11. ความหมายของตั�วแปรสุ่��มจุ�ดเร��มตั�นของตั�วแปรสุ่��มมาจุากการทดลองสุ่��ม

การทดลองสุ่��ม ( Random trial) ค�ออะไรการทดลองสุ่��ม ค�อ การกระท าท!�ไม�ร"�ว�าผลล�พธ์&ท!�จุะเก�ดข'(นแน�นอนว�าค�ออะไร แตั�สุ่ามารถ บอกได�ว�าผลล�พธ์&ท!�จุะเก�ดข'(นท�(งหมดม!อะไรบ�าง เช่�น โยนล"กเตั-า 1 ล"ก 1 คร�(ง เราไม�สุ่ามารถบอกได�ว�าล"กเตั-าจุะข'(นแตั�มใด

แตั�เราร"�ว�าแตั�มล"กเตั-าท!�จุะข'(นท�(งหมดจุากการโยนม!แตั�ม 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ซึ่'�งผลล�พธ์&ท!�เป0นไปได�ท�(งหมดท!�เก�ดข'(นจุากการทดลองสุ่��มเราเร!ยกว�า “ ปร�ภู"ม�ตั�วอย�าง”

เร!ยกท�บศั�พท&ว�า “ แซึ่มเป3ลสุ่เปซึ่” (Sample Space)

แซึ่มเป3ลสุ่เปซึ่ ค�อ เซึ่ตัท!�ม!สุ่มาช่�กเป0นผลล�พธ์&ท!�เป0นไปได�ท�(งหมดของการทดลองสุ่��มเหตุ�การณ์(Event) คื�อ สั�บเซตุของแซมเปิ�ลสัปิซ

จุงหาแซึ่มเป3ลสุ่เปซึ่ของการทดลองสุ่��มตั�อไปน!( 1. สุ่��มสุ่�นค�า 3 ช่�(นเพ��อตัรวจุสุ่อบว�าม!สุ่ภูาพด!หร�อช่ าร�ด

{ ดดด , ดดช่ , ดช่ด , ช่ดด , ดช่ช่ , ช่ดช่ , ช่ช่ด , ช่ช่ช่} 2 . ผลของการทดลองย�งเป4าบ�น 4 คร�(ง

{ ถถถถ , ถถถผ , ถถผถ , ถผถถ , ผถถถ , ถถผผ , ถผถผ , ถผผถ , ผถผถ ,ผผถถ , ผถถผ , ถผผผ , ผถผผ , ผผถผ , ผผผถ ,ผผผผ}

4 . โยนเหร!ยญเท!�ยงตัรง 1 อ�น 6 คร�(ง เพ��อตัรวจุสุ่อบว�าเหร!ยญ จุะข'(นห�วก!�คร�(ง{ 0 , 1 ,2, 3 , 4 , 5 , 6 }

3 . สุ่��มสุ่�นค�า 3 ช่�(นเพ��อตัรวจุสุ่อบว�าจุะพบสุ่�นค�าช่ าร�ดก!�ช่�(น{ 0 , 1 , 2 , 3 }

5. ทอดล�กเตุ�า 2 ล�ก{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),…,(6,6)}

6. ผลรวมแตุ�มจากการทอดล�กเตุ�า 2 ล�ก{ 2 , 3 , 4 ,5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}

แซึ่มเป3ลสุ่เปซึ่ในร"ปแบบข�อ 3 ข�อ 4 และข�อ 6 ค�อ ตั�วแปรสุ่��ม

ตั�วแปรสุ่��มค�ออะไร

ฟั7งก&ช่�นท!�เปล!�ยนเหตัการณ์&

ท�กเหตั�การณ์& ในแซึ่มเป3ลสุ่เปซึ่ให�เป0นตั�วเลข การเข!ยนตั�วแปรสุ่��ม จุะน�ยมใช่�อ�กษรภูาษาอ�งกฤษตั�วพ�มพ&ใหญ�แทนตั�วแปรสุ่��ม

และใช่�อ�กษรภูาษาอ�งกฤษตั�วพ�มพ&เล;กแทนค�าของตั�วแปรสุ่��ม

X = จุ านวนห�วท!�หงายจุากการโยนเหร!ยญ1 เหร!ยญ 3 คร�(ง= 0 , 1 , 2 , 3

ตั�วอย�าง 1. โยนเหร!ยญเท!�ยงตัรง 1 เหร!ยญ 3 คร�(ง ให� X ค�อ จุ านวนห�วท!�หงาย X ม!ค�าใดบ�าง

2. โยนล"กเตั-า 2 ล"ก ให� X ค�อผลรวมแตั�มล"กเตั-าท�(งสุ่อง X ม!ค�าใดบ�างX = ผลรวมของล"กเตั-า 2 ล"กท!�ได�จุากการโยนล"กเตั-า1คร�(ง

= 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12

X= ก าไรท!�นายสุ่�นตั�ได�ร�บจุาก การขายตั"�เย;น 3ตั"�= -1,500 , 500 , 2,500 , 4,500

3. นายสุ่�นตั�ซึ่�(อตั"�เย;นมา 3 ตั"� เพ��อขาย ถ�าตั"�เย;นม!ตั าหน�เขา จุะขายขาดท�น 500 บาท ถ�าไม�ม!ตั าหน�เขาจุะขาย ได�ก าไร 1 500, บาทตั�อตั"�เย;น 1 ตั"� ให� X เป0นก าไร ท!�นายสุ่�นตั�ได�ร�บ X ม!ค�าใดบ�าง

12. ช่น�ดของตั�วแปรสุ่��ม

ไม�ตั�อเน��อง ตั�อเน��อง

ค�าท�(งหมดของตั�วแปรสุ่��ม X ม!จุ านวนจุ าก�ด , แตั�ละค�าแตักตั�าง

ก�นอย�างช่�ดเจุน

ค�าท�(งหมดของตั�วแปรสุ่��ม X ตั�อเน��องก�นไป ไม�สุ่ามารถบอกค�า

ของแตั�ละจุ�ดได�X = 0 , 2 , 3 , 4 , 5 = 0 , 1 , 2 , 3 . . . X > 0

13. การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��อง

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��ม X เม��อ X = x ใช่�สุ่�ญล�กษณ์& f(X) โดย f(X) = P(X = x)

น�ยาม ฟั7งก&ช่�น f(X) เป0นฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นหร�อ การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มไม�

ตั�อเน��อง X ใดๆ สุ่ าหร�บแตั�ละค�า x ม!ค�ณ์สุ่มบ�ตั�ด�งน!( 1. f(X) > 0 สุ่ าหร�บท�กค�าของ x

2.

nx

xX

Xf1

)( 1= หร�อ

N

iixf

1

)( = 1

ตั�วอย�าง โยนเหร!ยญเท!�ยงตัรง 2 อ�น 1 คร�(ง ถ�า X ค�อ

จุ านวนก�อยท!�หงาย จุงค านวณ์ฟั7งก&ช่�นความ น�าจุะเป0นของ X

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนก�อยท!�หงายจุากการโยนเหร!ยญ 2 อ�น1คร�(ง

= 0 , 1 ,2xi 0 1 2

P(X = xi)025. 050. 025.

