中國文化大學商學院資訊管理學系

碩士論文

Master of Business Administration Thesis

Master program, Department of Information Management

College of Business

Chinese Culture University

尋找萬用型金字塔網路的彩虹連結

On Finding a Rainbow Connection in a Versatile Pyramid Network

指導教授：王福星 Advisor: Fu-Hsing Wang, Ph. D.

研 究 生：吳則建 Graduate Student: Ze-Jian Wu

中華民國 101年 12月 December, 2012

iii

論文名稱：尋找萬用型金字塔網路的彩虹連結 總頁數：37

校(院)所組別：中國文化大學商學院資訊管理研究所

畢業時間及提要別：101 學年度第 1學期碩士學位論文提要

研究生：吳則建 指導教授：王福星

論文提要內容：

針對一網路圖中所有邊分別賦予一數字，而一種數字代表

一種顏色，並且使得任兩點間存在著彩虹路徑，而於彩虹路徑

內各邊所使用的顏色皆不同。若一網路圖中任意兩點之間存在

著彩虹路徑，則此網路圖即為彩虹連結圖，而所使用顏色的最

少數量稱為彩虹連結數。

彩虹連結概念是由 Chartrand 等學者於 2008 年所提出，係

針對給定的圖形架構尋求一種對於節點的圖色法，讓任一對節

點間存在一條彩虹路徑。由於不同的網路拓樸之連接特性未必

相同，因此我們對於擇定的網路拓樸，先了解其圖形特性，然

後研究出圖形之彩虹連結相關結果。

文獻顯示有多位學者針對不同的圖形進行彩虹連結相關研

究。然而對於新興的網路拓樸之研究成果相對較少被提出。據

我們所知，至目前為止，萬用型金字塔網路之彩虹連結相關問

題還未曾有人提出具體成果。

本論文以萬用型金字塔網路為研究對象圖形，對於以四循

環為網路架構基礎的萬用型金字塔網路提出一彩虹著色方法，

因此，本研究得到一個以四循環為架構基礎的萬用型金字塔網

路之彩虹連結數上限值。

關鍵字： 圖論 (graph theory)，彩虹連結數 (rainbow connection

number)，彩虹連結(rainbow connection)，萬用型金字

iv

塔 (Recursive Transpose-Connected Cycles pyramid

network)。

v

On Finding a Rainbow Connection in a Versatile

Pyramid Network

Student: Ze-Jian Wu Advisor: Prof. Fu-Hsing Wang

C h i n e s e C u l t u r e Un i v e r s i t y

ABSTRACT

Edge coloring of a graph is a function from its edge set to the set of natural

numbers. A path in an edge colored graph with no two edges sharing the same color

is called a rainbow path. An edge-colored graph is rainbow connected if any two

vertices are connected by a rainbow path. Rainbow connection number is the

minimum number of colors needed to color the edges of graph.

The concept of rainbow connection was introduced by Chartrand et al. in 2008.

The rainbow connection problem is to find a vertex coloring for a given graph so

that each pair of vertices of the graph having at least a rainbow path. As the

characteristics and type of different network topologies are not the same, so we first

devote ourselves to study a specify network topology. Then we find results of

rainbow connection for the given graph.

Some results of rainbow connection for graphs were shown by the published

papers, while the results for new network topologies were lack of discussion. As far

as we know, the rainbow connection on Recursive Transpose-Connected Cycles

pyramid networks is unknown

We consider the problem for Recursive Transpose-Connected Cycles pyramid

networks, finally we propose a rainbow coloring for the RTCC pyramid networks

based on 4-cycles. Then an upper bound of rainbow connection number is

established for our studied interconnection networks.

vi

Keywords: graph theory, rainbow connection number, rainbow connection,

Recursive Transpose-Connected Cycles pyramid network.

