35

10. Линейные операторы

До сих пор мы рассматривали в линейном пространстве Lскалярные функции векторного аргумента - линейные комбина-ции векторов. Теперь мы сосредоточимся на рассмотрении век-торных функций одного или нескольких векторных аргументов.Мы ограничимся пока простейшими типами таких функций, аименно, линейными функциями векторного аргумента. Векторныелинейные функции, называются иначе линейными операторами ииграют важную роль в линейной алгебре, геометрии, механике идругих разделах теоретической физики. Выражение линейный опе-ратор, в литературе по математике часто заменяется на выраже-ние линейное отображение или как её частный случай - линейноепреобразование.

10.1. Линейные преобразования

Определение 10.1. Будем говорить, что в векторном простран-стве L задано линейное преобразование (линейный оператор) A ,если каждому вектору Lx ∈ поставлен в соответствие опреде-лённый вектор Lx ∈A

xu A= . (10.1)Итак, линейное преобразование A - это операция переводя-

щая линейное пространство L само в себяLL →:A .

Вектор xu A= называется образом вектора x , а вектор xназывается прообразом вектора u .

Преобразование A будет линейным преобразованием, еслидля любых векторов Lyx ∈, и любых K∈α будут выполнены ус-ловия:

1. ( ) yxyx AAA +=+ ,

2. ( ) xx AA α=α .

36

Применительно к плоскости, первое условие, определяющеелинейную вектор-функцию, означает, что диагональ параллелог-рамма, построенного на векторах x и y при линейном преобра-зовании A переходит в диагональ параллелограмма (рис. 10.1),построенного на векторах xA и yA .

Второе условие означает, что если длину вектора x увеличилив α раз, то и длина вектора xu A= увели-чится (рис. 10.2) в α раз.

Таким образом мы видим, что прилинейном преобразовании коллинеар-ные векторы переходят в коллинеарныевекторы, а компланарные - в компланар-ные.

Примеры линейных преобразований.

1. Преобразование, ставящее в соответствие вектору Lx ∈сам этот вектор

xx A=является линейным преобразованием. В этом случае EA = - естьтождественное преобразование.

2. Преобразование, ставящее в соответствие каждому век-тору Lx ∈ вектор xλ ( R∈λ ), является линейным преобразова-нием, т.к.

( ) ( )yxyxyxyx +λ=λ+λ=+=+ AAA ;

( ) ( ) ( ) xxxx AA α=λα=αλ=α .

Рис. 10.1.

A

xA

yA

yx AA +

x

y

yx +

Рис. 10.2.

xxα

xA

( )xαA

37

Геометрически, преобразованиеxx λ=A

представляет собой однородное растяжение (сжатие) всех векто-ров пространства L с одинаковым коэффициентом - гомотетию.При 0<λ растяжение всех векторов сопровождается их заменойна противоположные.

3. ПреобразованиеaxAx += , θ≠a , La ∈ ,

не является линейным, т.к.( ) ( ) ayxyx ++=+A ,

с другой стороныayxayaxyx 2++=+++=+ AA

и( ) yxyx AAA +≠+ .

4. Пусть в двумерном пространстве 2L задан базис 21 ee , .Преобразование A , которое вектору

22

11 ee xxx +=

ставит в соответствие вектор

22

11 ee xxAxu λ+==

представляет собой (рис. 10.3) гео-метрическое растяжение (сжатие)плоскости 2L в направлении, парал-

лельном 2e .Покажем линейность этого пре-

образования.

( ) ( ) ( ) =λ+λ++=+λ++=+ 22

22

11

11

222

111 eeeeeeA yxyxyxyxyx

( ) ( ) yxyyxx AAeeee +=λ++λ+= 22

11

22

11 .

( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxx AeeeeA α=λ+α=αλ+α=α 22

11

22

11 .

5. Преобразование, которое ставит в соответствие каждомувектору 2Lx ∈ вектор xu A= , получающийся из x его поворо-том на угол ϕ , будет линейным преобразованием. Его называют

O 1e 1x

2e

2x

2xλ

x

xu A=

Рис. 10.3.

