100Exos MPSI PTSI 2016 Exp nouvelle mouture V2
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Physiqueexercices incontournables
EXERCICESINCONTOURNABLES
Physiqueexercices incontournables
MPSI | PTSISĂVERINE BAGARDNICOLAS SIMON
2e ĂDITION
© Dunod, 201611 rue Paul Bert, 92247 Malakoff Cedex
www.dunod.comISBN 978-2-10-074918-8
Table des matiĂšres
Outils mathématiques1 Les équations différentielles linéaires 62 Les nombres complexes 143 SystÚmes de coordonnées et analyse vectorielle 19
Signaux physiques4 Oscillateur harmonique 385 Propagation dâun signal 516 Optique gĂ©omĂ©trique 787 Introduction au monde quantique 1368 Circuits Ă©lectriques dans lâARQS 1529 Circuit linĂ©aire du premier ordre 17410 Oscillateurs amortis 20511 Filtrage linĂ©aire 226
MĂ©canique12 CinĂ©matique 24813 Bases de la dynamique newtonienne 26514 Mouvement de particules chargĂ©es 31615 Mouvement dâun solide en rotation 342
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16 Mouvements dans un champ de force centraleconservatif 362
Thermodynamique17 Description dâun systĂšme Ă lâĂ©quilibre et statiquedes fluides 37818 Bilans Ă©nergĂ©tiques et entropiques 39319 Machines thermiques et changements dâĂ©tats 424
Induction et forces de Laplace20 Champ magnĂ©tique 44221 Applications des lois de lâinduction 459
Partie 1Outils mathématiques
Outils mathématiques1 Les équations différentielles linéaires 6
1.1 : Ăquation homogĂšne du premier ordre 61.2 : Ăquation du premier ordre avec second membre 71.3 : Ăquation avec second membre fonction du temps 91.4 : Ăquation du deuxiĂšme ordre 12
2 Les nombres complexes 142.1 : Module et argument dâun nombre complexe 142.2 : Utilisation de la notation complexe 17
3 SystÚmes de coordonnées et analyse vectorielle 193.1 : Base polaire 193.2 : Base sphérique 213.3 : Surface et volume élémentaires 223.4 : Produit vectoriel 273.5 : Dérivées partielles 293.6 : Opérateur gradient 31
Outils mathématiques 5
Objectifs généraux développés
Lâutilisation dâoutils mathĂ©matiques est indispensable en physique en classe de CPGE.Nous en avons rassemblĂ© un certain nombre. Ce chapitre ne doit cependant pas ĂȘtreĂ©tudiĂ© de façon linĂ©aire. Il convient de sây reporter au fur et Ă mesure que le besoinsâen fera sentir. Ces outils devront ĂȘtre maĂźtrisĂ©s progressivement au cours de lâannĂ©eet acquis en fin dâannĂ©e.On commence par sâintĂ©resser aux Ă©quations diffĂ©rentielles, auxquelles mĂšnentsouvent les lois de la physique. Lorsque la fonction et ses dĂ©rivĂ©es nâinterviennentquâĂ la puissance unitĂ©, lâĂ©quation diffĂ©rentielle est dite linĂ©aire.En physique, on se limitera Ă des Ă©quations diffĂ©rentielles des premier et secondordres, avec ou sans second membre. Dans le cas dâĂ©quations diffĂ©rentielles avec se-cond membre, la mĂ©thode de rĂ©solution couramment utilisĂ©e en physique nâest pas lamĂ©thode gĂ©nĂ©rale qui peut ĂȘtre exposĂ©e en mathĂ©matiques, mais une simplificationde cette derniĂšre, adaptĂ©e aux cas que nous rencontrons habituellement.Dans le cas dâĂ©quations diffĂ©rentielles non linĂ©aires la mĂ©thode prĂ©sentĂ©e nâest plusapplicable. Il faut alors rĂ©soudre directement dans son ensemble, par sĂ©paration desvariables, lâĂ©quation diffĂ©rentielle proposĂ©e. Cette technique sera utilisĂ©e lors de larĂ©solution dâexercices de mĂ©canique.On aborde ensuite les nombres complexes, qui constituent un outil mathĂ©matiquelargement utilisĂ© en physique, notamment en Ă©lectrocinĂ©tique, en mĂ©canique, enmĂ©thode de rĂ©solution de systĂšmes dâĂ©quations diffĂ©rentielles couplĂ©es...Enfin les systĂšmes de coordonnĂ©es seront nĂ©cessaires notamment en mĂ©canique,pour repĂ©rer la position dâun point de lâespace. LâidĂ©e gĂ©nĂ©rale consiste Ă dĂ©composerle vecteur position âââ
OM associĂ© Ă M en trois vecteurs colinĂ©aires aux trois vecteurs debase du systĂšme de coordonnĂ©es. Cette base sera, dans tous les cas, orthonormĂ©eet directe, de sorte que les opĂ©rateurs de base de lâanalyse vectorielle (produitscalaire, produit vectoriel...) soient facilement utilisables dans ces bases.On va rencontrer deux types de bases ; la base fixe du systĂšme cartĂ©sien et les basesmobiles des systĂšmes cylindrique et sphĂ©rique.