vii

誌 謝 辭

能完成此篇研究論文，首先要感謝我的指導老師王福星

老師的指導，在我遇到困難時或是問題時，總可以給我一個

思考問題的方向，引導我找出問題的根本所在並解決，在念

研究所的這段期間，十分的感激老師對我的幫助與指導。另

外要感謝口試委員謝文恭老師以及健行科技大學許呈如老

師，在口試時給予許多寶貴的意見，使得我的論文研究更加

的完善，在此致上誠摯的謝意。也感謝學長姊們及研究所同

學在課業學習方面或是研究的過程中遇到困難時，能夠適時

的給予協助。最後，感謝在念研究所期間一直鼓勵且支持我

的家人們。

viii

內 容 目 錄

中文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． iii

英文摘要 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． v

誌謝辭 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． vii

內容目錄 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． viii

表目錄 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ix

圖目錄 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． x

第一章 緒論．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1

第一節 研究背景 ．．．．．．．．．．．．．． 1

第二節 研究動機與目的 ．．．．．．．．．．． 2

第二章 文獻探討．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

第一節 名詞解釋．．．．．．．．．．．．．．． 4

第二節 彩虹連結．．．．．．．．．．．．．．． 14

第三節 萬用型金字塔網路 ．．．．．．．．．． 18

第三章 研究方法．．．．．．．．．．．．．．．．． 22

第一節 研究步驟 ．．．．．．．．．．．．．． 22

第二節 研究過程與結果 ．．．．．．．．．．． 22

第四章 結論與未來展望一．．．．．．．．．．．．． 33

參考文獻 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 34

ix

表 目 錄

表 2-1 彩虹連結之相關研究及成果．．．．．．．．．． 17

x

圖 目 錄

圖 2-1 無向圖形 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4

圖 2-2 節點之親子關係 ．．．．．．．．．．．．．．． 5

圖 2-3 節點間的相鄰與依附關係 ．．．．．．．．．．． 5

圖 2-4 (a)G為一無向圖形 (b)G的子圖1．．．．．．．．． 6

圖 2-5 直線圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7

圖 2-6 4-循環圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7

圖 2-7 一般圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8

圖 2-8 完全圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8

圖 2-9 樹圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8

圖 2-10 輪圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 9

圖 2-11 (a)a-d為彩虹路徑 (b)a-d為非彩虹路徑 ．．．．．． 10

圖 2-12 P、NP、NP-complete及NP-hard之關係圖 ．．．．． 10

圖 2-13 4個節點與4個邊所組成的圖形 (Cl4) ．．．．．．． 12

圖 2-14 5個節點與5個邊所組成的圖形 (Cl5) ．．．．．．． 12

圖 2-15 5個節點與8個邊所組成的圖形 ．．．．．．．．． 12

圖 2-16 21個節點與40個邊所組成的圖形 ．．．．．．．． 13

圖 2-17 (a)損壞2條邊之Cl4 (b)損壞兩節點之Cl4 ．．．．．． 13

圖 2-18 (a)3條邊損壞之圖形 (b)3個節點損壞之圖形 ．．． 14

圖 2-19 Peterson graph ．．．．．．．．．．．．．．．． 15

圖 2-20 3層三角形金字塔網路圖 ．．．．．．．．．．．． 16

圖 2-21 4層三角形網路圖 ．．．．．．．．．．．．．．． 16

圖 2-22 RTCC(4, 2) ．．．．．．．．．．．．．．．．． 18

圖 2-23 R2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 20

圖 2-24 RP2編號示意圖 ．．．．．．．．．．．．．．．． 21

圖 3-1 R5之區塊劃分示意圖 ．．．．．．．．．．．．． 23

xi

圖 3-2 R6之區塊劃分示意圖 ．．．．．．．．．．．．． 24

圖 3-3 C5著色示意圖 ．．．．．．．．．．．．．．．． 25

圖 3-4 C6著色示意圖 ．．．．．．．．．．．．．．．． 26

圖 3-5 RTCC(4, 1) ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 29

圖 3-6 RTCC(4, 1)之著色結果示意圖 ．．．．．．．．． 30

圖 3-7 RP2之著色結果示意圖 ．．．．．．．．．．．．． 31

圖 3-8 RP2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 31

圖 3-9 RP2之新造圖 ．．．．．．．．．．．．．．．．． 32

- 1 -

第一章 緒論

時代的轉變，開始進入資訊化，網路間的資訊傳輸或是溝通

被廣泛使用，如電子郵件、網路電話 (Colley and Maltby, 2008)。

因此，資訊的安全性也開始受到重視，平常於網路間的資訊傳輸

或是溝通，其通路皆受到保護，以避免遭他人竊取或變更其內容

(Shelly, Cashman, and Vermaat, 2007)。但若保護機制因攻擊而瓦解

時，通訊安全將會受到威脅甚至是無法進行彼此間的聯繫 (Li and

Sun, 2011)。本研究欲探討如何於萬用型金字塔網路上，找尋出其

彩虹連結。使用最少數量的密碼，允許任兩個傳輸點之間，擁有

一個或多個安全的路徑，使資訊能流通。

本論文架構分為四個章節，第一章為緒論，介紹研究背景、

研究動機與目的。第二章為文獻探討，解釋彩虹連結及萬用型金

字塔網路。第三章為研究方法，包含了研究步驟、預期的結果，

以及未來的研究目標。最後一章為研究成果。

第一節 研究背景

自從於第二次世界大戰，資訊安全開始被應用於通訊上面。

各國在戰爭期間，利用各種技巧來確保其軍事通訊及文件的機密

不被敵國截取或竄改，例如使用密碼進行保護。

在 2001 年 9 月 11 日的美國恐怖攻擊事件之後發現在遭受到

恐怖攻擊之後，執法單位以及情報機構之間的機密訊息傳輸網路

無法運作，因而有學者提出了運用彩虹連結來做解決之道 (Li and

Sun, 2011)。

於圖內所有邊分別賦予單一種顏色，並且使得任兩點間之數

- 2 -

條路徑中，至少有一條路徑內是由不同顏色的邊所形成之路徑就

稱為彩虹路徑，而一種顏色可視為一種資料加密或是防火牆的安

全機制，因此彩虹路徑又可為安全路徑。若圖中任意兩點之間存

在著彩虹路徑，則可視此圖為彩虹連結圖。

第二節 研究動機與目的

彩虹連結與圖結合之概念是由 Chartrand 等人所提出 (Char-

trand, Johns, McKeon, and Zhang, 2008)，並將此方法視為一種加強

安全性的機制 (Caro, Lev, Roditty, Tuza, and Yuster, 2008;

