國立台灣師範大學 機電科技學系

工 程 數 學 (二)

Engineering Mathematics ( II )

授課老師：楊啟榮 博士

Office: 科技學院 Room 工 B03 TEL: (02) 7734-3506

0955-052-392 E-mail: ycr@ntnu.edu.tw

課 程 設 計

課 號： MTU0016

名 稱：工程數學

英文名稱 ：Engineering Mathematics ( II )

學 分：3

類 別：必修

適修年級 ：大學部二、三年級生

課程大綱 ：本科目旨在協助學生瞭解工程數學之基本原理、運算技巧及其在工程上之實際應用。課程範圍涵蓋線性代數(矩陣、向量、行列式、線性方程式系統、矩陣特徵值問題)、向量微分、向量發散度與旋度、純量場之梯度

與方向導函數、向量積分、積分定理與轉換、Fourier 級數分析與微積分、偏微分方程式等單元。

對 象：具數理背景知識之大學生

授課老師 ：楊啟榮 博士

課程講義 ：E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, 2011

評分考試 ：期中考 I (30%)、期中考 II (40%)、期末考 (30%) 。

作弊者一律送學務處議處，作弊是可恥的行為，淘汰率佔全班人數

1/10~1/5(不用功)~1/3(很不用功)，班級有作弊行為發生，淘汰率 1/2。

上課原則(特例除外)：

1. 上課遲到十分鐘，不准於該節進教室(記曠課一次)。

2. 無故曠課，每次扣期末總成績 5 分 (不定時點名)。

3. 事假、病假必須於上課前，以簡訊、E-mail 請假，或由可信賴之同學轉告。

4. 上課手機關機，鈴聲響起扣期末總成績 3 分。

課程輔導時間：請參考楊啟榮 博士本學期之授課時間表(只要是上班時間沒有排

課的時段，均歡迎學生至研究室與老師討論)。

建議：

1. 不要輕易請假與曠課，除非您可以自己補足進度，否則下次上課「聽嘸」「鴨

子聽雷」的機會大，從此更想逃避課程，陷入惡性循環！

2. 數學課程上課更需要專心，別在上課中恍神、放空、補眠(三者特徵都是眼神

呆滯)，回去複習才能事半功倍！

3. 大學生涯是提升自己能力的階段，而不是向下沈淪！學習成效不佳的人，應

儘快找到原因加以改進，畢竟大學生涯轉眼就會結束。

已達成聯考目標 (或已可向父母交差)，生活目標失去重心。

系所興趣不合，可考慮儘早轉系或重考。

外務(社團、打工、直銷…)太多，沒空讀書或提不起勁。

感情因素，造成沒心情讀書。

狂打電動或流連社群網站，生活作息不正常，影響學業。

能力不足以應付機電系學業，但運氣好考上了！

其他，家庭因素、宗教因素…。

4. 最佳檢視自己學習成效的方法，就是時常闔上課本，看自己可否說出完整的

基礎原理，與解題技巧或步驟，再加上不看解答的情況下，可做出正確的答

案，如此才不會流於一知半解的狀況。

機電系考試試場規則 100.05.26 99 學年度第 6 次系務會議通過

1. 考試時桌面禁止放置手機，考試過程亦不得使用。

2. 桌面禁止放置皮夾與文具盒。

3. 禁止使用翻譯機。

4. 考試時如需上廁所應向師長登記。

5. 考試時不得有交談、偷看、抄襲、傳遞、夾帶、頂替或其他舞弊情事，一經確認上述行為該科學期成績 0 分，並依系務會議決議記大過乙次，且不得銷過。

6. 作弊一經確認，名單送交全系老師，不得推甄本系研究所，推甄外校者，本系師長不會幫忙寫推薦信。

7. 作弊一經確認，該生的每學期修課課程，將個別通知本系授課教師特別注意！

工程數學課程防止作弊的作法

1. 授課老師親自監考，再外加至少一位助教。

2. 每次考試隨機排定座位(學號與班級會盡量錯開)，當場才公佈座位。

3. 桌面不准出現手機。

4. 桌面不准出現皮夾與文具盒。

5. 禁止使用翻譯機。

6. 檢查有照片的證件，避免發生頂替應試。

7. 管制上廁所的次數與時間。

8. 只能用傳統計算機(不能使用其他計算器)，但不能有夾層外殼。

9. 不會事先勾問題給學生，以避免發生作弊的機會與慾望，也增加學生學習的強度。

10. 降低考例題的機會(有些學生根本是用背的….)，出題範圍以習題與類似題為主，學生應該培養舉一反三的能力。

11. 作弊一經確認，該科期末成績○分，並送學務處議處，建議校方直接退學。

12. 作弊一經確認，名單送交全系老師手中，不得推甄本系研究所，推甄外校者建議本系全部師長不要幫忙寫推薦信。

13. 作弊一經確認，您的每學期修課課程，系上都會個別通知授課教師特別注意您！

14. 作弊一經確認，您的高中母校學弟妹推甄本系時，會受到系上老師主觀印象影響，影響錄取之機會。

國立台灣師範大學機電科技學系課程綱要表

開課系級 二 上 科目

名稱 工程數學(二)

