BT HHKG 11- QHSS Gv: Lê Quốc Huy

1

BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG

I. GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG:

Phương pháp: Tìm 2 điểm ( ) ( )A P Q∈ ∩ , ( ) ( )B P Q∈ ∩ được giao tuyến là AB..

Tuy nhiên: Nếu 2 mặt phẳng ( ),( )α β có một điểm chung A và chứa 2 đường thẳng a,

b song song với nhau thì giao tuyến của chúng là đường thẳng qua điểm A và song

song với a, b.

1. Cho hình bình hành ABCD, và điểm S không thuộc (ABCD). Tìm giao tuyến của hai

mặt phẳng (SAC) và (SBD).

2. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là hai điểm trong đoạn AB và BC sao cho EA = EB,

3BF FC= . Tìm giao tuyến của mp (DEF) với các mp sau: (ABC), (BCD), (ABD),

(ACD).

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song. M là

điểm thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a.(SAD) và (SBC); b. (SAC) và (SBD); c. (SAB) và (SBC).

d. (SBM) và (SCD); e. (ABM) và (SCD); f*. (ABM) và (SAC).

4. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một

điểm nằm giữa hai điểm S và A. Hãy tìm các giao tuyến của:

a. (A’CD) và (ABCD); b. (A’CD) và (SCD), c.(A’CD) và (SDA), d. (A’CD) và

(SAB), e*.(A’CD) và (SBC).

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, M là trung điểm của

SB. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a. (SAB) và (SDC); b. (SAD) và (SBC); c. (DMC) và (SAC),

d. (DMC) và (SDC); e. (DMC) và (SAB); f. (DMC) và (SAD).

6. Cho hình chóp S.ABCD, Tứ giác ABCD là hình thang tâm I đáy lớn 2DC AB= , F là

trung điểm của SD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau

a. (ABF) và (SAD); b.(ABF) và (SBD); c. (ABF) và (SAC);

d. (ABF) và (SBC); e. (ABF) và (SDC); f.(SAD) và (SBC).

7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các cặp

mặt phẳng (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC).

8. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt thuộc đoạn AB, AC sao cho AM AN

AB AC= . Xác định

giao tuyến của (DBC) và (DMN).

9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang tâm I đáy lớn 2DC AB= . Tìm

giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:(SAB) và (SDC); (SAD) và (SBC).

10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của SB, SD. Gọi P là điểm trên SC sao cho SP > PC. Tìm giao tuyến của (MNP)

với các mặt phẳng: (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD).

11. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD

và BC.

a. Xác định giao tuyến của (MBC) và (NAD)

b. Cho I, J lần lượt là hai điểm nằm trên đoạn AB, AC. Xác định giao tuyến của (MBC) với

(IJD).

12. Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy điểm I và lấy J, K thuộc miền trong của tam giác BCD

và ACD.

a. Gọi L là giao điểm của JK với (ABC). Tìm L.

b. Tìm giao tuyến của (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.

BT HHKG 11- QHSS Gv: Lê Quốc Huy

2

13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M là trung điểm của

SB. Tìm thiết diện của m.phẳng (DMC) và hình chóp.

14. Cho hình chóp S.ABCD, Tứ giác ABCD là hình thang tâm I đáy lớn 2DC AB= . F là

trung điểm của SD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (ABF) với hình chóp.

II. GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Phương pháp: Để xác định giao điểm của d với (Q).

1. Tìm mp (Q) chứa đường d; 2. Xác định giao tuyến ( ) ( )P Q∆ = ∩ .

3. Xác định giao điểm M d= ∩ ∆ là giao điểm cần tìm.

15. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC, K BD∈ sao cho K

không là trung điểm của BD. Tìm giao điểm của:

a. CD với (MNK); b. AD với (MNK)

16. Cho tứ diện ABCD. Trên AB, AC lấy 2 điểm M, N sao cho MN không song song với

BC. Gọi O là một điểm trong tam giác BCD. Xác định:

a. Giao tuyến của (OMN) với (BCD); b. Giao điểm của BD với (OMN); c.