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X ค�อf(X) = P(X = xi)

025= . เม�!อ xi = 0 ,2 050= . เม�!อ xi = 1

ตั�วอย�าง ตั�องการสุ่��มเล�อกตั�วแทน 4 คน จุากช่าย 5 คน

หญ�ง 4 คนแบบไม�ค�นท!� ถ�า X ค�อจุ านวนหญ�งท!�สุ่��มได�

จงหาก . ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ Xข . ค�าของ P(X > 2)

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนหญ�งท!�สุ่��มได�= 0 , 1 , 2 , 3 , 4

จุ านวนว�ธ์!ท�(งหมดในการสุ่��มคน 4 คนจุาก 9 คน =

4

9 n(S) ถ�าสุ่��มหญ�งได� xi คน จุะสุ่��มได�ช่าย - 4 xi คืน จุ านวนว�ธ์!สุ่��มหญ�ง xi คนจุากหญ�ง 4 คน และสุ่��มช่าย

4 -xi คนจุากช่าย 5 คนได� =

ii xx 4

54n(E)

ก . ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นค�อf(X) = P(X = xi)

=

4

9

4

54

ii xx เม��อ xi = 0 , 1 , 2 , 3 , 4

ข. หาค�าของ P( X 2) > = P(X = 2) + P(X= 3) + P(X = 4)

=

4

90

5

4

4

4

91

5

3

4

4

92

5

2

4

1.2.3.4!.5

!5.6.7.8.9

!4!5

!9

4

9

)!(!

!, rnr

nC

r

nrn

=126

)1)(1()5)(4()10)(6(

=14

9

126

81 06429

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�สุ่��มได�ตั�วแทนหญ�ง อย�างน�อย 2 คน = 0.6429

1 4. ค�าเฉล!�ยของตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��องน�ยาม ถ�า X เป0นตั�วแปรสุ่��มช่น�ด

ไม�ตั�อเน��อง ม!ค�าเป0น x1 , x2 , x3 , … , xN และ

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X เม��อ X ม!ค�าเป0น x1 , x2 , x3 , … , xN ค�อ f(x1) , f(x2) , f(x3),…,f(xN) ตัามล าด�บ ค�าคาดคะเน(expected value) ของ X ค�อ

() =

N

iii

x

xX

XfXXXfN

1

)()(1

คื$าคืาดคืะเนของ X

คื$าเฉล'!ยเลขคืณ์)ตุของ X

E(X)

x

ในการทอดล"กเตั-าเท!�ยงตัรง 1 ล"ก 1 คร�(ง คาดว�า ล"กเตั-าจุะหงายแตั�มใด

ตั�วอย�าง

ว�ธ์!ท า ให� X = แตั�มของล"กเตั-าท!�หงาย= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X ค�อf(X) = โดยท!� X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 61

6

E(X) =

6

1

)(x

xX

XXf

=(1) )6

1( +(2) )

6

1( )

6

1( + (3) + (4))

6

1( )

6

1()

6

1( + (5) + (6)

= )6

1( 1 2 3 4 5 6( + + + + + )

= )6

1(21( ) 35= .

น��นค�อ คาดว�าล"กเตั-าจุะหงายแตั�ม 35 หร�อ โดยเฉล!�ยแตั�มของล"กเตั-าท!�หงายเท�าก�บ35.

ตั�วอย�าง ถ�าจุ านวนอ�บ�ตั�เหตั�ท!�เก�ดข'(นตั�อว�น ในเม�องหน'�ง เป0น 0 1, , 2 , 3 ,หร�อ 4 ด�วยความน�าจุะเป0น 0.6 , 0.21

0.16 , 0.02 และ 001. ตัามล าด�บ จุ านวนอ�บ�ตั�เหตั�โดยเฉล!�ยจุะเป0นเท�าไร

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนอ�บ�ตั�เหตั�ท!�เก�ดตั�อว�นในเม�องหน'�ง= 0 , 1 , 2 , 3 , 4

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของ X เป0นด�งน!(xi 0 1 2 3 4

( ) 0 . 6 0 . 2 1 0 .1 6 0 .0 2 0 .0 1

ด�งน�(นE(X) =

5

1

)(x

xX

XXf

= (0)(0.6) + (1)(0.21) + (2)(0.16) + (3)(0.02)+ (4)(0.01) = 0 .6 3

น��นค�อ คาดว�าจุ านวนอ�บ�ตั�เหตั�ในเม�องน!( เก�ดข'(น โดยเฉล!�ยว�นละ 0 .6 3 คร�(ง

ตั�วอย�าง ม!หลอดไฟัอย"� 12 หลอด ในจุ านวนน!(ม!หลอดไฟั ท!�เสุ่!ยอย"� 3 หลอด สุ่��มหย�บหลอดไฟัข'(นมา 3 หลอด จุง

ประมาณ์จุ านวนหลอดไฟัท!�เสุ่!ยท!�สุ่��มได�แตั�ละคร�(งว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนหลอดไฟัเสุ่!ยท!�

สุ่��มหย�บข'(นมาได�= 0 , 1 , 2 , 3 ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X ค�อ

f(X) =

3

12

3

93

ii xx , xi = 0 ,1 , 2 , 3

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของ X เป0นด�งน!( xi 0 1 2 3

x() = ( = i)22084

220

108

220

27220

1

ด�งน�(น E(X) =

x

xX

XXf1

)(

= (0)( )220

84 1+ ( )( )220

108 2+ ( )( )220

27 3+( )( )220

1

=220

165 = 0 .7 5

น��นค�อ คาดว�าจุะสุ่��มหย�บได�หลอดไฟัเสุ่!ยคร�(งละ 075 หลอด

กฎของค�าคาดคะเนก . ถ�า a เป0นค�าคงตั�ว E(a) = a เช่�น E(5) = 5

ข . ถ�า a เป0นค�าคงตั�ว E(aXk) = aE(Xk) เช่�น E(3X) = 3E(X)-E( 2X3 -) = 2E(X3)

ค . ถ�า y เป0นฟั7งก&ช่�นของ X ค�อ y = g(X) E(y) = E[g(X)] =

N

iii XfXg

1

)()(

เช่�น E(3X+2) =

N

iiXfX

1

)()23(

ง . ถ�า y และ z เป0นฟั7งก&ช่�นของ X - - E(y + z) = E(y) + E(z) , E(y z) = E(y) E(z)

ตั�วอย�าง ถ�า X เป0นตั�วแปรสุ่��มและ E(X) = 3 , E(X2) = 25 จุงหาค�าของก . ค�าเฉล!�ยของ 2X + 4

ค�าเฉล!�ยของ 2X + 4 ค�อ42 x42 x= E(2X + 4) = E(2X) + E(4) = 2 E(X) + 4 = (2)(3) + 4 = 1 0

ข . E[X - E(X)]2 - = ( 3)2 = E(X2 - 6X +

9 ) =E(X2

)

- 6E( X) +E(9)

=E(X2

)

- 6E(X) +9 - = 2 5 (6 )(3 ) + 9

= 1 6

เราจะตุ�องม' พยายาม

เราจุะตั�องค�นคว�า เพ��มเตั�ม

15. ค�าความแปรปรวนของตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��องน�ยาม ถ�า X เป0นตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��อง และ

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X เม��อ X ม!ค�า x1 , x2,x3,…,xN ค�อ f(x1) ,f(x2),f(x3),…,f(xN) ตัามล าด�บ ค�าความแปร

