯2 β1
3π₯3 + π] 6
0
= (3αΊ6α»2 β1
3αΊ6α»3 + π) β (3αΊ0α»2 β
1
3αΊ0α»3 + π)
= (3αΊ36α» β1
3αΊ216α» + π) β αΊ0 β 0 + πα»
= αΊ108 β 72 + πα» β αΊπα» = 36 + π β π = 36
Gwelwn ein bod yn cael yr un ateb ac oβr blaen, a bod y cysonyn integru wedi diflannu yn ystod y
cyfrifiad. Bydd hyn yn wir mewn unrhyw gyfrifiad ble rydym yn darganfod yr arwynebedd o dan graff,
felly nid oes angen cynnwys y cysonyn integru yn ein cyfrifiadau.
Rydym yn integruβr
ffwythiant
y = 6x β xΒ² rhwng
x = 0 ac x = 6.
Rydym yn amnewid x = 6 ac x = 0
i mewn iβr ffwythiant newydd, ac
yn darganfod y gwahaniaeth
rhwng y ddau rif.
/adolygumathemateg Tudalen 34 @mathemateg
Enghraifft 3.6
(a) β« 9π₯2 + 6 ππ₯5
1 (b) β« 3 + 4π₯ ππ₯
2
β4
= [3π₯3 + 6π₯] 51 = [3π₯ + 2π₯2] 2
β4
= αΊ3αΊ5α»3 + 6αΊ5α»α» β αΊ3αΊ1α»3 + 6αΊ1α»α» = αΊ3αΊ2α» + 2αΊ2α»2α» β αΊ3αΊβ4α» + 2αΊβ4α»2α»
= αΊ375 + 30α» β αΊ3 + 6α» = αΊ6 + 8α» β αΊβ 12 + 32α»
= 405 β 9 = 14 β 20
= 396 = β6
Ymarferion 3.2
(a) β« π₯3 + 1 ππ₯4
2 (b) β« π₯3 + 1 ππ₯
β1
β2 (c) β« 2π₯2 + 5 ππ₯
3
2 (ch) β« π₯2 + 2π₯ ππ₯
3
0
(d) β« π₯2 + 2 ππ₯3
2 (dd) β« π₯4 ππ₯
3
1 (e) β«
1
3π₯4 + 3π₯2 ππ₯
2
0 (f) β« 7π₯ ππ₯
5
2
/adolygumathemateg Tudalen 35 @mathemateg
(3ch) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(TGAU Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
/adolygumathemateg Tudalen 36 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
/adolygumathemateg Tudalen 37 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 38 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 39 @mathemateg
Pennod 4: Geometreg Cyfesurynnau Cartesaidd
Rydych yn gyfarwydd erbyn hyn efoβr syniad o ddefnyddio cyfesurynnau Cartesaidd i leoli unrhyw bwynt
mewn plΓ’n: gellir ysgrifennu unrhyw gyfesuryn oβr fath yn y ffurf (a, b), syβn golygu βa ar draws, b i fynyβ.
Yn y bennod yma byddwn yn egluro sut i gyfrifoβr pellter rhwng unrhyw ddau gyfesuryn mewn plΓ’n, ac
yn egluro sut i gynrychioli a defnyddio llinellau gwahanol yn y plΓ’n.
(4a) Pellter rhwng dau bwynt
Oβch gwaith TGAU, fe gofiwch sut i ddefnyddio Theorem Pythagoras i ddarganfod hyd hypotenws unrhyw
driongl ongl sgwΓ’r.
ππ = ππ + ππ felly π = ΞΎππ + ππ
Ystyriwch nawr unrhyw ddau bwynt (x1, y1), (x2, y2) mewn plΓ’n.
I ddarganfod y pellter rhwng y ddau bwynt, gellir lluniadu triongl ongl sgwΓ’r fel y dangosir isod.
/adolygumathemateg Tudalen 40 @mathemateg
Mae hyd sail y triongl yn x2 β x1, ac mae uchder y triongl yn y2 β y1. Gan ddefnyddio Theorem Pythagoras,
maeβn dilyn fod hyd hypotenws y triongl yn cael ei roi gan y fformwla
ΰΆ₯αΊπ₯2 β π₯1α»2 + αΊπ¦2 β π¦1α»2
Hwn ywβr fformwla syβn cael ei ddefnyddio i ddarganfod y pellter rhwng unrhyw ddau bwynt (x1, y1) a
(x2, y2).
Enghraifft 4.1
(a) Y pellter rhwng y ddau bwynt (2, 5) a (8, β4) yw ΰΆ₯αΊ8 β 2α»2 + αΊβ4 β 5α»2 = ΰΆ₯62 + αΊβ9α»2
= ΞΎ36 + 81
= ΞΎ117
= 10.82 (i 2 le degol).
(b) Y pellter rhwng y ddau bwynt (β3, 4) a (β13, 6) yw ΰΆ₯αΊβ13 + 3α»2 + αΊ6 β 4α»2 = ΰΆ₯αΊβ10α»2 + 22
= ΞΎ100 + 4
= ΞΎ104
= 10.20 (i 2 le degol).
Ymarferion 4.1
Darganfyddwch y pellter rhwng y pwyntiau canlynol.
(a) (3, 5) a (7, 9) (b) (11, 4) a (8, 7) (c) (β2, 4) a (6, 9) (ch) (β4, β5) a (6, 7)
(d) (7, 13) a (β2, 4) (dd) (0, 4) a (13, β6) (e) (β8, β10) a (β1, β2) (f) (13, β9) a (β5, β3)
/adolygumathemateg Tudalen 41 @mathemateg
(4b) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
/adolygumathemateg Tudalen 42 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 43 @mathemateg
(4c) Hafaliad Llinell Syth
Yn eich cwrs TGAU mathemateg arferol byddech wedi cyfarfod llinellau syth oβr ffurf y = mx + c.
Fe gofiwch fod pob llinell oβr ffurf yma yn torriβr echelin-y yn y pwynt (0, c) ac efo graddiant m, hynny ydi
am bob 1 uned yr awn ar draws iβr dde, rydym yn mynd m uned naill ai i fyny (os yw m yn bositif) neu i
lawr (os yw m yn negatif). Dyma 3 enghraifft o linellau oβr ffurf yma.
y = 3x + 5
y = β2x + 2
y = Β½x β 3
Ymarferion 4.2
Ysgrifennwch hafaliad oβr ffurf y = mx + c ar gyfer bob un oβr llinellau isod.
(a)
(b)
(c)
Byddech hefyd wedi cyfarfod llinellau syth oβr ffurf ax + by + c = 0, ble mae a, b a c yn rhifau gwahanol.
I blotioβr llinellau yma, rydym yn defnyddioβr dull βcuddiadβ, sef darganfod ble maeβr llinell yn torriβr
echelinau x ag y; plotioβr ddau bwynt yma; aβu cysylltu efo llinell syth.
x x x
y y y
x x x
y y y
/adolygumathemateg Tudalen 44 @mathemateg
Enghraifft 4.2
Plotiwch y llinell 2x + 3y + 6 = 0.
I gychwyn, rydym yn darganfod ble maeβr llinell yn torriβr echelin-y, trwy amnewid x = 0 (neu guddiad y
term efoβr x) i gael yr hafaliad 3y + 6 = 0
3y = β6
y = β2.
Ail, rydym yn darganfod ble maeβr llinell yn torriβr echelin-x, trwy amnewid y = 0 (neu guddiad y term
efoβr y) i gael yr hafaliad 2x + 6 = 0
2x = β6
x = β3.
Felly i blotioβr llinell rydym yn plotioβr pwyntiau (0, β2) a (β3, 0) ac ynaβu cysylltu efo llinell syth.
Ymarferion 4.3
Plotiwch y llinellau canlynol ar bapur graff.
(a) 3x + 4y β 12 = 0 (b) 5x β 3y + 15 = 0 (c) β4x + 8y β 2 = 0
Plotio llinell trwy wybod un pwynt ar y llinell aβi raddiant
Rydym nawr am ystyried trydedd ffordd o gynrychioli llinell syth. O wybod graddiant m y llinell, ag
unrhyw bwynt (x1, y1) ar y llinell, yna gallwn gynrychioliβr llinell gan ddefnyddioβr hafaliad
π¦ β π¦1 = παΊπ₯ β π₯1α»
Enghraifft 4.3
(a) Beth yw hafaliad y llinell syth syβn mynd trwyβr pwynt (4, 7) ac sydd efo graddiant 3?
Ateb: Hafaliad y llinell yw y β 7 = 3(x β 4)
y = 3x β 5
x
y
/adolygumathemateg Tudalen 45 @mathemateg
(b) Beth yw hafaliad y llinell syth syβn mynd trwyβr pwynt (β5, 9) ac sydd efo graddiant β6?
Ateb: Hafaliad y llinell yw y β 9 = β6(x + 5)
y = β6x β 21
Ymarferion 4.4
Darganfyddwch hafaliadauβr llinellau syth efoβr priodweddau canlynol.
(a) Graddiant 4; yn mynd trwyβr pwynt (3, 2). (b) Graddiant β3; yn mynd trwyβr pwynt (4, β6).
(c) Graddiant β1; yn mynd trwyβr pwynt (β4, β5). (ch) Graddiant Β½; yn mynd trwyβr pwynt (β2, 7).
(d) Graddiant βΒΎ; yn mynd trwyβr pwynt (Β½, β3). (dd) Graddiant 10; yn mynd trwyβr pwynt (0, β4).
(4ch) Llinellau Paralel a Pherpendicwlar
Ystyriwch linell syβn pasio trwyβr ddau bwynt (β2, β2) a (1, 2).
I ddarganfod graddiant y llinell yma, gallwn lunio triongl ongl sgwΓ’r fel y dangosir isod.
Wrth edrych ar y triongl, gwelwn am bob 3 uned yr awn iβr dde, rydym yn mynd 4 uned i fyny. Maeβn
dilyn mai graddiant y llinell yw 4
3 (am bob 1 uned yr awn iβr dde, rydym yn mynd
4
3 uned i fyny).
/adolygumathemateg Tudalen 46 @mathemateg
Yn gyffredinol, ar gyfer llinell syβn pasio trwyβr pwyntiau (x1, y1), (x2, y2) mewn plΓ’n, rydym yn llunioβr
triongl a ddangosir isod.
Hyd sail y triongl yw x2 β x1, ac uchder y triongl yw y2 β y1. Maeβn dilyn mai graddiant y llinell syβn cysylltu
(x1, y1) a (x2, y2) yw π¦2 β π¦1
π₯2 β π₯1
Enghraifft 4.4
(a) Beth yw graddiant y llinell syth syβn pasio trwyβr pwyntiau (β2, β2) a (1, 2)?
Gan ddefnyddioβr fformwla (efo (x1, y1) = (β2, β2) a (x2, y2) = (1, 2)), y graddiant yw 2ββ2
1ββ2=
4
3. Mae hyn yn
cytuno efoβr cyfrifiadau ar y dudalen flaenorol.
(b) Beth yw graddiant y llinell syth syβn pasio trwyβr pwyntiau (4, β5) a (β3, 10)?
Gan ddefnyddioβr fformwla (efo (x1, y1) = (4, β5) a (x2, y2) = (β3, 10)), y graddiant yw 10ββ5
β3β4=
15
β7= β
15
7.
Ymarferion 4.5
Darganfyddwch raddiant y llinell syth syβn cysylltuβr parau canlynol o bwyntiau.