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1CHAPITRE
Les équations différentielles linéaires
Lors de la dĂ©charge dâun condensateur de capacitĂ© C dans une rĂ©sistance R, lafonction u(t) rĂ©gissant les variations de la tension aux bornes du condensateursâĂ©crit :
du
dt+ u
Ï= 0
avec Ï = RC. RĂ©soudre cette Ă©quation diffĂ©rentielle en prenant comme condi-tion initiale u(0) = E.
Exercice 1.1 : Ăquation homogĂšne du premier ordre
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©LâĂ©quation Ă rĂ©soudre est bien linĂ©aire, car seules la fonction u(t) et sa dĂ©rivĂ©e premiĂšredudt Ă la puissance un interviennent. Par ailleurs, elle est Ă coefficients constants. Unetelle Ă©quation diffĂ©rentielle est appelĂ©e Ă©quation homogĂšne ou encore Ă©quation sanssecond membre. Sa rĂ©solution est trĂšs importante Ă maĂźtriser, car elle devient uneĂ©tape de rĂ©solution lorsquâon a affaire Ă une Ă©quation diffĂ©rentielle linĂ©aire avec secondmembre.LâĂ©quation Ă©tant du premier ordre (seule la dĂ©rivĂ©e premiĂšre intervient), sa rĂ©solutionva faire apparaĂźtre une constante dâintĂ©gration. Cette constante dâintĂ©gration seradĂ©terminĂ©e en fin de rĂ©solution grĂące Ă une condition, le plus souvent initiale (t = 0).âą MĂ©thode de sĂ©paration des variablesPour rĂ©soudre ce type dâĂ©quation homogĂšne, on sĂ©pare les variables, câest-Ă -direque lâon fait passer dâun cĂŽtĂ© de lâĂ©quation tout ce qui est en u et du et de lâautretout ce qui est en t et dt. On nâa alors plus quâĂ intĂ©grer par bloc chacun des deuxmembres.
La sĂ©paration des variables dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle proposĂ©e mĂšne Ă :
du
u= âdt
Ïqui sâintĂšgre en :
ln u = â t
Ï+ λ
Outils mathématiques 7
oĂč λ est la constante dâintĂ©gration.Bien quâon ait Ă©crit une primitive de chacun des membres, il nâest pas nĂ©cessaire defaire apparaĂźtre une constante dâintĂ©gration de chaque cĂŽtĂ©. On considĂšre en fait queλ contient ces deux constantes. On isole enfin la fonction u(t) afin de dĂ©terminer laconstante dâintĂ©gration par application de la condition initiale.
On passe alors Ă lâexponentielle :
u = eâ tÏ +λ = eλ Ă eâ t
Ï = ÎŒeâ tÏ
ÎŒ = eλ Ă©tant la nouvelle forme de la constante dâintĂ©gration.On change le nom de la constante dâintĂ©gration, car, en toute rigueur, le passageĂ lâexponentielle a fait apparaĂźtre un terme en eλ que lâon a prĂ©fĂ©rĂ© noter ÎŒ pourdâĂ©videntes raisons de simplification des notations.âą DĂ©termination de la constante dâintĂ©grationĂ ce stade, on nâa plus quâĂ utiliser la valeur fournie pour u, condition initiale u(0) = EprĂ©sentement.
La condition initiale fournie permet dâĂ©crire u(0) = E = ÎŒeâ 0Ï = ÎŒ.
La solution recherchĂ©e sâĂ©crit alors :
u(t) = Eeâ tÏ
Lors de la dĂ©charge dâun condensateur de capacitĂ© C Ă travers une rĂ©sistanceR par un gĂ©nĂ©rateur de force Ă©lectromotrice E, la fonction u(t) rĂ©gissant lesvariations de la tension aux bornes du condensateur sâĂ©crit :
du
dt+ u
Ï= E
Ïavec Ï = RC. RĂ©soudre cette Ă©quation diffĂ©rentielle en prenant comme condi-tion initiale u(0) = 0.