ปรวนของ X ค�อ2x= E[X - E(X)]2

=

NX

xX

XfXEX1

)(.)]([ 2

หร�อ 2x = E(X)2- 2

x

ตั�วอย�าง ในการเล�อกตั�วแทน 3 คน จุากช่าย 4 คน หญ�ง 3 คน โดยการสุ่��ม จุงหาค�าเฉล!�ยและความแปรปรวนของ จุ านวนช่ายท!�ได�ร�บเล�อกเป0นตั�วแทน

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนช่ายท!�ได�ร�บเล�อกเป0นตั�วแทน= 0 , 1 , 2 , 3

ฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของ X ค�อ

f(X) =

3

7

3

34

ii xx , x i = 0 , 1 , 2 , 3

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของ X เป0นด�งน!(xi 0 1 2 3

f(X)=P(X=x)35

1

35

12

35

18

35

4

2xจาก

NX

xX

XfXEX1

)(.)]([ 2=

และ E(X) =

x

xX

XXf1

)(

= (0)( )35

1 +(1 )( )

35

12 2+( )( )35

18 )335

4

60 = 1.71 735= =12

2x =

NX

xX

XfXEX1

)(.)]([ 2

- = (0 )2 ( )7

12

35

1 - + (1 )2 ( )7

12

35

12

- + (2 )2 ( )7

12

35

18 - + (3 )2 ( )7

12

35

4

=1715

840=

49

24 = 0.49

น��นค�อ ในการสุ่��มเล�อกตั�วแทน 3 คน คาดว�าจุะได� ตั�วแทนช่าย 171. คน โดยม!ความแปรปรวน 049 คน2

2x = E(X2)

2xจุากสุ่"ตัร -

2x= ( )2 = 144

49

E(X2 ) =

2

1

)(2x

xx

xfx = (02 1)( ) +( 2 )( )35

1

35

12

35

18

35

42

2 )( ) ))3 2 )( ) =012723635

=12035

2x =12035

-14449= -5 8805040,1 715, =840

1 715,

127

กฎของความแปรปรวน

1. ถ�า a เป0นค�าคงตั�ว ค�าความแปรปรวนของ a ค�อ2a = 0

2. ถ�า a เป0นค�าคงตั�ว ค�าความแปรปรวนของ ax ค�อ2aX = a22

x 3. ถ�า a และ b เป0นค�าคงตั�วแล�ว

2baX = a22

x

ตั�วอย�างตั�วอย�าง ถ�า X เป0นตั�วแปรสุ่��มและค�า2x= 10จุงค านวณ์ก ) 2

12 x ข) 243 x

ว�ธ์!ท าว�ธ์!ท า ก) 212 x = 2

2x = 22 2x

= (4)(10) = 40

ข ) 243 x = 2

3x =322x

= (9)(10)=90

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��อง

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��องท!�จุะ ศั'กษาในบทเร!ยนน!(ม! 4 แบบ ค�อ 1 การแจุกแจุงเสุ่มอตั�นเสุ่มอปลาย

(ย"น�ฟัอร&ม) 2 การแจุกแจุงทว�นาม 3 การแจุกแจุงไฮเพอร&ย!ออเมตัร�ก

4 การแจุกแจุงป7วสุ่&ซึ่ง 5 การแจุกแจุงปกตั� เป0นการแจุกแจุงแบบตั�อเน��อง

เน�(อหา

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��อง

1. การแจุกแจุงเสุ่มอตั�นเสุ่มอปลาย Uniform Distribution

2 . การแจุกแจุงทว�นาม ( Binomial Distribution) 3. การแจุกแจุงไฮเพอร&ย!ออเมตัร�ก

Hypergeometric Distribution

4. การแจุกแจุงป7วสุ่&ซึ่ง (Poisson Distribution)

สุ่��งท!�ตั�องศั'กษา 1. ร"ปท��วไปของฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงความน�า

จุะเป0นของตั�วแปรสุ่��ม

2 . ค�าเฉล!�ยและความแปรปรวนของตั�วแปรสุ่��ม

1. การแจุกแจุงเสุ่มอตั�นเสุ่มอปลาย

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มซึ่'�งแตั�ละค�าม!ความน�าจุะเป0นเท�าก�น

หมด ฟั7งก&ช่�นของความน�าจุะเป0น ค�อ

f (X ; k) = ; X = x1 , x2 , x3 , … , xk

k

1

ความแปรปรวนของการแจุกแจุง ค�อ

ค�าเฉล!�ยของการแจุกแจุงค�อ

kx

xX

Xk

1

1

kx

xX

Xk

1

22 )(1

ตั�วอย�าง ในการทอดล"กเตั-า 1 ล"ก 1 คร�(ง ให� X เป0นแตั�ม ท!�ได� จุงเข!ยนฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงความ

น�าจุะเป0นของ X และหาค�าเฉล!�ยและความแปรปรวนของการแจุกแจุงว�ธ์!ท า ให� X = แตั�มท!�ได�จุากการทอดล"กเตั-า1 ล"ก1คร�(ง

= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ตัารางแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของ X ค�อ

Xi 1 2 3 4 5 6))) )) ) )) ) )i )161616161616

X ม!การแจุกแจุงเสุ่มอตั�นเสุ่มอปลาย โดยม!ฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงความน�าจุะเป0น ค�อ

f(X ; 6) = 1/6 ; X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

ค�าเฉล!�ยของการแจุกแจุงค�อ

6

16

1 x

xX

X

= (1/6)(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) 1621= ( / )( ) 35= .

คาดว�าในการทอดล"กเตั-า 1 ล"ก 1 คร�(ง ล"กเตั-าจุะข'(นแตั�ม 35.

ความแปรปรวนของการแจุกแจุงค�อ

6

1

2)(6

1 x

xX

X

= (1/6)[(1-3.5)2+(2-3.5)2+(3 -3.5)2+(4 -3.5)2

+(5 - 3.5)2+(6-3.5)2]

= (1/6)(6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25 + 6.25 )

16175= ( / )( . ) 29166= .

คาดว�าในการทอดล"กเตั-า 1 ล"ก 1 คร�(ง ล"กเตั-าจุะข'(นแตั�ม 35. โดยม!ความแปรปรวนเท�าก�บ 2 .9 2

2.การแจุกแจุงทว�นาม

การทดลองแบบแบร&น"ลล!