Chakraborty, Fischer, Matsliah, and Yuster, 2011; Krivelevich and

Yuster, 2009) ， 因任一對傳輸方及接收方間至少存在一條安全路

徑 ，所以能有效防止入侵，而此機制可作為各部門或各機構間信

息安全傳輸之應用(Ericksen, 2007)。鑒於有學者認為彩虹連結方法

能作為信息傳輸的安全機制，然而每張圖的特性與型態都不盡相

同，因此我們想要了解其他圖形的彩虹連結問題是否與圖之特性

或型態有所關聯，並研究出圖形之彩虹連結相關結果。

對於給定之網路拓樸，本研究探討如何做到讓任兩個網路傳

輸點之間的封包傳送，能夠於安全路徑上傳送，而此一安全路徑

上的所有轉送過程，將被要求對於每一節點，或是轉運所用到的

連結線路賦予一個唯一的密碼，以保證此一傳輸路徑之安全性。

本研究欲將彩虹連結運用在至今尚未有人研究彩虹連結與之

關聯成功的網路拓樸，據我們所知，至目前，萬用型金字塔網路

之彩虹連結相關問題還未曾有人研究，因此以萬用型金字塔網路

來當我們的研究對象。

本論文其餘部分編排如下：第 2 章是文獻探討，介紹彩虹連

- 3 -

結及萬用型金字塔網路的定義。第 3 章為研究方法，分析萬用型

金字塔網路之性質，並研究其彩虹著色之規則。最後是結論。

- 4 -

第二章 文獻探討

本研究將所欲探討的問題予以抽象化為一數學問題，稱之為

彩虹連結問題。在本章中，第一節將解釋與本篇論文相關之符號

及名詞，於第二節中說明彩虹連結問題的相關研究成果，第三節

則是定義萬用型金字塔網路及介紹其特性。

第一節 名詞解釋

本節將針對於本文內所使用之名詞做以下的解釋：

定義 2.1. G = (V, E)為一個簡單但有限制的無向圖形。G的節點或

稱點 (node)集合為 V(G)，節點集合內的個數稱為維度 (order)並記

做|𝑉(𝐺)|。G的邊 (edge)集合為 E(G)並以(u, v)表示連結節點 u與

節點 v 的邊，而邊集合內的個數稱為大小 (size)並記做|𝐸(𝐺)|

(Balakrishnan and Ranganathan, 1999)。圖 2-1為無向圖形，節點個

數|𝑉(𝐺)| = 5，邊個數|𝐸(𝐺)| = 6。

圖 2-1 無向圖形

- 5 -

定義 2.2. 節點之親子關係 (West, 2001)。如圖 2-2，對任何有向的

邊(u, v)，點 u為點 v的父 (parent)節點，而點 v為點 u的子 (child)