必修 選修

必

學

分下 3

先修 科目

微積分

壹、教學目標 本科目旨在協助學生瞭解工程數學之基本原理、運算技巧及其在工程上之實

際應用。課程範圍涵蓋線性代數(矩陣、向量、行列式、線性方程式系統、矩陣特徵值問題)、向量微積分、向量發散度與旋度、純量場之梯度與方向導函

數、Fourier 級數分析與微積分、偏微分方程式等單元。

貳、預定教學進度

1. 線性代數：矩陣、向量、行列式、線性方程式系統

2. 線性代數：矩陣特徵值問題..........................................期中考 I I (30%)

3. 向量微分、梯度、發散度、旋度

4. 向量積分、積分定理.......................................................期中考 II (40%)

5. Fourier 級數分析、積分、轉換.....................................期末考 (30%)

6. 偏微分方程式....... ...........................................................重要！努力看看

參、實施方式

講述法、討論法、測驗及習題解析

肆、參考書目

1. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2011

2. Peter V. O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, 7th Edition, Brooks/Cole Publishing Company, London, 2011

英文名稱 Engineering Mathematics ( II )

任課教師 楊啟榮

微積分修不好的同學，務必更努力，否則被當的機率很大．．．

課程相關教材或參考資料

Text book:

E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2011

References:

1. Peter V. O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, 7th Edition, Baker & Taylor Books, London, 2011

2. Dennis G. Zill, Advanced Engineering Mathematics, 4th Edition, Jones & Bartlett Publishers, Boston, 2011

數學學習對工程設計與分析的重要性

In the engine shown in Figure, a 7-inch connecting rod is fastened to a crank of radius 3 inches. The crankshaft rotates counterclockwise at a constant rate of 200 rpm (revolutions per minute). Find the velocity (i.e.,dx dt ) of the piston when 3θ π= .

【Solution】

The velocity of a piston is related to the angle of the crankshaft.

Crank(曲柄)

Piston (silder 滑塊)

Find the relation between x and θ by law of Cosines.

Law of Cosines. 等號兩邊取微分

已知值 3θ π=

200(2 ) rads/minddtθ π=

未知值 x=?

可寫程式 run 出數值，並電腦繪出曲柄轉一圈時，滑塊的位移、速度、加速度、

輸出力變化圖，甚至是呈現動畫。 2

2 . (0 ~ 2 )dx d xx vsdt dt

θ π即 或 或

曲柄-滑塊機構

3θ π= 時滑塊的速度

曲柄-滑塊機構傳動之運動分析曲線

http://cmee.cumt.edu.cn/jxyl/jixieyuanlikejian/wlkj14/3-1.html

模擬曲柄-滑塊機構傳動之視窗軟體

建立數學分析與運算能力，以及程式撰寫與運用的能力，對自己

未來的職場生涯會有很大的助益！請學生時代即建立此一能力！

工程數學的學習要點(步驟)與重要性

(一) 觀察與確認物理系統 1. 固力學問題 2. 振動學問題 3. 熱傳學問題 4. 流力學問題 5. 機構學問題 6. 電子電路問題 …...等等工程領域問題。

(二) 建立系統數學方程式(Governing equation) (建模) 建模就是將實際的系統以一具有相同特性的物理模型來取代，並將物理模型依

定律、法則描述成數學模式。透過假設把實際的系統行為以數學語言表達出來，

特別是在電腦普及便利的今天，利用數學模型有利於分析、設計與模擬。例如

設計衛星的姿態控制器，我們不可能把一枚衛星直接搬到設計桌上設計控制

器，亦不可能每設計一控制器就直接施加於衛星上作測試。 例：圖 1 系統之運動方程式

ΣF = m a (向下為正)

(三) 工程數學之應用(數學方程式求解) 1. 常微分方程式 2. Laplace 轉換 3. 線性代數：向量、矩陣、行列式 4. 向量微分與向量積分 5. Fourier 級數積分與轉換 6. 偏微分方程式 …...等等解題技巧。

圖 1. 簡諧振動系統示意圖

解常微分方程式得

，其中

不同物理系統，必須

建立不同類型的數

學方程式，因此必須

有不同的解方程式

技巧。

工程數學即用以解不同類型數學

方程式(理工領域)之一門學問，不同方程式需要不同解題技巧。

振幅

相位

求解 x (工數技巧)

(四) 分析與應用(並解釋結果)

整理上式成

再利用以下參數作整理 (使式子更具物理意義，並方便寫電腦程式)

(a) 式

(b) 式

寫程式將(a)式與(b)式作電腦繪圖並分析其結果

上頁式子，分子分母同除以 k

自然頻率

臨界阻尼 阻尼係數

寫程式 run 出數值，並電腦繪出

以下圖形

重要!! 解釋圖形曲線所代表的意義，並

據此了解實際產生的物理現象。

僅由數學分析即可獲得重要結

果，這就是學習數學的主要目的。

振幅趨近於無窮大(共振現象)

ωn：自然頻率；ω n：操作頻率

強制振動無阻尼時，當ω/ωn =1 會產生共振現象，應該加以避免。 1. 增加阻尼 c 可以抑制共振。 2. 改變 m, k，即改變自然頻率ωn。 3. 避免操作頻率ω接近ωn。