10.1 立體圖形的對稱性質
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10.1 立體圖形的對稱性質
反射對稱A
旋轉對稱B
目錄
3B_Ch10(3)
同一立體的不同摺紙圖樣A
判斷立體的摺紙圖樣B
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
目錄
3B_Ch10(4)
從不同角度觀察立體A
根據平面圖像識別立體圖形B
10.3 進一步認識立體的平面圖像
目錄
3B_Ch10(5)
點與線之間的距離A
兩線之間的關係B
兩平面之間的關係C
10.4 立體圖形中的點、線和面
直線與平面之間的關係D
目錄
3B_Ch10(6)
尤拉公式A
正多面體的認識B
10.5 美麗的多面體
目錄
3B_Ch10(7)
A) 反射對稱
目錄 10.1
例題演示
10.1 立體圖形的對稱性質
‧ 如果一個立體被一個平面分成兩個部分後,每個部分的形狀和大小都相同,且彼此互為鏡像,則該立體稱為具反射對稱性質,而該平面稱為反射平面。
目錄
3B_Ch10(8)
試畫出右方立體的反射平面。
重點理解 10.1.1 目錄
10.1 立體圖形的對稱性質
3B_Ch10(9)
B) 旋轉對稱
例題演示
‧ 如果一個立體繞某一固定直線旋轉 360° ,而重複出現了 n 次 (n > 1) 與原本圖形重合的圖形,則該立體具 n 重旋轉對稱性質(或 n 折式旋轉對稱性質),即它的旋轉對稱次數是 n 。該直線稱為旋轉對稱軸。
目錄 10.1 目錄
10.1 立體圖形的對稱性質
3B_Ch10(10)
試畫出右方立體的任何一條旋轉對稱軸。
重點理解 10.1.2 目錄
10.1 立體圖形的對稱性質
3B_Ch10(11)
A) 同一立體的不同摺紙圖樣
例題演示
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
‧ 一個立體可以由不同的摺紙圖樣製作而成。
例如:
目錄 10.2 目錄
3B_Ch10(12)
請指出下列哪個摺紙圖樣( A 及 B ) 可以摺成右方的立體圖形?
重點理解 10.2.1
A B
B
目錄
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
3B_Ch10(13)
B) 判斷立體的摺紙圖樣
例題演示
‧ 根據一個摺紙圖樣,我們可以想像所摺成的立體中各點、各線、各面之間的關係。
目錄 10.2 目錄
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
3B_Ch10(14)
圖中所示的摺紙圖樣可摺成一枚骰子。
A 的對面是 E 那面。 即在骰子底部那面出現的字母是「 E 」。
習題目標 根據已知摺紙圖樣,判斷對應的立體。
如果將骰子投擲,而字母「 A 」顯示在頂部,在底部那面出現的是甚麼字母?
目錄
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
3B_Ch10(15)
如左圖所示,子華在一個正四面體摺紙圖樣的四個三角形上分別填上藍、黃、橙及綠色。如果將完成後的正四面體如右圖所示平放在桌面上,它貼着桌面的那面是甚麼顏色?
目錄
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
3B_Ch10(16)
將 PA 和 PB 貼合,使藍、 橙兩面相連。
∵ 藍、橙、黃三面相遇於 P 點,即右圖的背面是黃色面。
∴ 它貼着桌面那面是綠色。
習題目標 根據已知摺紙圖樣,判斷對應的立體。
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重點理解 10.2.2 目錄
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
3B_Ch10(17)
A) 從不同角度觀察立體
‧ 我們可以繪畫立體的正面、 背面、 頂部、 左側和右側平面圖像來描述和理解該立體的形狀。
10.3 進一步認識立體的平面圖像
目錄
3B_Ch10(18)
A) 從不同角度觀察立體例如:右圖所示為左圖中立體的平面圖像。
目錄 10.3
例題演示
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
正面圖像 背面圖像 頂部圖像
右側圖像 左側圖像
背面
右側
頂部
左側
正側
3B_Ch10(19)
試畫出右方立體圖的平面圖像。
重點理解 10.3.1
頂部
正面側面
正面頂部背面
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(20)
B) 判斷立體的摺紙圖樣
‧ 要由平面圖像識別或繪畫出對應的立體圖形,通常需要最少三個平面圖像,包括頂部、側面及正面圖像。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(21)
B) 判斷立體的摺紙圖樣
例題演示
例如:由左圖可識別出右圖中的立體。
目錄 10.3
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(22)
試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(23)
由側面圖像可知該立體是一個 L 型立體。考慮頂部圖像,可知立體的底是正方形。因此,所需的立體圖形如下:
習題目標 根據立體的正面、 頂
部和右側圖像,繪畫對應的立體圖形。
返回問題
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(24)
試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(25)
該立體圖形是:
返回問題
習題目標 根據立體的正面、頂部和右側圖像,
繪畫對應的立體圖形。 目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
[ 左側圖形是個半圓形,因此該立體的頂部及正面都是曲面。此外,從頂部圖像,可知它的底是長方形。 ]
3B_Ch10(26)
一些大小相同的正方體堆砌成一個立體。下圖所示為該立體的三個不同平面圖像。
(a) 繪畫具有這些圖像的立體圖形。
(b) 該立體共有多少個正方體?