節點。

定義 2.3. 以圖 2-3來說，若有一邊(u, v)，則稱節點 u與節點 v為

相鄰 (adjacent)關係，而若節點 u 與節點 v 是邊(u, v)之終止點

(endpoint)，則此兩節點與邊的關係為依附 (incident) (West,

2001)。

定義 2.4. G = (V(G), E(G)) 與 H = (V(H), E(H))之關係 (West,

圖 2-3 節點間的相鄰與依附關係

圖 2-2 節點之親子關係

- 6 -

2001)。

(1) 若 V(H) ⊆ V(G)且 E(H) ⊆ E(G)，則 H 就稱為 G 的子圖

(subgraph)。

(2) 圖 2-4(b)是圖 2-4(a)的子圖，子圖內只能取用原圖的部分節

點與部分邊，而不能有不屬於原圖的節點或邊。

定義 2.5. 網路拓樸 (Shelly, Cashman, and Vermaat,2007; Xu,

2002)。

(1) 在網路環境中，電腦節點相連的結構。

(2) 可經由網路拓樸之結構看出一網路中實體分佈情形。

定義 2.6. V(G) = {v1, v2, …, vn}，則|𝑉(𝐺)| = n (West, 2001)。

(1) 以 vi-vj表示 G 中兩節點 vi與 vj之間的路徑 (path)，亦可以

<vi, vi+1, … , vj-1, vj>表示，路徑上任兩個節點皆為相鄰關係，

而於 vi-vj內含邊之總數就稱為此條路徑的長度 (length)。此

外另以 Pn表示包含 n個節點的一條路徑。圖 2-5是長度為 3

的直線圖，也可表示成<v1, v2, v3, v4>，此路徑包含4個節點。

(2) 於 vi-vj中，若 vi = vj且長度為 2以上，則稱為循環 (cycle)，

並以 Cln表示於此循環內包含 n 個節點。圖 2-6 為一個以 4

圖 2-4 (a)G為一無向圖形 (b)G的子圖

- 7 -

個節點組成的循環，記做 Cl4。

(3) 與節點 v有相鄰關係的節點就稱為 v之鄰居 (neighbor)，記

做 N(v)。圖 2-6，N(v3)={ v2, v4}。

定義 2.7. G = (V, E)且 u, x ∈ V(G) (Liaw and Chang,1999; Krithna-

moorthy and Krithnamurthy, 1987; West, 2001)。

(1) 數條 u-x中長度最小的路徑就為節點 u與節點 x之間的最短

路徑，記做 PG(u, x)。

(2) 節點 u與節點 x間的距離(distance)就為這兩點間最短路徑的

長度。

(3) G中相距最遠之兩個節點間的距離就為G的直徑(diameter)，

記做 diam(G)。

(4) 以圖2-7為例，節點u與節點x之間有<u, y, x>、<u, v, y, x>、

<u, v, w, x>、<u, y, v, w, x>，其路徑長度分別為 2、3、3、

4，因此 PG(u, x) = <u, y, x>，而且節點 u與節點 x的距離也

為 2。另外，此圖的直徑為 2。

(5) 會影響訊息傳輸的時間，若值越大，代表最遠兩節點在傳輸

訊息時，所需要的時間越長。

圖 2-5 直線圖

圖 2-6 4-循環圖

- 8 -

定義 2.8. G為完全圖 (complete graph)。圖 2-8為一個以 5個節點

所構成的完全圖。

(1) 圖內任兩節點皆有邊相連。

(2) 任兩節點間距離皆為 1。

定義 2.9. G為樹 (tree)。

(1) G為一無循環產生的圖且邊之數量為 n-1，n 為節點數量。

圖 2-9為 6個節點所組成的樹，其邊的個數為 5。

圖 2-7 一般圖

圖 2-8 完全圖

圖 2-9 樹圖

- 9 -

定義 2.10. G為輪圖 (wheel graph)。

(1) 以 Wn表此輪圖為 n個節點所形成的循環，且循環上各節點

皆會與圖之中心節點相連，圖 2-10 為 5 個節點與中心節點

所組成的輪圖。

定義 2.11. 彩虹連結 (rainbow connection) (Ahadi and Dehghan,

2010; Basavaraju and Ranganathan, 1999; Li and Shi, 2010; Li and

Sun, 2011)。

(1) 對於圖形 G 的每一個邊，指定一顏色代號，不同的邊可以

被指定以同樣的顏色代號。

(2) 若有一路徑 vi-vj上各邊所使用之顏色皆不相同，則稱此路徑

為彩虹路徑 (ranbow path)。如圖 2-11(a)中的路徑 a-d 內各

邊所使用的顏色皆不相同，因此此條路徑為彩虹路徑 ，反

之如圖 2-11(b)中路徑 a-d 內各邊所使用的顏色有重複的情

況，因此 a-d不為彩虹路徑。

(3) 若 G中任意兩點之間存在著彩虹路徑，則 G為彩虹連結。

(4) rc(G)為使 G完成彩虹連結所使用顏色數量的最小值 ，rc(G)

≥ diam(G)。以圖 2-11(a)來說，節點 a與節點 d之間的最短

距離為 3，也就代表直徑為 3，而彩虹路徑內各邊所使用的

顏色需不同，因此為了使 a-d是彩虹路徑，所使用的顏色須

圖 2-10 輪圖

- 10 -

至少為 3種顏色。

定義 2.12. NP-hard與NP-complete (West, 2001)，圖 2-12為表示 P、

NP、NP-complete及 NP-hard之關係圖。

(1) NP (Non-deterministic Polynomial time)問題為能以指數時間

演算法計算答案，同時亦能以多項式時間演算法驗證答案正

確性之問題，通常以 NP表示所有 NP問題之集合。演算法

為在有限步驟內解決數學問題的程序，而若能以指數函數表

示一演算法之計算過程所花的時間，則稱此演算法為指數時

間演算法。

(2) P (Polynomial time)問題表示凡是能以多項式時間演算法計

算答案的問題，通常以 P 表示所有 P 問題之集合。以多項

式函數表示一演算法之計算過程所花的時間，則稱此演算法

圖 2-11 (a)a-d為彩虹路徑 (b)a-d為非彩虹路徑

圖 2-12 P、NP、NP-complete及 NP-hard之關係圖

- 11 -

為多項式時間演算法。另外，多項式時間快於指數時間，因

此一般認為 P 問題是較容易也較快解決的問題。而 P 問題

亦能以指數時間計算答案，同時也可以多項式時間演算法驗

證答案正確性之問題，因此 P問題也可以視為 NP問題。

(3) 若一問題還沒找到以指數時間計算出答案的演算法，但如果

能以多項式時間演算法驗證答案之正確性，則稱此問題為

NP-complete 問題。一般認定 NP-complete 問題為 NP 裡相

對較難解的問題。

(4) 若一問題還沒找到以指數時間計算出答案的演算法，也尚未

找出驗證答案正確性的演算法，則稱此問題為 NP-hard 問

題。

定義 2.13. 擴展性 (expandability) (West, 2001)。

(1) 如網路拓樸在不更改原有拓樸之架構的情況並根據節點原

連接規則進行圖形規模的擴大，則擴展性佳。反之，若圖形

規模擴大需更改其架構，則擴展性差。圖 2-13 的圖形為 4

個節點分別為 a、b、c、d與 4 個邊所組成的循環，若欲新

增一節點，則必須更改節點間的鄰居關係，舉例來說，在 a

和 d中間新增一個節點 e，如圖 2-14，則必須先移除 a與 d

之間的鄰居關係，且 a與 e互為鄰居關係及 e與 d互為鄰居

關係，因需更改其架構，所以此網路拓樸的擴展性差。圖

2-15 為 5 個節點與 8 個邊所組成的圖形，其節點間關係為

每個父節點會有 4個子節點，且這 4個子節點會形成循環，

如欲擴展此拓樸，則應遵照節點間的關係，如圖 2-16，節

點間的關係不因擴展而有所改變，擴展性佳。

(2) 而原有拓樸架構泛指為網路拓樸中節點間之連接關係，亦不

增加原有拓樸內之節點或邊的個數。

- 12 -

圖 2-14 5 個節點與 5個邊所組成的圖形 (Cl5)

圖 2-13 4 個節點與 4個邊所組成的圖形 (Cl4)

圖 2-15 5個節點與 8個邊所組成的圖形

- 13 -

定義 2.14. 容錯性 (fault tolerance) (Jovanovic and Misic, 1994;

Wang, Hung, Tan, Hsu, and Sung, 2000)。

(1) 網路拓樸可允許多少邊(或節點)損壞而不影響拓樸內任一

對節點間傳輸的能力。容錯性越高，則代表欲使網路拓樸失

效，其損壞的邊(或節點)數量越多。以圖 2-17來說，4-循環

內的 2條邊或是 2個節點損壞，則節點 a與其餘節點失去連

結關係，造成此網路拓樸失效，因此 4-循環的容錯性為 2。

而圖 2-18，若欲使節點 d 與其餘節點失去連結關係進而造

成此網路拓樸失效，則最少須損壞 3條邊(e, d)、(a, d)、(d, c)

