10. září 2012VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM
description
Transcript of 10. září 2012VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM
10. září 2012 VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM
ŘEŠENÍ ŘEŠENÍ ROVNIC ROVNIC
S FAKTORIÁLY S FAKTORIÁLY
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík.Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.
Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.
Řešení rovnic s faktoriályJaké druhy rovnic obsahující faktoriály se dají v kombinatorice počítat ?
Odpověď nám dává následující prezentace!obr.1
Faktoriál číslaKe stručnému označení součinu všechpřirozených čísel od 1 do n (n N) jsme zavedli symbol n!, který se čte n faktoriál. Definuje se tedy:
Je účelné dodefinovat taky:
! 1 2 ... ,n n n N
0! 1
obr.2
Řešení rovnic s faktoriályV kombinatorických úlohách (při řešení příkladů na variace,
permutace, kombinace) se dostáváme k pojmu faktoriálu čísla.
Tyto úlohy zpravidla vedou k řešení různých typů rovnic. Při řešení některých rovnic stanovujeme podmínky, pro
které jsou výrazy v rovnicích definovány. Dodržujeme zásady pro počítání s rovnicemi.
O tom, zda kořeny rovnice vyhovují rovnici, se v příkladech, u nichž na začátku nestanovujeme podmínky, přesvědčíme zkouškou.
Řešení rovnic s faktoriály V následujících šesti početních příkladech si
ukážeme základní typy rovnic s faktoriálem čísla a
způsoby jejich řešení. Faktoriál čísla se objevuje
i v logaritmických rovnicích. V této prezentaci je
uvedeno řešení rovnice, která v sobě spojuje
logaritmus i faktoriál čísla.
Příklad 1Řešte rovnici:
7 !14 44 0
5 !x
xx
obr.1
Řešení příkladu 1Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: 7 5 5; 4; 3;...x x x
Následně řešíme rovnici, upravujeme výraz s faktoriály:( 7)!
14 44 0( 5)!x
xx
( 7).( 6).( 5)! 14 44 0( 5)!
x x x xx
2 7 6 42 14 44 0x x x x
2 2 0x x
Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijme Viétovy vzorce. Oba kořeny vyhovují podmínce.
1 2 1 2 1 2. 2; 1 2; 1x x x x x x
2; 1K
obr.2
Příklad 2 Řešte rovnici:
1 !
2. 9 31 !
xx
x
obr.1
Řešení příkladu 2Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány:
1 1x x x N
Poté řešíme rovnici a upravujeme výraz s faktoriály:( 1)!2. 9 3( 1)!x xx
( 1). .( 1)!2. 9 3 0
( 1)!x x x
xx
22 2 9 3 0x x x
22 7 3 0x x
Po úpravách vzniká úplná kvadratická rovnice, dořešíme ji přes diskriminant D.
obr.2
Řešení příkladu 2 - pokračování 27 4.2.3
49 2425
D
DD
5D
1,27 52.2
x
Odtud dostaneme 2 řešení: 1
2
30,5
xx
Naší podmínce vyhovuje kořen x1 = 3, kořen x2 = 0,5 nevyhovuje. 3K
obr.2
Příklad 3Řešte rovnici:
5 ! 3 !3
4 ! 4 !x xx x
obr.1
Řešení příkladu 3Stanovíme nejdříve podmínky platnosti výrazů v rovnici:Následně řešíme rovnici a upravujeme výrazy s faktoriály:
5 ! 3 !3
4 ! 4 !x xx x
5 4 3 5;6;7;...x x x x
5 ! 3 . 4 !3
4 . 5 ! 4 !x x x
x x x
13 3
4x
x
1 6 .( 4)4
x xx
1 6 ( 4)x x obr.2
Řešení příkladu 3 - pokračování
Následně vznikne kvadratická rovnice, kterou dořešíme:
Užitím Viétových vzorců platí:
Ze vzorců vychází jediný dvojnásobný reálný kořen:
Kořen x = 5 vyhovuje podmínce platnosti a je řešením rovnice.