(a) (4, 7) a (2, 4) (b) (10, 4) a (5, 6) (c) (β3, 5) a (6, 2)
(ch) (β1, 4) a (0, 14) (d) (β6, β8) a (β2, β10) (dd) (25, β36) a (β12, 89)
/adolygumathemateg Tudalen 47 @mathemateg
Llinellau Paralel a Pherpendicwlar
Gadewch iβr llinellau πΏ1 ag πΏ2 gael graddiannau π1 ag π2, yn Γ΄l eu trefn.
(a) Os yw πΏ1 ag πΏ2 yn baralel yna mae π1 = π2.
(b) Os yw πΏ1 ag πΏ2 yn berpendicwlar yna mae π1 = β1
π2 a π2 = β
1
π1.
(Mae un graddiant yn negatif cilydd y llall.)
Enghraifft 4.5
(a) Beth yw graddiant llinell syβn baralel iβr llinell y = 5x β 3?
Ateb: Graddiant y llinell y = 5x β 3 yw 5, felly bydd unrhyw linell syβn baralel i y = 5x β 3 hefyd efo
graddiant 5.
(b) Mae llinell syth πΏ1 yn cysylltuβr pwyntiau (5, 9) a (3, 4). Mae llinell syth arall πΏ2 yn baralel i πΏ1.
Beth yw graddiant πΏ2?
Ateb: Graddiant πΏ1 yw 4β9
3β5=
β5
β2=
5
2. Felly graddiant πΏ2 yw
5
2.
(c) Beth yw graddiant llinell syβn berpendicwlar iβr llinell y = 3x + 4?
Ateb: Graddiant y llinell y = 3x + 4 yw 3, felly bydd unrhyw linell syβn berpendicwlar i y = 3x + 4 efo
graddiant β1
3.
(ch) Beth yw graddiant llinell syβn berpendicwlar iβr llinell y = βΒΎx β2?
Ateb: Y graddiant yw 4
3.
(d) Mae llinell syth πΏ1 yn cysylltuβr pwyntiau (β4, 14) a (10, 3). Mae llinell syth arall πΏ2 yn berpendicwlar
(d) i i πΏ1. Beth yw graddiant πΏ2?
Ateb: Graddiant πΏ1 yw 3β14
10ββ4=
β11
14= β
11
14. Felly graddiant πΏ2 yw
14
11.
Ymarferion 4.6
(a) Beth yw graddiant llinell syβn berpendicwlar i y = 5x + 3?
(b) Beth yw graddiant llinell syβn baralel i y = β3x + 9?
(c) Mae llinell syth πΏ1 yn cysylltuβr pwyntiau (9, 1) a (β3, 6). Mae llinell syth arall πΏ2 yn baralel i πΏ1.
Beth yw graddiant πΏ2?
(ch) Mae llinell syth πΏ1 yn cysylltuβr pwyntiau (β10, β20) a (5, 10). Mae llinell syth arall πΏ2 yn
berpendicwlar i πΏ1. Beth yw graddiant πΏ2?
/adolygumathemateg Tudalen 48 @mathemateg
(4d) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
/adolygumathemateg Tudalen 49 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
/adolygumathemateg Tudalen 50 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2006)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 51 @mathemateg
Pennod 5: Datrys Hafaliadau
Byddwch yn gyfarwydd oβch gwaith TGAU sut i ddatrys amryw o hafaliadau, megis y rhai a ddangosir
isod.
2π₯ + 3 = 9 4π₯ β 5 = 2π₯ + 13 π₯
4= 13
8π₯
4π₯β3+
20
3π₯+2= 10
Yn y bennod yma byddwn yn cyflwyno mwy o ddulliau er mwyn datrys hafaliadau gwahanol.
(5a) Cwblhauβr SgwΓ’r
Ystyriwch sut i ddatrys yr hafaliad xΒ² + 8x β 6 = 0. Fel cam cyntaf, byddwn yn ceisio ffactorioβr hafaliad i
gael pΓ’r o gromfachau,
( )( ) = 0.
Ar Γ΄l gweld nad oes ffordd o wneud hyn gan ddefnyddio rhifau cyfan yn y cromfachau, byddwn yn ceisio
datrys yr hafaliad gan ddefnyddioβr fformwla gwadratig,
π₯ =βπ Β± ΞΎπ2 β 4ππ
2π.
Yn yr enghraifft, gwelwn fod π₯ =β8Β±ΞΎ82β4Γ1Γβ6
2Γ1
π₯ =β8Β±ΞΎ88
2
π₯ = β4 Β± ΞΎ22
Er mwyn egluro ble maeβr fformwla gwadratig yn dod o, byddwn nawr yn ystyried ffordd newydd o
ddatrys hafaliadau, sef y dull o gwblhauβr sgwΓ’r.
Ehangu (x + a)Β²
Cofiwch fod sgwario yn golygu lluosi efoβi hun fel bod, er enghraifft, 4Β² = 4 Γ 4 = 16. Gallwn ddefnyddioβr
un syniad i ehangu mynegiadau megis (x + 4)Β², (x β 3)Β² a (x + 13)Β².
(x + 4)Β² = (x + 4)(x + 4) (x β 3)Β² = (x β 3)(x β 3) (x + 13)Β² = (x + 13)(x + 13)
= xΒ² + 4x + 4x + 16 = xΒ² β 3x β 3x + 9 = xΒ² + 13x + 13x + 169
= xΒ² + 8x + 16 = xΒ² β 6x + 9 = xΒ² + 26x + 169
Sylwch ar y cysylltiad rhwng yr ochr chwith aβr ochr dde: maeβr rhif yn y gromfach (4, β3 neu 13) yn cael
ei ddyblu i roi cyfernod yr x ar yr ochr dde (8, β6 neu 26), ac yn cael ei sgwario i roiβr rhif 16, 9 neu 169.
Yn gyffredinol, ar gyfer (x + a)Β², ble mae a yn cynrychioli unrhyw rif, byddwn yn cael
(x + a)Β² = xΒ² + 2ax + aΒ².
/adolygumathemateg Tudalen 52 @mathemateg
Gallwn ail-drefnuβr hafaliad yma i roi
(x + a)Β² β aΒ² = xΒ² + 2ax
neu xΒ² + 2ax = (x + a)Β² β aΒ²
Cwblhauβr SgwΓ’r
Ystyriwch etoβr hafaliad xΒ² + 8x β 6 = 0. Yn benodol, gadewch i ni ystyried y ddau derm cyntaf yn yr
hafaliad, sef xΒ² + 8x. Os rydym yn ysgrifennuβr ddau derm yma fel xΒ² + 2(4x), gwelwn fod modd
defnyddioβr hafaliad yr ydym newydd ei ail-drefnu i ysgrifennu xΒ² + 8x mewn ffordd wahanol:
xΒ² + 8x = (x + 4)Β² β 16.
Maeβn dilyn bod modd datrys yr hafaliad xΒ² + 8x β 6 = 0 fel yma:
xΒ² + 8x β 6 = 0
(x + 4)Β² β 16 β 6 = 0
(x + 4)Β² β 22 = 0
(x + 4)Β² = 22
x + 4 = Β±ΞΎ22
x = β4 Β± ΞΎ22
Gan weithio i 2 le degol, maeβn bosib cyfrifo fod x naill ai yn β4 + ΞΎ22, sef 0.69, neu fod x yn β4 β ΞΎ22,
sef β8.69.
Enghraifft 5.1
Gadewch i ni ddatrys yr hafaliadau xΒ² + 10x + 4 = 0, xΒ² β 16x β 3 = 0 a xΒ² + 5x + 2 = 0 trwy gwblhauβr sgwΓ’r.
xΒ² + 10x + 4 = 0 xΒ² β 16x β 3 = 0 xΒ² + 5x + 2 = 0
(x + 5)Β² β 25 + 4 = 0 (x β 8)Β² β 64 β 3 = 0 (x + 2.5)Β² β 6.25 + 2 = 0
(x + 5)Β² β 21 = 0 (x β 8)Β² β 67 = 0 (x + 2.5)Β² β 4.25 = 0
(x + 5)Β² = 21 (x β 8)Β² = 67 (x + 2.5)Β² = 4.25
x + 5 = Β±ΞΎ21 x β 8 = Β±ΞΎ67 x + 2.5 = Β±ΞΎ4.25
x = β5 Β± ΞΎ21 x = 8 Β± ΞΎ67 x = β2.5 Β± ΞΎ4.25
x = β0.42 neu x = β9.58 x = 16.19 neu x = β0.19 x = β0.44 neu x = β4.56
(yn gywir i 2 le degol) (yn gywir i 2 le degol) (yn gywir i 2 le degol)
Ymarferion 5.1
Datryswch yr hafaliadau canlynol trwy gwblhauβr sgwΓ’r. Rhowch eich atebion yn gywir i 2 le degol.
(a) xΒ² + 12x + 6 = 0 (b) xΒ² β 6x β 13 = 0 (c) xΒ² + 20x β 15 = 0
(ch) xΒ² + 2x β 85 = 0 (d) xΒ² + 7x + 3 = 0 (dd) xΒ² β 9x β 1 = 0
Mae 4 yn hanner 8,
ac mae 16 yn 4 wedi
ei sgwario.
/adolygumathemateg Tudalen 53 @mathemateg
Y Fformwla Gwadratig
Ystyriwch yn awr unrhyw hafaliad cwadratig oβr ffurf axΒ² + bx + c = 0, ble mae a, b a c yn rhifau gwahanol.
Gadewch i ni ddatrys yr hafaliad yma trwy gwblhauβr sgwΓ’r.
ππ₯2 + ππ₯ + π = 0
π₯2 +π
ππ₯ +
π
π= 0
(π₯ +π
2π)
2
β (π
2π)
2
+π
π= 0
(π₯ +π
2π)
2
βπ2
4π2+
π
π= 0
(π₯ +π
2π)
2
βπ2
4π2+
4ππ
4π2= 0
(π₯ +π
2π)
2
=π2
4π2β
4ππ
4π2
(π₯ +π
2π)
2
=π2 β 4ππ
4π2
π₯ +π
2π= Β±β
π2 β 4ππ
4π2
π₯ = βπ
2πΒ± β
π2 β 4ππ
4π2
π₯ = βπ
2πΒ±
ΞΎπ2 β 4ππ
2π
π₯ =βπ Β± ΞΎπ2 β 4ππ
2π
Wrth gwblhauβr sgwΓ’r, gwelwn ein bod yn cyrraedd y fformwla gwadratig rydym yn gyfarwydd efo.
Gwerthoedd Lleiaf
Mae gan bob hafaliad oβr ffurf xΒ² + bx + c siΓ’p βUβ, fel y gellid gweld oβr
enghraifft ar y dde oβr hafaliad y = xΒ² + 4x β 5. Maeβn dilyn bod gan bob
hafaliad oβr ffurf xΒ² + bx + c werth lleiaf. Ym mhennod 2, gwelsom fod
modd datrys yr hafaliad ππ¦
ππ₯= 0 er mwyn darganfod pwyntiau arhosol,
ac felly darganfod pwyntiau minimwm neu werthoedd lleiaf. Rydym yn
awr am ddisgrifio ffordd wahanol o ddarganfod gwerth lleiaf hafaliad
oβr ffurf xΒ² + bx + c, sef trwy gwblhauβr sgwΓ’r.