或是 3 個節點 a、e、c，所以此網路拓樸的容錯性為 3，比

4-循環之容錯性佳。

圖 2-17 (a)損壞 2條邊之 Cl4 (b)損壞兩節點之 Cl4

圖 2-16 21個節點與 40個邊所組成的圖形

- 14 -

第二節 彩虹連結

彩虹著色的概念是由 Chartrand、Johns、McKeon 以及 Zhang

所提出 (Chartrand et al., 2008)。其於 G中所有邊分別賦予單一種

顏色，並且使得任兩點間之數條路徑中，至少有一條是由不同顏

色的邊所形成之路徑就稱為彩虹路徑。一圖 G 中任意兩點之間存

在著彩虹路徑，則 G 即為彩虹連結。為了方便進行研究，以數字

替代顏色，而一種顏色代表一種安全性機制或密碼。rc(G)為使 G

完成彩虹連結所使用顏色數量的最小值，且 rc(G) ≥ diam(G)，

diam(G)為圖 G的直徑。

Chakraborty等人已確立一般圖之彩虹連結數計算為 NP-hard，

以及一般圖之彩虹連結數是否為 2 之問題也已經被證實為

NP-complete (Chakraborty, 2011)，而 Caro等人也研究出一般圖之

彩虹連結數為 2的條件 (Caro et al., 2008)。在 2011年，Chakraborty

等人提出了以下：1. rc(G) = 1與 G是完全圖為充分且必要條件的

關係，2. rc(G) = |E(G)|與 G為樹 (tree)為充分且必要條件的關係。

至目前為止，已有學者將彩虹連結運用在不同的網路拓樸，如

Peterson graph (Chartrand et al., 2008)、三角形金字塔網路圖 (Wang

and Sung, 2012)等網路拓樸上：

圖 2-18 (a)3 條邊損壞之圖形 (b)3個節點損壞之圖形

- 15 -

Chartrand等學者在 2008年研究 Peterson graph 之彩虹連結問

題，也找出 Peterson graph 的彩虹連結數上限值，圖 2-19 為

Chartrand等人所研究出的 Peterson graph彩虹連結圖，其 diam(G)

為 2，所以 rc(G) ≥ 2，並研究出 Peterson graph 的彩虹連結數上

限值為 3。另外，也提出以下幾點：(Chartrand et al., 2008)。

1. 若 G為節點數 n ≥ 4所組成之循環圖(Cn)，則 rc(Cn) = ⌈n/2⌉。

2. 若 G為輪圖 (Wn)且 n ≥ 3，

(1) 當 n = 3則 rc(Wn) = 1。

(2) 當 4 ≤ n ≤ 6則 rc(Wn) = 2。

(3) 當 n ≥ 7則 rc(Wn) = 3。

Wang 與 Sung 在 2012 年研究了 n–階層三角形金字塔網路圖

的彩虹連結問題，圖 2-20為 3層的三角形金字塔網路圖，每一個

層面都為三角形網路圖，圖 2-21為 4層的三角形金字塔網路圖，

每多加 1層就多使用 1種顏色，因此 rc(G) ≤ n，最後再以數學歸

納法證明此彩虹連結著色方法的正確性 (Wang and Sung, 2012)。

圖 2-19 Peterson graph

- 16 -

表2-1為與彩虹連結的相關研究及成果，據我們所知，至目前，

萬用型金字塔網路之彩虹連結相關問題還未曾有人研究，因此以

萬用型金字塔網路來當我們的研究對象。

圖 2-21 4層三角形網路圖

圖 2-20 3 層三角形金字塔網路圖

- 17 -

表 2-1 彩虹連結之相關研究及成果

研究者 (出處) 研究對象圖形 研究成果

Chartrand et al.

(2008)

提出彩虹連結的概念與限

制

Chartrand et al.

(2008)

Peterson graph 2 ≤ rc(G) ≤ 3

Chartrand et al.

(2008)

循環圖 (n ≥

4)

rc(G) = ⌈n/2⌉

Chartrand et al.

(2008)

輪圖 (n ≥ 3) 1. n = 3，rc(G) = 1。

2. 4 ≤ n ≤ 6，rc(G) = 2。

3. n ≥ 7，rc( G ) = 3。

Chakraborty et al.

(2011)

1. 證明計算圖之彩虹連結

數為 NP-hard問題。

2. 證明驗證一圖之彩虹連

結數是否為 2為一

NP-complete問題。

Chakraborty et al.

(2011)

1. 完全圖

2. 樹圖

1. rc(G) = 1若且為若 G是

complete graph。

2. rc(G) = |E(G)|若且為若

G為樹。

Wang and Sung

(2011)

三角形金字塔

網路圖

rc(G) ≤ n

- 18 -

第三節 萬用型金字塔網路

金字塔網路拓樸是由 Dyer 與 Rosenfeld 所提出 (Dyer and

Rosenfeld, 1981)，在最高的一層有一個節點為頂點，而往下的每

一層則按照一定的節點個數及連線規則往下擴展，有很好的擴展

性 (Farahabady and Sarbazi-Azad, 2005) 。一個網路拓樸的好壞依

據，主要是以擴展性、容錯性與直徑等性質來做評斷。Cao 等學

者指出金字塔網路確實是擁有好的網路拓樸特性 (Cao and Hsu,

1999)。

萬用型金字塔網路 (versatile pyramid network)是由 Farahabady

以及 Sarbazi-Azad 於 2005 年所提出，是由數層 RTCC (Recursive

Transpose-Connected Cycles)網路圖所組成，簡稱萬用型金字塔網

路為 RTCC(C, L)。RTCC(C, L)內的 C代表著此金字塔網路是以 C

個節點形成的循環來作為基底模型，L 代表此金字塔網路有 L+1

層(Farahabady and Sarbazi-Azad, 2005)。而萬用型金字塔網路擁有

金字塔網路的特性，甚至是優於金字塔網路的拓撲結構 (Kourdy

and Rad, 2012)，圖 2-22為以 4-循環為基底模型的三層萬用型金字

塔網路(RTCC(4, 2))。

圖 2-22 RTCC(4, 2)