38

(см. 4.5.2) преобразованием по-в о р о т а .

6. Преобразование, ставя-щее в соответствие вектору

22

11 ee xxx +=

вектор

( ) 22

121 ee xkxxAxu ++==

является линейным преобразованиемсдвига. При этом преобразовании(рис. 10.4) конец вектора x переме-щается по прямой параллельной оси

1Ox на величину 2kx .Квадрат, построенный на век-

торах 1e и 2e при таком преобразо-вании переходит (рис. 10.5) в парал-лелограмм со сторонами 1e и

12 ee k+ .

10.2. Матрица линейного преобразования

Пусть в nL задан базис neee ,...,, 21 , тогда произвольный век-

тор nlx ∈ может быть представлен как

ii

nn xxxxx eeee =+++= ...2

21

1 . (10.2)

Рассмотрим теперь в nL линейное преобразование (линей-ный оператор) A , сопоставляющий произвольному вектору

nLx ∈ векторxu A= ,

где

ii

nn uuuuu eeee =+++= ...2

21

1 . (10.3)Наша задача заключается в установлении зависимости коор-

динат вектора u от координат вектора x при преобразовании A .

O 1e 21 kxx +1x

x xu A=

2e

2x

Рис. 10.4.

11 Aee =

2e

O

1ek

2Ae

Рис. 10.5.

39

В силу линейности преобразования Aимеем ( ) n

nn

n xxxxxxx AeAeAeeeeAA +++=+++= ...... 22

11

22

11 , (10.4)

где

nnaaa eeeAe 12

211

111 +++= ... ,

nnaaa eeeAe 22

221

122 +++= ... ,

....................................... ,

nnnnnn aaae eeeA +++= ...2

21

1

или в сокращённой записи с использованием правила Эйнштейна

jj

ii a eAe = , nji ..., 1= . (10.5)Подставляя (10.5) в (10.4) получим:

++++= nn xaxaxax eeeA 112

1211

111 ...

+++++ nn xaxaxa eee 222

2221

212 ...

.............................................

=++++ nnn

nn

nn

n xaxaxa eee ...22

11

( ) ++++= 1121

211

1 e ... nnxaxaxa

( ) +++++ 2222

212

1 e ... nn xaxaxa

......................................... ( ) n

nnn

nn xaxaxa e ... +++= 22

11 . (10.6)

В сокращённой записи это будет выглядеть так

iki

k xaAx e= , nki ..., 1= . (10.7)Сравнивая (10.7) с (10.3) имеем

nn xaxaxau 121

211

11 +++= ... ,

nn xaxaxau 222

212

12 +++= ... , (10.8)

...................................... ,nn

nnnn xaxaxau +++= ...22

11

илиki

ki xau = , nki ..., 1= , (10.9)

40

или

⋅

=

nnn

nn

n

n

n x

xx

aaa

aaaaaa

u

uu

......

..................

...

2

1

21

222

21

112

11

2

1

. (10.10)

Равенства (10.8)-(10.10) дают возможность определить ко-ординаты вектора u , связанного с данным вектором x линей-ным преобразованием A . Очевидно, что координаты вектора uвыражаются через координаты вектора x линейно и однородно.

Запишем коэффициенты jia в (10.10) в виде матрицы

=

nn

nn

n

n

aaa

aaaaaa

...............

...

...

21

222

21

112

11

A(10.11)

и назовём её матрицей линейного преобразования (линейногооператора) A в базисе neee ,...,, 21 .

Полученный результат говорит о том, что если в простран-стве nL задан базис neee ,...,, 21 , то всякому линейному преобразо-ванию A этого пространства соответствует определённая не-вырожденная квадратная матрица A порядка n .

Обратно, если задана невырожденная квадратная матрицапорядка n , то при заданном базисе neee ,...,, 21 ей будет соответ-ствовать определённое линейное преобразование A и мы можемустановить взаимно однозначное соответствие между невырож-денными матрицами порядка n и линейными преобразованиямипространства nL в себя.

Примеры.1. Тождественное преобразование nL .