Rhannu pob
term efo a
Cwblhauβr
SgwΓ’r
Sgwarioβr ail
gromfach Lluosi top a gwaelod y
ffracsiwn π
π efo 4a
Trosglwyddo dau
ffracsiwn iβr ochr dde
Ail israddio
bob ochr
Trosglwyddoβr
ffracsiwn iβr ochr dde
Defnyddio ΞΎ4π2 = 2π
x
y
/adolygumathemateg Tudalen 54 @mathemateg
Enghraifft 5.2
(a) Ystyriwch yr hafaliad xΒ² + 4x β 5. Gallwn gwblhauβr sgwΓ’r ar gyfer yr hafaliad yma fel y dangosir isod.
π₯2 + 4π₯ β 5
αΊπ₯ + 2α»2 β 4 β 5
αΊπ₯ + 2α»2 β 9
Beth bynnag yw gwerth x, mae gwerth (x + 2)Β² o hyd yn mynd i fod yn bositif, gan fod sgwario unrhyw rif
yn rhoi ateb positif. Maeβn dilyn fod gwerth lleiaf xΒ² + 4x β 5 yn digwydd pan fo gwerth (x + 2)Β² ar ei leiaf.
Ond mae hyn yn digwydd pan fo x = β2 (wedyn mae (x + 2)Β² = (β2 + 2)Β² = 0) ac felly gwerth lleiaf
xΒ² + 4x β 5 yw β9. (Gallwn wirio hyn trwy edrych ar y graff ar waelod y tudalen blaenorol.)
(b) Ystyriwch yr hafaliad xΒ² β 6x + 3. (c) Ystyriwch yr hafaliad xΒ² + 13x β 15.
Cwblhauβr SgwΓ’r: Cwblhauβr SgwΓ’r:
π₯2 β 6π₯ + 3 π₯2 + 13π₯ β 15
αΊπ₯ β 3α»2 β 9 + 3 αΊπ₯ + 61
2α»2 β αΊ6
1
2α»2 β 15
αΊπ₯ β 3α»2 β 6 αΊπ₯ + 61
2α»2 β 57
1
4
Felly gwerth lleiaf xΒ² β 6x + 3 yw β6. Felly gwerth lleiaf xΒ² + 13x β 15 yw β571
4
Ymarferion 5.2
Darganfyddwch werth lleiaf yr hafaliadau canlynol trwy gwblhauβr sgwΓ’r.
(a) xΒ² + 8x + 6 (b) xΒ² β 14x β 11 (c) xΒ² + 22x + 45
(ch) xΒ² + 2x β 95 (d) xΒ² + 5x + 9 (dd) xΒ² β 15x β 14
/adolygumathemateg Tudalen 55 @mathemateg
(5b) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
/adolygumathemateg Tudalen 56 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 57 @mathemateg
(5c) Datrys un hafaliad llinol ag un hafaliad cwadratig
Os rydym yn plotio llinell syth oβr ffurf y = mx + c a hafaliad cwadratig oβr ffurf y = axΒ² + bx + c ar yr un
graff, mae tri pheth yn gallu digwydd.
(1) Maeβr graffiauβn croestorri
(1) mewn 2 le.
(2) Maeβr graffiauβn croestorri
(2) mewn 1 lle.
(3) Nid ywβr graffiauβn croestorri.
Gallwn geisio darganfod cyfesurynnau unrhyw groestorfannau trwy ddatrys yr hafaliad llinol aβr hafaliad
cwadratig.
Enghraifft 5.3
Cyfrifwch gyfesurynnau dau groestorfan y gromlin y = xΒ² + 4x β 1 aβr llinell y = 7x + 9.
Rydym yn chwilio am bwyntiau ble mae gwerth xΒ² + 4x β 1 yn hafal i werth 7x + 9, felly rydym angen
datrys yr hafaliad xΒ² + 4x β1 = 7x + 9.
xΒ² + 4x β 1 = 7x + 9
xΒ² + 4x β 7x β 1 β 9 = 0
xΒ² β 3x β 10 = 0
(x β 5)(x + 2) = 0
Felly naill ai x β 5 = 0 neu x + 2 = 0
x = 5 x = β2
Ar Γ΄l darganfod cyfesurynnauβx y croestorfannau, y cwbl sydd ar Γ΄l iβw wneud yw darganfod
cyfesurynnauβy y croestorfannau. Rydym yn gwneud hyn trwy amnewid i un oβr hafaliadau gwreiddiol.
/adolygumathemateg Tudalen 58 @mathemateg
Os yw x = 5 yna y = 7x + 9 Os yw x = β 2 yna y = 7x + 9
y = 7(5) + 9 y = 7(β2) + 9
y = 44 y = β5
Felly cyfesurynnau croestorfannauβr gromlin y = xΒ² + 4x β 1 aβr llinell y = 7x + 9 yw (5, 44) a (β2, β5).
Enghraifft 5.4
Cyfrifwch gyfesuryn croestorfan y gromlin y = xΒ² β 2x + 10 aβr llinell y = 6x β 6.
Rydym yn chwilio am bwynt ble mae gwerth xΒ² β 2x + 10 yn hafal i werth 6x β 6, felly rydym angen datrys
yr hafaliad xΒ² β 2x + 10 = 6x β 6.
xΒ² β 2x + 10 = 6x β 6
xΒ² β 8x + 16 = 0
(x β 4)(x β 4) = 0
Felly naill ai x β 4 = 0 neu x β 4 = 0
x = 4 x = 4
Gwelwn fod yr un ateb yn ymddangos dwywaith, felly dim ond un croestorfan syβn bodoli. I ddarganfod
cyfesurynβy y croestorfan yma, rydym yn amnewid x = 4 i mewn i un oβr hafaliadau gwreiddiol.
Os yw x = 4 yna y = 6x β 6
y = 6(4) β 6
y = 18
Felly cyfesuryn croestorfan y gromlin y = xΒ² β 2x + 10 aβr llinell y = 6x β 6 yw (4, 18).
Enghraifft 5.5
Dangoswch nad ywβr gromlin y = xΒ² + 4x + 9 aβr llinell y = 5x + 2 yn croestorri.
Rydym angen dangos nad oes datrysiadau iβr hafaliad xΒ² + 4x + 9 = 5x + 2.
xΒ² + 4x + 9 = 5x + 2
xΒ² β x + 7 = 0
Gan ddefnyddioβr fformwla gwadratig, efo a = 1, b = β1 ag c = 7:
π₯ =1Β±ΰΆ₯αΊβ1α»2β4αΊ1α»αΊ7α»
2αΊ1α»
/adolygumathemateg Tudalen 59 @mathemateg
π₯ =1Β±ΞΎ1β28
2
π₯ =1Β±ΞΎβ27
2
Gan nad oes gwerth real i ΞΎβ27, nid oes gan yr hafaliad xΒ² + 4x + 9 = 5x + 2 unrhyw ddatrysiadau real.
Felly, nid ywβr gromlin y = xΒ² + 4x + 9 aβr llinell y = 5x + 2 yn croestorri.
Ymarferion 5.3
Darganfyddwch gyfesurynnau unrhyw groestorfannau iβr cromliniau aβr llinellau canlynol.
(a) y = xΒ² + 2x β 6, y = β3x β 12 (b) y = xΒ² + 2x + 7, y = 6x + 3
(c) y β 10x = 5, y = xΒ² + 7x + 5 (ch) y = xΒ² β 9, y = x + 3
(d) y = xΒ² + 3x + 4, y = 4x + 7 (dd) y = xΒ² + 5x β 2, y = x β 2
(e) y = xΒ² β 3x + 3, y β 3x = β6 (f) y = xΒ² β 3x + 8, y = 6x β 20
/adolygumathemateg Tudalen 60 @mathemateg
(5ch) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 61 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 62 @mathemateg
Pennod 6: Problemau Tri Dimensiwn
Maeβr mwyafrif oβr arholiad Mathemateg Ychwanegol yn dopigau newydd syβn cael eu disgrifio yn y
gwerslyfr yma; maeβr gweddill yn gwestiynau TGAU Mathemateg βanoddachβ. Yn y bennod yma byddwn
yn disgrifio un ffordd o wneud cwestiynau yn βanoddachβ, sef eu gosod mewn cyd-destun tri dimensiwn.
(6a) Theorem Pythagoras
Gallwn ddefnyddio Theorem Pythagoras i ddarganfod hyd hypotenws unrhyw driongl ongl sgwΓ’r,
ππ = ππ + ππ felly π = ΞΎππ + ππ
Maeβn bosib ail-drefnu Theorem Pythagoras er mwyn darganfod hydoedd yr ochrau a a b hefyd.
ππ = ππ β ππ felly π = ΞΎππ β ππ
ππ = ππ β ππ felly π = ΞΎππ β ππ
Enghraifft 6.1
Yn y ciwboid isod, darganfyddwch hyd y groeslin AH.
/adolygumathemateg Tudalen 63 @mathemateg
Er mwyn darganfod hyd AH, maeβn rhaid defnyddioβr triongl ongl sgwΓ’r a ddangosir isod.
Yn gyntaf, rhaid defnyddio Theorem Pythagoras i ddarganfod hyd y groeslin EH.
EHΒ² = EFΒ² + FHΒ²
EHΒ² = 12Β² + 5Β²
EHΒ² = 169
EH = ΞΎ169
EH = 13cm
Unwaith rydym yn gwybod hyd EH, gallwn ddefnyddio Theorem Pythagoras eto i ddarganfod hyd AH.
AHΒ² = AEΒ² + EHΒ²
AHΒ² = 6Β² + 13Β²
AHΒ² = 205
AH = ΞΎ205
AH = 14.32cm (yn gywir i 2 le degol).
Ymarferion 6.1
(a) Defnyddiwch Theorem Pythagoras i ddarganfod yr hydoedd canlynol yn y ciwboid a ddangosir isod.
(1) (i) FG (ii) CH (iii) AH (iv) AG (v) BG
(b) Mae can o ddiod ar ffurf silindr efo uchder 11.5cm a radiws 3cm.
(2) Beth yw hyd y gwelltyn mwyaf syβn ffitio i mewn iβr can?
/adolygumathemateg Tudalen 64 @mathemateg
(c) Uchder y cΓ΄n isod yw 13cm, ac uchder goledd y cΓ΄n yw 16cm. Beth yw radiws sylfaen y cΓ΄n?
(6b) Trigonometreg
Gydaβr wybodaeth berthnasol, maeβn bosib defnyddio trigonometreg i gyfrifo onglau neu hydoedd
ochrau mewn trionglau ongl sgwΓ’r.
sin π =Cyferbyn
Hypotenws cos π =
Agos
Hypotenws tan π =
Cyferbyn
Agos
Enghraifft 6.2
Yn y ciwboid isod, darganfyddwch faint yr ongl π΄οΏ½ΜοΏ½πΈ.
Yn dilyn Enghraifft 6.1, maeβn bosib darganfod bod EH = 13cm trwy ddefnyddio Theorem Pythagoras.
Yna, gan ddefnyddioβr triongl AHE, gwelwn fod modd defnyddio trigonometreg i gyfrifo maint ongl π΄οΏ½ΜοΏ½πΈ.
/adolygumathemateg Tudalen 65 @mathemateg
tan π =6
13
π = tanβ1 (6
13)
π = 24.78Β°, yn gywir i 2 le degol.
Ymarferion 6.2
(a) Yn defnyddioβr ciwboid o Enghraifft 6.1, darganfyddwch yr onglau canlynol.
(i) π΄οΏ½ΜοΏ½πΆ (ii) πΉοΏ½ΜοΏ½π» (iii) πΉοΏ½ΜοΏ½πΊ (iv) (Sialens!) π΄οΏ½ΜοΏ½πΉ (Rhaid defnyddioβr Rheol Cosin.)