Giao điểm của DC với (OMN).

17. Cho tứ diện SABC. Gọi M SA∈ , ( )N SBC∈ , ( )P ABC∈ .

a. Xác định giao điểm của MN và (ABC), suy ra giao tuyến của (MNP) và (ABC).

b. Tìm giao điểm của AB và (MNP); c. Tìm giao điểm của NP và (SAB).

18. Cho hình chóp S.ABCD lấy M, N lần lượt thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của

SD và (AMN).

19. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt trên AB, AD sao cho 2AI=IB, 32

AJ JD= . Tìm

giao điểm của IJ với (BCD).

20. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên cạnh AB, BC, CD sao cho

13

AI AB= , 23

BJ BC= , 45

CK CD= . Tìm giao điểm của AD và (IJK).

21. Cho tứ diện S.ABC, M SA∈ , N SB∈ sao cho MN cắt AB, O là điểm thuộc miền trong

của (ABC). Tìm:

a. Giao tuyến của (MNO) và (ABC); b. Giao tuyến của (MNO) và (SBC);

c. Giao điểm của (MNO) với AB, BC, AC, SC; c. Giao điểm của MO và (SBC).

22. Cho hình thang ABCD ( //AB CD ), ( )S ABCD∉ , O là giao điểm của hai đường chéo,

M SB∈ . a. Xác định giao tuyến của: (SAD) và (SBC), (SAC) và (SBD).

b. Tìm giao điểm của SO với (MDC), SA với (MDC).

23. Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC,

BC. Trên BD lấy P sao cho BP=2PD.

a. Tìm giao điểm của CD với (NMP)

b. Tìm giao tuyến của (MNP) với (ABD).

24. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là điểm bất kì trên SB,

N là điểm trong (SCD).Tìm giao điểm của:

a. MN và (ABCD); b. SC và (AMN) ; c. SD và (AMN); d. SA và (CMN).

25. Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P) sao cho AB và CD không song song. S là

điểm nằm ngoài (P), M là trung điểm của SC. Tìm giao điểm của:

a. AM và (SBD); b. SD và (ABM).

26. Cho tứ diện SABC có I, J, K lần lượt là ba điểm nằm trong ba mặt phẳng (SAB), (SBC),

(ABC).

a.Tìm giao điểm của IJ và (ABC); b. Tìm giao tuyến của (IJK) và (ABC) suy ra giao điểm

của (IJK) với AC, AB, BC.

BT HHKG 11- QHSS Gv: Lê Quốc Huy

3

27. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB và CD cắt nhau. Gọi A’ là một

điểm nằm giữa hai điểm S và A, C’ là điểm nằm giữa S và C sao cho ' 'SA SC

SA SC= . Hãy

tìm các giao tuyến của: a. (SAB) và (SCD); b. (A’C’D) và (SDA), c.(A’C’D)

và (ACD); d. (A’C’D) và (SBD), e.(A’C’D) và (SBC).

28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm các cạnh SC, AB.

a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SBD) và (SAC); (AMN) và (SCD).

b. Tìm giao điểm P của AM và (SBD); giao điểm Q của MN và (SBD) (Thi HK1 năm 2007-2008/ đề A)

29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung

điểm của các cạnh SD, BC.

a. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SBD) và (SAC), (BMN) và (SAD).

b. Tìm giao điểm P của BM và (SAC), giao điểm Q của MN và (SAC). (Thi HK1 năm 2007-2008/ đề B).

III. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp: Để chứng minh a//b ta làm như sau: Cách 1. Chứng minh a, b cùng thuộc một mặt phẳng (một mặt phẳng tam giác nào đó) rồi chứng minh a, b không cắt nhau (dùng Talet, đường trung bình, hình bình hành…)

Cách 2. Chúng cùng song song với đường thẳng thứ 3;

Cách 3: Dùng tính chất “Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song

thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó”

Cách 4: Dùng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng.

30. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD. Cmr: IJ//CD.

31. Cho tứ diện ABCD. Lấy I, J lần lượt là trung điểm của BC, AC với M là điểm tùy ý trên

AD.

a. Xác định giao tuyến d của (MIJ) và (ABD).

b. Gọi N là giao điểm của BD với d, K là giao điểm của IN với JM. Tìm giao tuyến của

(ABK) và (MIJ).

32. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC và Q là một điểm

trên AD, ( )P CD MNQ= ∩ . CMR: PQ//MN, PQ//AC.

33. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung

điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. CMR: ME//AC, NF// BD.

IV. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.

Phương pháp: Cách 1: Để chứng minh đường thẳng a// ( )α ta chứng minh a // b, b nằm trong mặt phẳng

( )α Cách 2: chứng minh a nằm trong mặt phẳng ( )β , ( )β // ( )α

34. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD. Trên đoạn BC lấy M sao cho

MB=2MC. Chứng minh rằng MG//(ACD).

35. Cho tứ diện ABCD với G1, G2 là trọng tâm tam giác ACD, BCD. Cmr: G1G2// (ABC) và

(ABD).

36. Cho tứ diện ABCD, G1 là trọng tâm tam giác ABD. Điểm I nằm trên BC sao cho

BI=2IC.Cmr: IG//(ACD).

37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, G là trọng tâm SAB, I là trung

điểm AB. Lấy M trong đoạn AD sao cho AD=3AM.

a. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC).

BT HHKG 11- QHSS Gv: Lê Quốc Huy

4

b. Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng: NG//(SCD),

MG//(SCD).

38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn là AD, đáy nhỏ là BC và

AD=2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

a. Chứng minh rằng OG//(SBC).

b. Gọi M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM//(SAB).

c. Gọi I là điểm nằm trên SC sao cho 2SC=3SI. Cmr: SA//(BDI).

39. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O là

giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.

a. Cmr: OO’//(ADF); b. OO’//(BCE)

c. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác ABD, ABE. Cmr: MN//(CEF).

40. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi O, O’

lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD, ABEF. Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm

của ABD, ABE. Chứng minh rằng:

a. OO”//(ADF) và (BCE); b.G1G2//(CEF).

V. MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.

Phương pháp: Cách 1. Để chứng minh ( )α // ( )β ta chứng minh ( )α chứa hai đường

thẳng a, b song song với ( )β

Cách 2. Chứng minh chúng song song với mặt phẳng thứ 3.

41. Cho tứ diện ABCD có G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD.

Chứng minh rằng: (G1G2G3)//(BCD).

42. Cho hình chóp S.ABC có I, J, K lần lượt là trọng tâm SAB, SBC, SAC. Chứng minh:

(IJK)//(ABC)

43. Cho 2 hình vuông ABCD, ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo

AC và BF lần lượt lần lượt lấy M, N sao cho AM=BN. Các đường thẳng song song với

AB vẽ từ m, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’.

Cmr: a. (ADF)//(BCE); b. M’N’//DF; c. (DEF)//(MM’NN’); d. MN//(DEF).

44. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của BC, B’C’.

a. Cmr: AI//A’I’; b. giao điểm của IA’ với (AB’C’);

c. giao tuyến của (AB’C’) và (A’BC).

45. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Gọi H là trung điểm của A’B’.

a. Cmr: CB’//(AHC’); b. giao tuyến của (AB’C’) và (ABC).

46. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Gọi I, J, K lần lượt là tâm của các hình bình

hành ACC’A’, BCC’B’; ABB’A’. Chứng minh rằng:

a. IJ//(ABB’A’); b.JK//(ACC’A’); c. IK//(BCC’B’); d. (IJK)//(ABC);