41

Если в nL задан базис neee ,...,, 21 , тогда xxu == A можно запи-пи-сать как

1211 001 xxxxu n =⋅++⋅+⋅= ... ,2212 010 xxxxu n =⋅++⋅+⋅= ... ,

............................................. ,nnn xxxxu =⋅++⋅+⋅= 100 21 ... .

Очевидно, что тождественное преобразование xxu == A вбазисе neee ,...,, 21 задано единичной матрицей E порядка n .

2. Преобразование xxu λ== A в базисе neee ,...,, 21 можно за-писать как

1211 00 xxxxu n =⋅++⋅+⋅λ= ... ,2212 00 xxxxu n =⋅++⋅λ+⋅= ... ,

............................................. ,nnn xxxxu =⋅λ++⋅+⋅= ...21 00 .

Здесь

EA λ=

λ

λλ

=

...............

...

...

00

0000

.

3. Преобразование 22

11 exexxu λ+== A в 2L можно записать

в базисе 21 ee , так

22

11

22

11 eeeeA uuxxxu +=λ+== ,

откуда211 01 xxu ⋅+⋅= ,

212 0 xxu ⋅λ+⋅=и

λ

=0

01A .

42

4. Пусть преобразование A есть поворот в плоскости xOy наугол ϕ , совершаемый против часовой стрелки вокруг оси Oz . Тогдадаиз (4.25) п. 4.5.2 и рис. 4.15 следует, что

ϕ+ϕ= sincos 211 eeAe ,

ϕ+ϕ−= cossin 212 eeAeи

ϕϕϕ−ϕ

=cossinsincos

A .

5. Для преобразования сдвига

( ) 22

11

22

121 eeeeA uuxkxxxu +=++==

можем записать211 1 xkxu ⋅+⋅= ,212 10 xxu ⋅+⋅= .

Откуда

=

101 k

A .

10.3. Линейные отображения. Определение и примеры

Пусть nL и mL~ - два линейных вещественных пространства.

Под отображением A пространства nL в пространство mL~ бу-

дем понимать закон, по которому каждому вектору nLx ∈ постав-

лен в соответствие единственный вектор mLx ~~ ∈ .

LL ~: →A .

Вектор mLxx ~~ ∈= A есть образ вектора nLx ∈ , а вектор nLx ∈

есть прообраз mLxx ~~ ∈= A .

Определение 10.2. Отображение LL ~: →A называется линейным,

43

если для любых векторов Lyx ∈, и любого числа K∈α выполненыравенства

( ) yxyx AAA +=+ ,

( ) xx AA α=α . (10.12)

Здесь надо иметь в виду, что ( ) Lyx ∈+ , а Lx ~∈A , Ly ~∈A и

( ) Lyx ~∈+ AA , далее ( ) Lx ∈α , а Lx ~∈αA . Знак “сложить” в первойформуле и знак “умножить” во второй - носят символический ха-рактер, так как выполняются в разных пространствах.

Если L и L~ совпадают, мы имеем операцию LL →:A ли-нейного преобразования.

Примеры линейных отображений.

1. Отображение, сопоставляющее любому вектору Lx ∈ ну-

левой вектор L~∈θ есть линейное отображение { }θ=→ LL ~:A -нулевое отображение.

2. Выберем в nL базис neee ,...,, 21 . Сопоставляя каждому

вектору nLx ∈ его первую компоненту 1ξ в разложении x по ба-

зису neee ,...,, 21 мы получим отображение nL в линейное простран-ство вещественных чисел R :

RA →nL: .

3. Если в nL задан базис neee ,...,, 21 , то любому вектору nLx ∈

можно сопоставить его координатный столбец

( ) nTn R∈ξξξ=ξ ...21 ,

где nR арифметическое пространство столбцов высоты n .

Из определения 10.2 вытекает, что при линейном отображе-нии линейная комбинация векторов в nL переходит в линейную ком-

бинацию их образов в mL~ .

44

При этом нулевой вектор L∈θ переходит в нулевой вектор

L~~ ∈θ :

( ) θ=⋅=⋅=θ ~AxxAA 00или

θ=θ ~ .