(b) Mae Steven eisiau adeiladu cΓ΄n efo radiws 5cm fel bod yr ongl π΄οΏ½ΜοΏ½πΆ a ddangosir yn y diagram isod yn
union 55Β°. Pa mor uchel fydd raid i gΓ΄n Steven fod?
(c) Mewn unrhyw giwb, beth ywβr ongl π΄οΏ½ΜοΏ½πΈ os yw fertigauβr ciwb wedi eu labelu fel y dangosir isod?
/adolygumathemateg Tudalen 66 @mathemateg
(6c) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
/adolygumathemateg Tudalen 67 @mathemateg
Pennod 7: Cymarebau Trigonometreg
Yn y bennod yma, byddwn yn edrych ar blotio graffiau oβr cymarebau trigonometreg sin, cos a tan; ac yn
edrych ar ddefnyddio gwerthoedd arbennig oβr cymarebau yma.
(7a) Graffiau Sin, Cos a Tan
Er mwyn plotio graffiau oβr cymarebau trigonometreg sin, cos a tan, gellir defnyddio cyfrifiannell i lenwiβr
tabl isod (rhoddir yr atebion yn gywir i 4 lle degol).
Ongl Sin Cos Tan
0Β° 0 1 0
30Β° 0.5 0.8660 0.5774
60Β° 0.8660 0.5 1.7321
90Β° 1 0 β
120Β° 0.8660 β0.5 β1.7321
150Β° 0.5 β0.8660 β0.5774
180Β° 0 β1 0
210Β° β0.5 β0.8660 0.5774
240Β° β0.8660 β0.5 1.7321
270Β° β1 0 β
300Β° β0.8660 0.5 β1.7321
330Β° β0.5 0.8660 β0.5774
360Β° 0 1 0
Gellir defnyddioβr tabl wedyn i blotioβr graffiau isod, gan ddefnyddioβr patrwm sydd iβw weld er mwyn
plotioβr gwerthoedd ble maeβr ongl yn negatif.
Graff Sin
/adolygumathemateg Tudalen 68 @mathemateg
Graff Cos
Graff Tan
Ymarferion 7.1
(a) Defnyddiwch eich gwybodaeth o drawsffurfiadau graffiau i blotioβr graffiau canlynol ar bapur graff.
Dylaiβr gwerthoedd x redeg o β360Β° i 360Β°.
(i) y = sin(x) + 0.5 (ii) y = cos(2x) (iii) y = βtan(x)
(iv) y = sin(βx) (v) y = cos(x β 60Β°) (vi) y = tan(x + 30Β°) β 2
/adolygumathemateg Tudalen 69 @mathemateg
(7b) Gwerthoedd Arbennig
Fel arfer, maeβn rhaid defnyddio cyfrifiannell mewn cwestiwn trigonometreg, er mwyn cyfrifo sin, cos
neu tan ongl benodol. Mewn rhai cwestiynau fodd bynnag, gellir cwblhauβr cwestiwn heb ddefnyddio
cyfrifiannell, gan fod gan rai onglau werthoedd arbennig ar gyfer sin, cos neu tan.
Ongl Sin Cos Tan
0Β° 0 1 0
30Β° 1
2
ΞΎ3
2
1
ΞΎ3
45Β° 1
ΞΎ2
1
ΞΎ2 1
60Β° ΞΎ3
2
1
2 ΞΎ3
90Β° 1 0 β
Enghraifft 7.1
Heb gyfrifiannell, darganfyddwch yr hydoedd coll yn y trionglau isod.
(a)
Ateb: Gwelwn fod cos 60Β° =12.5
π₯
π₯ cos 60Β° = 12.5
π₯ =12.5
cos 60Β°
π₯ =12.5
1
2
π₯ = 25cm
(b)
Ateb: Gwelwn fod sin 60Β° =π₯
4
4 Γ sin 60Β° = π₯
4 ΓΞΎ3
2= π₯
π₯ = 2ΞΎ3 cm
/adolygumathemateg Tudalen 70 @mathemateg
Ymarferion 7.2
(a) Heb gyfrifiannell, cyfrifwch yr hydoedd neuβr onglau coll yn y trionglau isod.
(i) (ii)
(iii) (iv)
(b) Heb gyfrifiannell, defnyddiwch naill aiβr Rheol Sin neuβr Rheol Cosin i ddarganfod yr hydoedd coll yn
y trionglau isod.
(i) (ii)
/adolygumathemateg Tudalen 71 @mathemateg
(7c) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 72 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
/adolygumathemateg Tudalen 73 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
/adolygumathemateg Tudalen 74 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
/adolygumathemateg Tudalen 75 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
/adolygumathemateg Tudalen 76 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 77 @mathemateg
Pennod 8: Prawf Algebraidd
Ym mathemateg, mae prawf yn dangos bod rhyw fynegiad mathemategol yn wir, ym mhob achos posibl,
trwy ddefnyddio camau rhesymegol (logical steps) fel rhan o ymresymiad argyhoeddiadol (convincing
argument). Mae nifer o dechnegau gwahanol ar gael i brofi rhyw fynegiad penodol; yn y bennod yma
byddwn yn edrych ar sut i brofi unfathiannau algebraidd cyn dechrau edrych ar sut i ysgrifennu
ymresymiadau argyhoeddiadol.
(8a) Unfathiannau Algebraidd
Erbyn nawr, byddwch yn hen gyfarwydd Γ’ defnyddioβr hafalnod = yn eich gwaith mathemateg, er
enghraifft wrth ddatrys yr hafaliad 2π₯ β 1 = 7. Ni fyddwch wedi cyfarfod y symbol unfathiant β‘ mor
aml; y gwahaniaeth rhwng yr hafalnod aβr symbol unfathiant yw bod rhaid i ddwy ochr unfathiant fod yr
un fath dim ots beth yw gwerth unrhyw newidyn fel π₯. Gwelwn felly nad ywβr hafaliad2π₯ β 1 = 7 yn
unfathiant, gan fod yr hafaliad yma ddim ond yn ddilys ar gyfer un gwerth o π₯, hynny yw π₯ = 4. Ar y llaw
arall, maeβr hafaliad π₯ + π₯ = 2π₯ yn unfathiant, gan fod dwy ochr yr hafaliad ymaβr un fath dim ots beth
yw gwerth π₯. Gallwn felly ysgrifennu π₯ + π₯ β‘ 2π₯.
Profi Unfathiannau
Er mwyn dangos fod unrhyw unfathiant yn un dilys, maeβn rhaid cychwyn efoβr mynegiad ar un ochr oβr
unfathiant aβi drawsnewid i gael y mynegiad ar ochr arall yr unfathiant.
Enghraifft 8.1
Dangoswch fod αΊ3 + π₯α»2 β‘ 9 + 6π₯ + π₯2.
Prawf. Ochr Chwith = αΊ3 + π₯α»2
= αΊ3 + π₯α»αΊ3 + π₯α»
= 9 + 3π₯ + 3π₯ + π₯2
= 9 + 6π₯ + π₯2
= Ochr Dde. QED
Enghraifft 8.2
Dangoswch fod αΊ3π₯ β 1α»αΊ3π₯ + 1α» β αΊ1 β π₯α»αΊ1 + π₯α» + 3αΊ1 β 2π₯α»αΊ1 + 2π₯α» β‘ 1 β 2π₯2.
Prawf. Ochr Chwith = αΊ3π₯ β 1α»αΊ3π₯ + 1α» β αΊ1 β π₯α»αΊ1 + π₯α» + 3αΊ1 β 2π₯α»αΊ1 + 2π₯α»
= 9π₯2 + 3π₯ β 3π₯ β 1 β αΊ1 + π₯ β π₯ β π₯2α» + 3αΊ1 + 2π₯ β 2π₯ β 4π₯2α»
= 9π₯2 β 1 β 1 + π₯2 + 3 β 12π₯2
= 1 β 2π₯2
= Ochr Dde. QED
Mae βQEDβ yn golygu
βQuod Erat
Demonstrandumβ, neu
βRwyf wedi dangos beth
roedd angen ei ddangosβ.
Defnyddio CAMO
/adolygumathemateg Tudalen 78 @mathemateg
Ymarferion 8.1
Profwch fod yr unfathiannau canlynol yn rai dilys.
(a) αΊπ₯ + 1α»2 β‘ π₯2 + 2π₯ + 1 (b) 5π₯ β 3αΊπ₯ β 2α» β‘ 2αΊπ₯ + 3α»
(c) αΊπ₯ β 8α»αΊπ₯ β 5α» β αΊπ₯ + 2α»αΊπ₯ + 7α» β‘ 26 β 22π₯ (ch) αΊπ₯ + π¦α»2 β αΊπ₯ β π¦α»2 β‘ 4π₯π¦
(d) αΊπ + πα»αΊπ2 β ππ + π2α» β‘ π3 + π3 (dd) αΊπ₯ + π¦α»3 β‘ π₯3 + 3π₯2π¦ + 3π₯π¦2 + π¦3
(8b) Prawf Ysgrifenedig
Gyda rhai mynegiadau mathemategol, rhaid ysgrifennu dadl neu ymresymiad ysgrifenedig er mwyn profi
iβr darllenwr fod y mynegiad yn un cywir.
Enghraifft 8.3
Profwch fod cyfanswm tri rhif olynol o hyd yn rhannadwy Γ’ 3.
Prawf. Gadewch i n gynrychioliβr rhif cyntaf, fel bod yr ail rif aβr trydydd rhif yn n + 1 ac n + 2,
yn Γ΄l eu trefn. Felly cyfanswm y tri rhif olynol yma yw n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
Maeβr rhif yma o hyd yn rhannadwy Γ’ 3 gan ein bod wedi ei ysgrifennu fel lluosrif o 3, sef 3
lluosi efo n + 1. Maeβn dilyn fod cyfanswm tri rhif olynol o hyd yn rhannadwy Γ’ 3.
QED
Enghraifft 8.4
Profwch fod y rhif ΞΎ2 yn anghymarebol.
Prawf. Cymerwch, iβr gwrthwyneb, fod y rhif ΞΎ2 yn gymarebol, fel bod modd ysgrifennu ΞΎ2 fel
ffracsiwn ΞΎ2 =π
π. Gadewch i ni hefyd gymryd bod y ffracsiwn yma ar ei ffurf symlaf, fel nad
oes unrhyw rif yn rhannu i mewn iβr rhifiadur aβr enwadur. Trwy sgwario bob ochr oβr hafaliad
ΞΎ2 =π
π, gwelwn fod 2 =
π2
π2, ac felly 2π2 = π2. Golygai hyn fod π2 yn eilrif, gan ei fod yn dau
lluosi efo rhyw rif π2. Ond wedyn rhaid i π ei hun fod yn eilrif, gan fod pob odrif wedi ei sgwario
yn rhoi odrif.
Felly mae π yn eilrif, syβn golygu gallwn ei ysgrifennu fel π = 2π, ble mae π yn rhyw rif.
Trwy amnewid π = 2π i mewn iβr hafaliad gwreiddiol 2π2 = π2, gwelwn fod 2π2 = αΊ2πα»2
2π2 = 4π2
π2 = 2π2.
Golygai hyn fod π2 yn eilrif, ac felly mae π ei hun yn eilrif. Rydym nawr mewn sefyllfa ble
gallwn ddweud fod ein honiad blaenorol fod y ffracsiwn π
π ar ei ffurf symlaf yn un anghywir, gan
ein bod wedi dangos fod y rhifau π a π ill dau yn eilrifau. Felly ni all y rhif ΞΎ2 fod yn gymarebol.