21 6 24 4x x x 2 10 25 0x x
1 2 25x x 1 2 10x x
1,2 5x
5K
Příklad 4Řešte rovnici:
(2, 4) 6V x
obr.1
Řešení příkladu 4Levou stranu rovnice upravíme pomocí vzorce na výpočet počtu variací bez opakování:
Užitím Viétových vzorců kvadratickou rovnici dořešíme:
O tom, zda kořeny vyhovují rovnici, se přesvědčíme zkouškou.
(2, 4) 6V x ( 4) 5 6x x
2 4 5 20 6x x x 2 9 14 0x x
1 2 1 2 1 214 9 7; 2x x x x x x
obr.2
Řešení příkladu 4 - pokračování
Zkouška:
Pro n = - 2 nejsou variace definovány.Kořen x2 = 2 nevyhovuje.
Řešení rovnice je: x = 7
(7) (2,7 4) (2,3) 3.2 6(7) 6(7) (7)(2) (2,2 4) (2, 2)
L V VPL PL V V
7K
obr.2
Příklad 5Řešte rovnici:
(2, 6) 6K x
obr.1
Řešení příkladu 5Při řešení rovnice použijeme vlastnosti kombinačních čísel a dále upravujeme
známými způsoby:
Na dořešení kvadratické rovnice opět použijeme Viétovy vzorce:
O tom, zda oba kořeny vyhovují rovnici se opět přesvědčíme zkouškou.
(2, 6) 6K x 6
62x
6 76
2 1x x
2 13 42 12x x 2 13 30 0x x
1 2 1 2 1 230 13 10; 3x x x x x x
obr.2
Řešení příkladu 5 - pokračování
Zkouška:
Pro n = - 3 nejsou kombinace definovány.Kořen x2 = 3 nevyhovuje.
Řešení rovnice je: x = 10.
4 3(10) (2,10 6) (2,4) 6
2 1(10) 6(10) (10)(3) (2,3 6) (2, 3)
L K K
PL PL K K
10K
obr.2
Příklad 6Řešte rovnici:
6 6log ( 4)! log ( 2)! 1x x
obr.1
Řešení příkladu 6Na začátku stanovíme podmínky platnosti výrazů v rovnici:
Z definice logaritmu si nahradíme číslo 1: 1 = log66
Při řešení rovnice využijeme větu o logaritmu podílu:
4 2 1;0;1;...x x x
log log loga a axx yy
6 6log 4 ! log ( 2)! 1x x 6 6
4 !log log 6
2 !xx
6 6
4 3 2 !log log 6
2 !x x x
x
obr.2
Řešení příkladu 6 - pokračování
Po odstranění logaritmů úloha vede k vyřešení kvadratické rovnice:
Přes Viétovy vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice zjistíme oba její kořeny x1,x2:
Kořen x1 = - 6 nevyhovuje podmínce platnosti výrazů v rovnici. Řešením rovnice je: x = - 1.
4 3 6x x 2 7 12 6x x 2 7 6 0x x
1 2 1 2 16 7 6x x x x x 2 1x
1K
CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky
pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 200-201, 205. ISBN 80-7196-165-5.
2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus spol. s. r. o., 1998, s. 291. ISBN 80-85849-78-X
CITACE ZDROJŮPoužité obrázky:1) People - Stick Figures - Stick blueman 202 01 - Public Domain Clip Art.
Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-10]. Dostupné pod licencí Public domain z:
http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=11 2) People - Stick Figures - Stick blueman 103 02 - Public Domain Clip Art.
Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-10].Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=2
Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.
Konec prezentace.Konec prezentace.
Děkuji Vám za Děkuji Vám za pozornost.pozornost.
Mgr. Daniel HanzlíkMgr. Daniel Hanzlík