Из этого следует, что при линейном отображении LL ~: →Aлинейно зависимые векторы в nL переходят в линейно зависимые

векторы в mL~ . Обратное неверно, см. пример 1.

Предложение 10.1. При линейном отображении LL ~: →A линей-ное подпространство LL ⊆′ переходит в линейное подпростран-

ство ( ) LL ~⊆′A , причём

( ) LL ′≤′ dimdim A .Для нулевого подпространства это очевидно.Пусть 0>=′ kLdim и пусть keee ,...,, 21 базис в L ′ . Тогда для

любого вектора Lx ′∈ имеем

kkx eee ξ++ξ+ξ= ...2

21

1

и тогда

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lx kk

kk ′∈ξ++ξ+ξ=ξ++ξ+ξ= AeAeAeAeeeAA ...... 2

21

12

21

1 .(10.13)

Это означает, произвольный элемент множества ( )L ′A об-разов всех векторов из L ′ есть линейная комбинация векторов

( ) ( ) ( )keAeAeA ..., , , 21 , (10.14)и, наоборот, каждая линейная комбинация (10.14) есть образ век-тора из L ′ .

Итак, множество ( )L ′A - есть линейная оболочка (10.14), и,таким образом, есть подпространство, размерность которого (см.предложение 9.13) не более k .

45

Определение 10.3. Множество образов всех векторов из L являетсяподпространством ( ) LL ~∈A . Оно называется множеством значенийотображения и обозначается как AIm .Определение 10.4. Размерность множества значений отображе-ния LL ~: →A называется рангом отображения и AA Rg=Imdim .

Если ранг отображения LL ~: →A равен m , тогда ( ) LL ~=A и

каждый вектор из L~ является образом некоторого вектора из L .Такое отображение называется сюръективным отображением.Определение 10.5. Множество векторов из L , отображающихсяв нулевой вектор L~∈θ при отображении LL ~: →A , называется

ядром отображения LL ~: →A и обозначается AKer .Предложение 10.2. Ядро AKer есть линейное подпространство в L .

Во первых - ядро не пустое множество, так как содержит хотябы один нулевой вектор.

Во вторых, еслиθ=xA и θ=yA ,

то( ) θ=β+α=β+α yxyx AAA .

Пусть теперь ядро AKer ненулевое, т.е. 1≥AKerdim . Тогдалюбой вектор ( )Ly A∈ имеет бесконечно много прообразов, так

как если xy A= и AKerx ∈θ≠0 , то и ( ) yyxxxx =θ+=+=+ 00 AAA .

Верно и обратное, если какой-либо вектор Ly ~∈ имеет хотябы два различных прообраза в L , то ядро AKer содержит нену-левой вектор, так как если

yxx == 21 AA при 21 xx ≠ ,тогда

( ) θ==− zxx AA 21

и

21 xxz −=

ненулевой вектор в ядре, т.е. в L .

46

Отображение, при котором разные векторы из L имеют раз-ные образы в L~ называется инъективным отображением.Предложение 10.3. Отображение инъективно тогда и только тог-да, когда его ядро AKer - нулевое подпространство.

Если отображение LL ~: →A инъективно, то линейно неза-висимые векторы переходят в линейно независимые. Пусть обра-зы векторов kxxx ,...,, 21 линейно зависимы:

θ=α++α+α kk xxx AAA ...2211 .Тогда

( ) θ=α++α+α kk xxx ...2211Aи для инъективного отображения получаем

θ=α++α+α kk xxx ...2211 ,

и, следовательно, kxxx ,...,, 21 линейно зависимы.

10.4. Координатная запись отображений

Рассмотрим линейное отображение mn LL ~: →A и пусть

neee ,...,, 21 базис в nL . Образ произвольного вектора nLx ∈

nnx eee ξ++ξ+ξ= ...2

21

1

раскладывается в линейную комбинацию

( ) ( ) ( )nnx eAeAeAA ξ++ξ+ξ= ...2

21

1 . (10.15)Это говорит о том, что xA может быть определено по коор-

динатам вектора x , если известны образы векторов ( )ieA , лежа-

щие в mL~ .