QED
/adolygumathemateg Tudalen 79 @mathemateg
Ymarferion 8.2
(a) Profwch fod cyfanswm dau rif olynol o hyd yn odrif.
(b) Profwch fod cyfanswm tri eilrif olynol o hyd yn rhannadwy Γ’ 6.
(c) Profwch fod lluoswm dau odrif o hyd yn odrif.
(ch) O wybod bod π3 β π3 = αΊπ β πα»αΊπ2 + ππ + π2α», profwch fod π3 β π3 o hyd yn eilrif os yw
π β π yn eilrif.
(d) (Sialens!) Profwch fod nifer anfeidredd o rifau cysefin.
(8c) Hen Gwestiynau Arholiad
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
/adolygumathemateg Tudalen 80 @mathemateg
Pennod 9: Topigau TGAU Arferol
Yn ogystal Γ’ thopigau newydd, bydd disgwyl i chi adolygu nifer o dopigau oβr cwrs TGAU arferol ar gyfer
yr arholiad mathemateg ychwanegol. Dylech ddarllen trwyβch nodiadau TGAU perthnasol cyn ceisio
unrhyw gwestiwn yn y bennod yma.
(9a) Syrdiau
(a) ΞΎπ Γ ΞΎπ = ΞΎππ (b) (ΞΎπ)2
= π (c) Rhesymoliβr enwadur
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2005)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2006)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2006)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2007)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 81 @mathemateg
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2009)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2009)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2010)
(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2011)
(Lefel A Modiwl C1 Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 82 @mathemateg
(9b) Rheolau Indecsau
(a) π₯π Γ π₯π = π₯π+π (b) π₯π Γ· π₯π = π₯πβπ (c) π₯0 = 1 (ch) αΊπ₯πα»π = π₯πΓπ
(d) 1
π₯π= π₯βπ (dd) ΞΎπ₯
π= π₯
1
π (e) ΞΎπ₯ππ= π₯
π
π = ( ΞΎπ₯π )
π
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 83 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 84 @mathemateg
(9c) Mynegiadau Cwadratig
(a) Ffactorio a datrys hafaliadau oβr ffurf xΒ² + bx + c = 0.
(b) Ffactorio a datrys hafaliadau oβr ffurf axΒ² + bx + c = 0.
(c) Ffactorio a datrys hafaliadau gan ddefnyddioβr gwahaniaeth rhwng dau rif sgwΓ’r,
e.e. xΒ² β 25 = 0, 3xΒ² - 48 = 0.
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
/adolygumathemateg Tudalen 85 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 86 @mathemateg
(9ch) Ffracsiynau Algebraidd
(a) Symleiddio mynegiadau oβr ffurf π
ππ₯Β±πΒ±
π
ππ₯Β±πΒ±
π
β. (b) Datrys hafaliadau oβr ffurf
π
ππ₯Β±πΒ±
π
ππ₯Β±π=
π
β.
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2017)
/adolygumathemateg Tudalen 87 @mathemateg
(9d) Hyd, Arwynebedd, Cyfaint
(a) Cyfaint ac arwynebedd arwyneb sfferau, conau a phyramidiau. (b) Hyd arcau crwn.
(c) Arwynebedd segmentau a sectorau cylchoedd.
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
/adolygumathemateg Tudalen 88 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2011)
/adolygumathemateg Tudalen 89 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2012)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2013)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2014)
/adolygumathemateg Tudalen 90 @mathemateg
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2015)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2016)
/adolygumathemateg Tudalen 91 @mathemateg
(Lefel A Modiwl C2 Gaeaf 2007)
(Lefel A Modiwl C2 Haf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 92 @mathemateg
(9dd) Trigonometreg
(a) Trigonometreg arferol sin, cos a tan. (b) Rheol sin, rheol cosin. (c) Arwynebedd triongl = 1
2ππ sin πΆ.
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)
(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2010)
/adolygumathemateg Tudalen 93 @mathemateg
(Lefel A Modiwl C2 Haf 2008)
/adolygumathemateg Tudalen 94 @mathemateg
Atebion Ymarferion
Ymarferion 1.1
(a) xΒ³ + 2xΒ² + 2x + 3 = (xΒ² + x + 1)(x + 1) + 2
(b) xΒ³ + 3xΒ² β 4x β 7 = (xΒ² + 4x)(x β 1) β 7
(c) 2xΒ³ β xΒ² β 2x + 3 = (2xΒ² + 3x + 4)(x β 2) + 11
(ch) x4 β 3xΒ³ + xΒ² β 2x β 8 = (xΒ³ β 6xΒ² + 19x β 59)(x + 3) + 169
(d) 2x4 + xΒ² β 2x β 1 = (2xΒ³ + 2xΒ² + 3x + 1)(x β 1)
(dd) xΒ³ + x β 1 = (1
2xΒ² + 1
4x + 5
8)(2x β 1) β 3
8
(e) xΒ³ + 7xΒ² + 4x β 9 = (xΒ² + 5x β 6)(x + 2) + 3
(f) 8x4 β 24xΒ³ + 4xΒ² β 9x + 5 = (4xΒ³ β 6xΒ² β 7x β 15)(2x β 3) β 40
(g) 2x4 + 3xΒ³ + 9xΒ² β 5x + 1 = (2xΒ² β 9x + 61)(xΒ² + 6x + 1) + (β362x β 60)
(ng) 2xΒ³ +5xΒ² β 9x β 18 = (xΒ² + x β 6)(2x + 3)
Ymarferion 1.2
(a) 1 (b) β1 (c) β5 (ch) 3 (d) 40 (dd) 3cΒ² + 5
Ymarferion 1.3
(a) Ydi (b) Ydi (c) Nac Ydi (ch) Nac Ydi (d) Nac Ydi (dd) Ydi
Ymarferion 1.4
(a) 2xΒ³ β 2xΒ² + 2x β 2 = 2(x β 1)(xΒ² + 1)
(b) 2xΒ³ β 3xΒ² β 2x + 3 = (x β 1)(2x β 3)(x + 1)
(c) 3xΒ³ + 3xΒ² = 3xΒ²(x + 1)
(ch) 2xΒ³ β 3xΒ² β 3x + 2 = (x + 1)(2x β 1)(x β 2)
(d) a = β30
Ymarferion 2.1
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯ + 8 (b)
ππ¦
ππ₯= 6π₯ (c)
ππ¦
ππ₯= 10π₯ β 3
(ch) ππ¦
ππ₯= 6 (d)
ππ¦
ππ₯= β4π₯ + 9 (dd)
ππ¦
ππ₯= 3π₯2 + 3
Ymarferion 2.2
(a) ππ¦
ππ₯= 10π₯ (b)
ππ¦
ππ₯= 9π₯2 (c)
ππ¦
ππ₯= 4π₯3
(ch) ππ¦
ππ₯= 12 (d)
ππ¦
ππ₯= 0 (dd)
ππ¦
ππ₯= 4π₯3 β 6π₯2 + 3π₯ + 6
(e) ππ¦
ππ₯= 15π₯4 β 14π₯ (f)
ππ¦
ππ₯= 4π₯ β 3π₯β2 (ff)
ππ¦
ππ₯= 15π₯2 +
5
2π₯β
1
2
(g) ππ¦
ππ₯= 2π₯ β 10π₯β3 β 20π₯β6 (ng)
ππ¦
ππ₯= 3π₯β
3
4 β 30π₯9 (h) ππ¦
ππ₯= 2π₯3 +
1
2π₯β
3
2 + 12π₯β5
/adolygumathemateg Tudalen 95 @mathemateg
Ymarferion 2.3
(a) ππ¦
ππ₯= β3π₯β4 (b)
ππ¦
ππ₯=
5
2π₯β
1
2 + 12π₯β5 (c) ππ¦
ππ₯=
1
4π₯β
3
4 β 24π₯β3 + 24π₯5
(ch) ππ¦
ππ₯= β4π₯β
1
2 (d) ππ¦
ππ₯= 15 β 15π₯β16 (dd)
ππ¦
ππ₯= β9π₯β4 + π₯β2 +
1
3π₯β
2
3
Ymarferion 2.4
(a) π2π¦
ππ₯2= 24π₯ β 6 (b)
π2π¦
ππ₯2= 120π₯3 (c)
π2π¦
ππ₯2= β4π₯β
3
2
(ch) π2π¦
ππ₯2= β12π₯2 + 6π₯ β 2 (d)
π2π¦
ππ₯2= 12π₯β4 (dd)
π2π¦
ππ₯2= 420π₯5 β
2
9π₯β
5
3 β 72π₯β5
Ymarferion 2.5
(a) Minimwm yn (1
2, β
1
4). (b) Macsimwm yn (
3
2,
29
4).
(c) Minimwm yn αΊβ4.5, β37.5α». (ch) Minimwm yn (1
3, β
2
3).
(d) Macsimwm yn (ββ8
3, 8.71) a minimwm yn (β
8
3, β8.71). (Yn gywir i 2 le degol.)
(dd) Pwynt Ffurfdro yn αΊ0,0α».
Ymarferion 3.1
(a) π₯3 + π (b) 5
2π₯2 + π (c)
7
3π₯3 + π (ch)
1
16π₯4 + π
(d) 2π₯8 + π (dd) 4π¦3 + π (e) 3π₯ + π (f) 2π₯3 + 2π₯2 + 3π₯ + π
(ff) 3
5π₯5 β π₯6 + π (g)
3
5π₯
5
3 + π (ng) β6π₯ + π (h) β3
2π₯β2 + π
(i) 2
3π₯
3
2 + π (j) 2π¦1
2 + π (l) 1
2π₯2 β π₯β1 + π (ll) β
1
3π₯β3 +
8
5π₯
5
4 + 4π₯3
4 + π
Ymarferion 3.2
(a) 62 (b) β11
4 (c)
53
3 (ch) 18
(d) 25
3 (dd)
242
5 (e)
152
15 (f)
147
2
Ymarferion 4.1
(a) ΞΎ32 = 5.66 i 2 l.d. (b) ΞΎ18 = 4.24 i 2 l.d. (c) ΞΎ89 = 9.43 i 2 l.d.
(ch) ΞΎ244 = 15.62 i 2 l.d. (d) ΞΎ162 = 12.72 i 2 l.d. (dd) ΞΎ269 = 16.40 i 2 l.d.
(e) ΞΎ113 = 10.63 i 2 l.d. (f) ΞΎ360 = 18.97 i 2 l.d.