- 19 -

本研究選用萬用型金字塔網路RTCC(C, L)中的RTCC(4, L) ，

其結構如下：

(一) Rn為 n維度的 RTCC圖，其大小為 2n×2

n ，V (Rn) = {(x1,

x2, . . . , xn) | 0 ≤ xi < 4}。其中包含了 4個大小皆為 2n−1

× 2n−1且與 n-1維度 RTCC圖相似的子圖，分別以 R

n(0)、

Rn(1)、R

n(2)及 R

n(3)表示左上、右上、左下及右下 4個部

分。Rn是以數個 4-循環所組成。4-循環 (4-cycle)，顧名

思義就是以 4個點形成之循環，其 4點分別為基本點(0)

與三個順時針方向三點(1)、(2)、(3) ，包含 2 條列連接

邊與 2 條行連接邊，編號(0)與編號(1)之間以及編號(2)

與編號(3)之間各存在 1條連接邊，稱作列連接邊，另外

兩條連接邊則稱為行連接邊。

(二) 給定一種編號模式，並將 Rn(i)起始編號值設為 i，V(Rn(i))

={(i, x2, . . . , xn) | 0 ≤ xi < 4}，其中 i = x1。連線規則有

2 種，分別為連線規則 A 及連線規則 B，連線規則 A：

與 (x1, x2, . . . , xn) 相鄰的點為 (x1, x2, . . . , (xn ± 1) mod

4 )，連線規則 B：若 xn = xn−1 = … = xn−j+1 且 xn−j ≠ xn−j+1，

則有另一相鄰點為(x1, x2, … , xn−j , xn−j+2, (xn−j+1)j )。圖 2-23

為 RTCC圖之 R2，包含有四個子圖：R2(0)、R

2(1)、R

2(2)

和 R2(3)。以 R

2(1)來看，其節點為{(1, 0), (1, 1), (1, 2), (1,

3)}，起始值編號皆相同，根據連接規則 A，(1, 3)與(1, 0)

和(1, 2)互為相鄰節點，再根據連接規則 B，也與(3, 1)互

為相鄰節點。

- 20 -

(三) 而 n階層的 RTCC金字塔圖記做 RPn，其 V (RPn) = V0 ∪

V1 ∪ · · · ∪ Vn，且 Vk = {(x1, x2, . . . , xk) | 0 ≤ xi < 4, 1

≤ i ≤ k, 0 ≤ k ≤ n}。

(四) 於 RPn裡之各層 Rk中，連接兩點的邊稱為內部邊，如節

點(x1, x2, . . . , xk)與節點(y1, y2, . . . , yk)的內部邊表示方法

為< (x1, x2, . . . , xk), (y1, y2, . . . , yk) >。Rk內各節點皆會有

4個子節點於 Rk+1，子節點編號為 Vk+1 = {(x1, x2, . . . , xk, t)