Выберем в mL~ базис mfff ,...,, 21 . Каждый из векторов ( )ieAмы можем разложить по базису f :

( ) mmaaa fffeA 12

211

111 +++= ... ,

( ) mmaaa fffeA 22

221

122 +++= ... ,

47

.......................................... ,( ) m

mnnnn aaa fffeA +++= ...2

21

1 (10.16)или

( ) kkii a feA = , ni ...1= , mk ...1= . (10.17)

Если компоненты вектора mLx ~∈A обозначить через

mηηη ,...,, 21 , то равенство (10.15) можно переписать так:

kik

ikk a ff ξ=η , ni ...1= , mk ...1= . (10.18)

В силу единственности разложения вектора по базису, полу-чим

iki

k a ξ=η , ni ...1= , mk ...1= (10.19)или в матричной форме

ξ=η A , (10.20)или

ξ

ξξ

⋅

=

η

ηη

nmn

mm

n

n

m aaa

aaaaaa

......

..................

...

2

1

21

222

21

112

11

2

1

. (10.21)

Определение 10.6. Матрицей линейного отображения mn LL ~: →A

в паре базисов e и f называется матрица nm×A , столбцы которой,в их естественном порядке, есть координатные столбцы векто-ров ( )ieA , ni ...1= в базисе f .

Предложение 10.4. Ранг матрицы nm×A линейного отображения

mn LL ~: →A равен рангу этого отображения

AA Imdim=×nmRg .

Пусть rjj ,...,1 - номера базисных столбцов матрицы nm×A

линейного отображения mn LL ~: →A . Тогда векторы ( )kjeA ,

rk ...1= линейно независимы и каждый из векторов ( )ieA , ni ...1=

48

по ним раскладывается. Это говорит о том, что мы можем разложитьобраз любого вектора xA только по векторам ( )

kjeA , rk ...1= . Такимобразом, эти векторы образуют базис в AIm , и их число равно рангуотображения A .

Из этого предложения видно, что ранг матрицы nm×A ли-нейного отображения один и тот же, какую бы пару базисов мыни взяли.Предложение 10.5. Сумма ранга отображения и размерности егоядра равна размерности отображаемого пространства.

Согласно (10.20) ядро отображения определяется однород-ной системой линейных уравнений

θ=ξAс n неизвестными. Ранг матрицы системы равен рангу отображе-ния r . Фундаментальная система решений этой системы состоит из

rnd −=решений, которые являются координатными столбцами векто-ров, составляющих базис в ядре.

В частности, равенство nr = необходимо и достаточно, что-бы отображение имело нулевое ядро, т.е. было инъективным.

Отображение является взаимно однозначным, если каждыйвектор Ly ~∈ является образом одного и только одного вектора из

L , иными словами, является как инъективным, так и сюръек-тивным. Для сюръективного отображения mr = .Предложение 10.6. Линейное отображение LL ~: →A взаимно од-нозначно тогда и только тогда, когда размерности пространствсовпадают и равны рангу отображения:

ARgmn == .

Пример. Линейное отображение n -мерного арифметическогопространства в m -мерное задано в стандартных базисах e и fэтих пространств матрицей A . Вычислить полный прообраз aэлемента b , если:

49

−−−−−−

=183512123451

A и

−=

101

b .

Решение. Вид матрицы A говорит нам о том, что 34~: LL →A и нам

дан образ 3~Lb∈ элемента 4La ∈ , так как ab A= . Нетрудно прове-е-

рить, что 2=ARg . Столбцы матрицы A есть линейная оболочкаа

пространства 3~L по которой элемент b раскладывается с коэффици-

ентами разложения элемента a в пространстве 4L .

Пусть ( ) 44321 La

T∈ξξξξ= , тогда

−=

ξξξξ

⋅

−−−−−−

101

183512123451

4

3

2

1

и мы имеем систему линейных уравнений с 4-я неизвестными, рас-ширенная матрица которой легко приводится к виду

−11211711610111112111401

или

431

112

1114

111

ξ+ξ−=ξ ,

432

117

116

112

ξ−ξ−=ξ .