คืวามสั,าเร-จ

คืวามไม$สั,าเร-จ

โยนเหร!ยญ1เหร!ยญ 1คร�(ง

ข'(น ห�ว

ข'(นก�อย

โยนล"กเตั-า 2 ล"ก 1 คร�(ง

แตั�มเหม�อนก�น

แตั�มตั�างก�น

Binomial Experiment

ล�กษณ์ะท��วไปของการแจุกแจุงทว�นาม

1. การทดลองประกอบด�วยการกระท าซึ่ (าๆก�น n คร�(ง 2. การกระท าแตั�ละคร�(งผลท!�เก�ดข'(นม! 2 อย�าง ค�อ

ความสุ่ าเร;จุ และความไม�สุ่ าเร;จุ3.ความน�าจุะเป0นของความสุ่ าเร;จุท!�เก�ดข'(นจุากการ

กระท าแตั�ละคร�(ง ม!ค�าคงท!�เท�าก�บ p และความน�า จุะเป0นของความไม�สุ่ าเร;จุเท�าก�บ q โดยท!�p + q = 1

4. การกระท าแตั�ละคร�(งเป0นอ�สุ่ระตั�อก�น

น�ยาม ตั�วแปรสุ่��ม X แสุ่ดงจุ านวนคร�(งของความสุ่ าเร;จุ ท!�เก�ดจุากการกระท า n คร�(งในการทดลองทว�นามเร!ยก X

ว�า ตั�วแปรสุ่��มทว�นาม การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของ X เร!ยกว�า การแจุกแจุงทว�นาม เข!ยนแทนด�วย b(X;n,p) เพ��อ

แสุ่ดงว�าการแจุกแจุงน!(ข'(นก�บการกระท า n คร�(ง และความน�าจุะเป0นของความสุ่ าเร;จุท!�เก�ดข'(นจุากการกระท าแตั�ละ

คร�(ง p ในกรณ์!ท!� X เป0นตั�วแปรสุ่��มทว�นาม ซึ่'�งม!การแจุก แจุง b(X ; n,p) ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X เม��อ X= x

ค�อ b(X;n,p) = f(x) = xnx pp

X

n

)1)((

เม��อ x = 0 , 1 , 2 , …,n

ตั�วอย�าง ด ารงท าข�อสุ่อบแบบปรน�ย 5 ข�อ แตั�ละข�อ

ม!ค าตัอบให�เล�อก 4 ค าตัอบ ด ารงตัอบ โดยการเดาท�กข�อ จุงหาความน�าจุะเป0นท!�

ด ารงจุะสุ่อบผ�าน โดยเขาตั�องท าถ"ก อย�างน�อย 3 ข�อว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนข�อสุ่อบท!�ด ารงตัอบถ"กจุากการท าข�อสุ่อบ 5 ข�อ

= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5) ม!การแจุกแจุงแบบทว�นามโดยม!n = 5 , p = 0.25

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ x ค�อf(X) =b(X ; 5 ,0.25) = ii xx

ix

5)75.0()25.0(5

เม��อ xi = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,5

หาความน�าจุะเป0นท!�ด ารงสุ่อบผ�านโดยตั�องตัอบถ"ก อย�างน�อย 3 ข�อ ค�อหา P(X> 3)

P(X> 3) 3 4 5= P(X= )+P(X= )+P(X= ) = f(3)+ f(4)+f(5)= 051423 )75.0()25.0(

5

5)75.0()25.0(

4

5)75.0()25.0(

3

5

=!2!3

!5 00087890625( . ) +!1!4

!500029296875( . )

))100009)( .765625

)

10 00087890625 5 00029296875 00009765625= ( )( . )+( )( . )+ . = 0.087890625 + 0.0146484375 + 0.0009765625

= 0.10352125 ความน�าจุะเป0นท!�ด ารงจุะสุ่อบผ�านเท�าก�บ 010351035 %

ตั�วอย�างน�ดาเป0นตั�วแทนบร�ษ�ทประก�นช่!ว�ตัแห�งหน'�งความน�าจุะเป0นท!�น�ดาจุะขายประก�นได�จุากครอบคร�วท!�เธ์อ

ไปพบเท�าก�บ 06. ถ�าว�นน!(เธ์อตั�(งใจุจุะไปพบ5 ครอบคร�ว จุงหาความน�าจุะเป0นท!�เธ์อจุะขายประก�นได� 3 ครอบคร�ว

ว�ธ์!ท า ให� ) = จุ านวนครอบคร�วท!�น�ดาขายประก�นได�= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

X ม!การแจุกแจุงแบบทว�นามโดยม! n = 5 , p = 0.6 ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X ค�อ

f(X) = b(X ; 5 , 0.6) = ii xx

ix

5)4.0()6.0(5

เม��อ xi = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

หาความน�าจุะเป0นท!�น�ดาขายประก�นได� 3 ครอบคร�ว ค�อ หา P(X = 3)

P(X = 3) = f(3) = 23 )4.0()6.0(.3

5

=!2!3

!50216 016( . )( . )

= (10)(0.03456) = 0.3456

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�น�ดาขายประก�นได� 3 ครอบคร�ว เท�าก�บ 0 3456 34 56. = . %

การหาความน�าจุะเป0นทว�นามโดยใช่�ตัารางตั�วอย�าง ยางรถยนตั& 100 เสุ่�น ท!�สุ่�งออกสุ่"�ตัลาดจุาก

โรงงานแห�งหน'�งทราบว�าม!ช่ าร�ด 20 เสุ่�น สุ่��มเล�อกยางน!(มา 15 เสุ่�นเพ��อตัรวจุสุ่อบสุ่ภูาพโดยสุ่��มเล�อกท!ละเสุ่�น

แบบค�นท!�ก�อนหย�บเสุ่�นตั�อไป จุงหาความน�าจุะเป0นท!� จุะได�ยางช่ าร�ด

1 1) เสุ่�น 2) อย�างมาก 2 เสุ่�น 3) อย�างน�อย 1 เสุ่�น 4) ตั�(งแตั� 2 ถ'ง 4 เสุ่�น

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนยางช่ าร�ดท!�สุ่��มได�จุากการสุ่��มยางมาตัรวจุ 15 เสุ่�น= 0 , 1 , 2 , 3 , … ,15

X ม!การแจุกแจุงแบบทว�นาม โดยม! n = 15 ม! p ค�อความน�าจุะเป0นท!�สุ่��มได�ยางช่ าร�ด=

100

20 = 0.2 ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X ค�อ

f(X) = b(X ;15 ,0.2) = ii xx

ix

15)8.0()2.0(15

เม��อ x = 0,1,2,…,15 1. หาความน�าจุะเป0นท!�ได�ยางช่ าร�ด 1 เสุ่�น ค�อ หาP(X = 1) = 0.1319) ด"ตัารางท!� 2 n = 15 , x = 1 ,P = 0.2)

2 . หาความน�าจุะเป0นท!�ได�ยางช่ าร�ดอย�างมาก 2 เสุ่�น ค�อ หา P (X < 2)

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X =1) + P(X = 2) = 0.0352 + = 0.3980

หร�อP(X < 2)

=

2

0

)2.0,15;(X

Xb = 0.3980

ด"ตัารางท!� - 21 ท!� n = 15 , P = 0.2 , r = 2

01319. 02309+ .

3. หาความน�าจุะเป0นท!�ได�ยางช่ าร�ดอย�างน�อย 1 เสุ่�นค�อหา 0P(X > ) =- 1 0P(X = ) - = 1 0.0352 = 0.9648

4. หาความน�าจุะเป0นท!�ได�ยางช่ าร�ดตั�(งแตั� 2 ถ'ง 4 เสุ่�นค�อP( 2 < X < 4 ) = P(X = 2 ) + P(X = 3) + P(X = 4)

= 0.2309 02501+ . 01876+ . = 0.6686

โอ�! ง�ายจุ�ง

ค�าเฉล!�ยและความแปรปรวนของการแจุกแจุงทว�นาม

ถ�า X เป0นตั�วแปรสุ่��มทว�นาม ค�าเฉล!�ยของ X ค�อ x = np

ค�าความแปรปรวนของ X ค�อ2X= npq

จุงหาค�าเฉล!�ยและความแปรปรวนของ 1. จุ านวนข�อสุ่อบท!�ด ารงตัอบถ"ก

โดยเฉล!�ยด ารงตัอบข�อสุ่อบถ"ก = 5 0 25 1 25( )( . ) = . ข�อ ม!ความแปรปรวน = 5 0 25 0 75 0 9375( )( . )( . ) = . ข�อ2