Exercice 1.2 : Ăquation du premier ordre avec second membre
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©On a de nouveau une Ă©quation diffĂ©rentielle linĂ©aire Ă coefficients constants Ă rĂ©soudre.La diffĂ©rence par rapport Ă lâexercice prĂ©cĂ©dent est la prĂ©sence dâun second membre.La solution dâune telle Ă©quation diffĂ©rentielle, linĂ©aire, sâĂ©crit comme la somme dedeux termes :â la solution gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation homogĂšne ci-aprĂšs notĂ©e ug (câest-Ă -dire
sans second membre, notĂ©e ESSM) associĂ©e ;â une solution particuliĂšre de lâĂ©quation complĂšte ci-aprĂšs notĂ©e up, cherchĂ©e
de la mĂȘme forme que le second membre de lâĂ©quation diffĂ©rentielle.
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8 Chapitre 1 Les équations différentielles linéaires
Par solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM, on entend solution faisant apparaĂźtre la (ou les)constante(s) dâintĂ©gration. Autrement dit, il ne faut pas injecter, Ă ce niveau, lesconditions (initiales) fournies par lâĂ©noncĂ©. Ces conditions seront utilisĂ©es dans lâex-pression totale, somme de la solution gĂ©nĂ©rale et dâune solution particuliĂšre.âą DĂ©termination dâune solution particuliĂšre de lâĂ©quation complĂštePour ce qui est de la solution particuliĂšre on rencontrera deux types dâĂ©quationsdiffĂ©rentielles : celles dont le second membre est une constante (comme câest le casici) et celles dont le second membre est fonction du temps.Dans le cas dâun second membre constant, on recherche la solution particuliĂšre up sousforme dâune constante satisfaisant Ă lâĂ©quation complĂšte. Il sâagit donc finalement detrouver la valeur que va prendre la fonction u(t) en rĂ©gime permanent, câest-Ă -direquand on aura attendu suffisamment longtemps pour que les phĂ©nomĂšnes transitoiressoient amortis. Pour cela, on rĂ©injecte up = cte dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle complĂšte(toutes les dĂ©rivĂ©es sâannulent donc) et on en dĂ©duit up.Dans le cas dâun second membre fonction du temps, on va a priori utiliser une mĂ©thodeque lâon peut qualifier dâidentification. On postule la solution particuliĂšre comme Ă©tantune fonction du temps du mĂȘme type que le second membre. Ce dernier point, ainsique ses limites dâapplication, sont dĂ©taillĂ©es dans lâexercice suivant.
La condition de linĂ©aritĂ© de lâĂ©quation diffĂ©rentielle est essentielle ; cettemĂ©thode de rĂ©solution ne sâapplique pas aux Ă©quations diffĂ©rentiellesnon linĂ©aires.
La solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM dug
dt + ug
Ï = 0 sâĂ©crit (cf exercice prĂ©cĂ©dent) :
ug = ÎŒeâ tÏ
avec ÎŒ une constante dâintĂ©gration.Pour ce qui est de la solution particuliĂšre up, on obtient, en reportant danslâĂ©quation diffĂ©rentielle complĂšte : dup
dt + up
Ï = EÏ = up
Ï , soit up = E.Au total, on a donc :
u(t) = ug + up = ÎŒeâ tÏ + E
âą DĂ©termination de la constante dâintĂ©grationCâest bien Ă la somme de la solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM et de la solution particuliĂšrede lâĂ©quation complĂšte que lâon applique la condition initiale.
On dĂ©termine enfin ÎŒ Ă lâaide de la condition u(0) = 0. Cela mĂšne Ă 0 =E + ÎŒeâ 0
Ï = E + ÎŒ, soit ÎŒ = âE. Finalement, on Ă©crit :
u(t) = E(
1 â eâ tÏ
)
Outils mathématiques 9
On parle de filiation radioactive lorsquâun noyau pĂšre radioactif A se dĂ©sintĂšgrepour donner un noyau fils lui-mĂȘme radioactif menant Ă C stable. On note res-pectivement λ1 et λ2 les constantes radioactives associĂ©es aux noyaux A et B.Les nombres N1(t) et N2(t) de noyaux de A et B prĂ©sents Ă lâinstant t satisfontaux Ă©quations diffĂ©rentielles suivantes :
dN1dt
= âλ1N1 et dN2dt
= λ1N1 â λ2N2
DĂ©terminer les fonctions N1(t) et N2(t) en supposant quâĂ t = 0 N1(0) = N0 etN2(0) = 0.