Положив 043 =ξ=ξ , получим частное решение данной сис-

темы уравнений ( )Ta 00210 = . Так как ранг данной системыуравнений равен 2, фундаментальная система решений будет со-

50

стоять из двух векторов

( )Tf 0116141 −−= и ( )Tf 110722 −= .Прообраз a есть полное решение данной системы, т.е.

21

1107

2

011

614

0021

cca ⋅

−

+⋅

−−

+

=.

10.5. Изоморфизм линейных пространств

Определение 10.7. Взаимно однозначное линейное отобра-жение называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм

LL ~: →A ,то пространства L и L~ называются изоморфными.Например, задание базиса neee ,...,, 21 в nL устанавливает изомор-

физм nL на n -мерное арифметическое пространство nR , сопос-

тавляющий каждому вектору из nL его координатный столбец

высоты n из nR . Это, так называемый, координатный изомор-физм.Теорема 10.1. Два линейных пространства изоморфны тогда итолько тогда, когда их размерности равны.

Пусть L и L~ - два пространства размерности n . Если в каж-дом из них задать базис, то любая невырожденная квадратнаяматрица порядка n в силу (10.20) определяет линейное отобра-жение, которое согласно предложению 10.6 будет изоморфизмом.

Значение понятия изоморфизма заключается в следующем.Линейные пространства могут состоять из чего угодно - природаэлементов при изучении их свойств, связанных с линейными опе-рациями, роли не играет. Если пространства изоморфны, то всеих свойства совершенно одинаковы и мы можем не различатьизоморфные пространства и рассматривать для каждой размер-

51

ности n только одно линейное пространство.Пример. Линейное преобразование линейного пространства 2Lзадано матрицей

=

2515159

A .

Найти его ядро и множество значений. Выяснить, являетсяли данное преобразование изоморфизмом.Решение. Ядро преобразования определяется однородной систе-мой линейных уравнений θ=ξA , или после упрощения задан-ной матрицы:

053 21 =ξ+ξ .Фундаментальное решение этой системы есть вектор

135

cf ⋅

−= ,

который и задаёт AKer преобразования A .Ясно, что 1dim =AKer .Множество значений преобразования A есть линейная обо-

лочка векторов, составляющих столбцы матрицы A и нам оста-ётся составить систему уравнений этой оболочки

ξ−ξξ

ξξ

12

1

2

1

5300159

~2515159

или

035 21 =ξ−ξ .Фундаментальное решение этой системы есть вектор

253

cg ⋅

= ,

который и задаёт AIm .Так как 0dim ≠AKer , данное преобразование не является

изоморфизмом.

52

10.6. Изменение матрицы линейного отображения призамене базиса

Рассмотрим линейное отображение LL ~: →A . Если в линей-

ных пространствах L и L~ выбраны базисы e и f , то линейноеотображение A в данной паре базисов, в соответствии с опреде-лением 10.6, определяется матрицей nm×A . Выберем в L и L~ дру-гие базисы e′ и f ′ :

eSe =′ и fPf =′ .Матрица линейного отображения A в паре базисов e′ и f ′

будет определятся матрицей nm×′A и наша задача будет заклю-

чаться в установлении связи между матрицами nm×A и nm×′A .

Пусть x - произвольный вектор из L и его образ Lxy ~∈= A .

Пусть координатные столбцы вектора x в базисах e и e′ будут

соответственно о и о′ , а координатные столбцы вектора y в ба-

зисах f и f ′ - η и η′ .Согласно (9.26) мы можем записать, что

ξ′=ξ S , η′=η P .Подставляя эти выражения в (10.20) получим:

ξ′=ξ=η ASA или ξ′=η′=η ASP .Матрица перехода P , как матрица перехода от одного ба-

зиса к другому, имеет обратную матрицу 1−P , поэтому

ξ′=η′=η′ −− ASPPP 11 .Так как в соответствии с (9.26)

ξ′′=η′ A ,тогда, в силу единственности матрицы линейного отображениядля данной пары базисов, получим:

ASPA 1−=′ . (10.22)

53

10.7. Канонический вид матрицы линейногоотображения

Мы установили, что при линейном отображении LL ~: →Aвид его матрицы (но не ранг) зависит от выбора пары базисов eи f в пространствах L и L~ .