| 1 ≤ k ≤ n-1, t = 0, 1, 2, 3}，而連接 k層與 k+1層的邊

稱為層邊。

(五) 圖 2-24 為 RP2編號示意圖。第 0 層只有一個頂點，第 1

層是一個由 4個順時針編號為(0), (1), (2), (3)的點所形成

的 4-循環，虛線部分為層邊，而實線部分則是內部邊。

位於第 1層之節點(0)以內部邊< (0), (1) >與節點(1)相連

接，也以 4條層邊與第 2層之四個點相連接，分別為(0, 0),

(0, 1), (0, 2)和(0, 3)。

圖 2-23 R2

- 21 -

(六) 於 RPn 內的節點總數算法為 1 + 4 + 42 + … + 4

n =

(4n+1

-1)/3，內部邊總數算法為(3 × 2 − 2) + (3 × 23 − 2) +

(3 × 25 −2) + … + (3 × 2

2n−1 −2) = 2

2n+1 −2n−2，層邊總數算

法為(4n+1

-1)/3 – 1 = 4(4n-1)/3。

(七) 由於RPn內最遠兩節點間的距離剛好為階層數n的兩倍，

因此 diam(RPn) = 2n。

圖 2-24 RP2編號示意圖

- 22 -

第三章 研究方法

本章節分為二節。第一節為研究步驟，介紹本研究實驗的步

驟。第二節為研究過程及經研究後得到之結果，敘述於研究過程

中所使用的方法。

第一節 研究步驟

因本論文的研究對象為萬用型金字塔網路，所以須先了解其

特性，而後思考如何將彩虹著色運用於此金字塔網路，並探討其

彩虹連結的正確性。本研究的進行步驟為：

一、研究萬用型金字塔網路的性質。

二、分析著色的方法。

三、提出解決萬用型金字塔網路上，點與點間傳輸之路徑所塗顏

色重複的方法。

四、證明上述方法的正確性。

五、如果無法證明其正確性，則反覆進行第 2 步驟至第 4 步驟，

一直到問題解決為止。

第二節 研究過程與結果

將 RPk內各層 Rk之節點分為數個區塊，其規則為第 k 層內的

2k × 2

k個節點分為 2k-1個區塊。區塊是 Rk的子圖，且假設於區塊內

部之任一對頂點之間必存在一條彩虹路徑。

- 23 -

再者，依據 Rk之 k 值的奇偶性質不同，區塊也有兩種型態。

若 k 值為奇數，區塊的型態為正方形，記做“正方區塊”。反之若

k值為偶數，區塊的型態為 2個正方區塊所組成，記做“夥伴區塊”。

正方區塊是節點編號最左邊之兩個數值相同的各點所形成的區

塊，大小為 2(k+1)/2

×2(k+1)/2，其編號方式為：節點編號最左邊之兩個

數值後接續(X)k−2。夥伴區塊是由區塊編號最左邊第二個奇偶性質

相同數值的 2 個正方區塊結合而成，並以這 2 個正方區塊之最小

編號當作此夥伴區塊編號。圖 3-1 為 R5的區塊說明示意圖，根據

上述得知 R5有 24個正方區塊，粗體線處為當中 2個，編號分別為

(01XXX)及(03XXX)，而由於這 2 個正方區塊編號最左邊第二個數

值 1和 3的奇偶性質相同，所以會在 R6結合為編號(01XXXX)的夥

伴區塊。圖 3-2 為 R6的區塊說明示意圖，此層有 25個夥伴區塊，

粗體線部分為其中之一。

圖 3-1 R5之區塊劃分示意圖

- 24 -

為了方便研究及理解，我們使用數字來代替著色。內部邊可

以分為兩種，一種是 4-循環內各點間連結邊，記做循環內連接邊，

另一種是連接任 2個 4-循環的邊，記做結合連接邊。於同一層中，

不同區塊之著色後之結果是各自獨立，此外連接任 2 個區塊之結

合連接邊上所塗的顏色也與這 2 個區塊內所用之顏色不同。區塊

是由數個 4-循環與數條結合連接邊組成，且每一個 4-循環包含 2

條列連接邊與 2條行連接邊。

接著我們定義 χ 為：同一層之區塊內的著色情況皆各自獨立

的，且連接兩個區塊的結合連接邊上所塗的顏色也與這兩個區塊

內各邊所用的顏色不同。每一個區塊內的結合連接邊皆使用同一

種顏色，而且此種顏色將不會再被其他邊使用，同一 4-循環內的 2

圖 3-2 R6之區塊劃分示意圖

- 25 -

條列連接邊(或者行連接邊)使用相同的顏色，此顏色會與行連接邊

(或者列連接邊)所使用的顏色不同，這表示每一個 4-循環會使用 2

種顏色來交錯上色，而在其歸屬之區塊內，這 2 種顏色不會再被

其他任何一條內部邊所使用。

以 Ck表示第 k 層的正方區塊，其中 k 為奇數且 C 的大小為

2(k+1)/2

×2(k+1)/2。將Ck劃分為四個編號為C

k(i), i = 0, 1, 2, 3的子區塊，

有 6 條結合連接邊將 4 個 Ck(i)兩兩相連接。賦予這 6 條結合連接

邊相同的顏色“1”且不被其他邊使用，意指 Ck(i) = 0 ≤ i ≤ 3內部

所使用的顏色將會避開“1”。接下來，我們使用遞迴建構(recursive

construction)方法來分析其餘子區塊(包含結合連接邊)之著色情

況。已知子區塊是由數個 4-循環與數條結合連接邊組成，且每一

個 4-循環包含 2條列連接邊與 2條行連接邊。每一個子區塊內的 6

條結合連接邊皆使用同一種顏色，而且此種顏色將不會再被其他

邊使用。再根據 χ 完成其餘結合連接邊和 4-循環各邊的著色，圖

3-3為 R5中某一區塊內各邊著色之示意圖。

圖 3-3 C5著色示意圖

- 26 -

再以 Cx表示第 x層的夥伴區塊，其中 x為偶數。Cx是由兩個

位於第 x-1層大小相等的 Ck記做 A和 B以一條結合連接邊相連結

合而成。我們先賦予這條結合連接邊一顏色，這表示 A 和 B 內部

所使用的顏色都將避開此顏色，再根據前一段所提到的規則來完

成 A與 B部分之著色，只是於 A內部各邊所使用過的顏色不會再

被使用於 B內部各邊上，圖 3-4 為 R6中某一區塊內各邊著色之示

意圖。

最後再以數學歸納法假設來證明上述之正確性。

定理 1. 令 Ck表示 RPk內第 k 層之正方區塊，其中 k 為 ≥ 3 之奇

圖 3-4 C6著色示意圖

- 27 -

數。根據邊著色法 χ，則 Ck使用 7×2k−1−1

3 種顏色來完成彩虹連結。

證明:

首先我們根據數學歸納法假設經由 χ進行著色後，Ck內兩點 s

跟 t 之間存在著一條彩虹路徑。C1為 1 個 4-循環，根據前述得知

4-循環內各邊之顏色為交錯上色。 Rk 內各區塊之大小為

2(k+1)/2

×2(k+1)/2，而且各區塊又可被拆解為 4 個大小為 2

(k-1)/2×2

(k-1)/2

的子區塊，並令這 4個子區塊為 S。根據 χ之定義將 S內任兩個子

區塊之間的所有結合連接邊塗上相同的顏色，依 χ 之定義將 S 內

所有結合連接邊進行著色，且於結合連接邊上使用的顏色將不會

再被使用於其他各邊。再將 S 內 4-循環之各邊以 χ 之定義進行塗

色，且各個子區塊內所使用的顏色皆不重複。再以 2 個情況分析

同一 Ck內之兩點 s 跟 t 之間是否存在著彩虹路徑，情況 1 為 s跟

t皆位於 S內同一個子區塊，情況 2為 s跟 t分別位於 S內不同子

區塊。

情況 1. s跟 t兩點皆位於 S內同一個子區塊。

根據數學歸納法假設與 χ 之定義得知同一子區塊內的兩點 s

跟 t之間存在著一條彩虹路徑。

情況 2. 為 s跟 t分別位於 S內不同子區塊。

已知這 2 個子區塊間有著一條名為 e 的結合連接邊使其互相

連接。根據情況 1得到路徑 s−e與路徑 e−t皆為彩虹路徑而且顏色

都不相同，再根據 χ 之定義知道 e 上的顏色不同於 2 個子區塊內

各邊，因此得知不同子區塊內的兩點 s跟 t之間存在著一條彩虹路

徑。

經由以上 2個情況 得知同一 Ck內之兩點 s跟 t之間的確存在

著彩虹路徑。

□

- 28 -

定理 2. 令 Ck表示 RPk內第 k 層之夥伴區塊，其中 k 為 ≥ 4 之偶

數。根據邊著色法 χ，則 Ck使用 7×2k−1+1

3種顏色來完成彩虹連結。

證明:

根據定義得知每一個 Ck是由一條名為 e 的結合連接邊連接兩

個大小為 2x/2

× 2x/2的正方區塊組合而成。再以 2個情況分析同一

Ck內之兩點 s跟 t之間是否存在著彩虹路徑，情況 1為 s跟 t皆位

於 S 內同一個正方區塊，情況 2 為 s 跟 t 分別位於 S 內不同正方

區塊。

情況 1. s跟 t兩點皆位於 S內同一個正方區塊。

根據定理 1 得知 s 跟 t 之間存在著彩虹路徑，使用顏色數為

7×2k−1−1

3。

情況 2. s跟 t分別位於 S內不同正方區塊。

已知這 2 個正方區塊間有著一條名為 e 的結合連接邊使其互

相連接，並且確定其一正方區塊內所使用的顏色將不再使用於另

一正方區塊內。根據情況 1 得到路徑 s−e 與路徑 e−t 皆為彩虹路

徑而且顏色都不相同，再根據 χ 之定義知道 e 上的顏色不同於 2

個正方區塊內各邊，因此得知不同正方區塊內的兩點 s跟 t之間存

在著一條彩虹路徑，另外，使用的顏色數為 7×2k−2−1

3 +

7×2k−2−1

3 +

1 = 7×2k−1+1

3。

經由以上 2個情況 得知同一 Ck內之兩點 s跟 t之間存在著彩

虹路徑。

□

- 29 -

定理 3. RPn為 n 階層的 RTCC 金字塔，將使用 2n

−1 種顏色完成

RPn內各層邊之著色。

證明:

接著考慮 RPn 內各層邊的著色方法。若干層邊若為同一區塊

內之各點與上層父節點之連接邊則使用相同的顏色，反之，若干

層邊分別為不同區塊內各點與上層父節點之連接邊，則使用不同

的顏色，另外，於層邊使用過顏色將異於上層之層邊與內部邊所

使用的顏色。RPn層邊著色所使用的顏色數將會等於區塊個數，而

每一層含有 2k-1個區塊，因此完成層邊彩虹連結之顏色數為 1 + 2 +

22 + … + 2

n−1 = 2

n −1。

□

定理 4. rc(RP1) = 2。

證明:

圖 3-5為 2層 RTCC金字塔網路圖，記做 RP1，而 diam(RP1) =

2，代表此圖彩虹連結需使用至少 2 種顏色，如圖 3-6，圖中任兩

節點之間皆存在著彩虹路徑，而 RP1之彩虹連結數為 2。

□

圖 3-5 RTCC(4, 1)

- 30 -

定理 5. rc(RP2) = 4。

證明:

圖 3-7表示 RP2的一種著色方式，我們將證明在此著色中，任

兩個節點之間存在至少一條彩虹路徑。若一個節點為頂點 p，則循

層邊到另一節點的路徑明顯地是為一彩虹路徑。如果此兩個節點

在同一個 4-循環內，循環內連接邊形成一條彩虹路徑，如圖 3-8，

節點 a與 c之間的路徑<a, b, c> (由粗黑邊所形成的路徑)即為一彩

虹路徑。若起始節點與終止節點分屬於不同 4-循環，由圖 3-9 可

以顯而已見的發現兩節點之間皆存在著至少一條彩虹路徑，圖 3-9

為我們根據 RP2之連線情形所新造的圖，p為頂點，e、f、g、h分

別為 R1內的四個節點，由於 R2中各 4-循環內的 4個節點所屬層邊

使用的顏色相同，因此可將此 4個節點看作為單一節點，再以 A、

B、C、D表示，圖內包含了 6條彩虹路徑，分別是<A, e, f, B>、

<A, e, h, C>、<C, h, g, D>、<B, f, g, D>、<A, e, p, g, D>、<B, f, p, h,

C>，而分屬於不同 4-循環之兩節點間的彩虹路徑必為上面 6條其

中之一。

□

圖 3-6 RTCC(4, 1)之著色結果示意圖

- 31 -

圖 3-8 RP2

圖 3-7 RP2之著色結果示意圖

- 32 -

圖 3-9 RP2之新造圖

- 33 -

第四章 結論與未來展望

Chakraborty 等學者已確立一般圖之彩虹連結數計算為

NP-hard問題，至目前，也仍未有人研究過萬用型金字塔網路的彩

虹連結相關問題。在本篇文章中，我們研究出萬用型金字塔網路

RTCC(4, L) (以下以 RPn簡稱 RTCC(4, L))的彩虹連結著色規則，並

以數學歸納法假設來證明此規則之正確性。另外，我們還提出了

RPn之彩虹連結數上限值：

一、 當 n = 1時，rc(RPn) = diam(RPn) = 2。

二、 當 n = 2時，rc(RPn) = diam(RPn) = 4。

三、 當 n為 ≥ 3之奇數，diam(RPn) ≤ rc(RPn) ≤ 7×2k−1−1

3。

四、 當 n為 ≥ 4之偶數，diam(RPn) ≤ rc(RPn) ≤ 7×2k−1+1

3。

其中 RP1 與 RP2彩虹連結數上限值為最佳解，因為其上限值與直

徑相等。

未來我們可繼續探討更為廣泛的萬用金字塔網路，亦即

RTCC(C, L)當 C≠4時的網路拓樸。另外，我們的未來研究亦可考

慮針對 RTCC(C, L)探討其他實用的網路問題，如網路壅塞度問

題。

- 34 -

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