Exercice 1.3 : Ăquation avec second membre fonction du temps
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©On a ici un systĂšme de deux Ă©quations diffĂ©rentielles linĂ©aires Ă coefficients constants Ă rĂ©soudre. Sa particularitĂ© provient du fait que la deuxiĂšme fait intervenir la solution dela premiĂšre. On va donc commencer par rĂ©soudre la premiĂšre, que lâon reconnaĂźt ĂȘtreune Ă©quation diffĂ©rentielle homogĂšne, puis rĂ©Ă©crire la deuxiĂšme Ă©quation diffĂ©rentielleen fonction de ce premier rĂ©sultat.
La premiĂšre Ă©quation diffĂ©rentielle sâĂ©crit (cf exercices prĂ©cĂ©dents) :
dN1dt
+ λ1N1 = 0
La solution de cette Ă©quation diffĂ©rentielle sâĂ©crit :
N1(t) = N0eâλ1t
La deuxiÚme équation différentielle se réécrit alors :
dN2dt
+ λ2N2 = λ1N0eâλ1t
On est Ă prĂ©sent en prĂ©sence dâune Ă©quation diffĂ©rentielle avec second membre fonctiondu temps. En appliquant la mĂ©thode exposĂ©e Ă lâexercice prĂ©cĂ©dent, on commence parchercher la solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM associĂ©e.
La solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM associĂ©e Ă la deuxiĂšme Ă©quation diffĂ©rentiellesâĂ©crit :
N2(t) = ÎŒeâλ2t
avec ÎŒ constante dâintĂ©gration.
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10 Chapitre 1 Les équations différentielles linéaires
âą Utilisation de la mĂ©thode dâidentificationLe second membre est du type Reâλ1t. On va donc chercher une solution de ce mĂȘmetype, en notant A par exemple la constante.On va donc injecter une solution up(t) = Aeâλ1t dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle com-plĂšte. On va alors en dĂ©duire la valeur de la constante A. En effet, lâintĂ©rĂȘt de cettemĂ©thode rĂ©side dans le fait que la dĂ©pendance temporelle eâλ1t de up(t) se simplifielors de cette opĂ©ration.
On cherche une solution particuliĂšre de lâĂ©quation complĂšte sous la forme :up(t) = Aeâλ1t. On a alors dup
dt = âλ1Aeâλ1t. En reportant dans lâĂ©quationdiffĂ©rentielle Ă©tudiĂ©e,on obtient :
âλ1Aeâλ1t + λ2Aeâλ1t = λ1N0eâλ1t
On en dĂ©duit immĂ©diatement, aprĂšs simplification par eâλ1t :
A = λ1N0λ2 â λ1
lâexponentielle dĂ©pendant du temps sâĂ©tant simplifiĂ©e.On peut finalement Ă©crire la solution complĂšte :
N2(t) = ÎŒeâλ2t + λ1N0λ2 â λ1
eâλ1t
âą DĂ©termination de la constante dâintĂ©grationIl ne reste alors plus quâĂ injecter la condition initiale portant sur la fonction N2 afinde dĂ©terminer la constante dâintĂ©gration ÎŒ.
Avec N2(0) = 0, on obtient ÎŒ = â λ1N0λ2âλ1
, dâoĂč la solution finale :
N2(t) = λ1N0λ2 â λ1
[eâλ1t â eâλ2t]
âą MĂ©thode de variation de la constante
Il peut vous paraĂźtre un peu miraculeux de voir la dĂ©pendance tempo-relle de la solution particuliĂšre se simplifier ainsi avec cette mĂ©thodepar identification... Le fait est que cette mĂ©thode est loin dâĂȘtre gĂ©nĂ©-rale ; elle va juste le plus souvent donner un rĂ©sultat avec les Ă©quationsdiffĂ©rentielles rencontrĂ©es en physique. Sâil se trouve quâelle ne permettepas de conclure (par non-simplification de la dĂ©pendance temporelle ouencore obtention dâune incohĂ©rence), il faut alors se ramener Ă la mĂ©-thode gĂ©nĂ©rale de rĂ©solution des Ă©quations diffĂ©rentielles avec secondmembre (variable) : la mĂ©thode de variation de la constante.