2. จุ านวนครอบคร�วท!�น�ดาขายประก�นได� โดยเฉล!�ยน�ดาจุะขายประก�นได� =5 06( )( . )

= 3 ครอบคร�ว ม!ความแปรปรวน = 5 0 6 0 4 1 2( )( . )( . ) = . ครอบคร�ว2

3. การแจุกแจุงไฮเพอร&ย!ออเมตัร�กล�กษณ์ะท��วไปของการแจุกแจุงไฮเพอร&ย!ออเมตัร�ก

1. สุ่��มเล�อกสุ่��งตั�วอย�างแบบไม�ค�นท!�ขนาด n จุากประช่ากร ท!�ม!จุ านวนแน�นอน

2 . ประช่ากร N จุ าแนกเป0น 2 พวก พวกหน'�งเร!ยกว�า ความสุ่ าเร;จุ ม! k จุ านวน อ!กพวกหน'�งเร!ยกว�า ความไม� สุ่ าเร;จุ ม! N - k จุ านวน

ถ�า X เป0นจุ านวนความสุ่ าเร;จุท!�ได�จุากการทดลอง ไฮเพอร&ย!ออเมตัร�กเราเร!ยก X ว�าเป0น ตั�วแปรสุ่��มไฮเพอร& ย!ออเมตัร�ก

การแจุกแจุงความน�าจุะเป0นของX เร!ยกว�าการแจุกแจุงไฮเพอร&ย!ออเมตัร�กเข!ยนแทนด�วยสุ่�ญล�กษณ์&

h(X ;N , n , k) ซึ่'�งหมายถ'งค�าความน�าจุะเป0นของX ข'(นอย"�ก�บ

N , n , k

n

N สุ่��ม n จุาก N สุ่��ม X จุาก k

X

k

สุ่��ม n - X จุาก N - k

Xn

kN

น�ยาม ถ�า X เป0นตั�วแปรสุ่��มไฮเพอร&ย!ออเมตัร�กซึ่'�งแสุ่ดง

ถ'งจุ านวนความสุ่ าเร;จุท!�ได�จุากการสุ่��มเล�อกตั�วอย�าง

ขนาด n จุากประช่ากรขนาด N โดยท!�N ประกอบ

ด�วยความสุ่ าเร;จุ k รายการ และความไม�สุ่ าเร;จุN- k

รายการ ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ ตั�วแปรสุ่��ม X ค�อ

f(X) = h(X;N,n,k) =

n

NXn

kN

X

k )

,X = 0 , 1 , 2 ,…,n

ค�าเฉล!�ยของ X ค�อN

nkX

ความแปรปรวนของ X ค�อ )1(1

2

N

k

N

nk

N

nNx

ตั�วอย�างในการผล�ตัช่�(นสุ่�วนอ!เล;คทรอน�คช่น�ดหน'�ง ร��นหน'�งท าการผล�ตั 50 ช่�(น ในการผล�ตัช่�วงหน'�ง กรรมว�ธ์! ในการผล�ตัข�ดข�อง จุ'งม!ช่�(นสุ่�วนใน 50 ช่�(นเก�ดช่ าร�ด ถ�า

ทราบม!ช่�(นสุ่�วนช่ าร�ด 8 ช่�(น จุงหาความน�าจุะเป0นท!�สุ่��ม หย�บช่�(นสุ่�วนช่�ดน!(ข'(นมาตัรวจุสุ่อบ 5 ช่�(นจุะพบช่�(นสุ่�วน

ช่ าร�ด ก ) 1 ช่�(น ข . อย�างมาก 2 ช่�(น และหาค�าเฉล!�ยพร�อมความแปรปรวนของช่�(นสุ่�วนช่ าร�ดท!�พบจุากการสุ่��มช่�(นสุ่�วนมาตัรวจุคร�(งน!(

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนช่�(นสุ่�วนช่ าร�ดท!�พบจุากการสุ่��ม= 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5

X ม!การแจุกแจุงแบบไฮเพอร&ย!ออเมตัร�ก ม! N = 50 , k = 8 , n = 5

ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นของ X ค�อ

h(X ;50 , 5 , 8) =

5

505

428

XX , X= 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5

h(X;N,n,k) =

n

NXn

kN

X

k )

ก . หา P(X =1) = h(1 ; 50 , 5 ,8) =

5

504

42

1

8

=1.2.3.4.5!45

!45.46.47.48.49.50

)1.2.3.4!38!38.39.40.41.42

)(8(10135

210

=46.47.2.49.10

13.5.41.42.8

2

2

23

7

6

=567,7

198,3 = 0.4226

ความน�าจุะเป0นท!�สุ่��มพบช่�(นสุ่�วนช่ าร�ด 1 ช่�(น = 0.4226 = 42.26%

760,118,2

)930,111)(8(

ข . หา P(X < 2) = 0 1 2P(X = ) + P(X = ) +P(X = )

=

5

503

42

2

8

5

504

42

1

8

5

505

42

0

8

= 0.4015 04226+ . 01517+ . = 0.9758

ความน�าจุะเป0นท!�สุ่��มพบช่�(นสุ่�วน ช่ าร�ด = 0.9758

= 97.58%

ค�าเฉล!�ยของ X ค�อN

nkX =

50

)8)(5(

08= .

ความแปรปรวนของ ) ค�อ )1(1

2

N

k

N

nk

N

nNx

= )50

81)(8.0(

150

550

= 0.62 ในการสุ่��มช่�(นสุ่�วนมา 5 ช่�(น คาดว�าจุะพบช่�(นสุ่�วน

ช่ าร�ด 08. ช่�(น โดยม!ความแปรปรวนเท�าก�บ 062. ช่�(น2

ตั�วอย�าง บร�ษ�ทแห�งหน'�งร�บสุ่ม�ครน�กการจุ านวน 4 คน ม!ผ"�มาสุ่ม�คร 2 0 คน เป0ยช่าย 12 คน หญ�ง 8 คน ผ"�จุ�ดการ

จุ'งเล�อกผ"�สุ่ม�ครมา 4 คนโดยการสุ่��ม เพ��อบรรจุ�เป0นน�กการ ของบร�ษ�ท ให�ค านวณ์ความน�าจุะเป0นท!�จุะได�น�กการช่าย

ก .2 คน ข . ความน�าจุะเป0นท!�ได�น�กการหญ�งอย�างมาก 2 คน

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนช่ายท!�สุ่��มได�จุากการสุ่��มผ"�สุ่ม�คร 4 คน= 0 , 1 , 2 , 3 , 4

X ม!การแจุกแจุงแบบไฮเพอร&ย!ออเมตัร�ก ม! N =20 , k =12 และ n =4

ฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงของ X ค�อ h(X;N,n,k) =

n

NXn

kN

X

k )

f(X) = h(X ; 20 , 4 ,12) =

4

20

4

812

XX

X= 0,1 ,2 , 3,4

ก . หาความน�าจุะเป0นท!�บร�ษ�ทจุะได�น�กการช่าย 2 คน ค�อหา

P(X = 2) =

4

20

2

8

2

12

=!4!16!20!2!6!8

.!2!10!12

= 845,4

)28)(66(

ความน�าจุะเป0นท!�จุะได�น�กการช่าย 2 คน = 0.3814

ข . หาความน�าจุะเป0นท!�ได�น�กการหญ�งอย�างมาก 2 คนค�อหา ความน�าจุะเป0นท!�ได�น�กการช่ายอย�างน�อย 2 คน ค�อหา

P(X > 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X =4)

=

4

20

0

8

4

12

4

20

1

8

3

12

4

20

2

8

2

12

03814 03633 01022= . + . + . 08469= .

