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1.1 静力学的基本知识1.2 静力学公理1.3 力在坐标轴上的投影1.4 力对点之矩1.5 平面力偶1.6 空间力偶1.7 约束和约束反力1.8 物体的受力分析和受力图

第 1 章 力学基本知识和物体的受力分析

2力的单位： 国际单位制：牛顿 (N) 千牛顿 (kN)

1.1 静力学基本知识1.1 静力学基本知识

1.1.1 力、刚体、平衡

1 ）定义：力是物体间的相互机械作用，这种作用使物体的 运动状态发生改变或使物体产生变形。

2 ） 力的效应： ①运动效应 ( 外效应 ) ② 变形效应 ( 内效应 ) 。

3 ）力的三要素：大小，方向，作用点。表示为： F ，手写为 FF

（如无特别声明，本课程只研究力的外效应）

力是矢量

（ 1 ）力的概念

3

（ 2 ）刚体

刚体：在力的作用下，大小和形状都不变的物体。

注意：1.力作用于可变形的物体时，既有内效应，也会有外效应。2.力作用于刚体时，只有外效应。

4

平衡：是指物体相对于惯性参考系保持静止或作匀速直线运动的状态。力系：是指作用在物体上的一群力。 若把与地球固结的参考系作为惯性参考系，则相对于地球保持静止或作匀速直线运动的物体，就处于平衡状态。 注意：运动是绝对的平衡是相对的。平衡力系：物体在力系作用下处于平衡，我们称这个力系为平衡力系。

（ 3 ）平衡

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1.1.2 静力学的两个基本问题：1. 作用在刚体上的力系的简化（或合成）：用最简单的力系代替复杂的力系。 用一个力系代替另一个力系，而不改变原力系对刚体的效应，称此两力系等效或互为等效力系。2. 力系的平衡条件及应用：物体平衡时，作用于其上的力系应满足的条件。

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1.2 静力学公理

公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的

实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。

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公理 1 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个力可合成一个合力，此合力也作用于该点，合力的大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。即 21 FFR

力三角形→

8

公理 2 二力平衡条件

作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：

这两个力大小相等、方向相反、作用线共线，作用于同一

个物体上。

( 简称等值、反向、共线）

2121 FFFF 注意：

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说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的　 　

③ 二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。

② 对变形体来说，上面的条件只是必要条件 ( 或多体中 )

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在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。

推论：力的可传递性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一点，而不改变该力对刚体的效应。

因此，对刚体来说，力的三要素为：大小、方向、作用线

公理 2 加减平衡力系公理

力是滑移矢量

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当刚体受到三力作用而平衡时，若有两力的作用线相交，则此三力必构成平面汇交力系。

推论：三力平衡汇交定理

[ 证 ] ∵ 为平衡力系， ∴ 也为平衡力系。 又∵ 二力平衡必等值、反向、共线， ∴ 三力 必汇交，且共面。

321 , , FFF

321 , , FFF

3 , FR

12

公理 4 作用和反作用定律

两物体间的相互作用力即作用力与反作用力，总是大小相等、方向相反、作用线重合，并分别作用在这两个物体上。

[ 例 ] 吊灯

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公理 5 刚化原理

变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成

刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。

公理 5告诉我们：处于平衡状态的变形体，可用刚体静力学的平衡理论。

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1.3 力在坐标轴上的投影1.3 力在坐标轴上的投影1.3.1 力的轴上投影

1. 力 在任一轴上的投影 （ 1 ）力 与轴共面：

以 X 表示力 在 x 轴上的投影，则 X=±ab 。

F

F

F

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（ 2 ）力与轴不共面：过力 的起点和终点分别作平面垂直于 x

轴， 则 X=±ABˊ

= ± ab

（ 3 ）正负号规定：

若为 与 x 轴正向的夹角，则 X=Fcos 若为锐角，则 X=±Fcos ，用观察法确定正负，即：如果从力的起点的投影到终点的投影与投影轴的正向一致者为正，反之为负。