Outils mathématiques 11
En pratique, la mĂ©thode dâidentification marche toujours pour les seconds membresconstants. Un cas pouvant ĂȘtre rencontrĂ© en physique oĂč elle peut ĂȘtre mise en dĂ©fautest celui oĂč le second membre est de la mĂȘme forme que la solution gĂ©nĂ©rale delâESSM.ConsidĂ©rons par exemple lâĂ©quation diffĂ©rentielle sur la fonction f(t) suivante :
df
dt+ af = Aeâat
avec a et A, constantes non nulles.La solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM sâĂ©crit ÎŒeâat, le second membre est donc de la mĂȘmeforme quâelle. Si lâon applique la mĂ©thode dâidentification, câest-Ă -dire si lâon chercheune solution particuliĂšre de lâĂ©quation complĂšte sous la forme Beâat (B constante),on aboutit, en reportant dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle complĂšte Ă :
âaBeâat + aBeâat = Aeâat
relation impossible si A ïżœ= 0.La mĂ©thode de variation de la constante est alors nĂ©cessaire. Cette mĂ©thode consisteĂ rechercher la solution particuliĂšre sous la forme B(t).F (t), oĂč F (t) est de la mĂȘmeforme que la solution gĂ©nĂ©rale de lâESSM et B(t) une fonction (la constante âquivarieâ...) Ă dĂ©terminer.Dans notre cas, on recherche alors la solution particuliĂšre sous la forme B(t)eâat. Enreportant dans lâĂ©quation complĂšte on arrive Ă :
dB
dteâat â aB(t)eâat + aB(t)eâat = Aeâat
soit dBdt = A, dâoĂčB(t) = At + cte. Il est bien sĂ»r inutile dâintroduire une nouvelle
constante dâintĂ©gration puisquâon recherchait une solution particuliĂšre.Gardez toutefois Ă lâesprit que les cas oĂč, en physique, la mĂ©thode dâidentificationest mise en dĂ©faut restent trĂšs rare et quâil est donc pour la plupart des problĂšmesinutile de compliquer la rĂ©solution mathĂ©matique par lâutilisation de la mĂ©thode laplus gĂ©nĂ©rale.
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12 Chapitre 1 Les équations différentielles linéaires
Lors du mouvement horizontal dâun point matĂ©riel M de masse m reliĂ© Ă unressort de raideur k et soumis Ă une force de frottement fluide de coefficient f ,les variations temporelles x(t) de lâabscisse du point matĂ©riel sont rĂ©gies parlâĂ©quation diffĂ©rentielle suivante :
md2x
dt2 + fdx
dt+ kx = 0
DĂ©terminer lâexpression de x(t) en supposant x(0) = L et(
dxdt
)t=0 = 0. On
écrira les différentes solutions possibles suivant les valeurs possibles de f , maison ne déterminera complÚtement la solution que pour f = 2
âmk.
Exercice 1.4 : Ăquation du deuxiĂšme ordre
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©Il sâagit ici de rĂ©soudre une Ă©quation diffĂ©rentielle linĂ©aire, Ă coefficients constants,homogĂšne et du second ordre. Cette derniĂšre caractĂ©ristique nous indique que deuxconstantes dâintĂ©gration vont apparaĂźtre lors de la rĂ©solution. Il faut donc toujoursdeux conditions (initiales) pour rĂ©soudre totalement ce type de problĂšme. GĂ©nĂ©rale-ment, lâĂ©noncĂ© donnera, ou on pourra en dĂ©duire facilement, des conditions initialessur la fonction recherchĂ©e dâune part, sa dĂ©rivĂ©e dâautre part. Mais ceci nâest pas nĂ©ces-saire, deux conditions portant sur la fonction elle-mĂȘme peuvent tout Ă fait permettrede conclure...âą Ăcriture du polynĂŽme caractĂ©ristiqueOn admet quâune telle Ă©quation diffĂ©rentielle admet une solution de la forme x1 =Aerx, avec A un rĂ©el non nul et r a priori complexe. Vous pouvez alors, en reportantdans lâĂ©quation diffĂ©rentielle initiale, en dĂ©duire que le nombre complexe r satisfait Ă lâĂ©quation du deuxiĂšme degrĂ© suivante, appelĂ©e polynĂŽme caractĂ©ristique associĂ©Ă lâĂ©quation diffĂ©rentielle du second ordre :
mr2 + fr + k = 0La forme des solutions de lâĂ©quation diffĂ©rentielle dĂ©pend alors de la nature des solu-tions du polynĂŽme caractĂ©ristique, autrement dit du signe de son discriminant Î.âą Forme des solutions possiblesâ si Î > 0, le polynĂŽme caractĂ©ristique admet deux racines rĂ©elles r1 et r2. La solu-
tion gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation diffĂ©rentielle sâĂ©crit alors :
x(t) = Aer1t + Ber2t
avec A et B deux constantes dâintĂ©gration.â si Î = 0, le polynĂŽme caractĂ©ristique admet une racine rĂ©elle double r. La solution
gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation diffĂ©rentielle sâĂ©crit alors :
x(t) = ert(A + Bt)avec A et B deux constantes dâintĂ©gration.