Возникает естественный вопрос, как выбрать базисы e и fв пространствах L и L~ , чтобы матрица nm×A преобразования

LL ~: →A имела бы максимально простой вид?Ответ на этот вопрос даёт теорема 10.2.

Теорема 10.2. Для любого линейного отображения LL ~: →A ран-

га r можно так выбрать базисы в L и L~ , что оно будет иметьматрицу

=

000rE

A , (10.23)

где rE - единичная матрица порядка r .Поместим векторы базиса

nrr eee ,...,, 21 ++

пространства L в AKer , размерность которого как раз и естьrn − , а векторы базиса

reee ,...,, 21

можем выбрать произвольно. При таком выборе при любом ба-зисе f в L~ последние rn − столбцов матрицы nm×A будут нуле-

выми. Так как rRg =A , первые r столбцов будут линейно неза-висимыми, в силу чего линейно независимыми будут и образы

( ) ( ) ( )reAeAeA ...,,, 21 в L~ .

Примем их за первые r базисных векторов rfff ,...,, 21 про-

странства L~ , а остальные векторы mrr fff ,...,, 21 ++ этого базиса вы-

54

берем произвольно. В этом случае первые r столбцов A будут пер-выми r столбцами максимально возможной единичной матрицы по-рядка m , т.е. матрица A примет вид (10.23).

10.8. Сумма отображений

Рассмотрим два линейных отображения

LL ~: →A и LL ~: →B ,

отображающих пространство L в пространство L~ .Определение 10.8. Линейное отображение C , определённое ра-венством

( ) xxxx BABAC +=+≡ , (10.24)для любых элементов Lx ∈ , назовём суммой отображений A иB , и обозначим как

BAC += .Линейность отображения C легко проверить. Пусть элемент

Lxxx ∈α+α= 22

11 ,

тогда

( ) ( ) ( )=α+α+α+α=α+α 22

11

22

11

22

11 xxxxxx BAC

=α+α+α+α= 22

11

22

11 xxxx BBAA

( ) ( ) 22

11

222

111 xxxxxx CCBABA α+α=+α++α= .

Выберем в пространствах L и L~ базисы e и f , тогда, в со-ответствии с определением 10.6, мы можем записать координат-ные столбцы векторов xA и xB через матрицы отображений как

ξA и ξB , а xC будет иметь координатный столбец

( ) ξ=ξ+=ξ+ξ CBABA .Итак, матрица линейного отображения C в паре базисов e и

f равна сумме матриц A и B .Легко проверить, что для произвольных линейных отобра-

55

жений (операторов) CBA ,, и нулевого оператора O будут выполне-ны равенства:

ABBA +=+ ,

( ) ( )CBACBA ++=++ ,

AOA =+ ,

( ) OAA =−+ ,в которых легко увидеть первые четыре аксиомы линейного про-странства

10.9. Умножение линейного отображения на число

Пусть A - линейное отображение LL ~: →A и λ - число изполя K .Определение 10.9. Линейное отображение B , определённое ра-венством

( ) xxx AAB λ=λ≡ , (10.25)для любых элементов Lx ∈ , назовём произведением линейного опе-ратора A на число λ .

Если выбрать в рассматриваемых пространствах пару бази-сов e и f , то (10.25) можно представить как произведение мат-рицы линейного отображения на координатный столбец и начисло λ , т.е.

( ) ξ=ξλ=ξλ BAA ,где матрица линейного отображения B в паре базисов e и f равнапроизведению матрицы A на число λ .