F

F

16

17

2. 力平面上的投影 为力 在平面上的投影，大小：

Fˊ=Fcos

注意：力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影是矢量。

'F F

18

1) 一次投影法（直接投影法）

cos

, cos

, cos

FZ

FY

FX

1.3.2 力在直角坐标轴上的投影

若已知力与坐标轴正向的夹角 α、 β、 γ ，则

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2 ）二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到 xy 面上，然后再投影到 x 、 y 轴上，即

cos

sinsinsin

cossincos

FZ

FFY

FFX

xy

xy

sinFFxy

20

3 ）若已知力在直角坐标轴上的投影 X 、 Y 、 Z ，则力的大小： 222 ZYXF

方向余弦：F

Z

F

Y

F

X coscoscos

α、 β、 γ 为力与 x 、 y 、 z 轴正向的夹角。

4 ）力沿直角坐标轴分解的解析表示在直角坐标系下，力的分力与其投影之间有下列关系：分力的模等于力在相应坐标轴上的投影的绝对值，即

ZFYFXF zyx

21

kZF,jYF,iXF zyx

∴ 力的解析表达式为：

kZjYiXF

5 ）力的投影和力的分力的区别

力的投影和力的分力是两个不同的概念，不得混淆：

力的投影是向轴作垂线而得，力的分力则是利用平行四边形法则而得。关系式 ZFYFXF zyx

Zyx FFFF ∵

投影 分力

代数量 矢量

只能求出力的大小和方向 完全可以确定力的大小、方向及作用点的位置

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1.4 力对点之矩1.4 力对点之矩力的效应：移动效应和转动效应1.4.1 力对点的矩：度量力使刚体绕某点转动效应的物理量。

(1) 在平面问题中，力对点的矩为代数量（因为所有力矩的作用面都在同一平面内，只要确定了力矩的大小和转向，就可完全表明力使物体绕矩心转动的效应）。大小等于力与力臂的乘积

OABFhMO 2)F( 面积

② 当 F=0或 h=0时， 0)( FM o

③ 单位 N.m 或 kN.m

④正负号 :逆时针转动为正，反之为负

①O— 矩心， h — 力臂

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（ 2 ）在空间问题中，力对点的矩为矢量 ( 为了表示力使物体绕矩心的转动效应，须表示出三个要素：力矩的大小、力矩作用面的方位及力矩在其作用面内的转向，这三个要素必须用一

个矢量表示） FrFM O )(

① 力对点之矩依赖于矩心的位置，所以空间力对点的矩

是定位矢量。 ② 力矩的大小

OABhFFM O 2)( 面积 力对一点的矩不因力沿其作用线移动而改变。这再以次证明了力是滑移矢量。

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③ 矢量 的指

向按右手法则确定。 )(Fmo

④力对点之矩的解析式 以 O 点为原点建立直角坐标系，则力

作用点的矢径及力可表示为解析式： kZjYiXFkzjyixr

于是： Fr)F(MO

ZYX

zyx

kji

注意：力作用点的坐标及力的投影有正负。

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1.4.2 力对轴的矩

力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零 .

( ) ( )z O xy xyM F M F F h

26

( ) ( ) ( ) ( )x x x x y x z z yM F M F M F M F F y F z

( ) ( ) ( ) ( )y y x y y y z x zM F M F M F M F F z F x

1.4.3 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系

( )z y xM F F x F y

( ) ( )O z y xxM F yF zF M F

( ) ( )O x z yyM F zF xF M F

( ) ( )O y x zzM F xF yF M F

27( ) ( )o R O O iM F M M F 合力矩定理

R

O

F

Md

O RM F d R RF F F

0RF 0OM 合力，作用线距简化中心

R

O

FM

RO

FM

1.4.4 合力矩定理

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1.5 平面力偶1. 力偶：大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力。

力偶是常见的一种特殊力系。 2. 力偶矩：力偶对物体的转动

效应用力偶矩度量。 （ 1 ）平面问题中的力偶矩是代数量，大小等于力偶中的力的大小与力偶臂的乘积：

dFFFmm ),('

规定：逆时针转向为正，反之为负 。单位： N.m ， kN.m

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（ 2 ）空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力偶三要素： ●力偶矩的大小 ： ●力偶作用面在空间的方位 ●力偶在作用面内的转向：力偶矩矢与力偶的转向符合右手螺旋法则 。

Fdm

力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。

3. 力偶的基本性质 ① 力偶只能使物体转动。因此，力偶不能与一个力等效，它既

不能合成一个力，也不能与一个力平衡。力偶只能用力偶来平衡。

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② 力偶对任一点之矩恒等于力偶矩而与矩心位置无关，因此

力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩。 ③ 只要保持力偶矩矢的大小和方向不变，力偶可以在其作用面内任意移动，也可以移动到与其作用面相互平行的平面中去；或同时改变力偶中力和力偶臂的大小，而不改变力