Outils mathématiques 13
â si Î < 0, le polynĂŽme caractĂ©ristique admet deux racines complexes conjuguĂ©es r1et r2. La solution gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation diffĂ©rentielle sâĂ©crit alors :
x(t) = Aer1t + Ber2t
avec A et B deux constantes dâintĂ©gration. En physique, on ne laissera gĂ©nĂ©ra-lement pas cette solution sous cette forme. En effet, les racines conjuguĂ©es sâĂ©crivantrespectivement r1 = a + jb et r2 = a â jb, la solution se met sous la forme :
x(t) = eat[Aejbt + Beâjbt
]Lâutilisation de la formule dâEuler (ejbt = cos(bt)+jsin(bt) et eâjbt = cos(bt)â
jsin(bt)) mĂšne finalement Ă une solution de la forme :
x(t) = eat [(A + B) cos(bt) + j(A â B) sin(bt)]On Ă©crira donc directement en physique la solution sous la forme :
x(t) = eat [AâČ cos(bt) + BâČ cos(bt)]avec AâČ = A + B et BâČ = j(A â B) deux constantes dâintĂ©gration complexes.
Le discriminant du polynĂŽme caractĂ©ristique de lâĂ©quation diffĂ©rentielle proposĂ©esâĂ©crit ici : Î = f2 â 4mk.â si f > 2
âmk, Î > 0 et les racines rĂ©elles du polynĂŽme sont r1,2 = â f
2m ±âÎ
2m . On a alors :
x(t) = eâ f2m t
[Ae
âÎ
2m t + Beââ
Î2m t
]
â si f = 2â
mk, Î = 0 et la racine double du polynĂŽme est r = â f2m . La
solution gĂ©nĂ©rale de lâĂ©quation diffĂ©rentielle est donc de la forme :
x(t) = eâ f2m t(A + Bt)
On en déduit :
dx
dt= eâ f
2m t
[â f
2m(A + Bt) + B
]
Les deux conditions initiales données mÚnent alors à A = L et B = Lf2m .
â si f < 2â
mk, Î < 0 et les racines complexes du polynĂŽme sont r1,2 =â f
2m ± jââÎ
2m . On a alors :
x(t) = eâ f2m t
[A cos
(ââÎ2m
t
)+ B sin
(ââÎ2m
t
)]
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2CHAPITRE
Les nombres complexes
On considĂšre le nombre complexe suivant :
H(jx) = a
(1 â x2) + jb
oĂč a et b sont deux rĂ©els constants et x une variable de R+ . DĂ©terminer le mo-
dule H et lâargument Ï de ce nombre complexe.
Exercice 2.1 : Module et argument dâun nombre complexe
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©Cet exercice sâintĂ©resse aux diffĂ©rentes formes sous lesquelles on peut Ă©crire un nombrecomplexe.âą Forme trigonomĂ©trique dâun nombre complexeLe nombre complexe prĂ©sentĂ© est Ă©crit sous la forme dâun rapport de deux nombrescomplexes (le rĂ©el a peut en effet ĂȘtre considĂ©rĂ© comme faisant partie de lâensembledes nombres complexes). Son module est donc Ă©gal au rapport des modules des deuxnombres et son argument est Ă©gal Ă la diffĂ©rence des arguments du numĂ©rateur et dudĂ©nominateur.En physique on privilĂ©giera souvent la prĂ©sentation sous forme exponentielle (ondit encore trigonomĂ©trique) HejÏ par rapport Ă la forme algĂ©brique Re(H) +jIm(H). En effet, passer un rapport de nombres complexes sous forme algĂ©brique(par multiplication des numĂ©rateur et dĂ©nominateur par le complexe conjuguĂ© dudĂ©nominateur) alourdit inutilement les expressions.âą DĂ©termination du modulePour dĂ©terminer le module de H il faut distinguer les cas a positif ou nĂ©gatif. Eneffet, le module dâun nombre complexe est une grandeur rĂ©elle et positive. Le moduledu numĂ©rateur de H dĂ©pend donc du signe de a.
Il ne dépend par contre pas de celui de b.