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(27)
(a) [ 從正面 ( 或側面 ) 圖像,可知該立體有 2 層正方體;從頂部圖像,可知它最長是 3 單位而最闊是 2 單位。 ]
我們可先考慮由 3 2 2 個正方體所堆砌的長方體,逐步推論出立體的圖形:
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目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
3 2 2 個正立方體
要符合正面圖像,須移去 4 個正方體。
要符合頂部圖像,須移去 2 個正方體。
要符合右側圖像,須移去 1 個正方體。
3B_Ch10(28)
(a) 因此該立體圖形是:
(b) 該立體共有 5 個正方體。
重點理解 10.3.2
習題目標 根據立體的正面、頂部和右側圖像,繪畫對
應的立體圖形。
目錄
10.3 進一步認識立體的平面圖像
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3B_Ch10(29)
A) 點與線之間的距離
目錄 10.4
10.4 立體圖形中的點、線和面
‧ 在下圖中, PP’ 垂直於 。我們說 P 點與直線 之間的(最短)距離是 PP’ ,即是 P 點與直線 之間的垂直距離。
例題演示
目錄
3B_Ch10(30)
試找出以下之間的距離:
(a) 頂點 A 與 直線 BC ,
(b) 頂點 D 與 直線 FE 。
重點理解 10.4.1
(a) 頂點 A 與 直線 BC 之間的距離
(b) 頂點 D 與 直線 FE 之間的距離
= AB
= 5 cm
= DE
= 10 cm目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(31)
B) 兩線之間的關係1. 兩條直線可以位於同一平面上,也可以不在同
一平面上。
例題演示
目錄 10.4 目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
2. 如果在同一平面上兩條直線並不平行, 它們會相交於一點,稱為交點。兩線所形成的角稱為該兩線的交角。
3B_Ch10(32)
考慮右圖的正方體。 請找出與以下有關係的線:
重點理解 10.4.2
(a) 與 BC 互相平行,(b) 與 DE 互相垂直。
(a) AD, FE, GH
(b) AD, FE, CD, EH
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(33)
C) 兩平面之間的關係1. 兩個不相交的平面互相平行
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(34)
C) 兩平面之間的關係
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
2. 兩個不平行的平面會相交於一條直線,稱為兩個平面的交線。在右圖中, AB 是平面 與 的交線。
3B_Ch10(35)
例題演示
目錄 10.4
C) 兩平面之間的關係3. 在右圖中, M 是平面 、 的交線 AB 上的一
點。 XM 、 YM 分別是兩個平面上的線,且 XM
和 YM 都垂直於交線 AB 。 XM 和 YM 所形成的角 x 稱為平面 與 的交角。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(36)
考慮圖中長方體的兩個相交平面 ADEF 和 AGHD 。試找出它們的交線和交角。
平面 ADEF 與 AGHD 的交線是 AD 。
由於 FA AD 及 GA AD ,所以平面 ADEF 與 AGHD 的交角是 x 。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(37)
圖中是一個正四面體。 M 和 N 分別是 AB 和 VA 的中點。
(a) 試在圖中標明平面 VAB 與 CAB 的交角。
(b) BNC 是該四面體的兩個平面的交角。試寫出它們的名稱。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(38)
VMC 是該兩面的交角,即圖中所示的角 x 。
(a) 【 AB 是平面 VAB 與 CAB 的交線。由於 VAB 和 CAB 都是等邊三角形,且 M 是 AB 的中點,因此 VM AB 及 CM A
B 。】
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目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(39)
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該兩個平面是 VAB 和 VAC 。