ความน�าจุะเป0นท!�บร�ษ�ทจุะได�น�กการช่ายอย�างน�อย 2 คน เท�าก�บ 08469. = 84.69%

หาค�าเฉล!�ยและความแปรปรวนของจุ านวนน�กการช่ายท!�บร�ษ�ทได�ไว�

ค�าเฉล!�ยของ X ค�อN

nkX =

20

)12)(4( = 2.4

ความแปรปรวนของ X ค�อ )1(1

2

N

k

N

nk

N

nNx

= )20

121)(4.2(

120

420

= 0.81 คาดว�าบร�ษ�ทจุะได�น�กการช่ายโดยเฉล!�ย 2 .4 คน โดยม!

ความแปรปรวนเท�าก�บ 081. คน2

4. การแจุกแจุงป7วสุ่&ซึ่งล�กษณ์ะตั�วแปรสุ่��มท!�ใช่�การแจุกแจุงป7วสุ่&ซึ่งหาความน�าจุะเป0น

1. สุ่ามารถแบ�งช่�วงเวลาท!�สุ่นใจุออกเป0นช่�วงเวลาย�อย สุ่�(นๆได�เป0นจุ านวนมาก โดยความน�าจุะเป0นของการเก�ด

ข'(นของตั�วแปรสุ่��มในแตั�ละช่�วงเวลาย�อยม!ค�าน�อยมาก 2 . ความน�าจุะเป0นของการเก�ดข'(นของตั�วแปรสุ่��มในแตั�ละ

ช่�วงเวลาย�อยเหล�าน!( ม!ค�าคงท!�ตัลอดช่�วงเวลาท!�พ�จุารณ์า 3. ความน�าจุะเป0นของการเก�ดข'(นมากกว�า 1 คร�(ง ของ

ตั�วแปรสุ่��มในแตั�ละช่�วงเวลาย�อยเหล�าน!( ม!ค�าน�อยมากจุนสุ่ามารถตั�ดท�(งได�

4. การเก�ดข'(น (หร�อไม�เก�ดข'(น )ของตั�วแปรสุ่��มในช่�วงเวลาย�อยหน'�งจุะตั�องไม�ม!ผลกระทบตั�อการเก�ดข'(น(หร�อไม�เก�ดข'(น ) ของตั�วแปรสุ่��มในช่�วงเวลาย�อยอ��นๆ น��นค�อการเก�ดข'(นของตั�วแปรสุ่��มเป0นอ�สุ่ระตั�อก�นน�ยาม ฟั7งก&ช่�นความน�าจุะเป0นหร�อการ

แจุกแจุงความน�า จุะเป0นของตั�วแปรสุ่��มป7วสุ่&ซึ่ง X ซึ่'�งเป0น

จุ านวนคร�(งของเหตั�การณ์&ท!�เก�ดข'(นในช่�วงเวลาหร�ออาณ์าบร�เวณ์ท!�ก าหนด

ให� ค�อ

X

X

eXP

!

.);(

, X = 0 , 1 , 3 , …เม��อe = 2.71828

ตั�วอย�าง

สุ่มม�ตั�ว�าบนถนนหลวงสุ่ายหน'�ง ม!อ�บ�ตั�เหตั� เก!�ยวก�บรถยนตั&เฉล!�ยว�นละ 4 คร�(ง จุงหาความ

น�าจุะเป0นท!�ในว�นหน'�งท!�ก าหนดให� เก�ดอ�บ�ตั�เหตั�ก. ไม�ม!อ�บ�ตั�เหตั�เก!�ยวก�บรถยนตั&เลย ข ) 3 คร�(งหร�อน�อยกว�าค ) 3 คร�(งหร�อมากกว�า ง . ตั�(งแตั� 2 ถ'ง 4 คร�(ง

ว�ธ์!ท า ให� X = จุ านวนของอ�บ�ตั�เหตั�เก!�ยวก�บรถยนตั& บนถนนหลวงสุ่ายหน'�งใน 1 ว�น

= 0 , 1 , 2 , 3 ,...X ม!การแจุกแจุงแบบป7วสุ่& โดยม! 4

ฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงของ X ค�อf(X) = P(X ; 4) = (e-4)(4)X

x!ก . หาความน�าจุะเป0นท!�ไม�ม!อ�บ�ตั�เหตั�เลยใน 1 ว�น ค�อหาP(X = 0) = (e-4)(4)0

0! = (27183. )-4

= 127183( . )4

= 0.0183

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�ไม�ม!อ�บ�ตั�เหตั�เลยใน1 ว�น = 0.0183

ข . หาความน�าจุะเป0นท!�ม!อ�บ�ตั�เหตั� 3 คร�(งหร�อน�อยกว�า ค�อหา P( X 3) = (=0)+(=1) +(=2)+(=3)e-4.40 + e-4.41 + e-4.42+ e-4.43

0 1 2 3

ด"ตัารางท!� 3 , X = 0 , 1 , 2 , 3 4

= 0.0183 + 0.0733 + 0.1465 + 0.1954 = 0.4335

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�ม!อ�บ�ตั�เหตั� 3 คร�(งหร�อ น�อยกว�า ใน 1 ว�น เท�าก�บ 04335.

=

ค . หาความน�าจุะเป0นท!�ม!อ�บ�ตั�เหตั� 3 คร�(งหร�อมากว�า ค�อ หา P(X 3) = - 1 2P(X )

- 1 0 1 2= [P(X= ) + P(X + ) + P(X + )]

- 1 00183 00733 01465= ( . + . + . ) - 1 02381 07619= . = .

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�ม!อ�บ�ตั�เหตั� 3 คร�(ง หร�อมากกว�าเท�าก�บ 07619.

ตั�วอย�าง

สุ่มม�ตั�ว�าในระยะเวลา - 1100 1200. . น . ของว�น หน'�ง ธ์นาคารกร�งสุ่ยามทราบจุากประสุ่บการณ์&ว�าม!ล"กค�า เข�ามาร�บบร�การโดยเฉล!�ย 60 คนตั�อช่��วโมงจุงหาความน�า จุะเป0นท!� ในช่�วงเวลาด�งกล�าว ม!ล"กค�าเข�ามาร�บบร�การ

ก . 2 คน ใน 1 นาท! ข . อย�างมาก 2 คน ใน 1 นาท!

ว�ธ์!ท า จุากโจุทย&จุะได� = 60 คน ตั�อช่��วโมง ด�งน�(น ก;จุะได� = 1 คน ตั�อ นาท!

ให� X = จุ านวนล"กค�าท!�เข�ามาร�บบร�การในแตั�ละนาท!ของช่�วง เวลา - 11 12 น .= 0 , 1 , 2 , 3 , ...