偶对刚体的效应。

x

x

F

F

a a aA B

F

F

F

2

F

2

F

31

由此可知，力偶矩矢是自由矢量。

在研究力偶问题时可以不考虑力偶的作用位置及力偶中力的大小和力偶臂的长度，而只需考虑力偶的力偶矩，故常在力偶作用面内将力偶用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，旁边的数字表示力偶矩的大小。

40N

40N

6cm

60N

60N

4cm m=240N·cm= =

32

1.6 空间力偶1 、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢

1 2 1 2F F F F

空间力偶的三要素

（ 1 ） 大小：力与力偶臂的乘积；

（ 3 ） 作用面：力偶作用面。 （ 2 ） 方向：转动方向；

33

BAM r F

34

( , ) ( ) ( )O O O

A B

M F F M F M F

r F r F

( , ) ( )O A BM F F r r F M

2 、力偶的性质

F F

（ 2 ）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。

(1 ）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 .

35

（ 3 ）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内

任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小

与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变 .

1 2

1 2

1 1 1

( , ) ( )

( , )

R R BA R BA

BA BA

BA

M F F r F r F F

r F r F

r F M F F

= = =

36

(4) 只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面 移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体 的作用效果不变 .

211 FFF

332 FFF

= =

= =

37

(5) 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡 .

定位矢量

力偶矩相等的力偶等效力偶矩矢是自由矢量

自由矢量滑移矢量

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约束力（或约束反力、反力）：约束给被约束物体的作用力。

1.7 约束与约束力1.7 约束与约束力

一、概念

自由体：在空间的运动不受任何限制的物体。

非自由体：在空间的运动受到限制的物体，也称被约束体。

约束：阻碍物体某些方向运动的限制条件 。

（这里，约束是名词，而不是动词的约束。）

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① 大小是未知的。故称为被动力。

② 方向总是与所限制的物体的位移方向相反；

③ 作用点在物体与约束相接触的那一点。

约束力特点：

40

由于柔索只能阻碍物体沿柔索伸长的方向运动，故柔索的约束力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索而指向背离物体。即恒为拉力。

二、常见约束及约束力：

1.柔索约束（不计重的绳索、链条或皮带等）

41

'2

'1

21

TT

TT

一般：

42

2.光滑接触面约束 (光滑指摩擦不计 )( 如支持物体的固定面 )约束限制物体沿接触面法线向约束内部的位移，故其约束力沿接触面的公法线指向被约束物体，即恒为压力。

B

AC

N

公切面

公法线

假设条件：不计摩擦

AN

A

B

C

BN

CN

43

FF FF FF

44

AN

BNP

45

滑槽与销钉（双面约束）

约束力垂直于滑槽，指向可假设

滑槽与销钉（双面约束）

约束力垂直于滑槽，指向可假设

结构图

简化图

受力图

46

3.光滑圆柱铰链约束①光滑圆柱铰链

销钉

A 、 B 互为约束与被约束体

A

简化图

47

受力图

约束力在垂直于销钉轴线的平面内并通过销钉中心，方向待定。

常用两个正交的分力 X 、Y 表示。

或

48

② 固定铰支座（铰链支座） 将光滑圆柱铰链其中一构件固定而得

光滑圆柱铰链固定铰支座

49

50

51

简化图 受力图（同光滑圆柱铰链）

工程实例

或

52

53

固定铰链支座

活动铰链支座

54

在分析铰链约束力时，通常将销钉固连在某个构件上。

如右图所示的三铰拱结构中，如将铰链 C 处的销钉固连在构件 AC 上，则构件AC 、 BC 互为约束。受力图如下。

（如将铰链 C 处的销钉固连在构件 BC 上，铰链约束力不变） AX

CX'CX

BX

CY'CY

AY BY

55

③ 轴承

由轴承和轴颈构成的轴承约束，其约束力的特征和铰链的约束力完全相同。

56

57

58

结构图

4.活动铰支座（滚动支座）

59

60

简化图

被约束体可以绕销钉转动，可以沿销钉轴线移动，也可以沿支承面移动，即约束阻碍物体沿与支承面垂直的方向运动，其约束力通过销钉中心垂直于支承面，指向待定 。

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连杆只阻碍物体上与连杆连接的那一点沿连杆两端铰链中心的连线运动，故连杆的约束力沿连杆两端铰链中心的连线，指向待定。连杆在结构中用作拉杆或支撑杆。

