100412 136 Trabajo Fase 3 Compendio (1)
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
Cód. 100412
ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE TRES
Presentado a:JORGE ENRIQUE TABOADA
Tutor
Entregado por:
!sae" Esne!der Losada G#$e%C#d!go: &'(()*)&+,
S!nd- .o/ana Ro0as Ce"!sC#d!go: &')1)((&&,
233333323333233333C#d!go: 33333
233333323333233333C#d!go: 33333
233333323333233333C#d!go: 33333
Grupo: &''+&45&1*
UNI6ERSIDAD NACIONAL ABIERTA . A DISTANCIA 7 UNADESCUELA DE CIENCIAS B8SICAS9 TECNOLOGA E INGENIERA
A.O de" 4'&*
-
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Cód. 100412
INTRODUCCION
En el siguiente trabajo se encontrarán una serie de ejercicios ecuaciones diferenciales ysolución por series de potencias, los cuales tienen como fin que se pueda adquirir los
conocimientos necesarios de la unidad 3 del curso Ecuaciones Diferenciales de la UNAD. De
igual forma, este trabajo es creado de forma indiidual y colaboratia, generando la participaciónde los cada uno de los miembros del grupo de trabajo, permitiendo crear la!os de compa"erismo
y generando un aprendi!aje significatio tanto para la ida personal como para la profesional.
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DESARROLLO DE LA ACTI6IDAD INDI6IDUAL
Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias
#. $esoler el problema de alor inicial a tra%s del m%todo de series de &aylor'
( # ) )# ,*+ ( +
$espuesta
No$;re estud!ante N ATE8TICA
RA?ON O E2PLICACION
( # ) )#
4@ Deter$!nar por e" =r!ter!o de" =o=!ente e" =on0unto de =onergen=!a de:
∑n=0
∞ (−2)n
(n+1)( x−3)n
$espuesta
No$;re estud!ante
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( x−3 )2
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¿−2 x+6−65
-e contin4a diidiendo por 8# para
poder inertir la desigualdad
2 x
2 >
5
2
x>5
2
0uego se uele a diidir por 5
5
2
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condicional conergente
¿an∨¿
∑ ¿ es diergente y
∑ an es conergente.
Debemos erificar la conergencia
−2¿n
¿7
2−3¿n∨¿
¿¿¿¿¿
∑n=0
∞
¿
Diergente
-implificamos
∑n=0
∞1
n+1
omparación de l:mites
limn →∞ (
an
bn )= L , donde0
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omparación de l:mites
limn →∞ (
an
bn )= L , donde0
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( es diergente
5
2
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EJERCICIO 1: Ca"=u"e e" rad!o - e" !ntera"o de =onergen=!a de "a s!gu!ente ser!e
de poten=!a:
∑n=0
∞ (100)n
n ! ∗( x+7)n
$espuesta
No$;re estud!ante
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limn →∞ |n!∗(100 )
n∗(100 )∗( x+7 )n∗( x+7)
n !∗(n+1 )∗(100 )n∗( x+7)n |
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y' ( x )=∑
n=1
∞
nan
xn−1 , y
' ' ( x )=∑n=2
∞
n (n−1)an
xn−2
0os correspondientes desarrollos en serie para
y> */ y y?*/ dados por
∑n=2
∞
2n(n−1)nan
xn−2,+
∑n=1
∞
❑an
xn+
∑n=0
∞
an
xn=0
-ustituimos,
2(k +2)(k +1)nk +¿2
xk +∑
n=1
∞
k ak
xk +∑
n=0
∞
ak
xk =0
∑n=0
∞
¿
Escribimos las tres series de forma que el
t%rmino general de cada una de ellas sea una
constante multiplicada por xk
.