) ม!การแจุกแจุงป7วสุ่&ซึ่ง โดยม! = 1 ฟั7งก&ช่�นการแจุกแจุงของ ) ค�อf(X) =

P(X ;1) = (e-1)(1)X x!ก . หาความน�าจุะเป0นท!�ม!ล"กค�าเข�ามาร�บบร�การ 2 คน ค�อหา P(X = 2) = ))-1

1)( )22! = 0.1839

ข . หาความน�าจุะเป0นท!�ม!ล"กค�าเข�ามาร�บบร�การ อย�างมาก 2 คน ค�อหา P(X 2)

P(X 2)= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)= 0.3679 + 0.3679 + 0.1839 = 0.9197

ความน�าจุะเป0นท!�ม!ล"กค�าเข�ามาร�บบร�การอย�างมาก 2 คน =0.9197

5. ฟั7งก&ช่�นของการแจุกแจุงปกตั� ตั�วแปรสุ่��ม X ม!การแจุกแจุง

ปกตั� เร!ยกตั�วแปรสุ่��ม น!(ว�า ตั�วแปรสุ่��มปกตั� เสุ่�นโค�งปกตั�ท!�

แสุ่ดงถ'ง ฟั7งก&ช่�นของการแจุกแจุงความ น�าจุะเป0น (probability density

function ของ ตั�วแปรสุ่��ม X ค�อ f(X) หร�อ p.d.f. ม!

ร"ปสุ่มการค�อ

p.d.f.)

f(X) =

XeX

;.

2

1 2)(2

1

2

314159 และ e = 2.71828...

3 2 2 3

3415. %3415. %1355. %1355. %

2 .1 5 %2 .1 5 %

997

ZX

0 1 2 3-1-2-3

การหาพ�(นท!�ใตั�โค�งปกตั� ให�แปลงตั�วแปรสุ่��ม X ให�อย"�ในร"ปมาตัรฐาน Z

จุากสุ่"ตัร Z = X

ตั�วแปรสุ่��มปกตั�มาตัรฐาน Z ม!ค�าเฉล!�ยเป0น 0 ความแปรปรวนเป0น1

ตั�วอย�างจุงหาพ�(นท!�ใตั�โค�งปกตั�มาตัรฐานระหว�าง ) 1 0 Z < 1.25

0 1 25. Z

= 0.3944 = 39.44%

- 2 084. . < Z )0

- 0 84 0. Z

= 0.2995 = 29.95%

3 025 280. . . < Z <

0 25 2 8. . Z

- = 0.4974 0.0987 = 0.3987

- 4 165. . < Z 212< .

- 1 65 0 2 12. . Z

= 0.4505 0.4830) = 0.9335

04.83

0

04505

05000.

5 1 89. Z > .

0

1 8. 9 Z

- = 0.5000 0.4706 = 0.0294 = 2.94 %

- 6 2 05. Z > .

- 2 05 0. Z

= 0.5000 + 0.4798 = 0.9798 = 97.98%

04706

04798

การหาค�า Z เม��อทราบพ�(นท!�ใตั�โค�งปกตั�

1. ค�า Z ท!�ท าให�เก�ดพ�(นท!�สุ่�วนท!�แรเงาใตั�โค�งปกตั� ด�งร"ป

0 ? Z 04961.

ค�อ 0 < Z 266< .

04961.

Z

26.

006.

2 . ค�า Z ท!�ท าให�เก�ดพ�(นท!�สุ่�วนท!�แรเงาใตั�โค�งปกตั� ด�งร"ป

17%

25?2

?1

0 Z

01700.04.Z 004.

-044. < Z <

04750.19.

Z 006.

-196.ค�อ04750

ตั�วอย�าง ตั"�เย;นย!�ห�อหน'�งม!อาย�การใช่�งาน โดยเฉล!�ย 15 ปC

สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐานของอาย�การใช่�งาน 2 .5 ปC ถ�าอาย�การใช่�งานของตั"�เย;นย!�ห�อ

น!(ม!การแจุกแจุงปกตั� จุงหาความน�าจุะเป0น ท!�ตั"�เย;นตั"�หน'�ง จุะม!อาย�การใช่�งานน�อยกว�า

10 ปC

ว�ธ์!ท า ตั"�เย;นม!อาย�การใช่�งานเฉล!�ย = 15 ปC

ม!สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐานของอาย�การใช่�งาน = 2.5 ปCหาความน�าจุะเป0นท!�ตั"�เย;นตั"�หน'�งม!อาย�การใช่�งาน

น�อยกว�า 10 ปC ค�อหา P(X < 10)

X = อาย�การใช่�งานของตั"�เย;น

X1510 Z0

P(X < 10) = - 10 15P( < )x

2 .5 - 20= P ( Z < . )

-20.

04772. - 0500004772= . .

= 0.0228 = 2.28 %

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�ตั"�เย;นตั"�หน'�งจุะม!อาย�การใช่�งาน น�อยกว�า 10 ปCเท�าก�บ 00228. = 2.28 %

ตั�วอย�าง

จุากประสุ่บการณ์&ท!�ผ�านมา วงการแพทย&พบว�า น (าหน�กของเด;กไทยแรกเก�ดม!การแจุกแจุงปกตั� โดยม!

น (าหน�กเฉล!�ย 3000, กร�ม สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐาน450 กร�ม ถ�าสุ่��มเล�อกเด;กไทยแรกเก�ดมา 1 คน จุงหาความน�า

จุะเป0นท!�ม!น (าหน�กเก�นกว�า 4000, กร�มว�ธ์!ท า

เด;กไทยแรกเก�ดม!น (าหน�กเฉล!�ย = 3 000,กร�ม

ม!สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐานของน (าหน�ก = 450 กร�ม

หาความน�าจุะเป0นท!�ม!น (าหน�กเก�นกว�า 4 000, กร�ม ค�อ หา P ( X > 4,000 )

X = น (าหน�กของเด;กไทยแรกเก�ด

P ( X > 4,000 ) = P( >x -4000 3000, , )450

222= P( Z > . )

X3 000, 4 000,

Z0222.

04868.

- 0500004868= . . = 0.0132

= 1.32 %

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�เด;กไทยแรกเก�ดจุะม!น (าหน�ก เก�น 4000, กร�มเท�าก�บ 00132. = 1.32%

ตั�วอย�าง ในการทดลองให�อาหารสุ่"ตัรใหม�แก�ไก� 150 ตั�ว เป0นเวลา 5 สุ่�ปดาห& ปรากฏว�าน (าหน�กท!�เพ��มข'(นของไก�

เหล�าน!(ม!การแจุกแจุงปกตั� โดยม!น (าหน�กท!�เพ��มข'(นเฉล!�ย 2 .9 ก�โลกร�ม สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐานเป0น 02. ก�โลกร�ม

จุงหาว�าม!ไก�ก!�ตั�วท!�คาดว�าจุะม!น (าหน�กเพ��มข'(นระหว�าง 30. และ 32. ก�โลกร�ม

ว�ธ์!ท า ไก�ม!น (าหน�กเพ��มข'(นโดยเฉล!�ย = 2.9 กก.

ม!สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐานของ นน . ท!�เพ��ม = 0.2 กก. ไก�ท�(งหมดม! 150 ตั�ว

X = น (าหน�กของไก�ท!�เพ��มข'(น

หาความน�าจุะเป0นท!�ไก�ม!น (าหน�กเพ��มข'(นระหว�าง 30. และ 32. กก . ค�อ หา P ( 3.0 < x < 3.2 )

P ( 3.0 < x < 3.2 ) = P(3.0 - 2.902. < <

x - 32 29. . )02.