CB

BCBC

CBBC

BCBC

S

SS

SS

SS

'

'连杆

5.连杆约束两端是光滑铰链、自重不计、中间不受力的杆件，称为连杆。

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当连杆平衡时，根据二力平衡公理，其两端的两个力必等值、反向、共线，因此，连杆是二力杆（只受两个力作用而平衡的杆）。

6. 平面固定端 平面固定端约束既阻碍被约束物体在该平面内沿任何方向移动，又阻碍被约束物体绕固定端在该平面内转动，如图。

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阻碍被约束物体移动的约束力为两个正交的分力，阻碍被约束物体转动的为反力偶。

故平面固定端的约束反力有三个 。

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一、受力分析

解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择

研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公

理分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。

作用在物体上的力有：一类是 : 主动力 ,如重力 , 风力 , 气体

压力等。

二类是：被动力，即约束反力。

1.8 物体的受力分析和受力图1.8 物体的受力分析和受力图

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3.画物体受力图主要步骤为：

二、受力图

1. 分离体（或脱离体）：从周围物体中单独分离出来的研究对象。 2. 受力图：表示研究对象（即脱离体）所受全部力的图形。主动力一般是先给定的，约束力则需要根据约束的性质来判断。

(1)根据题意选取研究对象，并用尽可能简明的轮廓把它单独画出，即解除约束、取分离体。(2) 在脱离体上画主动力。要画上其所受的全部的主动力，不能漏掉，也不能把不是作用在该分离体上的力画在该分离体上。主动力的作用点（线）和方向不能任意改变。

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(3) 在去掉约束的地方 根据约束性质逐一画出作用在脱离体上的约束力。[ 例 1] 用力 拉动压路的碾子。已知碾子重 ，并受到固定石块 A 的阻挡，如图所示。试画出碾子的受力图。

PF

FP

ANBN

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[ 例 2]曲柄连杆机构，自重不计，所有接触处都光滑，机构在 M 、 作用下平衡，画整体及各部件受力图。P

0X0Y BN

BN0X0Y

ASA'S

BSB'S PM

请看动画

68

三、画受力图应注意的问题

除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触

才有相互机械作用力，要分清研究对象（受

力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，

接触处必有力，力的方向由约束类型而定。

2 、不要多画力

要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对

于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出

它是哪一个施力体施加的。

1 、不要漏画力

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即受力图一定要画在分离体上。

3 、画作用力与反作用力时，二者必须作用方位相同，指向相反 。4 、受力图上不能再带约束。

5 、受力图上只画外力，不画内力。

内力：物体系统内部各物体之间的相互作用的力。它们成对出现，组成平衡力系。

外力：物体系统以外的其它物体给该系统的作用力。

一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。

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7 、正确判断二力构件。

6 、整体受力图与部分受力图中同一个力的力符及方向必须一致。

8 、受力图上，力符要用矢量表示。

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受力图实例

[例 1]图示结构，不计自重及摩擦，试画整体及各构件受力图。

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[例 2] 画图示结构各构件及整体受力图。设接触处摩擦不计，结构自重不计。

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[例 3]结构自重不计，试画结构整体及各部件受力图。

（ 1 ）设轮 C带销钉，此时杆 AC 、BC 互不接触，都与销钉（即轮 C ）接触，杆 AC 、 BC 对销钉的作用力都作用在轮 C 上。

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（ 2 ）设 AC杆带销钉，此时轮 C 、BC 互不接触，都与销钉（即 AC ）接触，轮 C 、杆 BC 对销钉的作用力都作用在 AC 上。

此时，整体、杆 BC 、重物 E 的受力图同前。

（ 3 ）设杆 BC带销钉（一般不考虑此种情况）

（ 4 ）设销钉独立

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[ 例 4] 重为 W 的均质圆柱体 O 由杆及墙支撑如图，不计杆重及各处摩擦，试画各物体的受力图。

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[ 例 5] 画出下图机构整体及各构件的受力图。