Ymarferion 4.2
(a) y = 4x β 4 (b) y = β3x + 1 (c) y = ΒΌx + 6
/adolygumathemateg Tudalen 96 @mathemateg
Ymarferion 4.3
(a) 3x + 4y β 12 = 0
(b) 5x β 3y + 15 = 0
(c) β4x + 8y β 2 = 0
Ymarferion 4.4
(a) y = 4x β 10 (b) y = β3x + 6 (c) y = βx β 9
(ch) y = Β½x + 8 (d) y = βΒΎx β 25
8 (dd) y = 10x β 4
Ymarferion 4.5
(a) 3
2 (b) β
2
5 (c) β
1
3
(ch) 10 (d) β1
2 (dd) β
125
37
Ymarferion 4.6
(a) β1
5 (b) β3 (c) β
5
12 (ch) β
1
2
Ymarferion 5.1
(a) x = β0.52 neu x = β11.48 (b) x = 7.69 neu x = β1.69 (c) x = 0.72 neu x = β20.72
(ch) x = 8.27 neu x = β10.27 (d) x = β0.46 neu x = β6.54 (dd) x = 9.11 neu x = β0.11
Ymarferion 5.2
(a) β10 (b) β60 (c) β76 (ch) β96 (d) 2ΒΎ (dd) β70ΒΌ
Ymarferion 5.3
(a) (β3, β3), (β2, β6) (b) (2, 15) (c) (0, 5), (3, 35)
(ch) (β3, 0), (4, 7) (d) (β1.30, 1.79), (2.30, 16.21) (i 2 le degol) (dd) (β4, β6), (0, β2)
(e) (3, 3) (f) Dim croestorfannau.
x x x
y y y
/adolygumathemateg Tudalen 97 @mathemateg
Ymarferion 6.1
(a) (i) 17cm (ii) 18.60cm (i 2 le degol) (iii) 20.25cm (i 2 le degol)
(iv) 13.60cm (i 2 le degol) (v) 20.25cm (i 2 le degol)
(b) 12.97cm (i 2 le degol)
(c) 9.33cm (i 2 le degol)
Ymarferion 6.2
(a) (i) 22.62Β° (i 2 le degol) (ii) 39.81Β° (i 2 le degol) (iii) 65.22Β° (i 2 le degol)
(iv) 75.75Β° (i 2 le degol)
(b) 7.14cm (i 2 le degol)
(c) 35.26Β° (i 2 le degol)
Ymarferion 7.1
(a) (i) (ii)
(iii) (iv)
(v) (vi)
Ymarferion 7.2
(a) (i) x = 3ΞΎ3 mm (ii) x = 3cm (iii) x = ΞΎ3 cm (iv) π = 60Β°
(b) (i) x = 10
ΞΎ2 cm neu x = 5ΞΎ2 cm (ii) x = ΞΎ79 cm
/adolygumathemateg Tudalen 98 @mathemateg
Ymarferion 8.1
(a) Ochr Chwith = αΊπ₯ + 1α»2 (b) Ochr Chwith = 5π₯ β 3αΊπ₯ β 2α»
= αΊπ₯ + 1α»αΊπ₯ + 1α» = 5π₯ β 3π₯ + 6
= π₯2 + π₯ + π₯ + 1 = 2π₯ + 6
= π₯2 + 2π₯ + 1 = 2αΊπ₯ + 3α»
= Ochr Dde. QED Ochr Dde. QED
(c) Ochr Chwith = αΊπ₯ β 8α»αΊπ₯ β 5α» β αΊπ₯ + 2α»αΊπ₯ + 7α»
= π₯2 β 5π₯ β 8π₯ + 40 β αΊπ₯2 + 7π₯ + 2π₯ + 14α»
= π₯2 β 5π₯ β 8π₯ + 40 β π₯2 β 7π₯ β 2π₯ β 14
= 26 β 22π₯
= Ochr Dde. QED
(ch) Ochr Chwith = αΊπ₯ + π¦α»2 β αΊπ₯ β π¦α»2
= αΊπ₯ + π¦α»αΊπ₯ + π¦α» β αΊπ₯ β π¦α»αΊπ₯ β π¦α»
= π₯2 + π₯π¦ + π₯π¦ + π¦ β αΊπ₯2 β π₯π¦ β π₯π¦ + π¦2α»
= π₯2 + π₯π¦ + π₯π¦ + π¦ β π₯2 + π₯π¦ + π₯π¦ β π¦2α»
= 4π₯π¦
= Ochr Dde. QED
(d) Ochr Chwith = αΊπ + πα»αΊπ2 β ππ + π2α»
= π3 β π2π + ππ2 + π2π β ππ2 + π3
= π3 + π3
= Ochr Dde. QED
(dd) Ochr Chwith = αΊπ₯ + π¦α»3
= αΊπ₯ + π¦α»αΊπ₯ + π¦α»αΊπ₯ + π¦α»
= αΊπ₯2 + π₯π¦ + π₯π¦ + π¦2α»αΊπ₯ + π¦α»
= αΊπ₯2 + 2π₯π¦ + π¦2α»αΊπ₯ + π¦α»
= π₯3 + 2π₯2π¦ + π₯π¦2 + π₯2π¦ + 2π₯π¦2 + π¦3
= π₯3 + 3π₯2π¦ + 3π₯π¦2 + π¦3
= Ochr Dde. QED
Ymarferion 8.2
(a) Gadewch i n gynrychioliβr rhif cyntaf, fel bod yr ail rif yn n + 1. Felly cyfanswm y ddau rif olynol yma
yw n + (n + 1) = 2n + 1. Gan fod 2n o hyd yn eilrif (maeβn dau lluosi efo rhyw rif n), maeβn rhaid i
2n + 1 fod yn odrif (gan ei fod un yn fwy nag eilrif). Felly mae cyfanswm dau rif olynol o hyd yn odrif.
QED
(b) Gadewch i n gynrychioliβr eilrif cyntaf, fel bod yr ail eilrif aβr trydydd eilrif yn n + 2 ac n + 4, yn Γ΄l eu
trefn. Felly cyfanswm y tri eilrif olynol yma yw n + (n + 2) + (n + 4) = 3n + 6. Ond eilrif yw n, felly
gallwn ei ysgrifennu fel n = 2k, ble mae k yn rhyw rif. Maeβn dilyn y gallwn ysgrifennu cyfanswm y tri
eilrif fel 3(2k) + 6 = 6k + 6 = 6(k + 1). Maeβr rhif yma o hyd yn rhannadwy Γ’ 6 gan ein bod wedi ei
ysgrifennu fel lluosrif o 6, sef 6 lluosi efo k + 1. Felly mae cyfanswm tri eilrif olynol o hyd yn
rhannadwy Γ’ 6.
QED
/adolygumathemateg Tudalen 99 @mathemateg
(c) Gallwn ysgrifennu unrhyw odrif yn y ffurf 2k + 1, ble mae k yn rhyw rif. Gadewch i ni ystyried dau
odrif 2n + 1 a 2m + 1 oβr ffurf yma, ble mae n ag m yn unrhyw rifau. Lluoswm y ddau odrif yma yw
(2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = eilrif + eilrif + eilrif + 1 = odrif. Felly mae lluoswm unrhyw
ddau odrif hefyd yn odrif.
QED
(ch) Os yw n β m yn eilrif yna, beth bynnag yw gwerth nΒ² + nm + mΒ², rhaid i (n β m)(nΒ² + nm + mΒ²) fod yn
eilrif, gan fod lluosi eilrif efo unrhyw rif arall yn rhoi ateb syβn eilrif. Felly, o wybod bod
nΒ³ β mΒ³ = (n β m)(nΒ² + nm + mΒ²), rhaid i nΒ³ β mΒ³ fod yn eilrif os yw n β m yn eilrif.
QED
(d) Chwiliwch am βinfinite primes proofβ ar .
/adolygumathemateg Tudalen 100 @mathemateg
Atebion Hen Gwestiynau Arholiad
Pennod 1
Adran 1d
Haf 2008, Cwestiwn 7
(a) 4
(b) Mae f(4) = 2(4)Β³ β 3(4)Β² β 23(4) + 12
= 0
felly mae x β 4 yn ffactor o 2xΒ³ β 3xΒ² β 23x + 12
(c) 2xΒ³ β 3xΒ² β 23x + 12 = (x β 4)(2x β 1)(x + 3)
Haf 2009, Cwestiwn 8
(a) 36
(b) (i) Mae f(β3) = 6(β3)Β³ + 17(β3)Β² β 5(β3) β 6
= 0
felly mae x + 3 yn ffactor o 6xΒ³ + 17xΒ² β 5x β 6
(b) (ii) 6xΒ³ + 17xΒ² β 5x β 6 = (x + 3)(3x β 2)(2x + 1)
Haf 2010, Cwestiwn 8
(a) 49
(b) (i) Mae f(β4) = 2(β4)Β³ + 5(β4)Β² β 14(β4) β 8
= 0
felly mae x + 4 yn ffactor o 2xΒ³ + 5xΒ² β14x β 8
(b) (ii) 2xΒ³ + 5xΒ² β 14x β 8 = (x + 4)(2x + 1)(x β2)
Haf 2011, Cwestiwn 5
(a) β280
(b) (i) Mae f(2) = 6(2)Β³ β 13(2)Β² + 2 + 2
= 0
felly mae x β 2 yn ffactor o 6xΒ³ β 13xΒ² + x + 2
(b) (ii) 6xΒ³ β 13xΒ² + x + 2 = (x β 2)(3x + 1)(2x β 1)
Haf 2012, Cwestiwn 4
(a) Mae f(β3) = (β3)Β³ β 2(β3)Β² β 9(β3) + 18
(a) Mae f(β3) = 0.
felly mae x + 3 yn ffactor o xΒ³ β 2xΒ² β 9x + 18.
(b) xΒ³ β 2xΒ² β 9x + 18 = (x β2)(x β 3)(x + 3)
Haf 2013, Cwestiwn 8
(a) 40
(b) (i) Mae f(β3) = (β3)Β³ + 4(β3)Β² β 17(β3) β60
(b) (i) Mae f(β3) = 0
felly mae x + 3 yn ffactor o xΒ³ + 4xΒ² β 17x β 60
(b) (ii) xΒ³ + 4xΒ² β 17x β 60 = (x + 3)(x + 5)(x β 4)
Haf 2014, Cwestiwn 10
(a) 70
(b) (i) Mae f(1) = 1Β³ + 5(1Β²) + 2(1) β 8
(b) (i) Mae f(1) = 0
felly mae x β 1 yn ffactor o xΒ³ + 5xΒ² + 2x β 8
(b) (ii) xΒ³ + 5xΒ² + 2x β 8 = (x β 1)(x + 2)(x + 4)
Haf 2015, Cwestiwn 7
(a) β43
(b) Mae f(2) = 2Β³ + 8(2Β²) + 2 β 42
= 0
felly mae x β 2 yn ffactor o xΒ³ + 8xΒ² + x β 42
(c) xΒ³ + 8xΒ² + x β 42 = (x β 2)(x + 7)(x + 3)
Haf 2016, Cwestiwn 10
(a) 126
(b) (i) Mae f(2) = 2Β³ + 6(2Β²) β 2 β 30
(b) (i) Mae f(2) = 0
felly mae x β 2 yn ffactor o xΒ³ + 6xΒ² β x β 30
Haf 2017, Cwestiwn 4
(a) β246
(b) (i) Mae f(2) = 2Β³ + 9(2Β²) + 8(2) β 60
(b) (i) Mae f(2) = 0
(b) felly mae x β 2 yn ffactor o xΒ³ + 9xΒ² + 8x β 60
(b) (ii) (x β 2)(x + 5)(x + 6)
Gaeaf 2007, Cwestiwn 3
(b) 9xΒ³ + 6xΒ² β 5x β 2 = (x + 1)(3x + 1)(3x β 2)
Gaeaf 2008, Cwestiwn 8
(b) 6xΒ³ + 5xΒ² β 3x β 2 = (x + 1)(2x + 1)(3x β 2)
/adolygumathemateg Tudalen 101 @mathemateg
Pennod 2
Adran 2b
Haf 2008, Cwestiwn 7
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯ β 1
Haf 2009, Cwestiwn 11
(a) ππ¦
ππ₯= 8π₯
Haf 2010, Cwestiwn 2
(a) ππ¦
ππ₯= 12π₯
Haf 2011, Cwestiwn 8
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯ + 2
Haf 2012, Cwestiwn 15
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯ β 5
Haf 2013, Cwestiwn 10
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯ β 4
Haf 2014, Cwestiwn 5
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯ + 8
Haf 2015, Cwestiwn 12 ππ¦
ππ₯= 2π₯ β 3
Haf 2016, Cwestiwn 4 ππ¦
ππ₯= 2π₯ + 3
Haf 2017, Cwestiwn 12 ππ¦
ππ₯= 2π₯ + 10
Adran 2d
Haf 2008, Cwestiwn 2
(a) ππ¦
ππ₯= 35π₯4 + 1
(b) ππ¦
ππ₯= β6π₯β7
(c) ππ¦
ππ₯=
2
3π₯β
1
3
Haf 2008, Cwestiwn 7
2x β 1 = 3 felly x = 2.