050= P( . < Z < 1.5 )

005 15. . Z - = 0.4332 0.1915

= 0.2417

แสุ่ดงว�าม!ไก�ท!�ม!น (าหน�กเพ��มข'(นระหว�าง - 30 32. . กก. ประมาณ์ 2 4 .1 7 % ค�ดเป0นจุ านวนไก�ได�ประมาณ์

02417. x 150 = 36 ตั�ว

ตั�วอย�างสุ่ายสุ่มรพบว�าเวลาท!�เธ์อใช่�ในการเด�นทางจุาก บ�านไปท!�ท างานม!การแจุกแจุงปกตั� โดยม!เวลาเด�นทาง

เฉล!�ย 46 นาท! สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐาน 8 นาท! เพ��อให� แน�ใจุได�ว�าเธ์อม!โอกาสุ่ไปถ'งท!�ท างานก�อนเวลา 830. น.

ถ'ง95 % จุงหาว�าสุ่ายสุ่มรควรออกจุากบ�านเวลาเท�าไร

ว�ธ์!ท า สุ่ายสุ่มรใช่�เวลาเด�นทางโดยเฉล!�ย

) 46 นาท! สุ่�วนเบ!�ยงเบนมาตัรฐานของเวลาเด�นทาง ) 8 นาท!

X= เวลาท!�สุ่ายสุ่มรใช่�ในการเด�นทาง

05000. 045.(50%)45( %)

0 Z1645.

จุากตัารางพ�(นท!�ใตั�โค�งปกตั� ค�า Z ท!�ท าให�เก�ดพ�(นท!�จุาก

Z = 0 ถ'งจุ�ด 045. ค�อZ = 1(1.64 + 1.65 )= 1.645

2

จุาก Z = เม��อ Z = 1.645 , = 46 = 8x

จุะได� x = + Z 46 81645= + ( )( . )

46 1316 5916= + . = . แสุ่ดงว�าสุ่ายสุ่มรตั�องออกจุากบ�านก�อน830. น . ประมาณ์

5916. นาท! ค�อ ควรออกจุากบ�านเวลา 730. น.

การประมาณ์ค�าการแจุกแจุงทว�นามด�วยการแจุกแจุงปกตั�

ทฤษฎ! ให� X เป0นตั�วแปรสุ่��มแบบทว�นาม ท!�ม!ค�าเฉล!�ย = np และความแปรปรวน = npq ถ�า n

ม!ค�ามาก และ p ม!ค�าไม�เข�าใกล� 0 หร�อ 1 แล�ว ตั�วแปรสุ่��ม Z = X - np

ม!การแจุกแจุงใกล�เค!ยงก�บการแจุกแจุงปกตั� ซึ่'�งเข!ยน แทนด�วย Z ~ N(0 , 1)

2

npq

ตั�วแปรสุ่��มแบบทว�นาม X เป0นตั�วแปรสุ่��มช่น�ดไม�ตั�อเน��องเม��อประมาณ์ค�าการแจุกแจุงแบบทว�นามด�วยการแจุกแจุงปกตั�ซึ่'�งเป0นการ

แจุกแจุงความน�าจุะเป0นแบบตั�อเน��อง จุะ ตั�องม!การปร�บแก�เพ��อความตั�อเน��อง

(Correction for continuity) X โดยการบวกหร�อลบด�วย 05. เพ��อ

ครอบคล�มพ�(นท!�หร�อความน�าจุะเป0นท!� ตั�องการ ****

*

ตั�วอย�าง เป0นท!�ทราบก�นว�า แม�ว�วท!�ได�ร�บการผสุ่มเท!ยม ม!อ�ตัราการตั�(งท�อง40% ถ�าแม�ว�ว 40 ตั�วได�ร�บการผสุ่ม

เท!ยม จุงหาความน�าจุะเป0นท!�แม�ว�วตั�(งท�องระหว�าง 15 ถ'ง 35 ตั�ว

ว�ธ์!ท า ให� X เป0นแม�ว�วท!�ตั�(งท�อง n เป0นจุ านวนว�วท�(งหมดp ค�อความน�าจุะเป0นท!�แม�ว�วจุะตั�(งท�อง = 0.4

หาความน�าจุะเป0นท!�แม�ว�วตั�(งท�องระหว�าง - 15 35 ตั�วโดยการประมาณ์ค�าด�วยการแจุกแจุงปกตั�ท!�ม!

= (40)(0.4) = 16 และ = (40)(0.4)(0.6) =3.1

ด�งน�(น P( 15 < x < 35) = 35

15 ( ; 4 0 , 0 .4 )

- - - - - 1505 16 3505 16= P[ ( . ) < x np < ( . ) ]31. npq 31.

- = P ( 0.48 < Z < 5.97 )

- 048 597. . = 0.1844 + 0.5000 = 0.6844 = 68.44 %

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�แม�ว�วจุะตั�(งท�องระหว�าง - 15 35 ตั�ว เท�าก�บ 06844. หร�อ6844. %

ตั�วอย�าง ถ�าร�อยละ 30 ของน�กเร!ยนประถมเป0นโรคฟั7นผ�จุงหาความน�าจุะเป0นของการตัรวจุสุ่�ขภูาพสุ่�ขภูาพฟั7น

น�กเร!ยนประถม 1000, คน แล�วพบน�กเร!ยนเป0นโรคฟั7นผ� ก . น�อยกว�า 2 8 0 คน ข 316 คน

ว�ธ์!ท า ให� X เป0นจุ านวนน�กเร!ยนประถมท!�เป0นโรคฟั7นผ� ท!�พบจุากการตัรวจุสุ่�ขภูาพเด;ก 1000, คน

n เป0นจุ านวนน�กเร!ยนท!�ได�ร�บการตัรวจุสุ่�ขภูาพ = 1,000 คนp ค�อความน�าจุะเป0นท!�น�กเร!ยนเป0นโรคฟั7นผ� = 0.3

ก . หาความน�าจุะเป0นท!�พบน�กเร!ยนเป0นโรคฟั7นผ�น�อย กว�า 2 8 0 คน โดยการประมาณ์ค�าด�วยการแจุกแจุงปกตั�

ท!�ม! = (1,000)(0.3) = 300 , = (1,000)(0.3)(0.7) 1449= .

จุะได� P(X < 280) = P( X < 279 ) =

279

0x 1000 03b(X ; , , . )

- - 279 05 300= P[ x np < ( + . ) ]))) 1449.

- 141= P( Z < . ) - 0500004207 00793= . . = .

- 141 0. Z

ความน�าจุะเป0นท!�พบนร.เป0นฟั7นผ�

น�อยกว�า 280 คน

เท�าก�บ 7.93 %

ค . หาความน�าจุะเป0นท!�พบน�กเร!ยนฟั7นผ� 316 คน ค�อ P(X = 316) = b(316 ; 1,000 , 0.3)

- - - - 31605 300 316 05 300= p[ ( . ) < x np < ( + . ) ]1449. npq1449.

107 114= P( . < Z < . ) 0 107.114.

- 03729 03577= . . 00152 152= . = . %

น��นค�อ ความน�าจุะเป0นท!�พบน�กเร!ยนเป0นโรค ฟั7นผ� 316 คน เท�าก�บ 0 0152 1 52. = . %