10-Problemi in tensione piana - uniroma2.it · L’elementino posto all’esterno del guscio...
Transcript of 10-Problemi in tensione piana - uniroma2.it · L’elementino posto all’esterno del guscio...
Strutture in stato di tensione piana
In questa condizione vanno esaminati i recipienti in pressione, che sono tipicamente
strutture realizzate in spessore sottile (rispetto alle altre dimensioni ~ r/t > 10)
SERBATOI SFERICI
Possono contenere gas o liquidi in pressione, ma anche cabine
pressurizzate per lo spazio o batiscafi
Se la pressione esterna è maggiore di quella interna occorre
anche una verifica al buckling (instabilità a compressione)
La forma sferica è la migliore dal punto di vista peso/resistenza
– .. ad es. si pensi alla naturale forma delle bolle di sapone
Per il calcolo, avendo all’interno un
surplus p di pressione rispetto
all’esterno, si effettua l’equilibrio tra
la pressione e le sollecitazioni sul
bordo di una emisfera
2
int 2 medp r r tπ = π σ
2
int
2 med
pr
r tσ =
2
pr
tσ =
σ
σ
σ
σ
L’elementino posto all’esterno del guscio sferico si trova in stato di
tensione uniforme (la sua circonferenza di Mohr appoggiata alla
direzione perpendicolare si riduce ad un punto)
qualunque sia l’orientazione, le τ nel piano risultano
sempre nulle
1 2 3 02
pr
tσ = σ = σ =
σ
1 2σ σ≡
τ
3σ
max2
στ =
Se invece si considera un elementino sulla superficie interna compare la
III tensione principale, per ragioni dimensionali ben più piccola delle altre
prpσ = σ = σ = −
σ
1 2σ σ≡3σ
max2
pστ
+=
1 2 32
pt
σ = σ = σ = −τ
max2
τ =
La soluzione trovata è quella nominale, se sono presenti variazioni di forma dovuti a innesti,
ispessimenti, ' la soluzioni si discosta dalla nominale. Ad esempio piccoli fori inducono la
tensione massima ad amplificarsi di un fattore 3
La tensione equivalente varia a seconda se si consideri la sezione interna o quella esterna
Tensione equivalente di Von Mises:2
21
4eq
r rp
t tσ = + +
Presente o no in superficie
interna o esterna,
rispettivamente
SERBATOI CILINDRICI A SEZIONE CIRCOLARE
Anche in questo caso si considera solo la pressione interna,
trascurando gli effetti del peso del fluido e del serbatoio stesso.
Quindi orientazione e appoggio sono ininfluenti
Sono forme molto comuni, si pensi a bombole, tubi pressurizzati,
sottomarini, razzi, '
Lo stato di tensione di un elementino del mantello sarà ancora
principale nelle direzioni assiale e circonferenziale, data la
simmetria geometrica e di carico, ma le due tensioni principali
sono disegualisono diseguali
Equilibrio di una sezione assiale
2
22 2 p r rtπ = π σ2
2
pr
tσ =
Equilibrio di una sezione diametrale (di nuovo confondendo
raggio medio e interno)
12 2 pbr bt= σ 1
pr
tσ = 1σ
2σ
1σ
2σ
Superficie esterna
1 2 3 02
pr pr
t tσ = σ = σ =
σ1σ3σ
1στ =
2σ
Superficie interna
1 2 32
pr prp
t tσ = σ = σ = −
σ1σ3σ
1 pσ +τ =
2σ
τ
1max
2τ =
τ1
max2
pσ +τ =
Tensione equivalente di Von Mises:2
2
3 31
4 2eq
r rp
t tσ = + +
Presente o no in superficie
interna o esterna,
rispettivamente
Anche qui la soluzione trovata è quella nominale, se sono presenti variazioni di forma dovuti
a innesti, ispessimenti, ' la soluzioni si discosta dalla nominale
Notare che il mantello cilindrico è sollecitato al massimo doppiamente rispetto mantello sferico
Soluzione:
L’idea di base è di assicurare la medesima deformabilità circonferenziale ai due mantelli. In
tal modo, deformandosi in ugual misura, non si avranno tensionamenti diversi da quelli
nominali
Esempio
Si vuole realizzare un serbatoio cilindrico a fondo sferico che non
presenti intensificazioni di tensioni al raccordo.
Determinare il rapporto tra gli spessori dei due mantelli a tal fine
( )1 2
1c cil cil cil
E− − −ε = σ −νσ ( )1 2
1c sf sf sf
E− − −ε = σ −νσ( )1 2c cil cil cil
E− − − ( )1 2c sf sf sf
E− − −
1
2c cil
cil cil
pr pr
E t t−
ε = −ν
1
2 2c sf
sf sf
pr pr
E t t−
ε = −ν
2
2c cil
cil
pr
Et−
−νε = 1
2
c sf
sf
pr
Et−
−νε =
1
2sf cilt t
−ν=
−νPer un acciaio coeff. Poisson = 0.3
0.70.412
1.7sf cil cilt t t= =
In sostanza il fondo dovrebbe essere molto più sottile, vicino al 40% del mantello cilindrico
Notare la necessità ad utilizzare anche ν per la risoluzione della deformazione 2D
( ) zx
z
My y
Iσ = −
Stati di tensioni interne nelle travi inflesse
Nelle travi caricate trasversalmente,
coesistono tensioni che si oppongono alla
flessione ed altre che si oppongono al taglio
( ) ( )( )xy
z
VQ yy
I b yτ =
x
y
Generalmente flessione e taglio vengono considerate
separatamente, in quanto la prima è massima al top-
bottom e nulla al centro, la seconda è nulla al top-
bottom e massima al centro
2 23eq VonMises x xy−σ = σ + τ
Tensioni principali
2
2
1 , 22 2
x xxy
σ σσ τ = ± +
σ−σ
τ=α
yx
xy2tanar
2
1
Direzione principale
bottom e massima al centro
Facendo riferimento alla figura, nei punti interni si è in
presenza di entrambi i termini di sollecitazione per cui
Max. τRif. principalex-y
Tangenti alle due tensioni principali massime ( trazione) e minime ( compressione)
In presenza di travi a sezione generica, non si può sempre stabilire a priori quale sia il
punto più sollecitato, in teoria andrebbero verificati tutti i punti interni alla sezione, in punto più sollecitato, in teoria andrebbero verificati tutti i punti interni alla sezione, in
pratica non è difficile restringere la verifica a punti notevoli
Combinazione di carichi nelle travi
Ancora più in generale, elementi traviformi possono essere soggetti a molteplici
combinazioni di carico: flessioni, trazioni, torsioni, tagli e quindi lo stato di tensione
risultante ne risulta molto più complesso di quelli esaminati separatamente in precedenza
In elasticità lineare, e per piccoli spostamenti, si può disporre del principio di
sovrapposizione degli effetti, trovare separatamente i singoli contributi e sommarne poi gli
effetti ossia le soluzioni
Scelto un riferimento, particolare attenzione va posta nell’inserire le tensioni al
posto giusto nel tensore onde poter sommare i contributi analoghi (ad es.
flessione e trazione)
σττ
τστ
ττσ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
xPx
x
P
A=σ
y
z
( )yP
y
x P
z
P xy
Jσ =
( )PQ y
xP
σττ
τστ
ττσ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
x
( ),p py zyP ( )
( )y z
xy
z z
PQ y
I b yτ =
yP
zPzP
zx P
y
P xz
Jσ =
( )( )
z y
xz
y y
PQ z
I b zτ = xM
xM2 2x
yz P P
Pol
My z
Iτ = +