Haf 2009, Cwestiwn 7
(a) ππ¦
ππ₯= 10π₯ +
9
2π₯
1
2
(b) ππ¦
ππ₯= β3π₯β4
Haf 2010, Cwestiwn 2
(b) αΊβ 3, 59α»
Haf 2010, Cwestiwn 3
(a) ππ¦
ππ₯= 24π₯3 + 3
(b) ππ¦
ππ₯= β8π₯β9
(c) ππ¦
ππ₯=
3
5π₯β
2
5
Haf 2011, Cwestiwn 2
(a) ππ¦
ππ₯= 32π₯3 + 3
(b) ππ¦
ππ₯= β4π₯β5
(c) ππ¦
ππ₯=
3
4π₯β
1
4
Haf 2011, Cwestiwn 8
(b) π₯ = 5
Haf 2012, Cwestiwn 3
(a) ππ¦
ππ₯= 56π₯6 + 2
(b) ππ¦
ππ₯= β8π₯β9
(c) ππ¦
ππ₯=
3
2π₯
1
2
Haf 2012, Cwestiwn 5
π = 5
Haf 2012, Cwestiwn 15b
π₯ = 10
Haf 2013, Cwestiwn 1
(a) ππ¦
ππ₯= 35π₯4 β 5
(b) ππ¦
ππ₯= β6π₯β7
(c) ππ¦
ππ₯=
3
5π₯β
2
5
Haf 2014, Cwestiwn 1
(a) ππ¦
ππ₯= 30π₯4 + 7
(b) ππ¦
ππ₯= β6π₯β7
(c) ππ¦
ππ₯=
5
2π₯
3
2
/adolygumathemateg Tudalen 102 @mathemateg
Haf 2015, Cwestiwn 3
(a) ππ¦
ππ₯= 40π₯7 β 6
(b) ππ¦
ππ₯= β8π₯β9
(c) ππ¦
ππ₯=
2
5π₯β
3
5
Haf 2016, Cwestiwn 2
(a) ππ¦
ππ₯= 36π₯3 + 8π₯
(b) ππ¦
ππ₯= β8π₯β9
(c) ππ¦
ππ₯=
3
4π₯β
1
4
Haf 2017, Cwestiwn 12
(a) ππ¦
ππ₯= 2π₯
Adran 2f
Haf 2008, Cwestiwn 4
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (β4, β41).
Haf 2008, Cwestiwn 13
π2π¦
ππ₯2= 120π₯4
Haf 2009, Cwestiwn 11
αΊ3, 32); pwynt macsimwm.
Haf 2010, Cwestiwn 5
(3, 5); pwynt minimwm.
Haf 2010, Cwestiwn 9
(a) π2π¦
ππ₯2= 140π₯3
Haf 2011, Cwestiwn 9
(a) π2π¦
ππ₯2= 280π₯6
Haf 2011, Cwestiwn 10
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (1, 1) a
phwynt macsimwm ar y pwynt (β1, 9).
Haf 2012, Cwestiwn 8
(a) π2π¦
ππ₯2= 72π₯2
Haf 2013, Cwestiwn 7
(a) π2π¦
ππ₯2= 432π₯7
Haf 2013, Cwestiwn 12
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (2, β37) a
phwynt macsimwm ar y pwynt (β2, 59).
Haf 2014, Cwestiwn 8
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (1, β1) a
phwynt macsimwm ar y pwynt (β1, 15).
Haf 2014, Cwestiwn 12
(a) π2π¦
ππ₯2= 60π₯4
Haf 2015, Cwestiwn 8
(a) π2π¦
ππ₯2= 180π₯8
(b) a = 1, b = 3, c = 5 (felly π¦ = π₯5 + 3π₯ + 5)
Haf 2015, Cwestiwn 14
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (2, β19) a
phwynt macsimwm ar y pwynt (β2, 45).
Haf 2016, Cwestiwn 8
Mae yna bwynt macsimwm ar y pwynt (0, 11) a
phwynt minimwm ar y pwynt (2, 7).
Haf 2016, Cwestiwn 12
(a) π2π¦
ππ₯2= 126π₯5
Haf 2017, Cwestiwn 8
(a) π2π¦
ππ₯2= 1140π₯18
(b) a = 3; b = 2; c = β6.
Haf 2017, Cwestiwn 11
Mae yna bwynt macsimwm ar y pwynt (0, 4) a
phwynt minimwm ar y pwynt (β2, 16).
Haf 2006, Cwestiwn 10
Mae yna bwynt macsimwm ar y pwynt (β1, 7) a
phwynt minimwm ar y pwynt (3, β25).
Haf 2008, Cwestiwn 9
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (β1, β12) a
phwynt macsimwm ar y pwynt (2, 15).
Haf 2010, Cwestiwn 10
Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (2, β5) a
phwynt macsimwm ar y pwynt (β2, 11).
/adolygumathemateg Tudalen 103 @mathemateg
Pennod 3
Adran 3b
Haf 2008, Cwestiwn 13
3
5π₯5 β π₯β1 + 5π₯ + π
Haf 2009, Cwestiwn 8 3
7π₯7 β
1
2π₯β2 +
5
2π₯2 + π₯ + π
Haf 2010, Cwestiwn 9 7
6π₯6 β
1
2π₯β2 + 9π₯ + π
Haf 2011, Cwestiwn 9 4
7π₯7 β
1
π₯+ 9π₯ + π
Haf 2012, Cwestiwn 8b
π₯3 β 2π₯β2 + 4π₯2 + π
Haf 2013, Cwestiwn 7b 3
5π₯5 β
1
2π₯β2 + 4π₯ + π
Haf 2014, Cwestiwn 12b 3
5π₯5 + 3π₯2 β 8π₯β1 + π
Haf 2016, Cwestiwn 12b
π₯4 + π₯2 β 4π₯β1 + π
Haf 2017, Cwestiwn 10a
2π₯5 + 8π₯3 β 2π₯ β1
π₯3+ π
Haf 2007, Cwestiwn 6
4
5π₯
5
2 β 3π₯β3 + π
Gaeaf 2009, Cwestiwn 6
β3π₯β1 β4
3π₯
3
2 + π
Adran 3ch
Haf 2008, Cwestiwn 12
β« 2π₯ β π₯2 ππ₯ =4
3
2
0
Haf 2008, Cwestiwn 13
β« αΊπ₯2 + 2α» ππ₯ = 41
3
2
1
Haf 2009, Cwestiwn 12
β« 5π₯ β π₯2 ππ₯ =125
6
5
0
Haf 2010, Cwestiwn 9
β« αΊ3π₯2 + 5α» ππ₯ = 243
2
Haf 2011, Cwestiwn 9
β« αΊ3π₯2 + 1α» ππ₯ = 82
1
Haf 2011, Cwestiwn 12
β« 3π₯ β π₯2 ππ₯ = 4.53
0
Haf 2012, Cwestiwn 8c
β« 6π₯ + 1 ππ₯ = 384
2
Haf 2012, Cwestiwn 12
β« 6π₯ β π₯2 ππ₯ = 366
0
Haf 2013, Cwestiwn 7c
β« 6π₯5 + 5 ππ₯ = 6703
2
Haf 2013, Cwestiwn 11
β« 10π₯ β π₯2 ππ₯ =500
3
10
0
Haf 2014, Cwestiwn 12c
β« 4π₯ + 1 ππ₯ = 455
2
Haf 2014, Cwestiwn 15
(a) Amnewid π₯ = 2 ac π₯ = 5 i mewn i
π¦ = π₯2 + 7π₯ β 10 er mwyn cael ateb 0.
(b) β« βπ₯2 + 7π₯ β 10 ππ₯ = 4.55
2
Haf 2015, Cwestiwn 9
(a) 3π₯7 β π₯3 + π₯β1 + 6π₯ + π
(b) β« 6π₯2 + 4π₯ ππ₯ = 2765
2
Haf 2016, Cwestiwn 12c
(c) β« αΊ8π₯ + 2α» ππ₯ = 223
2
Haf 2016, Cwestiwn 15
(a) Amnewid π₯ = 2 ac π₯ = 4 i mewn i
π¦ = βπ₯2 + 6π₯ β 8 er mwyn cael ateb 0.
(b) β« βπ₯2 + 6π₯ β 84
2ππ₯ =
4
3
/adolygumathemateg Tudalen 104 @mathemateg
Haf 2017, Cwestiwn 10b
β« αΊ12π₯3 + 6π₯2α» ππ₯ = 592
1
Pennod 4
Adran 4b
Haf 2008, Cwestiwn 6
20
Haf 2009, Cwestiwn 3
13
Haf 2010, Cwestiwn 3
13
Haf 2011, Cwestiwn 3
10ΞΎ2
Haf 2012, Cwestiwn 7
26
Haf 2013, Cwestiwn 4
2ΞΎ17
Haf 2014, Cwestiwn 7
10
Haf 2015, Cwestiwn 4
2ΞΎ41
Haf 2016, Cwestiwn 7a
10
Haf 2017, Cwestiwn 6a
2ΞΎ61
Adran 4d
Haf 2008, Cwestiwn 6
(b) βΒΎ
Haf 2008, Cwestiwn 5
y = 9x + 7
Haf 2008, Cwestiwn 8
y = β4x + 3. Dim ond cliwiau 1 a 3 syβn
angenrheidiol (nid oes angen defnyddio cliwiau 2
a 4).
Haf 2009, Cwestiwn 3
24y + 10x = 141
Haf 2009, Cwestiwn 4
Os yw A = (β1, 2); B = (8, 47); C = (β10, β43) yna
maeβn bosib cysylltuβr pwyntiau ag un llinell syth
gan fod graddiant CA = graddiant AB = 5.
Haf 2009, Cwestiwn 6
y = 4xΒ³ + 2xΒ² β x β 6
Haf 2009, Cwestiwn 11
(b) β24
(c) x = Β½
Haf 2010, Cwestiwn 3
(a) β12
5
(b) π¦ =2
5π₯ β 3
Haf 2010, Cwestiwn 6
y = 11x β 13
Haf 2011, Cwestiwn 3
7y = x + 4
Haf 2012, Cwestiwn 7b
β5
12
Haf 2013, Cwestiwn 4b
π¦ = β4π₯ + 4
Haf 2013, Cwestiwn 13
16π₯ β π¦ β 12 = 0
Haf 2014, Cwestiwn 7
(b) β4
3
(c) 4π₯ + 3π¦ = 35
Haf 2014, Cwestiwn 13
(a) Maeβr hafaliadau 2π₯ + 4π¦ = 7 a π₯ + 2π¦ = 7
yn cynrychioli llinellau syth syβn baralel gan fod
graddiant y ddwy linell (β1
2) yn hafal.
/adolygumathemateg Tudalen 105 @mathemateg
(b) Maeβr hafaliadau 2π₯ + 4π¦ = 7 a
4π₯ β 2π¦ = 7 yn cynrychioli llinellau syth syβn
berpendicwlar gan fod negatif cilydd graddiant y
llinell cyntaf (β1
2) yn hafal i raddiant yr ail linell
(2). Ateb posib arall: Y trydydd hafaliad aβr
pedwerydd hafaliad.