(b) 【 BN VA 及 CN VA ,其中 VA 是平面 VAB 與 VAC 的交線。】
習題目標 找出立體圖形中兩個平面的交線及 / 或交
角。 求立體圖形中兩個平面的交角的大小。
重點理解 10.4.3 目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(40)
D) 直線與平面之間的關係
1. 如果一條直線 與一個平面並不相交,則 平行於該平面。
2. 如果一條直線 不平行於一個平面,則 與該平面相交於一點,而該點就稱為直線 與平面的交點。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(41)
D) 直線與平面之間的關係3. 在下圖中, P 是平面 以外的一點。若 P’ 是 P
點在平面 上的投影,則 P 點與平面 的距離是 PP’ 。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(42)
D) 直線與平面之間的關係4. 在下圖中, 是平面 以外的一條線,且 與 並
不平行。連接在平面 上由直線 上每一點投影出的點,可形成直線 ’。直線 ’是 在 上的投影。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(43)
D) 直線與平面之間的關係
例題演示
目錄 10.4
5. 在下圖中,直線 ’是直線 在平面 上的投影,且 和 ’兩直線相交於平面 上某點 P 。直線 與它的投影 ’所形成的角 y 稱為直線 與平面 的交角。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(44)
圖中立體的底 ABCD 是一個正方形。如果 VM 垂直於平面 ABCD ,寫出以下交角的名稱。(a) 邊 VA 與底 ABCD 。(b) 邊 VB 與底 ABCD 。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(45)
∵ AM 是平面 ABCD 上一條通過 M 點的直線。
∴ VM ⊥ AM , 即 VA 在 ABCD 上的投影是 MA 。
因此邊 VA 與底 ABCD 的交角是∠ VAM 。
(a) 【已知 VM 平面 ABCD , 即 VM 垂直於該平面上任何通過 M 點的直線 ( 可參看右圖: VM ⊥ MC , VM ⊥ MM’ 及 VM ⊥ MN’) 。】
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目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(46)
∴ 邊 VB 與底 ABCD 的交角是∠ VBM 。
(b) VB 在 ABCD 上的投影是 MB 。
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習題目標 找出立體圖形中線段與平面的交角。
目錄
10.4 立體圖形中的點、線和面
3B_Ch10(47)
A) 尤拉公式
目錄 10.5
例題演示
‧ 多面體必符合尤拉公式: F + V – E = 2 ,其中F 是多面體中面的數目, V 是頂點的數目, E
是邊的數目。
10.5 美麗的多面體
目錄
3B_Ch10(48)
下圖所示為一個多面體的摺紙圖樣。
(a) 試數一數該多面體中面的數目 (F) 、頂點的數目 (V ) 和邊的數目 (E) 。
(b) 對於這個多面體,尤拉公式是否成立?
目錄
10.5 美麗的多面體
3B_Ch10(49)
(a) 由摺紙圖樣摺成的多面體是:
∴ 根據點算,
面的數目 (F)
頂點的數目 (V )
邊的數目 (E)
= 6
= 8
= 12
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目錄
10.5 美麗的多面體
3B_Ch10(50)
(b) (尤拉公式所需的關係是 F + V – E = 2 。)
這裡, 6 + 8 – 12 = 2 。
∴ 尤拉公式對這個多面體成立。
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習題目標 從多面體的摺紙圖樣,找出它的面、 頂點和邊的數目。
目錄
10.5 美麗的多面體
3B_Ch10(51)
B) 正多面體1. 如果一個多面體所有的面都是形狀和大小相同的
正多邊形,且每個頂點都由相同數目的面相遇而成,則該多面體稱為正多面體。
目錄
10.5 美麗的多面體
3B_Ch10(52)
B) 正多面體
目錄
10.5 美麗的多面體
2. 只有 5 種不同的正多面體存在,包括正四面體、正六面體(正方體)、正八面體、正十二面體和正二十面體。
3B_Ch10(53)
B) 正多面體3. 如果一個正多面體可以放入另一個正多面體內,
使前者的頂點碰着後者的面的中心點,我們稱這兩個正多面體為對偶多面體。例如: 正六面體和正八面體是一對對偶多面體。
目錄 10.5 目錄
10.5 美麗的多面體