Outils mathématiques 15
â si a > 0,
H = aâ(1 â x2)2 + b2
â si a < 0
H = âaâ(1 â x2)2 + b2
âą DĂ©termination de lâargumentLâargument du numĂ©rateur, rĂ©el, dĂ©pend lui aussi du signe de a. En effet, lâargumentdâun nombre rĂ©el positif est nul, tandis que celui dâun rĂ©el nĂ©gatif est Ă©gal Ă Ï.Pour ce qui est du dĂ©nominateur, deux cas sont Ă©galement Ă distinguer suivant cettefois le signe de sa partie rĂ©elle. En effet, pour un nombre complexe Ă©crit sous la former + jk, dâargument notĂ© Ï, on a tan Ï = k
r . Par contre, pour passer à la fonctionréciproque et donc écrire
Ï = arctan(
k
r
)
il faut que lâangle recherchĂ© Ï appartienne Ă lâintervalle [â Ï2 ; Ï
2 ], domaine sur lequel lafonction tangente est bijective. En pratique, on ne peut utiliser la fonction arctangenteque si la partie rĂ©elle du nombre complexe Ă©crit sous forme algĂ©brique est positive.Si ce nâest pas le cas (r < 0), on va devoir se ramener au cas dâun nombre complexeĂ partie rĂ©elle positive par la manipulation suivante :
r + jk = (â1)[âr â jk]Lâargument de r + jk peut donc sâĂ©crire :
arg(r + jk) = arg(â1) + arg(âr â jk)Or le nombre complexe âr â jk est Ă partie rĂ©elle positive. Son argument sâexprimedonc simplement arctan
(âkâr
)= arctan
(kr
), et lâargument de â1 est Ă©gal Ă Ï. Fina-
lement, lâargument du nombre complexe r + jk avec r < 0 est donc, si r < 0 :
Ï + arctan(
k
r
)
Une autre mĂ©thode consiste Ă ne pas passer par la fonction arctangente,mais Ă dĂ©terminer lâargument via la valeur de sa tangente et du signede son cosinus ou de son sinus. En effet, la tangente nous donne lâangle
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16 Chapitre 2 Les nombres complexes
modulo Ï. La connaissance du signe du sinus et du cosinus nous donnealors un intervalle de largeur Ï
2 contenant lâangle.
Pour le nombre complexe ici considĂ©rĂ©, nous devons donc distinguer plusieurscas :â si a > 0 et x < 1 : Ï = â arctan b
1âx2
â si a > 0 et x > 1 : Ï = âÏ â arctan b1âx2
â si a < 0 et x < 1 : Ï = Ï â arctan b1âx2
â si a < 0 et x > 1 : Ï = â arctan b1âx2
Outils mathématiques 17
On considĂšre lâĂ©quation diffĂ©rentielle sur la fonction complexe x(t) suivante :
d2x
dt2 + Ï0Q
dx
dt+ Ï2
0x = F0m
ejÏt
oĂč m, Q, Ï0 et F0 sont des constantes positives.DĂ©terminer complĂštement une solution particuliĂšre de cette Ă©quation cherchĂ©esous la forme x(t) = X0ejÏejÏt.
Exercice 2.2 : Utilisation de la notation complexe
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©On demande ici de dĂ©terminer une solution particuliĂšre dâune Ă©quation diffĂ©rentielleportant sur une fonction complexe x(t). La forme de la solution Ă©tant proposĂ©e parlâĂ©noncĂ©, il sâagit en fait de dĂ©terminer le module X0 et lâargument Ï du nombrecomplexe solution particuliĂšre de lâĂ©quation diffĂ©rentielle.âą DĂ©rivations en notation complexeLâintĂ©rĂȘt de rechercher une solution complexe dâune Ă©quation diffĂ©rentielle sous laforme proposĂ©e est la simplification des opĂ©rations de dĂ©rivation (et dâintĂ©gration).DĂ©river revient Ă multiplier la fonction complexe par jÏ. DĂ©river deux fois revientensuite Ă multiplier de nouveau par jÏ, soit au final par âÏ2. Notons au passagequâintĂ©grer par rapport au temps reviendrait Ă une multiplication par 1
jÏ .
Pour une solution Ă©crite x(t) = X0ejÏejÏt, on a :
dxdt = jÏX0ejÏejÏt = jÏx(t)
d2xdt2 = âÏ2x
Si lâĂ©noncĂ© demande la recherche dâune solution dont la dĂ©pendance autemps est en eâjÏt, les opĂ©rateurs dĂ©rivation premiĂšre et intĂ©grationseront Ă prĂ©sent des multiplications respectivement par âjÏ et â 1
jÏ ;lâopĂ©rateur dĂ©rivĂ©e seconde est lui bien sĂ»r inchangĂ©.
âą Transformation de lâĂ©quation diffĂ©rentielle en Ă©quation algĂ©briqueEn reportant la fonction x(t) et ses dĂ©rivĂ©es dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle proposĂ©e,on aboutit finalement Ă une Ă©quation algĂ©brique dans laquelle le terme en ejÏt sefactorise dans tous les termes. On peut alors le simplifier. Par ailleurs, les opĂ©rationsde dĂ©rivation faisant Ă©galement apparaĂźtre lâamplitude complexe X0ejÏ en facteur detous les termes du membre de gauche, on arrive ainsi Ă une Ă©quation algĂ©brique encette amplitude complexe.
©D
unod
.Tou
tere
prod
uctio
nno
nau
tori
sée
estu
ndé
lit.