Очевидно, что в этом случае будут выполнены равенства:AA =⋅1 ,

( ) ( )AA 2121 λλ=λλ ,

( ) AAA 2121 λ+λ=λ+λ ,

( ) BABA λ+λ=+λ ,в которых мы сразу видим оставшиеся четыре аксиомы линейно-

56

го пространства.Окончательно мы можем сказать, что совокупность всех линей-

ных отображений (операторов) mn LL ~: →A , действующих из ли-

нейного пространства nL в линейное пространство mL~ , образу-ет новое линейное пространство изоморфное линейному простран-ству матриц вида nm×A .

10.10. Произведение отображений

Рассмотрим три линейных пространства nL , mL′ , lL ′′ и пусть

LL ′→:A , LL ′′→′:B .Определение 10.10. Отображение LL ′′→:C , действующее из ли-

нейного пространства nL в пространство lL ′′ в соответствии сформулой

( ) ( )xxx ABBAC =≡ , (10.26)для любых элементов Lx ∈ , назовём произведением отображе-ний A и B , и обозначим как

BAC = .Заметим, что сначала на вектор Lx ∈ действует отображе-

ние A , а затем на вектор Lx ′∈A действует отображение B .Построенное таким образом отображение C является ли-

нейным отображением, так как

( ) ( )( ) ( )=α+α=α+α=α+α 22

11

22

11

22

11 xxxxxx AABABC

22

11

22

11 xxxx CCBABA α+α=α+α= .

Пусть теперь в пространствах nL , mL′ , lL ′′ выбраны базисыe , f и g соответственно. Положим, что в паре базисов e , f ото-бражение A имеет матрицу nm×A , а в паре базисов f , g отобра-

57

жение B имеет матрицу ml×B .Предложение 10.7. Отображение BAC = в паре базисов e , g имеет

матрицу nmmlnl ××× = ABC .

Пусть ξ координатный столбец вектора nLx ∈ в базисе e .

Координатные столбцы mLx ′∈A и ( ) lLx ′′∈AB обозначим соответ-

ственно как η и ζ , тогда

ξ=η A ,а

ξ=η=ζ BAB .Заметим, что ранг отображения равен рангу его матрицы, а

потому на основании теоремы 1.6 сформулируемПредложение 10.8. Ранг произведения отображений не превос-ходит рангов этих отображений.

Заметим, что свойства умножения отображений следуют изсвойств умножения представляющих их матриц, а с учётом пунк-тов 10.8 и 10.9 можно сказать, что все свойства отображений со-держатся в свойствах представляющих их матриц в силу изомор-физма линейных пространств образованных отображениями ипредставляющими их матрицами.

Пусть нам дано линейное отображение

LL ~: →A .Линейное отображение

LL →~:B

назовём обратным по отношению к линейному отображению Aи обозначим как 1−A , если

EBA = и EAB ~= ,

где E и E~ - тождественные преобразования пространств L и L~ .

Иначе говоря, для любых векторов Lx ∈ и Ly ~∈ должны быть

выполнены условия

58

( ) xx =AB , ( ) yy =BA . (10.27)Предложение 10.9. Линейное отображение имеет обратное тогда итолько тогда, когда оно есть изоморфизм.

Пусть A - изоморфизм. Тогда матрица представляющая впаре базисов e и f отображение A является невырожденнойквадратной матрицей имеющей обратную матрицу 1−A . Отобра-

жение LL →~:B , определяемое матрицей 1−A в паре базисов f и

e , удовлетворяет условиям (10.27) и является обратным для

LL ~: →A .В данном случае мы имеем преобразование пространства

самого в себя и, очевидно, что размерности пространств L и L~

совпадают, а ранг матрицы преобразования равен размерностипространства L .

Пусть A - не изоморфизм. В этом случае либо mr < , либоnr < . Если mr < , тогда пространство L отображается не на всё

пространство L~ и в L~ найдётся вектор Ly ~∈ , не принадлежа-

щий ( )LA . Если существует обратное отображение 1−A , мы при-дём к противоречию:

( ) ( )Lyy AAA ∈= −1 .Если nr < , то в L найдётся вектор θ≠z принадлежащий

ядру преобразования, т.е. AKerz ∈ . Если существует обратноеотображение 1−A , мы снова приходим к противоречию:

( ) θ=θ== −− 11 AAA zz .