Haf 2015, Cwestiwn 13
4π₯ β π¦ β 18 = 0
Haf 2016, Cwestiwn 7
(b) β4
3 (c) 3π₯ β 4π¦ + 37 = 0
Haf 2016, Cwestiwn 13
π¦ = 18π₯ β 21
Haf 2017, Cwestiwn 13
β20π₯ + π¦ + 80 = 0
Gaeaf 2006, Cwestiwn 1
(a) Β½ (c) y = β2x β 7
Haf 2008, Cwestiwn 1
(a) βΒ½ (b) y = βΒ½x + Β½ (c) ΞΎ125 = 5ΞΎ5
Pennod 5
Adran 5b
Haf 2008, Cwestiwn 9
(4, 16) a (β1, 1)
Haf 2008, Cwestiwn 14
Y gwerth lleiaf yw β61.
Haf 2009, Cwestiwn 5
(x + 6)Β² + 4 (felly a = 6, b = 4).
Haf 2010, Cwestiwn 2
(a) β97
Haf 2011, Cwestiwn 1
(b) β4
Haf 2012, Cwestiwn 9
(b) β10
Haf 2013, Cwestiwn 2
(b) β31
Haf 2014, Cwetiwn 2
(b) β22
Haf 2015, Cwestiwn 2
(a) π₯ = β7 (b) β40
Haf 2016, Cwestiwn 1
(b) (i) 13 (ii) π₯ = β6
Haf 2017, Cwestiwn 3
Gwerth x yw β11; y gwerth lleiaf yw 2.
Gaeaf 2008, Cwestiwn 7
Mae p = 0.9; y datrysiadau yw 1.1 a β2.9.
Adran 5ch
Haf 2008, Cwestiwn 9
(β1, 1) a (4, 16)
Haf 2009, Cwestiwn 3
Naill ai x = β7, y = β17 neu x = 12, y = 2.
Haf 2010, Cwestiwn 7
(β6, 12) a (3, β6).
Haf 2011, Cwestiwn 7
Petryal A: 11cm Γ 20cm; Petryal B: 19cm Γ 37cm.
Haf 2012, Cwestiwn 10
(3, 7) a (10, β7).
Haf 2013, Cwestiwn 3
Hyd y sgwΓ’r lleiaf yw 3.5cm;
hyd y sgwΓ’r mwyaf yw 6.5cm.
Haf 2013, Cwestiwn 6
(1.56, 2.56) a (β2.56, β1.56)
Haf 2014, Cwestiwn 14
(2, 2) a (4, 0).
Haf 2015, Cwestiwn 5
π₯ = 1 + ΞΎ23
/adolygumathemateg Tudalen 106 @mathemateg
Haf 2015, Cwestiwn 6
(1.16, 3.32) a (β5.16, β9.32)
Haf 2016, Cwestiwn 14
(1, 9) a (4, 6)
Haf 2017, Cwestiwn 5
(0.32, β0.04) a (β1.57, β5.71) (i 2 le degol).
Pennod 6
Adran 6c
Haf 2009, Cwestiwn 9
21.21cm (yn gywir i i 2 le degol); tybiaeth:
modelir y bensil fel llinell felly efallai bydd hyd y
bensil go iawn ychydig yn fyrrach.
Haf 2012, Cwestiwn 13
2ΞΎ7 cm
Haf 2013, Cwestiwn 9
34.4Β° i un lle degol.
Pennod 7
Adran 7c
Haf 2008, Cwestiwn 14
(a)
(b) π₯ = 70Β°, 110Β°
(c)
Haf 2011, Cwestiwn 6
π΄π΅ =7ΞΎ6
3
Haf 2011, Cwestiwn 7
(a)
(b) π₯ = 9.7Β° neu π₯ = 80.3Β°
Haf 2012, Cwestiwn 16
(a) π¦ = 4 sin 3π₯
(b) (i) β1
(b) (ii) π₯ = 18Β° neu π₯ = 90Β°
Haf 2013, Cwestiwn 15
(a)
(b) π₯ = 0Β°, 180Β°, 360Β°
Haf 2014, Cwestiwn 9
ΞΎ6
Haf 2015, Cwestiwn 10
(b) 5 + 2ΞΎ3
/adolygumathemateg Tudalen 107 @mathemateg
Haf 2015, Cwestiwn 15
(a)
(b) π₯ = 90Β°, π₯ = 270Β°
Haf 2016, Cwestiwn 9
(a) 1 (b) ΞΎ3
6 (c) 1
3
4
Haf 2016, Cwestiwn 11
(a)
(b) Gwerth mwyaf = 8; gwerth lleiaf = 2
Haf 2017, Cwestiwn 9
π₯ = 5ΞΎ3 cm
Haf 2017, Cwestiwn 15
(a)
(b) π₯ = 14.48Β°, π₯ = 165.52Β° (i 2 le degol).
Pennod 9
Adran 9a
Gaeaf 2005, Cwestiwn 2 8ΞΎ7+19
3
Gaeaf 2006, Cwestiwn 2
(a) 5ΞΎ3
(b) ΞΎ7β1
2
Haf 2006, Cwestiwn 2
(a) 3ΞΎ3 β 4
(b) 2
Gaeaf 2007, Cwestiwn 2
(a) 11ΞΎ2
(b) 11 + 2ΞΎ30
Gaeaf 2008, Cwestiwn 2
(a) βΞΎ5
(b) 4+ΞΎ3
13
Gaeaf 2009, Cwestiwn 2
(a) 3ΞΎ3 + 2
(b) ΞΎ5
Haf 2009, Cwestiwn 2
(a) 2ΞΎ7 + 3
(b) ΞΎ2
Gaeaf 2010, Cwestiwn 2
(a) 4 β ΞΎ11
(b) 2ΞΎ2
Gaeaf 2011, Cwestiwn 2
5ΞΎ2 + 7
Haf 2011, Cwestiwn 2
(a) 8ΞΎ3 + 1
(b) 2ΞΎ3
Haf 2012, Cwestiwn 6
(a) β6 + 3ΞΎ5
(b) 8ΞΎ3
Haf 2014, Cwestiwn 6 15β5ΞΎ2
7
/adolygumathemateg Tudalen 108 @mathemateg
Adran 9b
Haf 2011, Cwestiwn 11
(a) (i) 5
6
(a) (ii) 1
49
(b) (i) 30ΞΎπ₯
(b) (ii) 3
5+
2
5π¦
Haf 2012, Cwestiwn 1
(a) (i) 27
(a) (ii) 10000
(b) (i) 20π₯1
2
(b) (ii) 3 + π₯1
5
Haf 2013, Cwestiwn 14
(a) 2500
(b) (i) 12π₯β1
(b) (ii) 3 + π₯1
6
Haf 2014, Cwestiwn 6
(b) (i) 6π₯
(b) (ii) 4 + π₯1
7
Haf 2015, Cwestiwn 16
144
Haf 2015, Cwestiwn 17
(a) 20π₯1
3 (b) 2 + π₯1
2 neu 2 + ΞΎπ₯
Haf 2016, Cwestiwn 6b
(b) (i) π₯5
2 (ii) 8π₯β1
9 + 1
Haf 2017, Cwestiwn 16
(a) 60π₯9
5 (b) 2π₯1
5 + π₯3
5
Haf 2017, Cwestiwn 17a
225
Adran 9c
Haf 2009, Cwestiwn 6
(a) x = 11 neu x = β6
Haf 2010, Cwestiwn 6
(a) x = β2 neu x = β4
(b) π¦ =β3Β±ΞΎ29
2. Nid yw ΞΎ29 yn rif cyfan felly ni
fydd y yn rif cyfan chwaith. A gan fod x bump yn
fwy ni fedr x chwaith fod yn rif cyfan.
Haf 2011, Cwestiwn 1
(a) (i) (3x + 1)(2x β 5)
(a) (ii) π₯ = β1
3 neu π₯ =
5
2
Haf 2012, Cwestiwn 9
αΊ5π₯ + 3α»αΊ3π₯ β 2α» felly naill ai π₯ = β3
5 neu π₯ =
2
3
Haf 2013, Cwestiwn 2
αΊ4π₯ + 1α»αΊ2π₯ β 3α» felly naill ai π₯ = β1
4 neu π₯ =
3
2
Haf 2013, Cwestiwn 5
Naill ai π₯ = 10 neu π₯ = β10
Haf 2014, Cwestiwn 2
αΊ5π₯ + 2α»αΊ3π₯ β 4α» felly naill ai π₯ = β2
5 neu π₯ =
4
3
Haf 2015, Cwestiwn 1
αΊ3x + 2α»αΊ2x β 5α» felly naill ai π₯ = β2
3 neu π₯ =
5
2
Haf 2016, Cwestiwn 1
(a) αΊ7π₯ + 2α»αΊ3π₯ β 2α»
(b) Naill ai π₯ = β2
7 neu π₯ =
2
3
Haf 2017, Cwestiwn 1
Naill ai π₯ =1
4 neu π₯ = β
3
5
Adran 9ch
Haf 2010, Cwestiwn 13
x = 4 neu x = 9.
Haf 2011, Cwestiwn 13
x = 6.30 neu x = 0.52 (yn gywir i ddau le degol).
Haf 2012, Cwestiwn 2 3π¦β2π₯
π₯+2π¦
/adolygumathemateg Tudalen 109 @mathemateg
Haf 2017, Cwestiwn 14 218π₯+239
αΊ2π₯+5α»αΊ3π₯β1α»
Adran 9d
Haf 2009, Cwestiwn 2
(b) 0.003cm
Haf 2009, Cwestiwn 8
29
Haf 2010, Cwestiwn 1
x = 4, y = 3.5
Haf 2010, Cwestiwn 11
(a) 3026.3 milltir, yn gywir i 1 lle degol.
(b) n = 1.67, yn gywir i 3 ffigur ystyrlon.
Haf 2010, Cwestiwn 12
3357.32cmΒ², yn gywir i 2 le degol.
Haf 2011, Cwestiwn 15
7cm
Haf 2012, Cwestiwn 11
π΄π΅ = 60cm, π΅πΆ = 45cm (neu fel arall, h.y.
π΄π΅ = 45cm, π΅πΆ = 60cm)
Haf 2012, Cwestiwn 14
8cm
Haf 2013, Cwestiwn 3
10.44cm
Haf 2014, Cwestiwn 11
(b) Hydoedd ochrau paralel y trapesiwm yw
3.6cm a 7.6cm
Haf 2015, Cwestiwn 11
64.76Β°, i 2 le degol
Haf 2016, Cwestiwn 5
96π = 301.59 cmΒ², yn gywir i 2 le degol.
Gaeaf 2007, Cwestiwn 9
(a) π = 76.39437268Β°
(b) 1.626cmΒ², yn gywir i 3 lle degol.
Haf 2008, Cwestiwn 9
(b) 2.1cmΒ², yn gywir i 1 lle degol.
Adran 9dd
Haf 2009, Cwestiwn 7
17.89cm, 35.78cm, 44.72cm, i gyd yn gywir i 2 le
degol.
Haf 2010, Cwestiwn 5
68.96Β°, yn gywir i 2 le degol.
Haf 2010, Cwestiwn 12
(b) 7cm.
Haf 2008, Cwestiwn 3
(a) x = 6cm
(b) 15.5cm, yn gywir i 1 lle degol