18 Chapitre 2 Les nombres complexes
Le remplacement dans lâĂ©quation diffĂ©rentielle mĂšne Ă :
âÏ2X0ejÏejÏt
+ jÏÏ0Q X0ejÏejÏt
+ Ï20X0ejÏejÏt = F0
m ejÏt
Soit, aprĂšs factorisation par X0ejÏ et division :
X0ejÏ =F0m
(Ï20 â Ï2) + jÏÏ0
Q
âą Identification du module et de lâargument de lâamplitude complexe de lasolutionOn sâest alors ramenĂ© au problĂšme de lâexercice prĂ©cĂ©dent.
Le module de lâamplitude complexe sâĂ©crit :
X0 =F0mâ
(Ï20 â Ï2)2 +
(ÏÏ0
Q
)2
et son argument :
Ï =
â§âȘâȘâšâȘâȘâ©
â arctan[
ÏÏ0Q(Ï2
0âÏ2)
]si Ï < Ï0
âÏ â arctan[
ÏÏ0Q(Ï2
0âÏ2)
]si Ï > Ï0
3CHAPITRE
SystÚmes de coordonnées et analysevectorielle
Déterminer les expressions des projections des vecteurs unitaires des coordon-nées polaires en fonction des vecteurs de la base cartésienne. En déduire lesdérivées temporelles des vecteurs de la base polaire.
Exercice 3.1 : Base polaire
âą Analyse de lâĂ©noncĂ©La base polaire est la restriction Ă deux dimensions de la base cylindrique (encore ap-pelĂ©e cylindro-polaire). LâintĂ©rĂȘt de cette base est quâelle accompagne le point matĂ©rielM dont on cherche Ă repĂ©rer la position, au cours de son mouvement. La contrepar-tie est que cette base de vecteurs unitaires (ïżœur; ïżœuΞ) nâest pas fixe ; autrement dit lesdĂ©rivĂ©es temporelles des vecteurs de la base polaire ne sont pas nulles, contrairementĂ celles de la base cartĂ©sienne fixe
(ïżœi;ïżœj
).
Commençons par reprĂ©senter les deux bases sur un mĂȘme schĂ©ma :
©D
unod
.Tou
tere
prod
uctio
nno
nau
tori
sée
estu
ndé
lit.
20 Chapitre 3 SystÚmes de coordonnées et analyse vectorielle
Les coordonnĂ©es cartĂ©siennes correspondent aux deux longueurs (x; y)repĂ©rant les projections du vecteur position âââ
OM sur les axes dirigĂ©srespectivement parïżœi et ïżœj. Les coordonnĂ©es polaires (r; Ξ) correspondentrespectivement Ă la norme du vecteur position âââ
OM et Ă lâangle orientĂ©que fait ce vecteur avec le vecteur fixe ïżœi de la base cartĂ©sienne.
⹠Projection des vecteurs de la base polaireOn projette les vecteurs mobiles de la base polaire sur les vecteurs fixes de la basecartésienne en effectuant les produits scalaires des premiers avec les seconds :
â§âšâ©
ïżœur = (ïżœur Â·ïżœi)ïżœi + (ïżœur Â·ïżœj)ïżœj
ïżœuΞ = (ïżœuΞ Â·ïżœi)ïżœi + (ïżœuΞ Â·ïżœj)ïżœj
La projection des vecteurs de la base polaire sur la base cartĂ©sienne donne :â§âšâ©
ïżœur = (cos Ξ)ïżœi + (sin Ξ)ïżœj
ïżœuΞ = (â sin Ξ)ïżœi + (cos Ξ)ïżœj
DĂ©rivation des vecteurs de la base polaireLes vecteurs mobiles ïżœur et ïżœuΞ sont des fonctions de lâangle Ξ, lui-mĂȘme fonction dutemps t. On va obtenir leurs dĂ©rivĂ©es temporelles en leur appliquant la formule dedĂ©rivation des fonctions composĂ©es et en utilisant leurs projections respectives sur labase cartĂ©sienne fixe. Pour retrouver la formule de dĂ©rivation dâune fonction composĂ©e,on peut utiliser lâĂ©criture suivante :
â§âšâ©
dïżœur
dt = dïżœur
dΞ · dΞdt
dïżœuΞ
dt = dïżœuΞ
dΞ · dΞdt
Formellement, tout se passe comme si le dΞ se simplifiait.
On a tout dâabord :â§âšâ©
dïżœur
dΞ = (â sin Ξ)ïżœi + (cos Ξ)ïżœj = ïżœuΞ
dïżœuΞ
dΞ = (â cos Ξ)ïżœi + (â sin Ξ)ïżœj = âïżœur