4 a2+a0=0
ak +2= −12(k +2)
ak k ≥1
a2=−1
22
a0
a3=−12.3
a1(k =1)
a4=−12.4
a2=
1
22.2.4
a0 (k =2 )a
5=−12.5
a3=
1
22.3 .
a6=−1
2.6
a4=
1
2
6
.3
a0 (k =4 ) a
7=−1
2.7
a5=
1
2
3
.3.5.
a8=−12.8
a6= 1
28.4
a0(k =6)
-eparamos los t%rminos correspondientes a
/+ y agrupamos los coeficientes de /@
obteniendo
4 a2+a0+∑
k =1
∞
[2 (k +2 ) (k +1 )ak +2+kak +ak ] xk
(+
gualando a cero los coeficientes de la serie
de potencias, resulta que
−1¿n
¿
¿a2n=¿ n #,
−1¿n
¿¿
a2n+1=¿
n #.
onsiderando a0 y a1 como constantes
arbitrarias, se obtiene
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−1¿n
¿¿22n .n !
¿−1¿n
¿2n+1
1.3.5 ..¿¿
2n ¿¿¿¿
y1 ( x )=∑n=0
∞
¿
0a solución general de nuestra ecuación es
y ( x)=a0 y 1( x)+a1 y 2( x) .
De aqu: resultan dos soluciones linealmente
independientes
EJERCICIO : Reso"er por ser!es "a e=ua=!#n d!eren=!a"
y'' + x2 y=0
$espuesta
No$;re estud!ante
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[2a (2 )+6a (3 ) x ]+∑ (n=2a ∞ ) [ (n+2 ) (n+1 ) a (n+2 )+a(n−2)
2a (2 )=0→ a (2 )=0
6a (3 )=0→ a (3 )=0
(n+2 ) (n+1 ) a (n+2 )+a (n−2 )=0n>1
a (n+2 )= −a (n−2 )
[ (n+2 ) (n+1 ) ] n>1
a (k +4 )= −a (k )
[ ( k +4 ) ( k +3 ) ] k =0,1,2, .
a (2 )=0 y a (3 )=0
a (6 )=a (10 )=a (14 )=0, y a (7 )=a (11 )=a (15 )= =0
a (4 )=−a (0 )8∗7
a (8 )= −a (4 )(12∗11)
= a (0 )
12∗11∗8∗7
a (5 )=−a (0 )9∗8
a (9 )=−a (5
)13∗12= a (1
)13∗12∗9∗8
"poniendo #"e"n(0) y "n (1)son
y=a (0 )[1− x4
8∗7+
x8
12∗11∗8∗7− ]+a (1 )[ x− x
5
9∗8+13 porlo tanto ,la sol"ci$n general es
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DESARROLLO DE LA ACTI6IDAD COLABORATI6A
Pr!$era A=t!!dad
S!tua=!#n pro;"e$a:
Segunda A=t!!dad
EJERCICIO . SOLUCI>N PLANTEADA OBSER6ACIONES9 ANE2OS9
ODIFICACIONES A LA SOLUCI>N
PLANTEADADescarga de un condensador en una resistencia
-upongamos un condensador que tiene una diferenciade potencial Bo entre sus placas cuando se tiene una
l:nea conductora $, la carga acumulada iaja a tra%s
de un condensador desde una placa 6asta la otra,
estableci%ndose una corriente de intensidad i
intensidad. As: la tensión v en el condensador a
disminuyendo gradualmente 6asta llegar a ser cero
tambi%n la corriente en el mismo tiempo en el circuito
$.
Ri=v
i=−c dv
dt
v' +
1
R& v=0
-olucionar por series de potencias la siguiente
ecuación diferencial.
undo R=1 ( y & =1 )*
Descarga de un condensador en una
resistencia'
-upongamos un condensador que tiene una
diferencia de potencial Bo entre sus placas
cuando se tiene una l:nea conductora $, la
carga acumulada iaja a tra%s de un
condensador desde una placa 6asta la otra,
estableci%ndose una corriente de intensidad i.
As: la tensión en el condensador a
disminuyendo gradualmente 6asta llegar a ser
cero tambi%n la corriente en el mismo tiempo
en el circuito $.
Ri=v
i=−c dv
dt
-olucionar por serie de potencias las
siguientes ecuaciones diferencialesC
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CONCLUSIONES
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REFERENCIAS BIBLIOGR8FICAS
Dennis, ill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. engage 0earning Editores.
##8#F+. $ecuperado de' 6ttp'99bibliotecairtual.unad.edu.co'5#+G9libro.p6pHlibrod(35+
Iarc:a, A. *5+#G. Ecuaciones diferenciales. 0arousse 8 Irupo Editorial